Feuille d'entraînement : Changements d'état du corps pur

Corrigés

1. Exercice 1CentraleSupélec Physique 1 PC 2024, Q6

   1. Courbes de saturation et domaines de phases

   Sur les diagrammes (P, h) (document réponse 1) et (T, s) (document réponse 2), la courbe délimitant le domaine d'équilibre liquide-vapeur est la courbe de saturation (ou cloche de saturation). Elle est constituée de deux branches qui se rejoignent au sommet :

   • la branche de gauche correspond à la courbe d'ébullition (liquide saturant, titre massique en vapeur x = 0) ;
   • la branche de droite correspond à la courbe de rosée (vapeur saturante sèche, x = 1).

   Les domaines associés aux différentes phases stables sont :

   • à gauche de la courbe d'ébullition : phase liquide (ou liquide sous-refroidi / comprimé) ;
   • sous la cloche de saturation : domaine diphasique (mélange liquide-vapeur en équilibre) ;
   • à droite de la courbe de rosée (pour P < P_c) : phase vapeur (vapeur surchauffée ou gaz) ;
   • au-delà du point critique (T > T_c et P > P_c) : domaine du fluide supercritique.

   2. Point critique : définition et coordonnées

   Le point critique, noté \mathrm{C}, est le point au sommet de la courbe de saturation où se rejoignent la courbe d'ébullition et la courbe de rosée. Physiquement, il représente l'état limite au-delà duquel la transition liquide-vapeur s'effectue de manière continue sans transition de phase discontinue : les propriétés des phases liquide et vapeur deviennent identiques (même masse volumique) et l'enthalpie de vaporisation s'annule (\Delta h_{\mathrm{vap}} = 0).

   Par lecture graphique sur les documents réponses 1 et 2 au sommet de la cloche :

   • sur le diagramme (T, s) (document réponse 2), on lit l'ordonnée du sommet :

     \boxed{T_c \approx 132\,^{\circ}\mathrm{C} \quad (\approx 405\text{ K})}

   • sur le diagramme (P, h) (document réponse 1), on lit la pression correspondante sur l'échelle logarithmique :

     \boxed{P_c \approx 113\text{ bar} \quad (= 11{,}3\text{ MPa})}

   Résultat

   $$T_c\approx 132{}^{\circ }\mathrm{C}(\approx 405\text{ K})$$

   $$P_c\approx 113\text{ bar}(=11,3\text{ MPa})$$

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2. Exercice 2CCINP Physique PC 2023, Q11

   Le diagramme d'état (p, T) d'un corps pur présente les domaines de stabilité thermodynamique des trois états de la matière (solide, liquide, gaz). Pour l'eau, la pente de la courbe d'équilibre solide-liquide est négative, car la masse volumique de la glace est inférieure à celle de l'eau liquide (\rho_{\text{glace}} < \rho_{\text{eau}}).

   Les deux points caractéristiques sont définis comme suit :

   • Le point triple \mathrm{T}_t : il correspond à l'unique état d'équilibre diphasé simultané des trois phases (solide, liquide, vapeur). En vertu de la règle des phases de Gibbs, la variance y est strictement nulle (v = c + 2 - \varphi = 1 + 2 - 3 = 0), ce qui lui confère des coordonnées (p_t, T_t) parfaitement fixées et universelles pour l'eau pure (T_t \simeq 273,16\text{ K} = 0,01\text{ }^\circ\text{C} et p_t \simeq 611\text{ Pa}).
   • Le point critique \mathrm{C} : c'est le point d'arrêt supérieur de la courbe de vaporisation (équilibre liquide-gaz). Au-delà de ses coordonnées (p_C, T_C), il n'existe plus de transition de phase du premier ordre entre l'état liquide et l'état gazeux : les grandeurs thermodynamiques molaires (notamment le volume molaire et la masse volumique) des deux phases deviennent identiques en ce point, et le fluide se trouve dans un état supercritique. Pour l'eau, T_C \simeq 647\text{ K} (374\text{ }^\circ\text{C}) et p_C \simeq 221\text{ bar}.

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3E3A Physique-Chimie PC 2023, Q7

   1. Conditions d'application du théorème de Bernoulli

   Le théorème de Bernoulli s'applique le long d'une ligne de courant sous les hypothèses suivantes :

   • écoulement stationnaire (ou permanent) ;
   • fluide incompressible et homogène (\rho_0 = \text{cte}) ;
   • fluide parfait (viscosité négligeable, pas de pertes de charge) ;
   • forces volumiques conservatives dérivant d'une énergie potentielle (ici la pesanteur).

   2. Différence de pression P(C) - P(E)

   Le tube étant horizontal, les points E et C sont à la même altitude (z_E = z_C). La relation de Bernoulli entre E et C s'écrit :

   P(E) + \frac{1}{2}\rho_0 v_1^2 = P(C) + \frac{1}{2}\rho_0 v_2^2

   D'après la question Q6, la conservation du débit volumique donne v_2 = v_1 \dfrac{S_1}{S_2}. On en déduit :

   \begin{aligned} P(C) - P(E) &= \frac{1}{2}\rho_0 \left(v_1^2 - v_2^2\right) \\ &= \frac{1}{2}\rho_0 v_1^2 \left[1 - \left(\frac{S_1}{S_2}\right)^2\right] \end{aligned}

   \boxed{P(C) - P(E) = \frac{1}{2}\rho_0 v_1^2 \left(1 - \frac{S_1^2}{S_2^2}\right)}

   Comme S_1 > S_2, on a P(C) - P(E) < 0 : la pression chute au niveau de l'étranglement (effet Venturi).

   3. Diagramme (P, T) de l'eau

   Les deux points caractéristiques sont :

   • le point triple \mathrm{T} : équilibre simultané des trois phases (solide, liquide, vapeur) ;
   • le point critique \mathrm{C_r} : extrémité de la courbe d'équilibre liquide-vapeur au-delà duquel les phases liquide et gaz ne se distinguent plus (fluide supercritique).

   4. Apparition d'une bulle de vapeur (cavitation)

   Considérons une particule fluide initialement au point M dans l'état liquide à la température T et à la pression P(E) > P_{\text{sat}}(T). L'écoulement étant rapide, les échanges thermiques sont négligeables et l'évolution est quasi-isotherme.

   Lorsque le fluide s'accélère vers le col C, sa vitesse augmente considérablement (v_2 > v_1), ce qui entraîne une chute de pression. Si la vitesse au col est suffisamment grande, la pression locale P(C) peut descendre en dessous de la pression de vapeur saturante de l'eau à cette température :

   P(C) \leqslant P_{\text{sat}}(T)

   Le fluide traverse la courbe d'ébullition (trajectoire verticale descendante M \to M') : une vaporisation locale se produit brutalement, conduisant à l'apparition de microbulles de vapeur d'eau au niveau de la section minimale S_2 (le col C).

   Résultat

   $$P(C)-P(E)=\frac{1}{2}{\rho }_0{v}_1^2\left(1-\frac{S_1^2}{S_2^2}\right)$$

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4. Exercice 4X-ENS Physique B PC 2022, Q5

   1. Interprétation physique du second terme

   Le second terme, E_s = 4\pi \gamma r^2, représente le coût énergétique interfacial lié à la création d'une interface liquide-gaz d'aire S = 4\pi r^2. Le coefficient de tension superficielle \gamma > 0 correspond à l'énergie par unité de surface à fournir pour rompre les liaisons attractives du liquide lors de la formation de l'interface. Ce terme pénalise énergétiquement la formation de la bulle.

   2. Recherche du maximum de \Delta E(r)

   La variation d'énergie s'écrit, en posant \Delta p = p_{\text{sat}} - p > 0 (puisque l'hélium est métastable, p < p_{\text{sat}}) :

   \Delta E(r) = -\frac{4}{3}\pi \Delta p \, r^3 + 4\pi \gamma r^2

   Dérivons cette fonction par rapport au rayon r :

   \frac{\mathrm{d}\Delta E}{\mathrm{d}r} = -4\pi \Delta p \, r^2 + 8\pi \gamma r = 4\pi r \, (2\gamma - \Delta p \, r)

   Pour r > 0, cette dérivée s'annule en une valeur critique r_c :

   \boxed{r_c = \frac{2\gamma}{p_{\text{sat}} - p}}

   La dérivée seconde au point r_c vaut :

   \left.\frac{\mathrm{d}^2\Delta E}{\mathrm{d}r^2}\right|_{r_c} = -8\pi \Delta p \, r_c + 8\pi\gamma = -16\pi\gamma + 8\pi\gamma = -8\pi\gamma < 0

   Il s'agit donc bien d'un maximum local, noté \Delta E^*. En évaluant \Delta E en r_c :

   \begin{aligned} \Delta E^* = \Delta E(r_c) &= -\frac{4}{3}\pi \Delta p \, r_c^3 + 4\pi\gamma r_c^2 \\ &= 4\pi r_c^2 \left( \gamma - \frac{1}{3}\Delta p \, r_c \right) \\ &= 4\pi r_c^2 \left( \gamma - \frac{2}{3}\gamma \right) = \frac{4\pi}{3}\gamma r_c^2 \end{aligned}

   En injectant l'expression de r_c, on obtient :

   \boxed{\Delta E^* = \frac{16\pi\gamma^3}{3(p_{\text{sat}} - p)^2}}

   3. Tracé de \Delta E(r)

   La courbe part de l'origine \Delta E(0) = 0, s'annule à nouveau pour r_0 = \frac{3}{2}r_c = \frac{3\gamma}{p_{\text{sat}}-p}, et tend vers -\infty lorsque r \to +\infty car le terme volumique en -r^3 domine à grande échelle.

   4. Énergie à fournir pour la rupture de l'état métastable

   Pour r < r_c, la dérivée \frac{\mathrm{d}\Delta E}{\mathrm{d}r} est positive : la bulle a tendance à se résorber spontanément pour minimiser l'énergie. En revanche, dès que r > r_c, \frac{\mathrm{d}\Delta E}{\mathrm{d}r} < 0, de sorte que la croissance de la bulle devient spontanée et conduit à la transition de phase liquide \to gaz (cavitation).

   L'état liquide métastable est donc piégé derrière une barrière d'activation. L'énergie minimale qu'il faut fournir au système pour créer un germe de taille surcritique (r \ge r_c) et provoquer la cavitation est la hauteur de cette barrière :

   \boxed{E_{\text{fournie}} = \Delta E^*}

   Résultat

   $$r_c=\frac{2\gamma }{p_{\text{sat}}-p}$$

   $$\Delta E^{\ast }=\frac{16\pi {\gamma }^3}{3(p_{\text{sat}}-p{)}^2}$$

   $$E_{\text{fournie}}=\Delta E^{\ast }$$

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5. Exercice 5ENS Physique C PC 2021, Q1

   Lors d'une transition de phase d'un corps pur à la température T (sous la pression d'équilibre correspondante), la transformation est réversible, isotherme et isobare. Pour l'unité de masse, le transfert thermique reçu est égal à la variation d'enthalpie massique :

   \Delta h = L(T) = h_v(T) - h_l(T)

   D'après le second principe de la thermodynamique, l'entropie échangée pour une transformation réversible isotherme à la température T s'écrit :

   \boxed{ \Delta s = s_v - s_l = \frac{\Delta h}{T} = \frac{L(T)}{T} }

   Par définition de la grandeur massique \zeta = h - Ts (qui correspond à l'enthalpie libre massique g) :

   \begin{aligned} \zeta_v - \zeta_l &= (h_v - T s_v) - (h_l - T s_l) \\ &= (h_v - h_l) - T(s_v - s_l) \\ &= L(T) - T \Delta s \end{aligned}

   En utilisant la relation établie précédemment T \Delta s = L(T), il vient :

   \zeta_v - \zeta_l = L(T) - L(T) = 0

   On en déduit donc bien qu'à l'équilibre thermodynamique liquide-vapeur :

   \boxed{ \zeta_l = \zeta_v }

   Résultat

   $$\Delta s=s_v-s_l=\frac{\Delta h}{T}=\frac{L(T)}{T}$$

   $${\zeta }_l={\zeta }_v$$

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6. Exercice 6ENS Physique C PC 2021, Q2

   Considérons une masse m de corps pur sous une seule phase. L'identité thermodynamique fournie en section 1.3 pour un système fermé monophasique s'écrit :

   \mathrm{d}U = T\,\mathrm{d}S - P\,\mathrm{d}V

   En divisant par la masse fixée m, on obtient l'identité thermodynamique en grandeurs massiques (u = U/m, s = S/m, v = V/m) :

   \mathrm{d}u = T\,\mathrm{d}s - P\,\mathrm{d}v

   L'enthalpie massique est définie par h = u + Pv. Sa différentielle s'écrit :

   \mathrm{d}h = \mathrm{d}u + P\,\mathrm{d}v + v\,\mathrm{d}P

   En injectant l'expression de \mathrm{d}u, il vient :

   \mathrm{d}h = (T\,\mathrm{d}s - P\,\mathrm{d}v) + P\,\mathrm{d}v + v\,\mathrm{d}P = T\,\mathrm{d}s + v\,\mathrm{d}P

   Par définition, la fonction \zeta (enthalpie libre massique g) vaut \zeta = h - Ts. En différentiant cette relation :

   \mathrm{d}\zeta = \mathrm{d}h - T\,\mathrm{d}s - s\,\mathrm{d}T

   En remplaçant \mathrm{d}h par son expression :

   \mathrm{d}\zeta = (T\,\mathrm{d}s + v\,\mathrm{d}P) - T\,\mathrm{d}s - s\,\mathrm{d}T

   On en déduit immédiatement :

   \boxed{\mathrm{d}\zeta = -s\,\mathrm{d}T + v\,\mathrm{d}P}

   Résultat

   $$\mathrm{d}\zeta =-s\mathrm{d}T+v\mathrm{d}P$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7ENS Physique C PC 2021, Q3

   Lorsque les deux phases coexistent à l'équilibre à la température T sous la pression de vapeur saturante P = e_s(T), les enthalpies libres massiques des deux phases sont égales d'après la question Q1 :

   \zeta_l(T, e_s(T)) = \zeta_v(T, e_s(T))

   Pour une variation infinitésimale de température \mathrm{d}T le long de la courbe de coexistence, la pression varie de \mathrm{d}e_s de sorte que l'équilibre soit maintenu, soit :

   \mathrm{d}\zeta_l = \mathrm{d}\zeta_v

   En utilisant la relation établie à la question Q2, \mathrm{d}\zeta = -s\,\mathrm{d}T + v\,\mathrm{d}P, avec \mathrm{d}P = \mathrm{d}e_s, il vient :

   -s_l\,\mathrm{d}T + v_l\,\mathrm{d}e_s = -s_v\,\mathrm{d}T + v_v\,\mathrm{d}e_s

   En regroupant les termes :

   (v_v - v_l)\,\mathrm{d}e_s = (s_v - s_l)\,\mathrm{d}T

   D'après la question Q1, la variation d'entropie massique de vaporisation s'écrit s_v - s_l = \dfrac{L(T)}{T}. On en déduit la relation de Clapeyron :

   \boxed{\frac{\mathrm{d}e_s}{\mathrm{d}T} = \frac{L}{T(v_v - v_l)}}

   Résultat

   $$\frac{\mathrm{d}{e}_s}{\mathrm{d}T}=\frac{L}{T(v_v-v_l)}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8CentraleSupélec Physique 1 PC 2026, Q1

   La pression de vapeur saturante p_{\text{sat}}(T) d'un corps pur à la température T est la pression partielle sous laquelle sa phase gazeuse est en équilibre thermodynamique avec sa phase condensée (ici le liquide). C'est aussi la pression partielle maximale que peut atteindre la vapeur dans un mélange gazeux à la température T sans apparition d'une phase liquide.

   La pression de vapeur saturante est une fonction strictement croissante de la température :

   \boxed{\frac{\mathrm{d}p_{\text{sat}}}{\mathrm{d}T} > 0}

   Cette propriété découle directement de la relation de Clapeyron :

   \frac{\mathrm{d}p_{\text{sat}}}{\mathrm{d}T} = \frac{\Delta h_{\text{vap}}}{T\left(v_{\text{gaz}} - v_{\text{liq}}\right)}

   où \Delta h_{\text{vap}} > 0 (l'évaporation est endothermique) et v_{\text{gaz}} \gg v_{\text{liq}} (le volume massique de la vapeur est largement supérieur à celui du liquide).

   Résultat

   $$\frac{\mathrm{d}{p}_{\text{sat}}}{\mathrm{d}T}>0$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9CentraleSupélec Physique 1 PC 2026, Q11

   1. Le passage de l'état liquide à l'état gazeux nécessite d'apporter de l'énergie au fluide afin de rompre les interactions intermoléculaires attractives (liaisons hydrogène et interactions de Van der Waals). L'enthalpie massique de changement d'état est strictement positive :

      \Delta h_{\text{vap}} > 0

      L'évaporation est par conséquent une transformation endothermique.

   2. Pour compenser l'énergie consommée par la vaporisation de l'eau, la goutte doit recevoir un flux thermique de la part du milieu extérieur en régime quasi-stationnaire :

      \phi_{\text{th,d}} > 0

      D'après le second principe de la thermodynamique (ou la loi de Fourier), l'énergie thermique diffuse spontanément des zones les plus chaudes vers les zones les plus froides. Pour que la goutte reçoive un flux thermique depuis l'atmosphère à la température T_\infty, il est nécessaire que :

      \boxed{T_{\mathrm{g}} < T_\infty}

      La température de la goutte est donc plus petite que la température T_\infty de l'air ambiant.

   Résultat

   $$T_{\mathrm{g}}<T_{\infty }$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10CentraleSupélec Physique 1 PC 2026, Q15

    D'après la question Q4, la vapeur d'eau se comportant comme un gaz parfait, la concentration en masse de vapeur saturante à une température T s'exprime par :

    c_{\mathrm{sat}}(T) = \frac{M_{\mathrm{eau}} p_{\mathrm{sat}}(T)}{R T}

    Le rapport des concentrations à T_{\mathrm{fus}} et T_\infty vaut ainsi :

    \frac{c_{\mathrm{sat}}(T_{\mathrm{fus}})}{c_{\mathrm{sat}}(T_\infty)} = \frac{p_{\mathrm{sat}}(T_{\mathrm{fus}})}{p_{\mathrm{sat}}(T_\infty)} \frac{T_\infty}{T_{\mathrm{fus}}}

    En évaluant le modèle affine de l'équation (7) en T = T_{\mathrm{fus}}, on obtient :

    c_{\mathrm{sat}}(T_{\mathrm{fus}}) = c_{\mathrm{sat}}(T_\infty) \left[ 1 - \alpha (T_\infty - T_{\mathrm{fus}}) \right] \implies \frac{c_{\mathrm{sat}}(T_{\mathrm{fus}})}{c_{\mathrm{sat}}(T_\infty)} = 1 - \alpha (T_\infty - T_{\mathrm{fus}})

    On en déduit l'expression de \alpha :

    \boxed{\alpha = \frac{1}{T_\infty - T_{\mathrm{fus}}} \left( 1 - \frac{p_{\mathrm{sat}}(T_{\mathrm{fus}})}{p_{\mathrm{sat}}(T_\infty)} \frac{T_\infty}{T_{\mathrm{fus}}} \right)}

    Application numérique : Avec les données fournies :

    • T_\infty = 293{,}15\text{ K} et T_{\mathrm{fus}} = 273{,}15\text{ K}, d'où T_\infty - T_{\mathrm{fus}} = 20{,}00\text{ K} ;
    • p_{\mathrm{sat}}(T_\infty) = 2{,}3 \times 10^3\text{ Pa} et p_{\mathrm{sat}}(T_{\mathrm{fus}}) = 6{,}1 \times 10^2\text{ Pa}.

    Le rapport vaut :

    \frac{p_{\mathrm{sat}}(T_{\mathrm{fus}})}{p_{\mathrm{sat}}(T_\infty)} \frac{T_\infty}{T_{\mathrm{fus}}} = \frac{6{,}1 \times 10^2}{2{,}3 \times 10^3} \times \frac{293{,}15}{273{,}15} \simeq 0{,}285

    D'où :

    \alpha = \frac{1 - 0{,}285}{20{,}00} \simeq 3{,}6 \times 10^{-2}\text{ K}^{-1}

    \boxed{\alpha \simeq 3{,}6 \times 10^{-2}\text{ K}^{-1}}

    Résultat

    $$\alpha =\frac{1}{T_{\infty }-T_{\mathrm{fus}}}\left(1-\frac{p_{\mathrm{sat}}(T_{\mathrm{fus}})}{p_{\mathrm{sat}}(T_{\infty })}\frac{T_{\infty }}{T_{\mathrm{fus}}}\right)$$

    $$\alpha \simeq 3,6\times 10^{-2}{\text{ K}}^{-1}$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question