Régime sinusoïdal forcé et filtrage : 376 questions de concours corrigées

On note (a_k)_kN et (b_k)_kN* les coefficients trigonométriques de Fourier de la fonction Rₑ. On note aussi pour tout entier N N* et tout réel θ R : S_N(θ) = a₀ + Σ_k=1N⁻¹ [a_k cos (kθ) + b_k sin…

Énoncer le théorème de Dirichlet pour la fonction Rₑ.

Dans la décomposition de x(t) en série de Fourier, quelles sont les harmoniques compatibles avec cette condition ?

Exprimer à un facteur près le signal intermédiaire v_i, puis justifier que son spectre fait apparaître les fréquences f₂+f₁ et |f₂-f₁|. Indiquer le type de filtrage qui permet d'obtenir, à la sortie…

Rappeler la définition de la fréquence de coupure à -3 dB. Donner l’expression de cette fréquence de coupure, notée f_C, en fonction de R et de C pour ce circuit.

Établir la fonction de transfert en régime harmonique H(jω) = v/u du filtre ainsi réalisé. Déterminer sa fréquence de coupure f_c en fonction de L et de R.

La fonction de transfert du filtre F₁ s'écrit : A) H₁ = 1/(1+jRCω) B) H₁ = 1/(1+2jRCω) C) H₁ = 1/(1+jRCω/2) D) H₁ = 2/(1+jRCω)

Question préliminaire : On considère deux grandeurs physiques A_i=1,2 oscillant toutes deux à la pulsation ω. On note A_i les grandeurs complexes associées. Donner l'expression de la moyenne…

Donner l'expression de la fonction de transfert du micro en régime sinusoïdal forcé H(jω) = s/e.

Exprimer ω₁ : A) ω₁ = (LC)¹/² B) ω₁ = (LC)⁻¹/² C) ω₁ = R/L D) ω₁ = 1/RC

Rappeler comment on peut réaliser un filtre passe-bas du premier ordre avec un circuit RC.

Exprimer l'amplitude complexe U_s en fonction de l'amplitude complexe Uₑ, de R_ref et de Z.

Proposer un montage simple permettant d'éliminer la composante continue. Quel composant électronique permettrait de réaliser le bloc d'inversion du signal ?

Sachant que l'impédance équivalente à une association en série des dipôles R et L est donnée par : Z = R + jLω, déterminer l'expression de l'impédance équivalente Z_eq à l'association en série des…

Effectuer une analyse qualitative du filtre à basse et haute fréquence. En déduire la nature du filtre. Justifier de son intérêt dans le cas présent.

Exprimer la fonction de transfert du filtre H(jω) sous la forme H(jω) = H₀/(1 + j(ω/ω₀)) en identifiant les expressions de H₀ et ω₀.

Déterminer, en notation complexe, les expressions des amplitudes complexes des intensités I₁ et I₂.

Montrer que la tension u_r(t) est le résultat d'une opération de filtrage dont on précisera la nature et la pulsation de coupure ω_c.

Exprimer le rapport U₂/U₁ en fonction de R et de Z.

En considérant H_v(p) = K_v, montrer que la fonction de transfert H₁(p) = Ωₘ/U peut s'écrire sous la forme d'un système du premier ordre dont on exprimera le gain K₁ et la constante de temps τ₁ en…

En considérant un correcteur proportionnel pour C(p), exprimer la fonction de transfert du système en boucle ouverte. Quels sont son ordre et sa classe ?

En admettant que φ_i = -φₑ, déterminer, en fonction de Z_i, la valeur de Zₑ qui rend la puissance moyenne Pₐ maximale. Donner l'expression de cette puissance maximale P_a,max. Pour cette valeur…

La tension u_s est la tension aux bornes de la résistance R de la figure 2. Établir l'expression de la fonction de transfert H = u_s/e. On écrira la fonction de transfert sous la forme : H = H₀/(1 +…

En déduire que la tension mesurée aux bornes de la pointe comporte une harmonique à la pulsation 3ω dont on exprimera l'amplitude U_3ω en fonction de a, R₀, I₀ et θ_AC. Préciser la relation que l'on…

Établir l’expression de la fonction de transfert H(ω) = u_s/uₑ du montage à ALI. La mettre sous la forme canonique suivante, en précisant les expressions de H₀ et ω₀ : H(ω) = H₀/(1 + ω/ω₀) .

Déterminer uₘ : A) uₘ=2 V B) uₘ=2√(3) V C) uₘ=2√(5) V D) uₘ=6 V

En utilisant la méthode de réglage du correcteur proportionnel-intégral par compensation de pôle, indiquer quelle expression prendre pour τ_i en fonction de J et ν. En déduire alors que BF_ω(p) est…

Proposer pour F un schéma électrique de filtre passif convenable, sans préciser pour l'instant les valeurs des composants. Un filtre d'ordre 1 est acceptable mais le jury valorisera davantage un…

À l’aide des équivalents en haute et basse fréquences des composants, déterminer la nature du filtre réalisé avec le circuit de la figure 5. Justifier si ce circuit permet d’isoler la composante…

Quelle est la fonction du bloc F ? Exprimer sa fonction de transfert et préciser sa pulsation de coupure ω_c en fonction de r₂ et C₂.

Écrire la fonction de transfert sous la forme H(jω) = H₀/(1 - ω²/ω₀² + jω/Qω₀) et exprimer les paramètres H₀, ω₀ et Q en fonction de R, L et C.

Montrer que, si Q > 1/√(2), il y a résonance à une pulsation ω_r à déterminer.

Tracer l'allure du diagramme de Bode en amplitude dans le cas Q > 1/√(2).

Expliquer comment tracer expérimentalement un diagramme de Bode.

En déduire l'expression de la fréquence d'oscillation pour laquelle l'amplitude de l'intensité I qui alimente l'antenne sera maximale. Donner alors l'expression de cette intensité maximale Iₘₐₓ en…

On ne tient plus compte de l'effet capacitif de la ligne qui est modélisée par une résistance r. Elle alimente un transformateur d'abaissement en bout de ligne qu'on modélise par un simple dipôle D…

Montrer qu'après un régime transitoire, le mouvement de l'électron atteint un régime stationnaire r(t) = r_ω e⁻iω t, où l'amplitude complexe r_ω vérifie qr_ω = α_c(ω) E₀ eₓ (7) avec α_c(ω) =…

Établir l'expression de la fonction de transfert du sismomètre en déplacement H_dm = Z/X sous forme canonique en fonction de ω/ω₀ et Q. Tracer qualitativement le diagramme de BODE en amplitude de la…

À partir des mesures présentées sur le document 3, réaliser une estimation de la fréquence propre et du facteur de qualité du diapason A. Commenter.

La mesure consiste à régler R₂ et C₂ de façon à ce que la tension u entre les points A et B soit nulle. Montrer qu'on a alors la relation : Z₁ · Z₂ = R₃ · R₄.

Le rapport des amplitudes complexes u_C,m/u_e,m se met sous la forme suivante : u_C,m/u_e,m = H₀/(1 + jx/Q - x²) avec x = ω/ω₀ où H₀, Q et ω₀ sont des constantes indépendantes de ω, j est l'unité…

Définir à quelle condition cette puissance est maximale, pour une amplitude de la tension d'entrée V₁ fixée.

Construire le diagramme de Bode, réponses en gain G_dB = f(log x) et en phase φ = f(log x).

Déterminer l'expression de H_F(ω) et la mettre sous la forme H_F = H₀/(1 + j Q_F [x - 1/x]) avec x = ω/ω₀, ω₀ étant la pulsation propre du filtre. Expliciter littéralement Q_F, H₀ et la fréquence…

Faire une représentation graphique approchée du gain en décibel G_dB en fonction de log (x) ; préciser quelques valeurs sur ce graphe. Faire apparaitre sur ce graphe la "bande passante à - 3 dB".

Estimer, à partir de la figure (7), le facteur de qualité Q₀ de la lame dans le cas où elle est sans interaction avec la surface.

Exprimer dans ces conditions x₀ et φ en fonction des données.

Déterminer la fonction de transfert K(jω) = u_s/uₑ de ce filtre.

Donner l'expression de la pulsation de résonance en fonction de R et de C. Que vaut |K(jω)| à la résonance ?

Expliquer le rôle de la cellule (R, C) par rapport à l'objectif visé. Exprimer une condition littérale avec fₘ et la constante de temps τ = RC de la cellule pour que la tension u aux bornes de C…

En combinant les relations (E1) et (E2), montrer que le haut-parleur se comporte comme un dipôle d'impédance complexe Z appelée « impédance électrique équivalente ». On écrira Z sous la forme d'une…

En déduire le schéma électrique équivalent au haut-parleur en régime sinusoïdal forcé. On explicitera dans le schéma l'agencement des dipôles décrits par les grandeurs Rₑ, Lₑ, Cₘ*, Rₘ et Lₘ.

Mettre la fonction de transfert simplifiée sous la forme canonique suivante : H = H₀/(1 + j/Q(ω/ω₀) - (ω/ω₀)²) et identifier les paramètres H₀, Q et ω₀ en fonction de k, R, L et C.

Tracer les diagrammes de Bode asymptotiques de la fonction transfert pour le courant I_L (entrée) et V_L (sortie) avec une tension E_eq constante. On précise que R_i > 1, Rₐ > 1, R_c > 1 et C > 0.

Déterminer la valeur de K permettant d'obtenir la marge de phase indiquée dans le cahier des charges. Faire l'application numérique.

Montrer qu'il existe une valeur minimale du facteur de qualité Q à partir de laquelle l'amplitude réelle Aₘ du signal passe par un maximum pour une pulsation donnée que l'on calculera. Préciser…

Les deux résistors présentent la même résistance R et les deux condensateurs la même capacité C. Donner, en la justifiant, l'expression non simplifiée de la fonction de transfert H_F(jω) du filtre…

À partir des équations (11) et (13), montrer que la fonction de transfert électromécanique du système H_elm(ω) peut s'écrire sous la forme : H_elm(ω) = ξ₀/U₀ = H₀/(1 - ω²/ω₀² + i ω/Q_elmω₀) , où…

Le filtre réalise une fonction passe-bas du premier ordre. Réaliser un schéma d'un montage permettant de réaliser le filtrage passe-bas, utilisant deux composants passifs usuels. Proposer des…

Nous nous plaçons dans le cas où Fₒ = 0. À partir du modèle du transformateur représenté sur la figure (7), préciser la composition de l'impédance électrique Z_Q perçue par le générateur délivrant…

Montrer que la susceptibilité longitudinale χ = µ₀ mₓ/bₓ et la susceptibilité transverse χ = µ₀ m_y/bₓ sont données par χ₍ω) = (ω₀ ω_M)/(ω₀² - ω²), χ₍ω) = -i (ω ω_M)/(ω₀² - ω²), où la fréquence ω_M…

Exprimer la fonction de transfert en amplitude de la lame, définie par le rapport T = A_B/A_A (T C). On fera apparaître le facteur de qualité Q, le paramètre Ω_p = ω_p/ω_p0 et la variable Ω = ω/ω_p0.

Déterminer l'expression de la fonction de transfert du filtre de la figure 2 et la mettre sous la forme H(jω) = -A/(1 + j(ω/ω₁ - ω₂/ω)) en précisant les expressions de A, ω₁ et ω₂ en fonction de R₁…

Comment peut-on vérifier expérimentalement que les deux signaux sont en opposition de phase ? Indiquer quel matériel peut être utilisé pour cette opération et comment le relier au montage.

Estimer, à partir des tracés de la figure (11), la valeur de chacun des paramètres R, C₁, C et L (il est plus aisé de suivre cet ordre). On présentera chaque calcul.

Modifier le schéma de commande de la figure 9 pour inclure un correcteur de fonction de transfert C(p) à la boucle d'asservissement en position angulaire.

Exprimer l'erreur statique du système pour une consigne de position angulaire en échelon.

Donner les expressions de la tension complexe uₑ aux bornes d'entrée du récepteur et de l'intensité iₑ qui le traverse en fonction de e, Z_i et Zₑ.

Y a-t-il adaptation d'impédance entre le générateur et le récepteur du montage de la figure 2 ?

Préciser la nature de ce filtre.

Justifier que la fonction Rₑ est bornée sur R.

Exprimer une condition sur la fonction Rₑ pour que le profil soit symétrique par rapport à la droite (O, x).

Soit N N*. En admettant que Rₑ soit une fonction paire, donner une expression simplifiée de S_N(θ).

Déterminer le module de la fonction de transfert |Hₘ| en fonction de ξ = ω / ω₀.

Rappeler l'expression de la puissance moyenne délivrée par les circuits statoriques. En déduire la valeur de la tension nominale aux bornes de chaque phase.

Nommer H₀ et en donner la valeur en justifiant.

Préciser la valeur du gain en décibel, G_db, lorsque ω ≪ ω_c.

Représenter, sans se préoccuper de son amplitude, le mode fondamental de u(t) sur le graphe tracé à la question Q25.

Justifier l'intérêt de prélever la tension de sortie v(t) aux bornes de R, plutôt qu'aux bornes de L. Aucun calcul n'est attendu.

Comment pourrait-on faire pour atténuer encore davantage les harmoniques résiduelles ?

Étudier le comportement asymptotique de ce circuit. En déduire le type de filtrage réalisé par le micro.

Montrer que Z = r U_Z/U_r.

K₁ est fermé et K₂ ouvert. En notant ω₁ et Q₁ deux constantes positives indépendantes de ω, et si w₁ = ω / ω₁, comment peut s'écrire la nouvelle expression H de la fonction de transfert? A) H = 1/(1…

K₁ et K₂ sont tous les deux fermés. Si Q₂ et ω₂ sont deux constantes indépendantes de ω, et si w₂ = ω / ω₂, que devient H ? A) H = 1/(1 + jw₂/Q₂ - w₂²) B) H = (jw₂/Q₂)/(1 + jw₂/Q₂ - w₂²) C) H =…

Donner la forme canonique de la fonction de transfert de ce circuit en faisant apparaitre la fréquence de coupure ω_c.

On utilise le condensateur en tant que capteur d'humidité dont on donne ci-dessous la courbe d'étalonnage (figure 6). Déterminer le degré hygrométrique de la pièce dans laquelle il est plongé…

Déterminer sans calcul la nature du filtre et préciser parmi les deux fonctions de transfert H₁(jω) et H₂(jω), laquelle correspond à ce montage : H₁(jω) = G₀/(1+2jm ω/ω₀ - (ω/ω₀)²) et H₂(jω) =…

Déterminer le gain G₀ de ce filtre en fonction de R₁ et R₂.

Sachant que l'intensité dans le circuit s'écrit i(t) = Icos (ω t + φ) où φ désigne la phase à l'origine, donner l'écriture complexe de la tension aux bornes du générateur e(t) et de l'intensité dans…

Exprimer θₘ en fonction de a₀, ℓ_eff, ω, ω₀ et Q.

Donner l'expression de H. À quel type de filtre une telle fonction de transfert est-elle associée ?

On cherche à tracer la courbe de la fonction g(ω) ≈ 1/(1+((ω₀²-ω²)/τω₀³)²), définie en Q16, au voisinage de la résonance, de telle sorte qu’on puisse visualiser la largeur à mi-hauteur. On écrit en…

Déterminer littéralement puis numériquement la valeur maximale de G.

Caractériser le filtrage réalisé (nature, ordre). Justifier l'intérêt d'ajuster la période du signal de commande afin d'avoir ω = ω₀. Calculer numériquement la fréquence f associée.

Le capteur inductif de pression est formé par la bobine à l'intérieur de laquelle on introduit un barreau ferromagnétique. Cette introduction fait varier son inductance propre. Le barreau pénètre…

Le cristal présente en réalité plusieurs modes acoustiques. Sur l'oscilloscope, on observe alors le signal représenté figure 14. Proposer un outil d'analyse pour déterminer les composantes…

Le spectre du signal u_f(t) observé sur l'oscilloscope (figure 14) est présenté figure 15. Déterminer les valeurs des fréquences des modes acoustiques dans le cristal.

Exprimer le gain du filtre G(x) et la phase φ(x) = (H).

Préciser l'expression de l'amplitude maximale U de la réponse verticale u(t) du régime forcé de la masse m en fonction de Z₀, m, k, λ et ω.

On suppose ici que R₀ = R₁ = R₂ = R₃. Tracer l'allure du spectre théorique de la tension de sortie V_s.

Comment est modifié ce spectre lorsque R₀ = R₁ = R₂ = 2R₃ ?

Déduire de ce qui précède le schéma électrique équivalent du haut-parleur.

Commenter la forme obtenue. On pourra par exemple effectuer l'étude asymptotique du comportement en basses et hautes pulsations, ainsi que pour une pulsation proche de ω₀.

Vérifier que cette fonction de transfert est compatible avec le schéma aux basses et hautes fréquences. De quel type de filtre s'agit-il ?

Donner l'expression reliant le facteur de qualité, la fréquence propre et la bande passante à - 3 dB.

Quelle différence voit-on entre les schémas des figures F12 et F13 ?

Quel composant du schéma Figure F13 peut expliquer, par une étude de son modèle physique, le fait que les deux schémas des Figures F12 et F13 puissent être bien équivalents ?

Exprimer puis calculer la fréquence de coupure f_cp de ce photodétecteur dans son circuit de polarisation. On adoptera les valeurs suivantes : R = 25 kΩ et C = 40 pF.

Déterminer la fréquence f₁ du fondamental (pic 1) de cette note ainsi que l'amplitude a₂ du pic 2. On donne 10⁰,⁵ ≈ 3,16.

Indiquer quelle est la nature de ce filtre.

Pourquoi le fait d'associer plusieurs haut-parleurs permet-il de restituer toutes les plages de fréquences audibles de manière optimale dans l'enceinte de la patinoire ?

Les valeurs numériques du modèle d'un quartz horloger prévu pour osciller à une fréquence f₀ = 2¹⁵ Hz ont été mesurées avec précision et sont les suivantes : L = 11 395 H ; C_S = 2,071 × 10⁻¹⁵ F…

Les quartz utilisés en horlogerie pourraient-ils convenir ? Quel est l'intérêt d'avoir choisi une puissance entière de 2 ?

Estimer le rendement expérimental maximal ηₘₐₓ, ainsi que la fréquence fₘₐₓ à laquelle celui-ci est atteint.

Dans la limite où les bobines primaire et secondaire sont infiniment éloignées, quelle valeur attend-on pour le coefficient k ? Qu'en déduire concernant la tension v₂ aux bornes du circuit…

Comparer la fréquence de résonance expérimentale à la prédiction théorique de la question E5.

Estimer le rendement maximal η'ₘₐₓ en couplage résonant ; commenter.

Compléter le schéma figure 9 pour représenter les éléments du système de commande.

L'erreur est-elle nulle pour une consigne en rampe ? Si ce n'est pas le cas, quel type de correcteur faudrait-il alors envisager pour annuler cette erreur ?

Quelle est l'expression de la puissance moyenne Pₐ consommée par le récepteur en fonction de Zₑ, φₑ et I_e,eff puis en fonction de E_0,eff, Zₑ, Z_i, φₑ et φ_i ?

On désire alimenter de manière optimale un haut-parleur modélisé par une résistance rₑ = 6 Ω en série avec une bobine d'inductance ℓₑ = 0,5 mH, sous une fréquence f = 1 kHz. Quel serait…

Quel dipôle du récepteur consomme de la puissance ? En déduire l'expression de la puissance moyenne Pₐ consommée par le récepteur en fonction de U_s,eff et d'un des paramètres du récepteur. Montrer…

Expliquer comment obtenir numériquement à partir de ce nuage de points l'expression des N paramètres d'une fonction Rₑ ; par exemple avec N = 5 paramètres, la fonction : Rₑ(θ) = 54,42 - 1,56 cos (θ)…

Déterminer l'expression de la fonction de transfert H(ω) = |u/X| en fonction de Ωₒ, ω et de Q.

Compléter sur votre copie les lignes 11, 12 et 18 du script 2 (figure 5).

Exprimer U_opt en fonction de K, λ et de x. La tension minimale que peut détecter la carte d'acquisition utilisée est U_opt = 2· 10⁻⁴ V ; quel déplacement minimal du miroir M₂ peut-on espérer…

Déterminer l'expression de l'impédance hydrodynamique en utilisant le modèle de la force de Reynolds. Identifier Z' et Z''.

Quelle est la valeur efficace U_e, eff de la tension u_E.D.F aux bornes d’une prise électrique standard ? Exprimer la puissance moyenne (ou active) P en fonction de φ notamment. Pourquoi EDF…

Déterminer ω : A) ω=200 rad⁻¹ B) ω=2 000 rad⁻¹ C) ω=2 500 rad⁻¹ D) ω=10 000 rad⁻¹

On insère, en série dans le circuit précédent, une bobine d'inductance L=10 mH qui présente à ses bornes une tension u_L(t) d'amplitude u_L,m. Le circuit fonctionne encore en régime établi (Fig…

Déterminer u_L,m : A) u_L,m=4 mV B) u_L,m=40 mV C) u_L,m=400 mV D) u_L,m=4 V

Déterminer u'ₘ : A) u'ₘ≈ 1 V B) u'ₘ≈ 4 V C) u'ₘ≈ 6 V D) u'ₘ≈ 8 V

Exprimer la fonction de transfert du montage de la question précédente. Pour f₁ ≈ f₂ ≈ 40 kHz, proposer des valeurs réalistes pour les composants du filtre F.

Proposer une estimation des valeurs de R_b, L et C.

Sans calcul, mais au moyen de raisonnements justifiés, indiquer lequel des deux circuits proposés correspond aux filtres H₁ et H₂ respectivement, et lequel sera utilisé pour alimenter le tweeter et…

Exprimer |B₂|² et en déduire la condition pour laquelle un tel filtre vérifie la condition (1) qui en fait un filtre de Butterworth d'ordre 2.

Établir une expression simple permettant d'estimer Δ t₁ en fonction des grandeurs utiles parmi ₐ=.dφₐ/dω|_ω=ω₀, _g=.dφ_g/dω|_ω=ω₀ et ω₀.

Expliquer le rôle de la fonction Oper dans le calcul de Δ t₁.

Proposer un commentaire de la figure tracée et conclure.

Montrer que, pour un signal vₑ sinusoïdal de la forme vₑ(t) = Usin (ω t), le signal v_s comporte plusieurs composantes spectrales. Identifier leurs caractéristiques.

Exprimer v_ch(t) comme une combinaison linéaire des v_ch,γ_i(t), i allant de 1 à 6.

Écrire, en notation complexe, l’expression de u₃ en fonction de L₃, M, ω₀, iₑ et i₄.

Déterminer la relation entre u₂, u₃, Rₑ et Y.

Représenter, sans souci d'échelle, les signaux réels s(t) et s'(t) associés aux signaux des deux échos reçus, en faisant apparaître les instants où chaque enveloppe atteint son maximum.

La charge est-elle de nature inductive ou capacitive ? Évaluer le déphasage φ.

Indiquer, parmi les graphes suivants, celui qui représente le spectre en amplitude de uₑ(t). Préciser pourquoi les autres graphes ne conviennent pas.

Représenter le spectre de Fourier en amplitude de u(t), jusqu'à la fréquence 5f incluse.

Rappeler la définition des valeur moyenne U₀ et valeur efficace U_eff du signal u(t), puis les calculer en fonction de E, T et de τ.

À résistance R fixée, justifier qualitativement que le choix de l'inductance de lissage L résulte d'un compromis : que risque-t-il de se passer si L est trop petite ? trop grande ?

Si l'on choisit la fréquence de coupure égale à la fréquence de la composante fondamentale, vérifier que le cahier des charges est respecté. Calculer numériquement la valeur de L si l'on prend R =…

La fonction de transfert du filtre F₂ s'écrit : A) H₂ = jRCω/(2(1+jRCω)) B) H₂ = jRCω/(1+2jRCω) C) H₂ = 2jRCω/(1+2jRCω) D) H₂ = jRCω/(1+jRCω)

La fonction de transfert du filtre F s'écrit : A) H = jRCω B) H = (1-jRCω)/(1+jRCω) C) H = (1-2jRCω)/(1+2jRCω) D) H = (1-2jRCω)/(1+jRCω)

Le filtre F est : A) un passe-bas B) un passe-haut C) un passe-bande D) un intégrateur

On note φ(ω) le déphasage de la tension u_AB(t) par rapport à la tension e(t). Lorsque la pulsation ω varie de 0 à +∞, φ(ω) décroît : A) de π/2 à -π/2 B) de π à 0 C) de 0 à -π D) de 0 à -π/2

On définit l'intervalle de pulsation Δ ω = ω₊ - ω₋ tel que F(ω_±) = Fₘₐₓ /2. Déterminer l'expression de Δ ω en fonction de τ₀.

On souhaite que la tension u_r4 soit proportionnelle au signal informatif. Proposer un montage pour le bloc inconnu, noté « ? » sur la figure 10.

Dans le cas précis du micro de guitare, expliquer pourquoi il n'est pas possible de tracer expérimentalement le diagramme de Bode.

Un potentiomètre de résistance r est traditionnellement ajouté en parallèle de la capacité C. Donner l'expression littérale du nouveau gain statique du circuit en présence de ce potentiomètre. Ce…

Exprimer Z, l'impédance du micro orienté en convention récepteur, en fonction de R, L, C et ω.

Le graphe de la figure 8 représente (|U_Z|)/(|U_r|) en fonction de la pulsation ω pour les deux micros étudiés : trait plein pour le micro Fender et pointillés pour micro Dynasonic. Montrer qu'en…

Les relevés expérimentaux mettent en évidence que pour des fréquences de l'ordre de 1 kHz, Z est dominée par R et L. Montrer que pour ces fréquences L ≃ 1/ω(r (|U_Z|)/(|U_R|))² - R². En déduire la…

Justifier, à partir des mesures expérimentales, l'affirmation suivante : « Le micro Fender sonne plus aigu que le micro Dynasonic ».

Exprimer I_Rmax en fonction de R_R, L_R, M_SR, I_Smax, ω_S et de Ω. Que peut-on dire de I_Rmax pour ω_S = Ω ? Justifier alors le qualificatif de machine asynchrone.

K₁ et K₂ étant ouverts, la fonction de transfert se met sous la forme: H = (a + jbw)/(1 + jw) avec w = ω/ω₀ où a, b et ω₀ sont des constantes indépendantes de ω. Que peut-on affirmer? A) a = 0 et b…

Exprimer Q₁ : A) Q₁ = R(L/C)¹/² B) Q₁ = 1/R(L/C)¹/² C) Q₁ = 1/R(C/L)¹/² D) Q₁ = R(C/L)¹/²

Tracer le coefficient de transmission d'un filtre optique passe-bande en fonction de la longueur d'onde.

En comparant à la situation où les tensions v₁ et v₂ ne sont pas sinusoïdales, préciser les avantages et/ou les inconvénients de la méthode où les tensions sont sinusoïdales.

Représenter l'allure temporelle et spectrale du signal s(t). On se limitera à un nombre fini d'harmoniques (rang k = 3).

En déduire l'équation différentielle liant l'entrée sₑ(t) et la sortie s_s(t) dans le cas d'un filtre passe-bas du premier ordre de temps caractéristique τ qu'on liera à ω_c.

Identifier la zone de fréquences à filtrer et proposer une valeur de fréquence de coupure pour le filtre passe-bas d'ordre 1.

Calculer Z_r et Z_i. En déduire la valeur L de l'inductance propre de l'enroulement ainsi que la valeur de Rₑ.

L'amplitude de la tension d'entrée est portée à la valeur U₀ = 30 mV. Préciser l'intérêt d'une telle augmentation d'amplitude. Proposer, en la justifiant, la forme prévisible pour le signal de…

En déduire l'expression de l'impédance Z = u/i. Y a-t-il dissipation d'énergie dans le matériau ?

Exprimer en fonction de e et des différentes impédances les tensions u_AN et u_BN. En déduire que u = (R₂ Z₀ - R₁ Z)/((R₁ + R₂)(Z₀ + Z)) e.

Le pont de Sauty est dit équilibré lorsque u = 0, quelle que soit la tension e. Montrer que l'équilibre du pont permet de déterminer R et C, dont on donnera l'expression en fonction de R₀, R₁, R₂ et…

Identifier à l'aide des courbes de la figure 11 la nature du filtre acoustique que constitue le résonateur de Helmholtz relié à la conduite. Pour une valeur du coefficient β donnée, expliquer à…

Proposer un montage simple permettant d'éliminer la composante continue. Quel composant électronique permettrait de réaliser le bloc d'inversion du signal ?

Qu'est ce qui permet de qualifier cet essai d'essai en basse fréquence ? Déterminer, à l'aide de l'oscillogramme 1, la valeur numérique de la résistance R₂.

Deux autres essais ont été réalisés en envoyant les tensions sinusoïdales suivantes en entrée du filtre : - e₁(t) = E₀₁cos (ω₀ t) ; - e₂(t) = E₀₂cos (100ω₀ t). Déterminer les expressions analytiques…

À l'aide des oscillogrammes 2 et 3, évaluer avec un seul chiffre significatif, la vitesse v de la voiturette, lorsqu'elle roule sur le support horizontal.

Déterminer, grâce aux questions précédentes, l'expression de l'amplitude de l'intensité I en fonction de E, R, L, C et de ω.

Donner les expressions des amplitudes complexes V_C_1 et V_C_2 en fonction des amplitudes complexes V_A et V_B et des éléments passifs R₁, R₂, R₃, R₄, C₁ et C₂.

Donner les expressions de g_i et τ_i en fonction des éléments passifs. Expliquer comment répondre à l'objectif posé.

Vue depuis le transformateur d'élévation de la tension, la ligne à haute tension est modélisable par un montage en parallèle d'une résistance R et d'une capacité C proportionnelles à la longueur de…

L'alternateur de la centrale a un comportement inductif. Quel phénomène pourrait-il se produire quand on fait varier la vitesse ω de rotation si la résistance R devenait négligeable ?

Établir les comportements à haute fréquence et à basse fréquence du filtre H(iω) = Aₘ/zₘ. Justifier que le diagramme de Bode a l'allure représentée en figure 10.

Nous nous plaçons à nouveau loin au-delà de la pulsation de coupure basse (pour cette question et la suivante). Calculer la valeur du gain G lorsque l'amplificateur est chargée par une résistance…

Sur l'exemple de la question précédente montrer que, lorsque le critère de Shannon-Nyquist est vérifié, un filtrage approprié permet de retrouver le signal analogique de départ. On donnera les…

Quelle expression H₁ (en fonction de ω, g et ℓ) la fonction de transfert prendrait-elle si le pendule oscillait dans l'air, le liquide étant absent ? On néglige dans ce cas les effets de viscosité…

Parmi les trois types de filtres A, B et C représentés sur la figure 7, lequel convient ? Justifier la réponse.

a) En admettant que la formule de la puissance de Larmor P_L = Kₑ γ·γ peut être utilisée, établir la puissance rayonnée P par l’électron. b) Que vaut la puissance notée P₀ pour ω = ω₀ ? Comment…

On peut montrer que cette fonction g(ω) peut s’écrire au voisinage de ω = ω₀ sous la forme approchée g(ω) ≈ 1/(1+((ω₀²-ω²)/τω₀³)²). a) En admettant que les pulsations de coupure haute et basse sont…

On cherche également à déterminer les pulsations de coupure ω₁ et ω₂. On les définit comme les deux seules valeurs qui annulent une fonction supposée continue h(ω). On écrit en Python le programme…

On peut chercher les racines d’une fonction en utilisant la méthode de Newton. On écrit le programme Python suivant : a) Dans la fonction nommée " méthode_newton() ", que représente le paramètre…

A posteriori, le fait que l'oscillateur ne soit pas sinusoïdal vous semble-t-il problématique pour réaliser l'étude en régime sinusoïdal forcé ?

Préciser la dimension de H(jω), puis l'exprimer en fonction de R, ω, ω₀ et de Q. Déterminer le comportement de son module G(ω)=|H(jω)| pour les grandes et les petites pulsations.

En déduire les expressions de R₁ et L₁ en fonction de R₂, R₃, R₄ et C₂.

On fixe R₃ = 100 Ω et R₄ = 10 Ω, et on mesure R₂ = 100 Ω et C₂ = 32,5 . Calculer R₁ et L₁, puis vérifier que cette dernière valeur est compatible avec la valeur de la pression P attendue.

Exprimer Q : A) Q = 1/(R+r_i)√(L/C) B) Q = 1/(R+r_L)√(L/C) C) Q = 1/(R+r_L+r_i)√(L/C) D) Q = 1/R√(L/C)

On suppose désormais, jusqu'à la fin de l'exercice, que ω = ω₀. Quelle relation existe-t-il alors entre u_e,m et eₘ ? A) u_e,m = R/(R+r_L+r_i)eₘ B) u_e,m = R/(R+r_L)eₘ C) u_e,m =…

Déterminer iₘ et u_C,m : A) iₘ = eₘ/(R+r_L) B) iₘ = eₘ/(R+r_L+r_i) C) u_C,m = -j Q H₀ u_e,m D) u_C,m = j Q H₀ eₘ

L'amplitude complexe u_L,m s'écrit alors u_L,m = (a + jb)eₘ où a et b sont des constantes qui ne dépendent que des caractéristiques du circuit. Déterminer a : A) a = r_L/(R+r_L+r_i) B) a =…

Déterminer b : A) b = 0 B) b = 1 C) b = 1/(R+r_L+r_i)√(L/C) D) b = 1/Q

Vérifier que le gain donné par la question [50] est correct pour la gamme de fréquence utilisée.

Quelle est la signification physique de cette rotation ? En donner une explication plausible.

Dans le cas d'une déformation et d'une contrainte harmoniques, établir l'équation algébrique, associée à l'équation différentielle de la question 44, à l'aide des notations complexes introduites au…

Interpréter la courbe de réponse, représentée figure 2, comme celle d'un filtre, dont on précisera la nature, et dont on évaluera par lecture graphique les grandeurs caractéristiques suivantes…

Déterminer l'expression du module |H_elm(ω)| de la fonction de transfert en fonction de H₀, ω, ω₀ et Q_elm. Déterminer pour quelle valeur ωₘ > 0 de ω la réponse du système est maximale, en précisant…

Dans l'approximation d'une résonance aigüe, c'est-à-dire pour Q_elm ≫ 1, exprimer ωₘ en fonction de ω₀. Étudier le comportement asymptotique de |H_elm| pour ω ≫ ωₘ et ω ≪ ωₘ. Représenter…

Comparer la courbe de la fonction de transfert électromécanique obtenue avec la courbe de la figure 2 obtenue expérimentalement. À partir de l'évaluation des paramètres expérimentaux réalisée à la…

Identifier le paramètre électrocinétique responsable de la dissipation dans le système. Est-ce cohérent avec le modèle électromécanique ?

En s'appuyant sur les relations de transformation des tension et courant U₂ = mU₁ et J₂ = J₁/m, exprimer Z'₂ en fonction de Z₂. Caractériser les éléments R'_L et C'₂ constituant le dipôle (D) si…

En ne prenant pas en compte la dépendance de la résistance R_s avec la pulsation, exprimer la pulsation de résonance en courant, notée ω_r, de la branche constituée des éléments R, L, C, R_s et C_s…

Reproduire (approximativement) la figure (15) et y placer (toujours approximativement) le point P₀ correspondant à la situation initiale. Réaliser cette figure suffisamment grande, elle sera…

Identifier et caractériser le dipôle d'impédance Z₃.

Justifier qu'il était possible d'utiliser une bobine (non résistive, afin de rester dans le cadre de cette étude), à la place d'un quartz. Préciser alors quel est l'intérêt du choix d'un quartz.

En régime harmonique de fréquence f, exprimer le rapport des vitesses complexes v_p/v_f en fonction de f et d'une fréquence f₀ à définir en fonction des données. Calculer f₀ numériquement.

Déterminer l'expression de la représentation complexe du déplacement r en régime sinusoïdal forcé en fonction, entre autres, de E₁, représentation complexe du champ électrique de l'onde incidente.

Représenter la décomposition spectrale du signal de la figure 4.

Déterminer la pulsation réduite de coupure x_c à -3 dB.

Exprimer le gain en décibels G_dB(x) puis déterminer les équivalents à basse et haute fréquence.

a) Montrer qu'il existe un domaine de fréquences pour lesquelles la réponse X(t) est proportionnelle à l'accélération a(t). b) Établir la relation entre X(t) et a(t) en fonction de k et m dans ce…

Le document 8 est une synthèse de l'analyse spectrale du tremblement de la main (pour un être humain) ainsi que de ses origines. Il représente la répartition fréquentielle de l'amplitude des…

Déterminer l'expression de la fonction de transfert du sismographe en fonction de m, k, λ, ω et j, nombre complexe tel que j² = -1. De quel type de filtre s'agit-il ?

Écrire deux conditions portant sur la fréquence et les rapports k/m et λ/m pour que l'amplitude U du mouvement de la masse m soit égale à l'amplitude Z₀ du sol. La suspension est-elle qualifiée de…

Le générateur délivre une tension sinusoïdale E(t) de pulsation ω. On utilisera les notations complexes, pour lesquelles E(t) = E₀ ejω t, E(t) s'identifiant alors avec la partie réelle de E(t)…

Montrer que l'admittance motionnelle Yₘ = 1/Zₘ peut s'écrire sous la forme : Yₘ = 1/Rₘ + jCₘω + 1/jLₘω. Donner l'expression des termes Rₘ, Cₘ et Lₘ en fonction de B, ℓ, α, m_T et k.

Montrer que la relation établie à la question Q4. devient, en raisonnant sur les moyennes temporelles, en régime périodique établi : Ei = Ri² + α v² . Commenter ce résultat.

Justifier la structure retenue ci-dessous sur la figure 7 pour les aiguës. Sans développer les calculs, proposer les étapes permettant d'établir la fonction de transfert.

En déduire alors l'expression de la fonction de transfert globale du montage associant les deux blocs fonctionnels filtre puis amplificateur en la mettant sous la forme H_FA = H₁/(1 + j Q [x - 1/x])…

Comment tenir compte de ce condensateur, que l'on peut qualifier de "parasite", dans un nouveau schéma équivalent complet de la bobine.

Conclure sur la façon d'améliorer la qualité de l'oscillateur.

En déduire la fréquence de coupure f_c et que pour f ≪ f_c, S_v(f) = 2 k_B T τ₀ / m*.

Sachant que τ₀ < 10 ns, la condition f ≪ f_c est-elle en général vérifiée en TP ? On supposera cette condition vérifiée par la suite.

La situation illustrée par la figure (7) correspondrait à une expérience réalisée à la pression atmosphérique. Indiquer comment, en pratique, il serait possible d'augmenter |s_i|.

La résistance R intervient dans l'expression du facteur de conversion courant-tension du photodétecteur (se reporter à la question (40)), ainsi que dans celle de sa fréquence de coupure. Commenter…

Justifier le fait qu'il faille chercher la solution de l'équation (2) sous la forme x₂(t) = X₂(ω)e²iω t + X₂*(ω)e⁻²iω t + K où K est une constante.

Expliquer brièvement pourquoi, un choix judicieux de l'origine des temps a permis de simplifier le developpement en série de Fourier u(t). Pour quelle raison peut-on savoir sans calcul que tous les…

Déterminer l'expression générale de la tension u_r(t) en fonction des b_2p+1, de ω_c et de ω.

Déterminer, dans le cas résonant, l'expression du déplacement x(t) et de la vitesse v(t) de l'électron.

En tenant compte des conditions ω < ω₀ et |Δ| ≫ γ, déterminer la polarisabilité α, définie par la relation (I.1).

Montrer que le gain passe par un maximum pour une pulsation ω que l'on exprimera en fonction de ω₁ et ω₂.

Représenter l'allure du gain |K(jω)| de ce filtre en fonction de ω.

Exprimer, uniquement en fonction de R, l'impédance complexe de la branche où R et C sont en série.

Même question pour R et C en parallèle.

Que vaut le rapport |v/v_s| ? Commenter par rapport à l'étude faite en IV.B.

À l'aide des données de l'annexe (page 19), montrer que le développement en série de Fourier du signal I(t) limité à ses trois premiers termes s'écrit I(t) = i₀ + i₁ cos (2π fₘ t) + i₂ cos (4π fₘ t)…

a) Que vaut i₁ en l'absence de rotation ? b) Expliquer pourquoi la détermination de i₁ permet de résoudre les problèmes sur le sens de la rotation et sur la sensibilité aux faibles vitesses évoqués…

Compte tenu des valeurs numériques données dans la figure 1, que pensez-vous de la validité de cette approximation consistant à négliger la contribution de Lₑ dans Zₑ ?

Exprimer Z sous la forme : Z = Rₑ + Rₘ/(1 + j Q_ms ( ω/ω_s - ω_s/ω )) où ω_s est la pulsation associée à la fréquence f_s apparaissant dans l'extrait de notice de la figure 1 et est appelée…

En déduire les expressions des parties réelle Re Z et imaginaire Im Z de l'impédance complexe Z en fonction de Rₑ, Rₘ, ω_s, Q_ms et de ω.

Montrer que Re Z présente un maximum pour une pulsation ωₘₐₓ . Préciser les expressions de ωₘₐₓ et de (Re Z)ₘₐₓ = Re Z(ωₘₐₓ ). Que vaut Im Z(ωₘₐₓ ) ?

Où peut-on lire la valeur de Rₑ sur les graphes de la figure B du cahier-réponses ? Est-elle compatible avec ce qui est annoncé par le fabricant (voir la figure 1) ? Comment pourrait-on mesurer Rₑ…

Déterminer graphiquement les valeurs de f_s et Q_ms à l'aide de la figure B du cahier-réponses. On annotera soigneusement la figure B.

Sachant que f restera inférieure à 2 kHz, justifier le choix de la valeur de R'. On pourra s'appuyer sur l'extrait de notice reproduit dans la figure 6.

En considérant que |I| est constante et égale à I₀, exprimer l'amplitude |X| de x.

Quel est l'écart relatif (ω_P - ω_S)/ω_P ? Commenter.

Quel comportement en fréquence pouvait-on prévoir par la loi théorique de Yates ? Ce comportement est-il vérifié expérimentalement ? On pourra distinguer le cas des basses et hautes fréquences.

Donner le schéma équivalent du circuit aux basses fréquences, et en déduire la valeur asymptotique de v₂. Est-ce cohérent avec l'expression de H ?

Interpréter les comportements aux basses fréquences et hautes fréquences, en comparant les pentes des asymptotes (en dB/décade) mesurées sur le diagramme de Bode et celles déduites de l'expression…

Déterminer l'expression de la fréquence de résonance du système f_r en fonction des paramètres du circuit puis la calculer numériquement. Commenter.

Le choix de la fréquence de travail vous semble-t-il déterminant dans le cadre du couplage inductif résonant ? Comment choisir les valeurs de R, L et C pour optimiser la transmission de puissance ?

La fréquence de résonance f_r dépend-elle de k ? Expliquer en quoi ce résultat est particulièrement intéressant, dans l'objectif d'un fonctionnement à récepteur mobile.

Déterminer l'expression canonique de la fonction de transfert à l'aide de la variable de Laplace p entre le courant I_L (entrée) et V_L (sortie) pour une tension E_eq constante.

Considérons uniquement la boucle correspondant à H₁(p). Pour une entrée en échelon d'amplitude U₀, quelle doit être la valeur de K_v pour que l'erreur statique en sortie soit inférieure à 5% de…

On a représenté figure 3, en coordonnées réduites, la puissance moyenne consommée par le récepteur. Pour quelle valeur de Q est-elle tracée ? Évaluer l'écart relatif δω/ω₀ entre la pulsation du…

On se place dans les conditions de la figure 3. Quelle inductance L faut-il utiliser pour que le transfert de puissance soit maximal à la fréquence f₀ = 200 kHz si C = 20 pF ? Avec ces valeurs, on…

Représenter, dans un diagramme de Fresnel où l'intensité iₑ forme la référence des phases, les quatre grandeurs iₑ, uₑ, u_s et i_s dans le cas des relations simplifiées de la question précédente…

Sachant que la fréquence d'oscillation attendue se situe dans une gamme de l'ordre du kilohertz, montrer que la sonde, association parallèle de R_sonde et C_sonde, est équivalente à la seule…

a) Déterminer les expressions asymptotiques de H en haute et basse fréquences. b) En déduire les expressions des droites asymptotiques du gain G_dB en décibels en fonction de log (f/fₒ). c)…

Dans cette question, il est demandé de faire preuve d'autonomie. Toute démarche même partielle de résolution sera prise en compte. Déterminer numériquement les valeurs du facteur de qualité Q et de…

Que vaudraient les amplitudes de la tension aux bornes du résistor (u_R,res) et aux bornes du condensateur (u_C,res) si le générateur délivrait une tension sinusoïdale d'amplitude 10 V et de…

Exprimer la puissance instantanée I(t) (à une constante multiplicative globale près) en fonction des A_q et des φ_q. Expliquer pourquoi elle ne dépend des phases φ_q qu'à travers leurs différences…

D'après la figure 3, le faisceau d'harmoniques ne comprend que les harmoniques impaires, et deux pics successifs q et q + 2 ont des amplitudes approximativement égales. En un point donné…

Après un temps suffisamment long devant τ, montrer que la mesure de l'amplitude de la variation de T(t) à différentes pulsations ωₘ de la modulation du laser permet d'accéder à la valeur de la…

Déterminer la valeur de K permettant d'obtenir une réponse en boucle fermée la plus rapide possible (il peut y avoir un dépassement).

Exprimer Zₘ(ω) en fonction de ω, R_b, L_b, ω₀, Qₘ, β et γ. Préciser le comportement limite de Zₘ(ω) à très basse fréquence.

Déterminer de même les coefficients qui font du filtre B₃ un filtre de Butterworth d'ordre 3.

Expliquer le rôle de la fonction CalcH. Justifier au moyen d'un raisonnement électronique.

Montrer que v_s = A_V vₑ et préciser l'expression de l'amplification en tension A_V en fonction de gₘ, rₐ et Rₐ. Commenter le signe et calculer cette amplification en décimal et en décibels.

Calculer les valeurs de DH₂ pour U = 0,1 V, U = 0,3 V et U = 0,5 V. Commenter.

Quelle valeur de t₀ permet d'éliminer l'harmonique de rang 3 (p = 1). Exprimer alors V et V_f en fonction de E et γ₀ puis calculer numériquement le taux de distorsion.

En déduire la relation iₑ = Y · u₃ en donnant l’expression de Y en fonction de L₃, N₄, Rₘ, M et ω₀.

Dans la limite où Rₘ tend vers 0, montrer que l’intensité i₄(t) tend vers i_4,lim(t) = -1/(N₁ N₄ Rₑ) u₁(t). Commenter.

Sachant que toutes les mesures ont été réalisées à 25 °C, déterminer la constante de cellule k_cell définie par σ = k_cellVₘ, où Vₘ est l’amplitude de la tension vₘ et σ la conductivité de la…

Montrer que, pour le signal u(t), la grandeur complexe s(t) associée à la sortie du filtre adapté peut se mettre sous la forme : s(t) = α e²iπ f₀ ⁽t⁻t_R⁾ ∫_-∞⁺∞ A(ξ - t) A(ξ - t_R) dξ

Représenter A(ξ - t) et A(ξ - t_R) en fonction de ξ dans le cas t_R - τ ≤ t ≤ t_R. En déduire dans ce cas l'expression de s(t) en fonction de α, A₀, f₀, t_R, τ et de t.

Déterminer l’expression numérique de u_s(t) en prenant f_c = 0,5 Hz. Conclure.

Déterminer, littéralement puis numériquement, la plus petite valeur de τ permettant d'éliminer la première harmonique non nulle de la série de Fourier.

On ajoute au circuit précédent la branche schématisée ci-dessous (Fig. 4), entre les points P et M. Les filtres F₁, F₂ et F étant toujours définis par les mêmes schémas que précédemment à partir du…

Établir l'expression complexe de r(t) en fonction de ω, ω₀, e, m et τ₀ notamment. En déduire l'expression complexe du moment dipolaire induit p.

On obtient l'allure de la figure 4 pour φ en fonction de y. En déduire l'allure du spectre de e(t) pour une vibration sinusoïdale de la corde à la fréquence f = 200 Hz.

Z peut s'écrire sous la forme Z = R (1 + jQω/ω₀)/(1 - ω²/ω₀² + jω/Qω₀). Simplifier l'expression de Z dans l'hypothèse Q ≫ 1 et ω proche de ω₀. Expliquer comment évaluer C à partir des relevés…

Exprimer Q₂ : A) Q₂ = Q₁/√(2) B) Q₂ = Q₁ C) Q₂ = √(2) Q₁ D) Q₂ = 2 Q₁

Donner l'expression des courants mesurés lorsque le matériau magnétocalorique se déplace à une vitesse v.

Nous n'avons pas effectué une étude dynamique du comportement du laser, mais nous avons identifié un certain nombre de temps caractéristiques de son fonctionnement, qui sont soit des périodes…

On choisit une résistance de référence plus faible, R'_ref = 100,00 Ω. Les courbes obtenues sont représentées figure 3b. Interpréter quantitativement le phénomène observé.

Quel signal issu de la décomposition de Fourier discrète permet de mesurer Hₑₓₜ avec le maximum de sensibilité ? Peut-on connaitre le signe de Hₑₓₜ ? Le signal qui détecte la présence du champ…

Préciser le sens concret de la pulsation ω₀. Exprimer, sous la forme de deux inégalités fortes faisant intervenir les grandeurs v, c₀ et f_E, les deux contraintes que doivent vérifier la pulsation…

On pose R₁ = R₃ et R₂ = R₄. Poser une condition ou des conditions sur R₁, R₃, C₁, C₂, R₅, R₆, R₇ et R₈ pour que l'expression de V_S se mette sous la forme : V_S(ω) = g_i/(1+τ_iω)i(ω) où i(t) = [i(ω)].

Établir en utilisant les grandeurs complexes l'expression de l'amplitude complexe Aₘ de Z(t) = L(t) - L_eq = Aₘ exp (iω t) en fonction de zₘ, r = ω₀/ω et Q = ω₀/2λ. Que devient cette expression pour…

On veut que le sismographe suive au plus près les mouvements sismiques verticaux du lieu (proche du forage donc de l'épicentre) où on l'a placé. On sait par des expériences antérieures que le…

De façon analogue, on décrit le mouvement de l'électron sous la forme du produit d'une amplitude r(t) lentement variable à l'échelle de 2π/ω₀ et d'un terme qui oscille à la fréquence propre ω₀/2π…

À très basses fréquences, donner l'expression approchée de l'équation du mouvement. En supposant que la résolution d'un appareil de mesure lié au sismomètre est Δ z, en déduire quelle est…

Sachant qu'on mesure la tension aux bornes de la résistance et qu'on se place en régime sinusoïdal forcé, déterminer la nouvelle fonction de transfert liée au déplacement du bâti H_de = E/X. On…

Établir l'expression de la fonction de transfert H_d = Z/X, reliant X et Z.

Le gain en tension est défini par le rapport suivant : G(iω) = s/e En se plaçant loin au-delà de la pulsation de coupure basse introduite par le condensateur C_B, exprimer le gain à vide G₀…

Exprimer le gain G₀ dans le cas général, c'est-à-dire non restreint au domaine des hautes fréquences. Définir une fréquence de coupure basse f_cBF de cette structure amplificatrice. Calculer sa…

Nous supposons que le système délivrant le signal e est assimilable à un générateur de tension de résistance interne R_G et de force électromotrice e_G (signal source variable que l'on souhaite…

Commenter ces courbes. Quelle inclinaison maximale (en degrés) atteint-on si a₀ = 1 m⁻² ?

Quelles valeurs proposez-vous pour R et C ?

Montrer qu'au bout d'un temps suffisant, ε(t) est une fonction sinusoïdale de pulsation Ω que l'on cherchera sous la forme ε(t) = a cos (Ω t-φ). Exprimera a et φ en fonction de γ, J, Ω et α en…

Calculer U_i en fonction de x (on linéarisera les équations).

On suppose que φ est petit (proche de la résonance) et que η est proche de 1. On note ε = 1 - η. En développant le terme eiφ à l'ordre en 1 en φ dans l'équation (16), calculer X et Y.

Représenter graphiquement les signaux X et Y en fonction de la pulsation ω lorsque l'on est proche de la résonance.

En interprétant l'expression F(ω) = ( Re(Z(ω)) + iω Im((Z(ω))/ω) ) δ(ω) comme une relation entre la force F, l'indentation δ et la dérivée de δ par rapport au temps, proposer une interprétation…

En ignorant le préfacteur 1/C₀ω, déterminer successivement les minima du numérateur et du dénominateur de |Z_AB| en fonction de ω. En déduire si |Z_AB(ω_r)| et |Z_AB(ωₐ)| sont des minima ou des…

L'amplitude de la tension étant fixée par la source, justifier qu'on observe une résonance concernant l'émission d'une onde sonore pour ω = ω_r et une anti-résonance pour ω = ωₐ.

Relier les paramètres électrocinétique C₀, Cₘ, Rₘ et Lₘ aux paramètres électromécaniques γ, C, α, m et k.

Nous nous plaçons dans le cas où m ≥ 1 et nous considérons que C₂ ≫ C. Discuter qualitativement la condition précédente vis-à-vis de la résistance R_L.

Le dispositif électronique réduit alors progressivement la fréquence pour atteindre le point P₁ correspondant à l'amorçage. Placer ce point (approximativement) sur la figure précédente en justifiant…

Il s'agit enfin d'atteindre le point de fonctionnement P₂ correspondant au régime nominal. Placer ce point (approximativement) sur la figure précédente en justifiant sa position. Préciser comment…

Établir la relation liant les grandeurs d'entrée V₁ et de sortie V₃. Nous l'écrirons sous la forme : G₀/R V₁ = Y V₃ L'admittance Y est à exprimer en fonction des impédances Z_i et de la résistance…