Corrigé détaillé CCINP Physique PC 2020

À un instant t donné, une ligne de courant est une courbe géométrique tangente en chacun de ses points M au vecteur vitesse \vec{v}(M,t) de l'écoulement. Elle vérifie localement :

Cette notion repose sur la connaissance du champ de vecteurs vitesse \vec{v}(M,t) défini en des points fixes de l'espace : il s'agit donc d'une description de nature eulérienne.

L'analyse de l'écoulement repose sur deux étapes successives :

• Vitesse de l'écoulement : Pour un fluide incompressible et homogène, le débit volumique se conserve le long d'un tube de courant (D_v = v \cdot S = \text{cte}). Sur la figure 2, les lignes de courant sont nettement resserrées au-dessus de l'aile (extrados) et plus écartées ou peu modifiées au-dessous (intrados). Ce resserrement traduit un étranglement des tubes de courant, d'où :

  v_{\text{extrados}} > v_\infty \ge v_{\text{intrados}}

• Champ de pression (théorème de Bernoulli) : L'écoulement étant stationnaire, incompressible, homogène et le fluide parfait sans effet de gravité, le théorème de Bernoulli s'applique le long d'une ligne de courant :

  P + \frac{1}{2}\rho_\infty v^2 = \text{cte}

  Par conséquent, aux zones de grande vitesse correspondent des zones de plus faible pression statique :

  v_{\text{extrados}} > v_{\text{intrados}} \implies P_{\text{extrados}} < P_{\text{intrados}}

Il existe donc une surpression relative à l'intrados et une dépression relative à l'extrados. La résultante des forces de pression élémentaires \mathrm{d}\vec{F}_P = -P\,\vec{n}_{\text{ext}}\,\mathrm{d}S exercées par le fluide sur l'aile est orientée globalement vers le haut :

D'après la définition du coefficient de pression :

Le dénominateur étant strictement positif, le signe de C_P est celui de P - P_\infty :

• Extrados : l'air y subit une accélération (v > v_\infty). D'après la relation de Bernoulli, il y règne une dépression relative à la pression à l'infini amont, soit P < P_\infty, ce qui impose C_P < 0.
• Intrados : l'air y est ralenti par rapport à l'écoulement incident au voisinage du bord d'attaque, créant une surpression (P > P_\infty), d'où C_P > 0. De façon plus générale, pour que l'aile développe une force de portance dirigée vers le haut, il est nécessaire que P_{\text{intrados}} > P_{\text{extrados}}, c'est-à-dire C_{P,\text{intrados}} > C_{P,\text{extrados}}.

Sur la figure 3, l'axe vertical des C_P est orienté vers le bas (les valeurs négatives se situent vers le haut, convention courante en aérodynamique) :

• La courbe supérieure correspond à des valeurs négatives de C_P (C_P \in [-0{,}8 \,;\, 0]) : c'est la courbe de dépression associée à l'extrados.
• La courbe inférieure correspond à des valeurs positives de C_P (C_P \in [0 \,;\, 0{,}5]) : c'est la courbe de surpression associée à l'intrados.

On conclut :

L'écoulement d'air étant supposé stationnaire, incompressible, parfait et homogène, avec des effets de pesanteur négligés, la relation de Bernoulli s'applique le long d'une ligne de courant entre l'infini amont (où la pression est P_\infty et la vitesse v_\infty) et un point courant autour du profil (où la pression est P et la vitesse v) :

On en déduit l'écart de pression par rapport à l'amont :

En injectant cette relation dans la définition du coefficient de pression C_P, on obtient :

La norme de la vitesse v étant nécessairement positive ou nulle (v^2 \ge 0), le terme retranché est toujours positif ou nul. Par conséquent :

Le coefficient de portance est défini par :

Déterminons la dimension de chaque terme intervenant dans cette expression :

• F_z est une force : d'après la deuxième loi de Newton, [F_z] = \mathrm{M \cdot L \cdot T^{-2}} ;
• S_{\text{réf}} est une surface : [S_{\text{réf}}] = \mathrm{L^2} ;
• \rho_{\infty} est une masse volumique : [\rho_{\infty}] = \mathrm{M \cdot L^{-3}} ;
• v_{\infty} est une vitesse : [v_{\infty}] = \mathrm{L \cdot T^{-1}}, soit [v_{\infty}^2] = \mathrm{L^2 \cdot T^{-2}}.

La dimension du dénominateur s'écrit donc :

Le dénominateur a ainsi la dimension d'une force. Par conséquent :

Le coefficient de portance C_z est bien adimensionné (il en va de même pour le coefficient de traînée C_x).

D'après le texte introduisant la question Q5, le coefficient de portance C_z s'obtient par intégration de l'écart des coefficients de pression entre l'intrados et l'extrados le long de la corde :

Cette intégrale correspond géométriquement à l'aire comprise entre la courbe d'intrados et la courbe d'extrados dans le diagramme de la figure 5.

Sur la figure 5 :

• à l'extrados, la dépression est considérablement plus marquée pour une incidence de 6^\circ (courbe en tirets, où C_P atteint environ -2{,}7 au voisinage du bord d'attaque) que pour 2^\circ (courbe en trait plein, où le minimum est d'environ -0{,}8) ;
• à l'intrados, les pressions sont très proches dans les deux configurations (légère surpression supplémentaire pour 6^\circ).

L'aire entre les courbes d'intrados et d'extrados est donc nettement plus grande pour i = 6^\circ que pour i = 2^\circ.

En phase de décollage, le pilote choisit la configuration volets sortis.

Justification :

• Pour que l'avion s'élève, la force de portance F_z doit compenser le poids de l'appareil (F_z \ge M g). Or, au décollage, la vitesse v_\infty de l'avion est encore faible par rapport à sa vitesse de croisière.

• D'après l'expression établie précédemment :

  F_z = \frac{1}{2}\, C_z\, S_{\text{réf}}\, \rho_\infty\, v_\infty^2

  Pour une vitesse v_\infty donnée, maximiser la force de portance nécessite d'augmenter le produit C_z\, S_{\text{réf}}.

• Le déploiement des volets (dispositifs hypersustentateurs) permet :

  • d'accroître la surface alaire effective S_{\text{réf}} ;
  • d'augmenter la cambrure du profil de l'aile, ce qui accroît également le coefficient de portance C_z.

La portance nécessaire au décollage est ainsi atteinte à une vitesse plus basse, ce qui réduit la distance de roulement nécessaire sur la piste.

On étudie l'avion (de masse m) assimilé à son centre de masse G dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

Lors d'un vol en palier à vitesse constante, l'altitude et le vecteur vitesse \vec{V}_a sont constants : le mouvement du centre d'inertie est rectiligne et uniforme. D'après le principe fondamental de la dynamique (ou première loi de Newton), la résultante des forces extérieures appliquées à l'avion est nulle :

L'avion est soumis à quatre forces principales :

• son poids \vec{P} = m\vec{g}, vertical et dirigé vers le bas ;
• la force de portance aérodynamique \vec{F}_z, perpendiculaire à l'écoulement (donc verticale) et dirigée vers le haut ;
• la force de traînée aérodynamique \vec{F}_x, parallèle à l'écoulement et opposée au mouvement (horizontale vers l'arrière) ;
• la force de poussée (ou traction) \vec{F}_p développée par le système propulsif (les réacteurs), dirigée vers l'avant selon la trajectoire.

Par projection sur les axes horizontal et vertical :

Dans l'atmosphère, la pression et la masse volumique de l'air \rho_\infty décroissent fortement avec l'altitude (selon la loi du nivellement barométrique).

Cette diminution présente des intérêts majeurs pour l'aviation de ligne :

• Réduction de la traînée et gain de vitesse : Pour un vol en palier, la portance compense le poids :

  F_z = \frac{1}{2} C_z S_{\text{réf}} \rho_\infty v_\infty^2 = mg

  À incidence et coefficient C_z fixés, la diminution de \rho_\infty impose une vitesse v_\infty \propto 1/\sqrt{\rho_\infty} nettement plus élevée. Comme la traînée s'écrit alors :

  F_x = \frac{C_x}{C_z} F_z = \frac{mg}{f}

  l'avion peut se déplacer beaucoup plus vite pour un même niveau de poussée (et donc une consommation horaire comparable), ce qui réduit la durée du trajet et minimise la consommation de carburant par kilomètre parcouru.

• Stabilité météorologique : À haute altitude (haute troposphère ou basse stratosphère, entre 10 et 12 km), l'avion évolue au-dessus de la plupart des perturbations météorologiques convectives (orages, nuages denses), ce qui limite les turbulences et accroît la sécurité et le confort du vol.

On étudie le système {avion} de masse m dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

L'avion est soumis à trois forces extérieures :

• son poids \vec{P} = m\vec{g}, vertical descendant ;
• la force de portance \vec{F}_z, perpendiculaire à la trajectoire de l'avion (direction de l'écoulement de l'air) et orientée vers le haut ;
• la force de traînée \vec{F}_x, parallèle à la trajectoire et opposée au mouvement (dirigée vers l'arrière).

Le mouvement étant une translation rectiligne uniforme, le principe fondamental de la dynamique s'écrit :

En projetant cette relation sur les axes parallèle et perpendiculaire à la trajectoire (inclinée de l'angle \alpha sous l'horizontale) :

D'après les définitions données des coefficients de portance et de traînée, on a :

En effectuant le rapport des deux composantes de l'équilibre :

Géométriquement, l'avion descend d'une pente d'angle \alpha. La relation trigonométrique entre la distance horizontale franchie d_H et la perte d'altitude d_V est :

Il vient ainsi directement :

Sens physique de la finesse : La finesse f représente le rapport entre la distance horizontale franchie en vol plané (moteurs coupés) et la perte d'altitude correspondante. C'est un indicateur direct de la performance aérodynamique de l'aéronef : plus la finesse est grande, plus l'avion plane loin pour une altitude initiale donnée (par exemple, pour f = 10, une perte d'altitude de 1\text{ km} permet de parcourir 10\text{ km} à l'horizontale).

Sur le tracé de la polaire d'Eiffel C_z = g(C_x) :

• Traînée minimale : elle correspond à la valeur minimale du coefficient de traînée C_x, soit le point le plus à gauche de la polaire (tangente verticale).
• Portance maximale : elle correspond à l'ordonnée maximale C_{z,\max}, atteinte au sommet de la courbe (tangente horizontale).
• Finesse maximale : le rapport f = \frac{C_z}{C_x} est la pente de la sécante issue de l'origine O(0,0) et passant par le point de fonctionnement. La valeur maximale f_{\max} correspond donc au point de contact de la tangente à la polaire issue de l'origine.

D'après la question Q6, une augmentation de l'angle d'incidence i accroît la dépression sur l'extrados ainsi que la surpression sur l'intrados, ce qui se traduit par une augmentation du coefficient de portance C_z.

Tant que l'aile n'a pas atteint le phénomène de décrochage (séparation de la couche limite sur l'extrados), le coefficient de portance C_z varie de façon croissante en fonction de l'angle d'incidence i.

Le point où la portance est maximale (C_{z,\max}) correspond précisément à l'incidence critique de décrochage, tandis que la traînée minimale (C_{x,\min}) est atteinte pour une incidence nettement plus faible (proche de l'incidence de portance nulle).

Par conséquent, lorsque l'on parcourt la polaire du point de traînée minimale vers le point de portance maximale :

D'après la loi de composition classique des vitesses (dans le cadre de la cinématique galiléenne), la vitesse \vec{V}_{\text{sol}} de l'avion par rapport au sol (référentiel terrestre) est la somme de sa vitesse par rapport à l'air \vec{V}_a et de la vitesse de l'air par rapport au sol \vec{v}_v :

D'après le repère orthonormé direct (\vec{u}_x, \vec{u}_y) fourni sur la figure 8, où l'axe (A,\vec{u}_y) est aligné avec la route au sol de A vers B :

• le vecteur vitesse \vec{V}_a fait un angle \theta avec la direction AB vers la droite :

  \vec{V}_a = V_a \sin\theta \, \vec{u}_x + V_a \cos\theta \, \vec{u}_y

• le vecteur vitesse du vent contraire \vec{v}_v fait un angle \phi avec la direction AB, orienté vers la gauche et vers le bas :

  \vec{v}_v = - v_v \sin\phi \, \vec{u}_x - v_v \cos\phi \, \vec{u}_y

Le vecteur vitesse par rapport au sol s'écrit donc :

Pour que l'avion se déplace en ligne droite suivant la droite AB, sa vitesse par rapport au sol doit être colinéaire à \vec{u}_y, ce qui impose que sa composante transverse selon \vec{u}_x soit nulle :

Pour que l'avion progresse effectivement de A vers B (et ne recule pas sous l'effet du vent contraire), il faut également que :

D'après la relation établie à la question Q13, l'angle de correction \theta vérifie :

D'où :

Application numérique : Les vitesses étant exprimées dans la même unité (\mathrm{km\cdot h^{-1}}), la conversion n'est pas nécessaire :

En tenant compte du nombre de chiffres significatifs (deux pour v_v et \phi) :

1. Vitesse au sol à l'aller et au retour

D'après les questions Q13 et Q14, sur le trajet aller (A \to B), la compensation du vent latéral impose un angle de dérive \theta tel que \sin\theta = \frac{v_v}{V_a}\sin\phi. La vitesse de l'avion par rapport au sol le long de la ligne droite AB est :

Sur le trajet retour (B \to A), l'avion se déplace dans le sens opposé (\vec{u}_{BA} = -\vec{u}_y). Le vent \vec{v}_v conserve les mêmes caractéristiques dans le référentiel terrestre :

• Sa composante transversale le long de \vec{u}_x reste inchangée (v_v \sin\phi). L'angle de correction nécessaire pour compenser cette composante reste donc identique en norme : \theta_{\text{retour}} = \theta.
• Sa composante le long de la direction de vol est désormais favorable (le vent contraire à l'aller devient un vent arrière au retour) : \vec{v}_v \cdot \vec{u}_{BA} = +v_v \cos\phi.

La vitesse par rapport au sol sur le trajet retour vaut donc :

2. Calcul de la durée T de l'aller-retour

La durée totale du trajet aller-retour est la somme des durées de chaque trajet :

Applications numériques :

• V_a \cos\theta = 445 \times \cos(2{,}47^\circ) \approx 444{,}6\text{ km}\cdot\text{h}^{-1}
• v_v \cos\phi = 56 \times \cos(20^\circ) \approx 52{,}6\text{ km}\cdot\text{h}^{-1}

D'où les vitesses au sol :

Soit pour la durée totale :

3. Calcul de la durée T' en l'absence de vent

En l'absence de vent (v_v = 0), la vitesse par rapport au sol est constamment égale à V_a = 445\text{ km}\cdot\text{h}^{-1} :

4. Comparaison et commentaire

On constate que T > T', avec un retard de l'ordre de :

Le vent allonge systématiquement la durée totale d'un aller-retour, pour deux raisons physiques :

1. L'effet temporel prépondérant du vent contraire : la vitesse étant plus faible à l'aller qu'au retour (V_{\text{aller}} < V_{\text{retour}}), l'avion subit le vent défavorable pendant un temps plus long qu'il ne bénéficie du vent favorable (t_{\text{aller}} > t_{\text{retour}}). Le gain de temps au retour ne compense donc jamais la perte subie à l'aller.
2. L'effet du vent de travers : pour maintenir une trajectoire rectiligne, une fraction de la poussée est dérivée pour compenser le vent latéral (V_a \cos\theta < V_a), ce qui pénalise la progression dans les deux sens.

1. Hypothèses de modélisation

• On assimile l'avion à un point matériel de masse m = 500\text{ t} = 5{,}0 \times 10^5\text{ kg} en translation rectiligne horizontale le long de la piste (axe Ox).

• La vitesse au moment de la rotation (décollage) vaut :

  v_{\text{déc}} = 260\text{ km}\cdot\text{h}^{-1} = \frac{260}{3{,}6}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} \approx 72\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}.
• Une piste d'atterrissage pour gros porteur a une longueur typique de 3 à 4\text{ km} ; on estime la distance de roulement nécessaire pour atteindre v_{\text{déc}} à L \approx 2\,000\text{ m} = 2\text{ km}.
• On suppose l'accélération a constante durant le roulement.

2. Estimation de l'accélération

Pour un mouvement rectiligne uniformément accéléré partant du repos (v_0 = 0) :

(Cette accélération correspond à un temps de décollage t_{\text{déc}} = v_{\text{déc}}/a \approx 55\text{ s}, ce qui est tout à fait réaliste.)

3. Bilan des forces selon l'axe horizontal

L'avion est soumis à :

• la poussée totale des N = 4 réacteurs : F_{p,\text{tot}} = 4 F_p ;

• la traînée aérodynamique F_x(v), qui croît de 0 à sa valeur maximale à l'envol F_{x,\max}. À l'envol, la portance compense le poids (F_z \approx mg), donc avec la finesse f = F_z / F_x \approx 10 :

  F_{x,\max} \approx \frac{mg}{f} = \frac{5{,}0 \times 10^5 \times 9{,}8}{10} \approx 490\text{ kN}.

  En première approximation, la force moyenne de traînée au cours de la prise de vitesse vaut :

  \langle F_x \rangle \approx \frac{1}{2} F_{x,\max} \approx 250\text{ kN} ;
• les frottements mécaniques au roulement, de l'ordre de F_{\text{roul}} \approx \mu_{\text{roul}} mg \approx 0{,}02 \times 5{,}0 \cdot 10^6 \approx 100\text{ kN}, qui diminuent au fur et à mesure que les ailes portent l'avion.

D'après le principe fondamental de la dynamique projeté sur l'axe du mouvement :

Avec m a = 5{,}0 \times 10^5 \times 1{,}3 \approx 650\text{ kN}, la poussée totale requise est de l'ordre de :

Par réacteur, la poussée nécessaire lors de l'accélération s'estime donc à :

4. Discussion

• La poussée maximale certifiée pour un réacteur d'A380 est F_{p,\max} = 370\text{ kN}. Notre estimation correspond à un régime de poussée de l'ordre de :

  \frac{F_p}{F_{p,\max}} \approx \frac{245}{370} \approx 66\,\% \text{ à } 70\,\% \text{ du régime maximal plein gaz.}
• Ce résultat est cohérent avec les procédures aéronautiques réelles : pour préserver la durée de vie des moteurs, les décollages s'effectuent généralement à poussée réduite (dite déflexée ou « flex temp »).
• De plus, la réserve de puissance restante (environ 30 à 35\,\%) est indispensable pour garantir la sécurité et permettre à l'aéronef de poursuivre son décollage même en cas de panne de l'un des moteurs (contrainte réglementaire OEI, One Engine Inoperative).

Le fluide étant en régime permanent autour d'un obstacle profilé :

• La ligne de courant arrivant sur l'axe de symétrie du tube aboutit directement à l'orifice frontal F, qui constitue un point d'arrêt (la vitesse s'y annule : v_F = 0).
• Une ligne de courant située légèrement au-dessus de l'axe est déviée par le nez du tube, puis longe la paroi cylindrique de manière rectiligne et parallèle à celle-ci au niveau de la prise de pression statique G.

Le fluide étant en écoulement permanent, parfait, homogène, incompressible et les effets de la pesanteur étant négligés, la quantité P + \frac{1}{2}\rho_\infty v^2 est conservée le long de chaque ligne de courant.

1. Étude au point F (prise de pression totale) :

• Le tube 1 est fermé par le liquide manométrique : aucun débit macroscopique n'y circule. Le point F, situé sur l'axe face à l'écoulement incident, est donc un point d'arrêt :

  \boxed{v_F = 0}

• En appliquant le théorème de Bernoulli le long de la ligne de courant reliant l'amont lointain au point d'arrêt F :

  P_\infty + \frac{1}{2}\rho_\infty v_\infty^2 = P_F + \frac{1}{2}\rho_\infty v_F^2 = P_F

  D'où la pression au point F (pression totale ou pression d'arrêt) :

  \boxed{P_F = P_\infty + \frac{1}{2}\rho_\infty v_\infty^2}

2. Étude au point G (prise de pression statique) :

• Le tube étant très fin et orienté parallèlement à l'écoulement incident, la ligne de courant qui longe la paroi au voisinage de la prise latérale G n'est pas déviée et l'écoulement y demeure non perturbé :

  \boxed{v_G = v_\infty}

• En appliquant le théorème de Bernoulli le long de cette ligne de courant entre l'amont lointain et le voisinage immédiat de G :

  P_\infty + \frac{1}{2}\rho_\infty v_\infty^2 = P_G + \frac{1}{2}\rho_\infty v_G^2

  Comme v_G = v_\infty, on obtient la pression statique :

  \boxed{P_G = P_\infty}

Le liquide manométrique de masse volumique \rho_l est au repos dans le référentiel de l'avion. En choisissant un axe vertical ascendant (Oz) tel que l'accélération de la pesanteur soit \vec{g} = -g\,\vec{u}_z, la loi de l'hydrostatique s'écrit :

Par intégration entre l'altitude z_H de la surface libre en H et l'altitude z_I de la surface libre en I, avec z_I - z_H = h d'après la figure 9 :

On en déduit l'expression de la différence de pression :

L'air contenu dans les tubes 1 et 2 est au repos. De plus, les effets de la gravité sur l'air étant négligés conformément à l'énoncé, la pression de l'air est uniforme au sein de chaque tube :

La différence de pression mesurée par le manomètre différentiel s'écrit donc :

En utilisant le résultat de la question Q18 (P_F - P_G = \frac{1}{2}\rho_\infty v_\infty^2) et celui de la question Q19 (P_H - P_I = \rho_l g h), on obtient :

D'où l'expression de la vitesse de l'écoulement :

En inversant cette relation, la dénivellation manométrique s'exprime sous la forme :

Comme \rho_\infty, \rho_l et g sont des constantes positives, la dénivellation h augmente lorsque la vitesse v_\infty augmente (elle varie comme le carré de la vitesse).

1. Champ créé par un plan infini uniformément chargé de densité \sigma_0 :

• Invariances et symétries : Tout plan orthogonal au plan chargé est plan de symétrie de la distribution. Le champ électrostatique est donc perpendiculaire au plan, soit suivant l'axe (Oz) : \vec{E} = E(z)\,\vec{u}_z. De plus, la distribution est invariante par translation parallèlement au plan (selon x et y), d'où E = E(z). Le plan chargé étant un plan de symétrie, le champ est antisymétrique par rapport à ce plan : E(z - z_0) = -E(-(z - z_0)).

• Théorème de Gauss : On choisit comme surface de Gauss un cylindre d'axe (Oz), de section droite d'aire S_c, traversant symétriquement le plan situé en z_0. Le flux à travers la surface latérale est nul (\vec{E} \cdot \vec{n}_{\text{ext}} = 0). Le flux à travers les deux bases s'écrit :

  \Phi = 2\, E(z)\, S_c = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0} = \frac{\sigma_0\, S_c}{\varepsilon_0}

  On en déduit l'expression du champ créé par ce plan :

  \vec{E}_{\text{plan}}(z) = \frac{\sigma_0}{2\varepsilon_0}\,\operatorname{sgn}(z - z_0)\,\vec{u}_z

2. Superposition des deux armatures :

• L'armature A_1 est située en z = e et porte la densité superficielle +\sigma. Pour z < e, elle crée un champ :

  \vec{E}_1 = -\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,\vec{u}_z

• L'armature A_2 est située en z = 0 et porte la densité superficielle -\sigma. Pour z > 0, elle crée un champ :

  \vec{E}_2 = \frac{-\sigma}{2\varepsilon_0}\,\vec{u}_z = -\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,\vec{u}_z

D'après le principe de superposition, le champ électrostatique régnant entre les deux armatures (0 < z < e) vaut :

D'après la question Q21, le champ électrostatique régnant entre les deux armatures s'écrit :

La relation locale reliant le potentiel électrostatique V(z) au champ s'écrit \vec{E} = -\vec{\nabla}V, soit ici :

La différence de potentiel U = V(e) - V(0) entre l'armature A_1 (à z = e) et l'armature A_2 (à z = 0) vaut alors :

La charge totale portée par l'armature positive A_1, de surface S et uniformément chargée avec la densité \sigma, est donnée par :

Par définition, la capacité C du condensateur relie la charge Q de l'armature positive à la tension U entre les armatures selon Q = C\,U. On en déduit :

Soit finalement :

Principe de la mesure capacitive :

• Les électrodes coplanaires intégrées à la paroi de l'aile créent un champ électrostatique dont les lignes de champ se déploient dans le demi-espace situé au-dessus de la paroi (figure 11).
• D'après le résultat admis, la capacité d'un système d'électrodes est proportionnelle à la permittivité diélectrique \varepsilon = \varepsilon_0\,\varepsilon_r du milieu environnant traversé par les lignes de champ.
• En l'absence de glace, les lignes de champ se développent dans l'air (\varepsilon_{r,\text{air}} \approx 1), conférant au condensateur une capacité de base C_0.
• Lorsque du givre se forme, l'air est progressivement remplacé par de la glace dont la permittivité relative est très élevée (\varepsilon_{r,\text{glace}} = 80). La permittivité effective du milieu traversé par les lignes de champ augmente notablement, ce qui entraîne une hausse mesurable de la capacité C.
• La mesure de la capacité permet ainsi de détecter l'apparition du givre et de quantifier son épaisseur.

Nécessité d'utiliser plusieurs capteurs de tailles différentes :

• La portée spatiale en altitude (profondeur de pénétration) des lignes de champ au-dessus de l'aile est de l'ordre de grandeur de l'espacement et de la dimension des électrodes.
• Dès que l'épaisseur de givre dépasse cette portée, la quasi-totalité des lignes de champ baigne déjà dans la glace : toute couche de glace supplémentaire ne modifie plus l'environnement diélectrique traversé par les lignes de champ, et la capacité sature à un palier maximal (courbe de la figure 11).
• Le petit capteur (capacité C_1) offre une excellente sensibilité aux très faibles dépôts (détection précoce du givrage), mais sature pour de faibles épaisseurs.
• Les capteurs plus larges et plus espacés (C_2 puis C_3) possèdent une zone de détection plus étendue en altitude : ils saturent à des épaisseurs de glace bien plus grandes, mais sont moins sensibles aux tout premiers micromètres de givre.
• L'association de plusieurs capteurs de tailles échelonnées permet donc d'allier détection précoce et large dynamique de mesure de l'épaisseur de glace accumulée.

Le principe de la mesure d'épaisseur par ultrasons repose sur la méthode échographique (temps de vol) :

1. Émission et propagation : Un transducteur piézoélectrique placé sur la paroi de la structure émet une impulsion ultrasonore brève qui se propage à travers la couche de glace à la célérité c_{\text{glace}}.
2. Réflexion à l'interface : Lorsque l'onde atteint l'interface glace/air, la rupture d'impédance acoustique entre les deux milieux entraîne la réflexion partielle (ou quasi-totale) de l'onde, générant un écho en retour vers le transducteur.
3. Mesure du retard : Le même transducteur (ou un récepteur associé) détecte l'écho après une durée d'aller-retour \Delta t.

L'onde ayant parcouru une distance égale à deux fois l'épaisseur e de la couche de givre, on en déduit directement :

La connaissance préalable de la célérité du son dans la glace c_{\text{glace}} permet ainsi de déterminer précisément l'épaisseur e.

À l'instant t, le système fermé \Sigma^* est constitué par l'union :

• de la masse d'air M(t) contenue à cet instant dans le volume de contrôle \Sigma du réacteur, dont la quantité de mouvement associée est notée \vec{p}(t) ;
• de la masse élémentaire d'air \delta m_e qui va pénétrer dans le réacteur pendant le court intervalle [t, t + \mathrm{d}t], animée de la vitesse \vec{v}_e et possédant donc la quantité de mouvement \delta m_e \, \vec{v}_e.

Par additivité de la quantité de mouvement pour un ensemble de parties disjointes, on obtient :

À l'instant t + \mathrm{d}t, le système fermé (\Sigma^*) est constitué :

• de la masse de fluide M(t+\mathrm{d}t) contenue dans le volume de contrôle (\Sigma) du turboréacteur, de quantité de mouvement \vec{p}(t+\mathrm{d}t) ;
• de la masse élémentaire de gaz sortie pendant la durée \mathrm{d}t, \delta m_s, animée de la vitesse \vec{v}_s.

Par additivité de la quantité de mouvement pour un système matériel, il vient :

La variation élémentaire de la quantité de mouvement du système fermé \Sigma^* entre les instants t et t+\mathrm{d}t s'écrit :

En utilisant les expressions obtenues aux questions Q25 et Q26 :

En régime stationnaire :

• l'état du fluide dans le volume fixe du réacteur ne dépend pas du temps, la quantité de mouvement contenue dans le réacteur est constante :

  \vec{p}(t+\mathrm{d}t) - \vec{p}(t) = \vec{0}

• la masse totale M(t) dans le réacteur est constante (\mathrm{d}M = 0), d'où la conservation de la masse entrante et sortante pendant la durée \mathrm{d}t :

  \delta m_e = \delta m_s = \delta m = D_m\,\mathrm{d}t

  où D_m désigne le débit massique traversant le turboréacteur.

Il vient alors :

En divisant par \mathrm{d}t, on obtient :

On applique les lois de la dynamique au système fermé \Sigma^*, constitué de l'air contenu dans le turboréacteur à l'instant t complété par la tranche de fluide entrante \delta m_e.

On se place dans le référentiel lié au turboréacteur (référentiel de l'avion), supposé galiléen (en vol rectiligne uniforme).

Le bilan des forces extérieures exercées sur le système fermé \Sigma^* comprend :

• L'action à distance de la pesanteur : le poids du fluide, négligé d'après les hypothèses générales du problème (« Les effets de la gravité sur l'air seront négligés dans l'ensemble du problème »).
• Les actions de contact aux parois solides : la résultante des forces de pression et de frottement visqueux exercées par les parois internes et les pièces mobiles du turboréacteur (carter, aubes de compresseur et de turbine) sur l'air, notée \vec{F}_{\text{avion}\to\text{air}}.

• Les actions de contact de pression du fluide extérieur :

  • sur la section d'entrée S_e, la force pressante exercée par l'air amont, dirigée vers l'intérieur :

    \vec{F}_{P,e} = \iint_{S_e} P_e\,\vec{n}_e\,\mathrm{d}S = P_e\,S_e\,\vec{u}_x

    en supposant la pression P_e uniforme et où \vec{u}_x est unitaire orienté dans le sens de l'écoulement ;

  • sur la section de sortie S_s, la force pressante exercée par l'air aval, dirigée vers l'intérieur (opposée à l'écoulement) :

    \vec{F}_{P,s} = \iint_{S_s} P_s\,\vec{n}_s\,\mathrm{d}S = -P_s\,S_s\,\vec{u}_x

    en supposant la pression P_s uniforme.

La résultante des forces extérieures appliquées à \Sigma^* s'écrit donc :

Le principe fondamental de la dynamique appliqué au système fermé \Sigma^* en régime stationnaire s'écrit :

D'après la question Q27, le membre de gauche vaut D_m(\vec{v}_s - \vec{v}_e).

D'après le bilan des forces établi en Q28, la résultante des forces extérieures appliquées à \Sigma^* s'écrit :

où \vec{P}_{\text{air}} est le poids de l'air (négligé d'après les hypothèses générales du sujet).

Pour conclure que \vec{F}_{\text{avion}\to\text{air}} = D_m(\vec{v}_s - \vec{v}_e), les approximations suivantes sont nécessaires :

1. Négliger les forces de pression sur les sections d'entrée et de sortie (ou supposer une tuyère adaptée P_s = P_0 et une entrée non comprimée P_e = P_0, ou encore que les termes de pression différentielle (P_e - P_0)S_e et (P_s - P_0)S_s sont négligeables devant la poussée cinétique).
2. Négliger l'apport de masse du carburant injecté dans la chambre de combustion devant le débit massique d'air (D_{m,\text{carburant}} \ll D_m), ce qui permet de poser D_{m,s} = D_{m,e} = D_m.
3. Modèle d'écoulement unidirectionnel et uniforme dans les sections d'entrée et de sortie, permettant de caractériser le flux de quantité de mouvement par une vitesse unique \vec{v}_e et \vec{v}_s sur chaque section.

D'après le principe des actions réciproques (troisième loi de Newton), la force exercée par l'air sur l'avion est l'opposée de la force exercée par le réacteur sur l'air :

En utilisant le résultat de la question Q29 :

Orientons un axe horizontal (Ox) selon le vecteur unitaire \vec{u}_x dirigé de gauche à droite (sens de l'écoulement de l'air à travers le réacteur). Dans le référentiel du réacteur :

Il vient ainsi :

L'entrée d'air étant située à gauche, l'avion vole vers la gauche dans le référentiel de l'air au repos. Pour que la force exercée par l'air sur l'avion soit propulsive (poussée motrice dans le sens du mouvement de l'aéronef), elle doit être dirigée vers l'avant de l'appareil, c'est-à-dire vers la gauche (-\vec{u}_x) :

La norme de la vitesse du gaz en sortie de tuyère v_s doit donc être strictement supérieure à celle de l'air en entrée de réacteur v_e.

On applique le premier principe de la thermodynamique pour une unité de masse (m = 1\text{ kg}) d'air traversant le diffuseur entre l'entrée (état 1) et la sortie (état 2), dans le référentiel lié au turboréacteur :

D'après les données et hypothèses de l'énoncé :

• Le diffuseur est fixe et ne comporte aucune partie mobile : w_u = 0 ;
• La transformation est adiabatique : q_e = 0 ;
• Les variations d'énergie potentielle sont négligeables : g\,\Delta z \approx 0 ;
• L'air entre dans le diffuseur à la vitesse de vol de l'avion : v_1 = V_a ;
• L'énergie cinétique du gaz en sortie de diffuseur est négligeable devant les autres termes : v_2 \approx 0 ;
• Pour un gaz parfait à capacité thermique massique c_p constante (première loi de Joule) : \Delta h = h_2 - h_1 = c_p (T_2 - T_1).

Le bilan énergétique se simplifie donc en :

On en déduit l'expression littérale de la température T_2 :

Application numérique :

• T_1 = -40\ ^\circ\text{C} = 273{,}15 - 40 = 233{,}15\text{ K}
• V_a = 260\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}
• c_p = 1{,}1\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} = 1{,}1 \times 10^3\text{ J}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}

L'écoulement au sein du diffuseur idéal est modélisé par une transformation adiabatique et réversible (donc isentropique) d'un gaz parfait de rapport de capacités thermiques \gamma constant. La loi de Laplace reliant la pression P et la température T s'écrit :

Entre l'état d'entrée (1) et l'état de sortie (2) du diffuseur, on a donc :

En prenant la puissance \frac{1}{\gamma-1}, on en déduit l'expression de la pression P_2 en entrée du compresseur :

Application numérique :

• P_1 = 34{,}5\text{ kPa},
• T_1 = -40\,^\circ\text{C} = 233{,}15\text{ K},
• T_2 \approx 263{,}9\text{ K} (résultat obtenu à la question Q31),

• \gamma = 1{,}35, d'où l'exposant isentropique :

  \frac{\gamma}{\gamma - 1} = \frac{1{,}35}{0{,}35} = \frac{27}{7} \approx 3{,}857.

Il vient :

Le premier principe pour un écoulement permanent à travers une machine s'écrit, pour une masse m = 1\text{ kg} de fluide :

Appliqué au compresseur entre l'état (2) et l'état (3), ce bilan se simplifie compte tenu des hypothèses de l'énoncé :

• la compression est adiabatique, soit q_e = 0 ;
• les variations d'énergie potentielle de pesanteur sont négligeables, soit g\,\Delta z = 0 ;
• l'énergie cinétique est négligée entre l'entrée du compresseur et la sortie de la turbine, soit \frac{\Delta v^2}{2} = 0.

Le travail utile massique reçu par l'air, noté w_{\text{comp}}, est donc égal à la variation d'enthalpie massique :

L'air étant modélisé par un gaz parfait de capacité thermique isobare massique c_p constante, la seconde loi de Joule donne :

La puissance utile mécanique fournie à l'air par le compresseur s'en déduit à l'aide du débit massique D_m :

Application numérique : Avec c_p = 1{,}1\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} = 1{,}1 \times 10^3\text{ J}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}, T_3 = 480\text{ K}, T_2 \approx 264\text{ K} (issu de la question Q31) et D_m = 45\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1} :

Le premier principe pour un fluide en écoulement stationnaire à travers la turbine (entre l'état (4) et l'état (5)) s'écrit :

L'écoulement étant adiabatique (q_e = 0), en négligeant l'énergie potentielle de pesanteur et les variations d'énergie cinétique entre l'entrée du compresseur et la sortie de la turbine (\Delta v^2 = 0), il vient :

Le travail massique fourni par le gaz à la turbine est -w_{u,\text{turb}} = c_p\,(T_4 - T_5). Ce travail étant intégralement reçu par le compresseur, on a :

Or, d'après la question Q33, w_{\text{comp}} = c_p\,(T_3 - T_2). Il vient donc :

D'où l'expression de la température T_5 :

Application numérique : avec T_4 = 1400\text{ K}, T_3 = 480\text{ K} et T_2 \approx 264\text{ K} (obtenue en Q31) :

Pour déterminer la pression P_5, on note que la combustion entre (3) et (4) est isobare, d'où :

La détente du gaz parfait dans la turbine étant adiabatique et réversible, la relation de Laplace donne :

Application numérique : avec P_2 \approx 55{,}6\text{ kPa} (obtenue en Q32), \frac{\gamma}{\gamma - 1} = \frac{1{,}35}{0{,}35} \approx 3{,}857, T_5 \approx 1184\text{ K} et T_4 = 1400\text{ K} :

Appliquons le premier principe pour une masse m = 1\text{ kg} d'air traversant la tuyère entre l'état d'entrée (5) (en sortie de turbine) et l'état de sortie (6) :

D'après les hypothèses du sujet :

• la détente est adiabatique, donc q_e = 0 ;
• la tuyère ne comporte aucune pièce mobile, donc w_u = 0 ;
• les variations d'énergie potentielle de pesanteur sont négligées : g\,\Delta z = 0 ;
• l'énergie cinétique est négligeable entre l'entrée du compresseur et la sortie de la turbine, d'où v_5 \approx 0, ce qui donne \Delta v^2 = v_s^2 - v_5^2 \approx v_s^2.

Pour l'air modélisé par un gaz parfait à capacité thermique isobare constante :

Le bilan s'écrit alors :

On en déduit l'expression de la vitesse de sortie v_s du gaz :

Application numérique : Avec c_p = 1{,}1\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} = 1{,}1 \times 10^3\text{ J}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}, T_5 \approx 1184\text{ K} (d'après Q34) et T_6 = 680\text{ K} :

D'après les questions Q29 et Q30, la résultante propulsive exercée par l'air sur le réacteur (et donc sur l'avion) est dirigée vers l'avant et a pour intensité :

où la vitesse de l'air entrant dans le réacteur (dans le référentiel de l'avion) est égale à la vitesse de vol de l'avion par rapport à l'air au repos : v_e = V_a.

Dans le référentiel terrestre, l'avion se déplace en translation rectiligne à la vitesse \vec{V}_a, colinéaire et de même sens que la force propulsive \vec{F}_{\text{prop}}. La puissance mécanique développée par la force propulsive s'écrit donc :

Avec les valeurs numériques :

• D_m = 45\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1},
• V_a = 260\text{ m}\cdot\text{s}^{-1},
• v_s \approx 1{,}053 \times 10^3\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} (d'après Q35).

La force propulsive vaut :

D'où la puissance associée :

Par définition donnée par l'énoncé, le rendement global \eta du turboréacteur s'exprime par le rapport entre la puissance utile liée à la force propulsive \mathcal{P}_{\text{prop}} (déterminée à la question Q36) et la puissance thermique fournie dans la chambre de combustion P_{\text{chamb}} :

Avec \mathcal{P}_{\text{prop}} \approx 9{,}28\text{ MW} et P_{\text{chamb}} = 45{,}5\text{ MW}, on obtient :

Comparaison avec d'autres machines thermiques :

• Ce rendement est du même ordre de grandeur que celui d'un moteur thermique automobile à allumage commandé (essence), dont le rendement typique est compris entre 25\% et 30\%.
• Il est en revanche nettement inférieur à celui d'un moteur Diesel (35\% à 40\%), d'une centrale thermique à flamme ou nucléaire (environ 33\% à 40\%) ou d'une centrale à cycle combiné gaz-vapeur (qui dépasse 55\%).
• Il est également inférieur à celui des turboréacteurs civils modernes à double flux (environ 30\% à 35\%).

Pour vérifier l'homogénéité de la grandeur v_m = \sqrt{2\,c_p\,T_e}, effectuons une analyse dimensionnelle :

• La capacité thermique massique isobare c_p s'exprime en \mathrm{J\cdot kg^{-1}\cdot K^{-1}}. Or, le joule est l'unité d'une énergie, équivalente au travail d'une force :

  1\text{ J} = 1\text{ N}\cdot\text{m} = 1\text{ kg}\cdot\text{m}^2\cdot\text{s}^{-2} \implies [c_p] = \mathrm{L^2\cdot T^{-2}\cdot \Theta^{-1}}

• La température T_e a pour dimension une température thermodynamique :

  [T_e] = \Theta

Le produit c_p\,T_e a donc pour dimension :

Le facteur 2 étant un scalaire sans dimension, on en déduit immédiatement :

L'écoulement étant permanent et unidirectionnel selon l'axe horizontal (x'x), le débit massique d'air traversant la section droite S(x) à l'abscisse x s'écrit :

L'air étant modélisé par un gaz parfait subissant une détente adiabatique réversible (isentropique) à capacité thermique massique constante, la loi de Laplace s'applique :

D'après l'énoncé et la définition de v_m = \sqrt{2\,c_p\,T_e} établie à la question précédente, la vitesse v(x) s'exprime sous la forme :

En injectant les expressions de \rho(x) et de v(x) dans celle du débit massique, il vient :

On identifie ainsi l'expression demandée D_m = \rho_e \cdot v_m \cdot S(x) \cdot G(x), avec :

À l'entrée de la tuyère (x = 0), la pression vaut P(0) = P_e. Par définition du rapport de pression \alpha(x) = \dfrac{P(x)}{P_e}, on a immédiatement :

D'après l'expression donnée dans l'énoncé pour la vitesse :

Comme \gamma > 1, la fonction \alpha \mapsto \alpha^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} est strictement croissante. Ainsi, pour que la vitesse v(x) augmente (v(x) > v_e), le terme entre crochets doit être strictement positif, ce qui impose une diminution du rapport de pression :

D'après la question Q39, l'écoulement étant stationnaire, le débit massique D_m est conservé le long de la tuyère :

La section locale S(x) est donc inversement proportionnelle à G(\alpha).

Sur la figure 13, lorsque \alpha diminue à partir de sa valeur initiale \alpha = 1, la fonction G(\alpha) est croissante jusqu'à atteindre un maximum (autour de \alpha \approx 0{,}5).

Par conséquent, lorsque l'écoulement se détend (\alpha décroît à partir de 1), G(\alpha) augmente, ce qui impose que la section S(x) diminue.

Pour que la vitesse augmente depuis l'entrée, la tuyère doit donc impérativement avoir une section décroissante dans le sens de l'écoulement : elle doit d'abord être convergente.