Diffusion thermique : 654 questions de concours corrigées

Rappeler la loi de Fourier qui donne l'expression du vecteur densité de courant thermique j_Q en fonction du champ de température T(r, t) et de la conductivité thermique κ.

Donner la définition et l'expression de la résistance thermique R_th d'un conducteur thermique de conductivité λ, de section s et de longueur l traversé par un flux thermique uniforme…

Donner la définition et l'expression de la résistance thermique R_th d'un conducteur thermique de conductivité λ, de section s et de longueur l traversé par un flux thermique uniforme…

Rappeler les trois types de transferts thermiques. Décrire succinctement chacun d'eux.

On suppose les phases de compression puis de détente lentes. Quelle(s) conséquence(s) cela-a-t-il sur la nature des évolutions du gaz ? Une réponse argumentée est attendue.

On considère que la particule en lévitation est en diamant, de capacité calorifique massique cₘ = 500 J⁻¹⁻¹. Un laser de puissance P₀ = 1 mW est utilisé pour mesurer la position de la particule…

Dans l'hypothèse de réponse linéaire (concept à préciser), rappeler la loi à laquelle obéit le vecteur densité de courant thermique j_Q. On notera la conductivité thermique λ.

Après avoir rappelé la définition de la résistance thermique d'un matériau, en déduire l'expression mathématique de la résistance thermique R_th du barreau métallique.

Indiquer quels sont les différents modes de transfert thermique possibles. Préciser, avec justification, celui qui est mis en jeu lors du chauffage de la cathode par le filament.

Rappeler la loi locale de Fourier reliant le vecteur densité volumique de courant thermique j_th au gradient de température grad(T). En précisant les analogies avec le résultat précédent, donner…

Rappeler la loi de Fourier exprimant le vecteur densité de courant thermique en fonction de la température T. Justifier la présence du signe "-" apparaissant dans cette loi.

On se place en régime stationnaire. Définir la résistance thermique R_th de la couche isolante, puis déterminer son expression littérale en fonction de S, d et de λ.

Comment appelle-t-on le coefficient λ_v/(ρ_v c_v) ? En quelle unité s'exprime-t-il ?

Énoncer la loi de Fourier dans un cas unidimensionnel en coordonnées cartésiennes et préciser, sur le schéma de la figure 9 à reproduire sur votre copie, le sens réel du vecteur densité de flux…

Rappeler l'expression de la loi de Fourier.

Rappeler la définition du vecteur j_Q, densité de flux thermique. Quelle est sa dimension ? Rappeler la loi de Fourier, ainsi que ses conditions d'application. En déduire la dimension de la…

Écrire la loi de Fourier en donnant le nom et l'unité de toutes les grandeurs figurant dans cette loi.

À quelles grandeurs thermodynamiques correspondent les grandeurs électriques : I₁, I₂, I₃, R₁, V₁, V₂ et V₃. Préciser l'expression de R₂ en fonction de grandeurs définies dans la présentation de ce…

Citer la loi de Fourier en nommant les différentes grandeurs physiques qui interviennent et en précisant les unités. Quel est son contenu physique ?

Rappeler la loi de Fourier en donnant les noms des grandeurs y figurant. Quelle est leur signification physique ?

Définir la résistance thermique de la barre et l'exprimer en fonction des caractéristiques de celle-ci.

Déterminer l'expression de la constante D en fonction de la masse volumique µ, du coefficient de conductivité thermique λ et de la capacité thermique massique c du matériau considéré. On pourra…

Énoncer la loi de Fourier relative au vecteur densité de flux thermique _Q qui caractérise le phénomène de conduction thermique le long de l'axe de l'ailette.

Rappeler la loi de la conduction thermique de Fourier.

Rappeler la loi de Fourier à une dimension. Préciser les unités des grandeurs physiques qu'elle met en relation.

Citer les trois modes de transfert thermique et donner leurs spécificités.

Justifier que j_th = -λ dT/d_ρ. Justifier physiquement le signe moins.

Les transferts thermiques entre la face extérieure du plumage du manchot à la température T_p et l'air extérieur à la température Tₑ sont modélisés par une densité de courant thermique…

Énoncer la loi de Fourier.

Après avoir effectué une analogie précise avec l'électrocinétique, montrer que l'expression obtenue à la question précédente permet de définir une résistance thermique R_th et l'exprimer en fonction…

Rappeler la loi de Fourier pour un matériau de conductivité thermique λ_i.

Établir l'équation différentielle vérifiée par T(x,t) dans laquelle on fera apparaître le coefficient de diffusion thermique D que l'on exprimera en fonction des paramètres du problème.

À un instant t donné, quelle est, en ordre de grandeur, la longueur caractéristique de variation de la température avec r ?

En utilisant la loi de Fourier, donner l'expression du vecteur densité de flux thermique noté j_th à l'intérieur de la glace.

Soit j_Q le vecteur densité de courant thermique. En considérant le volume d'air infinitésimal de dimensions (dx, dy, dz) centré sur le point (x, y, z), faire un schéma et montrer que le transfert…

Déduire de ce qui précède l'équation de la diffusion thermique. Donner l'expression du coefficient de diffusion D en fonction de ρ₀, κ et c_P.

Montrer que le flux thermique reçu par la goutte s'écrit φ_th,d = (T_∞ - T_g)/R_th,d. On exprimera R_th,d en fonction de la conductivité thermique λ_air de l'atmosphère et du rayon r_g de la goutte…

À l'aide d'un bilan thermique appliqué à la tranche de mur située entre x et x + dx entre les instants t et t + dt, établir l'équation vérifiée par le champ de température T(x, t) dans le mur.

Exprimer le temps caractéristique imposé par l'équation de la diffusion thermique. Le régime stationnaire est-il atteint dans le cas de la canicule étudiée ?

Déterminer le profil de température T(x) dans le mur en régime stationnaire et tracer l'allure de T en fonction de x. En déduire la puissance thermique Φ_th0 qui traverse le mur, puis définir et…

Montrer que la température T(x,t) dans le filament est solution, en régime quelconque, de l'équation de la diffusion thermique : µ c S (∂ T)/(∂ t) = λ S (∂² T)/(∂ x²) + p_J,lin où p_J,lin est la…

En négligeant les variations de la résistivité électrique du filament avec la température, montrer que la puissance thermique linéique p_J,lin générée par effet Joule le long du filament de platine…

En effectuant un bilan énergétique en régime stationnaire, prouver que le champ de température vérifie (d² T)/dx²(x) - m² T(x) = -m² Tₐ Exprimer m en fonction de h, λ et e, en considérant m > 0.

Sous l'hypothèse 1, déterminer le champ de température T(x). Exprimer ensuite T(x) = (T(x) - Tₐ)/(T₁ - Tₐ) en fonction de m et x, puis tracer T(x).

Déterminer T(x).

Compléter les instructions 5 qui définissent une fonction appelée dichotomie comprenant les arguments f, b, c et p et qui permet de déterminer la solution de l'équation f(x) = 0 avec une précision p.

On se place d'abord en régime variable et on prend comme système la coquille sphérique d'épaisseur dr, comprise entre les rayons r et r+dr. Pendant la durée élémentaire dt, la température de ce…

On se place d'abord en régime variable et on prend comme système la coquille sphérique d'épaisseur dr, comprise entre les rayons r et r+dr. Pendant la durée élémentaire dt, la température de ce…

On suppose que la température de la particule est homogène. Écrire l'équation différentielle régissant son évolution temporelle T(t). On posera P_abs,0 = P₀/10 et K = hS.

En déduire alors que le potentiel vérifie une équation de diffusion, faisant intervenir un coefficient de diffusion, noté D, dont on déterminera l'expression et la dimension.

Établir l'équation gouvernant l'évolution spatio-temporelle du champ de température T(x,t) dans le barreau métallique.

En raisonnant sur un élément de volume que l'on décrira précisément, établir l'équation de la diffusion dans le matériau supraconducteur en régime stationnaire.

En effectuant un bilan thermique à la plaque, établir l’équation différentielle vérifiée par T_plaque(t). Définir le temps caractéristique d’évolution de la température de la plaque en fonction de…

En effectuant, en régime stationnaire, un bilan thermique entre les instants t et t+dt pour la portion de jambe comprise entre les abscisses x et x+dx, établir l’équation différentielle vérifiée par…

On suppose qu'il n'y a pas de source de chaleur interne. Établir pour l'étude de cette paroi, l'équation de la diffusion thermique en coordonnées cartésiennes.

On note T(t) la température de la pièce supposée uniforme à un instant t et C la capacité thermique de la pièce. Cette capacité englobe celle du mobilier, celle de l'air contenu dans la pièce et…

Établir, dans le cas unidimensionnel étudié, l'équation de la diffusion thermique (ou équation de la chaleur) liant les dérivées spatiale et temporelle de la température T(x, t).

Déterminer l'expression de δ en fonction de λ, ρ, c et de ω, puis préciser sa dimension.

Justifier en quelques mots le fait que la température T est uniforme dans tout le fluide.

Définir la notion de résistance thermique. Exprimer, en fonction des variables du problème, la résistance thermique de conduction des parois verticales du spa notée R_p (on se placera en symétrie…

Montrer que l'écart de température est de la forme T_int(t) - Tₑₓₜ = (T_int(0) - Tₑₓₜ)e⁻t/τ et calculer le temps caractéristique τ dont on commentera la valeur.

Définir la notion de résistance thermique. Exprimer, en fonction des variables du problème, la résistance thermique de conduction des parois verticales du spa notée R_p (on se placera en symétrie…

Montrer que l'écart de température est de la forme T_int(t) - Tₑₓₜ = (T_int(0) - Tₑₓₜ)e⁻t/τ et calculer le temps caractéristique τ dont on commentera la valeur.

Donner, en les justifiant, les unités (ou les dimensions) de k et λ. Établir, dans le cas unidimensionnel, l'équation de diffusion thermique rappelée ci-dessus.

Déterminer l'équation d'évolution de la température T(t) de la boule solide ; on posera τ = (ρ R c)/3k.

Montrer que l'équation de la diffusion thermique vérifiée par la température dans le combustible s'écrit : d/dr(rdT/dr) + Ar = 0. Exprimer A en fonction de P_V et λ₂.

Exprimer la température T(r) dans UO_2(s) en fonction de P_V, T₂, R₃, λ₂ et r.

Exprimer la température T(r) en un point de la gaine en fonction de T₄, P₁, R₄, λ₃, Sₜₒₜ et r.

En réalisant un bilan thermodynamique pendant dt pour l'eau liquide entre les cotes z et z + dz (avec dz ≪ z), en écoulement stationnaire dans l'espace annulaire, justifier que : Dₘ c₅ [T(z + dz) -…

Déterminer l'évolution de la température T(x) selon l'axe (Ox) dans la paroi de verre 1. On suppose que T(0) = T_e,i et T(e_v) = Tₐ.

En raisonnant sur une analogie électrique, exprimer la résistance thermique de conduction R_cond d'une plaque d'aire S, d'épaisseur e constituée d'un matériau de conductivité thermique λ.

Après avoir rappelé la relation entre le flux thermique et le vecteur densité de flux thermique, montrer que la résistance thermique R_th associée à la surface latérale de la bouteille d'épaisseur e…

À partir d'une analogie entre grandeurs électriques et grandeurs thermiques, définir la résistance thermique et montrer que son expression est donnée par : R_th = ℓ/(λ_th S)

Montrer que dans ces conditions l'équation vérifiée par le champ de température T(z, t) au sein du matériau peut s'écrire sous la forme : ρ c_p (∂ T(z, t))/(∂ t) - k (∂² T(z, t))/(∂ z²) = P_J(z) où…

Rappeler l'équation de la diffusion thermique en régime dépendant du temps dans le cas d'un modèle unidimensionnel dans les matériaux de la figure 8. Définir les conditions aux limites à l'interface…

Quelle est l'énergie thermique δ Q reçue par cette tranche entre t et t +dt ? Pourquoi étudie-t-on une tranche « mésoscopique » ? Établir l'expression de sa variation d'énergie interne dU en…

Rappeler la définition du vecteur j_Q, densité de flux thermique. Quelle est sa dimension ? Rappeler la loi de Fourier, ainsi que ses conditions d'application. En déduire la dimension de la…

Quelle est l'énergie thermique δ Q reçue par cette tranche entre t et t+dt ? Pourquoi étudie-t-on une tranche « mésoscopique » ? Établir l'expression de sa variation d'énergie interne dU en fonction…

Établir l'équation de la chaleur. Donner l'expression du coefficient de diffusion thermique et son unité. On notera les grandeurs avec l'indice i = 1,2,3,4 correspondant aux différents milieux…

En déduire l'équation de la chaleur : (∂ T)/(∂ t) = D (∂² T)/(∂ x²). Comment nomme-t-on la grandeur D ? En quelle unité s'exprime-t-elle ? Exprimer D en fonction de λ, ρ et c.

Réécrire dans ce cas, l'équation de diffusion thermique et en déduire l'évolution de la température T(x) dans le solide.

Relier la différence de température T_i - Tₑ au flux thermique Φ par analogie avec la loi d'Ohm. Faire apparaitre la résistance thermique du parallélépipède R_th et l'exprimer en fonction des…

Établir alors l'équation vérifiée par B(M, t) dans le conducteur. Qu'est-ce qui permet de dire qu'elle traduit un phénomène irréversible ? Citer un phénomène décrit par une équation analogue dans un…

En considérant un modèle unidimensionnel d'axe (Ox), de propriétés uniformes, établir le profil de température au sein de la paroi qui sépare l'intérieur du congélateur du milieu extérieur. On se…

Estimer littéralement le temps caractéristique du phénomène de diffusion dans le pigment une fois l'impulsion laser terminée. On l'exprimera en fonction d'une longueur caractéristique, de ρ_p, c_p…

On assimile le régime à un régime stationnaire. En appliquant le premier principe à un système infinitésimal de glace, écrire l'équation différentielle à laquelle obéit le vecteur densité de courant…

En réalisant un bilan d'énergie interne sur une tranche d'argile de surface S d'épaisseur dz, montrer que T(z, t) est solution de l'équation de la diffusion thermique (5) où le coefficient de…

Donner une estimation de la durée caractéristique τ de diffusion thermique. Faire l'application numérique.

En déduire la résistance R associée à la diffusion thermique pour une longueur l de tuyau. Faire l'application numérique pour 1 m de tuyau avec les valeurs Rₘₐₓ = 40 cm ; R_min = 30 cm ; λ = 1…

Rappeler la loi de Fourier de la conduction thermique. Définir les grandeurs intervenant dans cette loi. On dit souvent qu'il s'agit d'une loi phénoménologique. Que cela signifie-t-il ? La…

En effectuant un bilan énergétique sur un élément de volume de fil compris entre les abscisses x et x+dx, établir l'équation aux dérivées partielles vérifiée par la température T_w(x,t).

Rappeler la définition d'une résistance thermique ainsi que son unité. Quelle est la conséquence d'un contact sans résistance thermique ? Déterminer la solution générale de l'équation différentielle…

Montrer que, pendant la phase de chauffe, la température Tₑ(t) vérifie une équation différentielle qui peut se mettre sous la forme (d(Tₑ - T_f))/dt - (Tₑ - T_f)/τ₁ = (R_f I²)/C (5) où l'on…

En réalisant un bilan de puissance thermique sur une tranche de longueur dx de l'ailette, montrer que la température suit l'équation différentielle d²T/dx² - 1/δ² T = -1/δ² Tₐ avec δ = √((λ a)/2h)…

En déduire l'expression de Φ(r) en fonction de h, r et (dT(r))/dr. On pourra utiliser le formulaire fourni en fin d'énoncé.

On note λ_f la conductivité thermique du fil. Exprimer le transfert thermique δ Q_cond algébriquement reçu par conduction par Σ(x) pendant la durée élémentaire dt.

On admet que K₁ > 0 et on pose ℓ_r = 1/√(K₁). En considérant que les températures aux deux extrémités du fil sont égales à T₀, montrer que : θ_f(x) = θ₀ (1 - (ch(x/ℓ_r))/(ch(ℓ/2ℓ_r))) où θ₀ sera…

Traduire le premier principe pour le système élémentaire, de section S, situé entre z et z + dz en supposant que le sol est caractérisé par une capacité thermique massique c, une masse volumique µ…

En tenant compte de la puissance volumique p due au phénomène d'induction, d'étailler les étapes permettant d'établir l'équation satisfaite par le champ des températures : (∂ T)/(∂ t) = p/(ρ c) +…

Dans l'hypothèse où T₀(t) varie lentement (régime quasi-stationnaire), justifier que la température T(x) dans la glace (pour x variant de 0 à ℓ) peut s'écrire sous la forme : T(x) = a x + b où les…

À l'aide d'un bilan microscopique sur une tranche dx du morceau de bois, établir l'équation différentielle reliant le flux thermique conductif j(x,t) dans le bois et la température T(x,t).

En déduire que la température dans le bois vérifie l'équation différentielle : T(x,t) + τ (∂ T(x,t))/(∂ t) - ℓ² (∂² T(x,t))/(∂ x²) = T₀ Donner l'expression des constantes positives τ et ℓ. Calculer…

Pour t ≫ τ, un régime stationnaire est atteint par lequel T(x,t) → Tst(x). On pose Δ T(x) = Tst(x) - T₀. Donner l'équation différentielle vérifiée par Δ T ainsi que les conditions aux limites qui…

Donner un ordre de grandeur de l'épaisseur de cette zone.

Après avoir expliqué pourquoi il est légitime de supposer que l'eau n'absorbe pas l'impulsion lumineuse produite par le laser, établir l'équation de la diffusion thermique dans l'eau (r > a) à…

Effectuer un bilan énergétique entre t et t + dt pour un système bien choisi et établir l'équation aux dérivées partielles vérifiée par la température T(r, t) dans le milieu : C_g (∂ T)/(∂ t)(r, t)…

Établir l'expression de la température T(r) dans le milieu en fonction de a, r, T₀ et T_s.

Effectuer un bilan d'enthalpie sur un élément de longueur dx de poutre de bois de section S compris entre x et x+dx, dans la zone de combustion. En supposant la loi de Fourier applicable, en déduire…

Quelles conditions permettent d'obtenir les constantes a₂, b₂ et b₃ ? On ne cherchera pas à les expliciter littéralement.

Effectuer en régime stationnaire un bilan thermique, entre les instants t et t+dt, pour la portion du milieu comprise entre les cylindres d'axe (O,u_z), de longueur ℓ, de rayons ρ et ρ+dρ (R₁ < ρ <…

À l'aide d'un bilan d'énergie portant sur le cylindre infinitésimal de tartre de rayon interne r et de rayon externe r + dr tel que r₀ < r < r₀ + e (figure 8), montrer que la composante radiale du…

Définir la résistance thermique Rₜ du cylindre de tartre et en déduire son expression en fonction de T₁, T_p, λ, A et L.

À l'aide d'un bilan d'énergie effectué sur un système à préciser, déterminer la température T(x) qui règne dans la plaque en fonction des données ci-dessus.

Quand on effectue un bilan énergétique pour le matériau compris entre les cylindres de rayons r et r+dr, on obtient l'équation différentielle vérifiée par le flux thermique : (d(r · j_d(r)))/dr = 0…

A partir de la définition de la résistance thermique R_i, restituer le raisonnement permettant d'en retrouver l'expression fournie (R_i = e/(4π λ_i b²)), en calculant littéralement les grandeurs…

En précisant les différentes hypothèses de votre calcul, exprimer j_q en fonction de v, τ, n, dT/dx et de la chaleur spécifique d'un électron C_V = dE/dT. En retrouvant la loi de Fourier dans cette…

Justifier que la température est une fonction de r uniquement. Que peut-on en déduire sur la densité de courant thermique ?

Exprimer les conductivités dans les deux situations limites en fonction de ε, λ_s et λ_g. Valider les expressions obtenues en considérant des cas limites.

Dans l'épaisseur des tuyaux des réseaux, on suppose que la température ne dépend que de la variable r des coordonnées cylindriques (figure 7). a) On peut établir que la résistance thermique…

À l'aide d'un bilan thermique local à une dimension sur un parallélépipède de surface S et d'épaisseur dx, établir une relation différentielle entre la température et la norme du vecteur densité de…

En appliquant un bilan d'énergie sur l'anneau en entier, établir alors l'équation différentielle sur T(t) sous la forme suivante : dT/dt + (T - T₀)/τ = A où l'on exprimera les grandeurs τ et A en…

Montrer que : Gₑ = 2π λₑ b

Établir, à partir d'un modèle de diffusion en géométrie unidimensionnelle cartésienne, l'expression de la résistance thermique qui modélise l'épiderme. En déduire l'expression de la résistance…

Établir l'équation différentielle vérifiée par la température du fluide θ(x) en régime permanent. On fera apparaître les termes Dₘ, R_th-eq, c_dio, L et θₑ, la température à l'extérieur de la…

À l'aide du premier principe de la thermodynamique, montrer que la température T(t) du système vin + bouteille vérifie une équation différentielle de la forme : dT/dt + T/τ = K. Préciser également…

En régime stationnaire, montrer que, en négligeant la diffusion thermique interne à l'eau, le champ de température T(x) dans l'eau vérifie : dT/dx + T/ξ = Tₑ/ξ (II.1) avec ξ = Qₘ c r où c est la…

À partir d'un bilan d'énergie sur un système judicieusement choisi, montrer que le champ de température vérifie l'équation aux dérivées partielles suivante : µ c (∂ T(x, t))/(∂ t) = λ (∂² T(x…

En appliquant le premier principe de la thermodynamique, montrer que (∂ T)/(∂ t) = -1/(ρ c) (∂ j)/(∂ x).

En effectuant un bilan d'énergie sur un cylindre élémentaire d'axe de révolution (Ox) compris entre x et x + dx, montrer que l'équation différentielle satisfaite par T(x, t) s'écrit ρ_p c_p (∂ T)/(∂…

Déterminer les expressions approchées de dV ainsi défini et de la surface élémentaire dS_lat de son contact avec l'air. On rappelle que a ≪ R. En déduire que T(θ,t) vérifie l'équation λ/R² (∂² T)/(∂…

En utilisant l'hypothèse de régime stationnaire, montrer que : (d² θ_f)/dx² - K₁ θ_f = K₂ avec θ_f(x) = T_f(x) - T₀, et K₁ et K₂ deux constantes à exprimer en fonction de ℓ, d, h, λ_f, γ, R₀ et I.

En admettant que le profil identifié représente réellement le champ de température à l'intérieur du crayon, relier la constante K aux grandeurs physiques pertinentes dont les valeurs numériques sont…

Établir l'équation différentielle vérifié par T(r, t), la température du matériau en fonction du temps. On pourra introduire la diffusivité thermique du matériau définie par α = λ/(ρ c_p).

Établir l'équation différentielle vérifiée par T(x) en faisant apparaître une longueur caractéristique L qui s'exprime en fonction de λ, e et h. Calculer puis comparer les valeurs de L et a.

Faire deux bilans enthalpiques locaux puis montrer que (d(T_C-T_F))/((T_C-T_F))=(-h· L)/c_EAU(1/D_C-1/D_F)dx (1) on posera α=(h· L)/c_EAU(1/D_C-1/D_F).

Pour obtenir l'équation régissant l'onde sonore, nous avions fait l'hypothèse d'une transformation locale isentropique. Que vaut le coefficient de conductivité thermique κ dans ce cas ?

L'évaporation est-elle une transformation exothermique ou endothermique ? La température de la goutte est-elle plus grande ou plus petite que T_∞ ?

En négligeant les variations de la résistivité électrique du filament avec la température, exprimer la puissance thermique linéique p_J,lin générée par effet Joule le long du filament de platine en…

Déterminer alors l'équation différentielle vérifiée par l'échauffement θ_hc(x) en régime permanent.

Représenter graphiquement le profil de l'échauffement θ_hc(x) pour x [-L, L].

Sachant que le filament évacue de l'énergie vers l'échantillon, déterminer les signes de Φ, de jₓ(0⁻) et de jₓ(0⁺).

Exprimer d'autre part la résistance conducto-convective R_cc modélisant l'échange entre la paroi extérieure de la combinaison et l'eau, puis la calculer.

Déterminer précisément la puissance fournie par le système à l'air au travers des échanges conducto-convectifs en fonction de h, Tₐ, T(x, t) et de paramètres géométriques.

Quelle condition limite le champ de température vérifie t-il en x = 0 ?

On pose Φ_u le flux thermique qui serait évacué par l'ailette si sa température était en tout point égale à la température de la base T₁. Sans calcul, déterminer lequel de Φ ou de Φ_u est le plus…

On définit le rendement thermique de l'ailette par η = Φ/Φ_u. Pourquoi peut-on assimiler cette grandeur à un rendement ?

Compléter l'instruction 4 qui définit la fonction f considérée.

Justifier que le vecteur densité de courant thermique j est radial. On pose j = j(M,t)u_r. Préciser les invariances.

Justifier que le vecteur densité de courant thermique j est radial. On pose j = j(M,t)u_r. Préciser les invariances.

Quelle est l'unité de α dans le Système International (S.I.) ? De quel type d'équation s'agit-il ? Préciser un autre domaine de la physique dans lequel on rencontre cette catégorie d'équations.

Exprimer alors littéralement le flux thermique en utilisant les données fournies.

Quels peuvent être les autres effets à surveiller de la circulation de l'oxygène liquide dans la conduite ?

Déterminer l'expression du profil de température T(x) dans le barreau, en régime permanent.

Établir l'expression de la température dans la paroi en fonction de x, κ, j₀, e et T_s.

Établir l’expression littérale de T_plaque(t) et tracer son allure.

Rappeler la loi de Fourier. Préciser les notations et les unités des grandeurs physiques qui interviennent.

Déterminer en régime stationnaire le profil de température T(x) de cette paroi en fonction de e₀, T₁ et de T₂.

On repère les différentes interfaces par leurs abscisses x. L'interface air extérieur – verre se situe en x = 0. On suppose Tₑₓₜ < T_int. Précisez sans justification parmi les profils de température…

Donner la valeur numérique de R₁, résistance thermique de la pièce d'habitation.

Calculer les valeurs de T₀ et T₁ en °C, et de ω en rad⁻¹.

Les coefficients de diffusion thermique de l'air et de l'eau ont pour valeurs respectives D_air ∼ 20 × 10⁻⁶ m²⁻¹ et D_eau ∼ 0,15 × 10⁻⁶ m²⁻¹ (autour de p₀ = 10⁵ Pa et T₀ = 300 K). Traduire…

En pratique, ce mécanisme ne permet pas de diminuer indéfiniment la vitesse des neutrons, car les noyaux ne sont pas immobiles, mais ont un petit mouvement dû à l'agitation thermique. Pour le…

La toile de sol et la couverture étant installées, quelle puissance faudrait-il fournir pour maintenir constante la température de l'eau du spa ?

La toile de sol et la couverture étant installées, quelle puissance faudrait-il fournir pour maintenir constante la température de l'eau du spa ?

Rappeler l'expression de la diffusivité thermique D_th d'un matériau. À quelle condition, portant sur la durée Δ t du refroidissement, l'hypothèse consistant à considérer la température du matériau…

Exprimer en fonction des données la capacité thermique C_th de la boule solide, ainsi que la résistance thermique d'isolement R_th associée aux échanges pariétaux convecto-conductifs à sa surface.

Exprimer la puissance totale P_s(r) évacuée par une hauteur H de la partie du fil située au plus à la distance r de l'axe avec 0 r < R, cf. figure 3.

Exprimer la surface latérale totale, notée Sₜₒₜ, de l'ensemble des N crayons combustibles entourés de la gaine en fonction de N, d et H.

Exprimer la température T_c(r = 0, z) sur l'axe de la barre de combustible à l'altitude z en fonction de Tₑ, T_s, Dₘ, z, H, c₅, h_cc, λ₂ et R₄.

Citer deux autres phénomènes de la physique dont l'évolution est modélisée par une équation de ce type.

Exprimer le flux thermique Φ_th(r) traversant par conduction, dans le sens radial croissant, la sphère de centre O et de rayon r [R₁, R₂] en fonction de λ, r et dT/dr(r).

Donner une représentation graphique de T(x).

Par quel phénomène physique l'énergie thermique transmise au fond de la casserole par effet Joule est-elle transmise au contenu de la casserole ?

Citer un intérêt d'une plaque à induction par rapport à une plaque de cuisson électrique fonctionnant à l'aide d'une résistance électrique.

En vous basant sur une analogie électrique, donner les correspondances entre les trois grandeurs thermiques suivantes température T, résistance thermique R_th, flux thermique φ et les grandeurs…

En déduire l'expression littérale de la résistance thermique en fonction de T_i, T_S et du flux thermique.

Déterminer l'unité de h.

On émet l'hypothèse d'un fort confinement de la source inductive. Dans ces conditions, montrer que la puissance volumique devient une puissance surfacique dont on définit la valeur en intégrant le…

Comment explique-t-on de nos jours le résultat erroné obtenu par Lord KELVIN ?

Comment explique-t-on de nos jours le résultat erroné obtenu par Lord KELVIN ?

Quelle est l'énergie δ Q libérée par la solidification à la température T_f d'une tranche dy_s de lave de surface S en fonction de la masse volumique ρ de la lave en fusion et l'enthalpie de fusion…

Quel algorithme peut on utiliser pour obtenir la constante λ numériquement ? Expliquer en quelques mots son fonctionnement.

Rappeler la loi de Fourier en indiquant les noms et les unités des grandeurs introduites.

Qu'est-ce qui pourrait provoquer l'augmentation du rayon de la spire ?

En déduire l'expression de T(x) en fonction de x. On notera T₀ la température en x = 0.

Déterminer, compte tenu de l'évolution de la température observée (figure 4), si le calorimètre est parfaitement calorifugé.

Préciser la signification physique de la grandeur H.

La loi de Fourier relie la densité de flux thermique j et le gradient de température. En notant λ la conductivité thermique du matériau, cette loi s'écrit j = -λ grad T. Que traduit la présence du…

Écrire la relation de Fourier dans le cadre de notre étude unidimensionnelle selon l'axe (Ox).

Indiquer le mécanisme majeur de transfert thermique qui a lieu entre la zone froide du congélateur et le laboratoire.

Exprimer Δ x en fonction de N et de l'épaisseur du mur D. En déduire l'abscisse x_i du i-ème point en fonction de i et Δ x, sachant que x₀ = 0 et x_N-1 = D.

À l'aide d'un développement limité de la fonction x T(x), donner une expression de T(x + Δ x) à l'ordre 3 (o(Δ x³)) en fonction de T et de ses dérivées partielles par rapport à x évaluées en (x). De…

Vérifier que, dans notre modélisation, le vecteur densité de courant thermique est à flux conservatif.

Déterminer l'unité du coefficient h.

En l'absence de toute ventilation, le flux thermique lié aux pertes à travers l'ensemble des parois (fenêtres, toit, murs) séparant l'habitation de l'extérieur est P_th,p = 5,0 kW en régime…

On envisage d'attendre 30 ans avant d'enfouir les déchets, pendant lesquels ils sont entretenus en surface. Pourquoi ?

Donner l'expression du pas de discrétisation temporelle h en fonction de Δ t et Nₜ.

Que valent les deux résistances associées à la conducto-convection ?

Application numérique : déterminer l'ordre de grandeur de G_lin.

En déduire la loi de température T(x) ?

Dans la loi de Newton (1), la grandeur h dépend de la vitesse V de l'écoulement. Quelle est son unité ? Expliquer qualitativement comment varie h en fonction de V = |V|. Expliquer alors comment…

Commenter les courbes de la figure 2. Quelle approximation peut-on faire quant à la température T_w dans le cas d'un fil long (on précisera ce que « long » signifie ici) ?

Calculer la résistance R_w,∞ d'un fil supposé long en fonction de sa résistance R_f à la température T_f, de α et des températures T_w et T_f.

Rappeler la loi de Fourier pour la diffusion thermique. En déduire l'expression du vecteur densité de courant thermique j_th puis dessiner l'allure des lignes de champ le long de l'anneau, en…

Une turbine est toujours associée à une fibre optique à l'extrémité ainsi qu'à des jets d'eau. Quel est l'intérêt de ces dispositifs additionnels pour le patient ou pour le dentiste ?

La résistance élémentaire de Σ(x) est dR = R₀/ℓ (1 + γ (T_f(x) - T₀)) dx. Le fil étant traversé par un courant I, exprimer le travail électrique δ Wₑ reçu pendant dt par Σ(x).

Pourquoi peut-on s'intéresser à une variation harmonique ? Que représentent T₀ et θ₀ ?

Calculer le rapport ℓ₀ = λ / h en précisant son unité.

Montrer, à l'aide d'un argument simple, que la température T en un point du milieu ne dépend spatialement que de r, distance séparant le centre de la nanosphère du point considéré.

Donner l'expression de l'élévation moyenne δ T_s de la température de la surface de la sphère et calculer sa valeur.

Interpréter physiquement la constante r_th et citer un autre domaine de la physique où l'on rencontre une situation similaire.

De même, écrire l'équation régissant l'évolution de la température T(x,t) dans la zone non altérée.

Donner une interprétation de la quantité c.

Estimer la durée de combustion complète d'un mètre de poutre.

Le vecteur associé au flux thermique Φ_th est le vecteur densité de courant thermique j_th. Que représente physiquement la norme de ce vecteur ? Préciser son unité.

En régime stationnaire, justifier que le flux thermique Φ_th dégagé par un manchot est égal à la puissance Pₘ due à son métabolisme.

En considérant que le manchot et l'atmosphère rayonnent comme des corps noirs de températures respectives T_p et Tₑ très proches, on admet que le flux radiatif surfacique φ_r émis par le manchot…

Définir le flux thermique φ à travers une surface S. Préciser son unité.

Exprimer la composante radiale du vecteur densité de flux thermique j(r) en fonction de λ, A et r.

Calculer la puissance thermique P_1→ 2 transférée depuis le milieu 1 vers le milieu 2 à travers la plaque.

Vérifier la pertinence du résultat précédent sur les deux cas particuliers suivants : • premier cas : λ₁ = λ₂ ; • deuxième cas : e₁ ≪ e₂ et λ₁ et λ₂ étant du même ordre de grandeur.

Quels sont le nom et la dimension du coefficient λ ? En déduire son unité SI. Justifier physiquement le sens du vecteur densité de flux thermique _d.

Exprimer la puissance thermique φ qui traverse le cylindre de rayon r et de longueur L, dans le sens des r croissants.

En déduire que la résistance thermique du cylindre s'exprime par R = 1/(2π λ L) ln (r₂/r₁).

L'application numérique donne, dans le système SI : x = 100/(1 + 4· 10⁴ e) Représenter graphiquement x en fonction de e en respectant les domaines de définitions.

En géométrie sphérique grad(T) = (∂ T)/(∂ r) u_r + 1/r (∂ T)/(∂ θ) u_θ + 1/(rsin (θ)) (∂ T)/(∂ φ) u_φ. Expliquer qualitativement pourquoi ici on aura grad(T) = (∂ T)/(∂ r) u_r et représenter le…

Dans le cadre du modèle du gaz parfait classique monodimensionnel exprimer finalement λ en fonction de n, T, k_B, τ et de la masse m de l'électron.

Déduire de l'expression obtenue à la question précédente, que l'expression approchée de T(L,t), pour t > 0, est : T(L,t) ≃ Γ ζ(t) avec ζ(t) = [ 1 + 2 Σₙ₌₁∞ (-1)ⁿ exp (-αₙ t) ]

Le rendement théorique étudié précédemment correspond à la limite supérieure du rendement réel puisqu'il ne prend en compte que les pertes liées aux irréversibilités des turbomachines. Citer…

D'après les courbes de la figure 11, comment varie la différence de température entre le fluide et le solide avec h ? Commenter.

Calculer les valeurs numériques de λ_min et λₘₐₓ .

Commenter le résultat.

Proposer simplement une loi analogue appartenant à un autre domaine de la physique et préciser les unités de toutes les grandeurs qui interviennent.

Rappeler brièvement le lien qui existe entre une résistance thermique et une conductance thermique. Préciser l'unité d'une conductance thermique.

Quelle est l'unité de h ? Pourquoi est-il nécessaire, pour notre étude, de décomposer le transfert thermique entre l'ailette et l'air ambiant en éléments infinitésimaux de longueur dx ?

Citer trois modes de transfert thermique.

En déduire l'équation de la diffusion thermique : ρ c (∂ T)/(∂ t) = λ (∂² T)/(∂ x²). (4)

On admet que l'épaisseur de la couche de glace en fonction du temps est représentée par la simulation graphique en figure 8. Au bout de 20 heures, les joueurs de hockey peuvent-ils considérer que la…

Identifier et nommer les courbes (1) et (2).

Utiliser le premier principe de la thermodynamique pour montrer qu'en l'absence de travail le transfert thermique vaut δ Q = ρ₀ c_P dV dT. En déduire que, pour les petites variations autour de…

Nous allons aborder le problème de la diffusion thermique sous un angle un peu différent. Montrer que, si l'on considère une solution en température T et entropie massique s sous la forme d'une OPPH…

En écrivant la condition sur B(ω, k) pour que des solutions non triviales existent, expliciter la relation entre ω et k en faisant intervenir le coefficient de diffusion D.

Calculer p_J la valeur moyenne temporelle de la puissance volumique dissipée par effet joule en fonction notamment de la conductivité électrique γ de l'anneau de cuivre.

En tenant compte du fait que l'épaisseur de l'anneau est très petite devant son rayon, déterminer le flux thermique conducto-convectif total entre l'air et l'anneau en fonction de h, a, d, T₀ et la…

Déterminer la température de l'anneau T(t) en fonction du temps. La température de fusion du cuivre est θ_fus = 1085 ^. L'anneau va-t-il finir par fondre ?

Compléter la fonction f(x) et proposer des valeurs pour les bornes de l'intervalle dans lequel on recherche la racine de f(x).

En déduire une valeur numérique de l'écart T_∞ - T_g pour une atmosphère sèche (R_H = 0). Commenter.

À l'aide d'un bilan thermique appliqué à l'ensemble de la pièce, déterminer la puissance thermique de refroidissement du climatiseur permettant de maintenir la température constante dans la pièce.

Évaluer la nouvelle puissance thermique Φ_th1 qui traverse le mur. Comparer à la puissance Φ_th0 obtenue précédemment.

Montrer que la variation de tension Δ U_DC aux bornes de la pointe lors de sa mise en contact avec l'échantillon est proportionnelle à Δ θ, où Δ θ(x) = θ_ec(x) - θ_hc(x).

En déduire que : θ_hc(x) = -J/2 x² + Ax + B avec J = ρ₀/(λ S²) I₀² et donner les expressions de A et B en fonction de J et des paramètres géométriques du filament.

Calculer la valeur moyenne de l'échauffement dans le fil θ_hc. Faire l'application numérique pour I₀ = 50 mA.

Justifier que le flux thermique Φ transmis dans l'échantillon est proportionnel à l'échauffement de la pointe en x = 0, soit : Φ = G θ_ec(0), et exprimer G en fonction de la conductivité thermique…

En raisonnant sur la partie droite (x > 0), exprimer dθ_ec/dx(0⁺) en fonction de la conductivité thermique du filament λ, de G, de S et de l'échauffement à l'extrémité de la pointe θ_ec(0).

Représenter graphiquement les variations de l'échauffement θ_ec(x) pour x [-L, L].

Exprimer la différence Δ θ(x) = θ_ec(x) - θ_hc(x) pour x > 0 en fonction de J, L, u et x.

Justifier qu'en régime établi, l'échauffement en un point de la pointe θ(x,t) = T(x,t) - T₀ peut s'écrire sous la forme : θ(x,t) = θ_DC(x) + θ_AC(x) cos (2ω t + φ(x)). Écrire une égalité reliant…

Exprimer la résistance R_p(t) de la pointe à l'instant t en fonction de R₀, a, θ_DC, θ_AC, ω, φ et t.

En déduire une expression du rayon R du filament en fonction de ρ₀, I₀, L, a, λ et U_3ω,BF.

Vérifier la compatibilité des mesures de la figure 6 avec les résultats précédents.

Proposer le schéma électrique équivalent permettant de déterminer la résistance thermique totale Rₜₒₜ entre l'intérieur du corps du nageur et l'eau en fonction de R_rad, R_cc, R_peau, R_combi et en…

Montrer que le schéma équivalent précédent est simplifiable et commenter le résultat. Donner la valeur numérique de Rₜₒₜ qui s'en déduit.

Résoudre cette équation différentielle. Pour cela, introduire la température T_c du corps du nageur en dehors de l'eau.

Déterminer l'expression de la température du nageur atteinte en régime permanent, notée T_∞, puis sa valeur numérique. En déduire au bout de combien de temps environ cette température serait…

Écrire, pour chaque hypothèse, la condition limite associée à T en x = ℓ. Laquelle de ces hypothèses vous semble la plus réaliste ? Justifier.

Déterminer le flux thermique total Φ évacué par l'ailette.

Montrer alors que η = (tanh (mℓ))/mℓ, avec tanh la fonction tangente hyperbolique définie en fin d'énoncé.

En complément des ailettes, des systèmes de ventilation peuvent être utilisés. Quel type d'écoulement d'air faut-il privilégier pour maximiser les échanges thermiques ? Justifier.

Exprimer la puissance thermique P_cc échangée par conducto-convection entre la tige et le gaz environnant en fonction de la constante de conducto-convection H, a, L, Tₐ et de T_s.

Effectuer un bilan énergétique de la tige et montrer que Tₐ vérifie l'équation suivante : σ Tₐ⁴ + H Tₐ = σ T_s⁴ + H T_s - i²/(2π² γ a³).

L'instruction finale : `print(f"La température Ta vaut : Dichotomie(f,298,1000,1):.0f K ")` renvoie le résultat : La température Ta vaut : 986 K. Commenter cette valeur.

Établir alors, la relation (T₁ - T₂)/(T_c - T₁) = λ_l/l(d/λ + e₁/λ₁ + e₂/λ₂). Expliquer comment on peut déterminer λ expérimentalement, en s'affranchissant des indéterminations dues aux contacts.

Exprimer la puissance volumique p_v,i(t) pour l'élément X_i dégagée par radioactivité dans les roches, en fonction des données utiles. En déduire la puissance totale p_v(t) dégagée par les trois…

Établir alors, la relation (T₁-T₂)/(T_c-T₁) = λ_l/l(d/λ+e₁/λ₁+e₂/λ₂). Expliquer comment on peut déterminer λ expérimentalement, en s'affranchissant des indéterminations dues aux contacts.

Exprimer la puissance volumique p_v,i(t) pour l'élément X_i dégagée par radioactivité dans les roches, en fonction des données utiles. En déduire la puissance totale p_v(t) dégagée par les trois…

On note Δ T la variation de température au niveau du sol terrestre pendant une durée τ. Exprimer Δ T en fonction des données utiles. Faire l'application numérique pour τ = 10 ans.

On donne l'expression de la résistance thermique de la conduite en matériau spécifique : R_th1 = (ln (r₂/r₁))/(2πλₐ L) Vérifier l'homogénéité de cette expression et vérifier la pertinence de cette…

On note hₑₓₜ le coefficient de convection entre l'isolant et l'air extérieur. En utilisant la loi de Newton, fournie dans les données, déterminer la résistance thermique de convection. En déduire…

Discuter de l'utilité de l'isolant suivant les valeurs de α.

Identifier une longueur caractéristique δ de l'évolution de la température dans la conduite. Donner un ordre de grandeur de sa valeur.

Donner l'expression littérale de la variation de température sur la longueur L. Dans quel cas peut-on considérer cette variation de température comme négligeable ? Conclure concernant les conduites…

Donner l'allure de T(t) sur un graphe.

Quel est le temps caractéristique τ de passage du régime transitoire au régime permanent ? On fera l'application numérique en prenant h = 100 W⁻¹⁻² et on rappelle ici que cₘ = 500 J⁻¹⁻¹ et que la…

On constate que la conductivité thermique du diamant est particulièrement élevée, et de l'ordre de 2,2 × 10³ W⁻¹⁻¹. Pourquoi la loi de Wiedemann-Franz ne s'applique-t-elle pas au diamant ?

On note τ_therm, le temps caractéristique de thermalisation des thermostats, et τ_ech, le temps caractéristique des échanges de chaleur dans le barreau. Définir le cadre d'étude dans lequel on…

Déterminer un système de deux équations différentielles vérifiées par T₁(t) et T₂(t). On fera apparaître une durée τ, caractéristique de l'évolution de T₁(t) et T₂(t), et dépendant de R_th et C_th.

Déterminer les expressions de T₁(t) et T₂(t). On pourra introduire les fonctions auxiliaires Δ T(t) = T₁(t) - T₂(t) et T(t) = (T₁(t) + T₂(t))/2, et montrer que ces fonctions obéissent à des…

Représenter graphiquement l'évolution de T₁(t) et T₂(t) en fonction du temps et analyser le résultat obtenu.

Montrer qu'en circuit ouvert, la différence de potentiel aux bornes du conducteur se met sous la forme V(0) - V(ℓ) = -β(T(0) - T(ℓ)), avec β un coefficient à exprimer en fonction d'un ou plusieurs…

Exprimer le coefficient S₁₂ en fonction des coefficients α_i du pouvoir thermoélectrique de chacun des deux matériaux.

Dans une perspective plus générale, à quelle application pourraient être destinés les effets thermoélectriques ?

Établir l'expression de la température du matériau supraconducteur en x = 0 en fonction de e, κ, h, j₀ et T_f. Faire l'application numérique pour les deux cas suivants : – cas 1 : un matériau…

En utilisant les applications numériques des questions Q4 et Q10, indiquer le matériau qui vous semble le plus adapté pour les parois de la cavité supraconductrice.

Établir un critère qualitatif portant sur des durées caractéristiques permettant de justifier que l'évolution du fluide dans le stator est bien adiabatique. On admettra dans la suite que ce critère…

Montrer qu’on peut modéliser les échanges thermiques entre les cinq surfaces de la plaque en contact avec l’air et l’air par une résistance thermique R_th, dont on donnera l’expression en fonction…

Déduire de l’équation différentielle précédente que (d² T)/dx² = -k, où k est une constante positive qu’on exprimera en fonction de I, σ_p, λ_p et de S.

Compte tenu des conditions aux limites, établir l’expression de T(x) en fonction de k, L, T_C et de Δ T = T_C - T_F.

Déduire des résultats précédents l’expression de la puissance thermique algébrique P_C fournie par la source chaude au module. On introduira le coefficient Seebeck global du module α = α_p - αₙ et…

Donner en régime stationnaire l'expression du flux thermique Φ traversant cette paroi orientée dans le sens des x > 0, en fonction de e₀, T₁, T₂, λ et de S₀. En déduire l'expression de la résistance…

Proposer, en régime stationnaire, un schéma électrique équivalent qui décrit les transferts thermiques associés à cette fenêtre. Précisez les expressions littérales des résistances thermiques qui…

Le plafond a une épaisseur e_p = 5 cm et une conductivité thermique λ_p = 0,1 SI. Donner la valeur numérique de la résistance thermique du plafond notée R_pl. Exprimer littéralement la résistance…

On ajoute alors au plafond une couche d'isolant thermique d'épaisseur e_isol et de conductivité thermique λ_isol. Exprimer littéralement la nouvelle résistance thermique de l'ensemble…

Exprimer littéralement la résistance thermique d'isolant permettant de diviser les pertes thermiques à travers le toit par 10.

En déduire l'épaisseur d'isolant d correspondante. Faire l'application numérique pour la laine de verre puis pour l'ouate de cellulose (épaisseurs respectivement notées d_ℓ et dₒ).

Déterminer l'équation différentielle satisfaite par la fonction f(x).

Calculer le déphasage thermique offrant le meilleur confort thermique. En déduire laquelle des deux configurations précédentes est finalement la plus confortable d'un point de vue thermique.

Quel est l'intérêt de forcer l'air à traverser le condenseur ? Est-ce aussi le cas dans un réfrigérateur ?

Estimer le gain obtenu sur le temps caractéristique en installant la toile de sol et la couverture.

Estimer le gain obtenu sur le temps caractéristique en installant la toile de sol et la couverture.

Montrer que T_f(r,t) = T₀ + [T_s(t) - T₀] R/r

Pourquoi est-il licite de décrire les transferts à travers le fluide en termes de résistance thermique ? Exprimer la résistance thermique R'_th associée au refroidissement conductif, en fonction de…

On notera T_i = T(t=0) la température initiale du matériau. Tracer l'allure de la courbe T(t) et exprimer la durée Δ t au bout de laquelle le matériau débute la transition conducteur supraconducteur.

En déduire, en régime permanent, l'intensité j_th(r) de la densité volumique de flux thermique conductif dans le fil.

Déterminer l'expression de la température de surface T_s en fonction de T₀, k, p_u et R.

Exprimer la température T₃ en fonction de T₂, P₁, h₂, d, e, H et N.

Représenter le profil température T(r) pour 0 ≤ r ≤ R₅.

Expliquer pourquoi le bon fonctionnement du pressuriseur du circuit primaire fait partie des critères majeurs de sureté. Proposer une solution pour pouvoir évacuer une puissance plus importante.

Exprimer T_s - Tₑ en fonction de R₄, H, Dₘ, c₅ et P₀. Exprimer la température T(z) de l'eau liquide en fonction de Tₑ, T_s, z et H.

Le graphe de la figure 4 représente l'évolution de la température de la paroi du crayon combustible avec la cote z. Justifier qualitativement son allure.