Corrigé détaillé Mines Physique 1 MPI 2023

1. Définition d'un référentiel galiléen :

   Un référentiel galiléen (ou inertiel) est un référentiel dans lequel le principe d'inertie (première loi de Newton) est vérifié : tout système matériel mécaniquement isolé (ou pseudo-isolé, c'est-à-dire soumis à une résultante des forces extérieures nulle, \sum \vec{F}_{\text{ext}} = \vec{0}) possède un vecteur vitesse constant :

   \boxed{\vec{v} = \vec{\mathrm{cte}}}

   (mouvement rectiligne uniforme ou immobilité).

2. Validité du caractère galiléen du référentiel terrestre :

   Le référentiel terrestre est lié à la Terre solide. Il est en rotation propre autour de l'axe des pôles par rapport au référentiel géocentrique, à la vitesse angulaire \Omega \approx 7{,}29 \times 10^{-5}\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}, avec une période de rotation propre :

   T_{\text{rot}} \approx 24\text{ h} \approx 86\,400\text{ s}.

   Cette rotation induit deux effets non inertiels :

   • une force d'inertie d'entraînement (axifuge), statique, qui est directement incorporée dans la définition de l'accélération de la pesanteur locale \vec{g} ;
   • une force d'inertie de Coriolis, \vec{F}_{\text{ic}} = -2m\,\vec{\Omega} \wedge \vec{v}, d'accélération d'ordre de grandeur a_{\text{c}} \sim 2\Omega v.

   Le référentiel terrestre peut être supposé galiléen si la durée caractéristique de l'expérience \Delta t est très petite devant la période de rotation de la Terre :

   \boxed{\Delta t \ll T_{\text{rot}} \sim 24\text{ h}}

   Pour le tir d'un projectile où la durée de vol est de l'ordre de quelques secondes à quelques dizaines de secondes, cette condition est très largement vérifiée (\Delta t \ll 24\text{ h} et a_{\text{c}} \ll g). Les effets non inertiels sont donc tout à fait négligeables.

On étudie le projectile assimilé à un point matériel de masse m, dans le référentiel terrestre supposé galiléen, muni du repère orthonormé (O, \vec{u}_x, \vec{u}_y, \vec{u}_z). Le champ de pesanteur s'écrit \vec{g} = -g\,\vec{u}_z.

Les conditions initiales à t = 0 sont :

Dans cette partie sans frottements, le projectile n'est soumis qu'à son poids \vec{P} = m\vec{g}. La deuxième loi de Newton s'écrit :

Par projection sur les trois axes du repère :

Une première intégration par rapport au temps avec les conditions initiales sur la vitesse donne le vecteur vitesse :

Une seconde intégration avec les conditions initiales de position (\vec{OM}(0) = \vec{0}) conduit aux équations horaires :

Puisque pour tout instant t, x(t) = 0, le projectile reste confiné dans le plan défini par le point O et les vecteurs \vec{u}_y et \vec{u}_z. Le mouvement est donc rigoureusement plan, dans le plan vertical (O, \vec{u}_y, \vec{u}_z).

D'après les équations horaires établies à la question 2, pour \theta_0 \neq \frac{\pi}{2}, on a :

En reportant cette expression dans la cote z(t), on obtient l'équation cartésienne de la trajectoire :

Forme de la trajectoire : l'équation z(y) est un polynôme du second degré en y dont le coefficient dominant est strictement négatif (-\frac{g}{2v_0^2\cos^2\theta_0} < 0). La trajectoire est donc une parabole située dans le plan vertical (O, \vec{u}_y, \vec{u}_z), de concavité orientée vers les z décroissants et d'axe vertical.

Symétrie : la trajectoire est symétrique par rapport à la droite verticale passant par son sommet S. En effet, en mettant le trinôme sous forme canonique :

la fonction vérifie la parité z(y_S - \Delta y) = z(y_S + \Delta y).

1. Coordonnées du sommet S :

Le sommet S est le point d'altitude maximale de la trajectoire, atteint lorsque la vitesse verticale s'annule :

En injectant t_S dans les équations horaires établies à la question 2 :

Les coordonnées du sommet sont donc :

2. Définition et expression de la portée \ell :

La portée \ell est la distance horizontale parcourue par le projectile entre son point de tir O et son point de retombée au sol (z = 0 avec t > 0) : \ell = y(t_\text{sol}).

L'instant de retombée t_\text{sol} > 0 vérifie :

On en déduit l'expression de la portée :

3. Angle \theta_0 de portée maximale :

Pour une vitesse initiale v_0 fixée, la portée \ell est proportionnelle à \sin(2\theta_0). Pour un angle de tir \theta_0 \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right], le terme \sin(2\theta_0) est maximal et vaut 1 lorsque :

La portée maximale atteignable vaut alors \ell_\text{max} = \frac{v_0^2}{g}.

D'après la loi de frottement fluide \vec{f} = -\alpha \vec{v}, les dimensions vérifient :

Le coefficient \alpha a donc pour dimension :

Son unité dans le Système international est le \mathrm{kg}\cdot\mathrm{s}^{-1}.

En appliquant la deuxième loi de Newton au projectile de masse m dans le référentiel terrestre galiléen :

Le terme \alpha/m est homogène à l'inverse d'un temps, ce qui permet de définir le temps caractéristique :

Projetons l'équation du mouvement sur l'axe horizontal (Ox) orthogonal au plan de tir (O, \vec{u}_y, \vec{u}_z) :

Or, le vecteur vitesse initiale appartient au plan (O, \vec{u}_y, \vec{u}_z), donc v_x(0) = 0, d'où v_x(t) = 0 pour tout t \geqslant 0.

Comme la position initiale est l'origine O (x(0) = 0), on en déduit :

\boxed{\text{\text{Le mouvement reste plan dans le plan }(O, \vec{u}_y, \vec{u}_z).}}

On étudie le projectile de masse m dans le référentiel terrestre supposé galiléen, repéré par la base orthonormée directe (O, \vec{u}_x, \vec{u}_y, \vec{u}_z). Le système est soumis à :

• son poids : \vec{P} = -mg\,\vec{u}_z ;
• la force de frottement fluide : \vec{f} = -\alpha \vec{v} = -\frac{m}{\tau}\vec{v}.

Le principe fondamental de la dynamique s'écrit :

À t = 0, les conditions initiales sont :

1. Mouvement selon \vec{u}_x : L'absence de force et de vitesse initiale selon \vec{u}_x confirme que le mouvement est confiné au plan vertical (O, \vec{u}_y, \vec{u}_z) :

2. Mouvement selon \vec{u}_y : L'équation différentielle projetée s'écrit :

Avec v_y(0) = v_0\cos\theta_0, la composante de la vitesse vaut :

Sachant que y(0) = 0, on intègre entre 0 et t :

3. Mouvement selon \vec{u}_z : L'équation différentielle projetée s'écrit :

La solution générale est de la forme v_z(t) = A\,e^{-t/\tau} - g\tau, où la constante d'intégration A est fixée par v_z(0) = v_0\sin\theta_0 :

Sachant que z(0) = 0, on intègre entre 0 et t :

Les équations horaires du mouvement s'écrivent ainsi :

D'après la question Q6, les équations horaires du mouvement sont :

Pour t \ll \tau, soit \frac{t}{\tau} \ll 1, effectuons un développement limité de l'exponentielle à l'ordre 2 :

d'où :

1. Équation horaire selon \vec{u}_y :

Au premier ordre non nul en t/\tau :

2. Équation horaire selon \vec{u}_z : Injectons le développement limité à l'ordre 2 :

Les termes en g\tau t se compensent exactement. En négligeant le terme correctif \frac{v_0\sin\theta_0}{2\tau}t^2 = (v_0\sin\theta_0\,t)\times \mathcal{O}\left(\frac{t}{\tau}\right) devant le terme linéaire, il reste :

3. Allure du mouvement : En éliminant le temps t \approx \frac{y}{v_0\cos\theta_0}, on retrouve l'équation de la trajectoire sans frottement de la question Q3 :

Pour des temps courts devant le temps caractéristique \tau, la force de frottement fluide a un effet cumulé négligeable : le mouvement est parabolique, identique à celui du tir dans le vide.

D'après les équations horaires obtenues à la question Q6, on a :

Pour t \gg \tau, on a e^{-t/\tau} \to 0. La vitesse s'écrit alors :

Le vecteur vitesse tend vers une vitesse limite purement verticale descendante :

En injectant v_\infty et en négligeant e^{-t/\tau}, les équations horaires se simplifient en :

Point de chute du projectile :
Pour t \gg \tau, le mouvement est une chute verticale uniforme à la vitesse v_\infty le long de l'asymptote d'abscisse y_\infty = v_0\tau\cos\theta_0. Dès lors, si le projectile ne touche le sol qu'à un instant t^* \gg \tau, il retombe en :

Comme 1 - e^{-t/\tau} < 1 pour tout t > 0, l'abscisse vérifie y(t) < v_0\tau\cos\theta_0 : le projectile retombe donc toujours strictement en deçà de cette abscisse limite.

Lorsque le temps de séjour en l'air est très grand devant \tau, le mouvement se décompose en trois phases distinctes :

1. Phase initiale (t \ll \tau) : régime quasi-balistique parabolique
   D'après la question Q7, l'effet de la force de frottement est négligeable devant l'inertie du projectile. La trajectoire est quasi identique à la parabole du tir sans frottement :

   y(t) \simeq (v_0 \cos\theta_0)\,t \quad \text{et} \quad z(t) \simeq (v_0 \sin\theta_0)\,t - \frac{1}{2}gt^2

   Le projectile s'élève rapidement avec une vitesse tangentielle proche de \vec{v}_0.

2. Phase intermédiaire (t \sim \tau) : transition et sommet de la trajectoire
   La force de frottement ralentit significativement le mobile selon les deux axes. La composante horizontale v_y(t) = v_0\cos\theta_0\,e^{-t/\tau} chute de manière exponentielle, réduisant la progression en y. La composante verticale s'annule à un instant t_S, marquant le sommet S de la trajectoire. Contrairement au cas sans frottement, la trajectoire perd sa symétrie : la courbure s'accentue après le sommet et le projectile plonge plus abruptement qu'il n'est monté.

3. Phase asymptotique (t \gg \tau) : chute rectiligne quasi-verticale
   D'après la question Q8, la vitesse horizontale s'est presque totalement amortie (v_y \approx 0). Le projectile s'approche de l'asymptote verticale d'équation :

   y = y_\infty = v_0 \tau \cos\theta_0

   Le mouvement selon z devient un mouvement rectiligne uniforme descendant à la vitesse limite v_\infty = g\tau :

   z(t) \approx -v_\infty t + \tau(v_0\sin\theta_0 + v_\infty)

   Le projectile retombe ainsi sur le sol au point d'abscisse y_{\text{sol}} \approx v_0\tau\cos\theta_0 selon une trajectoire pratiquement verticale.

Lorsque la durée du vol est de l'ordre de grandeur de \tau (t^* \sim \tau) :

• Conditions initiales : le mobile part de l'origine O avec une tangente faisant l'angle \theta_0 avec l'horizontale.
• Dissymétrie : au fur et à mesure du vol, le frottement fluide dissipe l'énergie cinétique et réduit la composante horizontale de la vitesse selon v_y(t) = v_0 \cos\theta_0\,\mathrm{e}^{-t/\tau}. Par conséquent, le sommet S de la trajectoire est décalé vers la gauche par rapport au milieu de la portée (y_S < \frac{\ell}{2}), et la branche descendante est plus raide que la branche ascendante.
• Impact au sol : pour t \sim \tau, la vitesse horizontale n'est pas nulle (v_y(t^*) \approx \frac{v_0\cos\theta_0}{\mathrm{e}} \approx 0{,}37\,v_0\cos\theta_0). Le projectile n'atteint pas l'asymptote verticale y = v_0\tau\cos\theta_0 : l'angle d'impact avec le sol est simplement plus incliné que l'angle d'émission \theta_0.

1. Tableau de variation de la fonction T et minimum global

La fonction T : \chi \mapsto \chi e^\chi est définie et dérivable sur \mathbb{R}. Sa dérivée s'écrit :

L'exponentielle étant strictement positive sur \mathbb{R}, le signe de T'(\chi) est celui de 1+\chi :

• pour \chi < -1, T'(\chi) < 0, donc T est strictement décroissante ;
• pour \chi = -1, T'(-1) = 0 ;
• pour \chi > -1, T'(\chi) > 0, donc T est strictement croissante.

Aux bornes du domaine :

• par croissances comparées, \lim_{\chi \to -\infty} T(\chi) = \lim_{\chi \to -\infty} \chi e^\chi = 0^- ;
• par produit de limites, \lim_{\chi \to +\infty} T(\chi) = +\infty.

La fonction T admet donc un minimum global strict en \chi = -1, dont la valeur vaut :

On en déduit le tableau de variation de T :

2. Graphe de T et obtention du graphe de W

Sur l'intervalle [-1, +\infty[, la fonction T est continue et strictement croissante. D'après le théorème de la bijection, elle réalise un homéomorphisme de [-1, +\infty[ sur son image [\beta, +\infty[ = [-1/e, +\infty[. Sa fonction réciproque (appelée branche principale de la fonction W de Lambert), notée W, est donc définie sur [-1/e, +\infty[ à valeurs dans [-1, +\infty[.

Dans un repère orthonormé, la courbe représentative d'une fonction réciproque s'obtient par symétrie axiale par rapport à la première bissectrice d'équation y = \chi. Pour obtenir le graphe de W à partir de la branche de T pour \chi \ge -1 :

• on échange les axes (l'abscisse devient l'ordonnée et réciproquement) ;
• le point du minimum (-1, \beta) de tangente horizontale devient pour W le point (\beta, -1) où la tangente est verticale (W'(\beta) \to +\infty) ;
• l'origine (0,0) est un point invariant, de pente W'(0) = 1/T'(0) = 1 ;
• le point (1, e) pour T devient le point (e, 1) pour W.

Par définition, la fonction \mathrm{W} de Lambert est la bijection réciproque de T : \chi \mapsto \chi e^\chi sur l'intervalle [-1/e, +\infty[. Comme T(0) = 0 \times e^0 = 0, on en déduit immédiatement :

L'équation différentielle fournie se réécrit sous forme résolue en \mathrm{W}'(\chi) :

Le schéma d'Euler explicite avec un pas h = 0{,}0001 s'écrit, en notant \chi_k = k h et \mathrm{W}_k \approx \mathrm{W}(\chi_k) :

avec la condition initiale \mathrm{W}_0 = 0 pour \chi_0 = 0.

Le code Python suivant permet de réaliser cette intégration numérique et de tracer \mathrm{W}(\chi) sur [0 ; 2{,}5[ :

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Parametres de la discretisation
h = 0.0001
chi = np.arange(0.0, 2.5, h)
N = len(chi)

# Initialisation du tableau des valeurs de W
W = np.zeros(N)
W[0] = 0.0  # Condition initiale W(0) = 0

# Schema d'Euler explicite
for k in range(N - 1):
    W[k + 1] = W[k] + h / (chi[k] + np.exp(W[k]))

# Trace de la fonction W(chi)
plt.figure()
plt.plot(chi, W, label="W(chi)")
plt.xlabel("chi")
plt.ylabel("W(chi)")
plt.title("Trace de la fonction W de Lambert (Euler explicite)")
plt.grid(True)
plt.show()

D'après la question Q6, l'altitude du projectile est donnée pour tout instant t \geqslant 0 par :

Le projectile touche le sol à un instant t^* > 0 tel que z(t^*) = 0, soit :

Cette équation est de la forme a t^* + b + c e^{d t^*} = 0, où l'on identifie :

Ces grandeurs vérifient bien ad = g \neq 0. Exprimons les termes intervenant dans la formule de résolution :

où l'on a posé conformément à l'énoncé :

Calculons l'argument de la fonction \mathrm{W} de Lambert :

Il vient ainsi :

En appliquant la relation fournie par l'énoncé, l'instant de retombée s'écrit :

soit finalement :

La portée \ell est l'abscisse du point de chute du projectile au sol à l'instant t^* > 0. D'après l'équation horaire y(t) obtenue à la question 6, on a :

D'après le résultat de la question 13, l'instant d'impact s'écrit :

On en déduit l'expression du terme exponentiel :

Par définition de la fonction \mathrm{W} de Lambert, pour tout X \in [-\frac{1}{e}, +\infty[, on a \mathrm{W}(X) e^{\mathrm{W}(X)} = X, soit :

En appliquant cette relation à X = u e^u (où u < -1), il vient :

On reporte cette expression dans le calcul de l'exponentielle :

En substituant ce terme dans l'expression de \ell, on aboutit directement à :

D'après la question Q8, la vitesse limite de chute verticale s'écrit :

Le paramètre adimensionné \gamma vaut donc :

On en déduit :

Avec e \approx 2{,}72, l'argument de la fonction de Lambert vaut :

Par lecture graphique sur la partie droite de la figure 2 (ou en cherchant l'antécédent de 2 par T sur la courbe de gauche car T(\mathrm{W}(2)) = 2), pour \chi = 2, on lit :

Comme \gamma \neq 1, l'expression de l'angle assurant la portée maximale fournie par l'énoncé donne :

Sachant que \sin(30^\circ) = 0{,}50 et \sin(28^\circ) \approx 0{,}47, on obtient :

Une estimation approchée à 30^\circ est également tout à fait recevable en l'absence de calculatrice.

On étudie le point matériel M de masse m dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

On utilise la base polaire (\vec{u}_r, \vec{u}_\theta) liée à la tige, représentée sur la figure 3 :

où \vec{u}_r = \cos\theta\,\vec{u}_x + \sin\theta\,\vec{u}_y et \vec{u}_\theta = -\sin\theta\,\vec{u}_x + \cos\theta\,\vec{u}_y. L'axe vertical (Ox) étant orienté vers le bas dans le sens de \vec{g}, le champ de pesanteur s'écrit \vec{g} = g\,\vec{u}_x.

La vitesse et l'accélération de M s'écrivent :

Le système est soumis à deux forces :

• son poids : \vec{P} = m\vec{g} = mg(\cos\theta\,\vec{u}_r - \sin\theta\,\vec{u}_\theta) ;
• la tension (ou réaction) exercée par la tige rigide : \vec{T} = T_r\,\vec{u}_r (direction radiale, la tige étant sans masse et articulée en O sans frottement).

D'après le principe fondamental de la dynamique :

En projetant cette relation sur le vecteur unitaire orthoradial \vec{u}_\theta :

ce qui conduit immédiatement à l'équation différentielle du mouvement :

D'après la question Q16, l'équation différentielle exacte régissant le mouvement du pendule est :

Dans le cadre de l'approximation des petits angles (\theta \ll 1\text{ rad}), on effectue le développement limité au premier ordre : \sin\theta \simeq \theta. L'équation différentielle se linéarise alors sous la forme :

Il s'agit de l'équation différentielle d'un oscillateur harmonique non amorti de pulsation propre :

La période propre des oscillations, notée T_0, est reliée à la pulsation propre par la relation T_0 = \frac{2\pi}{\omega_0}, d'où :

Le pendule simple constitué de la masse m est soumis à :

• son poids \vec{P} = m\vec{g}, force conservative dérivant de l'énergie potentielle E_p = -mgx = -mg\ell\cos\theta (en prenant l'origine en O) ;
• la tension de la tige \vec{T} = -T\vec{u}_r, qui ne travaille pas car orthogonale au déplacement à chaque instant (\vec{v} = \ell\dot{\theta}\vec{u}_\theta).

Le système étant conservatif, l'énergie mécanique E_m = E_c + E_p est constante au cours du temps :

D'après les conditions initiales, à t = 0, \theta(0) = \theta_0 et \dot{\theta}(0) = 0, soit E_m = -mg\ell\cos\theta_0. On en déduit :

D'où l'expression générale de la vitesse angulaire :

le signe dépendant du sens de parcours de la trajectoire oscillante.

Par conservation de l'énergie, les oscillations sont périodiques et symétriques. La durée mise par le pendule pour passer de la position d'équilibre \theta = 0 à l'angle maximal \theta = \theta_0 correspond à un quart de période T/4. Durant cette étape, \dot{\theta} > 0, donc :

En intégrant entre \theta = 0 et \theta = \theta_0 :

Or, d'après la question Q17, la période propre des petites oscillations est T_0 = 2\pi\sqrt{\ell/g}, soit \sqrt{\ell/g} = \frac{T_0}{2\pi}. On obtient ainsi :

Soit la fonction f : \chi \mapsto 1 + \sqrt{\chi} définie sur l'intervalle [a, b] = [0, 9].

1. Principe de la méthode des rectangles médians avec 9 rectangles

On subdivise l'intervalle [0, 9] en N = 9 sous-intervalles de même largeur :

Les sous-intervalles sont ainsi [k, k+1] pour k \in \{0, \dots, 8\}.

Sur chaque intervalle [k, k+1], on approxime l'aire sous la courbe par celle d'un rectangle dont la hauteur est la valeur de la fonction prise en son milieu \chi_k^* = k + \frac{1}{2} :

2. Influence du doublement du nombre de rectangles

La méthode des rectangles médians est une méthode d'intégration numérique d'ordre 2 : pour une fonction suffisamment régulière, l'erreur globale \mathcal{E}(h) = |I - I_{\text{num}}| est proportionnelle au carré du pas de discrétisation :

Lorsque l'on double le nombre de rectangles (N \to 2N), le pas h est divisé par 2 (h \to h/2). Par conséquent :

L'intégrale complète de première espèce est définie par :

On identifie donc la fonction intégrande :

Pour la méthode des rectangles médians :

• L'intervalle d'intégration [a, b] = [0, \pi/2] est subdivisé en N = 100 sous-intervalles de largeur identique :

  \text{pas} = \frac{b - a}{N}

• Le i-ième sous-intervalle (pour i allant de 0 à N-1) est [a + i \times \text{pas},\, a + (i+1) \times \text{pas}]. Son point médian est :

  \phi_i = a + \left(i + \frac{1}{2}\right)\text{pas}

• L'accumulateur S est incrémenté à chaque itération par la valeur de la fonction en ce point médian :

  S \leftarrow S + f(x, \phi_i)

Le code complété s'écrit donc :

import math as m

def f(x, phi):
    return 1 / m.sqrt(1 - x * m.sin(phi)**2)

S = 0.
N = 100
a = 0.
b = m.pi/2.
pas = (b - a) / N
theta_0 = m.pi/3.
x = m.sin(theta_0)**2
for i in range(N):
    phi = a + (i + 0.5) * pas
    S = S + f(x, phi)

print(pas * S)

1. Évaluation de la période réelle T

Sur la figure 4, l'axe des ordonnées présente des graduations principales espacées de 0{,}1 subdivisées en 5 intervalles de pas 0{,}02. À l'abscisse \theta_0 = 50^\circ, située à mi-chemin entre 40^\circ et 60^\circ, la courbe se trouve à mi-hauteur entre 1{,}04 et 1{,}06, ce qui donne :

Comme T_0 = 1\text{ s}, on en déduit immédiatement :

2. Décalage temporel sur une durée d'une heure

Un chronomètre ou une horloge à balancier étalonné sous l'approximation des petits angles mesure le temps en comptant le nombre N d'oscillations et en lui attribuant la durée t_{\text{mes}} = N\,T_0.

Pour mesurer une durée affichée d'une heure, soit t_{\text{mes}} = 1\text{ h} = 3600\text{ s}, l'horloge compte :

Le temps réel effectivement écoulé pendant ces 3600 oscillations vaut :

Le décalage temporel \Delta t induit par l'approximation des petits angles est donc :

L'horloge a une période réelle plus longue que sa période théorique : elle prend donc un retard de 3 minutes par heure de fonctionnement (soit un retard d'environ 1 heure et 12 minutes par tranche de 24 heures).

Une cycloïde (ou cycloïde droite) est géométriquement la courbe décrite par un point solidaire de la circonférence d'un cercle qui roule sans glisser sur une ligne droite.

Dans la vie courante, on la rencontre donc typiquement comme la trajectoire :

par exemple la valve de la roue d'une bicyclette, un catadioptre fixé sur la jante, ou un caillou coincé dans la bande de roulement d'un pneu de voiture en mouvement rectiligne.

Le résultat erroné de Lord Kelvin (environ 65 millions d'années contre un âge réel d'environ 4,55 milliards d'années) s'explique principalement par deux omissions physiques majeures dans son modèle de refroidissement purement conductif d'un solide inerte :

• L'absence de sources de chaleur internes : Kelvin ignorait l'existence de la radioactivité naturelle (découverte à la fin du XIXe siècle par Becquerel et les époux Curie). La désintégration d'isotopes radioactifs (principalement ^{238}\mathrm{U}, ^{235}\mathrm{U}, ^{232}\mathrm{Th} et ^{40}\mathrm{K}) présents dans le manteau et la croûte terrestre constitue une source permanente et volumique d'énergie thermique qui compense en grande partie les pertes par diffusion vers l'espace.
• Le mode de transfert thermique (convection mantellique) : Kelvin a supposé que la Terre se refroidissait uniquement par conduction à travers toute son épaisseur. Or, aux échelles de temps géologiques, le manteau terrestre ductile est le siège de mouvements de convection. Ce transport convectif brasse efficacement la chaleur interne et modifie radicalement le profil thermique en confinant le gradient de température conductif à une couche limite thermique superficielle (la lithosphère).

1. Définition et dimension du vecteur densité de flux thermique

Le vecteur densité de flux thermique (ou densité de courant thermique) \vec{j}_Q caractérise localement le transfert d'énergie thermique par conduction. Le transfert thermique élémentaire \delta Q (noté \delta\phi_Q dans l'énoncé) traversant un élément de surface orienté \mathrm{d}\vec{S} = \vec{n}\,\mathrm{d}S pendant une durée \mathrm{d}t s'exprime par :

Le flux thermique surfacique correspond ainsi à une puissance par unité de surface :

2. Loi de Fourier et conditions d'application

La loi phénoménologique de Fourier relie le vecteur densité de flux thermique au gradient local de température :

où \kappa désigne la conductivité thermique du milieu.

Ses conditions d'application sont :

• un milieu matériel continu au repos macroscopique (le transfert s'effectue uniquement par conduction, sans convection) ;
• un milieu isotrope (la conductivité thermique \kappa est alors un scalaire) ;
• un régime de réponse linéaire, valable pour de faibles gradients de température.

3. Dimension de la conductivité thermique \kappa

D'après la loi de Fourier, la dimension de \kappa s'obtient par analyse dimensionnelle :

1. Énergie thermique reçue par la tranche :

La tranche de sol est délimitée par les plans de cotes y et y+\mathrm{d}y, de section transverse \mathcal{S}. Le flux thermique entrant algébriquement selon les y croissants est \Phi(y,t) = j_Q(y,t)\,\mathcal{S}. Entre les instants t et t+\mathrm{d}t, l'énergie thermique nette reçue à travers les deux frontières vaut :

2. Justification de l'échelle mésoscopique :

On étudie une tranche « mésoscopique » pour que ses dimensions soient :

• très grandes devant les distances interatomiques et le libre parcours moyen des porteurs de chaleur, de sorte que le milieu puisse être traité comme un milieu continu où la température et les grandeurs thermodynamiques ont un sens statistique moyen ;
• très petites devant les échelles spatiales macroscopiques de variation des champs physiques, ce qui permet de considérer la température comme localement uniforme dans la tranche et de développer les flux au premier ordre en \mathrm{d}y.

3. Expressions de la variation d'énergie interne :

D'après le premier principe de la thermodynamique appliqué à la tranche indéformable, sans travail mécanique ni source interne de chaleur :

Par ailleurs, pour cette phase condensée indéformable de masse \mathrm{d}m = \rho\,\mathcal{S}\,\mathrm{d}y et de capacité thermique massique c, la variation d'énergie interne s'écrit également :

4. Équation de la chaleur et coefficient de diffusion :

En égalant les deux expressions de \mathrm{d}U, on obtient :

D'après la loi de Fourier unidimensionnelle, j_Q(y,t) = -\kappa \frac{\partial T}{\partial y}. En supposant la conductivité thermique \kappa indépendante de y, il vient :

On en déduit l'équation de la chaleur à une dimension :

où le coefficient de diffusion thermique (ou diffusivité thermique) D est défini par :

La dimension de D est :

5. Longueur caractéristique de diffusion :

Par analyse dimensionnelle, ou en estimant les ordres de grandeur des dérivées dans l'équation de la chaleur (\frac{\Delta T}{t} \sim D\,\frac{\Delta T}{L^2}), on trouve L^2 \sim D\,t, d'où la longueur caractéristique de diffusion :

La température adimensionnée est définie par :

Les températures T_0 et T_1 étant constantes avec T_0 \neq T_1, les dérivées partielles s'écrivent :

En reportant ces expressions dans l'équation de la chaleur établie en Q25, \frac{\partial T}{\partial t} = D \frac{\partial^2 T}{\partial y^2}, on obtient après simplification par (T_0 - T_1) :

La variable adimensionnée \theta(y,t) vérifie donc la même équation de diffusion que T(y,t).

Déterminons à présent les valeurs aux limites :

• Condition initiale (y > 0, t = 0) : à l'instant initial, le milieu est uniformément à la température T_1, soit T(y > 0, 0) = T_1 :

  \boxed{\theta(y > 0, t = 0) = \frac{T_1 - T_1}{T_0 - T_1} = 0}

• Condition à la surface (y = 0, t > 0) : la surface est maintenue à la température constante T_0, soit T(0, t > 0) = T_0 :

  \boxed{\theta(y = 0, t > 0) = \frac{T_0 - T_1}{T_0 - T_1} = 1}

• Condition à l'infini (y \to +\infty, t > 0) : à distance infinie de la perturbation thermique de surface, la température reste inchangée à sa valeur initiale, soit \lim_{y \to +\infty} T(y, t > 0) = T_1 :

  \boxed{\theta(y \to +\infty, t > 0) = \frac{T_1 - T_1}{T_0 - T_1} = 0}

La variable de similarité s'écrit :

Ses dérivées partielles par rapport à t et à y sont :

Puisque \theta ne dépend que de \eta, on applique la règle de dérivation composée :

De même, pour les dérivées par rapport à y :

En reportant ces dérivées dans l'équation de diffusion vérifiée par \theta (établie à la question Q26) :

Pour t > 0, en multipliant par 4t et en regroupant les termes du même côté, on obtient :

D'après l'équation différentielle établie à la question Q27, la fonction \varphi(\eta) = \frac{\mathrm{d}\theta(\eta)}{\mathrm{d}\eta} vérifie :

Il s'agit d'une équation différentielle linéaire homogène du premier ordre à coefficients variables, dont la solution générale s'écrit :

où A est une constante réelle d'intégration. En intégrant entre 0 et \eta, on obtient :

soit :

D'après la question Q26, les conditions aux limites pour t > 0 sont :

• en surface (y = 0, soit \eta = 0) : \theta(0) = 1 ;
• à l'infini (y \to +\infty, soit \eta \to +\infty) : \lim_{\eta \to +\infty}\theta(\eta) = 0.

La première condition impose directement \theta(0) = 1. La seconde condition donne alors :

L'énoncé donne \int_0^{+\infty} e^{-z^2}\,\mathrm{d}z = \frac{\sqrt{\pi}}{2}, d'où :

On en déduit l'expression de \theta(\eta) :

D'après la définition de la température adimensionnée introduite en Q26 :

En remplaçant \theta(\eta) par son expression avec \eta = \frac{y}{2\sqrt{Dt}}, on obtient :

soit, sous forme factorisée :

L'équation différentielle régissant la température adimensionnée \theta en fonction de la variable autosimilaire \eta est (question Q27) :

En posant \varphi(\eta) = \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}\eta}, l'équation se réécrit \frac{\mathrm{d}\varphi}{\varphi} = -2\eta\,\mathrm{d}\eta, ce qui conduit par intégration à :

où C_1 est une constante réelle. Une nouvelle intégration fournit la forme générale de \theta(\eta) :

où A = \frac{\sqrt{\pi}}{2} C_1 et B = C_2 sont deux constantes d'intégration, en utilisant la définition :

Dans cette partie III.B, la température adimensionnée est définie pour la croûte solide 0 \leqslant y \leqslant y_s(t) par :

Les conditions aux limites se traduisent pour la variable \eta = \frac{y}{2\sqrt{Dt}} :

• À la surface extérieure y = 0, soit \eta = 0, la température est imposée à T_0 :

  \theta(0) = \frac{T_0 - T_0}{T_f - T_0} = 0

  Comme \operatorname{erf}(0) = 0, il vient immédiatement B = 0.

• Au front de solidification y = y_s(t), soit \eta_s = \lambda, la température est la température de fusion T_f :

  \theta(\lambda) = \frac{T_f - T_0}{T_f - T_0} = 1

  D'où A \operatorname{erf}(\lambda) = 1, soit A = \frac{1}{\operatorname{erf}(\lambda)}.

On en déduit l'expression de \theta(\eta) :

Considérons la tranche de lave d'épaisseur \mathrm{d}y_s et de surface S qui se solidifie entre les instants t et t+\mathrm{d}t. Son volume est :

La masse de lave subissant la transition de phase liquide \to solide est donc :

La solidification étant la transformation inverse de la fusion, l'enthalpie massique de solidification vérifie :

Cette transformation est exothermique : le système cède à l'extérieur un transfert thermique \delta Q_{\text{reçu}} = \mathrm{d}m\,\Delta h_{\mathrm{liq}\to\mathrm{sol}}(T_f) < 0.

L'énergie thermique \delta Q libérée (donc comptée positivement) par la solidification de cette tranche s'écrit ainsi :

Considérons l'interface de solidification située en y = y_s(t) à l'instant t.

• D'après la question Q30, la solidification d'une épaisseur \mathrm{d}y_s pendant la durée \mathrm{d}t libère l'énergie thermique :

  \delta Q = \rho \, S \, \Delta h_{\mathrm{sol}\to\mathrm{liq}}(T_f) \, \mathrm{d}y_s
• La lave en fusion (y > y_s) étant à température uniforme T_f, le gradient thermique y est nul : aucun flux d'énergie ne se propage vers le liquide.

• Dans la lave solide (y \leqslant y_s), la loi de Fourier donne le vecteur densité de flux thermique :

  \vec{j}_Q = -\kappa \frac{\partial T}{\partial y} \, \vec{u}_y

  Puisque T_0 < T_f, la température augmente avec la profondeur, soit \left(\frac{\partial T}{\partial y}\right)_{y=y_s} > 0. Le flux s'évacue donc vers le haut, c'est-à-dire dans le sens de -\vec{u}_y.

L'énergie thermique évacuée par diffusion vers la lave solide à travers la surface S pendant \mathrm{d}t s'écrit :

La conservation de l'énergie à l'interface impose \delta Q = \delta Q_{\text{évac}}, ce qui donne :

En divisant par S \, \mathrm{d}t, on obtient la condition de Stefan à l'interface :

Par définition de la constante \lambda, la position de l'interface de solidification s'écrit :

Sa vitesse de progression est donc :

D'après la question Q29, la température dans la croûte solide (0 \leqslant y \leqslant y_s(t)) est donnée par :

On en déduit le gradient spatial de température :

Sachant que \operatorname{erf}(\eta) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^\eta e^{-z^2}\,\mathrm{d}z, sa dérivée par rapport à \eta vaut \frac{2}{\sqrt{\pi}}e^{-\eta^2}. Au niveau de l'interface (y = y_s \iff \eta = \lambda), le gradient de température s'écrit :

En reportant ces deux expressions dans la condition de Stefan établie à la question Q31 :

Le facteur temporel \sqrt{t} se simplifie (ce qui confirme l'autosimilarité de la solution). De plus, d'après la question Q25, la conductivité s'exprime par \kappa = \rho c D, d'où :

En simplifiant par \rho\sqrt{D} puis en isolant le terme dépendant de \lambda, on obtient la relation demandée :

La détermination de la constante \lambda revient à résoudre numériquement une équation non linéaire de la forme :

On peut utiliser l'un des algorithmes classiques suivants :

1. La méthode de dichotomie (ou bissection)

• Initialisation : on choisit un intervalle [a, b] sur lequel la fonction continue F change de signe, soit F(a) \cdot F(b) < 0 (d'après le théorème des valeurs intermédiaires, F s'annule au moins une fois sur [a, b] ; l'unicité est garantie par la stricte décroissance de \lambda \mapsto \frac{\exp(-\lambda^2)}{\lambda \operatorname{erf}(\lambda)}).

• Itération : à chaque étape, on calcule le milieu de l'intervalle m = \frac{a+b}{2}.

  • Si F(a) \cdot F(m) \leqslant 0, la racine se situe dans la moitié gauche, on pose b = m.
  • Sinon, elle se situe dans la moitié droite, on pose a = m.
• Arrêt : l'algorithme s'arrête dès que la largeur de l'intervalle b - a \leqslant \varepsilon, où \varepsilon est la précision souhaitée. L'approximation de \lambda est alors donnée par m.

2. Autre algorithme possible : la méthode de Newton-Raphson Partant d'une valeur initiale \lambda_0 > 0, on génère la suite :

qui offre une convergence d'ordre 2 (quadratique) vers la racine, avec un critère d'arrêt portant sur |\lambda_{k+1} - \lambda_k| < \varepsilon ou |F(\lambda_k)| < \varepsilon.

1. Estimation numérique de \lambda

D'après la question Q32, le paramètre \lambda vérifie :

Avec les données fournies :

Sur la figure 7, pour une ordonnée de 0{,}71, on lit en abscisse :

(une valeur comprise entre 0{,}84 et 0{,}88 est tout à fait acceptable compte tenu de la précision de lecture).

2. Épaisseur de la croûte six mois après l'éruption

Une durée de six mois correspond à :

La longueur caractéristique de diffusion associée est :

L'épaisseur de la croûte solide est alors donnée par y_s(t) = 2\lambda\sqrt{Dt} :

3. Comparaison avec les données expérimentales de la figure 8

Sur la figure 8, à l'abscisse t = 0{,}5\text{ yr} (six mois) :

• la courbe théorique tracée indique une épaisseur y_m \approx 5{,}7\text{ m} ;
• les points de mesure expérimentaux (notamment ceux du cratère de Makaopuhi \circ et de Kilauea Iki \Box) sont resserrés autour de cette valeur, entre 5{,}5\text{ m} et 6{,}0\text{ m}.

Le modèle de diffusion thermique avec transition de phase (problème de Stefan autosimilaire) reproduit donc remarquablement bien la cinétique de solidification observée in situ.