Approche énergétique et oscillateurs mécaniques : 782 questions de concours corrigées

À partir de cette description, écrire l'équation différentielle régissant le déplacement xₙ de l'élément n de la membrane basilaire en présence d'une onde sonore. Quelle est la pulsation ωₙ de…

En notant δₙ l'élongation du nième ressort (définie comme la différence entre sa longueur et sa longueur à vide), rappeler l'expression de l'énergie potentielle élastique qu'il emmagasine.

Établir la relation entre v(x), V(x), e et m.

Déterminer l'équation différentielle vérifiée par ℓ(t). Introduire une pulsation propre ω₀, à exprimer en fonction de k et µ.

Écrire l'équation différentielle satisfaite par x(t), position par rapport à l'équilibre, pour un oscillateur harmonique classique de pulsation propre ω₀, puis rappeler l'expression générale de ses…

En utilisant la courbe de la figure 3, indiquer si le système possède une position d'équilibre. Si oui, laquelle ? Indiquer si cet équilibre est stable. Justifier votre résultat à l'aide d'une…

Déterminer une expression du travail élémentaire du poids exercé sur la masse m dans le référentiel galiléen. Préciser rigoureusement si cette force est conservative.

Écrire l'équation différentielle du mouvement de la masse m.

Établir l'expression de l'énergie potentielle élastique E_p,k du ressort dont on prendra l'origine lorsque la longueur du ressort est égale à sa longueur à vide. On exprimera E_p,k en fonction de k…

Établir, en fonction de m, g et l, l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur E_p,p du point matériel P dont on prendra l'origine en O.

Établir l'équation différentielle du mouvement du point matériel P vérifiée par l(t) dans le référentiel galiléen R.

Montrer que l'on retrouve l'expression classique de l'énergie cinétique lorsque v est petit devant c.

Traduire la conservation de l'énergie mécanique d'un électron circulant depuis la cathode vers l'anode pour en déduire la vitesse v(r) d'un électron à la distance r de l'axe en fonction, notamment…

Déduire de l'application d'un théorème énergétique l'expression de la vitesse de libération v_lib(r) d'un corps soumis à l'attraction terrestre.

Citer le théorème de l’énergie cinétique. L’appliquer à l’enfant qui glisse sans frottement entre les points A et B et en déduire l’expression de la vitesse v_B_sans_frottement atteinte au point B…

Dans cette question on suppose que U est de la forme U(r) = U(r) = U₀ + 1/2 k r² où U₀ et k sont des constantes et k > 0. On pose ω = √(k/m). Montrer que chacune des fonctions x(t), y(t) et z(t)…

Montrer que la force F est conservative, et que l'énergie potentielle correspondante s'écrit U(x) = A/x² + B x² + C où C est une constante arbitraire et où l'on exprimera A et B en fonction de α et k.

Écrire l'expression reliant F_ext,i à la fonction Uₑₓₜ.

La figure (4) représente une barre de module d'élasticité E (qui a la dimension du rapport d'une force sur une surface), de section uniforme S et de longueur "à vide" ℓ₀. Sa section inférieure…

Exprimer, en fonction de E, S, ℓ₀ et ℓ, l'énergie potentielle élastique E_p emmagasinée par la barre au cours de son évolution de ℓ₀ à ℓ.

Indiquer pour quelle(s) raison(s) la forme de la relation (4) était attendue.

Établir, en fonction des paramètres M^ et k^, l'expression du carré de la pulsation propre (ω₀²) des oscillations libres de flexion du bâton de craie.

Exprimer, en fonction de M, g₀, R_T et h, l'énergie potentielle de gravitation E_p du satellite. On prendra l'origine des énergies potentielles si h → ∞.

Établir l'équation différentielle vérifiée par θ. On posera ω₀ = √(g/ℓ₀).

Établir l'équation différentielle du mouvement vérifiée par la fonction θ(t).

En négligeant tout frottement, déterminer l'expression de la vitesse de la voiturette une fois arrivée sur la portion horizontale de la piste, en fonction de g et de h. Évaluer cette vitesse avec un…

Donner l'expression de la force gravitationnelle terrestre F_G, s'exerçant sur un point matériel M de masse m situé à la distance r (r > R_T) du centre de la Terre O_T (figure 1). Exprimer l'énergie…

En négligeant les frottements dus à l'atmosphère, quelle vitesse v_lib serait à communiquer à un projectile tiré radialement, depuis la surface terrestre, pour le soustraire à l'attraction…

Quelle est la vitesse v de A lorsqu'il atteint l'anode ? A) v = √((e Vₐ)/mₑ) B) v = √((2 e Vₐ)/mₑ) C) v = √((2 mₑ Vₐ)/e) D) v = (2 e Vₐ)/mₑ

Dans quelle limite le pendule simple peut-il être approximé par un oscillateur harmonique ? On se placera dans cette limite par la suite. Exprimer sa pulsation propre ω₀. Déterminer la période…

Rappeler l’expression de la pulsation propre ω₀ d’un ressort de raideur k supportant une masse m. Par analogie, en déduire l’expression de la pulsation propre ω₀ des oscillations verticales du…

Quelle est la dimension de E ? Montrer que, dans ce régime, le comportement mécanique du fil peut être assimilé à celui d'un ressort de constante de raideur k que l'on exprimera en fonction des…

En utilisant le théorème de l'énergie mécanique, déterminer l'expression littérale et la valeur numérique de la vitesse acquise lors de l'impact du bas de la quille avec l'eau si le treuil était…

On note z(t) = ℓ(t) - ℓ₀ la position de la masselotte. Établir l'équation différentielle dont z(t) est solution pour t > 0.

Exprimer la fréquence propre et le facteur de qualité Q de ce système en fonction de k, m et λ.

Exprimer puis calculer numériquement la vitesse v_B du skieur en B. A) v_B = √(3)gL B) v_B = √(2gLsin α) C) v_B = 20 m⁻¹ D) v_B = 13 m⁻¹

Un autre skieur, moins aguerri, se retrouve confiné au voisinage de C et oscille, d'avant en arrière, dans un mouvement de très faible amplitude. Quelle est la période T de ses oscillations ? A) T =…

Établir l'équation différentielle vérifiée par l'abscisse xₘ(t) de la masse m. On fera apparaître la variable L(U) définie par L(U) = (F(U))/k. En régime quasi-statique, que représente L(U) ?

Définir le travail élémentaire par unité de volume δ w fourni par une contrainte σ au cours d'une déformation infinitésimale dε.

En appliquant le théorème de l'énergie mécanique à l'objet M entre l'instant initial (M à la surface de la Terre) et l'instant final (M à l'infini), déterminer la vitesse de libération v_ℓ en tenant…

Linéariser l'équation précédente en considérant θ « petit » ; en déduire l'équation horaire θ(t).

La masselotte précédente et ses deux ressorts sont maintenant disposés verticalement, c'est-à-dire dans la direction du vecteur champ de pesanteur g (Figure 2). Quelle est la nouvelle pulsation…

Exprimer, en fonction de K et f, l'énergie élastique E_K emmagasinée par la lame dans un état de déformation caractérisé par la flèche f.

Représenter l'allure graphique du rapport U(r)/U^ en fonction de la distance adimensionnalisée r/a. Indiquer la nature de l'interaction que représente chacune des composantes de ce potentiel…

Démontrer l'expression de la vitesse en fin d'une chute libre de hauteur L dans le champ de pesanteur. Comparer cette expression à celle obtenue à la question précédente.

Par analogie avec la question 4, exprimer le champ électrique E_noy(M) créé par le noyau en tout point M à l'intérieur de l'atome. En déduire que la force exercée par le noyau sur l'électron (masse…

Dessiner la courbe E_p(x) sur la copie et y indiquer la constante D en justifiant la réponse. Préciser si le système se trouve dans un état lié ou un état libre lorsque son énergie mécanique Eₘ est…

On se place dans le cas où Ω ≠ ω. Résoudre l'équation (5) dans R.

Déterminer les valeurs propres, réelles ou complexes, de M.

Montrer que l'équation différentielle vérifiée par u(t) se met sous la forme : u + (Ωₒ/Q)u + Ωₒ² u = -X avec Q et Ωₒ à déterminer en fonction de α, k et de M.

Déterminer l'équation différentielle du mouvement de l'électron vérifiée par r(t).

Montrer que la fonction de transfert mécanique de ce système a pour expression : Hₘ = (k x₁)/F₁ = 1/(1 + (j ω)/(Q ω₀) - ω²/ω₀²), où la pulsation propre ω₀ et le facteur de qualité Q seront exprimés…

Montrer que pour une condition sur Q que l'on précisera, |Hₘ| présente une résonance à une pulsation ω_r dépendant de ω₀ et de Q. À quelle condition sur Q peut-on considérer que ω_r ≃ ω₀ ?

a) Exprimer l'énergie gravitationnelle finale dE_pG(r) des masse m et dm. On considère l'énergie gravitationnelle nulle quand dm est infiniment éloignée de m. b) On modélise la formation d'une…

Déterminer l'équation du mouvement de A : A) θ-ω₀²sin θ=0 avec ω₀=(gsin α/b)¹/² B) θ+ω₀²sin θ=0 avec ω₀=(gsin α/b)¹/² C) θ-ω₀²sin θ=0 avec ω₀=(gcos α/b)¹/² D) θ+ω₀²sin θ=0 avec ω₀=(gcos α/b)¹/²

Le palet est abandonné sans vitesse initiale depuis la position θ(0)=θ₀. Déterminer θ(θ) : A) θ(θ)=±√(2)ω₀(cos θ-cos θ₀)¹/² B) θ(θ)=±√(2)ω₀(cos θ+cos θ₀)¹/² C) θ(θ)=±√(2)ω₀(sin θ₀-sin θ)¹/² D)…

Calculer l'énergie cinétique moyenne de l'électron, notée U_P, en régime sinusoïdal forcé où x(t) est périodique. On exprimera U_P en fonction de eE₀, m et ω.

On place maintenant une particule supposée ponctuelle, de charge q = -e, au centre du piège. Pourquoi ne peut-elle pas y léviter de manière stable ?

Représenter, dans un système d'axes commun, l'allure graphique de la dépendance de chacune des énergies E_C et E_F vis-à-vis de ε. Commenter brièvement ces tracés.

Établir l'expression de l'énergie cinétique E_c du ressort en fonction de m_r et l.

Montrer que les grandeurs i(t) et z(t) vérifient l'équation différentielle : (d² z)/(d t²)+ω₀/Qₘ (d z)/(d t)+ω₀² z(t)=-β i(t) où ω₀, Qₘ et β sont à exprimer en fonction de K, M, λ, r, N et B₀.

Montrer que l'énergie mécanique Eₘ est une constante du mouvement et qu'elle peut se mettre sous la forme : Eₘ = 1/2mr² + E_p,eff(r) (1) où E_p,eff(r) est un terme, appelé énergie potentielle…

La solution qui a été retenue pour peser les spationautes en impesanteur est d'utiliser les oscillations d'un ressort. Le spationaute M de masse m₂ s'accroche à un dispositif appelé BMMD (voir…

Montrer que si r ≪ σ, alors U(r) - U(0) ≈ 1/2 k r² où l'on exprimera k en fonction de γ, E et σ.

On pose ω = √(k/m), g₀ = g(t = 0) et h₀ = g(t = 0). En résolvant l'équation différentielle trouvée à la question précédente, exprimer g(t) en fonction de t, g₀, h₀, ω et E/k.

Tracer l'allure de U(x). Par une approche énergétique, vérifier la validité des expressions de x_c, x_min et xₘₐₓ obtenues à la question précédente.

Exprimer F_j→ i en fonction de r_i, r_j, r_ij et α.

On considère à présent un électron situé à une distance r < R₀ du centre du noyau. Montrer que le noyau exerce une force F = -mₑ ω₀² r, sur l'électron. Donner l'expression de ω₀ en fonction de qₑ…

Écrire, dans le cas général, le principe fondamental de la dynamique appliqué au solide (1). Établir qu'il conduit à l'équation différentielle suivante (pour les conditions initiales choisies) : u +…

L'énergie cinétique du système est conservée dans la collision. Écrire l'équation correspondante. En déduire le rapport v'/v en fonction du nombre de masse A du noyau.

Justifier que la contribution dW_g à l'énergie gravitationnelle de cet accroissement (passage de r à r + dr) s'écrit dW_g = -Gmdm/r. Calculer l'énergie gravitationnelle totale W_g de l'étoile en…

Tous calculs faits, on obtient P_J = K M₀² v² où K = 2,3 SI. En admettant la conversion totale de l'énergie mécanique en énergie électrique lors du freinage inductif, donner l'expression littérale…

On considère le cas extrême d'une collision frontale et on supposera pour simplifier que l'atome est immobile compte tenu de sa masse importante par rapport aux particules α. Montrer en utilisant la…

Dans un modèle d'atome d'hydrogène « planétaire » où l'électron a un mouvement circulaire uniforme autour du noyau, montrer que l'énergie mécanique s'écrit E = -1/2e²/R où R désigne la distance…

Montrer que l'énergie mécanique de l'électron s'écrit Eₘ = -E₀/n² et donner l'expression de E₀ en fonction de e, mₑ, ε₀ et de h. Calculer la valeur numérique de E₀ exprimée en joule et en eV.

Montrer, sous une hypothèse que l'on précisera, que l'on peut modéliser la liaison atomique AB par un ressort à comportement linéaire dont on exprimera la raideur k et la longueur au repos ℓ₀ en…

On note v₁ et v₂ les vitesses des protons, en valeur algébrique, sur l'axe x. On note v_G la vitesse de leur barycentre et v = v₁ - v₂ leur vitesse relative. Exprimer la somme de leurs énergies…

Déterminer l'amplitude complexe C du mouvement forcé. On écrira le champ électrique en représentation complexe sous la forme Ecos (ω t) = E Re(eiω t).

Déterminer l'expression générale de dθ/dt sans faire l'approximation des petits angles. En déduire que la période T des oscillations du pendule est donnée par : T = 2T₀/π ∫₀θ₀ dθ/(√(2(cos θ - cos…

Établir l'équation différentielle du mouvement vérifiée par la fonction θ(t).

Déterminer l'expression générale de dθ/dt sans faire l'approximation des petits angles. En déduire que la période T des oscillations du pendule est donnée par : T = 2T₀/π ∫₀θ₀ dθ/(√(2(cos θ - cos…

Montrer que l'équation liant Z(t) à F(t) est : (d² Z(t))/dt² + γ (dZ(t))/dt + β Z(t) = (F(t))/M et exprimer les coefficients γ et β en fonction de k, M et de λ.

Montrer que l'équation liant Z(t) à F(t) est : (d² Z(t))/dt² + γ (dZ(t))/dt + β Z(t) = (F(t))/M et exprimer les coefficients γ et β en fonction de k, M et de λ.

Donner l'expression de la force gravitationnelle terrestre F_G, s'exerçant sur un point matériel M de masse m, situé à la distance r (r > R_T) du centre de la Terre O_T (figure 1). Exprimer…

En négligeant les frottements dus à l'atmosphère, quelle vitesse v_lib serait à communiquer à un projectile tiré radialement, depuis la surface terrestre, pour le soustraire à l'attraction…

Le point P étant en mouvement (fig 9b), établir l'équation différentielle à laquelle obéit Z(t) = L(t) - L_eq.

Déduire de ce qui précède l'expression de la composante normale Rₙ de la force de réaction. A) Rₙ = m[g(3sin φ - 2) - v₀²/r] B) Rₙ = m[g(3sin φ - 2) + v₀²/r] C) Rₙ = m[g(sin φ - 1) - v₀²/r] D) Rₙ = 0

On considère ici le problème de deux oscillateurs harmoniques couplés. On imagine deux masses m attachées à deux ressorts de raideur k₀ et k₁, et connectées entre elles par un troisième ressort de…

Comme à la question 4, on imprime au récipient un mouvement vertical d’amplitude A et de pulsation ω. On modélise le déplacement vertical du liquide z(t) par rapport au récipient comme un…

Justifier que l'énergie mécanique du système (0),(1) (en interaction gravitationnelle avec la Terre) est conservée.

Établir l'équation différentielle vérifiée par l'angle θ. On conservera les paramètres K, m, g, D et J.

Établir l'expression de l'énergie potentielle d'origine élastique E_Y, b emmagasinée par le barreau au cours de l'évolution de sa longueur de a à a=a+u (selon les notations de la figure (5)). On…

Établir l'équation du mouvement à laquelle obéit zₘ(t), et en déduire celle pour z(t).

Écrire les équations du mouvement de SPIDERMAN. En déduire, en fonction de m et g, l'expression de la tension maximale que doit supporter ce fil si l'on suppose qu'il est inextensible.

Établir l'équation différentielle vérifiée par θ(t) dans l'approximation des petits angles. Identifier une pulsation propre ω₀ de la forme ω₀ = g/ℓ_eff et donner l'expression de ℓ_eff en fonction de…

a) Écrire l’équation du mouvement. b) En utilisant les notations complexes, déterminer la solution z(t) " forcée " de pulsation ω imposée par le champ extérieur. Écrire l’accélération γ(t) de…

À partir des mesures présentées sur le document 3, réaliser une estimation de la fréquence propre et du facteur de qualité du diapason A. Commenter.

Appliquer la seconde loi de Newton à la masse dans le référentiel R' lié au boîtier. On notera z'_G la cote du point G dans le repère R'. Projeter cette relation sur l'axe vertical. On supposera que…

Calculer l'énergie potentielle du système donnée par la somme de l'énergie potentielle du ressort et l'énergie électrique emmagasinée dans le condensateur.

En déduire qu'il existe une intégrale première du mouvement A(s, v) = Cste que l'on exprimera.

Établir l'équation différentielle vérifiée par la contrainte σ_KV et la déformation ε_KV du matériau visco-élastique. On fera apparaître un temps de relaxation τ = η/E.

Dans le cas d'une expérience de fluage (échelon de contrainte σ_KV(t > 0) = σ₀), déterminer l'évolution de la déformation ε_KV(t) en résolvant l'équation différentielle de la question 44 et en…

Montrer que x(t) obéit à une équation différentielle du type d²x/dt² + ω₀/Q dx/dt + ω₀² x = f(t) où f(t) est une fonction du temps avec ω₀ = √(k/m), Q = 1/α√(k· m) et f(t) à exprimer.

Écrire l'équation différentielle qui relie z(t), z_s(t), m, g, λ, h, k et l₀. Préciser l'expression de z_éq, puis l'équation différentielle qui relie u(t), z_s(t), m, λ et k.

Déterminer l'énergie mécanique de la sonde et montrer qu'elle se met sous la forme : E_m,P/R = Eₘ = 1/2m(r)² + U_eff(r) avec U_eff(r) = mC²/2r² - GmM_J/r. (1) Justifier que Eₘ se conserve.

On déplace A, par rapport à sa position d'équilibre O (prise comme origine des coordonnées cartésiennes x et y), d'une quantité initiale x(0) ≪ lₑ selon la direction horizontale Ox (Figure 1a) et on…

Écrire les équations différentielles d'évolution du système représenté sur la figure 1. On notera x₁(t) et x₂(t) les déplacements des deux masses par rapport à leurs positions d'équilibre, et on…

Vérifier qu'une force extérieure de la forme F(t) = F cos ω t, où l'amplitude F est réelle et positive, fournit, en moyenne sur une période, la puissance 1/2 F ω₁ Im(x₁) (où Im(x₁) désigne la partie…

Établir l'équation différentielle vérifiée par la variable u. On fera apparaître la pulsation ω₀ dont on donnera l'expression en fonction de g et D.

Déterminer, à partir de la figure (2), la pseudo-fréquence f_exp des oscillations du flotteur ainsi que l'amplitude initiale u₀. Proposer une estimation (approximative) du facteur de qualité Q de…

La figure (5) représente l'évolution temporelle de la flèche adimensionnalisée f / f(0) en régime libre, depuis la situation initiale (f(0), f(0) = 0), sa pointe étant soustraite à toute influence…

En déduire l'équation différentielle du deuxième ordre vérifiée par la flèche f. On négligera ici toute cause de dissipation de l'énergie mécanique.

Nous appliquons au système ainsi bouclé la sollicitation en échelon décrite à la question (48). Déterminer la limite ε_∞ = lim _+∞ ε puis commenter ce résultat.

En appliquant le principe fondamental de la dynamique à q, dans le référentiel de l'échantillon supposé galiléen, montrer que le mouvement de q est décrit par la fonction : x(t) = x₁(t) = (qE₀eiω…

Exprimer dans ces conditions x₀ et φ en fonction des données.

Établir une intégrale première du mouvement à partir de l'équation (1). Cette équation sera notée (3).

Montrer que si la force de frottement est suffisamment faible, l'amplitude Z₀(ω) présente une résonance à la pulsation ω₀. Déterminer l'ordre de grandeur de la largeur Δ ω de la résonance en…

On considère maintenant des trajectoires faiblement elliptiques, telles que r(t) = r₀ + r₁(t) avec, pour tout temps t, |r₁(t)| ≪ r₀. Pour ces trajectoires, r(t) présente des oscillations de faible…

Représenter l'allure graphique de la dépendance de l'énergie moyenne e vis-à-vis de l'amplitude A, dans le cas où S > 0 puis dans celui où S < 0. On utilisera un système d'axes commun.

En fonction du paramètre l_c, discuter des positions d'équilibre du point P et de leur stabilité respective : on exprimera les abscisses d'équilibre xₑ associées en fonction des données et on…

Appliquer le principe fondamental de la dynamique au point matériel B, puis A. En déduire que l'équation différentielle à laquelle obéit la distance inter-nucléaire R(t) s'écrit d²/dt² R + ω₀²(R-Rₑ)…

On suppose enfin ici que m₁ = m₂ = m, λ₁ = λ₂ = 0. Montrer qu'il n'existe alors que deux solutions physiquement différentes de cette équation, pour chacune d'elles on exprimera µ ainsi que le…

Déterminer à quelle condition la configuration correspondant à θ=0 est stable (ou métastable). On fera porter cette condition sur le paramètre S défini par le rapport suivant : S=K/(m g D) On…

En adaptant le calcul effectué en réponse à la question (27), exprimer l'énergie élastique E_Y emmagasinée par la lame dans l'état caractérisé par le rayon de courbure R. On exprimera ce résultat en…

À partir de l'équation mécanique, effectuer un bilan de puissance global et interpréter chacun des termes.

Effectuer un bilan des forces sur cette parcelle de fluide, et en déduire que l'atmosphère sèche est stable si le gradient thermique -dT/dz est inférieur à Γ_d.

Dans cette question uniquement, on considère que les oscillateurs ne sont pas amortis. Quelles sont alors les pulsations de résonance ω₊ et ω₋ ? Donner l'expression de Ω_r = |ω₊ - ω₋| dans la limite…

En sommant les participations de chaque tronçon élémentaire [x, x+dx], établir l'expression de l'énergie cinétique E_c de la lame. En déduire l'expression de sa masse effective m_eff en fonction de…

Exprimer la fonction de transfert en amplitude de la lame, définie par le rapport T = A_B/A_A (T C). On fera apparaître le facteur de qualité Q, le paramètre Ω_p = ω_p/ω_p0 et la variable Ω = ω/ω_p0.

En appliquant le principe fondamental de la dynamique dans le référentiel lié à la voiture, montrer que l'équation différentielle du mouvement en X(t) = x(t) - L₀ peut être mise sous la forme…

On pose z(t) = Re(Zₘ eiω t). Exprimer Zₘ, amplitude complexe de la vibration mécanique suivant l'axe vertical (Oz).

Donner l'expression, sous forme d'une somme discrète de l'énergie potentielle élastique emmagasinée sur une longueur d'onde, notée E_pλ.

Dans le régime statique ici considéré, la compression est homogène, c'est-à-dire que tous les ressorts individuels (dans la direction (Ox)) se compriment d'une même longueur δ. Tracer l'allure du…

Par l'étude du mouvement des électrons entre K et A, exprimer p et E en fonction de V_A, mₑ et e.

Par l'étude du mouvement des électrons entre K et A, exprimer p et E en fonction de V_A, mₑ et e.

Établir l'expression de l'énergie potentielle d'interaction E_p(r) entre l'électron et le noyau en prenant l'origine des énergies potentielles en r → ∞.

Par l'étude du mouvement des électrons entre K et A, exprimer p et E en fonction de V_A, mₑ et e.

En l'absence de perte par rayonnement, déterminer x(t) pour des conditions initiales x(0) = x₀ et x(0) = 0. En déduire l'énergie mécanique moyenne , sur une période d'oscillation de l'électron, en…

Préciser, avec justification, les valeurs minimales possibles des énergies cinétique, potentielle et mécanique moyennes dans le cas d'un oscillateur harmonique classique.

Établir le caractère attractif ou répulsif de l'effet Casimir sachant que la géométrie de la cavité tend à évoluer de façon à minimiser E_Cas.

En déduire la variation d'énergie cinétique du système formé du mouton, de l'enclume et de la tige lors de l'enfoncement de la tige dans le sol.

Montrer que l'angle α n'a pas d'influence sur la norme v_E de la vitesse d'entrée dans l'eau au point E, puis évaluer v_E numériquement.

Préciser les unités de D, α et de xₑ dans le Système International. Justifier.

En déduire que, dans cette approximation, l'énergie potentielle prend la forme d'une énergie potentielle élastique E_p(x) = 1/2 k(x - xₑ)² où k est appelée constante de force dont on donnera…

Exprimer la fréquence f₀ des petites oscillations de la molécule AB en fonction de µ et de k.

Sans démonstration, exprimer alors, en fonction de la constante k, la constante de raideur du ressort unique équivalent à trois ressorts en parallèle.

Commenter l'amplitude du mouvement de balancier (évolution de θ) pour chacun des deux cas.

Sachant que Ω = ω + δ → 0O(δ), montrer que cos (2Ω t) = cos (2ω t) + δ → 0O(δ).

Résoudre cette équation et identifier la pulsation propre ωₒ en fonction des paramètres du modèle.

Recalculer g pour mₒ = m/10. Commenter.

Préciser la signification de A, de B et de φ. On ne demande pas ici leur expression.

Quelle est l'origine physique des forces F_r et f_v introduites dans ce modèle ?

On note j le complexe tel que j² = -1. Écrire les signaux complexes F(t) et x(t) associés à F(t) et x(t). On introduira les amplitudes complexes F₁ et x₁, dont on précisera les expressions en…

Déterminer le module de la fonction de transfert |Hₘ| en fonction de ξ = ω / ω₀.

Lorsque le capteur interférométrique mesure une vibration d'amplitude x₁ = 2 nm à une fréquence d'excitation de 40 Hz, le capteur de force en déduit une force d'amplitude F₁ = 2 sur le plan. En…

En déduire l'expression de la puissance P fournie par le moteur à la voiture en fonction de v₀ et de κ.

Exprimer l'énergie mécanique Eₘ du point matériel P. Justifier que celle-ci se conserve.

Exprimer les énergies cinétique E_c, potentielle E_p et mécanique Eₙ de l'électron en fonction du rayon de son orbite rₙ, ε₀ et de e.

Le module de la force d'interaction magnétique entre la bille aimantée (0) et une bille ferromagnétique en contact avec elle (se reporter au texte présentant cette étude) avoisine dix newtons…

Exprimer, en fonction de K et Δ, l'énergie potentielle élastique E_C emmagasinée par la structure dans la situation de compression (b).

Déduire de ces résultats la condition, portant sur ε, assurant que les deux hypothèses Δ ≪ L₀ ≪ R se trouvent simultanément vérifiées.

Déterminer une relation entre θ₀, ωₘₐₓ et T. En déduire la valeur de la vitesse angulaire maximale ωₘₐₓ en °/s, pour θ₀ = 30° et T = 0,5 s.

Cette force est-elle conservative ? Une réponse justifiée est attendue.

Déterminer l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur V(z) en prenant V(0) = 0.\ En déduire la relation entre p(z), m, g, z et l'énergie mécanique E d'une particule soumise uniquement à…

En déduire l'expression de l'énergie mécanique Eₘ du point matériel P de masse m dans le référentiel galiléen R en fonction notamment de l(t).

En déduire l'expression de l'énergie mécanique Eₘ du système constitué par le point matériel P de masse m et le ressort de masse m_r dans le référentiel galiléen R en fonction de m, m_r, k, g, l₀ et…

Établir l'équation différentielle du mouvement du point matériel P vérifiée par x(t) dans le référentiel galiléen R. Que représente physiquement dE_p,P/dx(x) en termes de force ?

Montrer que la force gravitationnelle s'exerçant sur le mobile dérive d'une énergie potentielle E_p. Établir l'expression de celle-ci en la prenant, par convention, nulle à l'infini.

Donner l'expression de l'énergie mécanique Eₘ du vaisseau en fonction de G, M_T, m, r, v_r et de v_θ.

Calculer la différence de potentiel nécessaire pour obtenir une énergie cinétique finale E_c = 1,0 keV. Justifier.

Dans la zone nommée Linac du synchrotron SOLEIL (figure 1), les électrons sont accélérés jusqu'à une énergie cinétique E_c = 100 MeV. Vérifier que leur vitesse v ne peut plus alors être calculée à…

Exprimer, puis calculer le travail W_P du poids de l’enfant lors de cette descente de A vers B.

Donner la valeur de cette vitesse v_B_sans_frottement.

Déduire ainsi la norme F de la force de frottement.

La solution qui a été retenue pour peser les spationautes en impesanteur est d'utiliser les oscillations d'un ressort. Le spationaute M de masse m₂ s'accroche à un dispositif appelé BMMD (voir…

L'utilisation du BMMD exige du spationaute qu'il se maintienne fortement à la barre, que ses pieds et ses genoux soient coincés et son menton collé à la planche. Expliquer pourquoi.

Si la période d'oscillation pour le dispositif à vide vaut T₁ = 0,82 s et celle avec le spationaute qui s'y accroche vaut T = 2,15 s, déterminer la formule littérale, puis la valeur numérique de la…

Exprimer zₑ en fonction de h et de b.

On note v(0) la vitesse de l'atome à t = 0. Exprimer r(t) en fonction de t, ω, r(0) et v(0).

Commenter brièvement l'équation différentielle (1).

Indiquer dans quel état, d'extension ou de compression, le ressort (2) se trouve lorsque le solide (1) s'immobilise.

Établir la relation entre la hauteur H du rebond et la vitesse verticale v₀ au moment où le neutron touche le miroir.

On suppose qu'à t=0 l'électron se situe à une distance r₀ du centre O, barycentre des charges positives, et sans vitesse initiale. En l'absence de toute autre force, montrer que r(t) = r₀ cos (ω₀…

Exprimer l'énergie mécanique Eₘ de l'électron à t=0 et à une date quelconque t.

Donner et justifier physiquement le signe de W_g. Expliquer pourquoi on nomme parfois E_ℓ = -W_g l'énergie de liaison de l'étoile.

Quel défaut présente la bouteille magnétique pour le confinement du plasma ?

a) Définir ce que sont des oscillations isochrones. b) Dans l'approximation des petits angles, le mouvement de (j_g) est-il isochrone ? c) Exprimer, dans cette approximation, la pulsation ω_os et la…

En supposant quasi-constante la puissance P fournie par les muscles pendant la phase de double contact, on évalue P par P = /τ_dc. Rappeler l'énoncé du théorème de la mécanique dont découle cette…

Application numérique : Avec l_j = 1 m, m_j = 10 kg, m_b = 60 kg, calculer p_opt dans le cas d'une jambe à répartition de masse uniforme, pour laquelle on a alors Δ = l_j / 2 et J_O = J_F.

Dans l'approximation des petits angles, exprimer en fonction de m_j, J_F, g et de Δ, la pulsation ω_os et la durée τ_os de cette phase d'oscillation.

En supposant quasi-constante la puissance P fournie par les muscles pendant la phase de double contact, on évalue P par P = /τ_dc. Rappeler l'énoncé du théorème de la mécanique dont découle cette…

Application numérique : Avec l_j = 1 m, m_j = 10 kg, m_b = 60 kg, calculer p_opt dans le cas d'une jambe à répartition de masse uniforme, pour laquelle on a alors Δ = l_j/2 et J_O = J_F.

En déduire la force de propulsion, puis la puissance de la force associées à cette vitesse.

Expliciter l'énergie potentielle de pesanteur E_p(θ) du point M en fonction de m, g, ℓ₀ et de θ. On prendra E_p(θ = π / 2) = 0.

Dans le cas de petits mouvements, déterminer la loi horaire θ(t) et calculer littéralement, puis numériquement la période T₀ du mouvement.

Montrer que l'amplitude des balancements augmente.

On note m la masse de la particule. On modélise sa dynamique par l'équation du mouvement m(x + αx + ω₀² x) = Fₑ(t), (1) où Fₑ(t) représente la force exercée par le champ électrique, dont on…

On fait l'approximation des petits angles tels que sin θ ∼ θ. Établir dans ces conditions la période T₀ des oscillations. Quelle est la propriété remarquable de la période dans le cadre de cette…

On fait l'approximation des petits angles tels que sin θ ∼ θ. Établir dans ces conditions la période T₀ des oscillations.

Exprimer les différentes puissances s'appliquant sur le système cycliste + vélo en fonction de m, v, g, ρ, α, µ_r et S Cₓ.

Initialement (t = 0⁻), le générateur n'est pas branché et la partie mobile est au repos. Quelle est alors la position de la partie mobile ? Justifier la réponse.

Si on appliquait cette force à une particule de masse m et de position ε(t), quelle serait la pulsation des oscillations ωₒ de celle-ci ? Représenter la vibration au cours du temps t → ε(t) pour des…

Donner, sur le même graphique, l'allure des courbes représentatives de l'énergie potentielle de Morse et de l'énergie potentielle harmonique approchée en fonction de la distance interatomique.

Sur le graphique ci-après, ont été représentées les courbes : [ x/a (V(x))/Θₒ ], [ x/a ( a/x )¹² ] et [ x/a 2( a/x )⁶ ]. Identifier ces courbes.

Calculer k et ωₒ pour a = 2,0 · 10⁻¹⁰ m, Θₒ = 0,10 eV et m = 1,0 · 10⁻²⁵ kg.

Exprimer la longueur l_équ du ressort à l'équilibre de la platine, sans impact de goutte.

Exprimer la longueur l_équ du ressort à l'équilibre de la platine, sans impact de goutte.

Le point A étant l'endroit où le parachute est déployé, donner l'expression littérale de l'énergie cinétique E_c(A) de l'ensemble en se limitant à un simple mouvement de translation.

En appelant B le point de largage et en considérant toujours la même masse, exprimer la variation d'énergie cinétique entre les points A et B.

Énoncer le théorème de l'énergie cinétique.

Ce travail est-il qualifié de moteur ou de résistant ? Justifier.

Rappeler la signification physique d'un mouvement qualifié de " lié " pour le point M. Donner la valeur maximale de l'énergie mécanique Eₘ dans ce cas.

Justifier par un argument physique que le boulet atteint une hauteur maximale hₘₐₓ puis retombe, comme les courbes en témoignent.

Á quelle valeur du coefficient de frottement λ correspond le régime critique ? Exprimer alors la forme générale de la solution sans chercher à déterminer les valeurs des constantes liées aux…

Quelles sont l'énergie cinétique, ε_k, et l'énergie potentielle, ε_p, de A ? Pour le calcul de cette dernière, la référence est prise à 0 en y = 0. A) ε_k = (m r φ²)/2 B) ε_k = (m (r φ)²)/2 C) ε_p =…

On suppose que l'électron initialement au repos est déplacé de sa position d'équilibre à t = 0 (en restant cependant à l'intérieur de la sphère de rayon r₀). Décrire qualitativement son mouvement…

On modélise l'amortissement dû au rayonnement en introduisant une force de réaction de rayonnement -mγ(ω)r avec γ(ω) = q² ω² / (6πε₀ m c³) (5) appliquée à l'électron (dans tout ce problème on…

Exprimer, en fonction des paramètres m, g, D et de l'angle θ, l'énergie potentielle gravitationnelle E_g 1 de la bille (1) dans la situation représentée sur la figure (3) (b).

Pour les valeurs des paramètres adoptées nous obtenons S ∼ 100. Conclure quant à l'état de stabilité de la configuration correspondant à θ=0.

Estimer la valeur du nombre critique d'aimants, N_c, correspondant à la hauteur maximale d'un édifice vertical stable.

Indiquer à quelle condition l'approximation linéaire associée à la loi de HOOKE se justifie.

Exprimer, en fonction de G, M et r, l'énergie mécanique totale du système. Commenter brièvement le signe de l'expression obtenue.

Déterminer un critère de stabilité pour le cylindre de liquide.

Donner l'expression de la puissance fournie par l'opérateur extérieur Pₒp en fonction de F et v(t).

Exprimer θₘ en fonction de a₀, ℓ_eff, ω, ω₀ et Q.

Dans le cadre de cette approximation, on trouve 1/τ₀ = ω₀² τ = ω₀² Kₑ/mₑ. Que représente le temps τ₀ ?

a) En déduire ce que vaut la pulsation ω₀ définie par f_rappel = -mₑ ω₀² OP. On l’exprimera en fonction de e, mₑ et de a₀. b) Évaluer numériquement la longueur d’onde associée. Commenter.

À partir des caractéristiques de la grue, exprimer en fonction de T et de vₘₐₓ la puissance P_u que peut développer le treuil pour la tension maximale T du câble si celui-ci est enroulé à la vitesse…

Quel phénomène physique la force f modélise-t-elle ? Justifier par un argument énergétique le signe de la constante λ.

Sachant que l'on obtient des pseudo-oscillations, établir l'expression littérale de z(t) en fonction de k, m et λ et de constantes d'intégration que l'on ne cherchera pas à déterminer.

De même, est-il correct d'affirmer que les branches d'un diapason de fréquence propre f₀ oscillent à la fréquence f₀ après percussion ?

On écrit cette relation sous la forme suivante : (d² z'_G)/dt² + ω₀/Q (dz'_G)/dt + ω₀² z'_G = Eₘ ω² cos (ω t + φ). Comment appelle-t-on ω₀ et Q ? Donner leurs expressions littérales.

Pour un sismographe, le facteur de qualité est toujours très élevé. Quelle est alors l'équation obtenue en simplifiant la relation précédente si on se place dans le cas idéal où le facteur de…

Déterminer la vitesse v_s de l'enfant en sortie de toboggan en fonction de g et h.

Que dire de la norme du vecteur vitesse, v_O, du skieur en O ? A) v_O = √(v_B² - 2(E_p(B))/m) B) v_O = v_B C) v_O = √(v_B² + 2(E_p(B))/m) D) v_O > v_B

Nous recherchons une solution particulière x_p = x_p(t) de l'équation différentielle (15) sous la forme d'un polynôme P=P(t-t_i) de la variable t-t_i. Déterminer x_p (on choisira P de degré le plus…

En déduire la solution générale de l'équation différentielle. On prendra la variable temporelle sous la forme de la différence t-t_i.

Vérifier que les expressions trouvées conduisent bien à la pulsation ω₁ du premier mode (se reporter aux questions (12) et (16)).

Dans un environnement terrestre, proposer une évaluation numérique de la variation d'énergie potentielle du marteau lorsque THOR l'utilise pour frapper des rochers. Commenter le résultat en sachant…

Exprimer en ordre de grandeur la vitesse v de l'écoulement induit par les oscillations du cylindre en fonction de leur amplitude a et de leur pulsation ω.

Préciser l'expression de l'amplitude maximale U de la réponse verticale u(t) du régime forcé de la masse m en fonction de Z₀, m, k, λ et ω.

En déduire l'expression de la position angulaire en fonction du temps et l'expression de la période du mouvement.

Quelle est l'unité SI (Système International des unités) et la dimension physique d'une pulsation propre ? A) Unité: s⁻¹ B) Unité: rad.s⁻¹ C) La dimension physique est celle de l'inverse d'une…

Quelles sont les affirmations exactes: A) Une pulsation au carré est homogène à une force par unité de masse. B) Une pulsation au carré est homogène à une force par unité de longueur. C) Une…

Justifier que la grandeur Φ est ici égale à l'énergie potentielle de gravitation E_p de la corde.

Il s'agirait maintenant de déterminer la fonction f minimisant l'énergie potentielle E_p, cette minimisation devant toutefois être effectuée en respectant une certaine condition (C). Imaginons alors…

Calculer la valeur numérique de la fréquence f₀ correspondant à ω₀.

Dans le cas où Y₀ = H/2, exprimer Ω₀² en fonction de g et ℓ.

Calculer la valeur de la période T₀ associée à Ω₀.

Préciser ce que représente, physiquement, chacun des paramètres F₁, k et K₀.

Quelle est l'expression de X(t) pour t < 0 ?

Montrer que la distance d parcourue par le palet avant de s'arrêter est donnée par la relation : d = v₀²/2gsin α où v₀ est la vitesse initiale selon l'axe (Ox) au début de la deuxième phase.

Les forces de frottements sont-elles conservatives ?

Calculer le travail de la composante tangentielle R_T de l'action de la glace sur le palet lors du déplacement du palet.

Dans le cas d'oscillations de faible amplitude au voisinage de la position d'équilibre, réécrire l'équation (1). L'équation obtenue sera notée (2).

En déduire l'expression de la période des oscillations.

Le mouvement est-il pendulaire ou révolutif ? Expliquer.

Exprimer l'énergie potentielle gravitationnelle E_pot de C₂ dans le champ gravitationnel créé par C₁ en fonction de G, m et r. On choisira E_pot nulle pour r tendant vers l'infini.

Expliquer qualitativement comment évoluent r(t) et f(t) au cours du temps du fait de l'émission d'ondes gravitationnelles.

Donner une interprétation physique de τ.

Helmholtz avait remarqué que la raideur kₙ évolue le long de la membrane basilaire de manière exponentielle. En revanche, la masse mₙ est la même pour tous les oscillateurs. Soit zₙ la position de…

En régime harmonique à la pulsation ω, on considère les amplitudes complexes xₙ et yₙ des déplacements xₙ et yₙ. Écrire la fonction de transfert H(ω) = yₙ / xₙ qui les relie.

Exprimer la force de forçage fₙ(t) dans le cas de l'excitation à deux pulsations, d'amplitudes complexes f_Ω_1 et f_Ω_2. On suppose dans cette question que le coefficient α est suffisamment faible…

Les ions entrant dans la cellule d'analyse ont un mouvement d'origine thermique, avant d'être accélérés par le champ électrique. Évaluer l'ordre de grandeur littéral de la quantité de mouvement…

Montrer que l'ion oscille dans la direction z autour de l'origine à une pulsation ω_p qu'on exprimera en fonction de q, m et α.

En appliquant le théorème de l'énergie cinétique à l'avion, donner l'expression de l'énergie que doivent fournir les turbopropulseurs E_TP pour ce profil de vol (durée T_p), en fonction de V(t) et…

Quel est l'inconvénient majeur de ce modèle ?

Exprimer en fonction des dimensions de la plaque (e, l et L) le nombre de ressorts individuels comprimés.

Montrer alors que l'énergie potentielle élastique de la plaque comprimée s'écrit : E_pL = 1/2 K el/L Δ L² où K = κ / a est la raideur par unité de longueur.

On notera r la distance (algébrique) qui sépare un point quelconque au sein de la plaque de la fibre neutre (voir figure 4). Par convention, r sera positive dans la zone en extension, et négative…

En utilisant le résultat de la question 9, exprimer l'énergie potentielle élémentaire emmagasinée par cet élément.

En déduire que l'énergie potentielle élastique de la tranche sur toute son épaisseur e s'écrit : E_pL = A K (L l e³)/R_c² où A est un préfacteur numérique dont on donnera l'expression. Dans la…

En utilisant l'expression de r₁(t), déterminer la valeur numérique de |v₁| permettant de réaliser cet objectif.

Exprimer puis calculer numériquement la constante K'.

Quelle est l'énergie cinétique de l'anneau E_c,0 après avoir quitté le barreau ferromagnétique de hauteur ℓ ? On négligera les frottements solides avec le barreau ferromagnétique. En déduire la…

Exprimer en fonction de puis l'équation différentielle vérifiée par . En déduire que (t) = E₀ exp (-Γ t), on exprimera Γ en fonction des données puis on calculera sa valeur numérique pour la raie…

Déterminer la constante de raideur k de la liaison covalente liant les atomes de carbone et d'oxygène. Commenter la valeur obtenue.

Montrer que les énergies potentielle et cinétique moyennes, notées E_p et E_c , peuvent s'écrire : E_p = K₁ Δ x² et E_c = K₂ Δ pₓ² avec K₁ et K₂ deux constantes à expliciter en fonction des données…

Sachant que la force « ressentie » par la paroi en z = -a dérive de l'énergie de Casimir selon une expression analogue à celle d'une force conservative, établir l'expression de cette force en…

Montrer que le travail moyen de la force exercée par le sol sur l'extrémité de la tige au cours de son enfoncement vaut -q_d S e.

Quelle approximation doit-on effectuer pour retrouver la formule des Hollandais ? Cette approximation vous paraît-elle légitime ?

Dans cette approximation, en effectuant un développement limité à l'ordre deux (rappelé en annexe) de E_p(x) autour de xₑ, donner une expression approchée de E_p(x).

En spectroscopie, on préfère introduire le nombre d'onde σ₀ = 1/λ₀ où λ₀ est la longueur d'onde dans le vide d'une onde électromagnétique de fréquence f₀. Exprimer σ₀ en fonction de f₀ et de c, la…

Considérons un solide assimilé à un point matériel de masse µ et relié à un support fixe par deux ressorts identiques de constante de raideur k et de longueur à vide xₑ, placés en parallèle et dont…

En déduire, dans le cadre de ce modèle, le nombre d'onde σ₀ de l'onde en fonction de µ, c et de k lorsque l'onde est : a) absorbée par une double liaison, b) absorbée par une triple liaison. Conclure.

En s'aidant des résultats de la question Q13 et en justifiant la réponse, attribuer les trois valeurs de nombre d'onde suivantes 1 650 cm⁻¹, 1 300 cm⁻¹ et 2 200 cm⁻¹ aux trois liaisons suivantes…

Montrer que l'équation différentielle (4) peut alors se mettre sous la forme : θ(t) + ω² θ(t) = Γ sin (Ω t), 5 et préciser les expressions des constantes ω et Γ en fonction de ℓ, g, X et de Ω.

On se place, à présent, dans le cas où Ω = ω. Résoudre l'équation (5) dans R.

En injectant θ_δ dans l'équation (6), montrer qu'on obtient : δ(θ₁(t) + ω² θ₁(t)) = -δω² cos (2ω t)(Acos (ω t) + Bsin (ω t)) + δ → 0O(δ²).

Montrer que l'équation (8) se réécrit : θ₁(t) + ω² θ₁(t) = -ω²/2 (Acos (3ω t) + Acos (ω t) + Bsin (3ω t) - Bsin (ω t)).

En notant g₁ : t cos (ω t), g₂ : t sin (ω t), g₃ : t cos (3ω t) et g₄ : t sin (3ω t), montrer que la famille (g₁, g₂, g₃, g₄) est une famille libre de l'espace des fonctions continues C(R, R).

Dans le cas où |ωδ/4| < |Ω - ω|, déterminer si la matrice M est diagonalisable dans M₂(R).

Toujours dans le cas où |ωδ/4| < |Ω - ω|, justifier qu'il existe P GL₂(C) et φ R tels que M = PDP⁻¹ avec D = iφ & 0 0 & -iφ .

Préciser ce qu'il advient si |ωδ/4| > |Ω - ω|.

a) Exprimer g en fonction de h et de ωₒ. b) Application numérique : pour h = 2,0 cm, Major Tom compte N = 10 allers-retours en T₁₀ = 4 s. Calculer g. Commenter.

a) Un élément de masse δ m = (dτ/ℓ) mₒ, à l'abscisse τ, a une énergie cinétique égale à dE_c = 1/2 δ m (dξ/dt)². Déterminer l'énergie cinétique du ressort nu en fonction de xₒ, Γ, mₒ et de t. b) En…

En supposant que l'expression de la loi de la force de rappel (loi de Hooke) reste inchangée, réécrire g en fonction de ωₒ, h et de β.

Déterminer les valeurs numériques de ω₀ et de Q à partir du graphe de la figure 6.

Déterminer la valeur de la constante de raideur k à partir du graphe de la figure 7. Quelle autre grandeur pourrait être déduite de ce graphe ?

a) La force gravitationnelle F_G(M) dérive de l'énergie potentielle de gravitation E_pG(M). Donner l'expression de celle-ci pour une masse m dans le champ de la Terre, en prenant une valeur nulle à…

La sphère précédente modélise la Terre. En supposant que l'énergie gravitationnelle est convertie totalement en énergie thermique, exprimer la température T_eq atteinte par la Terre à partir d'une…

a) La force gravitationnelle F_G(M) dérive de l'énergie potentielle de gravitation E_pG(M). Donner l'expression de celle-ci pour une masse m dans le champ de la Terre, en prenant une valeur nulle à…

La théorie donne une puissance de P_100,th = 10 kW. Comparer les résultats expérimentaux à cette puissance théorique.

Sachant que EDF recense environ 40 millions de clients utilisant l’électricité, évaluer l’ordre de grandeur de la puissance électrique moyenne produite par les centrales hydroélectriques françaises…

En supposant, pour simplifier, que le bassin de rétention d’eau à Isola est de forme parallélépipédique, dont le sol de section S est situé à une hauteur H de l’entrée de la turbine et que la…

En déduire R_r (on rappelle que R=-R_re_r+R_Ze_Z) : A) R_r=mgsin α(3cos θ+2cos θ₀) B) R_r=mgsin α(cos θ-cos θ₀) C) R_r=mgsin α(2cos θ-3cos θ₀) D) R_r=mgsin α(3cos θ-2cos θ₀)

Calculer la valeur de l'énergie d'interaction magnétique E₀₁ et celle de l'énergie cinétique initiale E_c,i,∞ de l'impacteur. Commenter ce résultat.

Nous nous plaçons dès à présent dans le cas où E_c,i,∞ ≪ |E₀₁|. Exprimer, en fonction de E₀₁ et α m, la vitesse v_i,c de l'impacteur immédiatement avant son entrée en contact avec la bille aimantée…

Nous supposons que la chaîne de billes transmet à la dernière bille (bille (N)) toute l'énergie cinétique de translation que l'impacteur possédait immédiatement avant son choc (soit, (1/2)mv_i,c²)…

Estimer l'ordre de grandeur de la valeur de la force de Hertz F_M correspondant à δ_M.

Expliquer la différence fondamentale entre la force électrique et la force de frottement fluide qui conduit à cette différence de comportement vis-à-vis du renversement du temps. Mathématiquement…

Pourquoi faut-il que q_i ne soit pas trop petit pour satisfaire aux critères d'une lévitation stable définie dans l'énoncé ?

On n'a considéré jusqu'à présent qu'une particule portant une unique charge élémentaire. On admettra que notre approche est valable pour une particule portant une charge q plus importante en valeur…

On suppose que l'angle φ oscille autour d'une position d'équilibre et que son évolution temporelle en l'absence de ce couple visqueux peut être décrite comme celle d'un oscillateur harmonique de…

Comparer les deux équations différentielles obtenues pour φ₁ et φ₂ avec celles obtenues pour les variables x, y et z à la question 3. On fera apparaître trois constantes q_φ_1, q_φ_2 et ω_r jouant…

Exprimer θ et le rapport R/L₀ en fonction du rapport ε = Δ/L₀.

Représenter l'allure graphique de la dépendance de N vis-à-vis de ε. On précisera la valeur prise par N pour ε > ε_s, dans le cadre du modèle de flexion adopté. Commenter brièvement ce résultat.

Traduire, sur le rapport a/L₀, la condition de respect des hypothèses Δ ≪ L₀ ≪ R établie en réponse à la question (3). Commenter ce résultat.

Indiquer à quelles conditions, portant sur la fonction u = u(y, z) (voire également certaines de ses dérivées) et le paramètre a₀, l'hypothèse H_u est justifiée, c'est-à-dire que le cristal liquide…

Nous nous plaçons dans une situation telle que la fonction u = u(y, z) ne dépend pas de y (état de simple extension – ou compression). Établir que l'énergie e_E alors emmagasinée, par unité de…

Résoudre l'équation différentielle obtenue à la question précédente en supposant qu'à t = 0, le point matériel P est lâché sans vitesse initiale de la position l(t = 0) = L > 0. On fera apparaître…

Établir l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur E_p,p associée au ressort en fonction de m_r, g et l.

Établir l'équation différentielle du mouvement du point matériel P vérifiée par l(t) dans le référentiel galiléen R. Commenter.