Corrigé détaillé X ENS Physique MPI 2023

Soit un axe (Ox) orienté de gauche à droite selon la ligne des centres des atomes. Notons \ell_0 la longueur à vide des ressorts, égale à la distance d'équilibre entre l'atome de carbone central (2) et chacun des atomes d'oxygène (1 à gauche, 3 à droite).

Les positions absolues des trois atomes s'écrivent :

avec X_{2,\text{eq}} - X_{1,\text{eq}} = \ell_0 et X_{3,\text{eq}} - X_{2,\text{eq}} = \ell_0.

Les allongements algébriques des deux ressorts sont donc :

En appliquant la deuxième loi de Newton à chaque atome projetée sur l'axe (Ox) :

• Pour l'atome d'oxygène 1 (masse m_{\mathrm{O}}), soumis à la seule tension du ressort 1-2 :

  m_{\mathrm{O}} \ddot{x}_1 = k \Delta \ell_{12} = k(x_2 - x_1).

• Pour l'atome de carbone 2 (masse m_{\mathrm{C}}), soumis à la tension du ressort 1-2 (vers la gauche) et du ressort 2-3 (vers la droite) :

  m_{\mathrm{C}} \ddot{x}_2 = - k \Delta \ell_{12} + k \Delta \ell_{23} = k(x_1 - 2x_2 + x_3).

• Pour l'atome d'oxygène 3 (masse m_{\mathrm{O}}), soumis à la seule tension du ressort 2-3 (vers la gauche) :

  m_{\mathrm{O}} \ddot{x}_3 = - k \Delta \ell_{23} = k(x_2 - x_3).

Le système des équations du mouvement s'écrit donc :

La molécule est un système isolé, non soumis à des forces extérieures le long de son axe.

En sommant membre à membre les trois équations du mouvement obtenues à la question 1, la somme des forces intérieures s'annule conformément au principe des actions réciproques :

En introduisant la masse totale M = 2m_{\mathrm{O}} + m_{\mathrm{C}} et le déplacement du centre de masse par rapport à sa position d'équilibre :

l'équation précédente se réécrit :

Dans un référentiel galiléen, le centre de masse des trois atomes est donc en mouvement rectiligne et uniforme (et reste fixe si la molécule est initialement au repos dans ce référentiel).

D'après les équations du mouvement obtenues à la question 1, en posant x_2(t) = 0 pour tout t :

L'équation (2) impose à tout instant :

Sous cette condition, les équations (1) et (3) sont identiques et s'écrivent :

Il s'agit de l'équation différentielle d'un oscillateur harmonique non amorti. Elle admet des solutions sinusoïdales non nulles oscillant à la pulsation \omega_s :

Une telle solution existe donc bien, et la pulsation associée vaut :

D'après la question 1, les équations du mouvement des trois atomes sont :

En posant la condition x_1(t) = x_3(t), la troisième équation devient identique à la première. Le système se réduit à deux équations :

Cherchons une solution où les deux masses oscillent à la même pulsation \omega_a sous la forme x_1(t) = X_1 \cos(\omega_a t + \phi) et x_2(t) = X_2 \cos(\omega_a t + \phi), avec (X_1, X_2) \neq (0,0). En reportant dans le système, on obtient :

En combinant ces deux relations, on retrouve la condition de centre de masse fixe établie à la question 2 :

En reportant cette relation dans la première équation pour X_1 \neq 0 :

On en déduit l'existence d'une telle solution harmonique pour :

Une onde électromagnétique monochromatique plane de pulsation \omega a pour période temporelle :

Sa longueur d'onde \lambda, qui représente la période spatiale de l'onde se propageant à la vitesse c dans le vide, est donnée par la relation fondamentale :

soit :

D'après la question 5, la longueur d'onde associée à une pulsation \omega est \lambda = \frac{2\pi c}{\omega}, d'où l'expression du nombre d'onde spectroscopique :

Le rapport des nombres d'onde spectroscopiques s'identifie donc au rapport des pulsations propres déterminées aux questions 3 et 4 :

où M_{\mathrm{O}} \simeq 16{,}0\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} et M_{\mathrm{C}} \simeq 12{,}0\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} sont les masses molaires respectives de l'oxygène et du carbone.

La vérification numérique consiste ainsi à comparer :

• le rapport théorique sans paramètre ajustable :

  \left(\frac{n_a}{n_s}\right)_{\text{th}} = \sqrt{1 + \frac{2 \times 16{,}0}{12{,}0}} = \sqrt{\frac{11}{3}} \simeq 1{,}91

• le rapport expérimental mesuré :

  \left(\frac{n_a}{n_s}\right)_{\text{exp}} = \frac{2349}{1388} \simeq 1{,}69

L'énergie mécanique E_m du système à trois atomes est la somme de son énergie cinétique E_c et de son énergie potentielle E_p :

L'énergie cinétique est la somme des énergies cinétiques de translation longitudinale des trois atomes :

L'énergie potentielle comprend trois contributions élastiques, en choisissant l'origine des énergies potentielles à la configuration d'équilibre (x_1 = x_2 = x_3 = 0) :

• la liaison \mathrm{O}_1-\mathrm{C}_2, de raideur k, dont l'allongement algébrique par rapport à l'équilibre vaut x_2 - x_1 ;
• la liaison \mathrm{C}_2-\mathrm{O}_3, de raideur k, dont l'allongement algébrique vaut x_3 - x_2 ;
• l'interaction directe \mathrm{O}_1-\mathrm{O}_3, modélisée par un ressort de raideur k', dont l'allongement algébrique vaut x_3 - x_1.

L'énergie potentielle s'écrit donc :

On en déduit l'expression de l'énergie mécanique :

Pour des oscillations de faible amplitude autour de la position d'équilibre (x_1, x_2, x_3) = (0, 0, 0) :

• L'énergie potentielle E_p(x_1, x_2, x_3) se développe en série de Taylor. En prenant E_p(0, 0, 0) = 0, les termes d'ordre 1 s'annulent car la position d'équilibre correspond à un extremum de potentiel. Au premier ordre non nul (approximation harmonique), E_p est une forme quadratique des déplacements.

• Invariance par translation : une translation globale de la molécule (x_i \to x_i + \delta) ne modifie pas son énergie interne. Par conséquent, E_p ne peut dépendre que des déplacements relatifs x_i - x_j. Toute forme quadratique invariante par translation s'écrit de manière unique sous la forme :

  E_p = \frac{1}{2} k_{12}(x_2 - x_1)^2 + \frac{1}{2} k_{23}(x_3 - x_2)^2 + \frac{1}{2} k_{13}(x_3 - x_1)^2

  ce qui correspond précisément à un réseau de trois ressorts reliant chaque paire d'atomes.

• Symétrie de la molécule : la molécule \mathrm{O}=\mathrm{C}=\mathrm{O} est centrosymétrique, donc invariante par échange des deux atomes d'oxygène 1 et 3 (associé à une inversion de l'axe : x_1 \leftrightarrow -x_3 et x_2 \leftrightarrow -x_2). Cette symétrie impose :

  k_{12} = k_{23} = k \quad \text{et} \quad k_{13} = k'

Il n'existe ainsi que deux paramètres indépendants (k et k') pour caractériser le potentiel harmonique d'une molécule linéaire triatomique symétrique.

La modélisation par ces trois ressorts est donc la plus générale pour décrire les oscillations longitudinales de faible amplitude.

D'après l'expression de l'énergie potentielle obtenue à la question 7 :

les forces s'exerçant sur chaque atome dérivent de cette énergie potentielle :

Les équations du mouvement s'écrivent donc :

1. Mode symétrique : comme à la question 3, x_2(t) = 0. L'équation (2) impose x_1(t) + x_3(t) = 0, soit x_3(t) = -x_1(t) (le centre de masse reste fixe). L'équation (1) devient :

d'où l'équation d'un oscillateur harmonique de pulsation :

2. Mode asymétrique : comme à la question 4, x_1(t) = x_3(t). La déformation du ressort reliant directement les deux atomes d'oxygène est alors nulle à tout instant :

Le ressort de raideur k' n'exerce donc aucune force sur les atomes dans ce mode. Les équations du mouvement sont strictement identiques à celles de la question 4, et l'on retrouve :

Effet qualitatif du terme supplémentaire :

• Pour le mode symétrique, les atomes d'oxygène oscillent en opposition de phase ; le ressort supplémentaire k' travaille et augmente la raideur effective du mode (k \to k + 2k'), ce qui augmente la pulsation \omega_s (en supposant k' > 0).
• Pour le mode asymétrique, la distance entre les atomes d'oxygène est invariante au cours du temps ; le ressort k' n'est pas sollicité et la pulsation \omega_a reste inchangée.
• Le rapport \omega_a/\omega_s est donc diminué par la présence de ce couplage direct.

Considérons une onde plane progressive monochromatique polarisée rectilignement de vecteur d'onde \vec{k} et de pulsation \omega. Le champ électrique s'écrit :

où \vec{E}_0 est un vecteur constant perpendiculaire à \vec{k} (onde transverse).

Soit O un point quelconque de la molécule pris comme origine. Notons a la dimension caractéristique de la molécule. Pour toute charge q_i (noyaux et électrons) située en \vec{r}_i = \vec{OM}_i, on a \|\vec{r}_i\| \sim a. L'hypothèse \lambda \gg a se traduit par :

La phase spatiale est donc très petite devant 1 sur toute l'étendue de la molécule. On peut effectuer un développement limité au premier ordre au voisinage de \vec{r} = \vec{0} :

La résultante des forces électriques subies par l'ensemble des constituants de la molécule s'écrit :

La molécule étant globalement neutre, la charge totale est nulle :

Le terme d'ordre 0 disparaît donc. Le barycentre des charges positives et celui des charges négatives permettant de définir le moment dipolaire électrique \vec{p} = \sum_i q_i \vec{r}_i (indépendant de l'origine O choisie en vertu de la neutralité), le terme d'ordre 1 devient :

À tout instant, la résultante de la force électrique exercée sur la molécule est colinéaire à la polarisation \vec{E}_0 et directement proportionnelle à \vec{p}\cdot\vec{k}, c'est-à-dire à la projection du moment dipolaire sur le vecteur d'onde.

La condition de validité de l'approximation dipolaire établie à la question précédente est :

où a désigne la taille caractéristique de la molécule de dioxyde de carbone, de l'ordre de grandeur d'une distance interatomique :

• Lumière visible : les longueurs d'onde s'étendent typiquement de \lambda \approx 400\text{ nm} à 800\text{ nm}. Le rapport des échelles vaut donc :

  \frac{\lambda}{a} \sim 10^{3} \gg 1

  L'approximation dipolaire est par conséquent très bien vérifiée dans le domaine visible.

• Domaine infrarouge : les longueurs d'onde sont encore plus grandes, s'étendant de 0{,}8\ \mu\text{m} à 1\text{ mm} (typiquement de 4\ \mu\text{m} à 15\ \mu\text{m} pour les modes de vibration du \mathrm{CO}_2 considérés en partie I). Le rapport vaut :

  \frac{\lambda}{a} \sim 10^{4} \text{ à } 10^{6} \gg 1

  L'approximation dipolaire est donc a fortiori parfaitement vérifiée dans l'infrarouge.

À l'équilibre (en l'absence de vibration), la molécule de dioxyde de carbone \mathrm{CO}_2 présente une géométrie linéaire et symétrique \mathrm{O}=\mathrm{C}=\mathrm{O}, le carbone occupant le centre de symétrie de la molécule.

Bien que chaque liaison \mathrm{C}-\mathrm{O} soit polarisée (l'oxygène étant plus électronégatif que le carbone), les deux moments dipolaires de liaison sont colinéaires, de même norme et de sens opposés. Par symétrie (invariance par inversion par rapport au carbone), la somme vectorielle des moments dipolaires de liaison est nulle :

La molécule de \mathrm{CO}_2 ne possède donc aucun moment dipolaire électrique permanent.

L'atome d'oxygène étant plus électronégatif que le carbone, on modélise la polarité des liaisons par des charges effectives -\delta sur les atomes d'oxygène (1 et 3) et +2\delta sur le carbone (2), avec \delta > 0. Les positions instantanées selon l'axe moléculaire (Ox) s'écrivent X_1(t) = -d + x_1(t), X_2(t) = x_2(t) et X_3(t) = d + x_3(t), où d est la distance d'équilibre \mathrm{C-O}. Le moment dipolaire le long de l'axe s'écrit :

1. Molécule de \mathrm{CO}_2 :

• Mode d'élongation symétrique (\omega_s) : d'après la question 3, x_2(t) = 0 et x_1(t) = -x_3(t). Il vient :

  \vec{p}(t) = \delta(0 - x_1 + x_1)\,\vec{u}_x = \vec{0}

  Le centre de charge négative reste confondu avec le centre de charge positive (le carbone) : le moment dipolaire reste nul à tout instant. Ce mode n'entraîne aucune variation du moment dipolaire.

• Mode d'élongation asymétrique (\omega_a) : d'après la question 4, x_1(t) = x_3(t) et x_2(t) = -2\frac{m_{\mathrm{O}}}{m_{\mathrm{C}}}x_1(t). On a :

  \vec{p}(t) = -2\delta\left(1 + \frac{2m_{\mathrm{O}}}{m_{\mathrm{C}}}\right)x_1(t)\,\vec{u}_x \neq \vec{0}

  Ce mode entraîne une variation temporelle non nulle du moment dipolaire.

• Mode de flexion (n_f) : l'atome de carbone se déplace perpendiculairement à l'axe joignant les deux atomes d'oxygène. La molécule n'étant plus linéaire, le barycentre des charges positives ne coïncide plus avec celui des charges négatives. Un moment dipolaire transverse non nul oscille à la fréquence du mode. Ce mode entraîne une variation du moment dipolaire.

2. Cas des molécules \mathrm{N}_2 et \mathrm{O}_2 : Les molécules de diazote \mathrm{N}_2 et de dioxygène \mathrm{O}_2 sont homonucléaires et centrosymétriques. Les deux atomes identiques portent une charge partielle rigoureusement nulle (\delta = 0). Quel que soit l'écartement des atomes au cours de leur unique mode de vibration (élongation), le barycentre des charges positives coïncide toujours avec celui des charges négatives :

La particule de charge q est soumise au champ électrique E(t) = E\cos(\omega t) selon l'axe x. La force électrique s'écrit :

Le déplacement de la particule est donné sous forme complexe par \underline{x}(t) = \underline{C} e^{i\omega t}. En notant \underline{C} = C_r + i C_i avec C_r = \operatorname{Re}(\underline{C}) et C_i = \operatorname{Im}(\underline{C}), la position réelle s'écrit :

La vitesse instantanée de la particule est donc :

La puissance instantanée développée par la force électrique est :

En moyennant sur une période T = \frac{2\pi}{\omega}, sachant que \langle \cos(\omega t)\sin(\omega t) \rangle = 0 et \langle \cos^2(\omega t) \rangle = \frac{1}{2}, on obtient :

On peut également retrouver directement ce résultat par la formule de la puissance moyenne en représentation complexe pour deux grandeurs harmoniques :

La puissance moyenne est donc bien proportionnelle à la partie imaginaire de \underline{C} :

La constante de proportionnalité vaut ainsi -\frac{1}{2} q \omega E.

Le champ électrique est uniforme le long de l'axe x et s'écrit \vec{E}(t) = E \cos(\omega t)\,\vec{u}_x. La particule portant la charge électrique q, la force électrostatique qu'elle subit s'écrit :

En réécrivant l'équation différentielle du mouvement sous la forme du principe fondamental de la dynamique :

on identifie les différents termes :

• m\ddot{x} est le terme d'inertie (masse fois accélération de la particule).
• -m\omega_0^2 x est une force de rappel élastique (ou harmonique), linéaire en le déplacement x, qui tend à ramener la particule vers sa position d'équilibre x=0 avec la pulsation propre \omega_0.
• -m\alpha\dot{x} est une force d'amortissement visqueux (frottement fluide), proportionnelle et opposée à la vitesse, modélisant les pertes d'énergie (rayonnement dipolaire, collisions intermoléculaires).
• F_e(t) est la force motrice extérieure exercée par l'onde électromagnétique excitatrice de pulsation \omega.

La puissance développée par la force de frottement est \mathcal{P}_{\text{diss}} = (-m\alpha\dot{x})\dot{x} = -m\alpha\dot{x}^2. Pour que ce terme soit effectivement dissipatif (perte d'énergie mécanique, \mathcal{P}_{\text{diss}} \le 0) et garantisse la stabilité de la position d'équilibre, le coefficient \alpha doit être strictement positif :

L'équation différentielle régissant le mouvement de la particule s'écrit (d'après la question Q15) :

En passant en représentation complexe avec \underline{x}(t) = \underline{C} e^{i\omega t} et \underline{F}_e(t) = q E e^{i\omega t}, les dérivées temporelles s'écrivent :

L'équation différentielle devient alors :

En simplifiant par le terme oscillant e^{i\omega t} \neq 0, on obtient l'amplitude complexe du régime sinusoïdal forcé :

D'après la question Q14, la puissance moyenne exercée par le champ électrique sur la particule s'exprime par :

D'après la question Q16, l'amplitude complexe du déplacement s'écrit :

En multipliant le numérateur et le dénominateur par le complexe conjugué du dénominateur, on obtient :

La partie imaginaire de \underline{C} vaut donc :

En injectant cette relation dans l'expression de la puissance moyenne, les deux signes moins se compensent, ce qui donne :

D'après l'expression établie à la question 17 :

Comme \alpha > 0 (question 15), m > 0 et \omega > 0, tous les termes du numérateur et du dénominateur sont strictement positifs, d'où :

Le champ électrique de l'onde fournit donc en moyenne une puissance strictement positive à la particule chargée.

En vertu du principe de conservation de l'énergie (théorème de Poynting en moyenne temporelle), cette puissance reçue par la matière est prélevée sur l'énergie du rayonnement incident. Le flux de puissance transporté par l'onde électromagnétique diminue au fur et à mesure de sa traversée du milieu : l'onde est donc partiellement absorbée. En régime permanent, cette énergie cédée à la particule est intégralement dissipée sous forme thermique par le terme d'amortissement \alpha \dot{x}.

Le coefficient de frottement \alpha est homogène à l'inverse d'un temps, c'est-à-dire à une pulsation. L'amortissement est dit faible lorsque ce taux de relaxation est très petit devant la pulsation propre de l'oscillateur :

ce qui équivaut à un facteur de qualité très élevé : Q = \dfrac{\omega_0}{\alpha} \gg 1.

D'après le résultat de la question 17 :

Dans la limite d'un amortissement faible (\alpha \ll \omega_0) :

• La puissance absorbée tend vers 0 en \omega \to 0 (en \omega^2) et en \omega \to +\infty (en 1/\omega^2).

• Elle admet un maximum très aigu exactement à la pulsation propre \omega = \omega_0 (résonance de puissance ou de vitesse) :

  \langle \mathcal{P} \rangle_{\max} = \langle \mathcal{P} \rangle(\omega_0) = \frac{q^2 E^2}{2m\alpha}

• Les pulsations de coupure à mi-hauteur \omega_{1,2} vérifient \dfrac{\omega_0^2 - \omega^2}{\alpha\omega} = \pm 1. Au voisinage de \omega_0 (\omega \approx \omega_0), on a \omega_0^2 - \omega^2 \approx 2\omega_0(\omega_0 - \omega), d'où :

  \omega \approx \omega_0 \mp \frac{\alpha}{2}

  La largeur de la bande d'absorption à mi-hauteur est donc :

  \Delta \omega = \alpha \ll \omega_0

Le spectre d'absorption présente donc une raie de résonance lorentzienne très étroite et quasi-symétrique centrée sur \omega_0.

L'équation du mouvement (1) avec \alpha = 0 et la force électrique F_e(t) = q E \cos(\omega t) = \mathrm{Re}\left(q E e^{i\omega t}\right) s'écrit en représentation complexe :

En dérivant deux fois par rapport au temps la forme proposée \underline{x}(t) = \underline{A} e^{i\omega t} + \underline{B} e^{i\omega_0 t}, on obtient :

En réinjectant cette expression dans l'équation différentielle, il vient :

Le terme associé à la pulsation propre \omega_0 s'annule identiquement, car il correspond à la solution générale de l'équation homogène. Pour que l'égalité soit vérifiée à tout instant t (en supposant \omega \neq \omega_0), on identifie les amplitudes devant e^{i\omega t} :

D'après la question Q20, le coefficient \underline{A} correspond à la réponse forcée non amortie à la pulsation de l'onde :

La dernière collision ayant eu lieu à l'instant t_c = t - \theta, la condition de Lorentz impose \underline{x}(t - \theta) = 0, soit :

On en déduit l'expression du coefficient \underline{B} :

En réinjectant cette expression dans la forme générale \underline{x}(t) = \underline{A} e^{i\omega t} + \underline{B} e^{i\omega_0 t}, on obtient :

La solution se met donc sous la forme \underline{x}(t) = \underline{C} e^{i\omega t} avec :

Soit \Pi(\theta) la probabilité qu'une molécule ne subisse aucune collision pendant une durée \theta.

Considérons une durée \theta + \mathrm{d}\theta. En supposant les collisions statistiquement indépendantes au cours d'intervalles de temps disjoints (processus sans mémoire), l'absence de collision sur une durée \theta + \mathrm{d}\theta équivaut à l'absence de collision sur une durée \theta et l'absence de collision pendant l'intervalle élémentaire \mathrm{d}\theta suivant :

En développant au premier ordre en \mathrm{d}\theta :

On en déduit l'équation différentielle régissant \Pi(\theta) :

Sachant qu'à durée nulle aucune collision n'a pu avoir lieu (\Pi(0) = 1), la solution s'écrit :

La variable \theta désignant le temps écoulé depuis la dernière collision, l'événement « la dernière collision a eu lieu entre \theta et \theta + \mathrm{d}\theta » correspond à :

• aucune collision pendant la durée \theta précédant l'instant t (probabilité \Pi(\theta)) ;
• une collision dans l'intervalle de temps élémentaire \mathrm{d}\theta antérieur (probabilité \mathrm{d}\theta/\tau).

Par indépendance de ces événements, la probabilité recherchée est :

On en déduit la densité de probabilité :

D'après la question Q21, l'amplitude complexe pour un temps écoulé \theta depuis le dernier choc s'écrit :

avec \underline{A} = \dfrac{qE}{m(\omega_0^2 - \omega^2)} (question Q20).

La moyenne de \underline{C} selon la distribution P(\theta) = \dfrac{1}{\tau}\mathrm{e}^{-\theta/\tau} (\theta \ge 0) est donnée par :

Comme \operatorname{Re}\left(\frac{1}{\tau} + i(\omega - \omega_0)\right) = \frac{1}{\tau} > 0, l'intégrale converge :

Il vient ainsi :

En remarquant que \underline{A} = -\dfrac{qE}{m(\omega - \omega_0)(\omega + \omega_0)}, le facteur (\omega - \omega_0) se simplifie :

D'après la question 23, l'amplitude complexe moyenne s'écrit :

En multipliant le numérateur et le dénominateur par le conjugué 1 - i(\omega - \omega_0)\tau, on obtient :

Comme -\frac{qE}{m(\omega + \omega_0)} est un facteur réel, la partie imaginaire de \langle \underline{C} \rangle vaut :

En injectant cette relation dans le résultat de la question 14, \langle \mathcal{P} \rangle = -\frac{1}{2} q \omega E \operatorname{Im}(\langle \underline{C} \rangle), on trouve :

Puisque les grandeurs q^2, E^2, \omega, \tau, m ainsi que (\omega + \omega_0) et le dénominateur sont strictement positifs, on en déduit que :

Rappelons l'expression de la puissance moyenne obtenue à la question 17 :

Au voisinage immédiat de la résonance, |\omega - \omega_0| \ll \omega_0, nous pouvons approximer :

En remplaçant également \omega par \omega_0 dans les termes d'ordre dominant en facteur de l'amortissement faible, il vient :

L'expression de la puissance moyenne se simplifie donc sous forme lorentzienne :

Considérons maintenant le résultat obtenu à la question 24 :

Pour \omega proche de \omega_0, le facteur cinétique vaut :

L'hypothèse d'un temps \tau suffisamment grand (\omega_0 \tau \gg 1) assure que le pic d'absorption est très piqué autour de \omega_0. En divisant le numérateur et le dénominateur par \tau^2, on obtient :

Par comparaison directe entre les deux expressions, on constate qu'elles coïncident parfaitement en posant :

L'équation du mouvement (1) avec \alpha = 0 s'écrit en représentation complexe :

Il s'agit d'une équation différentielle linéaire scalaire du second ordre à coefficients constants. L'équation caractéristique associée à l'équation homogène est :

L'espace des solutions complexes de l'équation homogène est donc un espace vectoriel de dimension 2 engendré par la base \{e^{i\omega_0 t}, \, e^{-i\omega_0 t}\}. La solution générale s'écrit sous la forme :

où \underline{A} \, e^{i\omega t} est une solution particulière du régime forcé (déterminée à la question 20), et \underline{B}_1, \underline{B}_2 \in \mathbb{C} sont deux constantes d'intégration indépendantes.

En comparant avec l'équation (2) :

il apparaît qu'il manque le terme oscillant à la pulsation -\omega_0.

D'après la question Q26, la forme générale de la solution complexe de l'équation du mouvement sans amortissement est :

où \underline{A} = \dfrac{qE}{m(\omega_0^2 - \omega^2)} (question Q20). La dérivée temporelle s'écrit :

Notons t_0 = t - \theta l'instant de la collision. Les conditions \underline{x}(t_0) = 0 et \underline{\dot{x}}(t_0) = 0 se traduisent par le système :

En sommant et en soustrayant membre à membre ces deux équations, on obtient :

La solution exacte s'écrit donc :

Justifions l'approximation de l'équation (2) lorsque \omega est proche de \omega_0 (|\omega - \omega_0| \ll \omega_0) :

• Pour le premier mode propre :

  \frac{\omega + \omega_0}{2\omega_0} \xrightarrow[\omega \to \omega_0]{} 1 \quad \implies \quad \underline{B}_1 \approx -\underline{A} e^{i(\omega - \omega_0)(t-\theta)} = \underline{B}

  qui redonne fidèlement le coefficient \underline{B} déterminé à la question Q21.

• Pour le second mode propre :

  \left| \frac{\underline{B}_2}{\underline{B}_1} \right| = \frac{|\omega - \omega_0|}{\omega + \omega_0} \approx \frac{|\omega - \omega_0|}{2\omega_0} \ll 1

L'amplitude du terme en e^{-i\omega_0 t} est du premier ordre en (\omega - \omega_0)/\omega_0, donc négligeable devant celle du terme en e^{i\omega_0 t}. L'équation (2) constitue donc une excellente approximation au voisinage de la résonance.

En l'absence de collisions et de tout autre mécanisme dissipatif (\tau \to \infty, soit \alpha \to 0), la réponse forcée de la molécule divergerait à la résonance \omega = \omega_0 : la raie d'absorption serait infiniment fine (profil en pic de Dirac).

D'après la question 25, les collisions moléculaires aléatoires interrompent la cohérence de phase des oscillations et sont équivalentes, au voisinage de chaque mode propre de vibration \omega_0, à un amortissement effectif :

D'après l'étude menée aux questions 17 et 19, cet amortissement entraîne deux effets majeurs sur le spectre d'absorption :

• Élargissement de la raie d'absorption : le spectre prend un profil lorentzien centré sur \omega_0, doté d'une largeur à mi-hauteur non nulle :

  \Delta \omega \approx \alpha = \frac{2}{\tau}

  La molécule absorbe ainsi le rayonnement sur une bande continue de pulsations autour de ses pulsations propres de vibration.

• Diminution de la résonance en pointe : l'absorption maximale à pulsation de résonance est finie et varie en \langle \mathcal{P} \rangle_{\max} \propto \tau \propto 1/\alpha.

L'atmosphère étant modélisée comme un gaz parfait, l'équation d'état reliant la pression P, le volume V, la quantité de matière n et la température T s'écrit :

En injectant cette relation dans l'équation de la statique des fluides fournie par l'énoncé, on obtient :

L'énoncé précise par ailleurs que le gradient vertical de température est constant :

En éliminant l'altitude z par division membre à membre des deux gradients :

En séparant les variables :

On intègre cette relation entre le niveau du sol (z = 0, où P=P(0) et T=T(0)) et l'altitude z :

ce qui donne immédiatement :

En prenant l'exponentielle, on retrouve la loi polytropique recherchée :

D'après l'expression établie à la question précédente :

Avec les valeurs numériques fournies par l'énoncé, exprimées dans le système international :

• R = 8\text{ J}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} ;
• \Gamma = 6\text{ K}\cdot\text{km}^{-1} = 6 \times 10^{-3}\text{ K}\cdot\text{m}^{-1} ;
• M = 30\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} = 30 \times 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1} ;
• g = 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}.

L'application numérique donne :

La relation entre température et pression s'écrit :

Comme 0 < \beta < 1, la température T est une fonction strictement croissante de la pression P, concave, présentant une tangente verticale en P = 0 et passant par le point (P(0),\, T(0)).

La puissance surfacique moyenne absorbée par la Terre s'obtient en retranchant la fraction réfléchie (l'albédo \alpha) de la puissance surfacique incidente moyenne \Phi :

D'après la loi de Stefan-Boltzmann, la puissance surfacique totale (ou émittance) rayonnée par un corps noir à l'équilibre à la température T_E dans un demi-espace vaut :

où \sigma est la constante de Stefan-Boltzmann.

En égalant la puissance surfacique rayonnée par ce corps noir à celle absorbée par la Terre, M^\circ(T_E) = \Phi_{\mathrm{abs}}, il vient :

d'où l'expression de la température d'émission équivalente T_E :

La fraction molaire x de \mathrm{CO}_2 étant uniforme dans l'atmosphère, la concentration molaire en dioxyde de carbone à l'altitude z' s'écrit :

Par définition, \mu(z) représente le nombre total de moles de \mathrm{CO}_2 contenues dans une colonne atmosphérique de section unité s'étendant de l'altitude z à l'infini :

D'après la relation de la statique des fluides rappelée à la question Q29, on a :

En intégrant entre z et +\infty, et en notant que la pression s'annule aux confins de l'atmosphère (P(+\infty) = 0), il vient :

L'altitude effective d'émission h est définie par la condition critique \mu(h) = \mu_c. On en déduit immédiatement la pression atmosphérique P(h) à cette altitude :

D'après l'énoncé, la température de l'atmosphère à l'altitude d'émission h est égale à la température de rayonnement T_E déterminée à la question 31 :

En appliquant la relation polytropique établie à la question 29 entre le sol (z = 0) et l'altitude z = h, on obtient :

En injectant l'expression de la pression P(h) = \dfrac{\mu_c M g}{x} obtenue à la question 32, il vient :

Comme l'exposant \beta = \dfrac{R\Gamma}{M g} \approx 0{,}16 est strictement positif, la température au sol est une fonction strictement croissante de la fraction molaire x en dioxyde de carbone :

Une augmentation de la concentration en \mathrm{CO}_2 dans l'atmosphère entraîne ainsi une augmentation de la température au sol.

L'aire sous la courbe du spectre d'émission d'un corps noir correspond à la puissance totale rayonnée par unité de surface dans tout le demi-espace, c'est-à-dire à l'émittance totale (ou flux surfacique total émis) \Phi(T) :

D'après la loi de Stefan-Boltzmann, l'émittance totale d'un corps noir à l'équilibre thermique à la température T est donnée par :

où \sigma est la constante de Stefan-Boltzmann.

L'aire sous un spectre de corps noir est donc proportionnelle à la quatrième puissance de la température absolue :

D'après la loi du rayonnement de Planck, la puissance spectrale émise par unité de surface dans l'intervalle [n, n + \mathrm{d}n] s'écrit sous la forme :

où C_1 = 2\pi h c^2 est une constante, h la constante de Planck et k_B la constante de Boltzmann.

En introduisant la variable sans dimension u = \frac{h c n}{k_B T}, cette densité spectrale s'écrit :

La fonction g(u) = \frac{u^3}{\mathrm{e}^u - 1} ne dépend que de u et présente un maximum unique pour une valeur numérique fixe u_{\max} \approx 2{,}82 (solution de 3(1 - \mathrm{e}^{-u}) = u).

La position du maximum n_{\max} vérifie donc :

Le nombre d'onde spectroscopique au maximum d'émission est donc directement proportionnel à la température absolue :

La puissance totale rayonnée par la Terre vers l'espace par unité de surface correspond à l'intégrale du flux spectral sur l'ensemble des nombres d'onde :

ce qui représente géométriquement l'aire sous la courbe en trait plein de la figure 1.

Un rectangle délimité par les graduations principales du graphique a pour dimensions :

L'aire d'un tel carreau équivaut donc à une puissance surfacique :

Estimons le nombre de carreaux situés sous la courbe en sommant les contributions par intervalles de largeur \Delta n = 200\text{ cm}^{-1} :

• [0, 200]\text{ cm}^{-1} : hauteur moyenne \approx 0{,}05\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{cm}, soit \approx 1{,}0 carreau ;
• [200, 400]\text{ cm}^{-1} : hauteur moyenne \approx 0{,}18\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{cm}, soit \approx 3{,}5 carreaux ;
• [400, 600]\text{ cm}^{-1} : hauteur moyenne \approx 0{,}23\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{cm}, soit \approx 4{,}5 carreaux ;
• [600, 800]\text{ cm}^{-1} (creux d'absorption du \mathrm{CO}_2) : hauteur moyenne \approx 0{,}13\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{cm}, soit \approx 2{,}5 carreaux ;
• [800, 1000]\text{ cm}^{-1} (fenêtre atmosphérique) : hauteur moyenne \approx 0{,}33\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{cm}, soit \approx 6{,}5 carreaux ;
• [1000, 1200]\text{ cm}^{-1} (avec absorption de l'ozone) : hauteur moyenne \approx 0{,}18\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{cm}, soit \approx 3{,}5 carreaux ;
• [1200, 1400]\text{ cm}^{-1} : hauteur moyenne \approx 0{,}09\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{cm}, soit \approx 1{,}8 carreau ;
• [1400, 1600]\text{ cm}^{-1} : hauteur moyenne \approx 0{,}02\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{cm}, soit \approx 0{,}4 carreau.

Le nombre total de carreaux sous le spectre est de l'ordre de :

On en déduit l'estimation numérique de la puissance surfacique rayonnée :

L'augmentation de la fraction molaire x de \mathrm{CO}_2 modifie le spectre d'émission vers l'espace selon deux aspects complémentaires :

• Dans la bande d'absorption du \mathrm{CO}_2 (n \approx 667\text{ cm}^{-1}) :
  D'après la question Q32, la pression au niveau d'émission vers l'espace vérifie P(h) = \frac{\mu_c M g}{x}. Si x augmente, P(h) diminue, ce qui signifie que l'altitude d'émission h augmente. La troposphère étant caractérisée par un gradient de température négatif (\mathrm{d}T/\mathrm{d}z = -\Gamma < 0), l'émission s'effectue depuis des couches plus froides. Par conséquent, l'émission diminue au niveau du creux d'absorption (il se creuse davantage) et la bande d'absorption s'élargit (ses ailes s'évasent car les régions du spectre où l'absorption était initialement faible atteignent à leur tour le seuil d'opacité \mu_c).

• Dans le reste du spectre, notamment la fenêtre de transparence (800\text{ à }1200\text{ cm}^{-1}) :
  L'équilibre thermique avec le flux solaire incident impose que la puissance totale surfacique réémise vers l'espace reste constante :

  \int_0^\infty \frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}n}\,\mathrm{d}n = (1-\alpha)\Phi = \text{cste}

  L'aire totale sous la courbe du spectre doit donc être strictement conservée. Le déficit de flux provoqué par l'élargissement et le creusement de la bande du \mathrm{CO}_2 doit nécessairement être compensé par une augmentation de l'émission dans les fenêtres atmosphériques transparentes. Comme ce rayonnement provient directement de la surface terrestre, la température au sol T(0) augmente (conformément au résultat de la question Q33), ce qui hausse le spectre hors de la bande d'absorption (la courbe y suit un spectre de corps noir de température supérieure à 288\text{ K}).