Feuille d'entraînement : Diffusion thermique

Corrigés

1. Exercice 1CCINP Physique-Chimie MPI 2026, Q15

   1. Définition de la résistance thermique

   Par analogie avec la résistance électrique reliant différence de potentiel et courant électrique (\Delta U = R\,I), la résistance thermique R_{\mathrm{th}} d'un conducteur thermique soumis à une différence de température T_1 - T_2 entre ses deux faces d'accès, et traversé par un flux thermique stationnaire \Phi orienté de la face à T_1 vers celle à T_2, est définie par :

   \boxed{R_{\mathrm{th}} = \frac{T_1 - T_2}{\Phi}}

   Elle s'exprime en \mathrm{K\cdot W^{-1}} (ou ^{\circ}\mathrm{C}\cdot\mathrm{W}^{-1}).

   2. Expression pour un conducteur cylindrique

   Considérons un barreau cylindrique d'axe Oz, de section constante s et de longueur l comprise entre z = 0 (à la température T_1) et z = l (à la température T_2 < T_1).

   D'après la loi de Fourier, le vecteur densité volumique de courant thermique s'écrit :

   \vec{j} = -\lambda\,\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}z}\,\vec{u}_z

   Le flux thermique à travers une section droite d'aire s orientée selon \vec{u}_z vaut :

   \Phi = \iint_s \vec{j}\cdot\mathrm{d}\vec{S} = j\,s = -\lambda\,s\,\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}z}

   En régime stationnaire et sans terme source interne, la conservation de l'énergie impose que le flux \Phi soit constant le long de l'axe Oz. L'intégration entre z = 0 et z = l conduit à :

   \int_{T_1}^{T_2} \mathrm{d}T = -\frac{\Phi}{\lambda s}\int_0^l \mathrm{d}z \implies T_1 - T_2 = \frac{l}{\lambda s}\,\Phi

   On en déduit l'expression de la résistance thermique de conduction :

   \boxed{R_{\mathrm{th}} = \frac{l}{\lambda s}}

   Résultat

   $$R_{\mathrm{th}}=\frac{T_1-T_2}{\Phi }$$

   $$R_{\mathrm{th}}=\frac{l}{\lambda s}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CCINP Physique-Chimie MPI 2026, Q23

   Considérons le système fermé constitué par la matière contenue dans la coquille sphérique comprise entre les rayons r et r+\mathrm{d}r, à un instant t donné.

   Le volume de cette coquille est, au premier ordre en \mathrm{d}r :

   \mathrm{d}\tau = 4\pi r^2\,\mathrm{d}r

   Sa masse est donc :

   \mathrm{d}m = \mu\,\mathrm{d}\tau = \mu\,4\pi r^2\,\mathrm{d}r

   Appliquons le premier principe de la thermodynamique à cette coquille (solide indéformable, donc sans travail des forces de pression : W = 0) entre les instants t et t+\mathrm{d}t :

   \mathrm{d}U = \delta Q

   1. Variation d'énergie interne :
   La capacité thermique de la coquille étant C\,\mathrm{d}m, la variation d'énergie interne s'écrit :

   \mathrm{d}U = \mathrm{d}m\,C\,\mathrm{d}T = \mu\,C\,4\pi r^2\,\frac{\partial T}{\partial t}\,\mathrm{d}t\,\mathrm{d}r

   2. Énergie thermique reçue de l'extérieur par conduction :

   • À travers la surface intérieure de rayon r, la normale orientée vers l'extérieur de la coquille est -\vec{u}_r. Le flux thermique entrant dans la coquille est :

     \Phi_{\text{entrant}}(r) = \vec{j}(r,t)\cdot(-\vec{u}_r) \cdot \big(-4\pi r^2\big) = j(r,t)\,4\pi r^2

   • À travers la surface extérieure de rayon r+\mathrm{d}r, la normale orientée vers l'extérieur de la coquille est +\vec{u}_r. Le flux thermique sortant est :

     \Phi_{\text{sortant}}(r+\mathrm{d}r) = j(r+\mathrm{d}r,t)\,4\pi (r+\mathrm{d}r)^2

   Le flux conductif net reçu par la coquille est donc :

   \Phi_{\text{net}} = \Phi_{\text{entrant}}(r) - \Phi_{\text{sortant}}(r+\mathrm{d}r) = -\mathrm{d}\big(j\,4\pi r^2\big)

   D'où l'énergie thermique reçue par conduction pendant la durée \mathrm{d}t :

   \delta Q_{\text{cond}} = \Phi_{\text{net}}\,\mathrm{d}t = -\mathrm{d}\big(j\,4\pi r^2\big)\,\mathrm{d}t

   3. Énergie thermique créée par les sources internes :
   La puissance volumique volumique de source radioactive étant notée p_v', l'énergie thermique dégagée au sein de la coquille pendant \mathrm{d}t s'écrit :

   \delta Q_{\text{source}} = p_v'\,\mathrm{d}\tau\,\mathrm{d}t = p_v'\,4\pi r^2\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}t

   En sommant les contributions aux échanges thermiques \delta Q = \delta Q_{\text{cond}} + \delta Q_{\text{source}}, on obtient bien :

   \boxed{\mu C 4\pi r^2 \frac{\partial T}{\partial t}\,\mathrm{d}t\,\mathrm{d}r = -\mathrm{d}\big(j 4\pi r^2\big)\,\mathrm{d}t + p_v' 4\pi r^2\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}t}

   Signification physique des trois termes :

   • \mu C 4\pi r^2 \frac{\partial T}{\partial t}\,\mathrm{d}t\,\mathrm{d}r : terme de stockage (ou d'accumulation) thermique, représentant la variation d'énergie interne de la coquille de masse \mathrm{d}m pendant la durée \mathrm{d}t.
   • -\mathrm{d}\big(j 4\pi r^2\big)\,\mathrm{d}t : bilan des échanges thermiques conductifs à travers les frontières en r et r+\mathrm{d}r, c'est-à-dire l'excédent de chaleur entrant sur la chaleur sortant pendant \mathrm{d}t.
   • p_v' 4\pi r^2\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}t : terme de création (ou de source volumique) thermique, correspondant à l'énergie calorifique libérée par les désintégrations radioactives au sein de la coquille pendant \mathrm{d}t.

   Résultat

   $$\mu C4\pi r^2\frac{\partial T}{\partial t}\mathrm{d}t\mathrm{d}r=-\mathrm{d}\left(j4\pi r^2\right)\mathrm{d}t+p_v^{\prime }4\pi r^2\mathrm{d}r\mathrm{d}t$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3CentraleSupélec Physique-Chimie 2 MPI 2026, Q32

   Considérons une couche plane d'épiderme d'épaisseur e_e, de conductivité thermique \lambda_e et de section S, repérée selon l'axe (Ox) entre x = 0 et x = e_e.

   D'après la loi de Fourier, le vecteur densité de flux thermique s'écrit :

   \vec{j}_{\text{th}} = -\lambda_e \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}\,\vec{u}_x

   En régime stationnaire et sans source volumique de chaleur, la conservation de l'énergie impose \operatorname{div} \vec{j}_{\text{th}} = 0, soit \frac{\mathrm{d}j_{\text{th}}}{\mathrm{d}x} = 0. Le flux thermique traversant la surface S :

   \Phi = j_{\text{th}} \, S = -\lambda_e S \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}

   est donc uniforme et indépendant de x. En intégrant entre la face interne à la température T_1 = T(0) et la face externe à la température T_2 = T(e_e) :

   \int_0^{e_e} \Phi\,\mathrm{d}x = -\lambda_e S \int_{T_1}^{T_2} \mathrm{d}T \iff \Phi \, e_e = \lambda_e S (T_1 - T_2)

   Par analogie formelle avec la loi d'Ohm (U = R\,I), la résistance thermique de l'épiderme est définie par :

   \boxed{R_e = \frac{T_1 - T_2}{\Phi} = \frac{e_e}{\lambda_e S}}

   L'épiderme, le derme et la graisse sous-cutanée forment trois couches planes successives traversées par le même flux thermique \Phi en régime permanent. Leurs résistances thermiques s'additionnent en série :

   R_{\text{peau}} = R_e + R_d + R_g

   \boxed{R_{\text{peau}} = \frac{1}{S}\left( \frac{e_e}{\lambda_e} + \frac{e_d}{\lambda_d} + \frac{e_g}{\lambda_g} \right)}

   Application numérique :

   • Surface corporelle du nageur (m = 75\text{ kg} et H = 175\text{ cm}) :

     S = 0{,}007184 \times 75^{0{,}425} \times 175^{0{,}725} \approx 1{,}90\text{ m}^2

   • Données du tableau 3 (e_e = 0{,}08\text{ mm}, e_d = 2{,}0\text{ mm}, e_g = 10{,}0\text{ mm}) :

     \begin{aligned} \frac{e_e}{\lambda_e} &= \frac{0{,}08 \times 10^{-3}}{0{,}24} \approx 3{,}33 \times 10^{-4}\text{ m}^2\cdot\text{K}\cdot\text{W}^{-1} \\ \frac{e_d}{\lambda_d} &= \frac{2{,}0 \times 10^{-3}}{0{,}45} \approx 4{,}44 \times 10^{-3}\text{ m}^2\cdot\text{K}\cdot\text{W}^{-1} \\ \frac{e_g}{\lambda_g} &= \frac{10{,}0 \times 10^{-3}}{0{,}19} \approx 5{,}26 \times 10^{-2}\text{ m}^2\cdot\text{K}\cdot\text{W}^{-1} \end{aligned}

   • Résistance thermique totale de la peau :

     R_{\text{peau}} = \frac{3{,}33 \times 10^{-4} + 4{,}44 \times 10^{-3} + 5{,}26 \times 10^{-2}}{1{,}90} \approx \frac{5{,}74 \times 10^{-2}}{1{,}90} \approx 3{,}0 \times 10^{-2}\text{ K}\cdot\text{W}^{-1}

   \boxed{R_{\text{peau}} \approx 3{,}0 \times 10^{-2}\text{ K}\cdot\text{W}^{-1}}

   Résultat

   $$R_e=\frac{T_1-T_2}{\Phi }=\frac{e_e}{{\lambda }_{e}S}$$

   $$R_{\text{peau}}=\frac{1}{S}\left(\frac{e_e}{{\lambda }_e}+\frac{e_d}{{\lambda }_d}+\frac{e_g}{{\lambda }_g}\right)$$

   $$R_{\text{peau}}\approx 3,0\times 10^{-2}\text{ K}\cdot {\text{W}}^{-1}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4Mines-Ponts Physique 2 MPI 2026, Q26

   On applique le premier principe de la thermodynamique à l'anneau complet de cuivre entre les instants t et t+\mathrm{d}t. L'anneau est un solide indéformable de volume constant V \approx 2\pi a e d et de masse m = \rho V = 2\pi a e d \rho.

   En considérant sa température T(t) spatialement uniforme à chaque instant, la dérivée temporelle de son énergie interne s'écrit :

   \frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}t} = m c \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t} = 2\pi a e d \rho c \, \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}

   L'anneau échange de l'énergie avec l'extérieur selon deux contributions :

   • le flux thermique conducto-convectif reçu de l'air ambiant, déterminé à la question Q25 :

     \Phi_{\text{air}\to\text{anneau}} = 4\pi a d h (T_0 - T)

   • la puissance moyenne dissipée par effet Joule (qui constitue un apport thermique pour le solide), issue de la puissance volumique moyenne p_J calculée à la question Q24 :

     P_J = p_J V = \frac{I_2^2}{2\gamma e^2 d^2} \times 2\pi a e d = \frac{\pi a I_2^2}{\gamma e d}

   Le bilan d'énergie sous forme de taux s'écrit donc :

   \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}t} &= \Phi_{\text{air}\to\text{anneau}} + P_J \\ 2\pi a e d \rho c \, \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t} &= - 4\pi a d h (T - T_0) + \frac{I_2^2}{2\gamma e^2 d^2} \times (2\pi a e d) \end{aligned}

   En divisant cette équation par la capacité thermique totale C = 2\pi a e d \rho c, le rayon a de l'anneau se simplifie :

   \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t} + \frac{2h}{\rho c e} (T - T_0) = \frac{I_2^2}{2\rho c \gamma e^2 d^2}

   On identifie ainsi l'équation sous la forme requise :

   \boxed{\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t} + \frac{T - T_0}{\tau} = A}

   avec :

   \boxed{\tau = \frac{\rho c e}{2h}} \quad \text{et} \quad \boxed{A = \frac{I_2^2}{2\rho c \gamma e^2 d^2}}

   Résultat

   $$\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}+\frac{T-T_0}{\tau }=A$$

   $$\tau =\frac{\rho ce}{2h}$$

   $$A=\frac{I_2^2}{2\rho c\gamma e^2{d}^2}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5CentraleSupélec Physique-Chimie 2 MPI 2025, Q20

   Il existe trois modes de transfert thermique :

   • la conduction (ou diffusion) thermique : transfert d'énergie de proche en proche au sein de la matière sans déplacement macroscopique de matière ;
   • la convection thermique : transfert d'énergie accompagné d'un déplacement macroscopique de matière, propre aux fluides (liquides ou gaz) ;
   • le rayonnement thermique : transfert d'énergie sous forme d'ondes électromagnétiques (photons), ne nécessitant aucun milieu matériel pour se propager.

   Le tube électronique est sous vide : l'espace séparant le filament chauffant de la cathode est dépourvu de milieu matériel. En l'absence de fluide, la convection est impossible ; de même, en l'absence de contact solide continu ou de gaz interstitiel, la conduction thermique dans cet espace est exclue.

   Le chauffage de la cathode par le filament est donc assuré par rayonnement thermique.

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6CentraleSupélec Physique-Chimie 2 MPI 2023, Q38

   Considérons une paroi plane d'isolant de conductivité thermique \lambda uniforme, d'épaisseur D et de section transverse S. On oriente l'axe (Ox) perpendiculairement à la paroi de l'intérieur vers l'extérieur :

   • en x = 0 (face interne en contact avec l'enceinte froide) : T(0) = T_f ;
   • en x = D (face externe en contact avec le laboratoire) : T(D) = T_c.

   En l'absence de source volumique d'énergie et sous l'hypothèse d'un transfert thermique unidimensionnel, l'équation de la diffusion thermique vérifiée par le champ de température T(x, t) s'écrit :

   \rho c \frac{\partial T}{\partial t} = \lambda \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}

   En régime stationnaire, \dfrac{\partial T}{\partial t} = 0, ce qui conduit à :

   \frac{\mathrm{d}^2 T}{\mathrm{d}x^2} = 0

   Par double intégration successive par rapport à x, il vient :

   T(x) = A x + B

   où A et B sont deux constantes d'intégration déterminées par les conditions aux limites :

   \begin{aligned} T(0) = T_f &\implies B = T_f \\ T(D) = T_c &\implies A D + T_f = T_c \implies A = \frac{T_c - T_f}{D} \end{aligned}

   On obtient ainsi un profil de température affine au sein de la paroi :

   \boxed{T(x) = T_f + \frac{T_c - T_f}{D} x}

   Résultat

   $$T(x)=T_f+\frac{T_c-T_f}{D}x$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7Mines-Ponts Physique 1 MPI 2023, Q24

   1. Définition et dimension du vecteur densité de flux thermique

   Le vecteur densité de flux thermique (ou densité de courant thermique) \vec{j}_Q caractérise localement le transfert d'énergie thermique par conduction. Le transfert thermique élémentaire \delta Q (noté \delta\phi_Q dans l'énoncé) traversant un élément de surface orienté \mathrm{d}\vec{S} = \vec{n}\,\mathrm{d}S pendant une durée \mathrm{d}t s'exprime par :

   \delta Q = \vec{j}_Q \cdot \mathrm{d}\vec{S} \, \mathrm{d}t

   Le flux thermique surfacique correspond ainsi à une puissance par unité de surface :

   \left[\vec{j}_Q\right] = \frac{\left[\text{Puissance}\right]}{\left[\text{Surface}\right]} = \frac{\mathrm{M}\cdot\mathrm{L}^2\cdot\mathrm{T}^{-3}}{\mathrm{L}^2}

   \boxed{\left[\vec{j}_Q\right] = \mathrm{M}\cdot\mathrm{T}^{-3}} \quad (\text{en }\mathrm{W}\cdot\mathrm{m}^{-2})

   2. Loi de Fourier et conditions d'application

   La loi phénoménologique de Fourier relie le vecteur densité de flux thermique au gradient local de température :

   \boxed{\vec{j}_Q = -\kappa\,\vec{\nabla}T}

   où \kappa désigne la conductivité thermique du milieu.

   Ses conditions d'application sont :

   • un milieu matériel continu au repos macroscopique (le transfert s'effectue uniquement par conduction, sans convection) ;
   • un milieu isotrope (la conductivité thermique \kappa est alors un scalaire) ;
   • un régime de réponse linéaire, valable pour de faibles gradients de température.

   3. Dimension de la conductivité thermique \kappa

   D'après la loi de Fourier, la dimension de \kappa s'obtient par analyse dimensionnelle :

   [\kappa] = \frac{\left[\vec{j}_Q\right]}{[\vec{\nabla}T]} = \frac{\mathrm{M}\cdot\mathrm{T}^{-3}}{\Theta \cdot \mathrm{L}^{-1}}

   \boxed{[\kappa] = \mathrm{M}\cdot\mathrm{L}\cdot\mathrm{T}^{-3}\cdot\Theta^{-1}} \quad (\text{en }\mathrm{W}\cdot\mathrm{m}^{-1}\cdot\mathrm{K}^{-1})

   Résultat

   $$\left[{\vec{j}}_Q\right]=\mathrm{M}\cdot {\mathrm{T}}^{-3}$$

   $${\vec{j}}_Q=-\kappa \vec{\nabla }T$$

   $$[\kappa ]=\mathrm{M}\cdot \mathrm{L}\cdot {\mathrm{T}}^{-3}\cdot {\Theta }^{-1}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8Mines-Ponts Physique 1 MPI 2023, Q25

   1. Énergie thermique reçue par la tranche :

   La tranche de sol est délimitée par les plans de cotes y et y+\mathrm{d}y, de section transverse \mathcal{S}. Le flux thermique entrant algébriquement selon les y croissants est \Phi(y,t) = j_Q(y,t)\,\mathcal{S}. Entre les instants t et t+\mathrm{d}t, l'énergie thermique nette reçue à travers les deux frontières vaut :

   \delta Q = \left[\Phi(y,t) - \Phi(y+\mathrm{d}y,t)\right]\mathrm{d}t = -\frac{\partial j_Q}{\partial y}(y,t)\,\mathcal{S}\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}t

   \boxed{\delta Q = -\frac{\partial j_Q}{\partial y}\,\mathcal{S}\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}t}

   2. Justification de l'échelle mésoscopique :

   On étudie une tranche « mésoscopique » pour que ses dimensions soient :

   • très grandes devant les distances interatomiques et le libre parcours moyen des porteurs de chaleur, de sorte que le milieu puisse être traité comme un milieu continu où la température et les grandeurs thermodynamiques ont un sens statistique moyen ;
   • très petites devant les échelles spatiales macroscopiques de variation des champs physiques, ce qui permet de considérer la température comme localement uniforme dans la tranche et de développer les flux au premier ordre en \mathrm{d}y.

   3. Expressions de la variation d'énergie interne :

   D'après le premier principe de la thermodynamique appliqué à la tranche indéformable, sans travail mécanique ni source interne de chaleur :

   \boxed{\mathrm{d}U = \delta Q = -\frac{\partial j_Q}{\partial y}\,\mathcal{S}\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}t}

   Par ailleurs, pour cette phase condensée indéformable de masse \mathrm{d}m = \rho\,\mathcal{S}\,\mathrm{d}y et de capacité thermique massique c, la variation d'énergie interne s'écrit également :

   \mathrm{d}U = \mathrm{d}m\,c\,\mathrm{d}T = (\rho\,\mathcal{S}\,\mathrm{d}y)\,c\,\left(\frac{\partial T}{\partial t}\,\mathrm{d}t\right)

   \boxed{\mathrm{d}U = \rho\,c\,\mathcal{S}\,\frac{\partial T}{\partial t}\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}t}

   4. Équation de la chaleur et coefficient de diffusion :

   En égalant les deux expressions de \mathrm{d}U, on obtient :

   \rho\,c\,\frac{\partial T}{\partial t} = -\frac{\partial j_Q}{\partial y}

   D'après la loi de Fourier unidimensionnelle, j_Q(y,t) = -\kappa \frac{\partial T}{\partial y}. En supposant la conductivité thermique \kappa indépendante de y, il vient :

   -\frac{\partial j_Q}{\partial y} = \kappa\,\frac{\partial^2 T}{\partial y^2}

   On en déduit l'équation de la chaleur à une dimension :

   \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\kappa}{\rho\,c}\,\frac{\partial^2 T}{\partial y^2} = D\,\frac{\partial^2 T}{\partial y^2}

   où le coefficient de diffusion thermique (ou diffusivité thermique) D est défini par :

   \boxed{D = \frac{\kappa}{\rho\,c}}

   La dimension de D est :

   [D] = \frac{[\kappa]}{[\rho][c]} = \frac{\mathrm{M}\cdot\mathrm{L}\cdot\mathrm{T}^{-3}\cdot\Theta^{-1}}{(\mathrm{M}\cdot\mathrm{L}^{-3})(\mathrm{L}^2\cdot\mathrm{T}^{-2}\cdot\Theta^{-1})} = \mathrm{L}^2\cdot\mathrm{T}^{-1}

   \boxed{[D] = \mathrm{L}^2\cdot\mathrm{T}^{-1} \quad (\text{en }\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{s}^{-1})}

   5. Longueur caractéristique de diffusion :

   Par analyse dimensionnelle, ou en estimant les ordres de grandeur des dérivées dans l'équation de la chaleur (\frac{\Delta T}{t} \sim D\,\frac{\Delta T}{L^2}), on trouve L^2 \sim D\,t, d'où la longueur caractéristique de diffusion :

   \boxed{L \sim \sqrt{D\,t}}

   Résultat

   $$\delta Q=-\frac{\partial j_Q}{\partial y}\mathcal{S}\mathrm{d}y\mathrm{d}t$$

   $$\mathrm{d}U=\delta Q=-\frac{\partial j_Q}{\partial y}\mathcal{S}\mathrm{d}y\mathrm{d}t$$

   $$\mathrm{d}U=\rho c\mathcal{S}\frac{\partial T}{\partial t}\mathrm{d}y\mathrm{d}t$$

   $$D=\frac{\kappa }{\rho c}$$

   $$[D]={\mathrm{L}}^2\cdot {\mathrm{T}}^{-1}(\text{en }{\mathrm{m}}^2\cdot {\mathrm{s}}^{-1})$$

   $$L\sim \sqrt{Dt}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9Mines-Ponts Physique 2 MPI 2023, Q22

   Considérons un volume fixe quelconque V entièrement inclus dans le milieu i (i \in \{1, 2, 3, 4\}), délimité par une surface fermée S orientée vers l'extérieur par le vecteur normal unitaire \vec{n}_{\mathrm{ext}}. Le milieu est assimilé à une phase condensée indéformable de masse volumique \rho_i et de capacité thermique massique c_i.

   Le premier principe de la thermodynamique appliqué au système contenu dans V pendant une durée \mathrm{d}t, en l'absence de travail utile et de sources de chaleur internes volumiques, s'écrit :

   \mathrm{d}U_i = \delta Q

   La variation d'énergie interne s'exprime par :

   \mathrm{d}U_i = \left(\iiint_V \rho_i c_i \frac{\partial T_i}{\partial t}\,\mathrm{d}V\right)\mathrm{d}t

   Le transfert thermique traversant la frontière S s'écrit, d'après la définition du vecteur densité de flux thermique \vec{\jmath}_{\mathrm{th}, i} :

   \delta Q = - \left(\iint_S \vec{\jmath}_{\mathrm{th}, i} \cdot \vec{n}_{\mathrm{ext}}\,\mathrm{d}S\right)\mathrm{d}t

   Par le théorème de Green-Ostrogradski, le bilan thermique devient :

   \iiint_V \left(\rho_i c_i \frac{\partial T_i}{\partial t} + \operatorname{div}\vec{\jmath}_{\mathrm{th}, i}\right)\mathrm{d}V = 0

   Ce résultat étant valable pour tout volume V, on obtient la forme locale de conservation de l'énergie :

   \rho_i c_i \frac{\partial T_i}{\partial t} = -\operatorname{div}\vec{\jmath}_{\mathrm{th}, i}

   En utilisant la loi de Fourier rappelée à la question Q21 (\vec{\jmath}_{\mathrm{th}, i} = -\lambda_i\,\overrightarrow{\operatorname{grad}}\,T_i) et compte tenu du fait que la conductivité thermique \lambda_i est uniforme et constante dans chaque milieu :

   \operatorname{div}\vec{\jmath}_{\mathrm{th}, i} = -\lambda_i \operatorname{div}(\overrightarrow{\operatorname{grad}}\,T_i) = -\lambda_i \Delta T_i

   On aboutit ainsi à l'équation de la chaleur pour le milieu i :

   \boxed{\frac{\partial T_i}{\partial t} = D_i \Delta T_i}

   où le coefficient de diffusion thermique (ou diffusivité thermique) s'exprime par :

   \boxed{D_i = \frac{\lambda_i}{\rho_i c_i}}

   Unité de la diffusivité thermique :

   • [\lambda_i] = \mathrm{W\cdot m^{-1}\cdot K^{-1}} = \mathrm{J\cdot s^{-1}\cdot m^{-1}\cdot K^{-1}}
   • [\rho_i c_i] = \mathrm{J\cdot m^{-3}\cdot K^{-1}}

   On en déduit immédiatement que l'unité de D_i dans le Système International est le \mathrm{m^2\cdot s^{-1}}.

   Compte tenu de la symétrie sphérique du problème où T_i = T_i(r, t), le Laplacien donné dans les rappels de l'énoncé se réduit à sa partie radiale, ce qui donne explicitement :

   \boxed{\frac{\partial T_i}{\partial t} = \frac{D_i}{r^2} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \frac{\partial T_i}{\partial r}\right)}

   Résultat

   $$\frac{\partial T_i}{\partial t}=D_i\Delta T_i$$

   $$D_i=\frac{{\lambda }_i}{{\rho }_i{c}_i}$$

   $$\frac{\partial T_i}{\partial t}=\frac{D_i}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\left(r^2\frac{\partial T_i}{\partial r}\right)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10CCINP Physique-Chimie MPI 2026, Q16

    Le transfert thermique s'effectue en régime stationnaire unidimensionnel selon l'axe Oz. En l'absence de pertes latérales et de sources internes, le flux thermique \Phi est conservé à travers toutes les tranches du dispositif de section droite uniforme s.

    1. Établissement de la relation :

    • Pour le bloc de laiton inférieur situé entre z = 0 (température T_c) et z = l (température T_1), la résistance thermique s'écrit d'après la question Q15 :

      R_{\mathrm{th},l} = \frac{l}{\lambda_l s} \implies T_c - T_1 = R_{\mathrm{th},l} \, \Phi = \frac{l}{\lambda_l s}\Phi

    • Entre les deux interfaces à T_1 et T_2, le flux traverse successivement en série le contact 1, la roche et le contact 2. La résistance thermique équivalente est la somme des résistances individuelles :

      R_{\mathrm{th},\text{série}} = R_{\mathrm{th},1} + R_{\mathrm{th},\text{roche}} + R_{\mathrm{th},2} = \frac{e_1}{\lambda_1 s} + \frac{d}{\lambda s} + \frac{e_2}{\lambda_2 s}

      La différence de température globale s'écrit alors :

      T_1 - T_2 = R_{\mathrm{th},\text{série}} \, \Phi = \frac{1}{s}\left(\frac{d}{\lambda} + \frac{e_1}{\lambda_1} + \frac{e_2}{\lambda_2}\right)\Phi

    En effectuant le quotient membre à membre, le flux \Phi et la section s se simplifient :

    \frac{T_1 - T_2}{T_c - T_1} = \frac{\frac{1}{s}\left(\frac{d}{\lambda} + \frac{e_1}{\lambda_1} + \frac{e_2}{\lambda_2}\right)}{\frac{l}{\lambda_l s}}

    D'où la relation demandée :

    \boxed{\frac{T_1-T_2}{T_c-T_1} = \frac{\lambda_l}{l}\left(\frac{d}{\lambda}+\frac{e_1}{\lambda_1}+\frac{e_2}{\lambda_2}\right)}

    2. Détermination expérimentale de \lambda sans l'effet des contacts :

    En maintenant des conditions de contact identiques (même état de surface, même pression de serrage assurant la constance de e_1/\lambda_1 + e_2/\lambda_2), on mesure le rapport adimensionné Y = \frac{T_1 - T_2}{T_c - T_1} pour plusieurs échantillons de même roche d'épaisseurs d variables.

    La grandeur Y est alors une fonction affine de l'épaisseur d :

    Y(d) = A\,d + B \quad \text{avec} \quad A = \frac{\lambda_l}{l\,\lambda} \quad \text{et} \quad B = \frac{\lambda_l}{l}\left(\frac{e_1}{\lambda_1}+\frac{e_2}{\lambda_2}\right)

    La régression linéaire des points expérimentaux donne la pente A, de laquelle on déduit la conductivité thermique recherchée :

    \boxed{\lambda = \frac{\lambda_l}{l\,A}}

    L'effet parasite des résistances de contact n'affecte que l'ordonnée à l'origine B, ce qui permet de s'en affranchir totalement.

    Résultat

    $$\frac{T_1-T_2}{T_c-T_1}=\frac{{\lambda }_l}{l}\left(\frac{d}{\lambda }+\frac{e_1}{{\lambda }_1}+\frac{e_2}{{\lambda }_2}\right)$$

    $$\lambda =\frac{{\lambda }_l}{lA}$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question