Corrigé détaillé X ENS Physique MP 2025

L'énoncé précise qu'il y a invariance du potentiel par rotation autour de l'axe Oz. Le potentiel ne doit donc dépendre des coordonnées transverses que par la distance à l'axe, r_\perp = \sqrt{x^2 + y^2} :

Au voisinage du centre du piège, le milieu est le vide et ne comporte aucune densité volumique de charge (\rho = 0). D'après l'équation de Maxwell-Gauss \mathrm{div}\,\vec{E} = 0 et la relation \vec{E} = -\vec{\nabla} V_{\mathrm{el}}, le potentiel vérifie l'équation de Laplace :

En calculant le laplacien du potentiel sous la forme donnée par l'équation (1) :

On en déduit :

Comme \alpha = \beta, il vient immédiatement :

L'énergie potentielle électrostatique de la particule de charge q = -e dans le potentiel statique s'écrit, d'après les résultats de la question 1 :

La force électrostatique subie par la particule est :

En \vec{r} = \vec{0}, la force s'annule : le centre O du piège est bien une position d'équilibre.

Pour que cet équilibre soit stable, l'énergie potentielle E_{\mathrm{p}} doit présenter un minimum local strict en O, ce qui impose que toutes les dérivées secondes partielles soient strictement positives :

Or, d'après l'expression de E_{\mathrm{p}} :

Ces dérivées secondes sont de signes opposés :

• si V > 0, le confinement est assuré dans le plan horizontal (x,y), mais l'équilibre est instable selon la direction verticale z ;
• si V < 0, l'équilibre est stable selon z, mais instable dans le plan horizontal (x,y).

On applique le principe fondamental de la dynamique à la particule de masse m et de charge q = -e, dans le repère Oxyz supposé galiléen. En l'absence d'autres forces mentionnées à ce stade, la particule est uniquement soumise à la force électrique :

D'après le résultat de la question Q1, avec \alpha = \beta = -1/2 et V(t) = V_0 \cos(\Omega t), le potentiel s'écrit :

On en déduit les composantes du gradient de V_{\mathrm{el}} :

La relation fondamentale de la dynamique m \ddot{\vec{r}} = \vec{F} se projette alors selon les trois axes :

où l'on a posé \omega^2 = \dfrac{e\eta V_0}{m l_0^2}.

On identifie ces équations avec la forme demandée :

Il vient :

Comme q_i = n_i\left(\dfrac{\omega}{\Omega}\right)^2, les entiers recherchés sont :

D'après l'équation (2), le mouvement selon la coordonnée r_i est régi par :

En introduisant la décomposition r_i(t) = R_i(t) + \xi_i(t), la dérivée seconde s'écrit par linéarité \ddot{r}_i(t) = \ddot{R}_i(t) + \ddot{\xi}_i(t), d'où :

Prenons la moyenne temporelle \langle\cdot\rangle sur une période T = 2\pi/\Omega de cette relation, en utilisant la linéarité de l'intégrale :

Examinons les deux termes centraux :

• Pour le terme \langle \ddot{\xi}_i \rangle : par hypothèse, les dérivées de \xi_i(t) sont de moyenne nulle sur une période d'oscillation. On a en effet directement :

  \langle \ddot{\xi}_i \rangle = \frac{\Omega}{2\pi} \int_0^{2\pi/\Omega} \ddot{\xi}_i(t)\,\mathrm{d}t = \frac{\Omega}{2\pi} \left[ \dot{\xi}_i\left(\frac{2\pi}{\Omega}\right) - \dot{\xi}_i(0) \right] = 0

  puisque \dot{\xi}_i(t) est périodique de pulsation \Omega (donc de période T = 2\pi/\Omega).

• Pour le terme \langle R_i(t)\cos(\Omega t) \rangle : la variable lente R_i(t) varie sur une échelle de temps caractéristique \tau \gg \Omega^{-1}. À l'échelle d'une période d'oscillation T = 2\pi/\Omega \ll \tau, R_i(t) peut être considérée comme quasi-constante. Elle se factorise donc hors de la moyenne temporelle :

  \langle R_i(t)\cos(\Omega t) \rangle \approx R_i(t) \langle \cos(\Omega t) \rangle

  Or, la fonction \cos(\Omega t) est de moyenne nulle sur une période :

  \langle \cos(\Omega t) \rangle = \frac{\Omega}{2\pi} \int_0^{2\pi/\Omega} \cos(\Omega t)\,\mathrm{d}t = 0

  Par conséquent, ce terme s'annule : \langle R_i(t)\cos(\Omega t) \rangle = 0.

En réinjectant ces deux résultats, on obtient bien :

a - Forme générale de \xi_i(t)
La fonction \xi_i(t) est un signal périodique de pulsation \Omega, de moyenne nulle sur une période T = 2\pi/\Omega, et sans harmonique de pulsation supérieure ou égale à 2\Omega. Sa décomposition en série de Fourier se résume donc à son harmonique fondamentale à pulsation \Omega sans composante continue :

où A_i et B_i sont des grandeurs quasi-constantes à l'échelle d'une période d'oscillation 2\pi/\Omega.

b - Expression de \ddot{\xi}_i(t) et de \xi_i(t)
En introduisant la décomposition r_i(t) = R_i(t) + \xi_i(t) dans l'équation du mouvement (2), on obtient :

Soustrayons l'équation moyennée obtenue à la question 4, \langle \ddot{R}_i \rangle + q_i \frac{\Omega^2}{2} \langle \xi_i(t)\cos(\Omega t)\rangle = 0 :

Comme R_i(t) varie sur une échelle de temps très grande devant \Omega^{-1}, on a \ddot{R}_i \approx \langle \ddot{R}_i \rangle. De plus, dans le régime \Omega \gg \omega, on a |q_i| \ll 1 ; le terme en q_i \xi_i \cos(\Omega t) est d'ordre q_i^2, négligeable devant le terme en q_i R_i d'ordre q_i. Il en résulte, pour la composante oscillante rapide à la pulsation \Omega :

Puisque \xi_i(t) est purement harmonique à la pulsation \Omega et que R_i(t) est stationnaire à l'échelle de la période rapide, deux dérivations temporelles donnent simplement :

En identifiant les deux expressions de \ddot{\xi}_i(t), on en déduit immédiatement :

(ce qui correspond à A_i = \frac{q_i}{2} R_i(t) et B_i = 0).

c - Comparaison de \xi_i et R_i
Dans le régime \Omega \gg \omega, le paramètre sans dimension q_i = n_i (\omega/\Omega)^2 vérifie :

L'amplitude maximale des oscillations rapides vaut :

La variable rapide \xi_i(t) (appelée micromouvement) est donc d'amplitude très faible devant la composante séculaire lente R_i(t) : le mouvement global est une oscillation lente de grande amplitude autour du centre du piège sur laquelle se superpose un petit tremblement haute fréquence à la pulsation \Omega.

D'après la question 5b, le micromouvement s'écrit :

Insérons cette expression dans le terme de couplage de l'équation séculaire (3) issue de la question 4 :

Puisque R_i(t) varie sur une échelle de temps très grande devant la période d'oscillation 2\pi/\Omega, elle peut être considérée comme constante lors de l'intégration sur une période :

car \langle \cos^2(\Omega t) \rangle = \frac{\Omega}{2\pi}\int_0^{2\pi/\Omega} \frac{1+\cos(2\Omega t)}{2}\,\mathrm{d}t = \frac{1}{2}.

De plus, la dérivée seconde de la variable lente vérifie \langle \ddot{R}_i \rangle \approx \ddot{R}_i(t). L'équation séculaire devient alors :

En multipliant par la masse m, on obtient l'équation du mouvement :

La pulsation propre associée à ce potentiel harmonique effectif est donc :

En utilisant la relation q_i = n_i\left(\frac{\omega}{\Omega}\right)^2 définie à la question 3, on peut également exprimer \omega_i sous la forme :

Comme on se place dans le régime \Omega \gg \omega, on a |q_i| \ll 1, d'où :

Le mouvement séculaire s'effectue donc à une pulsation propre bien inférieure à la pulsation d'excitation du piège.

Le potentiel électrique s'écrit au voisinage du centre :

La particule portant la charge q = -e, la composante selon z de la force électrique subie est :

Pour V_0 < 0, posons k_0 = \dfrac{2e\eta |V_0|}{l_0^2} > 0. La force électrique s'écrit alors :

D'après les questions précédentes, dans le régime q_z \ll 1 (\Omega \gg \omega), le mouvement se décompose en une composante séculaire lente z_0 \approx R_z et une oscillation rapide de faible amplitude \xi_z(t) :

Comme q_z = -4(\omega/\Omega)^2 avec \omega^2 \propto V_0 < 0, on a q_z > 0, de sorte que \xi_z(t) oscille en phase avec \cos(\Omega t).

1. Cas d'une position initiale z_0 > 0 :

• Pour t \in \left[-\frac{\pi}{2\Omega}, \frac{\pi}{2\Omega}\right] modulo \frac{2\pi}{\Omega}, on a \cos(\Omega t) > 0 : la force F_z < 0 est attractive (orientée vers l'origine O). De plus, \xi_z(t) > 0, donc la particule est plus éloignée de l'origine : z(t) > z_0. Comme la force est proportionnelle à la distance z, l'intensité de cette force de rappel vers O est forte.
• Pour t \in \left[\frac{\pi}{2\Omega}, \frac{3\pi}{2\Omega}\right] modulo \frac{2\pi}{\Omega}, on a \cos(\Omega t) < 0 : la force F_z > 0 devient répulsive (orientée vers les z croissants, s'éloignant de O). Mais comme \xi_z(t) < 0, la particule est alors plus proche de l'origine : z(t) < z_0. L'intensité de cette force répulsive est donc faible.

En moyenne sur une période T = 2\pi/\Omega, l'effet attractif l'emporte sur l'effet répulsif : \langle F_z \rangle < 0, la force moyenne ramène la particule vers O.

2. Cas d'une position initiale z_0 < 0 :

• Lorsque \cos(\Omega t) > 0, la force F_z = -k_0 z \cos(\Omega t) > 0 est dirigée vers les z croissants, donc vers l'origine O. Comme \xi_z(t) \propto z_0 \cos(\Omega t) < 0, la particule s'éloigne encore plus de l'origine (|z(t)| > |z_0|), ce qui rend cette force de rappel vers O particulièrement forte.
• Lorsque \cos(\Omega t) < 0, la force F_z < 0 repousse la particule loin de O (vers les z négatifs). Mais \xi_z(t) > 0, de sorte que |z(t)| < |z_0| : la particule est plus proche du centre et subit une répulsion plus faible.

En moyenne sur une période, on obtient \langle F_z \rangle > 0, orientée vers O.

Dans les deux situations, la non-uniformité spatiale du champ électrique couplée à la réponse en phase du micromouvement engendre une force de rappel séculaire dirigée vers le centre du piège :

D'après la question Q6, le mouvement séculaire de la particule est régi par le potentiel harmonique effectif :

associé à une raideur effective :

Si |q_i| est trop faible, la raideur k_{i,\mathrm{eff}} devient très petite : le puits de potentiel est extrêmement peu profond et lâche.

Or, comme le rappelle l'introduction du sujet, la stabilité de la lévitation exige que le piège soit suffisamment rigide pour confiner la particule au centre malgré les perturbations :

• les perturbations environnementales, telles que les chocs avec les molécules du gaz résiduel (qui imposent, par le théorème d'équipartition de l'énergie, des fluctuations thermiques de position \langle R_i^2 \rangle \sim k_B T / k_{i,\mathrm{eff}}, conduisant à une déconfinement si cette amplitude dépasse l_0) ;
• le poids de la particule, qui induirait un affaissement statique \Delta z \approx g/\omega_z^2 rédhibitoire ;
• les perturbations intrinsèques du piège (asymétries résiduelles, anharmonicités).

Il est donc indispensable que |q_i| ne soit pas trop petit afin de garantir une raideur de confinement suffisante pour maintenir la particule piégée.

D'après la question Q3, le paramètre sans dimension q_z s'écrit :

On en déduit l'expression de |q_z| en fonction de la tension V_0 :

En inversant cette relation, la tension V_0 s'exprime sous la forme :

Procédons à l'application numérique avec les valeurs données par l'énoncé :

• m = 2 \times 10^{-18}\text{ kg}
• l_0 = 100\text{ }\mu\text{m} = 10^{-4}\text{ m} \implies l_0^2 = 10^{-8}\text{ m}^2
• \Omega = 2\pi \times 10^3\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1} \implies \Omega^2 = 4\pi^2 \times 10^6\text{ rad}^2\cdot\text{s}^{-2} \approx 40 \times 10^6\text{ s}^{-2} = 4 \times 10^7\text{ s}^{-2} (en prenant \pi^2 \approx 10)
• e = 1{,}6 \times 10^{-19}\text{ C}
• \eta = 0{,}1

Le préfacteur numérique vaut :

Pour la plage |q_z| \in [0{,}1 \,;\, 0{,}3], on obtient ainsi :

• Pour |q_z| = 0{,}1 : V_{0,\min} \approx 0{,}1 \times 12{,}5\text{ V} \approx 1{,}2\text{ V} \approx 1\text{ V}
• Pour |q_z| = 0{,}3 : V_{0,\max} \approx 0{,}3 \times 12{,}5\text{ V} \approx 3{,}7\text{ V} \approx 4\text{ V}

La gamme de tension assurant un bon confinement est donc :

Analysons les symétries géométriques du dispositif constitué de l'anneau et du fil d'alimentation :

• Plan de symétrie (Oxz) (y = 0) : l'anneau circulaire (situé dans le plan z = 0, centré en O) et le fil connecté le long de l'axe (Ox) (pour x < 0) sont invariants par la réflexion y \to -y. Le potentiel électrostatique doit donc être une fonction paire de y :

  V_a(x, -y, z, t) = V_a(x, y, z, t).

  Cette condition est bien satisfaite puisque la variable y n'apparaît dans V_a que sous la forme y^2.

• Plan de symétrie (Oxy) (z = 0) : l'anneau et le fil sont contenus dans le plan horizontal z = 0. La distribution de charges est donc invariante par la réflexion z \to -z, ce qui impose la parité du potentiel par rapport à z :

  V_a(x, y, -z, t) = V_a(x, y, z, t).

  Cette condition est également vérifiée car z n'intervient que par son carré z^2.

• Brisure de la symétrie selon Ox et perte de révolution : la présence du fil du seul côté x < 0 brise l'invariance par rotation autour de l'axe Oz ainsi que la symétrie par réflexion par rapport au plan (Oyz) (x \to -x). Le terme correctif d'ordre le plus bas doit donc être impair en x afin de distinguer x > 0 de x < 0. Dans l'expression de V_a, tous les termes sont de degré impair en x (x^3, x y^2 et x z^2), de sorte que :

  V_a(-x, y, z, t) = -V_a(x, y, z, t) \neq V_a(x, y, z, t).

Le potentiel V_a(\vec{r}, t) respecte donc parfaitement les symétries de la distribution de charges :

tout en traduisant l'asymétrie induite par le fil selon l'axe Ox.

1. Condition sur les coefficients de la partie harmonique (a_x, a_y, a_z) :

Calculons le laplacien de V_{\mathrm{el}}(\vec{r}, t) = \dfrac{\eta V(t)}{l_0^2} (a_x x^2 + a_y y^2 + a_z z^2) :

En sommant ces dérivées secondes, la condition \Delta V_{\mathrm{el}} = 0 conduit immédiatement à :

soit :

2. Condition sur les coefficients de la partie anharmonique (b_x, b_y, b_z) :

Le potentiel anharmonique s'écrit :

Calculons ses dérivées spatiales secondes :

Le laplacien de V_a vaut donc :

Pour que \Delta V_a = 0 soit vérifiée pour tout x, il est nécessaire et suffisant que :

Dans le régime \Omega \gg \omega, le mouvement séculaire de la particule selon la direction x est régi par le potentiel harmonique effectif déterminé à la question Q6 :

À l'équilibre thermodynamique avec le gaz environnant à la température T, le théorème de l'équipartition de l'énergie stipule que l'énergie potentielle moyenne associée à ce degré de liberté quadratique vaut :

La position moyenne étant nulle par symétrie (\langle x \rangle = 0), l'écart-type de la position \sigma_x = \sqrt{\langle x^2 \rangle - \langle x \rangle^2} s'écrit :

Procédons à l'application numérique avec les valeurs de l'énoncé :

• k_B = 1{,}4 \times 10^{-23}\;\mathrm{J\cdot K^{-1}}, T = 300\;\mathrm{K},
• m = 2 \times 10^{-18}\;\mathrm{kg},
• q_x = 0{,}2, \Omega = 2\pi \times 10^3\;\mathrm{rad\cdot s^{-1}}.

On calcule tout d'abord la pulsation propre séculaire :

Puis la vitesse thermique :

Il vient ainsi pour l'écart-type :

Avec un seul chiffre significatif :

D'après le résultat de la question précédente, l'écart-type des fluctuations thermiques de position selon l'axe x vaut :

Cette valeur est du même ordre de grandeur que la dimension caractéristique du piège :

Pour que le confinement soit effectif et stable, il est nécessaire que l'amplitude des oscillations thermiques reste très petite devant la taille du piège (\sigma_x \ll l_0), de façon à ce que la particule demeure confinée au voisinage du centre où le développement harmonique du potentiel reste valable et sans heurter les électrodes.

À température ambiante (T = 300\text{ K}) et pour une seule charge élémentaire (q = -e), il n'est donc pas possible de confiner cette particule dans un tel piège.

D'après la question Q6, le mouvement séculaire du centre d'inertie de la particule dans la direction z est régi par la force de rappel effective issue du potentiel harmonique :

L'axe Oz étant vertical ascendant (Figure 1), le poids de la particule s'écrit \vec{P} = -mg\,\vec{u}_z. À l'équilibre du centre d'inertie selon la direction z, la résultante des forces séculaires est nulle :

On en déduit immédiatement la position d'équilibre z_0 :

Application numérique : Avec g = 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} et \omega_z = 2\pi \times 10^3\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}, on remarque que \pi^2 \approx 9{,}87 \approx g, d'où :

Il vient :

Avec un chiffre significatif :

Le gaz étant modélisé comme un gaz parfait à la température T = 300\text{ K}, son équation d'état relie la pression P et la densité volumique d'atomes n par :

En injectant cette relation dans l'expression du libre parcours moyen l^*, on obtient :

Effectuons l'application numérique avec P = 1\text{ hPa} = 100\text{ Pa}, T = 300\text{ K}, k_B = 1{,}4 \times 10^{-23}\text{ J}\cdot\text{K}^{-1} et a = 10^{-10}\text{ m} :

Le diamètre de la particule étant d = 100\text{ nm} = 1{,}0 \times 10^{-7}\text{ m}, le nombre de Knudsen vaut :

Puisque K_n \gg 1, on a en particulier K_n > 1 :

D'après la théorie cinétique des gaz parfaits, l'énergie cinétique moyenne de translation d'une entité de gaz de masse m_{\mathrm{gaz}} à la température T s'écrit :

On en déduit l'expression de la vitesse quadratique moyenne :

Le gaz considéré étant le diazote \mathrm{N}_2, chaque molécule est constituée de deux atomes d'azote ^{14}\mathrm{N} (chacun formé de 7 protons et 7 neutrons), soit au total A = 28 nucléons. En approximant la masse d'un nucléon par la masse du proton m_{\mathrm{p}} :

Il vient ainsi :

Application numérique :

• k_B = 1{,}4 \times 10^{-23}\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}
• T = 300\text{ K}
• m_{\mathrm{p}} = 1{,}7 \times 10^{-27}\text{ kg}

Conformément à la consigne d'arrondi à un chiffre significatif :

Le transfert thermique entre la particule à la température T et le gaz thermostaté à la température T_0 est modélisé par la loi phénoménologique de Newton (transfert conducto-convectif à l'interface).

La puissance thermique (ou quantité d'énergie perdue par unité de temps) cédée par la surface S de la particule vers le milieu extérieur s'écrit :

Pour une particule sphérique de diamètre d, la surface d'échange vaut S = 4\pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \pi d^2.

Considérons comme système la particule de diamant de masse m, modélisée comme une phase condensée incompressible et indilatable, de capacité thermique massique c_m. Sa capacité thermique est donc C = m c_m.

La température T(t) étant supposée spatialement homogène au sein de la particule, l'énergie interne U vérifie :

Pendant une durée \mathrm{d}t, le système échange de l'énergie thermique :

• en recevant la puissance lumineuse absorbée issue du laser :

  \mathcal{P}_{\mathrm{abs}}(t) = \frac{\mathcal{P}_\ell(t)}{10} = \mathcal{P}_{\mathrm{abs},0} \left[1 + \cos(\omega_m t)\right]

• en cédant au gaz thermostaté le flux thermique surfacique \Phi(t) établi à la question précédente :

  \Phi(t) = h S (T(t) - T_0) = K (T(t) - T_0)

D'après le premier principe de la thermodynamique sous forme de bilan de puissance, on a :

soit :

En regroupant les termes dépendant de T(t) dans le membre de gauche, on obtient l'équation différentielle linéaire du premier ordre régissant T(t) :

ou, sous forme canonique :

D'après la question Q18, l'équation différentielle régissant T(t) est :

En introduisant le temps caractéristique du système :

l'équation différentielle s'écrit sous forme canonique :

Par linéarité, la solution générale est la somme :

1. de la solution générale de l'équation homogène :

   T_h(t) = A \mathrm{e}^{-t/\tau} \quad (A \in \mathbb{R})

2. d'une solution particulière associée au second membre constant :

   T_{\mathrm{stat}} = T_0 + \frac{\mathcal{P}_{\mathrm{abs},0}}{K}

3. d'une solution particulière associée au second membre harmonique de pulsation \omega_m. En adoptant la notation complexe \underline{T}_{p}(t) = \underline{T}_m \mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega_m t}, il vient :

   (\mathrm{j}\omega_m \tau + 1)\underline{T}_m = \frac{\mathcal{P}_{\mathrm{abs},0}}{K} \implies \underline{T}_m = \frac{\mathcal{P}_{\mathrm{abs},0}}{K} \frac{1}{1 + \mathrm{j}\omega_m \tau}

   En repassant dans le domaine temporel :

   T_{\mathrm{osc}}(t) = \frac{\mathcal{P}_{\mathrm{abs},0}}{K\sqrt{1 + (\omega_m \tau)^2}} \cos(\omega_m t - \phi) \quad \text{avec} \quad \tan\phi = \omega_m \tau \quad \left(0 \leqslant \phi < \frac{\pi}{2}\right)

La solution générale est donc :

Déterminons la constante A à l'aide de la condition initiale T(0) = T_0 :

Comme \cos(-\phi) = \cos\phi = \frac{1}{\sqrt{1 + (\omega_m \tau)^2}}, le terme oscillant en t=0 vaut \frac{\mathcal{P}_{\mathrm{abs},0}}{K\left(1 + (\omega_m \tau)^2\right)}. On en déduit :

La température de la particule s'exprime ainsi comme la somme de trois contributions :

avec :

D'après l'expression établie à la question Q19, la température s'écrit sous la forme :

La dynamique de T(t) présente les caractéristiques remarquables suivantes :

• À l'instant initial : T(0) = T_0.
• Régime transitoire (t \sim \tau) : la température moyenne subit un échauffement progressif régi par le terme exponentiel \mathrm{e}^{-t/\tau}, tout en oscillant à la pulsation \omega_m.

• Régime permanent (t \gg \tau) : le transitoire s'éteint et la particule oscille sinusoïdalement à la pulsation \omega_m autour d'une température moyenne stationnaire :

  T_{\mathrm{stat}} = T_0 + \frac{\mathcal{P}_{\mathrm{abs},0}}{K}

  avec une amplitude de modulation thermique :

  \Delta T = \frac{\mathcal{P}_{\mathrm{abs},0}}{K\sqrt{1+(\omega_m\tau)^2}}

L'allure de T(t) est représentée ci-dessous :

D'après l'équation différentielle établie à la question Q18, l'évolution temporelle de la température est régie par :

Le temps caractéristique \tau du régime transitoire correspond à la constante de temps de l'équation différentielle homogène associée :

La particule étant sphérique de diamètre d, son aire de surface vaut :

On en déduit l'expression littérale de \tau :

Pour l'application numérique, avec les valeurs données :

• m = 2 \times 10^{-18}\text{ kg}
• c_m = 500\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{kg}^{-1}
• h = 100\text{ W}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{m}^{-2}
• d = 100\text{ nm} = 1{,}0 \times 10^{-7}\text{ m}, d'où S = \pi \times (1{,}0 \times 10^{-7})^2 \approx 3{,}1 \times 10^{-14}\text{ m}^2

Il vient :

Avec un seul chiffre significatif :

D'après la question Q19, pour un temps t \gg \tau, la contribution transitoire exponentielle s'est éteinte (T_{\mathrm{trans}}(t) \to 0). La particule a atteint son régime établi (permanent), dans lequel sa température oscille de manière sinusoïdale autour de sa valeur moyenne T_{\mathrm{stat}} :

L'amplitude des variations de température à la pulsation de modulation \omega_m s'écrit :

où K = hS est la conductance de fuite thermique et \tau = \frac{C}{K} = \frac{C}{hS} est le temps de réponse thermique de la particule, C désignant sa capacité thermique.

Deux approches permettent de déterminer C à partir de mesures de \Delta T(\omega_m) :

• Mesure de la pulsation de coupure : Pour \omega_m \to 0, l'amplitude tend vers \Delta T_0 = \frac{\mathcal{P}_{\mathrm{abs},0}}{hS}. La pulsation de coupure à -3\text{ dB}, notée \omega_c, correspond à :

  \Delta T(\omega_c) = \frac{\Delta T_0}{\sqrt{2}} \iff \omega_c \tau = 1 \iff \tau = \frac{1}{\omega_c}

  La détermination expérimentale de \omega_c donne immédiatement :

  \boxed{ C = \frac{hS}{\omega_c} }

• Régression linéaire : En inversant et en élevant l'amplitude au carré, on obtient :

  \frac{1}{[\Delta T(\omega_m)]^2} = \frac{K^2}{\mathcal{P}_{\mathrm{abs},0}^2} + \frac{C^2}{\mathcal{P}_{\mathrm{abs},0}^2}\,\omega_m^2

  En traçant \frac{1}{[\Delta T(\omega_m)]^2} en fonction de \omega_m^2, on obtient une droite d'ordonnée à l'origine A = \frac{K^2}{\mathcal{P}_{\mathrm{abs},0}^2} et de pente B = \frac{C^2}{\mathcal{P}_{\mathrm{abs},0}^2}. Le rapport de la pente à l'ordonnée à l'origine donne :

  \frac{B}{A} = \frac{C^2}{K^2} = \tau^2 \implies C = hS \sqrt{\frac{B}{A}}

Cette méthode présente l'avantage de s'affranchir de la connaissance exacte de la puissance lumineuse absorbée \mathcal{P}_{\mathrm{abs},0}. La connaissance de S et de h permet donc d'accéder directement à la capacité thermique C de la particule.

L'expression du taux d'amortissement visqueux est donnée par :

Rappelons les valeurs numériques des grandeurs physiques intervenant dans cette expression, issues de l'énoncé et des questions précédentes :

• Pression résiduelle (question Q15) : P = 1\text{ hPa} = 10^2\text{ Pa} ;
• Diamètre de la particule sphérique : d = 100\text{ nm} = 1{,}0 \times 10^{-7}\text{ m} ;
• Masse de la particule : m = 2 \times 10^{-18}\text{ kg} ;
• Vitesse quadratique moyenne du gaz (question Q16) : v_{\mathrm{qm}} \approx 5 \times 10^2\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}.

Calculons le numérateur et le dénominateur :

On en déduit :

En ne conservant qu'un seul chiffre significatif conformément aux consignes générales du sujet :

D'après l'énoncé, en l'absence de couple visqueux, l'angle \phi est régi par une équation d'oscillateur harmonique non amorti de pulsation propre \omega_\phi, associée à un couple de rappel :

où \phi_{\text{eq}} est la position angulaire d'équilibre. En appliquant le théorème du moment cinétique par rapport à l'axe fixe Oz, et en tenant compte du couple visqueux \Gamma_{\text{visq}} = - I \gamma \dot{\phi}, l'équation du mouvement s'écrit :

En posant \theta = \phi - \phi_{\text{eq}} et en divisant par I, on obtient :

Par identification avec la forme canonique d'un oscillateur du second ordre amorti :

on en déduit l'expression du facteur de qualité :

Application numérique : Avec \omega_\phi = (2\pi) \times 10\text{ kHz} = 2\pi \times 10^4\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1} et \gamma = \frac{40 P d^2}{3 m v_{\mathrm{qm}}} \approx 1{,}3 \times 10^4\text{ s}^{-1} (obtenu à la question 23) :

(ou \mathcal{Q} \approx 6 si l'on prend \gamma \approx 1 \times 10^4\text{ s}^{-1} arrondi à un seul chiffre significatif).

Le centre d'inertie C de la particule étant fixé en O, appliquons le théorème du moment cinétique à la sphère en rotation autour de l'axe (Oz) dans le référentiel galiléen du laboratoire :

où I est le moment d'inertie de la sphère par rapport à l'axe (Oz) passant par son centre :

Les actions mécaniques s'exerçant selon l'axe Oz sont :

• le couple moteur exercé par le faisceau laser : \vec{C}_l = C_l\,\vec{u}_z ;
• le couple résistant dû aux collisions avec le gaz résiduel : \vec{\Gamma}_{\text{visq}} = -I\gamma\dot{\phi}\,\vec{u}_z ;
• le couple de rappel, négligé d'après la consigne.

La projection du théorème du moment cinétique sur \vec{u}_z s'écrit :

La vitesse angulaire \dot{\phi}(t) croît jusqu'à atteindre un régime permanent stationnaire où l'accélération angulaire s'annule (\ddot{\phi} = 0). La vitesse angulaire maximale s'obtient donc par équilibre des couples :

En remplaçant I = \frac{1}{10}m d^2 et l'expression de \gamma = \frac{40 P d^2}{3 m v_{\mathrm{qm}}} établie à la question Q23, on peut également exprimer \omega_{\max} indépendamment de la masse :

Application numérique :

• I = \frac{1}{10} \times (2\times 10^{-18}\text{ kg}) \times (100\times 10^{-9}\text{ m})^2 = 2\times 10^{-33}\text{ kg}\cdot\text{m}^2 ;
• \gamma = \frac{40 \times 100 \times (10^{-7})^2}{3 \times (2\times 10^{-18}) \times 5{,}2\times 10^2} \approx 1{,}3\times 10^4\text{ s}^{-1} (valeur de Q23) ;
• C_l = 10^{-19}\text{ N}\cdot\text{m}.

On en déduit :

En conservant un seul chiffre significatif conformément aux consignes de l'énoncé :

(ou 5\times 10^9\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1} si l'on prend \gamma \approx 1\times 10^4\text{ s}^{-1}).

Le champ électrique dérivant du potentiel électrostatique harmonique V_{\mathrm{el}}(\vec{r}, t) = \frac{\eta V(t)}{l_0^2}\left(z^2 - \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}y^2\right) s'écrit :

Ce champ électrique dépend de manière strictement linéaire des coordonnées spatiales.

Les deux charges sont situées en P_1 et P_2 telles que :

La particule n'étant soumise qu'aux actions électriques du piège sur ses deux charges -e, la résultante des forces extérieures s'exprime par :

Par linéarité spatiale du champ électrique \vec{E}, les contributions du vecteur \overrightarrow{CP}_1 s'annulent exactement :

La force totale s'écrit donc :

En appliquant le théorème du centre d'inertie dans le référentiel galiléen du laboratoire, m\ddot{\vec{r}}_C = \vec{F}_{\mathrm{ext}}, on obtient par projection sur les axes Ox, Oy et Oz :

Avec V(t) = V_0 \cos(\Omega t), ces équations se mettent sous la forme de l'équation (2) de la question 3 :

où les coefficients sans dimension sont :

avec \omega'^2 = \frac{2e\eta V_0}{ml_0^2} = 2\,\omega^2, ce qui correspond aux coefficients n_x = 2, n_y = 2 et n_z = -4 de la question 3.

a - Moment \vec{\Gamma}_{O,i} de la force électrique sur la charge en P_i :

D'après les questions 1 et 3, le potentiel électrostatique dans le piège s'écrit (en l'absence d'anharmonicité) :

Le champ électrique créé au point \vec{r} = (x, y, z) vaut donc :

La force subie par la charge q = -e située en P_i(x_i, y_i, z_i) est :

Le moment de cette force par rapport au point O est donné par :

En effectuant le produit vectoriel composante par composante :

Il vient ainsi :

b - Moment total des forces électriques par rapport à O :

Les positions des deux points P_1 et P_2 sont repérées par :

En développant les produits de coordonnées pour chaque point :

Le moment total \vec{\Gamma}_O = \vec{\Gamma}_{O,1} + \vec{\Gamma}_{O,2} s'en déduit directement :

D'après la question Q27, le moment total par rapport au centre O s'écrit :

D'après le théorème du moment cinétique appliqué au solide dans le référentiel d'étude (ou dans le référentiel barycentrique), la rotation propre de la particule autour de son centre d'inertie C est régie exclusivement par le moment des forces extérieures calculé par rapport à C, noté \vec{\Gamma}_C :

L'autre terme, qui s'identifie à \vec{OC} \wedge \vec{F}_{\mathrm{ext}} où \vec{F}_{\mathrm{ext}} = -2e\,\vec{E}(\vec{r}_C) (d'après la question Q26) :

décrit le moment orbital de la résultante des forces extérieures par rapport à O. Il régit l'évolution du moment cinétique orbital du centre de masse \vec{L}_O(C) = \vec{OC} \wedge m\vec{v}_C, c'est-à-dire le mouvement de translation globale de la particule autour de l'origine.

Les points P_1 et P_2 étant diamétralement opposés sur une particule sphérique de diamètre d et de centre C, on a \overrightarrow{CP}_2 = -\overrightarrow{CP}_1, d'où :

En utilisant l'expression approchée donnée pour \vec{v}, il vient :

Par identification avec \overrightarrow{CP}_1 = (\delta x)\vec{u}_x + (\delta y)\vec{u}_y + (\delta z)\vec{u}_z, on obtient :

D'après la question Q28, le couple des forces électriques par rapport à C s'écrit :

En y injectant les expressions de \delta x, \delta y et \delta z :

Le moment d'inertie de la sphère homogène est donné par I = \frac{2}{5}m\left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{1}{10}md^2. Les relations de la dynamique admises par l'énoncé fournissent alors :

En simplifiant par \frac{1}{10}md^2 et en remplaçant V(t) = V_0\cos(\Omega t), on obtient :

D'après la question Q29, les équations d'évolution pour les deux angles d'orientation s'écrivent :

En substituant V(t) = V_0 \cos(\Omega t) et en rappelant que \omega^2 = \frac{e\eta V_0}{m l_0^2}, ces équations deviennent :

À la question Q3, les équations du mouvement de translation étaient mises sous la forme :

Pour mettre les équations angulaires sous cette même forme :

on définit la pulsation caractéristique rotationnelle \omega_r par :

En écrivant q_{\phi_k} = n_{\phi_k} \left(\frac{\omega_r}{\Omega}\right)^2, l'identification du coefficient devant \phi_k impose :

soit :

Comparaison avec la question Q3 :

• Forme mathématique : Les angles \phi_1 et \phi_2 obéissent à des équations de Mathieu indépendantes et identiques, tout comme les variables spatiales x et y à la question Q3.
• Signe du couplage : Les constantes numériques associées valent n_{\phi_1} = n_{\phi_2} = 2 > 0, exactement identiques à n_x = n_y = 2. Le comportement dynamique instantané est donc en phase avec celui des directions transverses x et y.
• Échelle de fréquence : La pulsation caractéristique de rotation \omega_r = \sqrt{15}\,\omega \approx 3{,}9\,\omega est nettement plus élevée que celle de translation \omega, traduisant une raideur angulaire plus forte due à la faible inertie de la sphère (I = \frac{1}{10}md^2).