Premier et second principes : 296 questions de concours corrigées

Rappeler la loi de Laplace. Déterminer l'expression de la compressibilité isentropique χ_S dans le cas d'un gaz parfait à la pression P₀, à la température T₀, de masse volumique ρ₀, et dont l'indice…

Lorsque la transformation est telle qu'il n'y a pas d'entropie créée, comment varie l'entropie S d'un volume V de fluide si celui-ci reçoit un transfert thermique Q de la part du milieu extérieur à…

a) Préciser combien vaut dS pour une transformation adiabatique réversible. b) Montrer que pour une telle transformation, on obtient : dT/T + (γ - 1)dV/V = 0. c) En déduire la relation entre volume…

On suppose les phases de compression puis de détente lentes. Quelle(s) conséquence(s) cela-a-t-il sur la nature des évolutions du gaz ? Une réponse argumentée est attendue.

On dépose une masse m sur le piston, que l'on a préalablement bloqué. Puis on libère le piston qui s'enfonce dans le gaz, et on admet qu'il s'immobilise (rapidement); un nouvel état d'équilibre…

En déduire la relation de Laplace qui relie les variations de pression P et de volume V d'un gaz parfait évoluant de manière isentropique depuis un état initial (P₀, V₀).

En régime stationnaire, que dire des variations élémentaires d’énergie interne dU et d’entropie dS du module entre les instants t et t+dt ? On assimile le module à une phase condensée incompressible…

Quel est le travail W_BC (algébriquement) reçu par le gaz lors de la transformation B → C ? A) W_BC = -nRT_C ln (V_C/V_A) B) W_BC = nRT_C ln (V_C/V_A) C) W_BC = (nRT_C V_C)/V_A D) W_BC = -p_A V_C

On considère la transformation suivante. Un gaz unitaire, initialement à l'équilibre, est enfermé dans une boîte de volume V fixé. On apporte lentement une petite quantité de chaleur au gaz. En…

Estimer la durée nécessaire pour atteindre la température maximale de 40°C depuis une température initiale de 20°C. La puissance de chauffage de l'unité de contrôle indiquée sur le manuel est P_c =…

Exprimer W₁₂ et Q₁₂ : A) W₁₂ = 0 B) W₁₂ = -p₁ V₁ C) Q₁₂ = (nγ R T₁ (κ - 1))/((γ - 1)κ) D) Q₁₂ = (nR T₁ (1 - κ))/((γ - 1)κ)

Calculer le travail W_C reçu par la particule lors de l'étape C. En déduire le travail Wₘ reçu par le mécanisme au cours d'un cycle complet.

En déduire le travail W puis la chaleur Q reçus par la particule au cours d'un cycle.

Rappeler l'expression du premier principe et du deuxième principe de la thermodynamique. Que deviennent ces expressions sur un cycle thermodynamique ?

Exprimer les rapports T_C/T_B et T_D/T_E en fonction du rapport volumétrique a = Vₘₐₓ /V_min .

Appliquer le second principe de la thermodynamique au fluide au cours d'un cycle réversible.

À l'aide d'un bilan d'énergie, montrer que T(t) vérifie l'équation différentielle suivante : dT/dt + a T⁴ = b où a et b sont des constantes positives à exprimer en fonction de Pₜ, S, m, c et σ.

À l'aide du premier principe, exprimer T₂ en fonction de T₁, V₁ et p₂ : A) T₂=T₁+(p₂ V₁)/nR B) T₂=T₁/γ+(p₂ V₁)/nR C) T₂=T₁+(p₂ V₁)/nC_Vm D) T₂=T₁/γ+(p₂ V₁)/nC_pm

On considère un gaz parfait de n moles à la température T dans un volume V_A. On fait subir une détente isotherme à ce gaz, avec un volume final égal à V_M. Calculer la variation d'enthalpie libre Δ…

On suppose que la température de la particule est homogène. Écrire l'équation différentielle régissant son évolution temporelle T(t). On posera P_abs,0 = P₀/10 et K = hS.

Exprimer les transferts thermiques sur les phases AB, BC, CD et DA en fonction des températures T_A, T_B, T_C et T_D aux divers points du cycle. En déduire l'expression η_rv du rendement du cycle…

À l'aide d'un bilan énergétique entre t et t+dt, établir l'équation différentielle régissant l'évolution temporelle de la température du filament T(t) (supposée uniforme). On pourra négliger le flux…

On considère la transformation suivante. Un gaz unitaire est enfermé dans une boîte de volume V dont l'une des parois est un piston mobile. Les parois sont parfaitement isolantes thermiquement…

Montrer que l'écart de température est de la forme T_int(t) - Tₑₓₜ = (T_int(0) - Tₑₓₜ)e⁻t/τ et calculer le temps caractéristique τ dont on commentera la valeur.

Montrer que l'écart de température est de la forme T_int(t) - Tₑₓₜ = (T_int(0) - Tₑₓₜ)e⁻t/τ et calculer le temps caractéristique τ dont on commentera la valeur.

Exprimer la capacité thermique C du calorimètre équipé de ses accessoires (thermomètre + barreau aimanté) en fonction de cₑ, m₁, m₂, T₁, T₂ et de T₃.

Donner l'expression de la dérivée dP/dV pour chaque transformation en fonction de γ, P et V et représenter les étapes du cycle dans le plan (P, V).

Exprimer la variation infinitésimale d'entropie du système S en fonction des variations de température et de pression, puis en fonction de P₁, V₁, T₁, et des capacités thermiques massiques. On ne…

Exprimer la différentielle totale de l'enthalpie libre massique dg en fonction des variations infinitésimales de la température dT et de l'excitation magnétique dH.

À partir de l'égalité (∂² g)/(∂ H ∂ T) = (∂² g)/(∂ T ∂ H) et des propriétés de la différentielle totale de g, montrer que si M dépend de T alors s dépend de H.

En appliquant le second principe sous forme infinitésimale, écrire la relation entre δ Q_f, δ Q_c, T' et θ_c.

On suppose que le fluide évoluant de façon isentropique se comporte en outre comme un gaz parfait. Justifier que pρ⁻γ = Cste où γ est le rapport entre les capacités thermiques à pression et volume…

Déterminer le travail (algébrique) W_E_i E' reçu par le gaz au cours de la transformation T1. A) W_E_i E' = (p_i V_i)/(1 - γ)[(1 + ε)¹ ⁻ ¹/γ - 1] B) W_E_i E' = (p_i V_i)/(γ - 1)[(1 + ε)¹/γ ⁻ ¹ - 1]…

Montrer que, pendant la phase de chauffe, la température Tₑ(t) vérifie une équation différentielle qui peut se mettre sous la forme (d(Tₑ - T_f))/dt - (Tₑ - T_f)/τ₁ = (R_f I²)/C (5) où l'on…

Exprimer W₁₂, le travail reçu par le fluide au cours de la compression, en fonction de n, R, T₁ et r. En déduire le transfert thermique Q₁₂ reçu par le fluide au cours de cette compression en…

À l'aide de la deuxième identité thermodynamique, montrer que la variation d'entropie d'un GP est égale à : Δ S = S_F - S_I = C_P · ln (T_F/T_I) - n · R · ln (P_F/P_I) Comparer alors T_F-IRREV et…

Montrer que l'enthalpie généralisée h_* = h + gz est constante.

En déduire une expression du gradient thermique Γ_d défini par : Γ_d = -.dT/dz|_d où l'indice d permet de préciser qu'il s'agit de la valeur pour une atmosphère isentropique sèche. Calculer…

Le gradient thermique pour une atmosphère saturée est noté : Γ_s = -.dT/dz|_s, où l'indice s note le caractère saturé de l'atmosphère. Déduire des résultats précédents que l'on a toujours : Γ_s <…

On considère une quantité de gaz donnée. On note s la variation de son entropie massique. Démontrer en calculant la variation d'enthalpie de cette quantité que s = c_P τ/T₀ - p/(T₀ ρ₀)

En appliquant le premier principe de la thermodynamique, trouver la relation qui lie l'énergie interne de combustion de l'huile Δ_combU, celle de l'étalon acide benzoïque Δ_combUₑₜ, et les…

On s'intéresse au modèle isentropique, pour lequel l'entropie du gaz est supposée indépendante de la coordonnée verticale z. Écrire tout d'abord l'équilibre hydrostatique d'une parcelle…

Quelle est l'énergie nécessaire pour vaporiser à pression constante 1 kg d'eau initialement à 15 ^ et de température finale 800 ^ ?

On admet que dp/dz=-ρ g. Déterminer la fonction T(z). Parmi les réponses proposées, T₀ désigne la température au sol (z=0). A) T(z)=T₀(1-z/H) avec H=(γ RT₀)/((1-γ)Mₐ g) B) T(z)=T₀(1+z/H) avec H=(γ…

Déterminer la loi d'évolution de a_Λ(t) pour un Univers dominé par l'énergie noire, en prenant comme condition initiale a_Λ(t₀) = a₀. Tracer a_Λ(t). Est-ce compatible avec une expansion accélérée de…

Comparer T₁, la température réelle en sortie de compresseur et T_1 is cette température dans les conditions isentropiques. Justifier.

a) Tracer l'allure du diagramme d'état de l'eau avec en abscisse la température et en ordonnée la pression en indiquant les phases stables dans les différents domaines. b) Calculer numériquement la…

À l'aide du premier principe de la thermodynamique, montrer que la température T(t) du système vin + bouteille vérifie une équation différentielle de la forme : dT/dt + T/τ = K. Préciser également…

Démontrer, à l'aide d'un bilan d'énergie sur un système judicieusement choisi et en explicitant toute hypothèse éventuellement utile, l'équation P = Dₘ(h_s - hₑ) où h_s et hₑ sont les enthalpies…

Si la température de la Terre passe uniformément à T_T = T_T,eq + Δ T, donner la différence de puissance Δ P entre les puissances alors reçue et émise par la Terre (on supposera que |Δ T| ≪ T_T,eq…

Discutez le mouvement vertical ultérieur de la parcelle d'atmosphère, selon que T_f < T(z_i + dz) ou T_f > T(z_i + dz). Quelle situation correspond à une atmosphère stable ? à une atmosphère…

On suppose que l'évolution de l'Univers est adiabatique réversible, et que le seul travail est celui des forces de pression. En raisonnant sur l'évolution temporelle d'un volume d'Univers délimité…

On suppose par la suite que le fluide remplissant l'Univers est décrit par une équation d'état P = wu, où w, qui est une constante décrivant le fluide en question, est nommé paramètre d'état…

Faire un bilan entropique littéral pour m = 1 kg d'eau qui passe de l'état surfondue à θ_i = -10^ à l'état solide à θ_f = -10^ en calculant : a) la variation d'entropie de l'eau, b) la variation…

Rappeler la loi de Laplace reliant T et P et ses hypothèses d'application.

Exprimer Q₂₃, le transfert thermique reçu par GP lors de la phase 2 → 3, en fonction notamment des températures T₂ et T₃.

Exprimer Q₄₁, le transfert thermique reçu par GP lors de la phase 4 → 1, en fonction notamment des températures T₁ et T₄.

Donner l’expression de la masse volumique au repos ₀ en fonction de la pression P₀ et de la température T₀. Quelle relation existe-t-il entre P et pour une quantité de gaz parfait subissant une…

Le système étant dans l'état (2), on ferme l'interrupteur K. Le générateur, de force électromotrice (tension) E, débite alors un courant dans un résistor de résistance r situé dans l'enceinte (Fig…

Supposant qu'on puisse convertir tout ce travail récupérable en électricité, combien de temps peut-on allumer une ampoule LED qui consomme environ 9 W avec un réservoir d'1 m³ d'eau salée et d'1 m³…

Rappeler la définition d'un thermostat. Donner la condition portant sur leur capacité thermique qui permettrait de considérer les solides S₁ et S₂ comme des thermostats.

On montre de façon analogue que la puissance thermique algébrique P_F fournie par la source froide au module s’écrit : P_F = -α I T_F - (Δ T)/R_th - 1/2 R_él I². En déduire l’expression de la…

Exprimer l'enthalpie massique de l'air sec, notée hₐ, en fonction de T (en °C) et des données. Faire de même avec l'eau liquide (notée h_el).

Que vaut le transfert thermique (ou chaleur) Q_BC (algébriquement) reçu par le gaz lors de la transformation B → C ? Parmi les réponses ci-dessous, Δ_BC U désigne la variation d'énergie interne du…

Exprimer le transfert thermique (ou chaleur) Q_CA ainsi que le travail W_CA reçus (algébriquement) par le gaz lors de la transformation C → A : A) Q_CA = -C_V Δ T B) Q_CA = -C_P Δ T C) W_CA = p_A Δ…

Exprimer, en fonction des températures, P_th,ec, la puissance reçue par l'eau chaude au niveau de l'évaporateur (cf. figure 2).

Quels sont les signes de Q₃₄ et de Q₄₁ ? A) Q₃₄ > 0 B) Q₃₄ < 0 C) Q₄₁ > 0 D) Q₄₁ < 0

Caractériser qualitativement la variation de pression du système S le long du cycle, en d'étaillant les transformations entre chaque état thermodynamique : 1 → 2, 2 → 3, 3 → 4 et 4 → 1.

Déterminer, compte tenu de l'évolution de la température observée (figure 4), si le calorimètre est parfaitement calorifugé.

Déterminer de même la puissance thermique P_ifr reçue depuis la source froide durant le cycle.

Quelles sont, en fonction de V_i, ε et γ, les expressions de V' et de V_f ? A) V' = V_i(1 + ε)⁻¹/γ B) V' = V_i(1 + ε)¹/γ C) V_f = V_i(1 + ε) D) V_f = V_i/(1 + ε)

Donner l'expression de T' en fonction de T_i, ε et γ. A) T' = T_i(1 + ε)⁻¹/γ B) T' = T_i(1 + ε)¹ ⁻ ¹/γ C) T' = T_i(1 + ε)¹/γ ⁻ ¹ D) T' = T_i(1 + ε)γ ⁻ ¹

La transformation étant adiabatique réversible, quelle relation lie µ(x) à µ₀, P(x) et P₀ ?

L'anémomètre à fil chaud est utilisé en maintenant la température T_f constante. Pour permettre cela, un système de rétroaction adapte l'intensité dans le fil en fonction des variations de vitesse…

On mesure la tension E_f aux bornes du fil (en convention récepteur). Établir la relation entre E_f et U, en fonction de R_f, R₀, K, a₀ et b₀.

Le gel de l'eau induit un transfert thermique de l'eau vers l'air. Que vaut ce transfert thermique q lors du gel de 1 kg de glace ?

Que vaudrait le transfert thermique Q cédé par la glace lors du gel de la totalité du lac ? On donnera le résultat sous forme d'une puissance de 10.

On étudie le turbinage adiabatique réversible d'un air à 220^ d'une pression initiale de 10 bar à une pression finale de 1,0 bar. En utilisant le diagramme en annexe, évaluer la température finale…

Déterminer la variation d'énergie interne Δ U entre l'état initial et l'état final du système constitué par les deux gaz (on indique que Δ U est la somme des variations des énergies internes des…

En régime stationnaire, justifier que le flux thermique Φ_th dégagé par un manchot est égal à la puissance Pₘ due à son métabolisme.

Déterminer la valeur de l'énergie calorifique Q nécessaire pour chauffer l'eau.

En déduire le temps nécessaire Δ t pour chauffer l'eau. On précisera le résultat en heures.

Définir une transformation isotherme et une transformation adiabatique.

Appliquer le premier principe de la thermodynamique au fluide au cours d'un cycle réversible.

Appliquer le premier principe de la thermodynamique au fluide au cours de ce cycle.

Exprimer le transfert thermique δ Q_c en fonction de mₑ, de la capacité thermique massique de l'eau cₑ et de la variation élémentaire dTₑ de température de l'eau.

Sachant que les mouvements verticaux des masses d'air sont des transformations thermodynamiques isentropiques, quelle relation vérifient la température T et la pression p d'une masse d'air…

Proposer une expérience permettant de déterminer la masse volumique ρ du cuivre, puis une autre permettant de déterminer sa capacité thermique massique c.

Établir l'expression de la pression P_j en fonction de T_i, P_j, P_i et du coefficient isentropique de l'air γ.

Sous l'action d'un champ magnétique (phase d'aimantation), les moments magnétiques du matériau s'alignent. En déduire le sens de variation de l'entropie magnétique Sₘ du matériau.

La figure 5 représente la variation d'entropie magnétique Δ Sₘ du gadolinium en fonction de la température pour trois valeurs de champs magnétiques appliqués. Quelle valeur du champ magnétique…

Donner l'expression de la pression P₂ en fonction de P₁, T₁, T₂ et γ. Effectuer l'application numérique.

Utiliser le premier principe de la thermodynamique pour montrer qu'en l'absence de travail le transfert thermique vaut δ Q = ρ₀ c_P dV dT. En déduire que, pour les petites variations autour de…

Déterminer T₁(x) et exprimer Tₐ en fonction de γ, T₀, p₀ et pₐ.

Calculer l'énergie thermique reçue par la pastille de sel pour une dissolution complète supposée monotherme.

La sphère précédente modélise la Terre. En supposant que l'énergie gravitationnelle est convertie totalement en énergie thermique, exprimer la température T_eq atteinte par la Terre à partir d'une…

La sphère précédente modélise la Terre. En supposant que l'énergie gravitationnelle est convertie totalement en énergie thermique, exprimer la température T_eq atteinte par la Terre à partir d'une…

En appliquant le premier principe de la thermodynamique à la planète Terre, établir une relation entre P_c et P_s en régime permanent.

Exprimer la température T₄ en fonction de T₃, V_b, V_h et de γ.

Exprimer la température T₁ en fonction de T₂, V_b, V_h et de γ.

Quelle quantité d'énergie E⁽r⁾ le gaz reçoit-il durant cette transformation? A) E⁽r⁾=0 B) E⁽r⁾=-E²τ/r C) E⁽r⁾=E²τ/r+p₂(V₃-V₂) D) E⁽r⁾=E²τ/r-p₂(V₃-V₂)

Déterminer T₃ : A) T₃=T₂ B) T₃=T₂+E²τ/nrR C) T₃=T₂+E²τ/nrC_pm D) T₃=T₂+(E⁽r⁾)/nC_Vm

On estime le débit du fleuve de l'Amazone à 200 000 m³⁻¹. Le fleuve, constitué principalement d'eau douce, se jette dans l'océan Atlantique, qui peut être considéré comme un réservoir d'eau salée…

Déterminer un système de deux équations différentielles vérifiées par T₁(t) et T₂(t). On fera apparaître une durée τ, caractéristique de l'évolution de T₁(t) et T₂(t), et dépendant de R_th et C_th.

Établir une relation liant, pendant une telle transformation, la pression P et le volume molaire Vₘ en fonction de b et de γ.

Exprimer la force de poussée F_p(t) exercée sur le culot du projectile en fonction de P_i, V_c, n, b, a, X(t) et q.

On considère d'abord que toutes les évolutions au sein du cycle ABCDAEA sont réversibles. Montrer que les transformations AB et CD sont décrites par deux droites parallèles et déterminer leur pente…

Reproduire sur votre copie le diagramme de la figure 3 en y ajoutant les isothermes de températures T_f (température minimale du cycle) et T_c (température maximale du cycle).

Conclure quant à la stabilité de l'atmosphère relativement aux mouvements verticaux de l'air.

En supposant un rendement de chauffe de 100 %, exprimer la durée Δ t de fonctionnement en continu de la chaudière pour réchauffer jusqu’à θ_f = 26 °C toute l’eau du bassin, initialement à θ_i = 20…

Calculer le débit massique Dₘ de butane nécessaire en g⁻¹, puis en g⁻¹.

Exprimer le travail précédent en fonction de p_A, V_A, T_A, Δ T et Δ V : A) W_BC = p_A V_A (1 + (Δ T)/T_A) ln (1 + (Δ V)/V_A) B) W_BC = -p_A V_A (1 + (Δ T)/T_A) ln (1 + (Δ V)/V_A) C) W_BC = -p_A V_A…

Estimer la durée nécessaire pour atteindre la température maximale de 40^ depuis une température initiale de 20^. La puissance de chauffage de l'unité de contrôle indiquée sur le manuel est P_c =…

En considérant que la bulle évolue de façon isentropique, obtenir une autre relation entre Pₐ(t) et ε(t).

La compression isentrope entre les points 4 et 1 est représentée sur le diagramme (P, h) du document réponse 3. Justifier sa forme.

En déduire la valeur de cₐ, capacité thermique massique de l'ammoniac liquide.

Exprimer dans le cas réel Pₑf, la puissance reçue par l'eau froide au niveau du condenseur, puis en déduire la valeur de T₈.

On définit le rapport volumétrique de compression x = Vₘₐₓ /V_min , ainsi que le rapport volumétrique de détente y = Vₘₐₓ /V_C. Exprimer les pressions P_B et P_D en fonction de Pₐₜₘ, x, y et du…

Exprimer l'énergie reçue par R₂ entre t = 0 et t = t₁ en fonction de R₂, L₂, M, I₀ et de t₁, en supposant que t₁ ≪ τ₂. Quel est l'effet de cette énergie sur le plasma ?

Exprimer l'enthalpie massique de dissolution de NaCl dans l'eau, notée Δ_diss h, en fonction de cₑ, C, m₃, m₄ et de Δ T.

Exprimer W₂₃ : A) W₂₃ = 0 B) W₂₃ = -(nR T₁ (κ - 1))/κ C) W₂₃ = (nR T₁ (κ - 1))/κ D) W₂₃ = -(nR T₁)/κ

Exprimer Q₂₃ : A) Q₂₃ = 0 B) Q₂₃ = nR/(γ - 1) ln κ C) Q₂₃ = (nR T₁ γ)/(γ - 1)((κ - 1)/κ) D) Q₂₃ = (nR T₁)/(γ - 1)((1 - κ)/κ)

Que vaut W ? A) W = 0 B) W = nR T₁ ((κ - 1))/κ C) W = nR T₁ ((κ - 1)²)/κ D) W = nR T₁ κ²

Montrer qu'une application naïve du second principe sur un cycle conduit à une contradiction.

En déduire la chaleur Q_C reçue par la particule pendant l'étape C, puis la variation de l'entropie de la particule (Δ S)_C pendant l'étape C.

Considérons « l'étape A suivie de l'étape B » comme une seule étape notée AB. Déterminer la chaleur Q_AB reçue par la particule pendant cette étape AB.

En déduire le travail reçu par le mécanisme de la machine de Landauer sur un cycle complet.

Déterminer la chaleur Q_R reçue par la mémoire pendant l'étape de réinitialisation.

Que peut-on en déduire concernant le coût énergétique pour effacer 1 Go (giga-octet) d'information à température ambiante ? Comparer ce coût à la puissance électrique typique d'un ordinateur et…

Exprimer Wₘ sous la forme d'une somme que l'on ne cherchera pas à évaluer à ce stade.

Vérifier la compatibilité de cette courbe avec le résultat trouvé en partie 1. Voyez-vous une explication évidente au fait que cette courbe soit décroissante ?

Comparer les valeurs de Wₘ pour N = 1 et N = 2. Justifier simplement ce résultat.

La position de la bosse principale correspond-elle qualitativement à ce que l'on aurait pour la machine de Szilard de la partie 1 ? Cela vous semble-t-il surprenant ?

Déterminer le travail W fourni pendant un cycle en fonction de Q, T₁, T₂, Σ et τ.

Montrer que pour Q fixé, la puissance est maximale pour une valeur de τ qu'on déterminera, et qu'on notera τ₂.

Calculer le rendement de la machine thermique lorsque la puissance est maximale. On le notera η₂.

À partir du modèle de matériau proposé pour M(T, H), en déduire l'expression de la variation d'entropie massique du matériau, notée Δ s, pour un champ µ₀ H variant de 0 à 1 tesla.

Sachant que Δ T_adia ≈ 2 K, expliquer pourquoi les thermogénérateurs ont un fonctionnement plus proche de celui de Carnot pour des sources de chaleur avec de faibles écarts de température.

Déterminer l'expression de l'énergie interne de la Lune lorsqu'elle sera totalement refroidie et thermalisée à la température T_f = 250 K. L'application numérique de cette grandeur donne 1,4 · 10²⁸ J.

En utilisant la figure 4, estimer la quantité de matière d'acide pyruvique mise en jeu lors de l'explosion.

Évaluer le temps nécessaire afin d'amener un téléphone portable de la température de 19 ^ à -18 ^. Commenter quant à l'adéquation du dispositif de refroidissement.

Quelle est la valeur de la température de changement d'état ? Quelle est alors la masse d'eau vaporisée ?

Déterminer la puissance thermique P_ich reçue depuis la source chaude durant le cycle en fonction de Dₘ, γ, R, M_air et des températures caractérisant le cycle.

Exprimer T_i2 en fonction de T_i1, Pₐ et P₂ puis T_i3 en fonction de T_i4, Pₐ et P₂.

Déterminer le travail (algébrique) W_E' E_f reçu par le gaz au cours de la transformation T2. A) W_E' E_f = -p_i V_i [1 + (1 + ε)¹ ⁻ ¹/γ] B) W_E' E_f = p_i V_i [1 - (1 + ε)¹ ⁻ ¹/γ] C) W_E' E_f =…

Après avoir donné l'expression du bilan d'énergie interne Δ U entre les états E_i et E_f, déterminer la chaleur, ou transfert thermique (algébrique), Q, reçue par le gaz au cours de la série de…

Que deviennent les expressions du travail total W = W_E_i E' + W_E' E_f et de Q si ε ≪ 1 ? A) W = 0 B) W ≈ p_i V_i ε C) Q = 0 D) Q ≈ -p_i V_i ε

Déduire de l'analyse précédente l'expression, en fonction de g, R, h, Ω et c_p, de la variation de température Δ T du liquide accompagnant son immobilisation. Estimer la valeur de Δ T pour Ω = 6…

Déterminer, en régime permanent, l'expression de Q_j en fonction de la différence T_w - T_f.

Exprimer Q₂₃, le transfert thermique reçu par le fluide au cours de l'échauffement isochore, en fonction de n, R, T₁, T₃ et γ. Préciser son signe.

Exprimer W₃₄, le travail reçu par le fluide au cours de la détente, en fonction de n, R, T₃ et r. En déduire le transfert thermique Q₃₄ reçu par le fluide au cours de cette détente en fonction de n…

Exprimer le transfert thermique Q₄₁ reçu par le fluide au cours du refroidissement en fonction de n, R, T₁, T₃ et γ. Préciser son signe.

On se place en régime permanent : le fil est à la température T_f constante. En appliquant le premier principe de la thermodynamique sur le fil, établir la loi de King : (R_f I²)/(R_f - R₀) = K(a₀ +…

On considère cette fois-ci un turbinage adiabatique irréversible (δ S_i > 0) de 10 bar à 1,0 bar et une température finale T_F-IRREV. Comparer sans calcul T_F-IRREV et T_F-REV en justifiant à l'aide…

On note W₂ et Q₂ le travail et la chaleur (transfert thermique) algébriquement reçus par le gaz du compartiment (2) entre l'état initial et l'état final. On supposera la transformation réversible…

On note S₂⁽r⁾ l'entropie algébriquement reçue et S₂⁽c⁾ l'entropie algébriquement créée, entre l'état initial et l'état final, pour le gaz situé dans le compartiment (2). On indique que sa variation…

Exprimer L(T) en fonction de L(Tₘ), où Tₘ = 273 K est une température fixée, de T et des capacités thermiques pertinentes. Application numérique : estimer la variation de L entre -40^ et +40^, et…

Justifier que la transformation subie par la parcelle de fluide est isentropique. Calculer la masse volumique ρ_p(z_i + dz) de la parcelle de fluide à l'altitude z_i + dz, en fonction de sa masse…

Exprimer l'enthalpie massique h de la parcelle de fluide, en fonction notamment de h_d, h_v et h_l.

En déduire une expression du gradient thermique en fonction notamment de L et g.

Par analogie avec la partie 4.4, donner le critère de stabilité d'une atmosphère saturée.

Comparer la valeur de Γ_s à la valeur du gradient thermique de l'atmosphère standard. Commenter.

Faites une application numérique pour le gradient de température Γ = dT/dz dans ce modèle. On pourra considérer l'air comme un gaz parfait diatomique.

Calculez la température T_f du système à l'issue de cette transformation, en fonction de P_i, P_f, T_i, R et C_p.

Le cas où T_f = T(z_i + dz) s'appelle le cas « marginalement stable ». Quel est le gradient de température vertical Γ = dT/dz de l'atmosphère dans cette situation marginalement stable ? Commentez…

Commentez alors l'allure qualitative du profil de température du modèle simplifié d'atmosphère standard utilisé en aéronautique et fourni en figure 2, en lien avec le profil du modèle purement…

On considère cette parcelle d'atmosphère à une altitude donnée dans le profil de température marginalement stable calculé à la question 8). On suppose de plus que cette parcelle est initialement à…

Donnez la valeur numérique du gradient de température de l'atmosphère humide Γ_h, en considérant l'atmosphère comme un gaz parfait diatomique. On donne l'enthalpie de vaporisation de l'eau : Δ_vapH…

Appliquer le second principe de la thermodynamique au fluide au cours de ce cycle et en déduire une relation liant les transferts thermiques δ Q_c et δ Q_f aux températures Tₐ et Tₑ(t).

En déduire les expressions du transfert thermique δ Q_f et du travail δ W en fonction de mₑ, cₑ, dTₑ, Tₐ et Tₑ(t).

L'application numérique donne W = 4,33 MJ. Quelle serait l'élévation de température si la même énergie W avait été fournie par un chauffe-eau électrique ? Commenter.

Montrer que la relation établie à la question Q4. devient, en raisonnant sur les moyennes temporelles, en régime périodique établi : Ei = Ri² + α v² . Commenter ce résultat.

Quelle équation relie les variations avec z de la température et de la pression, respectivement dT/dz et dp/dz, pour une masse d'air identifiée? A) dT/dz=(1-γ)/ₐ/(ρ R)dp/dz B) dT/dz=(γ-1)/γ(ρ…

Le profil vertical de la masse volumique s'écrit: ρ(z)=ρ₀(1-z/H)α où α est un facteur et ρ₀ la masse volumique au niveau du sol. Exprimer α. A) α=1 B) α=γ⁻¹ C) α=(1-γ)⁻¹ D) α=(γ-1)⁻¹

Donner les valeurs approximatives de dT/dz et H si γ=1,4 et T₀=290 K. A) dT/dz≈ -10 K.km⁻¹ B) dT/dz≈ -10 K.m⁻¹ C) H≈ 10 km D) H≈ 30 km

Les observations cosmologiques récentes indiquent que l'expansion de l'Univers est actuellement accélérée. Est-ce compatible avec un Univers dominé par de la matière, pour lequel on supposera que w…

Les observations astrophysiques et cosmologiques actuelles accréditent fortement l'hypothèse d'un Big-Bang. Est-ce compatible avec un modèle d'Univers dominé uniquement par de l'énergie noire ?

Rappeler à quelles conditions un échange thermique entre un fluide (de température T_f) et un solide (de température T_s) peut être considéré réversible. Quelle devrait être la valeur de h pour que…

Est-il possible d'imaginer l'exploitation de cet EMC dans la plupart des applications de réfrigération ?

Ensuite, les transferts thermiques ont le temps de se faire avec le sol considéré comme un thermostat de température T_sol = -10 = 263 K. Sachant que l'eau passe de l'état biphasé de la question Q27…

On considère l'eau liquide incompressible (volume massique constant). A partir de l'identité thermodynamique avec l'énergie interne, montrer que, pour un tel liquide, une transformation isentropique…

Déterminer les températures T₁ et T₃ en fonction des températures T₂ et T₄. A) T₁ = T₂ a¹⁻γ B) T₁ = T₂ C) T₃ = T₄ aγ ⁻ ¹ D) T₃ = T₄

On définit la température locale absolue comme la somme T₀ + T(r, t), où T₀ est la température de l'air à l'équilibre à 20°C et T(r, t) est la perturbation due au passage de l'onde acoustique. En…

Dans la situation où la température de la goutte est différente de la température ambiante T_∞, l'expression du flux de masse (2) établi à la question Q6 est légèrement modifiée : φₘ = 4π r_g (M_eau…

Montrer que la température T du nageur est solution de l'équation différentielle dT/dt + T/τ = ξ , avec τ et ξ des constantes à exprimer en fonction de m, c, Rₜₒₜ, T₀ et P_h.

Déduire de l'expérience l'énergie thermique nécessaire pour dissoudre une pastille de sel. Comparer ce résultat avec celui de la question précédente.

a) Donner la signification physique de C_ℓ. b) De façon isentropique, le système passe de (T_i, ℓ_i) à (T_f, ℓ_f). Exprimer T_f en fonction de T_i, ℓ_i, ℓ_f, C_ℓ et de D. c) Proposer à Major Tom un…

Établir l’équation de couplage liant et p au voisinage de l’état de repos de l’air caractérisé par le triplet (₀, P₀, T₀).

Quantifier le travail maximal récupérable pour un mélange utilisant V_A = V_B = 1 m³, en J puis en kWh.

Déterminer l'expression de la variation d'entropie d'un thermostat de capacité thermique C_th passant d'une température T_i à une température T_f. En déduire la variation d'entropie Δ S du système…

Tracer la variation d'entropie Δ S en fonction de la variable sans dimension η = T₀₁/T₀₂, et commenter cette évolution. On identifiera les lieux et les sources donnant naissance à une irréversibilité.

En déduire que le bilan local d'entropie volumique créée, notée s_v, peut s'écrire de la manière suivante : (∂ s_v)/(∂ t) = -(f(T))/(π a²) ((∂ T)/(∂ x))². Commenter l'évolution temporelle de s_v et…

Montrer, dans le cas général, que la densité volumique de courant d'entropie j_s = 1/Tj_Q se met sous la forme j_s = α j - κ/T grad T. En déduire alors une interprétation du coefficient α faisant…

Quel est, à votre avis, le signe de κ ? Établir la relation P·(Vₘ - b)q = cte et exprimer l'exposant q en fonction de κ et γ.

En application du second principe montrer que p'_comp < p_rv < p'_det.

Dans le cas d'une évolution adiabatique réversible, rappeler la relation qui lie P(z), ρ(z) et leurs valeurs initiales P₀ et ρ₀ en fonction du rapport adiabatique γ = C_P/C_V. En déduire…

Établir la relation donnant la température θ_s de l'eau de mer rejetée par le condenseur en fonction des données utiles. Calculer θ_s puis commenter la valeur numérique obtenue.

Juste après un lancer, on a T_plaque(t = 0) = T₀ = 50 °C. Quelle est la température de la plaque juste avant le départ suivant ? En déduire littéralement et numériquement l’énergie thermique…

(*) Déterminer la valeur de R, rayon de la zone supposée sphérique de la cornée vaporisée par une impulsion laser.

Montrer que l'enthalpie massique de l'eau sous forme de vapeur est égale à : h_ve = 27(c_ℓ - c_vap) + ℓ_v(27 °C) + c_vap T, avec T en °C .

Appliquer le principe énoncé question 21 au modèle simplifié du psychromètre représenté Figure 4 pour trouver l'expression recherchée de Xₐ. En négligeant les variations d'énergie cinétique et…

Déterminer l'expression de Δ V/Δ T en fonction de V_A et T_A, puis en écrivant le bilan d'énergie interne sur le cycle de transformations, en déduire la relation entre C_P et C_V. A) (Δ V)/(Δ T) =…

En déduire que f_P est de la forme f_P(n, s) = n⁵/³ g_P(s) où la fonction g_P ne dépend que de s et pas de n.

En déduire que pour un gaz unitaire homogène à l'équilibre, on a T = n²/³ g_T(s) où g_T est une fonction de s (indépendante de n) que l'on exprimera en termes de g_P.

En déduire que S(t) est constante.

On pose s₀(r) = s(r, 0). Relier s(r, t) à s₀(r).

Comment nomme-t-on la détente adiabatique et isenthalpique d'un fluide ? La transformation ainsi décrite est-elle réversible ? À quelle condition une détente de ce type permet-elle un…

En d'étaillant la démarche suivie, déterminer la masse de glaçons à ajouter pour obtenir une température finale de 10 °C. Commenter.

En exposant clairement les étapes du raisonnement, exprimer littéralement l'enthalpie standard de la réaction de dissolution Δ_diss H° en fonction des paramètres du problème. L'application numérique…

En utilisant les questions précédentes, montrer qu'une application naïve du second principe à l'étape AB conduit à une contradiction.

Déterminer le travail W_init effectué par le mécanisme pendant l'opération de réinitialisation.

Vérifier que le second principe appliqué à la machine de Landauer sur un cycle est bien respecté.

On considère dans cette question le cas où le déplacement de la paroi pendant l'étape R2 est rapide. Comment le résultat de la question 9 est-il modifié ? On pourra commencer par déterminer la…

Déterminer Wₘ(N_G) pour les cas particuliers N_G = 0 et N_G = N, et montrer que pour 0 < N_G < N on a Wₘ(N_G) = k_B T [ N_G ln (N_G/xN) + (N - N_G) ln ((N - N_G)/((1 - x)N)) ] 1

Pour N = 1, pour quelle valeur de x ce travail moyen est-il maximal ? Même question pour N = 2.

Voyez-vous une explication simple de la dépendance en x du résultat de la question précédente ?

Contrairement au cas classique, l'insertion de la barrière a un coût énergétique. En utilisant les résultats des questions précédentes, calculer la chaleur Q_ins et le travail W_ins reçus par la…

En admettant que le travail W_det reçu par la particule pendant l'opération de détection est nul, déterminer le travail W reçu par la particule au cours d'un cycle complet. Comparer au résultat…

Expliquer qualitativement pourquoi Q > 0 et W < 0.

Sachant que E_c ≈ 100 , donner un ordre de grandeur de Q pour les séquences observées sur la figure 5. Cet ordre de grandeur correspond-il qualitativement à ce que l'on aurait pour la machine de…

Donner l'expression de W(0, t₁) en fonction de constantes introduites dans l'énoncé.

Analyser le caractère réversible ou irréversible de ces évolutions.

On revient au cas général d'une machine thermique cyclique ditherme dont les sources chaude et froide ont les températures respectives T₁ et T₂. On note toujours Q l'énergie fournie par la source…

Donner l'expression de la pression P_i+1 de l'état i + 1 (i = 1, 2, 3) en fonction de la pression P_i, et des températures des thermostats, au cours des différentes transformations. En déduire une…

Exprimer les chaleurs échangées Q_ch en fonction de P₁, V₁, T₁, T_ch, P₂/P₃ et Q_fr en fonction de P₁, V₁, T₁, T_fr, P₄/P₁. Évaluer numériquement Q_ch et Q_fr.

À partir du deuxième principe de la thermodynamique et de la différentielle totale de s(T, H), en déduire la variation de température Δ T_adia, dans le cadre d'une transformation adiabatique…

En utilisant la modélisation affine de la température, déterminer l'expression de l'énergie interne de la Lune en fonction notamment des capacités thermiques volumiques de la roche et du noyau ainsi…

Donner une estimation du temps nécessaire pour que la Lune soit uniformément refroidie dans ce modèle. Commenter le résultat obtenu.

Déterminer s'il est possible qu'un court-circuit puisse être responsable d'une telle élévation de température.

En estimant le temps caractéristique de retour à la température ambiante, justifier que la transformation du contenu du calorimètre liée à l'explosion peut être assimilée à une transformation…

On observe souvent la formation de givre dans un congélateur. Estimer la masse maximale d'eau, initialement considérée liquide à 19 ^, que peut congeler à -18 ^ ce congélateur en une heure. Commenter.

On suppose que le pigment garde ses caractéristiques quelle que soit la température et qu'il est initialement à la température de la peau (30 °C). Dans le cadre de ce modèle, déterminer la valeur de…

En appliquant le premier principe sous forme infinitésimale, déterminer le temps nécessaire Δ t pour faire passer la mer de θ_c à T_f.

() Estimer la variation de température Δ T de l'eau de la Moselle due à la présence de la centrale nucléaire de Cattenom. Commenter la valeur obtenue. Donnée numérique : • Débit volumique annuel…

Établir que la variation d'énergie mécanique Δ Eₘ = Eₘ(t → ∞) - Eₘ(t = 0) du liquide qui accompagne sa phase d'arrêt s'exprime selon la relation suivante : Δ Eₘ = -E_c(1 + α) où α = αR²Ω²/gh On…

Établir un bilan énergétique (rigoureux et d'étaillé), portant sur le liquide, entre les situations initiale et finale. Nous supposerons, qu'au cours de la phase d'arrêt, l'échange de chaleur entre…

Si le cylindre avait été ralenti progressivement, au lieu d'être immobilisé brutalement, la variation de température du liquide aurait-elle été plus élevée ou plus faible ? Une argumentation…

On refroidit une masse m d'hélium liquide à pression constante de T = 5 K à T = 1 K avec une puissance de refroidissement P_th < 0 constante au cours du temps. Par application du premier principe…

En dépit de la différence de potentiel V_d existant de part et d'autre de la ZCE, si l'on branchait une résistance aux bornes du semi-conducteur PN, il n'y circulerait aucun courant, de façon…

Déduire des deux précédentes questions la relation v² - v₀² = C₁ ( 1 - ( P/P₀ )⁽γ ⁻ ¹⁾/γ ) où l'on exprimera la constante C₁ en fonction de P₀, µ₀ et γ.

Expliquer qualitativement le mécanisme de formation d'un nuage par soulèvement orographique et proposer un modèle en explicitant et justifiant les hypothèses formulées.

Estimer l'altitude moyenne de formation de ce nuage si l'air au niveau du sol a un rapport de mélange r = 0,8 g⁻¹ et une température de 10 ^. Ce résultat vous parait-il en accord avec ce qui est…

Calculer, en explicitant le raisonnement, le travail mécanique fourni au sang par le coeur pour un battement.

En déduire le travail total du coeur au cours d'une journée sachant que le rendement mécanique de cet organe est de 60 %. Commenter.

Faire apparaître sur un diagramme (p,V), représentant la pression en fonction du volume, l'allure de l'évolution de la détente isotherme, ainsi que la succession des 2 transformations (1) et (2)…

On note Q₁ la chaleur (transfert thermique) algébriquement reçu par le gaz du compartiment (1) entre l'état initial et l'état final. Que peut-on affirmer ? A) Q₁ = Δ U B) Q₁ = Δ U + W₂ C) Q₁ = W₂ D)…

Montrer que l'enthalpie généralisée, notée h_*,m (voir question Q15), vérifie en première approximation : h_*,m ≃ c_p T + L q_v + gz, où c_p est la capacité thermique massique à pression constante…

Montrer que le gradient thermique pour une atmosphère isentropique saturée vaut : Γ_s = g/c_p(1 + L q_s / (R_d T))/(1 + L² q_s / (c_p R_v T²)). Les valeurs numériques correspondant à cette équation…

Calculer numériquement R_v c_p T / (R_d L) pour T = 288 K. En déduire quel terme de l'équation (14) est responsable de la variation de Γ_s avec la température.

Expliquer à partir de l'équation (14) le sens de variation de Γ_s avec T de la figure 7. Retrouver la valeur de Γ_s pour les basses températures.

Démontrer que : ρ₀ T₀ (∂ s)/(∂ t) = λ (∂² τ)/(∂ x²)

Après avoir estimé le gradient de température dans les hautes et basses couches de ce modèle d'atmosphère, indiquez approximativement quelle partie de l'atmosphère est stable, et laquelle est…

Calculez alors le gradient de température moyen Γ_h = (T(h) - T(0))/h en fonction de M, g, C_p, h, Δ_vapH, et x_v⁽i⁾. Γ_h est appelé le « gradient de température de l'atmosphère humide ».

Déterminer la durée minimale nécessaire à l'auto-inflammation de la feuille de papier, de température initiale 20 ^, sachant que le Soleil est vu sous un diamètre angulaire apparent α = 32 minutes…

Dans une pièce calorifugée et fermée, initialement à 20 ^ et de capacité thermique totale de l'ordre de 6,0 × 10⁵ J⁻¹, brule une buche de bois de chêne de 1 kg. Quelle est la température maximale…

Les pompiers appellent puissance d'un feu l'énergie thermique qu'il dégage chaque seconde. On constate que, pendant l'aspersion d'eau, seulement un tiers de l'eau se vaporise. Estimer dans ce cas la…

Exprimer les variations d'entropie au cours de chaque transformation du système Δ S_1→ 2, Δ S_2→ 3, Δ S_3→ 4 et Δ S_4→ 1 en fonction de la masse du système m, la capacité thermique massique de l'eau…

Déterminer alors l'expression du travail W reçu par le fluide de la part du compresseur pour faire évoluer la température de l'eau de la cuve de Tₑ₁ à Tₑ₂ en fonction de mₑ, cₑ, Tₐ, Tₑ₁ et Tₑ₂.

Exprimer la puissance P du moteur moléculaire nécessaire au maintien du flagelle en rotation en fonction de η, Ω, a, ℓ_f et h. Calculer sa valeur. Pour commenter ce résultat, calculer ensuite la…

En déduire la 2ème équation de Friedmann : a/a = -(4π G)/3c²(u + 3P), (14) qui décrit la dynamique de l'Univers. Sous quelle condition l'expansion de l'Univers est-elle accélérée ou ralentie ?

On considère le cas où le fluide est un gaz de poussière non collisionnel, et où la seule énergie des particules est leur énergie de masse E = mc². En utilisant le résultat de la question précédente…

Montrer que l'on peut obtenir pour un Univers rempli par un fluide de paramètre d'état w l'équation H²(t) = H₀²(a₀/(a(t)))³⁽¹⁺w⁾, (15) avec a₀ le facteur d'échelle aux temps actuels.

À partir de l'évolution temporelle de la densité d'énergie par unité de volume d'un fluide vérifiant w = -1, expliquer pourquoi l'énergie noire est fréquemment qualifiée d'énergie du vide.

Dans le cas où l'on applique un champ magnétique dépendant du temps, c'est-à-dire dB_eff/dt ≠ 0, la variation dEₜₒₜ/dt donne lieu à deux termes distincts. En argumentant succintement, identifier le…

Un foyer composé de 4 personnes habitant dans une maison de 150 m² avec chauffage électrique consomme en moyenne une énergie électrique correspondant à 20 000 kW en une année. Évaluer les masses de…

Si l'on suppose le processus adiabatique et réversible, exprimer la variation Δ S de l'entropie totale du matériau. En déduire que l'entropie S_r du réseau cristallin augmente ; ce qui se traduit…

Expliquer comment la désaimantation du matériau peut permettre un refroidissement de celui-ci.

Montrer que cette relation est en accord avec la conclusion obtenue à la question précédente.

L'eau peut assez facilement présenter du retard à la solidification quand l'eau se refroidit à pression constante : le phénomène s'appelle surfusion. Dans le cas de l'eau, la phase liquide…

Si cette puissance ne s'évacue pas du volume précédent, déterminer grossièrement l'élévation de température par unité de temps dans ce volume. L'estimer numériquement.

Déterminer numériquement la durée maximale d'éclairement qui produit la dilatation à son maximum de tolérance. On considèrera que l'élévation de température ne se produit notablement que sur la…

Donner l'expression littérale de la création d'entropie massique sur un cycle en fonction des enthalpies massiques et des températures. On supposera que les échanges avec les sources se font aux…

A l'aide des informations annoncées, estimer la consommation énergétique annuelle d'un habitant en chauffage et eau chaude sanitaire collectif. Commenter sachant qu'un logement peu isolé, ayant une…

Sachant que pour un gaz parfait .(∂ T)/(∂ P)|_S = (T₀ β)/(ρ₀ c_P), expliciter les équations donnant ρ et T en fonction de p et s et des grandeurs à l'équilibre pertinentes.

Exprimer les chaleurs massiques q_ij reçues par la particule de fluide à chaque étape [i] → [j] en fonction de c_p et des températures T_i et T_j. En déduire le travail massique total w_cycle reçu…

Calculer alors l'augmentation de pression pour la réaction de décomposition de l'acétylène initialement à 2 bar et à 298 K se produisant dans une enceinte fermée isochore telle qu'une bouteille de…

Déterminer l'expression de la quantité élémentaire d'entropie d'échange, notée δ Sₑ, pour cet élément infinitésimal entre les instants t et t+dt. On prendra en compte pour le résultat final le…

L'expression générale du taux de création d'entropie (∂ s_c)/(∂ t) est la suivante : (∂ s_c)/(∂ t) = j_s · (-grad T/T) + j · (-grad V/T). Montrer que cette grandeur peut être mise sous la forme (∂…

Estimer l’énergie consommée par le vérin du flotteur pour remonter à la surface depuis une profondeur H = 4 000 m.

On note S(t) l'entropie totale du fluide. En supposant que les fonctions n s v et κ grad(ln T) tendent rapidement vers zéro pour r → ∞, montrer que S(t) = ∫ [ (κ |grad T|²)/T² + 9 (λ/λ)² ζ/T ] dτ

On note T(r, t) = T(t), et T₀ = T(t = 0). Montrer que pour tout t 0, T(t) = T₀/(λ(t)²) Indication : On pourra poser b(t) = T(t) λ(t)² et commencer par établir une expression de S(t) faisant…

Montrer que l'enthalpie molaire H(T,P) du fluide s'écrit H = C_P T - KP (1/T - 1/T_r) où R T_r = 2A/B et C_P > 0 et K > 0 sont des constantes que l'on exprimera en fonction des données.

Estimer la valeur numérique de l'élévation de température du solénoïde due à l'impulsion de tension et commenter le résultat obtenu.

On revient à la mémoire modèle. Supposons que le bit est dans l'état 1. Proposer un protocole faisant passer le bit dans l'état 0 sans dépenser de travail. Pourquoi ce protocole est-il compatible…

À partir de la forme donnée à l'équation (3), déduire la limite de Wₘ pour N → ∞. Commenter brièvement le résultat obtenu.

Déterminer le travail W_dep reçu par la particule lors de cette dernière étape.

Exprimer W(t, t+dt) pour dt infinitésimal et t - t₁ ≫ τ. En déduire une expression simple de W(t, t') pour t - t₁ et t' - t₁ grands devant τ.

On note W = W(0, t_f) le travail moyen pour un cycle complet. Obtenir une expression très simple de W, en supposant que la température est relativement basse et que la variation de E_G(t) et E_D(t)…

Cette dernière question a pour objet de vérifier que le modèle employé dans cette partie est cohérent avec les principes de la thermodynamique. On note E(t) l'énergie moyenne de l'électron à…

Dans le cadre du premier modèle, déterminer l'expression de l'entropie créée au cours d'un cycle en fonction de Q, G_th, τ et T₁. Montrer qu'elle est proportionnelle à 1/τ dans une limite qu'on…

À l'aide d'un modèle simple, estimer la période de l'année sur laquelle le système de free-cooling est fonctionnel. En déduire le gain annuel en euros obtenu grâce à l'installation du système de…

À partir des différentes informations disponibles dans cette partie, estimer la valeur de la durée de vie de ce réacteur. Commenter.

En déduire l'expression de x_v4 en fonction de Δ h_v(T_f), Δ h_v(T_c), c_eau, T_f et T_c.

Proposer un modèle d'Univers rassemblant les ingrédients précédents et qui pourrait être naturellement compatible avec un Big-Bang dans le passé et une phase présente d'expansion accélérée.

On rappelle que l'énergie s'écrit Eₜₒₜ = -V M₂ · B₀. Exprimer la variation temporelle de l'énergie, dEₜₒₜ/dt, en fonction de M_2z = M₂ · u_z, G - G_c, B₀, et des autres données du problème.

Calculer le refroidissement magnétocalorique du gadolinium autour de T = 294 K, pour un champ magnétique de 5 T.