Corrigé détaillé X ENS Physique B PC 2024

La taille caractéristique a de la particule fluide doit satisfaire la double inégalité :

où :

• \ell_{\text{micro}} est l'échelle microscopique caractéristique, représentée par la distance intermoléculaire moyenne d dans un liquide ou par le libre parcours moyen \ell_{\text{libre}} dans un gaz. Cette condition (a \gg \ell_{\text{micro}}) garantit que la particule renferme un nombre de molécules N \gg 1, de sorte que les grandeurs thermodynamiques et mécaniques locales (\rho, p, T, \vec{v}) soient bien définies avec des fluctuations statistiques relatives négligeables (\sim 1/\sqrt{N} \ll 1) ;
• L_{\text{macro}} est l'échelle macroscopique spatiale sur laquelle varient significativement les champs d'écoulement (dans le cas présent, la longueur d'onde acoustique \lambda ou une échelle caractéristique du milieu). Cette condition (a \ll L_{\text{macro}}) autorise l'assimilation de la particule fluide à un point géométrique et permet l'emploi du calcul différentiel (milieu continu).

Le système d'équations (1) fait intervenir les champs spatio-temporels suivants :

• le champ des vitesses \vec{v}(M,t), soit 3 composantes scalaires ;
• le champ de pression p(M,t), soit 1 grandeur scalaire ;
• le champ de masse volumique \rho(M,t), soit 1 grandeur scalaire ;
• (le champ de température T(M,t) mentionné dans le texte).

Cela représente au minimum 5 fonctions scalaires inconnues (voire 6 avec la température).

Or, le système (1) ne fournit que 4 équations scalaires :

• l'équation d'Euler (vectorielle), équivalente à 3 équations scalaires ;
• l'équation de conservation de la masse (scalaire), soit 1 équation scalaire.

Le nombre d'inconnues (5 ou 6) étant strictement supérieur au nombre d'équations (4), le système est sous-déterminé (non fermé). Pour le clore, il est indispensable de lui adjoindre une équation d'état thermodynamique (reliant p, \rho et T) ainsi qu'une équation régissant les transferts thermiques ou l'évolution thermodynamique du fluide (par exemple l'hypothèse d'une évolution isentropique).

Par ailleurs, sur le plan mathématique, ce système est constitué d'équations aux dérivées partielles couplées et non linéaires. Les non-linéarités proviennent :

• du terme convectif \rho (\vec{v} \cdot \overrightarrow{\mathrm{grad}})\vec{v} dans l'équation de Navier-Stokes/Euler ;
• des produits entre grandeurs dynamiques, notamment \rho \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} et \operatorname{div}(\rho \vec{v}).

Ces non-linéarités interdisent l'utilisation directe du principe de superposition et empêchent généralement toute résolution analytique exacte, justifiant ainsi le recours à une procédure d'approximation ou de linéarisation (acoustique linéaire).

Le terme (a) s'écrit, compte tenu de la décomposition des champs \vec{v} = \vec{v}_0 + \delta\vec{v} = \delta\vec{v} (le fluide étant au repos à l'équilibre) et \rho = \rho_0 + \delta\rho :

Le premier terme \rho_0 \frac{\partial \delta\vec{v}}{\partial t} est du premier ordre en grandeurs dynamiques, tandis que le second terme \delta\rho \frac{\partial \delta\vec{v}}{\partial t} est un terme non linéaire d'ordre deux.

Le terme (a) peut donc être linéarisé sous la forme \rho_0 \frac{\partial \delta\vec{v}}{\partial t} dès lors que la perturbation relative de masse volumique est négligeable devant l'unité, soit :

Le fluide étant au repos à l'équilibre (\vec{v}_0 = \vec{0}), le champ de vitesse se réduit à sa composante dynamique : \vec{v} = \delta\vec{v}, d'amplitude caractéristique notée A_v.

Pour une onde se propageant à la pulsation \omega et de vecteur d'onde \vec{k} vérifiant \omega = c k :

• la dérivation temporelle introduit un facteur d'échelle \omega, d'où l'ordre de grandeur du terme (a) :

  \left\| \rho \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} \right\| \sim \rho_0 \omega A_v

• les dérivées spatiales introduisent le facteur d'échelle spatial k = \omega/c, d'où l'ordre de grandeur du terme convectif (b) :

  \left\| \rho (\vec{v} \cdot \overrightarrow{\operatorname{grad}}) \vec{v} \right\| \sim \rho_0 k A_v^2

Le terme convectif (b) est négligeable devant le terme d'accélération locale (a) si :

En utilisant la relation de dispersion k = \omega/c, cette condition s'écrit :

soit encore \|\delta\vec{v}\| \ll c.

La seconde équation du système (1) est l'équation locale de conservation de la masse :

En introduisant les décompositions \rho(\mathrm{M}, t) = \rho_0 + \delta\rho(\mathrm{M}, t) et \vec{v}(\mathrm{M}, t) = \delta\vec{v}(\mathrm{M}, t) (avec \vec{v}_0 = \vec{0}), et sachant que \rho_0 est indépendant du temps et uniforme dans l'espace, il vient :

L'équation s'écrit ainsi :

Le terme non linéaire est le terme du second ordre \operatorname{div}(\delta\rho\,\delta\vec{v}). Estimons les grandeurs caractéristiques associées aux deux termes d'écoulement pour une onde plane de vecteur d'onde k :

Le terme d'ordre deux est négligeable devant le terme linéaire d'ordre un si et seulement si :

Sous cette condition, la seconde équation du système (1) tend vers l'équation linéaire :

La condition pour que la seconde équation tende vers une équation linéaire est donc :

L'évolution du fluide induite par le passage de l'onde étant supposée isentropique (S = \text{cste}), la masse volumique ne dépend localement que de la pression p : \rho = \rho(p, S). Un développement limité au premier ordre au voisinage de l'état statique (p_0, T_0) conduit à :

soit pour la fluctuation dynamique de masse volumique :

Cette approximation linéaire est valable sous la condition de petites perturbations acoustiques, c'est-à-dire :

ce qui garantit que les termes d'ordres supérieurs dans le développement de Taylor restent négligeables devant le terme d'ordre un, et assure également |\delta\rho| \ll \rho_0.

En combinant l'équation d'Euler linéarisée sans pesanteur (\rho_0 \frac{\partial \delta\vec{v}}{\partial t} = -\vec{\nabla}\delta p) et l'équation de conservation de la masse linéarisée (\frac{\partial \delta\rho}{\partial t} + \rho_0 \operatorname{div}\delta\vec{v} = 0), on obtient l'équation d'onde de d'Alembert pour \delta p ou \delta\rho, dans laquelle la célérité isentropique c vérifie c^2 = \left.\frac{\partial p}{\partial \rho}\right|_{S,0} = \frac{1}{\rho_0 \chi_{S0}}. La célérité du son s'écrit donc :

On en déduit immédiatement la relation liant la surpression acoustique \delta p à la variation de masse volumique \delta\rho :

À l'équilibre statique (en l'absence d'onde acoustique), le fluide est au repos (\vec{v}_0 = \vec{0}) et vérifie la relation fondamentale de la statique des fluides :

En présence de l'onde acoustique, en injectant les décompositions p = p_0 + \delta p, \rho = \rho_0 + \delta\rho et \vec{v} = \delta\vec{v} dans la première équation du système (1), et compte tenu des approximations linéaires validées aux questions précédentes (terme convectif négligeable et terme d'accélération linéarisé), on obtient :

En soustrayant la condition d'équilibre statique, l'équation dynamique s'écrit :

Évaluons les ordres de grandeur spatio-temporels de ces composantes dynamiques pour une onde plane harmonique de pulsation \omega et de vecteur d'onde de norme k = \omega/c :

• Le terme de force volumique de pesanteur dynamique a pour amplitude :

  \|\delta\rho\,\vec{g}\| \sim A_\rho\,g

• Le terme de gradient de pression acoustique a pour amplitude :

  \|\vec{\grad}\delta p\| \sim k\,A_p = \frac{\omega}{c}\,A_p

D'après la question 6, la réponse thermodynamique isentropique impose la relation \delta p = c^2\,\delta\rho, d'où A_p = c^2\,A_\rho. L'amplitude du gradient de pression s'exprime donc sous la forme :

L'effet de la pesanteur peut être légitimement négligé dans les équations dynamiques si le terme \delta\rho\,\vec{g} est négligeable devant le gradient de pression acoustique \vec{\grad}\delta p, ce qui se traduit par :

On obtient ainsi la condition requise :

D'après la question 7, la pesanteur est négligeable dans les équations dynamiques de propagation sous la condition \omega \gg \dfrac{g}{c}. Exprimée en fonction de la fréquence f = \dfrac{\omega}{2\pi}, cette condition s'écrit :

• Cas de l'air : avec g = 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} et c_{\text{air}} = 300\text{ m}\cdot\text{s}^{-1},

  \begin{aligned} f_{c,\text{air}} &= \frac{10}{2\pi \times 300} = \frac{1}{60\pi} \approx 5{,}3\times 10^{-3}\text{ Hz} \end{aligned}

  soit la condition :

  \boxed{f \gg 5{,}3\times 10^{-3}\text{ Hz} \approx 5\text{ mHz}}

• Cas de l'eau : avec g = 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} et c_{\text{eau}} = 1500\text{ m}\cdot\text{s}^{-1},

  \begin{aligned} f_{c,\text{eau}} &= \frac{10}{2\pi \times 1500} = \frac{1}{300\pi} \approx 1{,}1\times 10^{-3}\text{ Hz} \end{aligned}

  soit la condition :

  \boxed{f \gg 1{,}1\times 10^{-3}\text{ Hz} \approx 1\text{ mHz}}

Commentaires :

• Les fréquences seuils f_c obtenues sont de l'ordre du millihertz, ce qui correspond à des périodes caractéristiques de l'ordre de plusieurs centaines de secondes (environ 3\text{ min} pour l'air et 15\text{ min} pour l'eau).
• Pour l'ensemble du domaine acoustique usuel (sons audibles de 20\text{ Hz} à 20\text{ kHz}, et ultrasons au-delà), les fréquences considérées sont immensément supérieures à ces seuils : l'inégalité f \gg f_c est donc toujours largement satisfaite en pratique.
• Il est par conséquent parfaitement légitime de négliger les effets de la pesanteur dans l'étude des ondes acoustiques usuelles dans l'air comme dans l'eau. Seuls les infrasons de très basse fréquence (ondes de gravité-acoustiques) nécessiteraient la prise en compte de la gravité.

Lors de la propagation d'une onde acoustique plane, le fluide subit localement une succession de compressions et de dilatations :

• les zones de compression (\delta p > 0) s'échauffent adiabatiquement (\delta T > 0) ;
• les zones de détente (\delta p < 0) se refroidissent adiabatiquement (\delta T < 0).

Ces zones chaudes et froides alternent périodiquement dans l'espace avec une période spatiale égale à la longueur d'onde \lambda = 2\pi/k = 2\pi c/\omega. La distance typique séparant une zone chaude d'une zone froide est de l'ordre de la demi-longueur d'onde, ce qui correspond à l'échelle spatiale caractéristique :

Il s'établit alors un gradient de température spatial qui donne naissance, d'après la loi de Fourier, à des transferts thermiques conductifs entre les zones chaudes et les zones froides, via un vecteur densité de courant thermique \vec{j}_{\text{th}} = -\lambda_{\text{th}} \overrightarrow{\operatorname{grad}}(\delta T) orienté des zones chaudes vers les zones froides.

L'évolution du fluide peut être considérée comme adiabatique si la diffusion thermique n'a pas le temps d'homogénéiser les températures au cours d'une période de l'onde acoustique. Comparons les deux temps caractéristiques du phénomène :

• le temps caractéristique acoustique :

  \tau_{\text{ac}} \sim \frac{1}{\omega}

• le temps caractéristique de diffusion thermique sur l'échelle spatiale L \sim c/\omega :

  \tau_{\text{diff}} \sim \frac{L^2}{D} \sim \frac{c^2}{D\,\omega^2}

Le transfert thermique est négligeable (régime adiabatique) si le temps de diffusion est très supérieur au temps acoustique :

ce qui conduit immédiatement à la condition :

Remarque équivalente : dans l'équation de la diffusion de la chaleur avec terme source de compression, le terme instationnaire d'ordre \omega\,\delta T domine le terme de diffusion thermique d'ordre D k^2 \delta T = D \frac{\omega^2}{c^2} \delta T si et seulement si D \frac{\omega^2}{c^2} \ll \omega, ce qui redonne \omega \ll \frac{c^2}{D}.

D'après la condition établie à la question 9, l'évolution du fluide est adiabatique si :

Cas de l'air : Avec c_{\text{air}} = 300\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} et D_{\text{air}} \sim 20 \times 10^{-6}\text{ m}^2\cdot\text{s}^{-1} :

soit la condition :

Cas de l'eau : Avec c_{\text{eau}} = 1500\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} et D_{\text{eau}} \sim 0{,}15 \times 10^{-6}\text{ m}^2\cdot\text{s}^{-1} :

soit la condition :

Commentaires :

• Le domaine acoustique audible s'étend typiquement de 20\text{ Hz} à 20\text{ kHz}, et le domaine des ultrasons usuels atteint au plus quelques dizaines de mégahertz. Ces fréquences sont immensément plus faibles que les fréquences de coupure thermique f_{\text{th}} obtenues (de l'ordre du gigahertz dans l'air et du térahertz dans l'eau).
• L'hypothèse de transformations adiabatiques lors du passage d'une onde acoustique est donc excellemment vérifiée pour tous les sons audibles et ultrasons usuels, tant dans l'air que dans l'eau.

Pour une onde plane harmonique se propageant dans la direction de \vec{u}, la perturbation de vitesse s'écrit \delta\vec{v}(\vec{r}, t) = \vec{A}_v \cos(\omega t - \vec{k}\cdot\vec{r}).

Le terme d'accélération locale (a) linéarisé (étudié en question 3) est de l'ordre de grandeur :

D'après le texte, la résultante volumique des forces de viscosité f_{\mathrm{V}} s'exprime comme le produit de la viscosité dynamique \eta par une dérivée spatiale d'ordre deux de la vitesse. L'opérateur spatial intervenant à l'ordre deux se met à l'échelle par le carré du vecteur d'onde k^2 = (\omega/c)^2 :

L'écoulement induit par l'onde acoustique peut être considéré comme parfait si les effets visqueux sont négligeables devant le terme d'inertie (a) :

En simplifiant par \omega A_v > 0 et en introduisant la viscosité cinématique \nu = \eta/\rho_0, on obtient la condition :

Soit finalement :

D'après la condition établie à la question Q11, l'écoulement induit par l'onde acoustique est assimilable à un écoulement parfait si :

1. Cas de l'air : Avec c_{\text{air}} = 300\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} et \nu_{\text{air}} \sim 10^{-5}\text{ m}^2\cdot\text{s}^{-1} :

L'inégalité s'écrit donc :

2. Cas de l'eau : Avec c_{\text{eau}} = 1500\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} et \nu_{\text{eau}} \sim 10^{-6}\text{ m}^2\cdot\text{s}^{-1} :

L'inégalité s'écrit donc :

Commentaires :

• Les fréquences caractéristiques obtenues appartiennent au domaine de l'hypersonique (f \gtrsim 1\text{ GHz}).
• Le domaine acoustique usuel (sons audibles entre 20\text{ Hz} et 20\text{ kHz}, ainsi que les ultrasons usuels jusqu'à quelques dizaines de mégahertz) vérifie très largement cette condition : f \ll f_{\text{visq}}.
• L'hypothèse de fluide parfait (effets visqueux négligeables) est donc pleinement justifiée pour la quasi-totalité des applications acoustiques et sous-marines.

Dans le cadre de l'acoustique linéaire et en l'absence de pesanteur, l'équation de conservation de la masse et l'équation d'Euler s'écrivent :

En utilisant la relation constitutive \delta p = c(z)^2 \delta\rho, l'élimination de \delta\vec{v} par dérivation temporelle de l'équation de continuité et utilisation de l'équation d'Euler fait intervenir l'opérateur spatial :

ainsi que des termes de couplage issus de la dérivation de grandeurs dépendant de l'altitude z (comme c(z) ou \rho_0(z)).

Pour toute composante dynamique \delta s dépendant de z :

• La dérivée spatiale directe du champ dynamique varie sur l'échelle de l'onde acoustique \lambda :

  \left| \frac{\partial^2 \delta s}{\partial z^2} \right| \sim \frac{\delta s}{\lambda^2}

• Les dérivées spatiales croisées faisant intervenir la variation spatiale des caractéristiques du milieu (telle que c(z), qui varie sur la distance \ell) s'écrivent sous la forme de termes correctifs du type :

  \left| \frac{1}{c}\frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}z} \frac{\partial \delta s}{\partial z} \right| \sim \frac{1}{\ell} \times \frac{\delta s}{\lambda} = \frac{\delta s}{\ell \lambda}

Pour que la composante \delta s satisfasse une équation de d'Alembert locale de la forme :

il est nécessaire que ces termes de gradient d'inhomogénéité soient négligeables devant les termes de dérivée seconde de l'onde :

soit la condition :

L'air est modélisé par un gaz parfait vérifiant l'équation d'état :

Pour une évolution isentropique d'un gaz parfait, la loi de Laplace s'écrit p \rho^{-\gamma} = \text{Cste}. Par dérivation logarithmique à entropie S fixée :

Le coefficient de compressibilité isentropique vaut alors :

En utilisant la relation établie à la question Q6 (c^2 = \frac{1}{\rho \chi_S}) :

Le carré de la célérité est donc bien proportionnel à la température thermodynamique T :

La constante de proportionnalité est \frac{\gamma R}{M}.

Pour accéder à la valeur de \gamma = \frac{C_{p,\text{m}}}{C_{V,\text{m}}}, les éléments à considérer sont :

• la composition chimique et la géométrie des molécules constitutives du gaz (molécules monoatomiques, diatomiques linéaires ou polyatomiques) ;
• les degrés de liberté (translation, rotation, vibration) activés à la température T, selon le théorème de l'équipartition de l'énergie et l'écart entre k_B T et les quanta d'énergie rotationnelle et vibrationnelle.

L'air est constitué à près de 99\,\% de molécules diatomiques homonucléaires (\mathrm{N}_2 à 78\,\% et \mathrm{O}_2 à 21\,\%). Dans le voisinage des conditions normales de température et de pression :

• les 3 degrés de liberté de translation sont activés (\frac{3}{2}R) ;
• les 2 degrés de liberté de rotation selon les axes perpendiculaires à la liaison sont activés (2 \times \frac{1}{2}R = R) ;
• les modes de vibration sont gelés car l'écart énergétique vibrationnel est nettement supérieur à l'énergie thermique (h\nu_{\text{vib}} \gg k_B T).

On a ainsi C_{V,\text{m}} = \frac{5}{2}R. La relation de Mayer pour un gaz parfait, C_{p,\text{m}} - C_{V,\text{m}} = R, conduit à C_{p,\text{m}} = \frac{7}{2}R.

On en déduit la valeur du rapport des capacités thermiques :

Considérons deux plans d'onde successifs du faisceau acoustique :

• le plan d'onde \varphi_1 incident dans le milieu (1), orthogonal à la direction de propagation \vec{k}_1, passant par le point O à un instant t ;
• le plan d'onde \varphi_2 réfracté dans le milieu (2), orthogonal à \vec{k}_2, passant par le point A à l'instant t + \Delta t.

Désignons par H_1 le projeté orthogonal du point O sur le rayon incident passant par A (ou le pied de la perpendiculaire abaissée de O sur ce rayon) : le segment [O H_1] appartient au plan d'onde \varphi_1, donc le triangle (O H_1 A) est rectangle en H_1.

Le vecteur d'onde \vec{k}_1 fait l'angle \theta_1 avec la normale à l'interface (l'axe Oz). Le plan d'onde étant orthogonal à \vec{k}_1, l'angle géométrique entre le plan d'onde \varphi_1 et l'interface (Ox) est égal à \theta_1. Dans le triangle rectangle (O H_1 A), la distance restant à parcourir dans le milieu (1) par le bord droit du faisceau pour atteindre A s'écrit :

La durée nécessaire à l'onde incidente pour parcourir cette distance à la célérité c_1 vaut :

Pendant cette même durée \Delta t, la partie du front d'onde ayant traversé l'interface en O s'est propagée dans le milieu (2) à la célérité c_2 dans la direction définie par \vec{k}_2. Elle a parcouru la distance O H_2 = c_2 \Delta t, où H_2 est le projeté orthogonal du point A sur le rayon réfracté issu de O.

Le plan \varphi_2 étant orthogonal à \vec{k}_2, il fait un angle \theta_2 avec l'interface. Dans le triangle (O H_2 A), rectangle en H_2, l'hypoténuse est le segment commun [OA]. Il vient :

La durée \Delta t s'exprime donc également par :

L'onde restant plane lors de sa traversée de l'interface, la continuité du front d'onde en tout point I de l'interface impose l'égalité des durées :

En simplifiant par OA \neq 0, on obtient la loi de réfraction :

La relation (4) appelle plusieurs commentaires physiques essentiels :

1. Analogie avec les lois de Snell-Descartes en optique géométrique :
   En optique, la loi de la réfraction s'écrit n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2, où l'indice optique n est inversement proportionnel à la célérité de la lumière dans le milieu (n = c_0/v). En acoustique, la relation s'écrit identiquement :

   n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2

   en définissant l'indice acoustique du milieu par n = 1/c (grandeur proportionnelle au temps de trajet par unité de distance).

2. Origine ondulatoire (accord de phase) :
   Puisque la pulsation \omega est conservée à travers l'interface et que k = \omega/c, la relation (4) équivaut à :

   k_{1,x} = k_{2,x}

   Elle traduit la continuité de la composante tangentielle du vecteur d'onde le long de l'interface plane, condition nécessaire pour assurer l'accord de phase entre les ondes incidente et réfractée en tout point de l'interface à chaque instant.

3. Comportement des rayons et phénomène de réflexion totale :

   • Cas c_2 > c_1 (milieu (2) plus rapide) : On a \sin\theta_2 > \sin\theta_1, soit \theta_2 > \theta_1 : le rayon réfracté s'éloigne de la normale. Pour des angles d'incidence supérieurs à l'angle critique :

     \theta_{\text{lim}} = \arcsin\!\left(\frac{c_1}{c_2}\right)

     il n'existe plus d'onde plane propagative dans le milieu (2) (\sin\theta_2 > 1) : toute l'énergie acoustique incidente est réfléchie dans le milieu (1) (phénomène de réflexion totale acoustique, avec formation d'une onde évanescente dans le milieu (2)).

   • Cas c_2 < c_1 (milieu (2) plus lent) : On a \theta_2 < \theta_1 : le rayon se rapproche de la normale à l'interface, et la réfraction a lieu pour tout angle d'incidence \theta_1 \in [0, \pi/2].

Le cadre de l'acoustique géométrique repose sur l'approximation des ondes courtes, pour laquelle les phénomènes d'interférences et de diffraction sont négligeables.

Dans ce modèle, le milieu est modélisé par des strates homogènes d'épaisseur e au sein desquelles le faisceau se propage en ligne droite comme une onde localement plane. Pour que la notion de rayon acoustique soit valide et que les effets de diffraction ou d'interférences d'ondes multiples à travers les couches soient négligeables, l'épaisseur e de chaque couche doit être très grande devant la longueur d'onde acoustique \lambda :

où \lambda = \frac{2\pi c}{\omega} est la longueur d'onde associée au champ dynamique dans le milieu.

D'après la question Q14, dans l'air assimilé à un gaz parfait, la célérité du son vérifie c = \sqrt{\gamma R T / M}. La célérité c est donc une fonction strictement croissante de la température T.

À chaque interface horizontale entre la couche n et la couche n+1, la loi de la réfraction acoustique (question Q15) s'écrit :

où \theta_n est l'angle entre le vecteur d'onde \vec{k}_n et la normale verticale \vec{u}_z.

1. Cas d'un profil de température croissant avec l'altitude (T_{n+1} > T_n) :

• Comme T_{n+1} > T_n, on a c_{n+1} > c_n, d'où :

  \sin\theta_{n+1} > \sin\theta_n \implies \theta_{n+1} > \theta_n

  Le rayon acoustique s'écarte de la normale verticale à chaque traversée d'interface et tend à s'horizontaliser.

• Le nombre de couches n'étant pas limité, il existe une couche critique m pour laquelle le terme (c_{m+1}/c_1)\sin\theta_1 \ge 1. Le rayon subit alors une réflexion totale acoustique à l'interface entre les couches m et m+1.
• Le rayon réfléchi repart vers le bas ; en traversant successivement les couches en sens inverse, il rencontre des milieux de célérités décroissantes (c_n < c_{n+1}), ce qui rapproche son angle d'incidence de la normale. La trajectoire globale est donc une courbe concave vers le sol qui rebrousse chemin : l'onde est rabattue vers le bas.

2. Cas d'un profil de température décroissant avec l'altitude (T_{n+1} < T_n) :

• Comme T_{n+1} < T_n, on a c_{n+1} < c_n, d'où :

  \sin\theta_{n+1} < \sin\theta_n \implies \theta_{n+1} < \theta_n

  Le rayon acoustique se rapproche de la normale verticale Oz à chaque interface.

• Aucune réflexion totale ne peut se produire. Le rayon continue indéfiniment son ascension en devenant de plus en plus vertical (\theta_n \to 0).

Les interfaces entre les couches étant planes et parallèles (plans horizontaux perpendiculaires à l'axe vertical Oz), l'angle d'incidence sur l'interface entre la couche k et la couche k+1 est égal à l'angle de réfraction dans la couche k.

D'après la loi de réfraction établie à la question 15 (relation (4)), on a pour chaque interface :

Par récurrence immédiate sur l'ensemble des dioptres traversés, la quantité \dfrac{\sin\theta_n}{c_n} est un invariant de la propagation :

Pour tout indice n accessible par le rayon (c'est-à-dire tant que \dfrac{c_n}{c_1}\sin\theta_1 \le 1), l'angle \theta_n est déterminé par :

soit, lors de la phase ascendante :

Le cadre de l'acoustique géométrique (ou approximation eikonale) est valide lorsque les propriétés du milieu varient très lentement à l'échelle de la longueur d'onde de l'onde acoustique, comme rappelé dans le préambule de la partie 2 (et à la question Q13) :

• La longueur d'onde locale associée à la pulsation \omega est donnée par :

  \lambda(z) = \frac{2\pi c(z)}{\omega} \quad \left(\text{ou } \frac{\lambda(z)}{2\pi} = \frac{c(z)}{\omega}\right)

• La longueur caractéristique de variation spatiale de la célérité c(z) selon la verticale est définie par :

  \ell(z) \sim \frac{c(z)}{\left|\dfrac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}z}\right|}

La condition \lambda(z) \ll \ell(z) (ou plus précisément \frac{\lambda(z)}{2\pi} \ll \ell(z)) se traduit alors directement par :

ce qui conduit à la condition :

ou, si l'on conserve le facteur 2\pi :

D'après la question Q19, dans un milieu stratifié horizontalement, la loi de Snell-Descartes pour la réfraction acoustique impose la conservation de la quantité \frac{\sin\theta}{c} le long du rayon. En passant à la limite continue et en introduisant l'indice acoustique n(z) = \frac{1}{c(z)}, cette relation s'écrit pour toute altitude Z :

En évaluant cette constante à l'origine du repère (x=0, Z=0) où n(0) = n_0 et \theta = \theta_0, on pose :

d'où :

L'angle \theta(Z) étant repéré par rapport à l'axe vertical (Oz), un déplacement élémentaire \mathrm{d}\vec{r} = \mathrm{d}x\,\vec{u}_x + \mathrm{d}Z\,\vec{u}_z le long du rayon acoustique satisfait :

La pente de la trajectoire cartésienne s'exprime donc par :

En utilisant la relation trigonométrique \frac{1}{\sin^2\theta} = 1 + \frac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta} = 1 + \left(\frac{\mathrm{d}Z}{\mathrm{d}x}\right)^2, il vient :

ce qui correspond bien à l'équation différentielle (5) avec :

D'après la question 14, la célérité du son dans l'air vérifie c^2(z) \propto T_0(z). Avec le profil de température au premier ordre (équation (6)) :

où c_0 = c(0). Comme n(Z) = 1/c(Z) et |\alpha Z| \ll 1, un développement limité au premier ordre donne :

avec n_0 = 1/c_0. D'après la question 21, la constante A s'écrit A = n_0 \sin\theta_0. Le membre de gauche de l'équation différentielle (5) devient :

L'équation (5) s'écrit donc :

En utilisant l'identité trigonométrique \frac{1}{\sin^2\theta_0} - 1 = \frac{\cos^2\theta_0}{\sin^2\theta_0} = \frac{1}{\tan^2\theta_0}, on obtient :

Dérivons cette expression par rapport à la coordonnée x :

Pour \frac{\mathrm{d}Z}{\mathrm{d}x} \neq 0, nous obtenons l'équation différentielle linéaire du second ordre :

Par intégration successive par rapport à x :

Les constantes d'intégration sont fixées par les conditions initiales en x = 0 :

• le rayon acoustique part de l'origine : Z(0) = 0 \implies C_2 = 0 ;
• la pente initiale est donnée par \frac{\mathrm{d}Z}{\mathrm{d}x}(0) = \frac{1}{\tan\theta_0} \implies C_1 = \frac{1}{\tan\theta_0}.

L'équation cartésienne de la trajectoire est donc :

D'après le résultat de la question 22, l'équation cartésienne de la trajectoire du rayon acoustique s'écrit :

Multiplions cette relation par le facteur d'échelle \alpha afin d'introduire la coordonnée adimensionnée W = \alpha Z :

En posant X = \alpha x, l'équation de la trajectoire prend la forme polynomiale souhaitée :

où les constantes s'identifient immédiatement par :

Comme \theta_0 \in ]0, \pi[, on a \sin\theta_0 > 0, ce qui garantit bien que B(\theta_0) < 0.

D'après la question précédente, l'équation adimensionnée de la trajectoire d'un rayon acoustique s'écrit :

Pour tout \theta_0 \in ]0, \pi/2] et \alpha > 0 :

• Nature géométrique : le coefficient dominant vérifie B(\theta_0) \le -\frac{1}{2} < 0. Chaque trajectoire est donc une parabole dont la concavité est constamment tournée vers le bas (\frac{\mathrm{d}^2 W}{\mathrm{d}X^2} = 2B < 0).

• Comportement à l'origine : toutes les trajectoires partent de (X=0, W=0) avec une pente initiale :

  \left.\frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}X}\right|_{X=0} = C(\theta_0) = \frac{1}{\tan\theta_0} \ge 0

  La pente est infinie pour \theta_0 \to 0^+ (tir vertical) et nulle pour \theta_0 = \pi/2 (tir horizontal tangentiel).

• Sommet de la trajectoire : la dérivée s'annule en un point d'abscisse X_S tel que 2B(\theta_0) X_S + C(\theta_0) = 0, soit :

  X_S = -\frac{C(\theta_0)}{2B(\theta_0)} = \sin\theta_0 \cos\theta_0 = \frac{1}{2}\sin(2\theta_0)

  L'altitude maximale atteinte au sommet par le rayon acoustique vaut alors :

  W_S = W(X_S) = -\frac{1}{2\sin^2\theta_0}\left(\sin\theta_0\cos\theta_0\right)^2 + \frac{\cos\theta_0}{\sin\theta_0}\left(\sin\theta_0\cos\theta_0\right) = \frac{1}{2}\cos^2\theta_0

  En ce sommet, la tangente est horizontale (\mathrm{d}W/\mathrm{d}X = 0, ce qui correspond à un angle local \theta = \pi/2). Le rayon subit une réflexion totale et redescend vers les altitudes inférieures.

• Portée au niveau d'émission (W=0) : La parabole recoupe le niveau W=0 en :

  X_P = 2 X_S = \sin(2\theta_0)

  La portée maximale à l'altitude de départ est obtenue pour \theta_0 = \frac{\pi}{4} (45^\circ) et vaut X_{P,\max} = 1 (soit x_{P,\max} = 1/\alpha).

• Cas particulier \theta_0 = \pi/2 : On a C(\pi/2) = 0 et B(\pi/2) = -1/2, d'où W(X) = -\frac{1}{2}X^2. Le rayon émis horizontalement s'incurve immédiatement vers les altitudes négatives sans jamais s'élever.

L'altitude maximale absolue que peut atteindre un rayon émis depuis l'origine est bornée supérieurement par :

D'après le résultat de la question Q23, la trajectoire d'un rayon émis sous l'angle \theta_0 s'écrit :

avec B(\theta_0) = -\dfrac{1}{2\sin^2\theta_0} et C(\theta_0) = \dfrac{1}{\tan\theta_0} = u_0. En utilisant l'identité :

l'équation de la trajectoire devient :

Pour un point M(X, W) fixé avec X > 0, réécrivons cette relation sous la forme d'un polynôme du second degré en l'inconnue u_0 :

Le point M est atteint par un rayon acoustique s'il existe au moins une valeur réelle de u_0 satisfaisant cette équation. Le discriminant associé s'écrit :

Comme X > 0, la condition d'existence d'une solution réelle s'énonce :

À la frontière entre les deux domaines, le discriminant s'annule (\Delta = 0). La racine double est alors :

Elle correspond bien à un angle d'émission admissible \theta_0 = \arctan(X) \in \left]0, \frac{\pi}{2}\right[. L'équation cartésienne de la frontière séparatrice est donc :

Le domaine accessible \mathcal{D}_1 est défini par W \le W_{\mathrm{f}}(X), et le domaine d'ombre \mathcal{D}_0 par W > W_{\mathrm{f}}(X).

D'après l'étude menée à la question précédente, l'appartenance d'un point M(X, W) à l'intérieur du domaine accessible \mathcal{D}_1 (W < W_{\mathrm{f}}(X) avec X > 0) assure que le discriminant de l'équation du second degré en u_0 = 1/\tan\theta_0 est strictement positif :

Il existe donc deux angles d'émission distincts \theta_{0,1} et \theta_{0,2} permettant d'atteindre le point M. Par conséquent, deux rayons acoustiques issus de l'origine se croisent en tout point de \mathcal{D}_1 :

• une trajectoire « basse », tirée plus horizontalement et restant à basse altitude ;
• une trajectoire « haute », montant plus haut dans le gradient de température avant d'être rabattue par réfraction vers le point M.

Un récepteur situé en un point de \mathcal{D}_1 perçoit ainsi cette source de la manière suivante :

• Dédoublement de la source (mirage acoustique) : la direction apparente d'arrivée d'une onde étant donnée par le vecteur d'onde (la tangente au rayon au point d'écoute), l'observateur localise acoustiquement la source dans deux directions différentes ; il perçoit donc deux images acoustiques distinctes de la même source.
• Décalage temporel et interférences : les deux chemins acoustiques ont des longueurs et des temps de trajet différents (\tau_1 \neq \tau_2). Si l'émission est brève, le récepteur perçoit un écho (deux signaux successifs) ; pour une onde harmonique entretenue de pulsation \omega, la superposition des deux ondes engendre des interférences (qui peuvent être constructives ou destructives selon la position d'écoute).

L'équation (7), réécrite avec les variables dimensionnées x et Z, s'écrit :

Cette équation est formellement identique à l'équation de la trajectoire d'un projectile ponctuel de masse m lancé depuis l'origine dans un champ de pesanteur uniforme vertical descendant \vec{g} = -g\,\vec{u}_z, avec une vitesse initiale \vec{v}_0 faisant un angle \theta_0 avec la verticale ascendante :

L'équation (7) suggère ainsi une analogie mécanique directe avec le tir balistique d'un projectile dans le champ de pesanteur :

• la trajectoire du rayon acoustique s'identifie à la trajectoire parabolique du projectile ;

• le gradient de température (caractérisé par \alpha) joue le rôle de l'accélération de la pesanteur adimensionnée, selon l'identification :

  \boxed{ \alpha \longleftrightarrow \frac{g}{v_0^2} }
• l'angle d'émission \theta_0 repéré par rapport à la verticale correspond à la direction du vecteur vitesse initiale \vec{v}_0 ;
• la frontière W_{\mathrm{f}}(X) calculée à la question précédente est l'exact homologue de la parabole de sûreté en balistique, enveloppe des trajectoires accessibles pour une vitesse de tir fixée.

Dans un milieu homogène, la localisation par sonar actif repose sur deux hypothèses simples :

• la propagation rectiligne des rayons sonores permet d'attribuer à la cible la direction d'émission ou de réception de l'écho ;
• la constance de la célérité c permet de relier la distance d de la cible au temps d'aller-retour \tau par la relation d = \frac{c \tau}{2}.

D'après l'étude menée aux questions précédentes (questions 24, 25 et 26), la stratification du milieu perturbe profondément ce principe de localisation :

1. Courbure des rayons et erreur sur la direction angulaire :
   Sous l'effet du gradient de célérité, les rayons acoustiques s'incurvent (trajectoires paraboliques). La direction apparente de l'écho (tangente à la trajectoire au niveau du récepteur) ne coïncide pas avec la direction géométrique directe de la cible, ce qui fausse le relèvement de l'obstacle.
2. Existence de zones d'ombre acoustique (\mathcal{D}_0) :
   Le réseau de trajectoires délimite une zone d'ombre \mathcal{D}_0 (au-delà de la parabole enveloppe déterminée à la question 25) qu'aucun rayon acoustique ne peut pénétrer. Un obstacle situé dans ce domaine est totalement indétectable par le sonar actif.
3. Propagation par trajets multiples (multitrajets) et faux échos :
   Comme établi à la question 26, un point du domaine accessible \mathcal{D}_1 est relié à la source par deux trajectoires distinctes correspondant à deux angles d'émission différents. Un réflecteur renvoie donc plusieurs signaux reçus à des instants différents, ce qui crée des échos fantômes et complique considérablement le comptage et l'identification des cibles.
4. Erreur sur l'estimation de la distance :
   La célérité c(z) variant le long du trajet et la longueur d'arc curviligne de la parabole étant supérieure à la distance géométrique directe, la formule usuelle d = \frac{c_0 \tau}{2} conduit à une erreur systématique sur la distance de la cible.

Dans le repère naturel lié à l'océan, l'axe vertical est dirigé vers le bas selon la profondeur z' = -z.

D'après la figure 4, dans le chenal de surface, la célérité du son c(z') augmente légèrement avec la profondeur z' sous l'effet prépondérant de la pression hydrostatique (la température étant quasi-uniforme dans cette couche de mélange). Sur une épaisseur h \sim 100\text{ à }200\text{ m}, la variation de célérité est d'environ \Delta c \approx 1\text{ à }2\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} autour de c_0 \approx 1515\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}.

En linéarisant le profil sous la forme c(z') \approx c_0(1 + \alpha z'), on estime le coefficient de gradient \alpha :

D'après le résultat établi à la question 24, le sommet de la parabole représentant la trajectoire correspond à une profondeur maximale de pénétration :

où \theta_0 est l'angle d'émission mesuré par rapport à la verticale descendante.

La « portée » maximale théorique en profondeur pour un rayon acoustique est atteinte pour une incidence normale (\theta_0 \to 0) :

Cette valeur théorique z'_{S,\max} \sim 10^5\text{ m} est immensément supérieure à l'épaisseur réelle du chenal de surface (h \sim 100\text{ à }200\text{ m}).

Par conséquent, un rayon n'est réfracté et piégé dans le chenal de surface que si sa profondeur de rebroussement est inférieure à l'épaisseur du chenal :

ce qui ne concerne que les rayons émis de manière extrêmement rasante (faisant un angle avec l'horizontale inférieur à environ \arcsin(0{,}03) \approx 1{,}7^\circ).

Dès lors que l'angle d'émission est suffisamment plongeant (\cos\theta_0 > \sqrt{2\alpha h}), le rayon ne rebrousse pas chemin dans le chenal de surface : il le traverse et se propage en profondeur.

D'après la figure 4, la profondeur z' = 500\text{ m} correspond à un minimum local de la célérité du son :

• pour z' < 500\text{ m} (vers la surface), la célérité c(z') augmente avec l'altitude (z' décroissant) ;
• pour z' > 500\text{ m} (vers le fond), la célérité c(z') augmente avec la profondeur sous l'effet de l'eau plus chaude d'origine méditerranéenne.

D'après la relation de Descartes établie à la question Q19, un rayon acoustique vérifie la loi de conservation :

où \theta est l'angle du rayon avec la verticale. Ainsi :

• un rayon se propageant vers le haut (z' < 500\text{ m}) pénètre dans une zone où c augmente, donc \sin\theta croît jusqu'à atteindre 1 (\theta = \pi/2, rayon horizontal) : le rayon rebrousse chemin vers les profondeurs croissantes ;
• de même, un rayon se propageant vers le bas (z' > 500\text{ m}) pénètre dans une région où c augmente : \sin\theta augmente également jusqu'au rebroussement vers le haut.

Par conséquent, les rayons se courbent systématiquement vers les régions de plus faible célérité (c'est-à-dire de plus fort indice acoustique n = 1/c).

• Pour des angles initiaux suffisamment proches de l'horizontale, les rayons acoustiques sont piégés dans ce « chenal sonore profond » et effectuent une trajectoire ondulante périodique autour du plan z' = 500\text{ m}.
• Pour des rayons émis trop près de la verticale, l'angle critique de réflexion totale n'est pas atteint avant les extrema de célérité : ils s'échappent du chenal vers la surface ou les grandes profondeurs.

D'après les questions précédentes, l'indice acoustique est défini par n(z') = \frac{1}{c(z')}. Au niveau du chenal sonore profond (z' = 500\text{ m}), la célérité c(z') présente un minimum local, ce qui correspond à un maximum local d'indice acoustique n(z'). Les rayons sonores sont continûment réfractés vers les zones de plus fort indice et s'y retrouvent piégés en oscillant de part et d'autre de ce plan.

En optique, l'analogue direct d'un tel milieu à symétrie plane ou cylindrique présentant un indice de réfraction maximal sur un axe et décroissant lorsqu'on s'en éloigne est :

À l'échelle géophysique, ce phénomène correspond également aux conduits de guidage atmosphérique responsables de certains mirages optiques (effet de mirage supérieur ou canalisation de la lumière dans des couches d'inversion thermique).

Se placer à la profondeur z' = 500\text{ m}, au cœur du chenal sonore profond (chenal SOFAR), procure au sous-marin un double avantage tactique majeur :

1. Écoute passive et détection à très longue portée : Le chenal sonore agit comme un guide d'ondes acoustique naturel (établi à la question Q30). L'énergie sonore des cibles bruyantes situées dans ce canal y reste confinée ; la divergence géométrique de l'onde devient bidimensionnelle (cylindrique, avec une décroissance de l'intensité en 1/r) au lieu de tridimensionnelle (sphérique, en 1/r^2). L'atténuation géométrique étant considérablement réduite, le sous-marin peut :

   • écouter et détecter des sources sonores distantes de plusieurs centaines, voire milliers de kilomètres ;
   • transmettre des signaux acoustiques de communication à très grande distance.
2. Furtivité acoustique vis-à-vis des bâtiments de surface : La majeure partie des rayons sonores émis par le sous-marin (bruit de propulsion, d'écoulement, bruits de bord) sous des angles d'incidence modérés est courbée et piégée autour de z' = 500\text{ m} sans jamais atteindre la surface. Le sous-marin est ainsi dissimulé aux sonars de coque des navires de surface et aux bouées acoustiques superficielles larguées par l'aviation de lutte anti-sous-marine.