Corrigé détaillé X ENS Physique SI MP 2021

1. Signification physique des « ressorts »

Les ressorts modélisent les interactions de cohésion interatomiques (forces électrostatiques attractives et répulsives entre les ions ou atomes voisins dans le réseau cristallin).

Au voisinage de la position d'équilibre mécanique de la maille, l'énergie potentielle d'interaction interatomique E_{\mathrm{p}}(x) présente un minimum. Un développement de Taylor au second ordre (approximation harmonique) s'écrit :

La force d'interaction correspondante, F = -\dfrac{\mathrm{d}E_{\mathrm{p}}}{\mathrm{d}x}, est donc linéaire par rapport à l'écart à l'équilibre, ce qui justifie parfaitement le comportement élastique linéaire régi par la loi de Hooke (constantes de raideur K_1 et K_2).

2. Condition portant sur la variable x_{\mathrm{B}}

Cette approximation harmonique n'est valable que pour des déformations faibles devant les distances interatomiques caractéristiques à l'état de référence. La variable x_{\mathrm{B}}, qui mesure la variation d'abscisse du bord droit de la maille (déformation globale de la maille), doit donc respecter la condition de petites déformations :

Les déplacements algébriques des points \mathrm{P}, \mathrm{N} et \mathrm{B} le long de l'axe (\mathrm{O}, x) par rapport à leurs positions de repos sont notés respectivement x_{\mathrm{P}}, x_{\mathrm{N}} et x_{\mathrm{B}}, l'extrémité \mathrm{A} étant fixe en x = 0.

Équilibre du barycentre \mathrm{P} (charge +q) : Le point \mathrm{P} est soumis à :

• la force de rappel du ressort de raideur K_1 lié à \mathrm{A} : \vec{F}_{1 \to \mathrm{P}} = -K_1 x_{\mathrm{P}} \vec{e}_x ;
• la force de rappel du ressort de raideur K_2 lié à \mathrm{B} : \vec{F}_{2 \to \mathrm{P}} = K_2 (x_{\mathrm{B}} - x_{\mathrm{P}}) \vec{e}_x ;
• la force électrostatique : \vec{F}_{\mathrm{e},\mathrm{P}} = q E \vec{e}_x.

À l'équilibre, la somme de ces forces est nulle, ce qui donne en projection sur \vec{e}_x :

Équilibre du barycentre \mathrm{N} (charge -q) : Le point \mathrm{N} est soumis à :

• la force de rappel du ressort de raideur K_2 lié à \mathrm{A} : \vec{F}_{2 \to \mathrm{N}} = -K_2 x_{\mathrm{N}} \vec{e}_x ;
• la force de rappel du ressort de raideur K_1 lié à \mathrm{B} : \vec{F}_{1 \to \mathrm{N}} = K_1 (x_{\mathrm{B}} - x_{\mathrm{N}}) \vec{e}_x ;
• la force électrostatique : \vec{F}_{\mathrm{e},\mathrm{N}} = -q E \vec{e}_x.

À l'équilibre, en projection sur \vec{e}_x :

Équilibre de l'extrémité \mathrm{B} : L'extrémité \mathrm{B} (de masse négligeable) est soumise à la force extérieure \vec{f} = f \vec{e}_x et aux forces de rappel exercées par les deux ressorts de droite :

En utilisant les relations d'équilibre (1) et (2), on remarque que K_2(x_{\mathrm{B}} - x_{\mathrm{P}}) = K_1 x_{\mathrm{P}} - qE et K_1(x_{\mathrm{B}} - x_{\mathrm{N}}) = K_2 x_{\mathrm{N}} + qE, d'où simplement :

En remplaçant x_{\mathrm{P}} et x_{\mathrm{N}} par leurs expressions :

D'après les résultats établis à la question précédente (Q2), les déplacements des barycentres \mathrm{P} et \mathrm{N} à l'équilibre s'écrivent :

La différence de position relative des deux barycentres vaut donc :

Par définition du moment dipolaire p = q(x_{\mathrm{P}} - x_{\mathrm{N}}), on en déduit :

Considérons l'assemblage de N_1 \times N_2 \times N_3 mailles élémentaires à l'équilibre :

• Selon la direction (\mathrm{O},x), le milieu est formé de N_1 mailles disposées en série. Le champ électrique extérieur \vec{E} = E\vec{e}_x étant uniforme, chaque maille subit le même champ E et transmet la même force axiale f. Les déformations x_{\mathrm{B}} de chacune des mailles d'une file sont donc identiques. L'allongement total \Delta de l'assemblage s'écrit alors :

  \Delta = N_1 x_{\mathrm{B}} \iff x_{\mathrm{B}} = \frac{\Delta}{N_1}

• Dans les directions transverses (\mathrm{O},y) et (\mathrm{O},z), l'assemblage comprend N_2 \times N_3 files de mailles disposées en parallèle. À la surface d'extrémité droite, la force extérieure totale \vec{F} = F\vec{e}_x se répartit uniformément sur chacune des files :

  F = N_2 N_3 f

D'après le résultat de la question 2, la force f à l'équilibre sur une maille s'écrit :

En substituant x_{\mathrm{B}} = \Delta / N_1 et en multipliant par N_2 N_3, on obtient l'expression de F :

D'après l'énoncé, chaque maille élémentaire est un cube de côté 2a selon les trois directions spatiales. On en déduit les dimensions macroscopiques de l'élément piézo-électrique :

• sa longueur : L = 2a \, N_1 ;
• sa section droite : S = L_y L_z = (2a \, N_2)(2a \, N_3) = 4 a^2 N_2 N_3.

D'après le résultat de la question précédente (Q4), la force totale à l'équilibre s'écrit :

En divisant par la section S = 4 a^2 N_2 N_3, la contrainte \sigma = F/S devient :

Comme N_1 = \dfrac{L}{2a}, le terme \dfrac{\Delta}{N_1} s'exprime en fonction de l'allongement relatif \Delta_r = \dfrac{\Delta}{L} selon :

En substituant cette relation, on obtient :

1. Construction et expression de la longueur caractéristique L_u^\star

Une longueur caractéristique de variation spatiale L_u^\star représente la distance sur laquelle le champ de déplacement u subit une variation relative de l'ordre de l'unité. En effectuant une analyse d'ordre de grandeur sur la dérivée spatiale :

on en déduit l'expression locale de cette longueur caractéristique :

À l'échelle globale de la structure, si u_0 désigne l'amplitude caractéristique du déplacement et (\partial u/\partial x)_{\max} le gradient spatial maximal, on peut également poser :

Pour une onde harmonique de pulsation \omega et de longueur d'onde \lambda, cette longueur est de l'ordre de L_u^\star \sim \dfrac{\lambda}{2\pi} = \dfrac{1}{k} (ou de l'ordre de la dimension macroscopique L pour les modes propres de vibration du milieu).

2. Hiérarchie des échelles de longueur

Le passage à la limite continue repose sur la définition d'un volume élémentaire mésoscopique de dimension caractéristique \mathrm{d}x. La hiérarchie requise est :

Cette double inégalité se justifie physiquement ainsi :

• Condition 2a \ll \mathrm{d}x (lissage statistique) : la tranche d'épaisseur \mathrm{d}x doit contenir un très grand nombre de mailles cristallines élémentaires (N_1^{\mathrm{meso}} \sim \mathrm{d}x/(2a) \gg 1) afin que les grandeurs continues (densité, déplacement u, contrainte \sigma, polarisation P) soient statistiquement bien définies par moyenne spatiale et affranchies des fluctuations discrètes atomiques.
• Condition \mathrm{d}x \ll L_u^\star (validité du calcul différentiel) : l'accroissement spatial \mathrm{d}x doit être suffisamment petit devant l'échelle de variation des champs macroscopiques pour que les grandeurs puissent être considérées comme quasi uniformes sur la tranche et pour justifier les développements de Taylor au premier ordre (tels que \mathrm{d}u \approx \dfrac{\partial u}{\partial x}\mathrm{d}x).

Le volume d'une maille cubique élémentaire de côté 2a vaut :

La polarisation macroscopique P s'obtient comme la densité volumique de moment dipolaire. D'après le résultat de la question Q3 pour p, on a :

À la limite continue, l'allongement d'une maille de longueur 2a au repos s'identifie à la variation locale du déplacement :

En injectant cette relation dans l'expression de P, il vient :

Par identification avec la relation constitutive P = \alpha E + \beta \frac{\partial u}{\partial x}, on déduit :

D'autre part, la contrainte établie à la question Q5 s'écrit, avec \Delta_{\mathrm{r}} = \frac{\partial u}{\partial x} :

Par identification avec la loi \sigma = A \frac{\partial u}{\partial x} - B E, on obtient :

On constate immédiatement l'égalité :

Le milieu piézo-électrique est un isolant parfait dépourvu de charges libres (\rho_{\text{libre}} = 0). Les seules charges volumiques présentes sont les charges de polarisation :

Dans le cadre de l'approximation des régimes quasi permanents (ARQP), l'équation de Maxwell-Gauss s'écrit à chaque instant :

ce qui équivaut à :

Dans le modèle unidimensionnel considéré, le champ électrique et la polarisation sont dirigés selon \vec{e}_x et ne dépendent spatialement que de la coordonnée x :

L'opérateur divergence se réduit donc à la dérivée spatiale selon x :

En utilisant la relation locale de comportement issue de l'équation (2) :

il vient :

en ayant posé la permittivité diélectrique effective \varepsilon = \varepsilon_0 + \alpha. L'annulation de la dérivée spatiale implique que la quantité \varepsilon E + \beta\,\frac{\partial u}{\partial x} est uniforme dans le milieu et ne dépend que du temps t :

En introduisant une fonction du temps f_Q(t) arbitraire à ce stade, on obtient la relation :

D'après la question Q8, la combinaison de la loi de Maxwell-Gauss et de la définition de la polarisation \vec{P} = \left(\alpha E + \beta \frac{\partial u}{\partial x}\right)\vec{e}_x conduit à :

où f_Q(t) est uniforme dans tout le domaine piézo-électrique.

Considérons l'interface à l'extrémité droite du milieu (x = L), en contact avec l'électrode métallique (D) :

• L'électrode droite porte la charge totale +Q(t) répartie uniformément sur sa surface interne d'aire S, ce qui correspond à une densité surfacique de charge libre :

  \sigma_{\text{libre}} = \frac{Q(t)}{S}

• La polarisation fait apparaître à la surface du milieu piézo-électrique une densité surfacique de charge liée \sigma_P = \vec{P}(L^-, t)\cdot \vec{n}_{\text{ext}}. La normale unitaire sortant du diélectrique étant \vec{n}_{\text{ext}} = \vec{e}_x, on a :

  \sigma_P = P(L^-, t)

La densité surfacique totale de charge à cette frontière s'écrit donc :

Appliquons la relation de passage du champ électrique à la traversée de cette surface chargée, orientée par \vec{e}_x du milieu piézo-électrique (x < L) vers le conducteur métallique (x > L) :

Le champ électrique étant nul dans le métal en régime quasi stationnaire (\vec{E}(L^+, t) = \vec{0}), sa projection sur l'axe (Ox) donne :

soit :

Or, la quantité \varepsilon_0 E(x, t) + P(x, t) ne dépend pas de x et vaut précisément f_Q(t). On en déduit :

En réinjectant cette expression dans la relation établie à la question Q8, on obtient l'équation régissant le champ électrique :

Dans le cadre de l'approximation des régimes quasi permanents (ARQS), le champ électrique dérive d'un potentiel électrostatique scalaire :

En injectant cette relation dans l'équation (3) établie à la question précédente :

il vient directement :

On intègre spatialement cette équation entre l'électrode de gauche (x = 0) et une abscisse x quelconque :

L'énoncé précise que l'électrode de gauche est maintenue fixe et sert de référence de potentiel, ce qui impose :

On en déduit l'expression du potentiel électrostatique en tout point du milieu :

La différence de potentiel \psi(t) imposée par le générateur correspond au potentiel de l'électrode de droite (x = L) par rapport à l'électrode de référence (x = 0) :

Comme |u(L,t)| \ll L, on évalue l'expression en x = L :

En introduisant la capacité géométrique C_e = \frac{\varepsilon S}{L} de l'élément piézo-électrique :

D'après la seconde équation du système (2) issue du passage à la limite continue, la contrainte mécanique locale s'écrit :

Par ailleurs, l'équation (3) établie à la question Q9 relie le champ électrique local à la déformation et à la charge macroscopique Q(t) :

En injectant l'expression de E(x, t) dans celle de \sigma(x, t), on obtient :

En utilisant la relation \beta = B démontrée à la question Q7, cette équation prend bien la forme requise :

avec les constantes :

Considérons, dans le référentiel d'étude supposé galiléen, le système fermé constitué par la tranche de matériau comprise entre les plans d'abscisses au repos x et x + \mathrm{d}x, de section droite S.

La masse de cette tranche élémentaire s'écrit :

Son accélération selon l'axe (Ox) est donnée au premier ordre par :

D'après l'énoncé, la pesanteur est négligée. Les seules forces appliquées à la tranche selon (Ox) sont les forces de contact surfaciques exercées par les parties adjacentes du milieu :

• en x + \mathrm{d}x, la partie droite (abscisses > x + \mathrm{d}x) exerce sur la tranche (située à gauche de cette interface) la force :

  \vec{F}_{\text{droite} \to \text{tranche}} = \sigma(x + \mathrm{d}x, t) \, S \, \vec{e}_x

• en x, d'après le principe des actions réciproques, la force exercée par la partie gauche (abscisses \le x) sur la tranche (située à droite de x) est l'opposée de celle exercée par la tranche sur la partie gauche :

  \vec{F}_{\text{gauche} \to \text{tranche}} = - \sigma(x, t) \, S \, \vec{e}_x

La résultante des forces s'exerçant sur la tranche est donc :

D'après le résultat de la question Q11, la contrainte s'écrit :

La charge Q(t) ne dépendant pas de l'abscisse x, la dérivée spatiale de la contrainte vaut simplement :

Le principe fondamental de la dynamique appliqué à la tranche élémentaire projeté sur \vec{e}_x s'écrit :

soit :

En simplifiant par S \, \mathrm{d}x, on obtient l'équation d'onde de d'Alembert :

avec pour coefficient c positif :

Considérons la solution d'onde harmonique sous forme complexe donnée par l'équation (6) :

En dérivant deux fois successivement par rapport au temps et par rapport à l'espace, il vient :

En injectant ces dérivées dans l'équation d'onde de d'Alembert (5), \dfrac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}, on obtient :

Pour une solution non triviale (\underline{\tilde{u}} \neq 0), on en déduit la relation de dispersion :

Structurellement, la présence d'une dérivée seconde en espace dans l'équation de d'Alembert conduit à une relation algébrique du second degré en k. À toute pulsation \omega sont donc associées deux racines opposées :

D'après la question Q13, à une pulsation \omega \in \mathbb{R}^+ sont associés les deux nombres d'onde k_+ = k = \omega/c et k_- = -k. Par linéarité de l'équation de d'Alembert, la solution monochromatique générale s'écrit sous la forme d'une superposition d'ondes planes progressives se propageant en sens inverses :

où \underline{A} et \underline{B} sont deux constantes complexes d'intégration.

L'électrode située en x = 0 étant maintenue fixe, la condition aux limites mécanique impose :

L'expression de \underline{u}(x, t) devient alors :

En posant \underline{\tilde{u}} = -2 j \underline{A} \in \mathbb{C}, on obtient bien la structure d'onde stationnaire demandée :

Considérons le système constitué de l'élément piézo-électrique entre x = 0 et x = L :

• À l'extrémité gauche (x = 0) : la surface est fixe, donc sa vitesse est nulle :

  \frac{\partial u}{\partial t}(0, t) = 0 \implies \mathcal{P}_{\text{méc}}(0, t) = 0

• À l'extrémité droite (x = L) : la surface est libre de toute contrainte extérieure, soit \sigma(L, t) = 0, d'où une puissance mécanique échangée nulle :

  \mathcal{P}_{\text{méc}}(L, t) = -S\,\sigma(L, t)\,\frac{\partial u}{\partial t}(L, t) = 0

• Sur le plan électrique : la charge est constante et nulle (Q = 0), le courant échangé avec l'extérieur est donc nul (i = \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t} = 0), ce qui implique une puissance électrique échangée nulle :

  \mathcal{P}_{\text{élec}}(t) = \psi(t)\,i(t) = 0
• Dans le volume du milieu : le comportement élastique est modélisé sans terme visqueux ni frottement interne (équation de d'Alembert purement conservative sans dérivée temporelle d'ordre un).

Le système mécanique et électrostatique est donc strictement conservatif : son énergie totale reste constante au cours du temps.

En décomposant la pulsation complexe sous la forme \omega = \omega_{\mathrm{r}} + \mathrm{j}\omega_{\mathrm{i}} avec (\omega_{\mathrm{r}}, \omega_{\mathrm{i}}) \in \mathbb{R}^2, le facteur d'évolution temporelle s'écrit :

• Si \omega_{\mathrm{i}} < 0, l'amplitude croîtrait exponentiellement au cours du temps, ce qui conduirait à une divergence de l'énergie, en violation de la conservation de l'énergie.
• Si \omega_{\mathrm{i}} > 0, l'amplitude décroîtrait exponentiellement au cours du temps, ce qui traduirait une dissipation d'énergie, impossible en l'absence de tout terme dissipatif.

Par conséquent, on a nécessairement \omega_{\mathrm{i}} = 0, ce qui assure :

Par convention, on choisit \omega \ge 0, le signe de la pulsation pouvant toujours être absorbé dans la phase de l'amplitude complexe.

D'après l'expression de la contrainte établie à la question Q11 :

Dans le cadre de cette étude, Q(t) = 0 et l'extrémité droite en x = L est libre de toute contrainte mécanique extérieure, ce qui impose :

D'après la question Q14, le déplacement s'écrit en représentation complexe sous la forme :

La dérivée spatiale en x = L vaut :

Pour avoir une solution non triviale (\underline{\tilde{u}} \neq 0), la condition aux limites impose :

On en déduit la quantification du nombre d'onde k_q :

La pulsation propre associée \omega_q = c k_q s'écrit alors :

Le choix q = 1 donne la pulsation la plus basse \omega_1 = \frac{\pi c}{2L}, correspondant bien au mode fondamental.

En choisissant l'amplitude complexe réelle (\underline{\tilde{u}} = A_q \in \mathbb{R}), ce qui revient à fixer l'origine des dates telle que la vitesse en t = 0 soit nulle, la partie réelle de \underline{u}(x, t) donne directement la forme demandée :

D'après les résultats de la question Q16, l'expression générale de la fonction spatiale associée au mode q est :

En introduisant la variable adimensionnée X = \dfrac{x}{L} \in [0, 1], on obtient pour les deux premiers modes :

• Pour le mode fondamental (q = 1) :

  f_1(X) = \sin\left(\frac{\pi}{2} X\right)

  Cette fonction est strictement croissante sur [0, 1], avec un nœud en X = 0 (f_1(0) = 0) et un ventre en X = 1 (f_1(1) = 1, avec une dérivée nulle f_1'(1) = 0).

• Pour le deuxième mode (q = 2) :

  f_2(X) = \sin\left(\frac{3\pi}{2} X\right)

  Cette fonction s'annule en X = 0 et en X = \dfrac{2}{3}, atteint un maximum égal à +1 en X = \dfrac{1}{3}, et présente un ventre d'amplitude -1 à l'extrémité libre X = 1 (avec une tangente horizontale f_2'(1) = 0).

Considérons le système global fermé constitué de l'élément piézo-électrique et de la masse M_{\mathrm{o}} fixée en x = L :

• L'extrémité gauche en x = 0 est fixe (u(0,t) = 0), la puissance mécanique échangée y est donc nulle ;
• La masse M_{\mathrm{o}} n'est soumise à aucune force extérieure autre que celle exercée par le barreau piézo-électrique, et aucun frottement (fluide ou solide) n'est introduit ;
• L'élément piézo-électrique est modélisé comme un milieu élastique parfait, sans viscosité ni pertes diélectriques, et la charge électrique est constante et nulle (Q = 0), excluant tout transfert ou dissipation d'énergie par voie électrique.

Le système global est donc strictement conservatif : son énergie mécanique totale est constante au cours du temps.

Or, une pulsation \omega \in \mathbb{C} s'écrirait sous la forme \omega = \omega_r + j\,\omega_i, conduisant à un facteur temporel en \mathrm{e}^{j\omega t} = \mathrm{e}^{-\omega_i t}\,\mathrm{e}^{j\omega_r t} :

• \omega_i > 0 correspondrait à un régime amorti (perte continue d'énergie mécanique, impossible sans processus dissipatif) ;
• \omega_i < 0 correspondrait à une instabilité avec divergence exponentielle (croissance infinie de l'énergie mécanique, impossible en régime libre sans source active d'énergie).

L'invariance de l'énergie mécanique impose donc \omega_i = 0, soit :

Par convention physique, on choisit \omega \ge 0.

1. Rôle et conséquence de l'hypothèse k L_{\mathrm{o}} \ll 1 :

Le nombre d'onde est relié à la longueur d'onde de vibration \lambda par k = \frac{2\pi}{\lambda}. La condition s'écrit donc :

La dimension de l'objet selon (\mathrm{O}x) est très petite devant la longueur d'onde spatiale de déformation. De manière équivalente, le temps de propagation d'une onde élastique à travers l'objet est négligeable devant la période temporelle T = \frac{2\pi}{\omega}.

Cette hypothèse permet de négliger toute déformation interne de l'objet et de le modéliser comme un solide indéformable (comportement de masse ponctuelle ou globale). L'ensemble des points de l'objet possède ainsi, à tout instant, le même déplacement et la même accélération que l'interface en x = L, soit :

Sans cette hypothèse, il aurait fallu traiter l'objet comme un milieu continu élastique siège de réflexions et transmissions d'ondes.

2. Condition aux limites en x = L :

Système : solide de masse M_{\mathrm{o}}, dans le référentiel galiléen du laboratoire.

Bilan des forces : la seule force s'exerçant sur le solide est l'action de contact exercée par la surface d'abscisse x = L du milieu piézo-électrique. D'après la définition de la contrainte \sigma(x,t) (force par unité de surface exercée par la partie x > L sur la partie x \le L) et le principe des actions réciproques :

En régime libre sans charge électrique (Q = 0), la contrainte s'écrit d'après la relation (4) :

L'application du principe fondamental de la dynamique au solide projeté selon l'axe (\mathrm{O}x) donne :

soit la condition aux limites :

En régime harmonique (u(x, t) = \operatorname{Re}\left(\underline{u}(x, t)\right) avec \underline{u}(x,t) \propto \mathrm{e}^{j\omega t}), cette condition s'écrit de manière équivalente :

D'après la question Q14, le champ de déplacement en régime harmonique s'écrit sous la forme stationnaire :

avec la relation de dispersion \omega = c k, où c = \sqrt{A'/\rho} d'après la question Q12, soit :

Calculons les dérivées partielles nécessaires en x = L :

La condition aux limites dynamique établie à la question Q19 en x = L s'écrit :

En introduisant les expressions précédentes en notation complexe :

En simplifiant par -c^2 k \neq 0 (pour un mode non trivial) :

Pour \sin(kL) \neq 0, cela conduit à :

En posant \theta = kL, on retrouve bien la relation demandée :

avec :

D'après la question Q20, le paramètre sans dimension vaut :

L'équation de dispersion (9) s'écrit alors :

Les solutions \theta_q = k_q L sont les abscisses des points d'intersection entre la courbe y = \cot(\theta) et la droite y = 3\theta pour \theta > 0.

Pour le mode q \ge 2, la solution \theta_q se situe dans l'intervalle ](q-1)\pi, (q-1/2)\pi[. Dès le mode q = 2 :

Comme le montre la figure (4), sur la branche ](q-1)\pi, (q-1/2)\pi[, la fonction \cot(\theta) décroît très rapidement depuis +\infty en \theta = (q-1)\pi^+ : pour une ordonnée y \ge 3\pi \approx 9{,}4, la valeur de \theta est extrêmement proche de l'asymptote verticale. On a donc au premier ordre :

Le nombre d'onde k_q = \theta_q / L s'écrit donc :

Numériquement, avec L = 0{,}2\text{ mm} = 2{,}0 \times 10^{-4}\text{ m} :

soit :

La relation de dispersion des ondes élastiques s'écrivant \omega_q = c k_q (d'après la question Q12), la fréquence propre f_q = \omega_q / (2\pi) associée est :

La célérité c vaut (avec A' = 10^9\text{ Pa} et \rho = 2 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}) :

D'où le facteur fréquentiel :

L'expression de la fréquence en fonction de l'unique paramètre q est ainsi :

Pour le mode q = 2, on obtient directement :

1. Cas d'une faible charge inertielle : µ \ll 1 (M_{\mathrm{o}} \ll m)

Dans cette limite, le terme \mu\theta est petit tant que \theta n'est pas trop grand. L'équation \cot(\theta) = \mu\theta se réduit à :

On en déduit les nombres d'onde et les pulsations propres :

On retrouve exactement les modes propres du barreau à extrémité libre en x = L établis à la question 16 : l'inertie de la masse M_{\mathrm{o}} est négligeable, la force d'extrémité est quasi-nulle et l'extrémité x=L constitue un ventre de déplacement (\cos(k_q L) \approx 0).

2. Cas d'une forte charge inertielle : µ \gg 1 (M_{\mathrm{o}} \gg m)

La pente \mu de la droite y = \mu\theta est très grande.

• Modes supérieurs (q \ge 2) : Dans chaque intervalle ](q-1)\pi, q\pi[, la droite coupe la branche de cotangente là où celle-ci tend vers +\infty, c'est-à-dire très près de l'asymptote à gauche :

  \theta_q \approx (q-1)\pi^+ \implies \boxed{k_q \approx (q-1)\frac{\pi}{L} \quad (q \ge 2)}

  Comme \sin(k_q L) = \sin(\theta_q) \approx 0, l'extrémité x = L devient un nœud de déplacement : l'inertie considérable de la masse M_{\mathrm{o}} bloque le mouvement à ces fréquences élevées. Le barreau se comporte comme s'il était encastré (bloqué) à ses deux extrémités.

• Cas particulier du mode fondamental (q = 1) : Dans l'intervalle ]0, \pi[, l'intersection se produit au voisinage immédiat de l'origine (\theta_1 \ll 1). En effectuant le développement limité \cot\theta \approx \frac{1}{\theta}, l'équation devient :

  \frac{1}{\theta_1} \approx \mu \theta_1 \implies \theta_1 \approx \frac{1}{\sqrt{\mu}}

  D'où le nombre d'onde et la pulsation propre du fondamental :

  k_1 \approx \frac{1}{L\sqrt{\mu}} = \frac{1}{L}\sqrt{\frac{m}{M_{\mathrm{o}}}}
  \boxed{\omega_1 = c k_1 \approx \sqrt{\frac{A'}{\rho}}\frac{1}{L}\sqrt{\frac{\rho S L}{M_{\mathrm{o}}}} = \sqrt{\frac{A'S / L}{M_{\mathrm{o}}}}}

Interprétation du mode q = 1 :

Puisque \theta_1 = k_1 L \ll 1, la longueur d'onde est très grande devant la longueur L du barreau. Le déplacement spatial vérifie u(x, t) \propto \sin(k_1 x) \approx k_1 x, ce qui correspond à une déformation élastique uniforme le long du barreau (\frac{\partial u}{\partial x} \approx \frac{\Delta}{L}).

Le barreau se comporte ainsi comme un simple ressort sans masse de raideur statique K^0 = \frac{A'S}{L}, associé à la masse ponctuelle M_{\mathrm{o}}. On retrouve la pulsation propre d'un oscillateur harmonique à un degré de liberté :

Le déplacement de l'extrémité x = L pour le premier mode propre s'écrit, d'après l'équation (10) :

Or k_1 = \frac{\pi}{2L}, d'où \sin(k_1 L) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1, ce qui donne :

L'énergie cinétique du système discret \mathcal{S}^\star constitué de la masse ponctuelle m^\star est donc :

Pour le système continu \mathcal{S}, la vitesse d'une tranche située en x s'écrit :

L'énergie cinétique totale du milieu piézo-électrique de section S et de masse volumique \rho s'obtient par sommation sur les tranches élémentaires de masse \mathrm{d}m = \rho S \, \mathrm{d}x :

En linéarisant le sinus :

La masse totale du barreau étant m = \rho S L, on en déduit :

L'égalité E_{\mathrm{c}}^\star(t) = E_{\mathrm{c}}(t) imposée à chaque instant conduit immédiatement à :

Pour le système discret \mathcal{S}^\star, l'énergie potentielle élastique emmagasinée dans le ressort de raideur K^\star sous l'allongement \Delta(t) est :

Pour le système continu \mathcal{S}, en l'absence de charges (Q = 0), la contrainte mécanique s'écrit d'après l'équation (4) :

La densité volumique d'énergie potentielle élastique est w_{\mathrm{p}}(x,t) = \frac{1}{2} \sigma(x,t) \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{1}{2} A' \left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2. L'énergie potentielle élastique totale du barreau de section S s'obtient par intégration sur sa longueur :

Pour le premier mode propre, le champ de déplacement s'écrit :

puisque le déplacement en bout de barreau vaut \Delta(t) = u(L,t) = u_1 \cos(\omega_1 t) \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = u_1 \cos(\omega_1 t).
La déformation s'exprime donc par :

En injectant cette relation dans l'intégrale de l'énergie potentielle élastique :

En posant le changement de variable \theta = \frac{\pi x}{2L}, l'intégrale se calcule aisément :

Il vient ainsi :

L'égalité E_{\mathrm{p}}^\star(t) = E_{\mathrm{p}}(t) à tout instant conduit directement à l'expression de la raideur effective :

Comparaison avec la raideur statique K^0 :

En régime statique (ou quasi-statique), sous l'action d'une force axiale F, la contrainte est uniforme le long du barreau :

La raideur statique s'identifie donc à :

On en déduit le rapport :

La raideur effective dynamique K^\star est donc supérieure d'environ 23\,\% à la raideur statique K^0.

Le système discret équivalent \mathcal{S}^\star est un oscillateur harmonique non amorti de masse m^\star et de raideur K^\star. Sa pulsation propre d'oscillation libre s'écrit :

D'après les résultats des questions 23 et 24 :

En substituant ces deux expressions :

Or, d'après la question 12, la célérité des ondes longitudinales est c = \sqrt{A'/\rho}, et d'après la question 16 (avec q = 1), la pulsation propre du premier mode est :

On constate ainsi l'égalité rigoureuse :

Le modèle masse-ressort équivalent restitue donc exactement la dynamique du premier mode propre de vibration.

Considérons le système constitué de la masse mobile totale M = m^\star + M_{\mathrm{o}}, repérée par son élongation \Delta(t) = u(L, t), dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

Ce système est soumis à deux forces portées par l'axe (Ox) :

• la force extérieure \vec{F}_{\mathrm{o}} = F_{\mathrm{o}}(t)\,\vec{e}_x ;
• l'action mécanique exercée par le reste de l'élément piézo-électrique. D'après l'énoncé, la force exercée par l'extérieur sur le milieu piézo-électrique en x = L est \vec{F}_L = F_L\,\vec{e}_x. Par le principe des actions réciproques (troisième loi de Newton), la force exercée par le milieu piézo-électrique sur la masse M est -\vec{F}_L = -F_L\,\vec{e}_x.

Le principe fondamental de la dynamique appliqué à la masse M en projection sur l'axe (Ox) s'écrit :

D'après le système d'équations électromécaniques (11) :

En injectant l'expression de Q dans celle de F_L, il vient :

En introduisant les notations données par l'énoncé :

la force F_L s'exprime simplement sous la forme :

L'équation du mouvement (1) devient alors :

En régime sinusoïdal de pulsation \omega, en adoptant la notation complexe \underline{s}(t) = \underline{\tilde{s}}\exp(j\omega t), les dérivées temporelles se traduisent par une multiplication par j\omega :

Le regroupement des termes inertiel et élastique fait apparaître l'impédance mécanique Z_{\text{méca}}(j\omega) :

On en déduit la relation liant les amplitudes complexes :

D'après le système d'équations (11) donné par l'énoncé, la différence de potentiel \psi(t) s'exprime en fonction de la charge Q(t) et du déplacement \Delta(t) par :

En exprimant la charge Q(t) portée par l'électrode droite, on obtient :

En introduisant le paramètre de couplage électromécanique \gamma = \dfrac{C_{\mathrm{e}}}{\varepsilon}B, cette relation devient :

Le courant débité par le générateur alimentant l'électrode est relié à la charge par i(t) = \dfrac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}. En dérivant par rapport au temps :

En régime sinusoïdal de pulsation \omega, en utilisant la notation complexe s(t) = \underline{\tilde{s}}\exp(j\omega t), l'opérateur de dérivation temporelle \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} se traduit par une multiplication par j\omega. Il vient ainsi immédiatement :

1. Expressions de J, F_{\mathrm{e}} et du rapport de transformation

D'après le schéma de la figure (7), la loi des nœuds appliquée à l'électrode supérieure s'écrit en grandeurs instantanées :

Or, d'après la relation établie à la question précédente (en représentation temporelle ou complexe) :

Par identification directe, il vient :

soit en amplitudes complexes : \underline{\tilde{J}} = -\gamma (j\omega \underline{\tilde{\Delta}}).

Considérons à présent la maille mécanique de droite. La vitesse \dot{\Delta} circule dans le sens trigonométrique le long de cette maille. En appliquant la loi des mailles (analogue à la loi d'Ohm généralisée pour une force) :

Or, d'après la question 26, le principe fondamental de la dynamique s'écrit :

Par identification, on en déduit l'expression de la force électromécanique :

soit en amplitudes complexes : \underline{\tilde{F}}_{\mathrm{e}} = \gamma \underline{\tilde{\psi}}.

Le rapport de transformation s'en déduit immédiatement :

2. Contenu du dipôle (B)

L'impédance mécanique définie par l'équation (13) s'écrit :

Dans l'analogie électromécanique directe (force \leftrightarrow tension, vitesse \leftrightarrow courant) :

• le terme d'inertie j\omega M correspond à une inductance L_{\mathrm{m}} = M ;
• le terme d'élasticité \dfrac{K^{\star\star}}{j\omega} correspond à un condensateur de capacité C_{\mathrm{m}} = \dfrac{1}{K^{\star\star}}.

Le dipôle (B) est donc constitué de l'association en série d'une bobine d'inductance M et d'un condensateur de capacité 1/K^{\star\star}.

3. Caractère « parfait » du transformateur (T)

Le transformateur (T) est dit « parfait » car :

• il est non dissipatif (sans pertes) : la puissance totale instantanée absorbée par le quadripôle est rigoureusement nulle à tout instant :

  \mathcal{P}(t) = \psi(t) J(t) + F_{\mathrm{e}}(t) \dot{\Delta}(t) = \psi(t) \big(-\gamma \dot{\Delta}(t)\big) + \big(\gamma \psi(t)\big) \dot{\Delta}(t) = 0
• les lois de transfert entre grandeurs d'entrée et de sortie sont purement algébriques et instantanées, sans stockage d'énergie interne (pas d'inductance de fuite ni de magnétisation).

Lorsque la force extérieure est nulle (\underline{\tilde{F}}_{\mathrm{o}} = 0), la relation dynamique issue de la question Q26 donne :

D'après la question Q27, le courant complexe \underline{\tilde{\imath}} fourni par le générateur s'écrit comme la somme du courant traversant le condensateur C_{\mathrm{e}} et du courant \underline{\tilde{J}} entrant dans le transformateur électromécanique (\mathrm{T}) :

En substituant l'expression de la vitesse complexe j\omega\underline{\tilde{\Delta}}, on obtient pour le courant motionnel :

L'admittance de cette branche ramenée au primaire s'écrit donc :

En remplaçant l'impédance mécanique par son expression Z_{\text{méca}}(j\omega) = j\omega M + \dfrac{K^{\star\star}}{j\omega} (équation 13) :

Cette impédance Z_{\mathrm{m}} s'interprète comme l'association en série :

• d'une inductance équivalente (dite « motionnelle ») :

  L_{\mathrm{m}} = \frac{M}{\gamma^2}

• d'une capacité équivalente :

  C_{\mathrm{m}} = \frac{\gamma^2}{K^{\star\star}}

L'admittance totale Y_Q = 1/Z_Q perçue par le générateur s'exprime donc sous la forme :

L'admittance d'entrée s'écrit d'après l'équation (14) :

1. Détermination de la résistance R À la pulsation de résonance série \omega = \omega_s = \frac{1}{\sqrt{LC}}, l'impédance de la branche motrice s'annule pour sa partie réactive (L\omega_s - \frac{1}{C\omega_s} = 0). L'admittance vaut alors :

Dans le plan complexe, le terme \frac{1}{R + \mathrm{j}X} décrit un cercle passant par l'origine, de diamètre 1/R, dont la partie réelle maximale est atteinte pour X = 0. Sur le tracé de droite de la figure (11), le point d'abscisse maximale du cercle correspond donc à :

On en déduit :

2. Détermination de la capacité C_1 Au même point de fonctionnement \omega = \omega_s, la partie imaginaire de l'admittance d'entrée est uniquement due au condensateur C_1 :

Sur le tracé de gauche de la figure (11), le premier trait vertical en pointillés, repérant le maximum de |Y_1|, donne la fréquence de résonance série :

Sur le tracé de droite, l'ordonnée du sommet droit du cercle (abscisse maximale) est légèrement positive :

On en déduit la capacité C_1 :

3. Détermination de la capacité motionnelle C Sur le tracé de gauche de la figure (11), le second trait vertical en pointillés indique le minimum d'admittance (antirésonance ou résonance parallèle), qui se produit à la fréquence :

D'après les relations (15) données par l'énoncé :

Il vient :

D'où la valeur de C :

On constate bien a posteriori que C_1 \gg C (250\text{ pF} \gg 35\text{ pF}), conformément à l'hypothèse de l'énoncé.

4. Détermination de l'inductance motionnelle L À partir de l'expression de la pulsation de résonance mécanique \omega_s = \frac{1}{\sqrt{LC}} = 2\pi f_s, on extrait L :

Application numérique :

Au secondaire du transformateur, la charge totale d'impédance Z_2 est soumise à la tension U_2 et traversée par le courant J_2, soit :

Au primaire, le dipôle équivalent (D) est soumis à la tension U_1 et parcouru par le courant J_1, son impédance est donc :

D'après les relations de transformation U_2 = m U_1 et J_2 = J_1/m, il vient :

On en déduit l'expression de l'impédance ramenée au primaire :

L'admittance équivalente Y'_2 = 1/Z'_2 s'écrit alors en fonction de l'admittance secondaire Y_2 = 1/Z_2 :

Au secondaire, le dipôle est constitué de la résistance R_L en parallèle avec la capacité C_2, son admittance vaut donc :

On en déduit pour le dipôle primaire (D) :

En identifiant cette expression à celle d'une association parallèle d'une résistance R'_L et d'un condensateur de capacité C'_2, de forme Y'_2 = \frac{1}{R'_L} + j C'_2 \omega, on obtient :

D'après le schéma de la figure (12) où le dipôle (\mathrm{D}) est modélisé par l'association série de R_{\mathrm{s}} et C_{\mathrm{s}}, l'impédance de la branche motrice connectée aux bornes de la tension \underline{V}_1 s'écrit :

La résonance en courant correspond au maximum du module du courant traversant cette branche. En négligeant, conformément à la consigne, la dépendance de R_{\mathrm{s}} avec la pulsation, ce maximum est atteint lorsque l'impédance est purement résistive, c'est-à-dire lorsque la partie imaginaire s'annule :

On en déduit l'expression de la pulsation de résonance \omega_{\mathrm{r}} :

À la résonance \omega = \omega_{\mathrm{r}}, l'impédance de la branche se réduit à sa résistance totale :

L'amplitude complexe du courant \underline{J}_1 traversant cette branche est donc :

Les éléments réactifs L, C et C_{\mathrm{s}} ne consomment aucune puissance active en moyenne, et le transformateur idéal (\mathrm{T}) conserve la puissance active. Par conséquent, la puissance active P_2 transmise à la charge R_{\mathrm{L}} est égale à la puissance dissipée dans la résistance équivalente R_{\mathrm{s}} :

En remplaçant l'amplitude du courant, on obtient :

Remarque : si |\underline{V}_1| désigne la valeur efficace V_{1,\text{eff}}, le facteur 1/2 disparaît et P_2 = \frac{R_{\mathrm{s}}}{(R + R_{\mathrm{s}})^2} V_{1,\text{eff}}^2.

D'après la question Q32, la puissance transmise à la charge à la résonance série \omega = \omega_{\mathrm{r}} s'écrit :

Pour une amplitude de tension |\underline{V}_1| fixée, étudions les variations de la fonction f : R_{\mathrm{s}} \mapsto \frac{R_{\mathrm{s}}}{(R + R_{\mathrm{s}})^2} définie pour R_{\mathrm{s}} > 0. Sa dérivée par rapport à R_{\mathrm{s}} vaut :

Cette dérivée s'annule et change de signe en R_{\mathrm{s}} = R : elle est strictement positive pour R_{\mathrm{s}} < R et strictement négative pour R_{\mathrm{s}} > R. La puissance P_2 admet donc un maximum absolu pour :

La puissance maximale transmise à la charge vaut alors :

D'après l'expression de la capacité série issue de l'équation (16) :

Comme m \ge 1 et C_2 \gg C, il vient C_{\mathrm{s}} \gg C, ce qui entraîne \frac{1}{C_{\mathrm{s}}} \ll \frac{1}{C}. La pulsation de résonance en courant établie à la question 32 se simplifie donc :

La pulsation de résonance est ainsi quasiment indépendante de la charge R_{\mathrm{L}}.

À la résonance (\omega \approx \omega_{\mathrm{s}}), la résistance ramenée R_{\mathrm{s}} s'écrit en fonction de R_{\mathrm{L}} :

Cette fonction présente les caractéristiques suivantes :

• pour R_{\mathrm{L}} \to 0 (court-circuit) : R_{\mathrm{s}} \to 0 ;
• pour R_{\mathrm{L}} \to +\infty (circuit ouvert) : R_{\mathrm{s}} \to 0 ;

• elle atteint un maximum pour R_{\mathrm{L}} C_2 \omega_{\mathrm{s}} = 1, soit R_{\mathrm{L}0} = \dfrac{1}{C_2 \omega_{\mathrm{s}}}, dont la valeur est :

  R_{\mathrm{s},\max} = \frac{1}{2 m^2 C_2 \omega_{\mathrm{s}}}

La condition d'adaptation de puissance maximale R_{\mathrm{s}} = R obtenue à la question 33 se discute donc selon la valeur relative de la résistance interne R et du maximum R_{\mathrm{s},\max} :

• Si R > R_{\mathrm{s},\max} : la condition R_{\mathrm{s}} = R n'admet aucune solution réelle. Le transfert maximal théorique ne peut être atteint par le seul choix de R_{\mathrm{L}}.

• Si R = R_{\mathrm{s},\max} : il existe une unique résistance optimale réalisant l'adaptation :

  R_{\mathrm{L}} = \frac{1}{C_2 \omega_{\mathrm{s}}}

• Si R < R_{\mathrm{s},\max} : l'équation R_{\mathrm{s}}(R_{\mathrm{L}}) = R possède deux solutions distinctes :

  • une faible résistance R_{\mathrm{L},1} < \dfrac{1}{C_2 \omega_{\mathrm{s}}}, telle que R_{\mathrm{L},1} \approx m^2 R si R \ll R_{\mathrm{s},\max} ;
  • une forte résistance R_{\mathrm{L},2} > \dfrac{1}{C_2 \omega_{\mathrm{s}}}, telle que R_{\mathrm{L},2} \approx \dfrac{1}{m^2 C_2^2 \omega_{\mathrm{s}}^2 R} si R \ll R_{\mathrm{s},\max}.