Corrigé détaillé Centrale Physique 1 PC 2024

Considérons le fluide de travail subissant une transformation cyclique au sein de la machine thermique ditherme en contact avec :

• une source chaude à température T_{\mathrm{c}} échangeant la chaleur Q_{\mathrm{c}} avec le système ;
• une source froide à température T_{\mathrm{f}} (T_{\mathrm{f}} < T_{\mathrm{c}}) échangeant la chaleur Q_{\mathrm{f}} avec le système ;
• l'extérieur mécanique échangeant le travail W avec le système.

La machine produit du travail mécanique vers l'extérieur (machine motrice), ainsi en convention récepteur :

D'après le premier principe de la thermodynamique appliqué au fluide sur un cycle :

D'après le second principe (inégalité de Clausius, avec S_{\text{créée}} \ge 0) :

En combinant ces deux relations avec T_{\mathrm{c}} > T_{\mathrm{f}} :

Comme Q_{\mathrm{c}} + Q_{\mathrm{f}} > 0, cela impose nécessairement :

Le diagramme synoptique est donné ci-dessous :

Le rendement d'un moteur thermique est défini par :

D'après l'inégalité de Clausius, pour un fonctionnement cyclique réversible (cycle de Carnot) :

Le rendement maximal théorique, ou rendement de Carnot \eta_{\mathrm{C}}, s'exprime donc par :

Application numérique : Les températures thermodynamiques absolues valent :

On obtient :

Commentaire : Ce rendement théorique maximal est particulièrement faible (environ 7\,\%). Cela s'explique par le faible écart relatif de température entre la surface et les profondeurs océaniques (\Delta T = 21\text{ K} pour une température absolue de l'ordre de 300\text{ K}).

En pratique, compte tenu des irréversibilités (frottements, écarts finis de température aux échangeurs), le rendement effectif d'une centrale ETM est encore plus bas (de l'ordre de 2 à 3\,\%). Pour extraire une puissance électrique utile significative, il sera donc nécessaire de brasser des débits massiques d'eau extrêmement importants et d'utiliser des échangeurs de grande surface, ce qui implique une dépense énergétique non négligeable pour le pompage.

D'après la figure 1, la température de l'eau en surface (z = 0\text{ m}) est de :

Pour que l'installation ETM soit rentable selon le critère de l'IFREMER, l'écart de température entre les eaux de surface et les eaux profondes doit être d'au moins 20\text{ \textdegree C}, ce qui impose une température d'eau profonde T_{\text{f}} telle que :

Par lecture graphique sur la figure 1, la température passe sous le seuil de 6\text{ \textdegree C} pour une profondeur :

On devra donc prélever l'eau à une profondeur d'environ 1\,000\text{ m} (ou au-delà).

On applique la relation fondamentale de la statique des fluides dans le référentiel terrestre supposé galiléen, sous les hypothèses suivantes :

• l'eau de mer est au repos ;
• l'eau de mer est assimilée à un fluide incompressible et homogène de masse volumique constante \rho_1 = 1{,}0 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} ;
• l'accélération de la pesanteur est constante : g = 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}.

En orientant un axe vertical (Oz) descendant depuis la surface libre (z = 0) où règne la pression atmosphérique P^0 = 1{,}0 \times 10^5\text{ Pa}, la loi de l'hydrostatique s'écrit :

Par intégration entre la surface (z = 0, P = P^0) et la profondeur z :

D'après la question Q3, la profondeur retenue est de l'ordre de z = 1\,000\text{ m} (ou 900\text{ m}). Pour z = 1\,000\text{ m} :

(Pour z = 900\text{ m}, on trouve de même P \approx 89\text{ bar}).

Une installation d'énergie thermique des mers (ETM) présente des caractéristiques spécifiques liées à l'exploitation du gradient thermique océanique :

Avantages :

• Énergie renouvelable et continue (non intermittente) : contrairement au solaire ou à l'éolien, la ressource thermique des mers est disponible de façon quasi constante jour et nuit, tout au long de l'année, ce qui en fait une énergie de base (base load).
• Absence d'émissions directes de gaz à effet de serre en phase d'exploitation.
• Ressource colossale dans les zones intertropicales.
• Coproductions valorisables : possibilité de production d'eau douce (par dessalement en cycle ouvert), valorisation des nutriments des eaux profondes pour l'aquaculture ou utilisation de l'eau froide pour la climatisation marine (SWAC).

Inconvénients :

• Très faible rendement thermodynamique : le rendement théorique de Carnot est inférieur à 7\,\% (Q2) et le rendement réel ne dépasse guère 2\text{ à }4\,\%, ce qui impose la manipulation d'immenses débits d'eau.
• Autoconsommation élevée : le pompage des eaux profondes sur environ 1\,000\text{ m} (Q3) nécessite une puissance mécanique importante qui grève le rendement global de l'installation.
• Coûts d'investissement et de maintenance très élevés : difficultés techniques liées à la pose et à la tenue des conduites profondes (forte pression hydrostatique, houle, tempêtes), à la corrosion en milieu marin et au salissement biologique (biofouling).
• Impact environnemental et risques technologiques : perturbation potentielle des écosystèmes marins lors du rejet des eaux profondes et risques de fuite du fluide de travail (l'ammoniac étant toxique).

1. Courbes de saturation et domaines de phases

Sur les diagrammes (P, h) (document réponse 1) et (T, s) (document réponse 2), la courbe délimitant le domaine d'équilibre liquide-vapeur est la courbe de saturation (ou cloche de saturation). Elle est constituée de deux branches qui se rejoignent au sommet :

• la branche de gauche correspond à la courbe d'ébullition (liquide saturant, titre massique en vapeur x = 0) ;
• la branche de droite correspond à la courbe de rosée (vapeur saturante sèche, x = 1).

Les domaines associés aux différentes phases stables sont :

• à gauche de la courbe d'ébullition : phase liquide (ou liquide sous-refroidi / comprimé) ;
• sous la cloche de saturation : domaine diphasique (mélange liquide-vapeur en équilibre) ;
• à droite de la courbe de rosée (pour P < P_c) : phase vapeur (vapeur surchauffée ou gaz) ;
• au-delà du point critique (T > T_c et P > P_c) : domaine du fluide supercritique.

2. Point critique : définition et coordonnées

Le point critique, noté \mathrm{C}, est le point au sommet de la courbe de saturation où se rejoignent la courbe d'ébullition et la courbe de rosée. Physiquement, il représente l'état limite au-delà duquel la transition liquide-vapeur s'effectue de manière continue sans transition de phase discontinue : les propriétés des phases liquide et vapeur deviennent identiques (même masse volumique) et l'enthalpie de vaporisation s'annule (\Delta h_{\mathrm{vap}} = 0).

Par lecture graphique sur les documents réponses 1 et 2 au sommet de la cloche :

• sur le diagramme (T, s) (document réponse 2), on lit l'ordonnée du sommet :

  \boxed{T_c \approx 132\,^{\circ}\mathrm{C} \quad (\approx 405\text{ K})}

• sur le diagramme (P, h) (document réponse 1), on lit la pression correspondante sur l'échelle logarithmique :

  \boxed{P_c \approx 113\text{ bar} \quad (= 11{,}3\text{ MPa})}

Pour un corps pur diphasé en équilibre liquide-vapeur, la variance est égale à 1 (règle des phases de Gibbs) : la température et la pression de saturation sont univoquement liées. Les courbes isothermes et isobares sont donc confondues sous la courbe de saturation.

• À haute pression (P_{\text{HP}} = 9\text{ bar}) :

  Sur le diagramme (P, h) (document réponse 3), sur la droite horizontale d'ordonnée P = 9\text{ bar}, l'isotherme sous la cloche de saturation se situe entre les graduations 20\,^\circ\mathrm{C} et 25\,^\circ\mathrm{C}, très proche de 21{,}5\,^\circ\mathrm{C}.

  Sur le diagramme (T, s) (document réponse 4), le palier horizontal de l'isobare 9\text{ bar} (reliant les points 1' et 2) a pour ordonnée :

  \boxed{T_{\mathrm{vap},\mathrm{HP}} \approx 21{,}5\,^\circ\mathrm{C}\quad (\text{soit } 294{,}7\text{ K})}

  (une valeur comprise entre 21\,^\circ\mathrm{C} et 22\,^\circ\mathrm{C} est tout à fait acceptable compte tenu de la précision graphique).

• À basse pression (P_{\text{BP}} = 6\text{ bar}) :

  Sur le diagramme (P, h), à l'ordonnée P = 6\text{ bar}, le palier horizontal correspond à une isotherme légèrement en dessous de 10\,^\circ\mathrm{C}.

  Sur le diagramme (T, s), l'isobare 6\text{ bar} présente un palier horizontal à :

  \boxed{T_{\mathrm{vap},\mathrm{BP}} \approx 9{,}5\,^\circ\mathrm{C}\quad (\text{soit } 282{,}7\text{ K})}

  (une valeur comprise entre 9\,^\circ\mathrm{C} et 10\,^\circ\mathrm{C} est acceptable).

L'enthalpie massique de vaporisation à une pression P donnée correspond à la largeur du palier de changement d'état sur le diagramme (P, h) :

où h''(P) est l'enthalpie massique de la vapeur saturante (x = 1, courbe de rosée) et h'(P) celle du liquide saturant (x = 0, courbe d'ébullition).

1. À haute pression (P = 9\text{ bar}) : Sur l'isobare P = 9\text{ bar} du diagramme (P, h) (document réponse 3) :

• sur la courbe d'ébullition (point 1') : h'(9\text{ bar}) \approx 285\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} ;
• sur la courbe de rosée (point 2) : h''(9\text{ bar}) \approx 1\,465\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}.

On en déduit :

2. À basse pression (P = 6\text{ bar}) : Sur l'isobare P = 6\text{ bar} du diagramme (P, h) :

• sur la courbe d'ébullition (point 4) : h'(6\text{ bar}) \approx 230\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} ;
• sur la courbe de rosée : h''(6\text{ bar}) \approx 1\,460\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}.

On en déduit :

Pour une transformation réversible, l'identité thermodynamique appliquée à l'enthalpie massique s'écrit :

La compression étant isentropique (\mathrm{d}s = 0), on a :

Entre le point 4 (liquide saturant à 6\text{ bar}) et le point 1 (liquide comprimé à 9\text{ bar}), l'ammoniac est en phase liquide. D'après les hypothèses de l'énoncé, le liquide est incompressible, son volume massique v = v_{\text{liq}} est donc constant.

Par intégration entre les états 4 et 1 :

Il en découle deux caractéristiques pour le tracé dans le diagramme (P, h) :

• la relation entre P et h étant affine (v_{\text{liq}} = \text{cste}), la trajectoire est un segment de droite ;
• le volume massique du liquide étant extrêmement faible (v_{\text{liq}} \sim 1{,}6 \times 10^{-3}\text{ m}^3\cdot\text{kg}^{-1}), la variation d'enthalpie associée à \Delta P = 3\text{ bar} est très faible (\Delta h \approx 0{,}5\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}) au regard de l'échelle des abscisses (graduée en centaines de \text{kJ}\cdot\text{kg}^{-1}) : la pente \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}h} = \frac{1}{v_{\text{liq}}} est donc extrêmement grande.

1. Enthalpie massique h_{2'} :

La détente de l'ammoniac dans la vanne de laminage WV2 étant isenthalpique, l'enthalpie massique se conserve entre les points 2 et 2' :

Le point 2 étant situé sur la courbe de rosée à la pression de 9\text{ bar}, on a déterminé à la question Q8 que :

2. Température T_{2'} et entropie massique s_{2'} :

Le point 2' correspond à l'intersection de l'isobare P = 6\text{ bar} et de l'isenthalpe h = 1\,465\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}.

• Sur le diagramme (T, s) du document réponse 4, le point 2' est déjà placé à l'intersection de l'isobare 6\text{ bar} et de la courbe isenthalpique issue du point 2. On lit sur l'axe des ordonnées :

  \boxed{T_{2'} \approx 15\,^{\circ}\text{C} \quad (\text{soit entre } 14\,^{\circ}\text{C}\text{ et } 16\,^{\circ}\text{C})}

• Sur l'axe des abscisses du document réponse 4 (gradué en \text{J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{kg}^{-1}), ou à l'aide des courbes isentropes du diagramme (P, h) (document réponse 3), on lit :

  \boxed{s_{2'} \approx 5{,}13\text{ kJ}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{kg}^{-1} = 5\,130\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{kg}^{-1} \quad (\pm 0{,}03\text{ kJ}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{kg}^{-1})}

3. Phase(s) présente(s) au point 2' :

À la pression P = 6\text{ bar}, la température de vaporisation vaut T_{\text{vap},\text{BP}} \approx 9{,}5\,^{\circ}\text{C} (question Q7) et l'enthalpie de la vapeur saturante vaut h''(6\text{ bar}) \approx 1\,460\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} (question Q8).

Comme T_{2'} > T_{\text{vap},\text{BP}} (ou de manière équivalente h_{2'} > h''(6\text{ bar})), le point 2' se situe en dehors de la zone diphasique, dans le domaine de la vapeur. L'ammoniac se trouve donc sous une seule phase :

D'après l'énoncé, l'évolution virtuelle entre les points 2 et 3 est une détente isentropique, ce qui impose :

L'entropie massique au point 2 (vapeur saturante sèche à P_2 = 9\text{ bar}) se lit sur le diagramme (T, s) du document réponse 4 ou sur le diagramme (P, h) :

Sur le diagramme (P, h) du document réponse 3, le point 3 est situé à l'intersection de l'isobare P = 6\text{ bar} et de l'isentrope issue du point 2. La lecture de son abscisse donne :

Le point 3 se trouvant sous la courbe de rosée (h_3 < h''(\text{6 bar}) \approx 1\,460\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}), le fluide est un mélange diphasique liquide-vapeur (de titre en vapeur x_3 \approx 0{,}97). À la pression P_3 = 6\text{ bar}, la température est donc la température de saturation T_{\mathrm{vap},\mathrm{BP}} déterminée à la question Q7 :

1. Cycle sur le diagramme de Mollier (P, h) (Document réponse 3) :

• Échauffement et vaporisation isobares (1 \to 1' \to 2 sous P = 9\text{ bar}) : L'isobare est un segment horizontal orienté vers la droite, allant de h_1 = 240\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} à h_2 \approx 1\,465\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}. Le point 1' est situé à l'intersection de cette horizontale et de la courbe d'ébullition (x = 0, h_{1'} \approx 285\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}). Le point 2 est sur la courbe de rosée (x = 1).
• Détente isenthalpique (2 \to 2') : L'évolution dans la vanne WV2 s'effectuant à enthalpie massique constante (h_{2'} = h_2), elle est représentée par un segment vertical descendant de P = 9\text{ bar} à P = 6\text{ bar}.
• Désurchauffe isobare (2' \to 3 sous P = 6\text{ bar}) : Segment horizontal orienté vers la gauche, de h_{2'} \approx 1\,465\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} jusqu'à h_3 \approx 1\,425\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} (le point 3 est situé sur l'isentrope passant par le point 2, déjà esquissée sur le document).
• Condensation isobare (3 \to 4 sous P = 6\text{ bar}) : Poursuite du segment horizontal vers la gauche jusqu'à la courbe d'ébullition (x = 0) au point 4 (h_4 \approx 230\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}).
• Compression isentropique (4 \to 1) : Segment quasi vertical montant de P = 6\text{ bar} (point 4) à P = 9\text{ bar} (point 1), déjà représenté sur le document réponse 3.

2. Cycle sur le diagramme entropique (T, s) (Document réponse 4) :

• Échauffement et vaporisation isobares (1 \to 1' \to 2 sous 9\text{ bar}) :

  • Échauffement du liquide 1 \to 1' : suit la ligne isobare 9\text{ bar} dans le domaine liquide de T_1 = 12\,^\circ\text{C} jusqu'à T_{1'} = T_{\text{vap,HP}} \approx 21{,}5\,^\circ\text{C} sur la courbe d'ébullition.
  • Vaporisation 1' \to 2 : palier de changement d'état horizontal et isotherme à T_{\text{vap,HP}} \approx 21{,}5\,^\circ\text{C}, de la courbe d'ébullition (point 1') jusqu'à la courbe de rosée (point 2).
• Détente isenthalpique (2 \to 2') : Suit l'isenthalpe en tirets h \approx 1\,465\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} qui descend vers la droite (l'entropie augmente par irréversibilité) de T_2 \approx 21{,}5\,^\circ\text{C} jusqu'à l'isobare 6\text{ bar} en T_{2'} \approx 15\,^\circ\text{C}.
• Désurchauffe isobare (2' \to 3 sous 6\text{ bar}) : Suit l'isobare 6\text{ bar} en descendant vers la gauche, de T_{2'} \approx 15\,^\circ\text{C} à la température de saturation T_3 \approx 9{,}5\,^\circ\text{C} (atteignant la verticale isentropique s_3 = s_2 \approx 5{,}08\text{ kJ}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{kg}^{-1}).
• Condensation isobare (3 \to 4 sous 6\text{ bar}) : Palier horizontal et isotherme à T_{\text{vap,BP}} \approx 9{,}5\,^\circ\text{C}, de droite à gauche, jusqu'au point 4 situé sur la courbe d'ébullition.
• Compression isentropique (4 \to 1) : Segment vertical ou quasi vertical (à s \approx \text{cste}) reliant le point 4 à l'état de liquide comprimé 1.

Sur chacun des diagrammes, on munit les tracés de flèches indiquant le sens de parcours : le cycle est parcouru dans le sens des aiguilles d'une montre (sens moteur).

Rappelons les caractéristiques physiques des différents états du fluide :

• Point 1 : liquide sous-refroidi à P_1 = 9\text{ bar} et T_1 = 12\,^\circ\text{C}. Les valeurs h_1 = 240\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} et s_1 = 1{,}15\text{ kJ}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{kg}^{-1} sont fournies. La fraction massique en vapeur est nulle : x_1 = 0.

• Point 1' : liquide juste saturant à haute pression (P_{1'} = 9\text{ bar}) :

  • T_{1'} = T_{\mathrm{vap,HP}} \approx 21{,}5\,^\circ\text{C} (d'après Q7) ;
  • x_{1'} = 0 (courbe d'ébullition) ;
  • h_{1'} = h'(9\text{ bar}) \approx 285\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} (d'après Q8) ;
  • s_{1'} se lit sur la courbe d'ébullition à 21{,}5\,^\circ\text{C} sur le diagramme (T,s) : s_{1'} \approx 1{,}30\text{ kJ}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{kg}^{-1}.

• Point 2 : vapeur juste saturante à haute pression (P_2 = 9\text{ bar}) :

  • T_2 = T_{\mathrm{vap,HP}} \approx 21{,}5\,^\circ\text{C} ;
  • x_2 = 1 (courbe de rosée) ;
  • h_2 = h''(9\text{ bar}) \approx 1\,465\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} (d'après Q8) ;
  • s_2 se lit à l'intersection de l'isobare 9\text{ bar} et de la courbe de rosée : s_2 \approx 5{,}08\text{ kJ}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{kg}^{-1}.

• Point 2' : issu de la détente isenthalpique dans la vanne WV2 jusqu'à P_{2'} = 6\text{ bar} (d'après Q10) :

  • T_{2'} \approx 15\,^\circ\text{C} ;
  • x_{2'} = 1 (vapeur surchauffée, hors de la zone diphasique) ;
  • h_{2'} = h_2 \approx 1\,465\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} ;
  • s_{2'} \approx 5{,}13\text{ kJ}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{kg}^{-1}.

• Point 3 : issu de la détente isentropique virtuelle 2 \to 3 jusqu'à P_3 = 6\text{ bar} (d'après Q11) :

  • T_3 = T_{\mathrm{vap,BP}} \approx 9{,}5\,^\circ\text{C} ;
  • h_3 \approx 1\,425\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} ;
  • s_3 = s_2 \approx 5{,}08\text{ kJ}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{kg}^{-1} ;

  • le titre en vapeur vaut :

    x_3 = \frac{h_3 - h_4}{\Delta h_{\mathrm{vap,BP}}} \approx \frac{1\,425 - 230}{1\,230} \approx 0{,}97.

• Point 4 : liquide juste saturant à basse pression (P_4 = 6\text{ bar}) :

  • T_4 = T_{\mathrm{vap,BP}} \approx 9{,}5\,^\circ\text{C} ;
  • x_4 = 0 (courbe d'ébullition) ;
  • h_4 = h'(6\text{ bar}) \approx 230\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} (d'après Q8) ;
  • s_4 se lit sur la courbe d'ébullition à 9{,}5\,^\circ\text{C} : s_4 \approx 1{,}12\text{ à }1{,}15\text{ kJ}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{kg}^{-1} (la compression 4 \to 1 étant isentropique pour un liquide incompressible, s_4 \approx s_1 = 1{,}15\text{ kJ}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{kg}^{-1}).

On complète ainsi le tableau du document réponse 5 :

Entre le point 1 (liquide sous-refroidi à P_1 = 9\text{ bar}, T_1 = 12\,^\circ\text{C}) et le point 1' (liquide juste saturant sous la même pression P_1 = 9\text{ bar}, T_{1'} = T_{\mathrm{vap},\mathrm{HP}} \approx 21{,}5\,^\circ\text{C}), l'ammoniac est à l'état liquide et subit un échauffement isobare à P = 9\text{ bar}.

Pour une phase liquide considérée comme incompressible :

L'évolution étant isobare (\mathrm{d}P = 0), on en déduit :

D'après le tableau complété à la question Q13 :

• h_1 = 240\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} et T_1 = 12\,^\circ\text{C} ;
• h_{1'} \approx 285\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} et T_{1'} \approx 21{,}5\,^\circ\text{C}.

L'application numérique donne :

1. Choix de l'ammoniac plutôt que de l'eau :

La centrale fonctionne entre les températures des sources océaniques, soit environ T_{\mathrm{f}} = 5\,^\circ\mathrm{C} et T_{\mathrm{c}} = 26\,^\circ\mathrm{C}.

• Pour l'eau, la pression de vapeur saturante à ces températures est extrêmement faible :

  P_{\mathrm{sat},\,\mathrm{H_2O}}(5\,^\circ\mathrm{C}) \approx 9\times 10^{-3}\text{ bar} \quad\text{et}\quad P_{\mathrm{sat},\,\mathrm{H_2O}}(26\,^\circ\mathrm{C}) \approx 3{,}4\times 10^{-2}\text{ bar}.

  Un cycle utilisant l'eau nécessiterait donc de travailler sous un vide très poussé, ce qui entraîne :

  • un volume massique de vapeur considérable (v \approx 30\text{ à }40\text{ m}^3\cdot\mathrm{kg}^{-1}), imposant des conduites et des turbines de dimensions gigantesques pour faire passer le débit nécessaire ;
  • des contraintes d'étanchéité drastiques pour éviter toute entrée d'air incondensable dans l'installation.

• Pour l'ammoniac (\mathrm{NH}_3), les pressions de saturation correspondantes sont modérées et adaptées :

  P_{\mathrm{sat},\,\mathrm{NH_3}}(5\,^\circ\mathrm{C}) \approx 5\text{ bar} \quad\text{et}\quad P_{\mathrm{sat},\,\mathrm{NH_3}}(26\,^\circ\mathrm{C}) \approx 10\text{ bar}.

  Ces pressions sont supérieures à la pression atmosphérique (évitant les rentrées d'air extérieur) et la masse volumique de la vapeur est bien plus grande, ce qui permet de concevoir des échangeurs et des turbines nettement plus compacts.

2. Inconvénient de l'ammoniac :

L'ammoniac est un composé toxique, irritant et dangereux pour le personnel comme pour l'écosystème marin en cas de fuite. De plus, il est corrosif (notamment pour le cuivre et ses alliages) et présente un risque d'inflammabilité voire d'explosion en mélange avec l'air dans certaines proportions.

Considérons le système fermé déformable constitué :

• à l'instant t : du fluide contenu dans la machine (volume fixe \mathcal{V}_0) et de la tranche de fluide élémentaire de masse \mathrm{d}m s'apprêtant à entrer à travers la section d'entrée \Sigma_\mathrm{e} ;
• à l'instant t+\mathrm{d}t : du fluide contenu dans \mathcal{V}_0 et de la tranche de fluide de masse \mathrm{d}m venant de sortir à travers la section de sortie \Sigma_\mathrm{s}.

Hypothèses de l'étude :

1. Régime stationnaire (ou permanent) : les grandeurs locales ne dépendent pas explicitement du temps ; la masse contenue dans \mathcal{V}_0 est constante, d'où l'égalité des débits massiques d'entrée et de sortie D_\mathrm{m} = \frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}, et l'énergie interne U(\mathcal{V}_0) est invariable au cours du temps.
2. Énergies cinétique et potentielle macroscopiques négligées : conformément au préambule, \Delta e_\mathrm{c} \approx 0 et \Delta e_\mathrm{p} \approx 0. L'énergie totale du système se résume donc à son énergie interne U.
3. Écoulement monodimensionnel aux sections d'accès : les grandeurs d'état (P, T, h, v) sont supposées uniformes sur les sections d'entrée \Sigma_\mathrm{e} et de sortie \Sigma_\mathrm{s}.

La variation d'énergie totale du système fermé entre t et t+\mathrm{d}t s'écrit :

où u_\mathrm{e} et u_\mathrm{s} sont les énergies internes massiques aux sections d'entrée et de sortie.

D'après le premier principe pour un système fermé :

Le travail mécanique \delta W reçu par le fluide se décompose en :

• le travail utile \delta W_\mathrm{u} = \mathcal{P}_\mathrm{u} \, \mathrm{d}t échangé avec d'éventuelles parties mobiles (arbre d'une turbine, piston d'une pompe) ;

• le travail des forces de pression extérieures aux frontières ouvertes :

  • travail d'admission par le fluide amont : \delta W_{\mathrm{p},\mathrm{e}} = + P_\mathrm{e} \, \mathrm{d}\mathcal{V}_\mathrm{e} = + P_\mathrm{e} v_\mathrm{e} \, \mathrm{d}m ;
  • travail d'échappement contre le fluide aval : \delta W_{\mathrm{p},\mathrm{s}} = - P_\mathrm{s} \, \mathrm{d}\mathcal{V}_\mathrm{s} = - P_\mathrm{s} v_\mathrm{s} \, \mathrm{d}m.

Le transfert thermique élémentaire reçu s'écrit \delta Q = \mathcal{P}_\mathrm{th} \, \mathrm{d}t. On obtient ainsi :

En regroupant les grandeurs massiques de sortie et d'entrée :

En introduisant l'enthalpie massique h = u + P v :

En divisant par la durée \mathrm{d}t et en identifiant le débit massique D_\mathrm{m} = \frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}, on obtient bien :

L'évaporateur \mathrm{E} ne comporte aucune pièce mobile, la puissance utile reçue par le fluide est donc nulle :

D'après le premier principe pour un système ouvert en régime stationnaire établi à la question Q16, la puissance thermique reçue par le fluide s'écrit :

D'après les schémas des cycles de la figure 3 :

• Pour le cycle réel (figure 3(a)), le débit massique d'ammoniac traversant l'évaporateur est \dot{m}_1.
• Pour le cycle virtuel (figure 3(b)), le débit massique dans tout le cycle, et en particulier dans l'évaporateur, est également \dot{m}_1.

Les deux cycles partagent le même état d'entrée (point 1) et le même état de sortie (point 2) dans l'évaporateur, d'où :

Application numérique :

• \dot{m}_1 = 4{,}0 \times 10^{-1}\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1} ;
• h_1 = 240\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} (tableau 2 de l'énoncé) ;
• h_2 = h''(9\text{ bar}) \approx 1\,465\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} (vapeur saturante à 9 bar, déterminé à la question Q8).

Commentaire du signe : La puissance thermique reçue par l'ammoniac est positive (\mathcal{P}_{\mathrm{th},\mathrm{E}} > 0). En convention récepteur, cela traduit le fait que l'ammoniac reçoit de l'énergie sous forme thermique de la part de l'eau chaude, ce qui est conforme au rôle d'un évaporateur dans une machine thermique motrice où le fluide de travail puise de la chaleur à la source chaude pour se réchauffer et se vaporiser.

L'eau chaude traverse l'évaporateur en régime stationnaire entre l'entrée (point 5, à la température T_5) et la sortie (point 6, à la température T_6). Ce système ouvert ne comporte aucune pièce mobile (\mathcal{P}_\mathrm{u} = 0), et les variations d'énergies cinétique et potentielle sont négligées.

D'après le premier principe industriel (établi en Q16), le bilan enthalpique pour l'écoulement d'eau chaude de débit massique \dot{m}_e s'écrit :

L'eau étant modélisée comme une phase condensée incompressible et indilatable de capacité thermique massique c_e, sa variation d'enthalpie s'exprime directement selon :

On en déduit l'expression de la puissance thermique reçue par l'eau chaude :

L'évaporateur est un échangeur à double flux supposé adiabatique vis-à-vis de l'extérieur. En régime stationnaire, la somme des puissances thermiques reçues par les deux fluides traversant l'appareil est nulle :

En utilisant les expressions obtenues aux questions Q17 et Q18 :

On obtient :

Soit, en explicitant le débit massique \dot{m}_\mathrm{e} :

Application numérique :

• \mathcal{P}_{\mathrm{th},\mathrm{E}} = 4{,}9 \times 10^5\text{ W} (d'après Q17, avec h_2 - h_1 = 1\,225\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} et \dot{m}_1 = 0{,}40\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1})
• c_\mathrm{e} = 4{,}0 \times 10^3\text{ J}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}
• T_5 - T_6 = 26 - 24{,}5 = 1{,}5\,^{\circ}\text{C} = 1{,}5\text{ K}

Avec deux chiffres significatifs :

Appliquons le premier principe industriel à l'ammoniac en écoulement stationnaire à travers la vanne WV2 entre l'état d'entrée 2 et l'état de sortie 2' :

• La vanne est un composant statique ne comportant aucune pièce mobile recevant ou fournissant du travail mécanique utile au fluide, d'où :

  \mathcal{P}_u = 0

• La traversée de la vanne est très rapide et la surface de contact avec le milieu extérieur est minime : les transferts thermiques sont tout à fait négligeables devant les flux convectifs d'enthalpie, soit une transformation adiabatique :

  \mathcal{P}_{\text{th}} = 0
• De plus, conformément aux hypothèses générales de l'énoncé, les variations d'énergie cinétique et d'énergie potentielle sont négligées.

Le bilan d'énergie conduit donc immédiatement à :

Le débit massique \dot{m}_1 étant non nul, on en déduit :

La détente du fluide au travers de la vanne WV2 est donc bien isenthalpique (détente de Joule-Thomson).

Le fluide de travail traverse l'évaporateur et la vanne de détente avec le débit massique \dot{m}_1. Au niveau de la zone de mélange (désurchauffe) entre les points 2' et 3, une masse d'ammoniac liquide froid y est injectée avec un débit \dot{m}_2.

En régime permanent, la conservation du débit massique pour ce système ouvert à deux entrées et une sortie s'écrit :

Application numérique : D'après les données de l'énoncé :

• \dot{m}_1 = 4{,}0 \times 10^{-1}\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1} ;
• \dot{m}_2 = 5{,}0 \times 10^{-2}\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1} = 0{,}050\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1}.

On obtient :

Le condenseur est un échangeur de chaleur fixe, dépourvu de pièces mobiles, traversé par l'ammoniac entre les points 3 (entrée) et 4 (sortie). La puissance utile reçue par l'ammoniac y est donc nulle (\mathcal{P}_{\mathrm{u}} = 0).

D'après le premier principe industriel (question Q16), la puissance thermique reçue par l'ammoniac s'écrit de manière générale :

1. Cycle réel : Le débit massique traversant le condenseur est \dot{m}_3 = \dot{m}_1 + \dot{m}_2 = 0{,}45\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1} (établi à la question Q21). L'expression de la puissance thermique reçue est :

Avec h_4 \approx 230\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} et h_3 \approx 1\,425\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} :

2. Cycle virtuel : Dans le cycle virtuel (figure 3(b)), il n'y a pas de boucle de dérivation : l'intégralité du fluide circule en boucle fermée avec le débit massique \dot{m}_1 = 0{,}40\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1}. L'expression de la puissance thermique reçue est :

Application numérique :

3. Commentaire du signe : Les puissances \mathcal{P}_{\mathrm{C},\mathrm{R}} et \mathcal{P}_{\mathrm{C},\mathrm{V}} sont négatives. En convention récepteur pour l'ammoniac, cela traduit le fait que le fluide cède de la chaleur au milieu extérieur (l'eau de mer froide). Cela correspond bien au comportement attendu pour un fluide qui subit une condensation au contact de la source froide d'un moteur thermique.

L'eau froide traverse le condenseur en régime stationnaire, sans échange de travail utile (\mathcal{P}_\mathrm{u} = 0) et avec des variations d'énergies cinétique et potentielle négligeables. D'après le premier principe industriel (question Q16), la puissance thermique reçue par l'eau froide s'écrit :

L'eau étant assimilée à un liquide incompressible de capacité thermique massique c_\mathrm{e} constante :

On obtient ainsi :

Le condenseur étant adiabatique vis-à-vis du milieu extérieur, l'intégralité de la puissance thermique cédée par l'ammoniac au cours de son évolution réelle est absorbée par le circuit d'eau froide :

Application numérique :

On en déduit l'expression de la température de sortie T_8 :

En utilisant l'expression de \dot{m}_\mathrm{e} obtenue à la question Q19, on peut également écrire :

Application numérique :

Dans le cycle virtuel (figure 3(b)), le fluide de travail traverse la turbine entre l'état 2 (entrée) et l'état 3 (sortie) avec le débit massique \dot{m}_1.

La détente étant adiabatique (\mathcal{P}_{\mathrm{th}} = 0), le premier principe industriel s'écrit :

D'où l'expression littérale :

Avec les valeurs obtenues aux questions Q8 et Q11 :

• \dot{m}_1 = 0{,}40\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1} ;
• h_2 \approx 1\,465\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} ;
• h_3 \approx 1\,425\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}.

On obtient numériquement :

Commentaire sur le signe : En convention récepteur, \mathcal{P}_{\mathrm{T},\mathrm{V}} < 0 signifie que le fluide cède de la puissance mécanique aux parties mobiles de la turbine. La turbine est motrice et fournit effectivement un travail utile à l'extérieur (puissance mécanique récupérable).

D'après le premier principe industriel (question Q16) appliqué à la pompe \mathrm{P}_1 en écoulement stationnaire et en négligeant les variations d'énergies cinétique et potentielle :

La pompe étant adiabatique (\mathcal{P}_{\text{th}} = 0), la puissance utile reçue par l'ammoniac s'écrit :

1. Cycle virtuel :
Dans le cycle virtuel (figure 3(b)), le circuit est constitué d'une unique boucle parcourue par le débit massique D_{\mathrm{m}} = \dot{m}_1 :

Avec \dot{m}_1 = 0{,}40\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1}, h_1 = 240\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} et h_4 \approx 230\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} (document réponse 5) :

2. Cycle réel :
Sur le schéma du cycle réel (figure 3(a)), la pompe \mathrm{P}_1 est placée directement à la sortie du condenseur (point 4), en amont de la dérivation vers le désurchauffeur. Elle véhicule donc le débit total issu du condenseur :

L'expression de la puissance utile s'écrit alors :

Numériquement :

Remarque : Si l'on considérait que le prélèvement du fluide de désurchauffe était effectué avant la pompe, celle-ci ne véhiculerait que \dot{m}_1, ce qui donnerait \mathcal{P}_{\mathrm{P}_1,\mathrm{R}} = \dot{m}_1(h_1 - h_4) = 4{,}0\text{ kW}.

Le cycle virtuel décrit un moteur thermique fermé. La puissance utile nette fournie à l'extérieur par le fluide de travail correspond à la somme des puissances échangées au niveau des deux organes mécaniques (la turbine qui produit du travail et la pompe qui en consomme) :

En convention récepteur, la puissance mécanique effectivement disponible (utile au sens moteur) est -\mathcal{P}_{\mathrm{u,net}}. La dépense énergétique correspond à la puissance thermique reçue par le fluide à l'évaporateur, \mathcal{P}_{\mathrm{th,E,V}}.

Le rendement \eta_\mathrm{V} du cycle virtuel s'écrit donc :

En remplaçant par les expressions en fonction des enthalpies massiques :

Avec les valeurs obtenues aux questions précédentes :

• \mathcal{P}_{\mathrm{T,V}} \approx -16\text{ kW} (d'après Q24) ;
• \mathcal{P}_{\mathrm{P_1,V}} \approx +4{,}0\text{ kW} (d'après Q25) ;
• \mathcal{P}_{\mathrm{th,E,V}} \approx 490\text{ kW} (d'après Q17).

On obtient :

Le rendement réel de conversion est nettement inférieur au rendement calculé en Q26 pour plusieurs raisons physiques :

• Irréversibilités internes des composants : la détente dans la turbine et la compression dans la pompe ont été modélisées comme isentropiques (réversibles). Dans une installation réelle, les frottements fluides et les dissipations visqueuses conduisent à des rendements isentropiques inférieurs à 1 (\eta_{\mathrm{is,T}} < 1 et \eta_{\mathrm{is,P}} < 1), ce qui diminue le travail recueilli à la turbine et accroît celui absorbé par la pompe.
• Consommation des auxiliaires (pompage de l'eau de mer) : l'installation nécessite de déplacer d'énormes débits d'eau de mer (\dot{m}_{\mathrm{e}} \approx 82\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1} à l'échelle du seul prototype) et d'extraire l'eau froide à près de 1\,000\text{ m} de profondeur (pertes de charge le long de conduites de plusieurs kilomètres). La puissance électrique nécessaire au fonctionnement des pompes de circulation d'eau réduit considérablement la puissance nette disponible.
• Rendements électromécaniques : la conversion du travail mécanique de la turbine en électricité (alternateur) ainsi que l'entraînement de la pompe par un moteur électrique entraînent des pertes mécaniques (frottements) et électriques (effet Joule, pertes fer), avec des rendements globaux \eta_{\mathrm{m\acute{e}ca}} < 1 et \eta_{\mathrm{\acute{e}lec}} < 1.
• Pertes de charge et transferts parasites : les écoulements dans les échangeurs et canalisations ont été supposés isobares et les tuyauteries parfaitement calorifugées. Les pertes de charge hydrauliques réelles (\Delta P \neq 0) et les fuites thermiques vers l'ambiant diminuent également l'efficacité globale du système.

L'équation locale de conservation de la masse pour un écoulement s'écrit :

Les fluides étant homogènes et incompressibles, leurs masses volumiques respectives \rho_1 et \rho_2 sont uniformes et constantes, ce qui conduit à la condition d'incompressibilité :

Pour le fluide (1) (eau) : Le champ de vitesse dérive du potentiel \varphi_1 selon \vec{v}_1 = \vec{\mathrm{grad}}(\varphi_1). D'après le formulaire :

La condition d'incompressibilité impose immédiatement :

Pour le fluide (2) (air) : Le champ des vitesses s'écrit \vec{V}_2 = \vec{\mathrm{grad}}(Ux + \varphi_2) = U\vec{u}_x + \vec{\mathrm{grad}}(\varphi_2). En prenant la divergence :

La vitesse du vent non perturbé U étant constante et uniforme, \dfrac{\partial U}{\partial x} = 0, d'où :

On obtient ainsi :

Les potentiels des vitesses vérifient donc tous deux l'équation de Laplace (écoulements à potentiel laplacien).

L'accélération particulaire s'écrit :

D'après l'énoncé, les composantes de \vec{v}_1 et leurs dérivées sont des infiniment petits du premier ordre. Le terme convectif (\vec{v}_1 \cdot \vec{\mathrm{grad}})\vec{v}_1 est donc du second ordre et est négligé dans le cadre de l'approximation linéaire :

Le fluide étant irrotationnel, \vec{v}_1 = \vec{\mathrm{grad}}(\varphi_1). En permutant les dérivées spatiale et temporelle, il vient :

Par ailleurs, le champ de pesanteur s'écrit \vec{g} = -g\,\vec{u}_z = -\vec{\mathrm{grad}}(gz), et la masse volumique \rho_1 est constante (fluide homogène et incompressible). L'équation d'Euler projetée au premier ordre devient :

En divisant par \rho_1 et en regroupant l'ensemble sous l'opérateur gradient :

L'annulation du gradient spatial implique que la quantité entre parenthèses est uniforme dans l'espace à chaque instant, ne dépendant ainsi que du temps t :

où C_1(t) est une fonction du temps.

Le fluide (2) étant supposé parfait et homogène de masse volumique \rho_2, son écoulement est régi par l'équation d'Euler :

avec \vec{g} = -\vec{\mathrm{grad}}(gz). L'accélération particulaire s'exprime par :

L'écoulement étant irrotationnel (\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{V}_2 = \vec{0}), l'identité vectorielle du formulaire donne :

Le champ des vitesses s'écrit \vec{V}_2 = U\vec{u}_x + \vec{v}_2, où U est une vitesse uniforme et constante, et \vec{v}_2 = \vec{\mathrm{grad}}\,\varphi_2 est une perturbation du premier ordre. On en déduit :

Le terme U^2/2 étant spatialement uniforme, son gradient est nul. Au premier ordre en perturbation, le terme convectif devient donc :

L'équation d'Euler s'écrit alors, en divisant par \rho_2 :

soit :

Par intégration spatiale, la quantité entre parenthèses ne dépend que du temps, ce qui conduit à l'égalité recherchée :

où C_2(t) est une fonction du temps.

Le champ des vitesses dans l'eau s'écrit \vec{v}_1 = u_1(x,z,t)\,\vec{u}_x + w_1(x,z,t)\,\vec{u}_z (l'écoulement étant invariant par translation selon Oy). Par définition du potentiel des vitesses, \vec{v}_1 = \vec{\operatorname{grad}}\,\varphi_1, ce qui donne pour les composantes :

En z = -h, le fond océanique est modélisé par une paroi solide, plane, horizontale et fixe. L'eau étant considérée comme un fluide parfait, la condition aux limites est la condition d'imperméabilité (ou de non-pénétration) : la composante normale de la vitesse du fluide doit être égale à celle de la paroi, soit nulle ici :

En introduisant le potentiel des vitesses, on en déduit la condition limite portant sur \varphi_1 :

Le champ des vitesses dans l'air s'écrit sous la forme :

Par ailleurs, l'écoulement étant irrotationnel, le champ \vec{V}_2 dérive du potentiel des vitesses U x + \varphi_2 :

Par identification, on en déduit l'expression du champ de perturbation \vec{v}_2 = \vec{\operatorname{grad}}\varphi_2, soit pour ses composantes scalaires :

Loin de la surface libre (z \to +\infty), l'écoulement d'air n'est pas perturbé et retrouve la vitesse uniforme du vent \vec{V}_2 \to U\,\vec{u}_x. La vitesse de perturbation s'annule donc à l'infini :

En projetant sur les axes, on obtient les conditions sur les dérivées spatiales de \varphi_2 :

À une constante additive près (que l'on fixe usuellement à zéro sans modifier le champ de vitesse), le potentiel de perturbation s'annule à l'infini :

La coordonnée verticale de la surface libre est donnée par z_s(x, t) = \eta(x, t). La dérivée particulaire de cette grandeur scalaire s'écrit, compte tenu de l'invariance selon l'axe Oy :

où v_x désigne la composante horizontale de la vitesse de la particule fluide située à la surface.

1. Pour l'eau (milieu 1) :

• La vitesse horizontale est v_{x,1} = u_1(x, z, t) = \dfrac{\partial \varphi_1}{\partial x}, qui est un infiniment petit du premier ordre.
• Le terme convectif u_1 \dfrac{\partial \eta}{\partial x} est un produit de deux infiniment petits du premier ordre, donc un terme d'ordre 2 négligeable.
• La composante verticale de la vitesse s'exprime d'après la question Q31 par w_1(x, 0, t) = \dfrac{\partial \varphi_1}{\partial z}(x, 0, t).

L'égalité w_1(x, 0, t) = \dfrac{\mathrm{D}\eta}{\mathrm{D}t} conduit donc, au premier ordre, à :

2. Pour l'air (milieu 2) :

• La vitesse horizontale est V_{x,2} = U + u_2(x, z, t) = U + \dfrac{\partial \varphi_2}{\partial x}.

• Le vent moyen de vitesse U est d'ordre 0, tandis que u_2 et \eta sont d'ordre 1. Au premier ordre, le terme convectif se réduit donc à :

  V_{x,2} \frac{\partial \eta}{\partial x} = (U + u_2)\frac{\partial \eta}{\partial x} \approx U \frac{\partial \eta}{\partial x}
• La composante verticale de la perturbation de vitesse s'exprime d'après la question Q32 par w_2(x, 0, t) = \dfrac{\partial \varphi_2}{\partial z}(x, 0, t).

L'égalité w_2(x, 0, t) = \dfrac{\mathrm{D}\eta}{\mathrm{D}t} conduit ainsi, au premier ordre, à :

L'équation s'obtient à partir de la condition aux limites dynamique à la surface de séparation entre l'eau et l'air (z = \eta(x, t)) :

1. Origine physique : En l'absence d'effets de tension superficielle (courbure négligée à cette échelle), il y a continuité de la pression à travers l'interface libre :

   p_1(x, \eta(x, t), t) = p_2(x, \eta(x, t), t)
2. Obtention : On utilise les expressions des champs de pression obtenues par intégration des équations d'Euler linéarisées (relations de Bernoulli instationnaires établies aux questions Q29 et Q30) dans chaque fluide, évaluées au niveau de la surface déformée z = \eta(x, t). En égalant p_1 et p_2, la pression de référence p_{\text{réf}} s'élimine de part et d'autre.

3. Approximations effectuées :

   • Tension superficielle négligée : le saut de pression de Laplace est supposé nul à l'interface eau-air.
   • Linéarisation des termes instationnaires et convectifs : comme \eta(x, t) ainsi que les potentiels \varphi_1 et \varphi_2 et leurs dérivées sont des infiniment petits du premier ordre, un développement de Taylor de ces dérivées autour de z = 0 montre que l'écart entre leur valeur en z = \eta et en z = 0 fait intervenir un produit de termes d'ordre 1, c'est-à-dire un terme du second ordre négligé. Les dérivées des potentiels sont donc directement évaluées en z = 0.
   • Linéarisation préalable d'Euler : les termes quadratiques d'inertie convective (\vec{v}_1 \cdot \vec{\operatorname{grad}})\vec{v}_1 et (\vec{v}_2 \cdot \vec{\operatorname{grad}})\vec{v}_2 ont été négligés dans l'équation de Bernoulli.

D'après la question Q28, l'incompressibilité du fluide (2) impose l'équation de Laplace pour le potentiel des vitesses :

L'écoulement étant invariant par translation selon la direction Oy, le laplacien s'écrit :

En introduisant la forme complexe de l'énoncé \underline{\varphi_2}(x, z, t) = \underline{\phi_2}(z) \exp(j(\underline{\omega}t - kx)), on calcule les dérivées partielles spatiales :

En simplifiant par le terme exponentiel non nul, on obtient l'équation différentielle satisfaite par \underline{\phi_2}(z) :

Puisque k est une constante réelle positive (k > 0), la solution générale de cette équation différentielle linéaire à coefficients constants s'écrit sous la forme :

où A et B sont deux constantes complexes d'intégration.

D'après la condition aux limites établie à la question Q32, la perturbation de l'air s'atténue loin de la surface, ce qui implique :

Comme k > 0, la fonction \operatorname{e}^{kz} diverge quand z \to +\infty. Pour que la condition limite soit vérifiée, il est indispensable d'avoir :

En évaluant en z = 0, on identifie :

On en déduit l'expression de \underline{\phi_2}(z) :

D'après la question Q28, le potentiel des vitesses dans l'eau vérifie l'équation de Laplace \Delta \varphi_1 = 0. Compte tenu de l'invariance selon l'axe Oy, cette équation se réduit à :

En introduisant la forme complexe proposée \underline{\varphi_1}(x, z, t) = \underline{\phi_1}(z) \exp\left(j(\underline{\omega} t - kx)\right), les dérivées spatiales s'écrivent :

En simplifiant par le terme exponentiel non nul, on obtient l'équation différentielle satisfaite par \underline{\phi_1}(z) :

L'équation caractéristique associée étant r^2 - k^2 = 0, la solution générale peut s'écrire sous forme hyperbolique centrée en z = -h :

où A et B sont deux constantes complexes d'intégration.

La condition limite au fond solide établie à la question Q31 traduit l'imperméabilité de la paroi en z = -h :

Or, en dérivant \underline{\phi_1}(z) :

En z = -h, le terme en \sinh(0) = 0 s'annule, ce qui impose :

La fonction s'écrit donc \underline{\phi_1}(z) = A \cosh\left(k(z + h)\right).

En évaluant en surface (z = 0), on a :

On en déduit l'expression demandée :