Corrigé détaillé Centrale Physique 1 PC 2023

Le nombre de Reynolds associé à l'écoulement de l'air autour de l'obstacle s'écrit :

où \rho est la masse volumique du fluide, v la vitesse de l'écoulement non perturbé, L une longueur caractéristique de l'obstacle, \eta la viscosité dynamique et \nu = \eta / \rho la viscosité cinématique.

Le nombre de Reynolds caractérise le rapport entre les forces d'inertie (terme convectif (\vec{v}\cdot\vec{\nabla})\vec{v}) et les forces de viscosité (\nu \Delta \vec{v}) au sein de l'écoulement. Il permet de déterminer le régime de l'écoulement (laminaire ou turbulent).

Pour un cycliste, une dimension caractéristique globale (hauteur du buste ou largeur frontale) est de l'ordre de L \sim 1\text{ m}.
La vitesse de déplacement vaut :

Avec les données de l'énoncé (\rho = 1{,}225\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} et \eta = 1{,}8\times 10^{-5}\text{ Pa}\cdot\text{s}) :

La valeur obtenue vérifie la condition :

Le modèle de force de traînée quadratique en vitesse proposé est donc parfaitement adapté.

On étudie le système constitué du \{cycliste + vélo\}, assimilé à un point matériel M de masse m, dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

D'après la figure 3, l'axe (Ox) est dirigé vers le bas le long de la pente, et l'axe (Oy) est orthogonal à la route dirigé vers le haut. Le vecteur vitesse s'écrit \vec{v} = v\,\vec{e}_x avec v \ge 0. Les forces appliquées au système sont :

• le poids :

  \vec{P} = m g \sin\alpha\,\vec{e}_x - m g \cos\alpha\,\vec{e}_y

• la réaction normale de la route :

  \vec{N} = N\,\vec{e}_y

• la force de résistance au roulement :

  \vec{F}_r = -\mu_r N\,\vec{e}_x

• la force de traînée aérodynamique :

  \vec{F}_T = -\frac{1}{2}\rho S C_x v^2\,\vec{e}_x

D'après le principe fondamental de la dynamique appliqué au système :

Le mouvement s'effectuant uniquement le long de la route (y = 0), la projection selon \vec{e}_y donne :

La projection selon \vec{e}_x s'écrit alors :

En divisant par la masse m, on obtient :

Cette équation différentielle est bien de la forme (I.1) :

avec les expressions littérales :

Applications numériques : Avec \rho = 1{,}225\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}, S C_x = 0{,}30\text{ m}^2, m = 80\text{ kg}, g = 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}, \alpha = 0{,}10\text{ rad} et \mu_r = 6{,}4 \times 10^{-3} :

On retient avec deux chiffres significatifs :

Lorsque le régime permanent est atteint, la vitesse tend vers une valeur constante notée v_{\lim}, de sorte que :

L'équation différentielle (I.1) établie à la question Q2, \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} + a v^2 = b, conduit alors à :

En rappelant les expressions de a et b établies à la question Q2 :

on obtient :

Par identification avec la forme proposée v_{\lim} = \sqrt{\dfrac{K}{S C_x}}, il vient :

D'après la question Q3, la vitesse limite s'écrit :

En utilisant les valeurs numériques des paramètres de l'énoncé :

• m = 80\text{ kg},
• g = 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2},
• \alpha = 0{,}10\text{ rad},
• \mu_r = 6{,}4 \times 10^{-3},
• \rho = 1{,}225\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3},
• S C_x = 0{,}30\text{ m}^2,

on obtient :

D'où l'application numérique :

Soit, en kilomètres par heure :

Commentaires :

• Une vitesse d'environ 72\text{ km}\cdot\text{h}^{-1} est tout à fait réaliste pour un cycliste en position de recherche de vitesse descendant une pente raide de 10\,\% sans pédaler.
• À cette vitesse, le nombre de Reynolds vaut environ 1{,}5 \times 10^6, ce qui confirme que l'écoulement se situe bien dans le régime où la traînée aérodynamique est quadratique en vitesse (validant l'hypothèse de la question Q1).
• Cette valeur asymptotique coïncide parfaitement avec le palier atteint à 20\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} sur les courbes 1 et 2 de la figure 5.

Le programme de la figure 4 utilise la méthode d'Euler explicite pour résoudre numériquement une équation différentielle du premier ordre de la forme \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = g(v).

Le rôle et le principe des différentes parties du code sont les suivants :

• Lignes 8 et 9 : la fonction g(u) implémente la dérivée temporelle \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} issue de l'équation différentielle (I.1) :

  \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = b - a v^2 = 0{,}92 - 2{,}3\times 10^{-3} v^2

  les coefficients correspondant exactement aux valeurs de a et b établies à la question Q2.

• Lignes 3 à 7 : la fonction r(f, v, t) réalise l'intégration numérique par la méthode d'Euler :

  • Ligne 4 : initialisation de la liste des vitesses avec la condition initiale v(t_0) = v (V = [v]).

  • Lignes 5 et 6 : boucle temporelle itérative discrétisant la dérivée sous la forme \dfrac{v_{i+1} - v_i}{t_{i+1} - t_i} \approx f(v_i), ce qui donne la relation de récurrence du schéma d'Euler explicite :

    v_{i+1} = v_i + (t_{i+1} - t_i)\, f(v_i)
  • Ligne 7 : renvoi de la liste des vitesses approchées aux différents instants.
• Lignes 10 à 13 : discrétisation du domaine temporel [0\text{ s}, 120\text{ s}] en 1000 points avec np.linspace, calcul de la trajectoire pour une vitesse initiale nulle v(0)=0 (y = r(g, 0, x)), puis tracé de la courbe v(t).

Dans l'instruction x = np.linspace(t_min, t_max, N), le vecteur x représente le maillage temporel de l'intégration numérique :

• 0 correspond à l'instant initial t_0 = 0\text{ s}, instant où le cycliste part sans vitesse initiale ;
• la deuxième valeur correspond à l'instant final t_f (en secondes) de la simulation (respectivement 120\text{ s}, 12\text{ s} ou 300\text{ s}) ;

• la troisième valeur N est le nombre de points d'échantillonnage temporel, qui définit le pas d'intégration du schéma d'Euler :

  \Delta t = \frac{t_f - t_0}{N - 1}.

Le temps caractéristique associé à la phase de démarrage peut être estimé par :

Commentaire de l'allure des quatre courbes de la figure 5 :

• Courbe 1 (x = np.linspace(0, 120, 1000)) : on a t_f = 120\text{ s} > 3\tau et un pas de temps très petit \Delta t \approx 0{,}12\text{ s} \ll \tau. La condition de stabilité et de précision d'Euler explicite est vérifiée : la courbe est lisse et décrit fidèlement le régime transitoire puis l'établissement du régime permanent vers v_{\lim} = 20\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}.
• Courbe 2 (x = np.linspace(0, 120, 10)) : la durée t_f = 120\text{ s} est suffisante, mais avec seulement N = 10 points, le pas de temps est grand (\Delta t \approx 13{,}3\text{ s}). La courbe est formée de segments grossiers : le manque d'échantillonnage dégrade fortement la précision.
• Courbe 3 (x = np.linspace(0, 12, 1000)) : le pas est très fin (\Delta t \approx 0{,}012\text{ s}), assurant une excellente précision locale, mais la durée totale simulée t_f = 12\text{ s} est inférieure au temps caractéristique \tau. On n'observe que le début du mouvement (accélération presque constante v(t) \approx b t), sans atteindre le régime permanent.
• Courbe 4 (x = np.linspace(0, 300, 10)) : le pas de temps est excessif (\Delta t \approx 33{,}3\text{ s} > \tau). La méthode d'Euler explicite devient instable : la solution subit une divergence numérique oscillante avec des valeurs aberrantes (vitesses négatives).

La distance parcourue par le cycliste entre l'instant initial t=0 et l'instant t_{RP} où le régime permanent est établi s'écrit :

Cette grandeur correspond géométriquement à l'aire sous la courbe v(t) entre t=0 et t=t_{RP}.

On utilise la Courbe 1 de la figure 5, qui correspond à la discrétisation temporelle la plus fine (\Delta t = 0{,}12\text{ s}, avec 1000 points sur [0, 120\text{ s}]).

1. Estimation du temps d'établissement t_{RP} : La vitesse limite vaut v_{\lim} \approx 20\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}. On constate graphiquement que :

• à t = 20\text{ s}, la vitesse vaut environ 15{,}5\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} ;
• à t = 40\text{ s}, la vitesse atteint environ 19\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} (soit 95\,\% de v_{\lim}) ;
• pour t \gtrsim 50\text{ s}, la courbe se confond visuellement avec son asymptote horizontale à 20\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}.

On peut ainsi estimer le temps d'atteinte du régime permanent à t_{RP} \approx 50\text{ s} (ou dans la plage 40\text{ à }60\text{ s}).

2. Estimation de l'aire sous la courbe : Sur la figure 5 (Courbe 1), chaque carreau élémentaire de dimensions \Delta t = 20\text{ s} et \Delta v = 5\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} représente une distance de :

On décompose l'intervalle [0, 50\text{ s}] en trois zones :

• Sur [0, 20\text{ s}] : la vitesse croît de 0 à 15{,}5\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}. L'aire sous la courbe concave correspond à environ 2 carreaux, soit :

  d_1 \approx 200\text{ m}

• Sur [20\text{ s}, 40\text{ s}] : la vitesse moyenne est d'environ 17{,}5\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, ce qui donne :

  d_2 \approx 17{,}5 \times 20 \approx 350\text{ m}

• Sur [40\text{ s}, 50\text{ s}] : la vitesse est quasi-constante, très proche de 20\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, soit :

  d_3 \approx 20 \times 10 \approx 200\text{ m}

En sommant ces contributions, on obtient :

Un encadrement simple confirme cet ordre de grandeur : la courbe étant concave, l'aire est comprise entre celle du triangle de base t_{RP} et de hauteur v_{\lim} (\frac{1}{2} \times 50 \times 20 = 500\text{ m}) et celle du rectangle circonscrit (50 \times 20 = 1000\text{ m}).

À partir des données temporelles x (contenant les instants t_i) et du profil de vitesse y (contenant les vitesses v_i), on définit le régime permanent comme l'instant où la vitesse atteint une fraction fixée (par exemple 95\,\%) de sa valeur asymptotique v_{\lim} \approx y[-1].

La distance parcourue est ensuite obtenue par intégration numérique discrète selon la méthode des trapèzes :

La fonction Python correspondante s'écrit :

def distance_RP(x, y, seuil=0.95):
    """
    Calcule la distance parcourue L_RP avant d'atteindre le regime permanent.
    x : tableau des instants t (s)
    y : tableau ou liste des vitesses v (m/s)
    seuil : fraction de la vitesse limite definissant le regime permanent (ex. 0.95)
    """
    v_lim = y[-1]
    v_seuil = seuil * v_lim

    L_RP = 0.0
    for i in range(len(x) - 1):
        if y[i] >= v_seuil:
            break
        dt = x[i+1] - x[i]
        # Methode des trapezes
        L_RP += 0.5 * (y[i] + y[i+1]) * dt

    return L_RP

Pour obtenir la valeur numérique à l'aide des données de la courbe 1, il suffit d'exécuter :

# x et y etant issus du programme de la figure 4 (courbe 1) :
# x = np.linspace(0, 120, 1000)
# y = r(g, 0, x)
L = distance_RP(x, y, 0.95)

Le cycliste parcourt la distance L' = 5{,}00\text{ km} = 5000\text{ m} à vitesse constante (régime permanent établi). Pour chacun des N = 10 essais avec le casque classique, la vitesse s'exprime par v_{c,i} = \frac{L'}{t_{c,i}} :

La valeur moyenne de la vitesse est :

L'écart-type expérimental (incertitude-type sur une mesure individuelle) vaut :

L'incertitude-type de type A sur la moyenne est alors :

L'écart entre les vitesses moyennes mesurées vaut :

L'incertitude-type associée à cette différence de moyennes indépendantes s'écrit :

L'écart mesuré représente ainsi plus de 13 fois l'incertitude-type associée :

Par ailleurs, l'observation des histogrammes de la figure 7 montre que même pour des mesures individuelles, les deux distributions sont très nettement disjointes, le recouvrement n'intervenant que de manière très marginale (autour de 18{,}8\text{ à }18{,}9\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, dans les ailes des distributions).

D'après l'équation (I.2) établie à la question Q3, la vitesse limite en régime permanent vérifie :

Pour évaluer l'incertitude sur SC_x par la méthode de Monte-Carlo, on tire un échantillon de N vitesses distribuées selon une loi normale d'espérance vitesseMoyenne et d'écart-type incertitudeType. Pour chaque vitesse tirée, on calcule la valeur de SC_x correspondante, puis on en déduit l'estimation (moyenne empirique) et son incertitude-type (écart-type empirique).

Voici le code proposé :

import numpy as np
import numpy.random as rd

def MonteCarlo2(vitesseMoyenne, incertitudeType, N, K):
    generateur = rd.default_rng()
    # Tirage de N vitesses selon une loi normale
    v = generateur.normal(vitesseMoyenne, incertitudeType, N)
    # Calcul vectoriel de SCx pour chaque vitesse simulee
    scx = K / (v**2)
    # Evaluation de SCx et de l'incertitude-type associee
    scx_moyen = np.mean(scx)
    u_scx = np.std(scx, ddof=1)
    return scx_moyen, u_scx

Dans le référentiel terrestre supposé galiléen, le système \{\text{cycliste} + \text{vélo}\}, assimilé au point matériel M, a pour vecteur vitesse \vec{v} = v\,\vec{e}_x le long de la pente descendante inclinée de l'angle \alpha par rapport à l'horizontale.

D'après le bilan des actions extérieures établi à la question Q2 :

1. Puissance du poids \vec{P} : Le poids s'écrit \vec{P} = m g \sin\alpha\,\vec{e}_x - m g \cos\alpha\,\vec{e}_y. Sa puissance développée est :

   \boxed{\mathcal{P}(\vec{P}) = \vec{P} \cdot \vec{v} = m g v \sin\alpha}

   Cette puissance est motrice (\mathcal{P}(\vec{P}) > 0).

2. Puissance de la réaction normale de la route \vec{N} : La réaction normale est orthogonale au déplacement, \vec{N} = N\,\vec{e}_y = m g \cos\alpha\,\vec{e}_y, d'où :

   \boxed{\mathcal{P}(\vec{N}) = \vec{N} \cdot \vec{v} = 0}

3. Puissance de la résistance au roulement \vec{F}_r : Avec \vec{F}_r = -\mu_r N\,\vec{e}_x = -\mu_r m g \cos\alpha\,\vec{e}_x, il vient :

   \boxed{\mathcal{P}(\vec{F}_r) = \vec{F}_r \cdot \vec{v} = -\mu_r m g v \cos\alpha}

   Cette puissance est résistante (\mathcal{P}(\vec{F}_r) < 0).

4. Puissance de la force de traînée aérodynamique \vec{F}_T : Avec \vec{F}_T = -\frac{1}{2}\rho S C_x v\,\vec{v} = -\frac{1}{2}\rho S C_x v^2\,\vec{e}_x, on obtient :

   \boxed{\mathcal{P}(\vec{F}_T) = \vec{F}_T \cdot \vec{v} = -\frac{1}{2}\rho S C_x v^3}

   Cette puissance est résistante (\mathcal{P}(\vec{F}_T) < 0).

À une vitesse donnée v, les forces de pesanteur et de résistance au roulement sont identiques pour les deux configurations. Le gain en puissance \Delta \mathcal{P} apporté par le casque profilé correspond donc à la réduction de puissance requise pour vaincre la traînée aérodynamique :

Convertissons la vitesse en unités SI :

D'après le tableau 2 :

L'application numérique donne :

Les séries de mesures avec le casque classique et le casque profilé étant indépendantes, les variances s'ajoutent :

La vitesse v et la masse volumique de l'air \rho étant des grandeurs données supposées sans incertitude, l'incertitude-type sur le gain de puissance s'écrit :

Soit un électron du plasma, de masse m_e et de charge q = -e.

Il est soumis à la force de Lorentz \vec{F}_L = -e(\vec{E} + \vec{V} \wedge \vec{B}). En formulant l'hypothèse que la partie magnétique est négligeable devant la partie électrique (\|\vec{V} \wedge \vec{B}\| \ll \|\vec{E}\|), la force de Lorentz se réduit à la force électrique :

Les interactions entre particules étant supposées négligeables et le poids négligé d'après l'énoncé, le principe fondamental de la dynamique appliqué à un électron dans le référentiel terrestre (supposé galiléen) s'écrit :

En notation complexe associée à la dépendance temporelle en \exp(\mathrm{i}\omega t), la dérivation temporelle équivaut au produit par \mathrm{i}\omega :

Les cations étant immobiles, seuls les électrons de densité volumique n participent au transport de charge. Le vecteur densité de courant volumique s'écrit donc :

Par définition de la conductivité complexe dans la loi d'Ohm locale \underline{\vec{j}} = \underline{\sigma}\underline{\vec{E}}, on identifie :

Sous la forme demandée :

on obtient, par identification de \varepsilon_0 \omega_p^2 = \frac{n e^2}{m_e} :

Le plasma est supposé localement neutre, de sorte que la densité volumique de charge macroscopique est nulle : \rho_{\text{vol}} = 0. Les équations de Maxwell s'écrivent donc :

En prenant le rotationnel de l'équation de Maxwell-Faraday et en utilisant l'identité vectorielle fournie par le formulaire :

Par permutation des opérateurs spatiaux et temporels :

D'après la question Q14, en régime sinusoïdal de pulsation \omega, \underline{\vec{j}} = \underline{\sigma}\,\underline{\vec{E}} = -\mathrm{i}\varepsilon_0 \frac{\omega_p^2}{\omega}\underline{\vec{E}}. La dérivée temporelle de la densité de courant s'exprime alors simplement :

En introduisant la célérité de la lumière dans le vide c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}, il vient :

On en déduit l'équation vectorielle de propagation :

Le champ électrique étant polarisé selon \vec{e}_x et ne dépendant que de la coordonnée spatiale z, le laplacien vectoriel se réduit à :

On obtient ainsi l'équation aux dérivées partielles régissant \underline{E}_x(z, t) :

L'équation de propagation établie à la question Q15 s'écrit :

Pour une onde monochromatique de la forme \underline{E}_x(z, t) = E_0 \exp(\mathrm{i}(\omega t + \underline{k} z)), les dérivées spatiale et temporelle s'expriment par :

En substituant ces dérivées dans l'équation de propagation, on obtient :

Cette relation étant vérifiée en tout point z et à tout instant t pour une onde non nulle, on en déduit la relation de dispersion :

Domaine de transparence du plasma :

• Si \boldsymbol{\omega > \omega_p} : \underline{k}^2 > 0, donc le vecteur d'onde \underline{k} est réel (\underline{k} = \pm k avec k \in \mathbb{R}). Le champ électrique se propage alors sous la forme d'une onde plane progressive sans terme d'atténuation exponentielle dans l'espace. L'onde traverse le milieu sans être absorbée ni réfléchie en puissance : on dit que le plasma se trouve dans son domaine de transparence (pour \omega > \omega_p).
• Si \boldsymbol{\omega < \omega_p} : \underline{k}^2 < 0, donc \underline{k} est imaginaire pur (\underline{k} = \pm \mathrm{i}\kappa avec \kappa \in \mathbb{R}). L'onde est alors évanescente (décroissance exponentielle d'amplitude dans le plasma) et ne transporte aucune puissance moyenne : le milieu est opaque et réfléchit l'onde incidente.

D'après la question Q16, le domaine de transparence correspond aux pulsations supérieures à la pulsation plasma :

où \omega_p est la pulsation de coupure du plasma définie à la question Q14 :

Calculons numériquement la pulsation et la fréquence plasma :

Les deux bandes spectrales utilisées par le GPS ont pour fréquences centrales :

On constate que :

Dans le domaine de transparence du plasma (\omega > \omega_p), le vecteur d'onde k est réel et relié à la pulsation \omega par la relation de dispersion établie à la question Q16 :

Par définition, la vitesse de phase V_\varphi représente la vitesse de propagation des surfaces d'équiphase (\omega t + kz = \text{cste}) :

On obtient ainsi :

La vitesse de groupe V_g est définie mathématiquement par :

Elle représente physiquement :

• la vitesse de propagation de l'enveloppe d'un paquet d'ondes (ou d'un signal modulé centré autour de la pulsation \omega) ;
• la vitesse de transport de l'énergie et de l'information associées au paquet d'ondes (dans un milieu non dissipatif et peu dispersif).

Pour exprimer V_g, on utilise la relation de dispersion établie à la question Q16 dans le domaine de transparence (\omega > \omega_p) :

En différentiant cette relation par rapport à k, il vient :

Sachant que V_\varphi = \frac{\omega}{k}, on en déduit la relation remarquable :

En utilisant l'expression de la vitesse de phase obtenue à la question Q18, V_\varphi = \frac{c}{\sqrt{1 - \frac{\omega_p^2}{\omega^2}}}, on obtient :

D'après les questions Q18 et Q19, dans le domaine de transparence (\omega > \omega_p), les vitesses de phase et de groupe s'écrivent :

1. Étude des fonctions :

• En \omega \to \omega_p^+ :

  V_\varphi \xrightarrow[\omega \to \omega_p^+]{} +\infty \quad \text{et} \quad V_g \xrightarrow[\omega \to \omega_p^+]{} 0

  Les courbes présentent des tangentes verticales en \omega = \omega_p^+.

• En \omega \to +\infty :

  V_\varphi \xrightarrow[\omega \to +\infty]{} c^+ \quad \text{et} \quad V_g \xrightarrow[\omega \to +\infty]{} c^-

  La droite d'équation V = c est une asymptote horizontale commune.

• Pour tout \omega > \omega_p, on vérifie V_g < c < V_\varphi, V_\varphi(\omega) étant strictement décroissante et V_g(\omega) strictement croissante, avec V_g(\omega)\,V_\varphi(\omega) = c^2.

2. Tracé des courbes :

3. Commentaire au regard des fréquences GPS :

• D'après la question Q17, les fréquences du signal GPS vérifient \nu \sim 1{,}2\text{ à }1{,}6\text{ GHz} \gg \nu_p \approx 9{,}0\text{ MHz}, soit \omega \gg \omega_p (avec \omega/\omega_p \approx 140\text{ à }175).

• Dans ce domaine de très haute fréquence, on se situe sur le palier asymptotique :

  V_g \approx c \quad \text{et} \quad V_\varphi \approx c

  Le milieu est donc très peu dispersif pour ces ondes. L'étalement temporel des paquets d'ondes au cours de la traversée de l'ionosphère est minime, ce qui préserve l'intégrité de l'information modulée transmise par les satellites.

• Cependant, l'écart résiduel c - V_g \approx \frac{c\,\omega_p^2}{2\omega^2} \neq 0, bien que minuscule en valeur relative (\sim 10^{-5} à 10^{-4}), s'accumule sur plusieurs centaines de kilomètres d'épaisseur ionosphérique. Il engendre un retard de propagation \tau perceptible à l'échelle du nanoseconde, ce qui correspond à une erreur métrique sur le positionnement au sol.

1. Expression du champ magnétique \underline{\vec{B}}

D'après l'équation de Maxwell-Faraday :

Le champ électrique s'écrit \underline{\vec{E}}(z, t) = \underline{E}_x(z, t)\,\vec{e}_x = E_0 \exp(\mathrm{i}(\omega t + \underline{k} z))\vec{e}_x. En coordonnées cartésiennes, le rotationnel vaut :

En régime harmonique, la dérivée temporelle se traduit par \frac{\partial}{\partial t} \equiv \mathrm{i}\omega, d'où :

On en déduit l'expression du champ magnétique :

Dans le domaine de transparence où \underline{k} = k est réel, en introduisant la vitesse de phase V_\varphi = \frac{\omega}{k}, cette expression se réécrit :

2. Justification de l'hypothèse faite à la question Q14

À la question Q14, nous avions négligé la partie magnétique de la force de Lorentz agissant sur un électron devant la partie électrique.

Le rapport des amplitudes des forces s'écrit :

Comme B = \frac{E}{V_\varphi} et que pour les ondes GPS étudiées, \omega \gg \omega_p (établi à la question Q17), la vitesse de phase est très proche de la célérité de la lumière dans le vide : V_\varphi \approx c. Il vient donc :

L'énoncé précise explicitement que les électrons du plasma sont « non relativistes (leur vitesse V est très inférieure à c) ». On en déduit :

La composante magnétique de la force de Lorentz est donc parfaitement négligeable devant la composante électrique dans le principe fondamental de la dynamique appliqué aux électrons, ce qui justifie l'hypothèse formulée à la question Q14.

Les signaux GPS étant constitués de paquets d'ondes (ondes modulées transportant l'information temporelle), l'enveloppe du signal se propage à la vitesse de groupe V_g.

Lorsque le satellite est au zénith (à la verticale du capteur), l'onde traverse l'ionosphère sur une distance égale à son épaisseur d sous incidence normale. La durée de traversée est :

En l'absence d'ionosphère (propagation dans le vide à la célérité c), cette durée serait :

Le retard ionosphérique \tau subi par le signal s'écrit donc :

D'après la question Q19, la vitesse de groupe s'exprime par :

D'où :

D'après la question Q17, pour les fréquences GPS, on a \omega \gg \omega_p, ce qui permet d'effectuer un développement limité à l'ordre 1 en \left(\frac{\omega_p}{\omega}\right)^2 :

On en déduit l'expression approchée du retard ionosphérique :

Soit C le centre de la Terre, O la position du capteur à la surface terrestre (CO = R_T), et M le point où le rayon issu du satellite entre dans l'ionosphère.

En négligeant l'altitude du bas de l'ionosphère (h_1 = 80\text{ km} \ll d = 720\text{ km}), la couche ionosphérique s'étend de la surface terrestre (r = R_T) jusqu'au sommet de l'ionosphère (r = R_T + d). De plus, la réfraction étant négligée, l'onde se propage en ligne droite.

Lorsque le satellite est à l'horizon pour le capteur, la ligne de visée (OM) est tangente à la Terre en O, de sorte que le triangle COM est rectangle en O :

où L = OM est la longueur de trajectoire dans l'ionosphère. On en déduit :

Comme d \ll R_T (d/R_T \approx 0{,}11), on peut approcher cette distance au premier ordre par :

D'après le résultat de la question Q22, le retard ionosphérique accumulé sur une épaisseur L à la vitesse de groupe V_g s'écrit :

En injectant l'expression approchée de L :

Le retard \tau étant inversement proportionnel au carré de la fréquence \nu, le retard maximal est obtenu pour la fréquence la plus basse des deux bandes GPS, soit \nu_2 = 1227{,}6\text{ MHz}.

Application numérique :

• Épaisseur de l'ionosphère : d = 800 - 80 = 720\text{ km} = 7{,}2 \times 10^5\text{ m} ;
• Distance parcourue : L \approx \sqrt{2 \times 6{,}4 \times 10^6 \times 7{,}2 \times 10^5} \approx 3{,}04 \times 10^6\text{ m} \approx 3{,}0 \times 10^3\text{ km}
  (la formule complète \sqrt{2 R_T d + d^2} donnerait 3{,}12 \times 10^6\text{ m}) ;
• Fréquence plasma (question Q17) : \nu_p \approx 8{,}95\text{ MHz} ;
• Célérité de la lumière : c = 3{,}0 \times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}.

Les signaux émis par les satellites GPS sont des paquets d'ondes modulés portant une information temporelle (codes pseudo-aléatoires). L'information et l'énergie associées à ces paquets se propagent donc à la vitesse de groupe V_g.

D'après les questions précédentes, dans le plasma ionosphérique :

Le paquet d'ondes subit donc un ralentissement au cours de la traversée de l'ionosphère, ce qui introduit un temps de parcours effectif \Delta t supérieur au temps de trajet dans le vide \Delta t_{\text{vide}} d'une durée égale au retard ionosphérique \tau > 0 :

Pour déterminer la position du récepteur, le GPS calcule la distance capteur-satellite (pseudo-distance) en supposant une propagation rectiligne à la vitesse de la lumière dans le vide c :

Ne pas tenir compte du fait que V_g < c dans l'ionosphère conduit donc à une surestimation de la distance capteur-satellite de la quantité :

Le positionnement au sol reposant sur le principe de multilatération (intersection des sphères centrées sur les satellites et de rayons D_{\text{calc}}), toute erreur systématique \Delta D sur les distances satellite-capteur altère la résolution géométrique et induit inévitablement un décalage sur la position déterminée au sol.

D'après l'énoncé, le décalage maximal au sol est donné par le produit du facteur géométrique maximal \mathrm{DOP}_{\max} et du décalage maximal de la distance capteur-satellite :

avec, d'après les questions Q23 et Q24 :

Sur la figure 8, on lit que la valeur maximale du \mathrm{DOP} au cours de la journée atteint :

On en déduit l'estimation du décalage maximal de positionnement au sol :

Pour évaluer l'incertitude-type associée par une méthode de type B, considérons que l'erreur algébrique de positionnement \delta selon la direction de déplacement suit une distribution uniforme sur l'intervalle symétrique [-\delta_{\max}, +\delta_{\max}] (de largeur 2\delta_{\max}), le satellite pouvant induire une avance ou un retard géométrique sur le repérage le long de la trajectoire.

D'après la formule fournie dans l'énoncé avec a = -\delta_{\max} et b = +\delta_{\max} :

L'application numérique donne :

La vitesse moyenne sur un essai est évaluée par le rapport entre la distance L' du segment et la durée de parcours \Delta t :

Le déclenchement du chronométrage par une application GPS repose sur le franchissement des positions de départ et d'arrivée. Une incertitude de positionnement au sol \delta sur chacune de ces bornes se traduit par une incertitude sur la distance effective parcourue entre les deux repérages, soit :

Si l'on considère la seule incertitude sur la position (le chronométrage propre de l'horloge étant extrêmement précis), l'incertitude-type relative sur la vitesse vaut :

En prenant l'évaluation de type B obtenue à la question Q25, u(\delta) \approx 50\text{ m}, et la longueur du parcours L' = 5{,}00\text{ km} = 5{,}00 \times 10^3\text{ m} :

D'après l'énoncé, l'écoulement extérieur est supposé irrotationnel dans tout le domaine d'étude :

D'après les relations entre opérateurs fournies dans l'énoncé (rappelant que le rotationnel d'un gradient est identiquement nul), un champ vectoriel à rotationnel nul dérive d'un champ scalaire \varphi, appelé potentiel des vitesses, tel que :

Par ailleurs, le fluide est homogène (masse volumique \rho uniforme et constante) et l'écoulement est incompressible. L'équation locale de conservation de la masse s'écrit :

En injectant l'expression du champ de vitesse en fonction de \varphi dans la condition d'incompressibilité et en utilisant l'identité \operatorname{div}(\overrightarrow{\operatorname{grad}}\varphi) = \Delta \varphi, il vient :

Le potentiel des vitesses \varphi vérifie donc l'équation de Laplace :

Loin en amont du cylindre, l'écoulement est uniforme et unidirectionnel selon l'axe (Ox) :

Par définition du potentiel des vitesses \varphi, on a \vec{v}_0 = \overrightarrow{\operatorname{grad}}\,\varphi. En coordonnées cartésiennes, cela se traduit par le système d'équations aux dérivées partielles :

L'intégration de ce système conduit immédiatement à :

où C est une constante d'intégration arbitraire. En choisissant l'origine du potentiel telle que \varphi(0, y, z) = 0, on obtient bien :

Surfaces équipotentielles : Les surfaces équipotentielles sont définies par \varphi(x, y, z) = \text{cte}, soit :

Lignes de courant : Par définition, les lignes de courant sont les courbes tangentes en tout point au champ des vitesses \vec{v}_0. L'équation différentielle d'une ligne de courant s'écrit :

ce qui impose \mathrm{d}y = 0 et \mathrm{d}z = 0, soit y = \text{cte} et z = \text{cte}.

Lorsque la distance à l'axe r devient très grande devant le rayon du cylindre (r \gg a), le terme en a^2/r^2 devient négligeable devant 1. Le potentiel des vitesses tend alors asymptotiquement vers :

D'après le repère polaire défini sur la figure 11, le passage en coordonnées cartésiennes donne x = r \cos\theta, d'où :

Or, d'après le résultat de la question Q28, l'écoulement uniforme de vitesse \vec{v}_0 = v_0 \vec{e}_x régnant loin du cylindre admet pour potentiel des vitesses :

Par identification des deux expressions asymptotiques pour r \to +\infty, on en déduit immédiatement :

D'après les questions Q27 et Q29, le champ de vitesse dérive du potentiel :

avec

En coordonnées cylindriques, l'invariance par translation le long de l'axe (Oz) implique que la composante axiale est nulle (v_{ez} = 0). Le gradient s'écrit :

On en déduit par dérivation :

On obtient ainsi les deux composantes polaires du champ de vitesse :

Le cylindre étant immobile et imperméable, la condition aux limites pour un écoulement de fluide parfait (non visqueux) impose l'annulation de la composante normale de la vitesse à la paroi (condition de non-pénétration) :

soit :

D'après les composantes établies à la question Q30 :

En évaluant cette composante à la surface du cylindre (r = a) :

La vitesse normale est donc strictement nulle en tout point de la paroi :

La condition aux limites d'imperméabilité à la surface du cylindre est bien vérifiée.

L'équation de Navier-Stokes s'écrit de manière générale :

Précisons les hypothèses valables pour l'écoulement extérieur modélisé :

• Fluide parfait (viscosité négligeable) : \eta = 0, donc le terme de diffusion visqueuse \eta \Delta \vec{v}_e = \vec{0} ;
• Forces volumiques négligées : l'action de la pesanteur est négligée, d'où \vec{f}_v = \vec{0} ;
• Écoulement stationnaire : \dfrac{\partial \vec{v}_e}{\partial t} = \vec{0} ;
• Fluide incompressible et homogène : la masse volumique \rho est constante dans l'espace et le temps ;
• Écoulement irrotationnel : \overrightarrow{\operatorname{rot}}(\vec{v}_e) = \vec{0}.

En utilisant la formule vectorielle fournie :

L'équation de Navier-Stokes se réduit alors à :

Comme \rho est uniforme et constante, on peut l'intégrer sous le gradient :

Le gradient de cette grandeur scalaire étant nul en tout point d'un domaine connexe, on en déduit directement que :

Dans un écoulement plan, stationnaire et incompressible, le débit volumique entre deux lignes de courant données est conservé. Par conséquent :

• Pour x < 0 (face amont du cylindre) : En suivant le sens de l'écoulement (de l'infini amont vers le point d'arrêt à x = -a, la vitesse s'annule et la pression est maximale : p = p_0 + \frac{1}{2}\rho v_0^2). Le long de la paroi, depuis le point d'arrêt frontal (x = -a) jusqu'au sommet du cylindre (x = 0), on observe sur la figure 12 un resserrement progressif des lignes de courant. La vitesse du fluide v_e augmente donc le long de la paroi (atteignant son maximum 2v_0 en x=0, d'après le résultat de la question Q31).

  D'après la relation de Bernoulli établie à la question Q32,

  \frac{p_e}{\rho} + \frac{v_e^2}{2} = \text{cte}

  l'augmentation de la vitesse s'accompagne d'une diminution de la pression p_e. La pression atteint ainsi sa valeur minimale au sommet du cylindre en x = 0.

• Pour x > 0 (face aval du cylindre) : Du sommet (x = 0) jusqu'au point d'arrêt arrière (x = +a), on observe au contraire un écartement des lignes de courant. La vitesse du fluide v_e diminue donc le long de la paroi (jusqu'à s'annuler au point d'arrêt aval).

  Toujours d'après la relation de Bernoulli, cette décélération entraîne une augmentation de la pression p_e.

L'équation de Navier-Stokes pour un fluide newtonien incompressible et homogène (masse volumique \rho et viscosité dynamique \eta constantes) s'écrit :

Compte tenu des hypothèses précisées dans l'énoncé :

• l'action de la pesanteur est négligée : \vec{f}_v = \vec{0} ;
• les gradients de pression sont nuls : \overrightarrow{\operatorname{grad}} p = \vec{0} ;
• le champ des vitesses est de la forme \vec{v} = v'_x(y', t)\vec{e}_{x'}.

Évaluons chacun des termes différentiels :

En projetant l'équation de Navier-Stokes selon \vec{e}_{x'}, on obtient :

soit :

Cette équation se met bien sous la forme demandée F(v'_x) = D \, G(v'_x) avec :

Le coefficient D = \frac{\eta}{\rho} est appelé la viscosité cinématique (ou diffusivité de quantité de mouvement), usuellement notée \nu.

Considérons l'écoulement le long de l'obstacle de longueur caractéristique L à la vitesse caractéristique v :

• Temps caractéristique de convection : c'est le temps de transit d'une particule fluide sur la distance L à la vitesse v :

  \tau_{\text{conv}} \sim \frac{L}{v}

• Temps caractéristique de diffusion : d'après l'équation de diffusion obtenue à la question Q34 (\partial_t v'_x = D \, \partial^2_{y'} v'_x), la diffusion de quantité de mouvement par viscosité sur la distance caractéristique L s'effectue avec le coefficient de diffusion D = \eta / \rho en un temps caractéristique :

  \tau_{\text{diff}} \sim \frac{L^2}{D} = \frac{\rho L^2}{\eta}

Calculons le rapport de ces deux temps caractéristiques :

On reconnaît l'expression du nombre de Reynolds R_e introduite à la question Q1 :

Commentaire : Le nombre de Reynolds s'interprète ainsi comme le rapport du temps caractéristique de diffusion visqueuse sur le temps caractéristique de convection à l'échelle du corps. Pour le cycliste, R_e \sim 10^6 \gg 1 (question Q1), ce qui correspond à :

À l'échelle macroscopique L, le transport par convection est immensément plus rapide que le transport par diffusion visqueuse : le fluide n'a pas le temps de diffuser ses effets visqueux dans l'ensemble de l'écoulement pendant son temps de passage. Les effets de la viscosité restent donc confinés à une région très mince au voisinage de la paroi (la couche limite), l'écoulement extérieur se comportant comme un écoulement de fluide parfait.

Le phénomène de diffusion de quantité de mouvement dans la direction transversale y' est gouverné par l'équation établie à la question Q34 avec le coefficient de diffusion D = \eta/\rho. Le temps caractéristique associé à cette diffusion sur une distance transversale \delta est :

Par ailleurs, le temps caractéristique de convection de la quantité de mouvement dans la direction longitudinale x' sur la distance L, à la vitesse caractéristique v de l'écoulement extérieur, s'écrit d'après la question Q35 :

Dans la couche limite, les transferts par diffusion visqueuse transversale et par convection longitudinale s'équilibrent, ce qui impose que leurs temps caractéristiques soient du même ordre de grandeur :

On en déduit l'expression du carré de l'épaisseur de la couche limite :

où R_e = \dfrac{\rho\,v\,L}{\eta} est le nombre de Reynolds défini à la question Q1.

En prenant la racine carrée, on obtient bien l'ordre de grandeur recherché :

D'après la question Q36, l'épaisseur caractéristique de la couche limite s'écrit :

En prenant pour dimension longitudinale caractéristique du dos du cycliste L \sim 1\text{ m} et l'ordre de grandeur du nombre de Reynolds obtenu à la question Q1 pour v = 40\text{ km}\cdot\text{h}^{-1} :

On obtient ainsi :

L'épaisseur de la couche limite est de l'ordre du millimètre :

D'après la question Q37, l'épaisseur de la couche limite est \delta \sim 1\text{ mm}, tandis que la dimension caractéristique de l'obstacle est L \sim 1\text{ m}, soit un rapport d'aspect :

Commentaire de l'hypothèse (1) : \delta(x') \ll L

• Comme \delta / L \sim 10^{-3}, la couche limite est extrêmement fine par rapport à l'extension du cycliste : cette hypothèse géométrique fondamentale de Prandtl est parfaitement vérifiée en amont du décollement.

Commentaire de l'hypothèse (2) : |v'_y| \ll |v'_x|

• L'écoulement étant incompressible, le champ des vitesses vérifie :

  \operatorname{div}\vec{v} = 0 \iff \frac{\partial v'_x}{\partial x'} + \frac{\partial v'_y}{\partial y'} = 0.

• En estimant les ordres de grandeur des variations spatiales (\Delta v'_x \sim v_e sur la distance L, et \Delta v'_y \sim v'_y sur l'épaisseur \delta) :

  \frac{v_e}{L} \sim \frac{|v'_y|}{\delta} \implies \frac{|v'_y|}{|v'_x|} \sim \frac{\delta}{L} \sim 10^{-3} \ll 1.

  L'écoulement est donc très majoritairement tangentiel à la paroi, ce qui valide l'approximation quasi-parallèle.

Commentaire de l'hypothèse (3) : prépondérance des gradients transverses

• Pour les gradients d'ordre 1 :

  \left|\frac{\partial v'_x}{\partial x'}\right| \sim \frac{v_e}{L} \quad \text{et} \quad \left|\frac{\partial v'_x}{\partial y'}\right| \sim \frac{v_e}{\delta} \implies \frac{|\partial v'_x / \partial x'|}{|\partial v'_x / \partial y'|} \sim \frac{\delta}{L} \sim 10^{-3} \ll 1.

• Pour les dérivées secondes intervenant dans le laplacien visqueux de Navier-Stokes :

  \left|\frac{\partial^2 v'_x}{\partial x'^2}\right| \sim \frac{v_e}{L^2} \quad \text{et} \quad \left|\frac{\partial^2 v'_x}{\partial y'^2}\right| \sim \frac{v_e}{\delta^2} \implies \frac{|\partial^2 v'_x / \partial x'^2|}{|\partial^2 v'_x / \partial y'^2|} \sim \left(\frac{\delta}{L}\right)^2 \sim 10^{-6} \ll 1.

  Les gradients et les transferts visqueux transverses dominent ainsi très largement ceux dirigés le long de l'écoulement.

Dans le repère local (x', y'), l'écoulement dans la couche limite est décrit par le champ de vitesse \vec{v} = v'_x \vec{e}_{x'} + v'_y \vec{e}_{y'}, où la composante longitudinale v'_x est notée v.

L'équation de Navier-Stokes en régime stationnaire (\partial \vec{v}/\partial t = \vec{0}), sans force volumique (\vec{f}_v = \vec{0}) et pour un fluide de masse volumique \rho et de viscosité dynamique \eta, s'écrit :

En projetant suivant la direction longitudinale \vec{e}_{x'}, on obtient :

Évaluons chaque terme à la paroi immobile de l'obstacle (y' = 0) :

• Par condition d'adhérence du fluide visqueux à la paroi, la vitesse s'y annule :

  v'_x(x', y'=0) = 0 \quad \text{et} \quad v'_y(x', y'=0) = 0.

  Par conséquent, le terme d'accélération convective est strictement nul à la paroi :

  \left[ v'_x \frac{\partial v'_x}{\partial x'} + v'_y \frac{\partial v'_x}{\partial y'} \right]_{y'=0} = 0.

• Comme la composante v'_x(x', y'=0) = 0 pour tout x', sa dérivée spatiale le long de la paroi s'annule également :

  \frac{\partial^2 v'_x}{\partial x'^2}(x', y'=0) = 0.

  (Ce résultat est par ailleurs cohérent avec l'hypothèse (3) de la couche limite : \left|\frac{\partial^2 v'_x}{\partial x'^2}\right| \ll \left|\frac{\partial^2 v'_x}{\partial y'^2}\right|).

En injectant ces conditions en y' = 0 dans l'équation projetée et en notant v = v'_x, il vient :

On en déduit immédiatement la relation demandée :

D'après le résultat de la question Q39, le gradient de pression dans la couche limite à la paroi est relié à la concavité du profil de vitesse par :

Puisque la viscosité dynamique est strictement positive (\eta > 0), le signe de \frac{\partial p}{\partial x'} est identique à celui de \left.\frac{\partial^2 v}{\partial y'^2}\right|_{y'=0}.

• Au point A : Le profil de vitesse présente une courbure orientée vers les vitesses décroissantes sur toute l'épaisseur de la couche limite : la pente \frac{\partial v}{\partial y'} décroît continûment depuis la paroi jusqu'au raccord avec l'écoulement extérieur. Ainsi :

  \frac{\partial^2 v}{\partial y'^2}(y' = 0) < 0 \implies \boxed{\frac{\partial p}{\partial x'} < 0}

  Le gradient de pression est favorable (l'écoulement accélère).

• Au point B : Le profil de vitesse possède un point d'inflexion situé dans l'écoulement (y'_I > 0). Entre la paroi et ce point d'inflexion, la pente \frac{\partial v}{\partial y'} augmente avec y' (profil à concavité inversée au voisinage de la paroi). Dès lors :

  \frac{\partial^2 v}{\partial y'^2}(y' = 0) > 0 \implies \boxed{\frac{\partial p}{\partial x'} > 0}

  Le gradient de pression est défavorable (adverse).

• Au point C (point de décollement) : Par définition du décollement, la contrainte pariétale s'annule, ce qui se traduit par une tangente normale à la paroi :

  \left.\frac{\partial v}{\partial y'}\right|_{y'=0} = 0

  Comme le fluide s'écoule vers l'aval au-dessus de la paroi (v(y') > 0 pour y' > 0), la dérivée première \frac{\partial v}{\partial y'} croît à partir de 0 pour les faibles valeurs de y'. La dérivée seconde à la paroi est donc strictement positive :

  \frac{\partial^2 v}{\partial y'^2}(y' = 0) > 0 \implies \boxed{\frac{\partial p}{\partial x'} > 0}

Condition nécessaire de décollement : Pour observer le décollement de la couche limite, il est nécessaire que le gradient longitudinal de pression soit défavorable (adverse), soit :

D'après la question Q40, une condition nécessaire pour observer le décollement de la couche limite est l'existence d'un gradient de pression défavorable dans le sens de l'écoulement :

De plus, d'après les hypothèses du modèle de Prandtl admises en amont du décollement, le gradient longitudinal de pression dans la couche limite est imposé par l'écoulement extérieur :

Distinguons les deux zones du dos du cycliste modélisé par le demi-cylindre :

• Entre les points M et N (x < 0) : L'écoulement extérieur contourne la face amont du cylindre en s'accélérant vers le sommet N. D'après la question Q33, la pression extérieure p_e décroît le long de la paroi dans le sens du fluide, soit :

  \frac{\partial p}{\partial x'} = \frac{\partial p_e}{\partial x'} < 0.

  Le gradient de pression est favorable (moteur). La condition nécessaire établie en Q40 n'est pas remplie :

  \boxed{\text{La couche limite ne peut pas décoller entre } M \text{ et } N.}

• Entre les points N et P (x > 0) : En aval du sommet N, les lignes de courant s'écartent et l'écoulement extérieur ralentit. D'après la question Q33, la pression extérieure remonte dans le sens du mouvement, soit :

  \frac{\partial p}{\partial x'} = \frac{\partial p_e}{\partial x'} > 0.

  Le gradient de pression est défavorable (adverse). Le fluide au voisinage immédiat de la paroi, fortement ralenti par la viscosité, est freiné par cette surpression jusqu'à annulation de la contrainte pariétale \tau_w puis inversion de l'écoulement :

  \boxed{\text{La couche limite peut décoller uniquement entre } N \text{ et } P.}

Considérons une section droite de la couche limite à l'abscisse x', de hauteur \delta(x') et de largeur transverse L_t. Le fluide étant incompressible et homogène, la masse volumique \rho est constante.

• Dans l'écoulement réel, la composante longitudinale de la vitesse à l'altitude y' est v(x',y'). Le débit massique traversant cette tranche s'écrit :

  D_{m,\text{réel}}(x') = \int_0^{\delta(x')} \rho \, v(x',y') \, L_t \, \mathrm{d}y'

• Dans l'écoulement parfait hypothétique sur la même tranche géométrique, la vitesse serait uniforme et égale à la vitesse extérieure v_e(x') :

  D_{m,\text{parfait}}(x') = \int_0^{\delta(x')} \rho \, v_e(x') \, L_t \, \mathrm{d}y' = \rho L_t v_e(x') \delta(x')

Le déficit de débit massique à travers cette section par rapport à un écoulement non visqueux vaut donc :

Par définition de l'épaisseur de déplacement donnée dans l'énoncé, ce déficit s'exprime également sous la forme :

En identifiant les deux expressions et en simplifiant par \rho L_t v_e(x'), indépendant de la variable d'intégration y', on obtient :

Le débit massique de l'écoulement réel à travers la section droite de la couche limite, d'épaisseur \delta(x') et de largeur transverse L_t, s'écrit :

D'après la définition de l'épaisseur de déplacement obtenue à la question Q42, on a :

En multipliant par v_e, il vient :

On en déduit l'expression du débit massique réel :

Commentaire :

• Ce résultat confirme l'interprétation géométrique de l'épaisseur de déplacement : le débit massique réel dans la couche limite est identique à celui d'un écoulement de fluide parfait à vitesse uniforme v_e, traversant une section de même largeur L_t mais d'épaisseur effective réduite \delta_{\text{eff}} = \delta(x') - \delta^*(x').
• La présence de la viscosité ralentit le fluide au voisinage de la paroi ; tout se passe donc comme si la paroi imperméable était virtuellement déplacée d'une distance \delta^*(x') vers le fluide libre, refoulant ainsi les lignes de courant extérieures d'une même quantité.