Cinématique des fluides : 190 questions de concours corrigées

Rappeler l'expression de la dérivée particulaire de la masse volumique. Après avoir fait apparaître cette dérivée particulaire dans l'équation locale de conservation de la masse, établir la…

Rappeler l’équation unidimensionnelle de conservation de la masse et la simplifier dans le cadre de l’approximation acoustique.

Donner l'expression, en la justifiant, de la vitesse v dans le rétrécissement en fonction de u, s et S.

L'échelle spatiale de description choisie en mécanique des fluides est l'échelle mésoscopique à laquelle est définie la particule fluide. Indiquer quel critère (objectif) guide le choix de la taille…

Rappeler sans démonstration l'équation locale, liant les variations spatio–temporelles de ρ et v, qui exprime la conservation de la masse du fluide lors de son mouvement.

En tenant compte de l'incompressibilité des fluides, montrer que Δ φ₁ = 0 et Δ φ₂ = 0.

Montrer que le potentiel des vitesses vérifie l'équation de Laplace Δ φ = 0.

Montrer que le potentiel des vitesses vérifie l'équation de Laplace Δ φ = 0 .

Montrer qu'il existe un potentiel des vitesses φ tel que vₑ = gradφ et vérifiant l'équation de Laplace Δ φ = 0.

L'écoulement est supposé unidimensionnel. Écrire une relation entre les vitesses v₁, v₂ et les sections S₁ et S₂.

Définir les expressions suivantes figurant dans l'énoncé : écoulement parfait, écoulement homogène et incompressible, écoulement stationnaire.

Préciser le sens physique associé aux deux termes (∂ v)/(∂ t) et (v · grad)v formant la dérivée particulaire Dv/Dt de la vitesse.

En exprimant la quantité élémentaire de matière qui traverse une surface élémentaire dS(r) située en r pendant une durée dt, sous l'effet du transport convectif par l'écoulement seulement, justifier…

Montrer que le potentiel vérifie Δ φ = 0. (II.2)

Définir la notion de ligne de courant associée aux particules de fluide. Est-ce une description de nature eulérienne ou lagrangienne ?

Établir l'équation locale de conservation de la masse dans une géométrie unidimensionnelle cartésienne, pour un fluide de masse volumique ρ et de champ de vitesse v. On admettra sa généralisation en…

En négligeant tout frottement, montrer que la trajectoire des gouttes est parabolique et que la portée maximale est atteinte lors d'un tir sous un angle de 45° (figure 2). Exprimer v₀ en fonction de…

Exprimer les composantes de v₁ en fonction de φ₁. Déduire d'une condition limite satisfaite en z = -h par le champ des vitesses une condition sur la fonction φ₁.

En faisant un bilan de matière dans un petit volume dτ = dxdydz pendant un temps élémentaire dt, établir la loi de conservation de la matière reliant ρ(x,z,t), uₓ(x,z,t) et u_z(x,z,t), où uₓ = u ·…

En faisant un bilan de matière dans un petit volume dτ = dxdydz pendant un temps élémentaire dt, établir la loi de conservation de la matière reliant ρ(x,z,t), uₓ(x,z,t) et u_z(x,z,t), où uₓ = u ·…

Rappeler l'équation de conservation de la masse et la linéariser.

Rappeler l'expression du vecteur densité de courant associé au transport de la masse. À l'aide d'un bilan local de masse sur une tranche de fluide d'épaisseur dx, déterminer l'équation de…

On néglige les phénomènes de dissipation, dus par exemple à la viscosité du liquide. Vérifier que le champ de vitesses suivant correspond à un écoulement irrotationnel et incompressible, et que sa…

Pour quelles valeurs de k ce champ de vitesses vérifie-t-il les bonnes conditions aux limites sur les parois verticales du récipient ?

Par des arguments d'invariance similaires à cuex utilisés lors de la détermination des champs électromagnétiques E et B, déterminer de quel(s) paramètre(s) dépend la vitesse v du fluide en M.

Exprimer le débit volumique D_v à travers une section droite comprise entre les deux plans et de largeur ℓ selon u_y.

Toujours dans le cadre de l'approximation acoustique, établir la relation : ((∂ µ₁)/(∂ t)) = -µ₀ ((∂ v₁)/(∂ x))

Préciser ce que traduit chacune de ces équations.

En déduire que l'écoulement est irrotationnel et introduire le potentiel des vitesses φ(x, z, t).

Établir l'expression du débit de volume Q_v en fonction de R, Δ P = P₁ - P₂, η et ℓ.

Prouver que la composante v(M) de cette vitesse est constante tout le long du tuyau. Dans la suite, on notera v cette vitesse.

Rappeler les équations d'Euler et de conservation de la masse en fonction de µ, p et v dans le cas le plus général.

Exprimer littéralement la cylindrée C de la pompe (volume balayé par le piston (3) pour un tour de la manivelle (1)) en fonction de R et de d_p.

Définir la fonction Python moyenne(q). Cette fonction prend comme argument la liste des débits relevés q en m³ · s⁻¹ et renvoie le débit moyen qmoy en m³ · s⁻¹.

Le code Python donne un débit moyen q_moy = 2,4 · 10⁻³ m³ · s⁻¹. Calculer le débit moyen obtenu par la modélisation à partir de l'expression trouvée à la question Q7. Comparer le résultat obtenu par…

En déduire que le débit volumique D_V à travers toute surface fermée fixe au sein d'un écoulement incompressible est nul.

Exprimer vₓ(r, x = 0, t) et vₓ(r, x = ℓ, t).

A l'aide de la question précédente, que peut-on dire de l'évolution de la quantité de mouvement du système (K) au cours du temps ?

Définir puis déterminer littéralement la vitesse débitante au point B (conduite de diamètre intérieur δ). Faire l'application numérique.

Justifier que la valeur de la vitesse d’écoulement du fluide est identique en D et en F.

Calculer (en m⁻¹) la vitesse d’éjection de l’eau au point G.

Déterminer la valeur numérique du débit volumique sanguin moyen D. En déduire la valeur numérique de la vitesse v_s du sang dans l'aorte.

Exprimer N_B(R, t) en terme du profil de densité particulaire n(r, t).

Quel est le débit volumique moyen D_p de la pompe en litres par seconde ?

Pourquoi peut-on considérer v_s(A,t) et vₜ(B,t) uniformes sur toute la section de leur canalisation ? Quelle est la relation entre v_s et vₜ ?

Quel est le débit volumique moyen D_p de la pompe en litres par seconde ?

Préciser la signification et l'unité de mesure usuelle (ou la dimension) du terme gradv²/2.

Calculer v, la vitesse de l'eau dans les tuyaux.

Que signifie concrètement, pour les grandeurs vₑ, v_s, Sₑ et S_s, le fait de se placer en régime stationnaire ?

Rappeler la définition générale du débit volumique D_v et justifier qu'il se conserve ici le long de l'écoulement. En déduire deux expressions de D_v en fonction de vₑ, v_s, Sₑ et de S_s.

L'application numérique donne D_v,eq = 6,0 · 10⁻² m³⁻¹. En déduire les valeurs numériques de vₑ et de v_s à 0,1 m⁻¹ près, avec Sₑ = 80 cm² et S_s = 25 cm².

L'écoulement étant supposé incompressible, en déduire l'expression de V(t) en fonction de S, s, g et de h(t). Préciser qualitativement le sens d'évolution de V(t) lors de la vidange.

Dans le cas où le fluide est incompressible, démontrer que cette relation devient simplement (∂ uₓ)/(∂ x) + (∂ u_z)/(∂ z) = 0.

Dans le cas où le fluide est incompressible, démontrer que cette relation devient simplement (∂ uₓ)/(∂ x) + (∂ u_z)/(∂ z) = 0 .

Pour l'écoulement uniforme, loin en amont, montrer que le potentiel des vitesses φ associé peut être pris de la forme φ = v₀ x. Caractériser alors les surfaces équipotentielles et les lignes de…

Montrer que la vitesse de l'eau aux points E et S est identique : v_E = v_S.

En déduire la puissance mécanique de la pompe P_meca nécessaire.

Quelle est la vitesse v de l'eau à l'entrée ? Pourquoi peut-elle être supposée uniforme dans le tuyau ?

Quel est le débit massique maximum dans la conduite après confluence ? Quelle vitesse moyenne peut-on prévoir dans cette conduite au maximum ?

Généraliser sans justifier cette équation dans le cas d'un écoulement quelconque bidimensionnel sous la forme (∂ h)/(∂ t) + divJ = 0 (19) où J est un champ de vecteurs à déterminer.

Que peut-on alors dire des débits massiques Dₘ₁ et Dₘ₂, ainsi que des débits volumiques D_v1 et D_v2 dans chacune des couches en dehors de la zone de mélange ?

Un patient normal au repos possède un débit cardiaque sanguin D_v = 5,4 L⁻¹ et une fréquence cardiaque f = 70 battements par minute. Quel est le volume V d'éjection de sang à chaque battement du…

Cette chute des particules est à l'origine d'un courant convectif vertical des particules. On note : j = j(z)e_z, le vecteur densité de courant de particules associé. Préciser l'unité de j. Puis…

Quelle est l'expression du vecteur tourbillon ? Que représente qualitativement ce vecteur au niveau local ? Dans quel cas ce vecteur est-il nul ? Comment est alors caractérisé l'écoulement…

L'écoulement étant supposé incompressible, trouver une relation liant les vitesses v₁(t) et v₂(t) de la pâte à l'instant t au niveau des sections de rayons respectifs R₁ et R₂.

Exprimer en ordre de grandeur la vitesse v de l'écoulement induit par les oscillations du cylindre en fonction de leur amplitude a et de leur pulsation ω.

L'incendie a duré 15 heures et a mobilisé plus de 500 pompiers, appuyés par 18 lances supposées toutes identiques et de même débit 500 L⁻¹. Toutes les lances n'ont pas été en action pendant cette…

En déduire une estimation de la vitesse moyenne (vitesse débitante) vₘ du pétrole dans l'oléoduc.

Comment se comporte l'eau dans le siphon après le passage à la cote z_B ? Quelle approximation peut-on faire ?

Quel durée, notée t₁, faut-il pour que le niveau d'eau passe de la cote z_B à la cote z_C.

En déduire l'expression du débit volumique Dₜ en sortie du siphon au point D.

Donner l'expression de la période des oscillations.

On considère une particule fluide, de volume dτ, mise en mouvement par le passage de l'onde sonore. Montrer que, dans l'approximation acoustique, son accélération peut s'écrire a = (∂ v)/(∂ t).

Dans quelles autres situations en physique rencontre-t-on ce type d'équation ? Les décrire en quelques lignes.

En utilisant l'équation de conservation de la matière, montrer que l'on a (∂ ρ)/(∂ t) + ρ₀ div v = 0, (4) où v est le champ de vitesse et div est l'opérateur divergence. En déduire que, pour les…

Donner l'expression de Dₘₐ (débit massique d'air en entrée du turbopropulseur, Figure 10) en fonction du nombre de Mach µ₁, la masse volumique de l'air ρₐ, sa masse molaire Mₐ, la section d'entrée…

Exprimer v_s en fonction de v et des données. Déterminer l'expression de F en fonction de µ, Q et v_s Le pompier doit-il pousser ou tirer sur la lance ?

En utilisant la conservation du volume appliquée à la tranche comprise entre -λ / 2 et λ / 2, exprimer R en fonction de R₀ et de ε en se limitant au second ordre en ε / R₀.

En se limitant au premier ordre en ε, montrer que z_G=σ λ ε / R₀ où σ est un facteur purement numérique que l'on déterminera.

En déduire le débit volumique Q(r, t) sortant d'un cylindre de rayon r et de hauteur h(r, t) : Q(r, t) = (2π µ ω² r²)/3η h(r, t)³

Calculer le débit minimal q_min et le débit maximal qₘₐₓ de la pompe en L · s⁻¹ pour respecter l'exigence imposée par le cahier des charges. En déduire le diamètre minimal d_min et maximal dₘₐₓ de…

En déduire les expressions du débit instantané q de l'eau refoulée pour θ₁ [0, π] et pour θ₁ [π, 2π] en fonction de v₃ et de d_p.

À partir du résultat obtenu à la question Q6, déterminer l'expression du débit moyen refoulé q_moy par tour de manivelle en m³ · s⁻¹ en fonction de R, d_p et de Ωₘ.

Dans le cadre des hypothèses simplificatrices précédentes, donner les expressions du débit volumique au niveau de l’entrée et de la sortie de la roue Francis en fonction de V_r,e, V_r,s et des…

Exprimer U(M) et montrer, à l’aide du triangle des vitesses, que : V_θ = U + V_r/(tan β) .

En utilisant l'expression du champ eulérien des vitesses fournie, montrer qualitativement qu'une particule de fluide décrit un mouvement rectiligne uniforme.

Intégrer cette équation différentielle afin de déterminer la fonction L = L(t).

Représenter l'allure graphique de la fonction L = L(t). Cette fonction a-t-elle une limite pour t → +∞ ?

Dans la réalité, on observe que L atteint une longueur limite. Indiquer comment devrait alors se comporter ψ pour t → +∞. En déduire quel phénomène il est donc nécessaire de prendre en compte pour…

Pendant l'intervalle de temps dt, la longueur du nuage progresse de dL et son excès de fraction volumique solide varie de dψ. À partir des équations (4) et (6), établir que L et ψ sont liées selon…

Application numérique : Calculer la distance Lₘₐₓ parcourue par une nuée ardente pour les valeurs suivantes (comparables au cas de l'éruption du Mont Saint-Helens en 1980) : h₀ = L₀ = 1 km ; ψ₀ =…

Proposer un ordre de grandeur pour v₀, en kilomètre par heure. Expliciter ensuite div () et (v·grad)v avec v = v₀ + v et ρ = ρ₀ + ρ en vous limitant aux termes du premier ordre en ρ et v.

Déterminer l'expression puis la valeur de la vitesse débitante v_A de la vapeur à l'entrée de la turbine haute pression. En déduire la valeur de la vitesse v_B en sortie si la turbine gardait un…

En supposant que l'ensemble des capillaires sont en dérivation et que la vitesse du sang dans un capillaire est de l'ordre de 1 mm⁻¹, donner une estimation du nombre de capillaires présents dans le…

Justifier en quelques mots le fait que – les fonctions n(r, t), s(r, t), P(r, t) et T(r, t) ne dépendent pas de la direction de r – le champ de vitesse est de la forme v(r, t) = v_r(r, t) u_r.

En supposant l'écoulement de l'eau autour de la bulle incompressible, déterminer l'expression de la vitesse v(r,t) d'un point quelconque M situé dans l'eau, à une distance r du centre de la bulle et…

Quelle circonstance autorise à négliger les variations de la pression dans l'air ? Pourquoi peut-on choisir de décrire la vitesse v de l'eau sous la forme v = gradA(r,t) ?

Exprimer les composantes de v₂ en fonction de U et φ₂. Déduire d'une condition limite lorsque z → +∞, en supposant l'écoulement d'air non perturbé loin de la surface de l'eau, des conditions limites…

Établir l'équation différentielle satisfaite par φ₂(z). En déduire la solution φ₂(z) uniquement en fonction de k, z et de la constante φ₂⁰ = φ₂(z = 0) en tenant compte d'une condition limite établie…

Établir l'équation différentielle satisfaite par φ₁(z). En déduire que φ₁(z) = φ₁⁰ cosh (k(z + h)) où intervient la constante φ₁⁰ = (φ₁(z = 0))/(cosh (kh)) en tenant compte d'une condition limite…

Montrer que le produit µ(r)v(r)r² est une constante de l'écoulement modélisé. On ne se préoccupera pas de la valeur de cette constante.

Montrer que l'on peut mettre la vitesse v₀ de l'eau au niveau du robinet de vidange sous la forme : v₀ = -R²/r² dz/dt

Établir la relation entre la vitesse moyenne v_s sur une section de la canalisation et la vitesse maximale v_s,max , dans la conduite cylindrique.

Montrer que le caractère incompressible de l'écoulement assure que cet élément de fluide n'est pas accéléré.

Montrer que les fonctions X(x,t) et Z(z) sont solutions du système d'équations suivant : (∂² X)/(∂ x²) = -µ X (d² Z)/(d z²) = µ Z où µ est une constante qui ne dépend ni des coordonnées spatiales ni…

En utilisant l'une des conditions de surface au repos montrer que les expressions X(x,t) = sin (kx - ω t) et .(d Z)/(d z)|_z=0 = γ = cste résolvent le problème. On exprimera la constante γ en…

Déterminer l'expression de γ.

Déterminer les composantes polaires v_er et v_eθ du champ de vitesses vₑ.

On note Dₘ(x') le débit massique à travers la section droite en x' de la couche limite et de largeur Lₜ. Déterminer l'expression de Dₘ(x') en fonction de la masse volumique ρ, de la norme de la…

Les différents accumulateurs sont placés côté à côte selon un agencement 6 × 6 × 4 (figures 8 et 9). Exprimer puis calculer d_écoulement, la distance caractéristique de l'écoulement entre les…

Écrire l'équation locale traduisant la conservation de la masse dans l'eau. Quelle relation peut-on déduire de l'imperméabilité de la paroi Σ de la microbulle ? À l'aide des données en fin de…

Détailler les différentes hypothèses regroupées sous l'hypothèse H_v.

Donner, sous forme d'une intégrale, l'expression de l'énergie cinétique E_c(t) du liquide à un instant t quelconque.

Quelle condition k et ζ(t) doivent-ils vérifier pour que la surface du liquide soit, en tout point, peu inclinée par rapport au plan horizontal ? On supposera cette condition vérifiée dans toute la…

Expliquer qualitativement comment l'analyse des courbes de la figure 4 permet une première mesure de la norme de la vitesse de l'écoulement du fluide.

Montrer que le débit volumique s'écrit Q = (2π a h₀³β)/3ηξ(x) avec x = h₀/a et ξ(x) = 3/16x³[1 + 3(1+x)⁴ - 4(1+x)⁴ln (1+x) - 4(1+x)²]. (4) On pourra s'aider de la primitive fournie dans le…

Démontrer que le débit volumique local, Q(z,t), et le rayon local R(z,t) = a + h(z,t) de la surface libre vérifient la relation -(∂ Q)/(∂ z) = 2π R(∂ R)/(∂ t). (6)

On se place dans le cas particulier où Dₘ₁ = Dₘ₂ dans les deux tubes de courant de même section. Justifier que v₂ < v₁. On pourra si nécessaire utiliser la forme de la variation empirique de la…

Exprimer v et γ en fonction de v₁ et v₂ pour assurer la continuité du champ des vitesses en z = ± e/2.

Tracer l'allure des lignes de champ de vitesse et du profil de vitesse dans le plan (xOz).

On considère que les masses d'air froid et d'air chaud ne s'interpénètrent pas lors de leur déplacement relatif. Que dire de la vitesse du fluide au niveau d'une bosse de déformation puis au niveau…

Discuter l'intérêt d'introduire la fonction courant dans l'étude sachant qu'il est possible (par une méthode numérique par exemple) de tracer les courbes iso-valeurs de Ψ(x, z, t) à chaque instant…

On admet que chaque fonction Φ_i(z) reste bornée, y compris à l'infini, et tend vers une constante A_i au niveau du plan z = 0. Déterminer Φ₁(z) et Φ₂(z) en fonction de k, A₁, A₂ et z. On ne…

Donner alors une expression définitive de la fonction courant réelle Ψ(x, z, t) en fonction de z, x, t, k, σ, V et A₁ ou A₂ pour z > 0 et pour z < 0.

En déduire les expressions de A et B en fonction de R₁, R₂, ω₁ et ω₂.

Rappeler la définition d'une ligne de courant. Quelle est la nature de ces lignes de courant dans le cas du modèle de la tornade adopté ? Représenter quelques unes de ces lignes de façon lisible.

Représenter graphiquement ses variations en fonction de r. Proposer une analogie magnétique.

Justifier que le débit volumique par unité de longueur de cylindre s'écrit : Q(θ) = ∫ₐa⁺h v(r,θ) dr puis calculer cette intégrale en fonction de h, θ, g, η, ρ, a et de Ω.

Estimer à partir des documents un temps caractéristique lié à la convection.

Justifier que l'on peut considérer l'écoulement dans la lame de savon comme bidimensionnel. Montrer que, dans cette hypothèse, le terme d'étirement de vortex est nul.

Montrer que le terme (v · grad)v est nul pour ce problème.

Déterminer le champ de vecteurs vorticité Ω = rotv. Que peut-on dire de Ω en dehors de la couche limite d'épaisseur de l'ordre de grandeur de δ au-dessus de la plaque ? On admettra pour la suite la…

Montrer que le nombre de Strouhal peut être interprété comme le rapport de deux temps caractéristiques τ₁ et τ₂ dont le sens physique sera explicité.

Comparer la valeur de Vₑ à la vitesse de l'eau dans le tuyau et expliquer la différence observée.

Calculer le débit volumique D_v (en m³⁻¹) de pétrole prévu dans l'oléoduc BTC.

Calculer la vitesse moyenne (débitante) sur une section de conduite du pétrole lors de la première injection. Commenter.

Justifier que la forme supposée du champ des vitesses (écoulement parallèle) conduit à la même simplification et ce, indépendamment de la valeur du nombre de Reynolds.

Que devient l'équation locale de conservation de la masse dans le cadre d'un écoulement stationnaire incompressible ? Par analogie avec l'électromagnétisme ou par application du théorème de Stokes…

Déterminer le vecteur vitesse v en tout point de l'espace et tracer l'allure de la courbe v(r).

Déterminer l'équation différentielle donnant le niveau d'eau z dans le réservoir en fonction du temps, en déduire l'expression de z(t). Pour cela on choisit l'instant t=0 comme celui du passage à la…

En tenant compte que le récipient se remplit avec le débit volumique Dₑ et se vide avec le débit volumique Dₜ obtenu en Q21, trouver l'équation différentielle donnant le niveau d'eau z(t) dans le…

Représenter graphiquement z en fonction du temps sur 2 périodes.

Justifier l'absence de dépendance des composantes du champ de vitesses vis-à-vis de la variable angulaire θ. Vérifier que ce champ de vitesses vérifie les conditions aux limites pour r = R et pour r…

Dessiner l'allure des lignes de courant associées au profil d'écoulement dans le référentiel de la bactérie.

Dans la figure 2 sont représentées les lignes de courant pour un profil donné. En analysant ces lignes de courant, expliquer pourquoi l'écoulement stationnaire de l'air, supposé parfait, homogène et…

Calculer la vitesse moyenne v d'écoulement du fluide dans le réseau de tuyauterie.

Montrer, à partir de l'équation de conservation de la matière (4), que la masse M(r, t) d'air contenu dans un volume sphérique de rayon r centré en O varie en fonction du temps comme (dM(r, t))/dt =…

La sphère pulsante peut aussi être vue comme une source de débit volumique S(t). Écrire S(t) en fonction de R et v_r. En déduire la relation entre l'amplitude monochromatique S_ω de ce débit…

Déterminer numériquement la distance de l'orifice à partir de laquelle le jet se sectionne en gouttes. Calculer la fréquence des chocs sur l'évier.

En exploitant l'incompressibilité de l'écoulement, montrer que celui-ci est principalement radial : v(r, t) ≃ v_r(r, z, t) e_r.

On note u(r, t) la vitesse moyenne de v_r(r, x, t) sur la surface latérale d'un cylindre de rayon r et de hauteur ℓ. En utilisant le résultat de la question Q32 sur la surface fermée qui entoure ce…

En utilisant l'équation d'Euler, montrer que : ρ (∂ v)/(∂ t) = -grad p. (2) Afin d'étudier plus en d'étail les ondes de gravité, on va supposer les perturbations sous forme sinusoïdale que l'on…

En supposant que le réseau d'irrigation est constitué de L = 100 m de tuyaux micro-poreux avec un débit linéique D_lin = 6 L⁻¹⁻¹, déterminer la durée de la phase « pompe allumée » notée τ₁ puis…

Nous supposons que le volume du nuage reste constant. Établir alors que la longueur L du nuage vérifie l'équation différentielle suivante : L¹/² dL/dt = Aψ¹/² (4) On donnera l'expression de la…

Exprimer le nombre dN_s de particules solides du nuage qui atteignent le sol (z = 0), entre les instants t et t + dt. On fera apparaître, en particulier, les grandeurs L(t) et φ(t).

Nous considérons que le volume du nuage reste constant. Établir un bilan sur le nombre de particules présentes dans le nuage. En déduire que la fraction volumique de solide φ(t) vérifie l'équation…

En s'appuyant sur la structure de l'équation différentielle portant sur la variable ψ, et sur le fait que ψ ≥ 0, représenter l'allure graphique de la dépendance de ψ vis-à-vis du temps (il s'agit…

Établir que la longueur d'extension maximale Lₘₐₓ du nuage s'exprime selon la relation suivante : Lₘₐₓ = ( L₀⁵/² + 5K/2 G(ψ₀, φ_min ) )²/⁵ (9)

On pose n₀(r) = n(r, 0). Montrer que pour tout r et tout t 0, on a n(r, t) = (n₀(r/(λ(t))))/(λ(t)³)

Obtenir une expression de (∂ N_B)/(∂ t)(R, t) faisant apparaître v_r(R, t).

Quelle équation différentielle est vérifiée par hₑ(t) ? En déduire la durée t_v de la vidange du spa en fonction de dₜ, d_int, g et hₑ(0).

Déduire de cette égalité, après linéarisation, deux équations au premier ordre, l'une faisant intervenir η et φ₁, l'autre η et φ₂.

En comparant la distance caractéristique d(r) entre particules et la taille caractéristique de l'écoulement e, indiquer dans quelle zone de l'atmosphère martienne ce modèle continu est de nature à…

En supposant que l'écoulement entrant dans le canal de sortie est fortement focalisé, exprimer w_c et w_s en fonction de v_s, de v_s,max et des débits de volume Qₑ et Q_f, respectivement dans le…

Montrer que, sur la surface libre z = η(x,t), on a la relation (∂ φ)/(∂ z) = (∂ η)/(∂ t) + (∂ φ)/(∂ x) (∂ η)/(∂ x)

En utilisant les résultats précédents complétés par la condition (7) au fond du réservoir, montrer qu'alors Z(z) = ζ (cosh [k(z+H)])/(sinh (kH)) où l'on exprimera la constante ζ en fonction de A, ω…

Établir l'expression de S en fonction de a et α. Établir l'expression de la surface S' de la voile située à la droite de la verticale et représentée en grisé sur la vue de face de la figure 1. On…

Montrer que, sur la surface libre z = η(x,t), on a la relation (∂ φ)/(∂ z) = (∂ η)/(∂ t) + (∂ φ)/(∂ x) (∂ η)/(∂ x) (8)

Estimer la vitesse de l'écoulement entre les accumulateurs, en supposant l'écoulement parfait.

Exprimer l'énergie cinétique E_c0 du liquide dans l'état initial. On l'écrira sous la forme suivante : E_c0 = E_c(1 + α_c) La grandeur positive E_c représente l'énergie cinétique que le liquide…

Exprimer la vitesse v(r, t) sous forme d'une intégrale portant sur la vorticité ω. On veillera à distinguer la variable r de la variable muette (par exemple, u) d'intégration spatiale..

Expliquer qualitativement comment l'analyse des courbes de la figure 5 permet une seconde mesure de la norme de la vitesse de l'écoulement du fluide.

On suppose que l'eau est un fluide incompressible. Calculer, en fonction de R₀, a et λ, le volume V de fluide formant initialement un film d'eau cylindrique d'épaisseur constante h₀ sur une portion…

Montrer que les amplitudes des fonctions courants dans les deux écoulements perturbés au dessus et au dessous de l'interface satisfont deux équations de la forme d²Φ_i/dz² - k²Φ_i = 0, avec l'indice…

Montrer que la fonction courant peut s'écrire sous la forme Ψ(x, z > 0, t) = A₁ exp (-z/δ) F(x, t) exp (±σ t) & pour z > 0 Ψ(x, z < 0, t) = A₂ exp (z/δ) F(x, t) exp (±σ t) & pour z < 0 où δ et σ…

Le fluide est supposé incompressible ce qui se traduit par div(v) = 0. Montrer que la composante radiale v_r de la vitesse v est nulle.

Établir les expressions de la vitesse v_θ(r) dans les deux domaines considérés. On précise que la vitesse est continue dans le domaine dans lequel elle est définie de même qu'en r = R, que v_θ(r =…

Justifier que nous prenons comme gradient thermique le gradient correspondant à la convection (humide) plutôt que le profil radiatif.

On note Ω = rot v la vorticité dans l'écoulement. Montrer, en négligeant les effets de la viscosité ainsi que la résultante des forces volumiques autres que celles de pression, que Ω satisfait à une…

En raisonnant sur dz(t)/dt au début de la vidange et à la fin de la vidange montrer qu'il ne peut y avoir de vidange effective que si Dₑ est inférieur à une valeur limite valable pour toute la phase…

Montrer que pour certaines valeurs de Dₑ la vidange peut s'arrêter pour une cote z₀ telle que z_B < z₀ < z_C. Déterminer l'expression de cette cote. Expliquer cet effet par un raisonnement physique.

Nous cherchons d'abord à relier l'amplitude A des ondes à l'amplitude B (B ≥ 0) des oscillations du flotteur. Nous considérons alors que le volume total des bosses (occupant chacune une demie…

Établir que les vitesses de phase et de groupe sont orthogonales. Établir que leurs composantes selon l'axe (Ox) sont de même signe. En s'appuyant sur la première équation du système (7), montrer…

Dans cette question, il est attendu une rédaction d'étaillée et explicite des méthodes utilisées. Estimer la taille L du bateau sur la figure 3 et évaluer simplement l'incertitude sur cette mesure…

Donner les coordonnées de ce sillage dans la représentation graphique de la figure 4 de l'annexe 1 et commenter.

En déduire que pour tout r et tout t 0, on a v_r(r, t) = (λ(t))/(λ(t)) r

Exprimer, à partir du résultat précédent, chacune des dérivées partielles ∂ v/∂ t, ∂ v/∂ r et ∂² v/∂ r². Établir enfin que la vorticité ω(r, t) vérifie l'équation aux dérivées partielles suivante…

Justifier que le champ de vitesses dans le liquide est donné par vₓ(x, z, t) &= Z(t) k ζ ekz sin kx v_z(x, z, t) &= -Z(t) k ζ ekz cos kx.

Montrer, en résolvant ce système, que la quantité c peut s'exprimer sous la forme c± = Re(c) + iIm(c) = V ± iΓ/2 où les exposants + et - sont relatifs à deux modes différents de propagation, appelés…

Exprimer la dérivée particulaire dT/dt en fonction de dérivées partielles. Nous considérons une atmosphère saturée en eau. En effectuant un bilan d'énergie, montrer : ρ c_p (∂ T)/(∂ t) = ρ c_p w(Γ -…