Corrigé détaillé CCINP Physique-Chimie MPI 2024

a) Dans un milieu conducteur ohmique isotrope, en régime stationnaire ou quasi-stationnaire, la loi d'Ohm locale s'écrit, en reliant le champ électrique \vec{E} au potentiel électrique V par \vec{E} = -\overrightarrow{\operatorname{grad}}\,V :

où \vec{j} est le vecteur densité volumique de courant électrique et \sigma la conductivité électrique du milieu.

En comparant cette relation avec la loi de Darcy :

on identifie directement les analogies suivantes :

• le potentiel hydrique \psi est l'analogue du potentiel électrique V ;
• le vecteur densité de courant de masse \vec{j}_M est l'analogue du vecteur densité de courant électrique \vec{j}.

Par identification formelle entre \vec{j}_M = -\gamma\,\overrightarrow{\operatorname{grad}}\,\psi et \vec{j} = -\sigma\,\overrightarrow{\operatorname{grad}}\,V, on définit la conductivité hydraulique \gamma du milieu, analogue de la conductivité électrique \sigma, par :

b) En électrocinétique, le flux du vecteur densité de courant \vec{j} à travers une section (S) définit l'intensité du courant électrique I :

Par analogie, le débit massique D = \iint_{(S)} \vec{j}_M \cdot \mathrm{d}\vec{S} est l'analogue de l'intensité du courant électrique I.

a) Par analogie avec la loi d'Ohm macroscopique régissant un conducteur ohmique en régime continu (V_A - V_B = R \, I), la différence de potentiel hydrique \psi_A - \psi_B > 0 entre les deux extrémités d'un tube de courant parcouru par un débit massique D (orienté de A vers B) s'écrit :

La résistance hydraulique R_H est donc définie par :

b) Déterminons la dimension de la résistance hydraulique à partir des grandeurs de base du Système international :

• Le potentiel hydrique \psi est homogène à une pression, exprimée en pascals (\mathrm{Pa}) :

  [\psi] = \frac{[\text{Force}]}{[\text{Surface}]} = \frac{\mathrm{M \cdot L \cdot T^{-2}}}{\mathrm{L^2}} = \mathrm{M \cdot L^{-1} \cdot T^{-2}} \quad (\text{soit en } \mathrm{kg \cdot m^{-1} \cdot s^{-2}})

• Le débit massique D représente une masse par unité de temps :

  [D] = \frac{[\text{Masse}]}{[\text{Temps}]} = \mathrm{M \cdot T^{-1}} \quad (\text{soit en } \mathrm{kg \cdot s^{-1}})

On en déduit la dimension de R_H :

La résistance hydraulique s'exprime donc en :

Considérons une racine cylindrique rectiligne de section s_r, de longueur l_r, d'axe orienté de l'extrémité en contact avec le sol (S) vers la base du tronc (O).

La circulation du champ -\vec{\operatorname{grad}}\,\psi le long de cette racine de S à O s'écrit :

D'après la loi de Darcy introduite en Q1, on a \vec{j}_M = -\gamma_r \vec{\operatorname{grad}}\,\psi, soit -\vec{\operatorname{grad}}\,\psi = \frac{\vec{j}_M}{\gamma_r}. En régime stationnaire, la conservation de la masse impose un écoulement unidimensionnel uniforme le long de la racine : le vecteur \vec{j}_M est colinéaire à \mathrm{d}\vec{\ell} et de norme uniforme dans la section s_r, d'où un débit massique à travers la section D_r = j_M s_r.

On en déduit :

Par identification avec la définition de la résistance hydraulique R_r = \frac{\psi_S - \psi_O}{D_r} (Q2), on obtient :

Le système racinaire est constitué de N racines identiques connectées en parallèle entre le même potentiel d'entrée \psi_S (le sol) et le même potentiel de sortie \psi_O (le point O). Le débit massique total aspiré est la somme des débits de chaque racine : D_{\text{tot}} = N D_r.

La loi d'association en parallèle donne ainsi :

En régime stationnaire, la conservation de la masse d'eau impose que le débit massique D qui traverse successivement le système racinaire, le tronc, le système foliaire et l'interface avec l'atmosphère soit conservé :

Par analogie électrocinétique, un même débit massique (analogue de l'intensité du courant électrique) traversant ces différents milieux implique que les résistances hydrauliques associées sont connectées en série.

Le système racines-tronc-feuilles-atmosphère est donc équivalent à quatre résistances en série soumises à la différence de potentiel hydrique globale \psi_S - \psi_{\text{atm}} :

La résistance hydraulique totale de l'arbre et de son interface s'écrit ainsi :

D'après l'étude menée à la question Q4, le pin et l'interface feuille-atmosphère sont traversés par un même flux d'eau de débit massique D en régime stationnaire. Par analogie avec la loi d'Ohm, on a :

où :

• \Delta \psi_p = \psi_{\text{sol}} - \psi_{\text{feuilles}} est la différence de potentiel hydrique aux bornes du pin (depuis le sol au contact des racines jusqu'aux aiguilles sommitales) ;
• \Delta \psi_a = \psi_{\text{feuilles}} - \psi_{\text{atm}} est la différence de potentiel hydrique à l'interface feuille-atmosphère.

On en déduit l'expression de la résistance hydraulique R_a :

D'après la figure 2, les potentiels hydriques valent :

Ce qui donne les écarts de potentiel suivants :

Avec R_p = 1{,}0 \cdot 10^9\text{ S.I.} :

En régime stationnaire, le débit massique D traversant chaque élément en série du système est constant. D'après la définition de la résistance hydraulique (question Q2) appliquée à l'ensemble du pin entre le sol (\psi_{\mathrm{S}}) et le sommet foliaire (\psi_{\mathrm{f}}) :

D'après la figure 2 :

d'où :

Pendant une durée journalière d'exposition solaire \Delta t = 12\text{ h} = 12 \times 3\,600\text{ s} = 4,32 \cdot 10^4\text{ s}, la masse d'eau évapo-transpirée par le pin est :

D'après la question Q6, la masse d'eau évapo-transpirée par un pin adulte au cours d'une journée d'été est :

Pour un peuplement de N = 300\text{ pins} par hectare, la masse totale d'eau M_{\text{ha}} évapo-transpirée par hectare et par jour s'écrit :

En réalisant l'application numérique :

Cette valeur de 19\text{ tonnes} est bien comprise dans l'intervalle de 15\text{ à } 25\text{ tonnes} par jour fourni par le C.N.P.F.

Les valeurs du C.N.P.F. sont donc en excellent accord avec le résultat calculé en Q6.

L'allure du diagramme des phases (p, T) d'un corps pur comme l'eau présente les trois domaines de stabilité monophasique (solide, liquide et gaz) séparés par trois courbes d'équilibre diphasique qui se rejoignent en un point commun :

Les deux points particuliers requis par l'énoncé sont :

• Le point triple \mathrm{T} : unique état thermodynamique où les trois phases (solide, liquide, vapeur) coexistent simultanément en équilibre sous la variance nulle v = 1 - 3 + 2 = 0. Pour l'eau pure : T_{\text{t}} \approx 273{,}16\text{ K} (0{,}01\text{ }^\circ\text{C}) et p_{\text{t}} \approx 611\text{ Pa} \approx 6{,}1\times 10^{-3}\text{ bar}.
• Le point critique \mathrm{C} : extrémité supérieure de la courbe de vaporisation liquide-gaz. En ce point, les masses volumiques et enthalpies des phases liquide et gazeuse deviennent identiques (la distinction liquide/gaz disparaît). Au-delà (T > T_{\text{c}} et p > p_{\text{c}}), le milieu est un fluide supercritique. Pour l'eau pure : T_{\text{c}} \approx 647\text{ K} (374\text{ }^\circ\text{C}) et p_{\text{c}} \approx 221\text{ bar}.

D'après l'énoncé, le pinène a pour formule brute \mathrm{C}_{10}\mathrm{H}_{16}. Sa masse molaire vaut :

À l'équilibre de vaporisation à la température T = 293\text{ K}, la pression partielle du pinène gazeux dans le local est égale à sa pression de vapeur saturante :

En assimilant la vapeur de pinène à un gaz parfait occupant un volume V, on a :

La concentration massique de pinène dans l'air, notée C_m, s'exprime donc par :

Application numérique avec p_p = 430\text{ Pa}, M = 136\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}, R = 8,31\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1} et T = 293\text{ K} :

La concentration à l'équilibre dépasse largement la teneur limite admissible de 5\text{ g}\cdot\text{m}^{-3} (près de 5 fois plus élevée). Il est donc dangereux de travailler dans un local fermé à 20\text{ }^\circ\text{C} où se trouve de la térébenthine à l'équilibre de vaporisation ; une ventilation efficace est indispensable.

Un corps pur liquide entre en ébullition à la pression extérieure P^\circ lorsque sa pression de vapeur saturante devient égale à cette pression extérieure :

Sur la figure 5, chaque subdivision élémentaire de l'axe des abscisses représente 1\text{ K}. On repère l'intersection de la droite horizontale d'ordonnée p = 1{,}00\text{ bar} avec la courbe p_p(T) du pinène pur :

(une lecture comprise entre 432\text{ K} et 434\text{ K} est tout à fait acceptable).

L'eau et le pinène liquides étant non miscibles, chaque liquide exerce indépendamment sa propre pression de vapeur saturante dans la phase gazeuse à la température T du milieu :

D'après la loi de Dalton pour un mélange gazeux idéal, la pression totale dans l'alambic vaut :

L'ébullition du mélange se produit dès que la pression totale de vapeur atteint la pression atmosphérique extérieure P^\circ = 1\text{ bar} :

Sur la figure 5, on repère l'intersection de la courbe p_e(T) + p_p(T) avec la droite horizontale p = 1{,}00\text{ bar}. On lit en abscisse :

D'après l'énoncé, les deux liquides étant non miscibles, la phase vapeur à l'équilibre d'ébullition sous P^\circ = 1\text{ bar} est un mélange idéal de gaz dont les pressions partielles P_e et P_p vérifient :

avec P_e + P_p = P^\circ = 1{,}00\text{ bar}.

D'après le résultat de la question Q11, la température d'ébullition du mélange vaut :

Par lecture graphique sur la figure 5 à cette température :

• sur la courbe de l'eau pure p_e(T), on lit :

  \boxed{P_e \approx 0{,}85\text{ bar} = 8{,}5 \cdot 10^4\text{ Pa}} \quad (\pm 0{,}01\text{ bar})

• sur la courbe du pinène pur p_p(T), on lit :

  \boxed{P_p \approx 0{,}15\text{ bar} = 1{,}5 \cdot 10^4\text{ Pa}} \quad (\pm 0{,}01\text{ bar})

On vérifie bien que la somme de ces pressions partielles redonne la pression totale imposée :

Dans le mélange gazeux issu de l'alambic et entraîné vers le condenseur, les deux espèces sont assimilées à des gaz parfaits. Pour un même volume V de vapeur à la température T_{\text{eb}}, les quantités de matière d'eau n_e et de pinène n_p s'écrivent :

Le rapport molaire dans la phase gazeuse est donc égal au rapport des pressions partielles :

Les masses correspondantes m_e et m_p produites sont reliées aux quantités de matière par leurs masses molaires M_e et M_p :

On en déduit l'expression de la masse d'eau nécessaire :

D'après les données de l'énoncé :

• Pour l'eau \mathrm{H_2O} : M_e = 2 \times 1 + 16 = 18\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} ;
• Pour le pinène \mathrm{C_{10}H_{16}} : M_p = 10 \times 12 + 16 \times 1 = 136\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} ;
• D'après la question Q12 : p_e \approx 0{,}85\text{ bar} et p_p \approx 0{,}15\text{ bar} ;
• m_p = 1{,}0\text{ kg}.

Application numérique :

On étudie la jambe gauche (j_{\mathrm{g}}), solide indéformable de masse m_{\mathrm{j}}, dans le référentiel lié au buste, supposé galiléen selon l'énoncé.

Dans ce référentiel, le point F_{\mathrm{g}} (pivot fémoral) est fixe. La jambe est en rotation autour de l'axe fixe \Delta = (F_{\mathrm{g}} y), orienté par \vec{u}_y.

D'après la figure 7b, \theta(t) désigne l'écart angulaire de la jambe par rapport à la verticale descendante (l'énoncé mentionne par inadvertance la « verticale ascendante », mais la figure 7b ainsi que le caractère oscillatoire de la phase confirment qu'il s'agit de la verticale descendante passant par F_{\mathrm{g}}).

• Moment cinétique : le moment d'inertie de la jambe par rapport à l'axe (F_{\mathrm{g}} y) étant noté J_F, la projection du moment cinétique sur cet axe s'écrit :

  \sigma_{\Delta} = J_F \, \dot{\theta}(t)

• Bilan des actions mécaniques extérieures :

  • L'action de la liaison pivot en F_{\mathrm{g}}, dont le moment par rapport à l'axe de rotation est nul car la liaison est supposée parfaite : \mathcal{M}_{\Delta}(\vec{R}) = 0.
  • Le poids \vec{P} = m_{\mathrm{j}}\vec{g} = -m_{\mathrm{j}}g\vec{u}_z, s'appliquant au centre de masse G_{\mathrm{jg}}, situé à la distance F_{\mathrm{g}}G_{\mathrm{jg}} = \Delta du pivot.

• Moment scalaire du poids : Avec \vec{F_{\mathrm{g}}G_{\mathrm{jg}}} = \Delta \sin\theta \, \vec{u}_x - \Delta \cos\theta \, \vec{u}_z, le moment du poids par rapport à F_{\mathrm{g}} vaut :

  \begin{aligned} \vec{\mathcal{M}}_{F_{\mathrm{g}}}(\vec{P}) &= \vec{F_{\mathrm{g}}G_{\mathrm{jg}}} \times \vec{P} \\ &= (\Delta \sin\theta \, \vec{u}_x - \Delta \cos\theta \, \vec{u}_z) \times (-m_{\mathrm{j}}g\vec{u}_z) \\ &= - m_{\mathrm{j}} g \Delta \sin\theta \, (\vec{u}_x \times \vec{u}_z) \end{aligned}

  Le poids exerce un couple de rappel qui tend à ramener la jambe vers la position verticale d'équilibre \theta = 0. Sa projection sur l'axe de rotation s'écrit donc :

  \mathcal{M}_{\Delta}(\vec{P}) = - m_{\mathrm{j}} g \Delta \sin\theta

En appliquant le théorème du moment cinétique projeté sur l'axe (F_{\mathrm{g}} y) :

On obtient ainsi l'équation différentielle régissant le mouvement d'oscillation :

D'après la question Q14, l'équation différentielle régissant l'oscillation libre de la jambe gauche (j_{\mathrm{g}}) s'écrit :

Dans l'approximation des petits angles, on a \sin\theta(t) \simeq \theta(t), ce qui conduit à l'équation d'un oscillateur harmonique :

On en déduit l'expression de la pulsation d'oscillation :

La période propre associée à ces oscillations libres est :

Durant la phase d'oscillation gauche, la jambe est libérée en arrière en \theta = -\theta_{\mathrm{a}} avec une vitesse angulaire nulle et oscille jusqu'à atteindre l'avant en \theta = +\theta_{\mathrm{a}} où elle reprend appui au sol. Ce mouvement d'un extremum à l'extremum opposé constitue une demi-oscillation (ou un aller simple), de sorte que la durée \tau_{\mathrm{os}} correspond à une demi-période :

Soit, en fonction des grandeurs du problème :

L'énergie mécanique du marcheur est la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle de pesanteur du système (\Sigma) = \{(j_{\mathrm{d}}), (j_{\mathrm{g}}), (b)\} :

1. Bilan d'énergie cinétique :

• Le buste (b) est animé d'un mouvement de translation quasi-uniforme de vitesse V_{\mathrm{dc}} constante, donc sa variation d'énergie cinétique est négligée : \Delta E_{\mathrm{c}}(b) = 0.

• La jambe droite (j_{\mathrm{d}}) est en rotation autour de l'axe fixe O_{\mathrm{d}}y. Sa vitesse angulaire valant \Omega(0) = 0 à t = 0 et \Omega(\tau_{\mathrm{dc}}) à t = \tau_{\mathrm{dc}}, on a :

  \Delta E_{\mathrm{c}}(j_{\mathrm{d}}) = \frac{1}{2} J_O \Omega(\tau_{\mathrm{dc}})^2 - \frac{1}{2} J_O \Omega(0)^2 = \frac{1}{2} J_O \Omega(\tau_{\mathrm{dc}})^2

• D'après l'énoncé, les variations d'énergie cinétique des deux jambes sont supposées égales :

  \Delta E_{\mathrm{c}}(j_{\mathrm{g}}) = \Delta E_{\mathrm{c}}(j_{\mathrm{d}}) = \frac{1}{2} J_O \Omega(\tau_{\mathrm{dc}})^2

La variation totale d'énergie cinétique vaut donc :

2. Bilan d'énergie potentielle de pesanteur :

• Les variations d'énergie potentielle de pesanteur des deux jambes sont négligées : \Delta E_{\mathrm{pp}}(j_{\mathrm{d}}) \approx 0 et \Delta E_{\mathrm{pp}}(j_{\mathrm{g}}) \approx 0.

• Le centre de masse G_b du buste subit une élévation d'altitude h = z_{G_b}(\tau_{\mathrm{dc}}) - z_{G_b}(0) dans le champ de pesanteur uniforme, d'où :

  \Delta E_{\mathrm{pp}}(b) = m_b g h

La variation d'énergie potentielle totale s'écrit alors :

En sommant les deux contributions, on obtient :

Cette relation découle du théorème de l'énergie mécanique (ou théorème de la puissance mécanique sous forme intégrée).

Énoncé du théorème de l'énergie mécanique : Dans un référentiel galiléen, la variation de l'énergie mécanique \Delta\mathcal{E} d'un système matériel entre deux instants t_1 et t_2 est égale à la somme des travaux de l'ensemble des forces non conservatives (extérieures et intérieures) appliquées au système entre ces deux instants :

Dans le cas du marcheur (\Sigma) :

• les forces de pesanteur dérivent d'une énergie potentielle déjà incluse dans \mathcal{E} ;
• les forces de réaction du sol ne travaillent pas (contact sans glissement) ;
• la seule contribution non conservative provient des actions musculaires (efforts intérieurs), développant une puissance \mathcal{P}_{\mathrm{nc}} = \mathscr{P}.

En supposant cette puissance \mathscr{P} constante au cours de la phase de double contact de durée \tau_{\mathrm{dc}}, il vient :

ce qui conduit immédiatement à l'évaluation proposée :

D'après la question Q16, la variation d'énergie mécanique de l'ensemble marcheur (\Sigma) pendant la phase de double contact vaut :

D'après la question Q17, la puissance musculaire moyenne s'écrit :

D'après les hypothèses du préambule de la section III.2, la vitesse moyenne de translation du buste est liée au pas p et à la durée \tau_{\mathrm{dc}} par :

En utilisant la condition de marche \Omega(\tau_{\mathrm{dc}}) = \omega_{\mathrm{os}} et l'expression de la pulsation propre issue de la question Q15 :

le terme cinétique devient :

En substituant ce terme ainsi que l'expression approchée de la montée du buste h \simeq \frac{p^2}{2l_{\mathrm{j}}}, il vient :

On obtient bien la relation demandée :

D'après l'expression établie à la question Q18 :

Pour une vitesse de translation V_{\mathrm{dc}} donnée, dérivons la fonction \mathscr{P}(p) par rapport à p :

La condition d'extremum \dfrac{\mathrm{d}\mathscr{P}}{\mathrm{d}p} = 0 impose, pour un pas strictement positif (p > 0) :

On vérifie la nature de cet extremum à l'aide de la dérivée seconde :

La fonction \mathscr{P}(p) est strictement convexe sur \mathbb{R}^{+*}, l'extremum est donc un unique minimum absolu, atteint pour :

D'après la question Q19, l'expression générale du pas optimal minimisant la puissance musculaire s'écrit :

En injectant les conditions du modèle à répartition de masse uniforme, pour lesquelles \Delta = \dfrac{l_{\mathrm{j}}}{2} et J_O = J_F, l'expression se simplifie directement :

Avec l_{\mathrm{j}} = 1\text{ m}, m_{\mathrm{j}} = 10\text{ kg} et m_{\mathrm{b}} = 60\text{ kg} :

a) D'après la question Q19, le pas optimal s'écrit :

L'échasse est modélisée comme une tige de longueur l^* et de masse négligeable fixée au pied de la jambe :

• Paramètres inchangés :

  • La masse du buste m_{\mathrm{b}} reste inchangée.
  • La masse de la jambe équivalente reste m_{\mathrm{j}} car la masse de l'échasse est négligée.
  • La position du centre de masse G_{\mathrm{j}} par rapport au pivot fémoral F ne change pas, donc la distance \Delta = F G_{\mathrm{j}} reste inchangée.
  • Le moment d'inertie de la jambe oscillante par rapport à l'axe fémoral Fy reste inchangé (J_F) car la masse de l'échasse est négligeable.

• Paramètres modifiés :

  • La longueur de la jambe en contact avec le sol devient celle de la jambe équivalente :

    l_{\mathrm{j}} \longrightarrow l_{\mathrm{j}}^* = l_{\mathrm{j}} + l^*

  • Le point de rotation au sol n'est plus O mais E (extrémité inférieure de l'échasse), de sorte que le moment d'inertie par rapport à l'axe de rotation au sol est modifié :

    J_O \longrightarrow J_E^*

b) En substituant ces modifications dans l'expression de p_{\mathrm{opt}}, le nouveau pas optimal s'écrit :

En effectuant le quotient avec l'expression de p_{\mathrm{opt}} :

soit :

a) D'après le tableau 1, les moments d'inertie valent respectivement :

Le quotient des moments d'inertie s'écrit donc en fonction du seul rapport \frac{l^*}{l_{\mathrm{j}}} :

En injectant ce rapport dans l'expression établie à la question Q21.b, on obtient :

b) Pour l_{\mathrm{j}} = 1\text{ m} et l^* = 1\text{ m}, le rapport des longueurs vaut \frac{l^*}{l_{\mathrm{j}}} = 1. L'application numérique donne :

Soit :

c) Pendant la phase d'oscillation, la jambe oscille autour de l'axe de son pivot fémoral F_{\mathrm{g}}y. La pulsation associée est donnée par (d'après Q15) :

L'échasse étant modélisée par une tige de masse négligeable fixée à la jambe :

• la masse totale de la jambe mobile reste égale à m_{\mathrm{j}} ;
• la position du centre de masse G_{\mathrm{jg}} par rapport à l'axe fémoral est inchangée, donc la distance \Delta est inchangée ;
• le moment d'inertie par rapport à l'axe fémoral F_{\mathrm{g}}y est inchangé (J_F^* = J_F).

Par conséquent, la pulsation \omega_{\mathrm{os}} ainsi que la durée de la phase oscillante restent inchangées :

d) La vitesse moyenne de déplacement horizontal sur un cycle vérifiant V \propto p_{\mathrm{opt}}\,\omega_{\mathrm{os}}, le rapport des vitesses s'écrit :

Comme \omega_{\mathrm{os}}^* = \omega_{\mathrm{os}}, on en déduit directement :

Commentaire : À puissance musculaire minimisée (conditions optimales), l'utilisation d'échasses de 1\text{ m} permet au berger de multiplier sa vitesse de déplacement par un facteur proche de 3{,}7 (le pas passe typiquement de 0{,}41\text{ m} à plus de 1{,}5\text{ m} pour une même cadence d'oscillation pendulaire des membres). Ce gain spectaculaire de rapidité et d'enjambée pour un moindre coût énergétique justifie pleinement le qualificatif de « marche à pied augmentée ».

Considérons les trois équilibres physico-chimiques mis en jeu en solution aqueuse :

• L'acidité du dihydrogénodiphosphate :

  \mathrm{H_2P_2O_7^{2-} + H_2O \rightleftarrows HP_2O_7^{3-} + H_3O^+} \quad (K_{a1})

• L'acidité du dioxyde de carbone dissous :

  \mathrm{CO_{2,aqueux} + 2\,H_2O \rightleftarrows HCO_3^- + H_3O^+} \quad (K_{a3})

• La dissolution du dioxyde de carbone gazeux :

  \mathrm{CO_2(g) \rightleftarrows CO_{2,aqueux}} \quad (K_s)

La réaction (1) s'écrit comme la combinaison suivante :

soit :

La constante d'équilibre K_1^\circ de la réaction (1) s'exprime donc par :

Application numérique : À 25\text{ }^\circ\text{C} :

D'où :

D'après les données fournies pour les masses molaires atomiques, on calcule les masses molaires de \mathrm{Na_2H_2P_2O_7} et de \mathrm{NaHCO_3} :

La masse totale du sachet est de 15\text{ g}, dont 4\text{ g} d'amidon inerte. La masse cumulée des réactifs actifs vaut donc :

D'après l'équation-bilan (1) :

les réactifs réagissent dans un rapport stœchiométrique 1:1. Pour assurer la stœchiométrie du mélange, il faut donc l'égalité des quantités de matière initiales :

En substituant cette relation dans l'expression de la masse totale :

Applications numériques :

D'après l'équation bilan de la réaction (1) :

une mole de \mathrm{HCO_3^-} (ou de \mathrm{H_2P_2O_7^{2-}}) réagissant totalement produit une mole de dioxyde de carbone gazeux.

La quantité de matière de \mathrm{CO_2} libérée par la réaction totale d'un sachet de levure correspond donc à la quantité initiale calculée à la question Q24 :

En assimilant le dioxyde de carbone à un gaz parfait, le volume V(\mathrm{CO_2}) libéré sous la pression P = 1\text{ bar} = 10^5\text{ Pa} et à la température de cuisson T = 170 + 273 = 443\text{ K} s'écrit :

Application numérique :

a) Attribution des espèces aux courbes :

• Par définition du \mathrm{pH}, [\mathrm{H_3O^+}] = 10^{-\mathrm{pH}}, soit \log\left(\frac{[\mathrm{H_3O^+}]}{C^\circ}\right) = -\mathrm{pH}. Il s'agit d'une droite de pente -1 passant par l'origine (0,0) : c'est la courbe 4.
• Le produit ionique de l'eau donne [\mathrm{OH^-}] = \frac{K_e}{[\mathrm{H_3O^+}]} = 10^{\mathrm{pH}-14}, soit \log\left(\frac{[\mathrm{OH^-}]}{C^\circ}\right) = \mathrm{pH}-14. C'est une droite de pente +1 s'annulant en \mathrm{pH} = 14 : c'est la courbe 5.

• Les espèces phosphorées dérivent du diacide \mathrm{H_2P_2O_7^{2-}}. Selon l'échelle des \mathrm{p}K_a, les formes prédominent par ordre de déprotonation croissante lorsque le \mathrm{pH} augmente :

  • À \mathrm{pH} < \mathrm{p}K_{a1} = 6{,}7, l'acide \mathrm{H_2P_2O_7^{2-}} prédomine : courbe 1.
  • Pour 6{,}7 < \mathrm{pH} < \mathrm{p}K_{a2} = 9{,}3, l'ampholyte \mathrm{HP_2O_7^{3-}} prédomine : courbe 2.
  • À \mathrm{pH} > \mathrm{p}K_{a2} = 9{,}3, la base \mathrm{P_2O_7^{4-}} prédomine : courbe 3.

b) Détermination de C_p : Dans le domaine où l'une des espèces phosphorées est ultra-majoritaire (par exemple pour la courbe 1 entre \mathrm{pH} = 2 et 5), sa concentration est pratiquement égale à la concentration totale C_p. Sur ce palier horizontal, on lit :

D'où la concentration totale en espèces phosphorées :

c) Valeurs théoriques des abscisses des points P et Q :

• Le point \mathrm{P} correspond à l'intersection des courbes 1 et 2, soit [\mathrm{H_2P_2O_7^{2-}}] = [\mathrm{HP_2O_7^{3-}}]. D'après la relation d'Henderson-Hasselbalch appliquée au premier couple acido-basique :

  \mathrm{pH} = \mathrm{p}K_{a1} + \log\left(\frac{[\mathrm{HP_2O_7^{3-}}]}{[\mathrm{H_2P_2O_7^{2-}}]}\right) = \mathrm{p}K_{a1}

  L'abscisse théorique du point \mathrm{P} est donc :

  \boxed{\mathrm{pH}_\mathrm{P} = \mathrm{p}K_{a1} = 6{,}7}

• Le point \mathrm{Q} correspond à l'intersection des courbes 2 et 3, soit [\mathrm{HP_2O_7^{3-}}] = [\mathrm{P_2O_7^{4-}}]. De même, pour le second couple acido-basique :

  \mathrm{pH} = \mathrm{p}K_{a2} + \log\left(\frac{[\mathrm{P_2O_7^{4-}}]}{[\mathrm{HP_2O_7^{3-}}]}\right) = \mathrm{p}K_{a2}

  L'abscisse théorique du point \mathrm{Q} est donc :

  \boxed{\mathrm{pH}_\mathrm{Q} = \mathrm{p}K_{a2} = 9{,}3}

La réaction (1) étant totale et réalisée dans les proportions stœchiométriques (d'après la question Q24), tout le dihydrogénodiphosphate \mathrm{H_2P_2O_7^{2-}} et l'hydrogénocarbonate \mathrm{HCO_3^-} ont réagi. Après dégazage complet du dioxyde de carbone, l'espèce prépondérante apportée en solution est l'ion ampholyte monohydrogénodiphosphate \mathrm{HP_2O_7^{3-}} à la concentration C_p.

D'après l'énoncé, l'état d'équilibre est régi par la réaction de dismutation :

La stœchiométrie de cette réaction impose l'égalité des concentrations des espèces formées :

soit encore :

Sur la figure 8, cette condition correspond à l'abscisse du point d'intersection de la courbe 1 (associée à \mathrm{H_2P_2O_7^{2-}}) et de la courbe 3 (associée à \mathrm{P_2O_7^{4-}}).

Par lecture graphique directe à l'intersection des courbes 1 et 3 :

Une porte logique nand (NON-ET) à deux entrées indépendantes A et B et une sortie S réalise l'opération logique :

La sortie S vaut 0 si et seulement si les deux entrées A et B sont simultanément à l'état haut (1). Sa table de vérité est la suivante :

Lorsque les deux entrées sont reliées entre elles, elles sont soumises au même niveau logique d'entrée, noté E (A = B = E). L'équation logique devient :

La porte se comporte donc comme un inverseur logique (ou porte not / porte NON).

D'après le schéma de l'étage 1 (figure 9) :

• Les tensions u_1(t), u(t) et u_2(t) représentent les potentiels électriques en différents nœuds du circuit par rapport à la masse.
• La résistance R est connectée entre le nœud de potentiel u_1(t) et le nœud de potentiel u_2(t).

• Le condensateur C est connecté entre le nœud de potentiel u(t) (en sortie de la porte 1) et le nœud de potentiel u_2(t). La tension à ses bornes est définie par :

  u_c(t) = u_2(t) - u(t)

Les résistances d'entrée des portes logiques étant infinies et le courant prélevé par l'étage 2 étant négligeable devant les courants de charge du condensateur, aucun courant ne s'échappe vers la porte 2 ni vers la résistance R_{\mathrm{h}}.

En appliquant la loi des nœuds au point de potentiel u_2(t) :

• Le courant issu de la résistance R entrant dans le nœud vaut :

  i_R(t) = \frac{u_1(t) - u_2(t)}{R}

• En convention récepteur pour la tension u_c(t) = u_2(t) - u(t), le courant quittant le nœud à travers le condensateur vers le potentiel u(t) s'écrit :

  i_C(t) = C \frac{\mathrm{d}u_c}{\mathrm{d}t}

La conservation de la charge au nœud impose i_R(t) = i_C(t), soit :

En retranchant u(t) de part et d'autre :

On obtient bien la forme demandée :

avec le temps caractéristique :

a) D'après la question Q28, la porte NAND dont les deux entrées sont reliées fonctionne comme un inverseur logique (porte NOT).

À l'instant t = 0, la tension d'entrée de la porte 1 est u_1 = V_a. Comme V_a > V_b, l'entrée est au niveau logique « 1 ». Le temps de propagation de la porte étant considéré comme négligeable, la sortie bascule instantanément au niveau logique « 0 », soit :

Tant que u_1 = V_a, la tension à la sortie de la porte 1 reste constante : u(t) = 0\text{ V}. L'équation différentielle établie à la question Q29 devient alors :

La solution générale s'écrit :

Le condensateur étant initialement déchargé, la continuité de la tension à ses bornes impose u_c(0^+) = u_c(0^-) = 0, d'où V_a + A = 0, soit A = -V_a. On obtient :

Par définition de u_c(t) = u_2(t) - u(t), et sachant que u(t) = 0\text{ V} :

b) La résistance d'entrée des portes logiques étant considérée comme infinie, aucun courant ne traverse la résistance de protection R_p. Le potentiel à l'entrée de la porte 2 est donc égal à u_2(t).

Tant que u_2(t) < V_b, l'entrée de la porte 2 est au niveau logique « 0 », ce qui maintient sa sortie à l'état logique « 1 », confirmant la valeur u_1 = V_a.

La fin de validité de cette phase intervient à la date t_b où la tension d'entrée de la porte 2 franchit le seuil de basculement V_b :

En prenant le logarithme népérien, on en déduit :

a) Nouvelle équation différentielle vérifiée par u_c(t) :

À la date t = t_b^-, u_2(t_b^-) = V_b. Lorsque u_2 dépasse V_b, l'entrée de la porte 2 passe au niveau logique « 1 ». Par conséquent :

• La sortie de la porte 2 passe au niveau logique « 0 », soit u_1 = 0.
• L'entrée de la porte 1 (reliée à u_1) passe au niveau logique « 0 », donc sa sortie passe au niveau logique « 1 », soit u = V_a.

En reportant u_1 = 0 et u = V_a dans l'équation différentielle générale \tau \dfrac{\mathrm{d}u_c}{\mathrm{d}t} + u_c = u_1 - u (établie en Q29), on obtient :

b) Expressions de u_c(t) et de u_2(t) pour t_b < t < t'_b :

La solution générale de cette équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants s'écrit :

où A est une constante déterminée par la continuité de la tension aux bornes du condensateur en t = t_b :

D'où -V_a + A = V_b, soit A = V_a + V_b. Ainsi :

Pour t \in ]t_b, t'_b[, la sortie de la porte 1 vaut u(t) = V_a. La relation u_c(t) = u_2(t) - u(t) donne immédiatement :

Soit :

c) Expression de la durée t'_b - t_b :

À t = t_b^+, on a u_2(t_b^+) = V_a + V_b > V_b, ce qui maintient l'entrée de la porte 2 au niveau logique « 1 ».

Puis, u_2(t) décroît exponentiellement vers 0. Le prochain basculement intervient à la date t'_b lorsque la tension d'entrée u_2(t) atteint à nouveau le seuil de basculement V_b par valeurs supérieures :

Il vient :

En prenant le logarithme népérien, on en déduit :

a) À la date t = t'_b, la tension u_2(t) décroît et franchit vers le bas la tension de basculement V_b :

• l'entrée de la porte 2 passe à un niveau logique « 0 » (u_2 < V_b), sa sortie bascule donc à l'état haut : u_1 = V_a ;
• l'entrée de la porte 1 reçoit alors u_1 = V_a > V_b (niveau logique « 1 »), sa sortie bascule donc à l'état bas : u = 0.

D'après l'équation différentielle générale établie à la question Q29, \tau \dfrac{\mathrm{d}u_c}{\mathrm{d}t} + u_c = u_1 - u, l'équation à considérer pour t'_b < t < t''_b est :

Par continuité de la tension aux bornes du condensateur à l'instant du basculement :

La solution générale de l'équation différentielle s'écrit :

La condition initiale en t = t'_b donne V_a + A = V_b - V_a, d'où A = -(2V_a - V_b). On en déduit :

Pendant cet intervalle de temps, la sortie de la porte 1 est à u(t) = 0, d'où u_2(t) = u(t) + u_c(t) = u_c(t) :

b) À l'instant t = {t'_b}^+, la tension u_2({t'_b}^+) = V_b - V_a < 0 est inférieure à V_b. Elle croît ensuite asymptotiquement vers V_a > V_b.

La date de fin de validité t''_b correspond à l'instant où u_2(t) atteint à nouveau le seuil de basculement V_b :

Soit :

On obtient finalement :

D'après les résultats des questions Q30, Q31 et Q32, le fonctionnement s'organise en trois phases successives :

• Pour 0 \leqslant t < t_b : la sortie de l'inverseur 1 vaut u(t) = 0. Le condensateur se charge depuis u_c(0) = 0 vers V_a, avec u_2(t) = u_c(t) = V_a(1 - \mathrm{e}^{-t/\tau}). À l'instant t_b^-, on atteint u_2(t_b^-) = V_b.

• À t = t_b : u_2 atteint le seuil V_b, la porte 2 bascule à 0 (u_1 = 0), ce qui fait commuter la sortie 1 à u = V_a. Par continuité de la tension aux bornes d'un condensateur :

  u_c(t_b^+) = u_c(t_b^-) = V_b

  La loi des mailles impose donc un saut de potentiel pour u_2 :

  u_2(t_b^+) = u(t_b^+) + u_c(t_b^+) = V_a + V_b
• Pour t_b < t < t'_b : u(t) = V_a. Le condensateur se décharge vers -V_a selon l'asymptote -V_a : u_c(t) = -V_a + (V_a + V_b)\mathrm{e}^{-(t - t_b)/\tau}, d'où u_2(t) = (V_a + V_b)\mathrm{e}^{-(t - t_b)/\tau}. À la date t = {t'_b}^-, u_2({t'_b}^-) = V_b et u_c({t'_b}^-) = V_b - V_a.

• À t = t'_b : u_2 passe sous le seuil V_b, la porte 2 bascule à 1 (u_1 = V_a), donc la sortie 1 retombe à u = 0. Par continuité :

  u_c({t'_b}^+) = u_c({t'_b}^-) = V_b - V_a

  D'où un saut de tension vers le bas pour u_2 :

  u_2({t'_b}^+) = u({t'_b}^+) + u_c({t'_b}^+) = V_b - V_a < 0
• Pour t'_b < t < t''_b : u(t) = 0. Le condensateur se recharge vers V_a avec u_2(t) = u_c(t) = V_a - (2V_a - V_b)\mathrm{e}^{-(t - t'_b)/\tau}, jusqu'à atteindre de nouveau le seuil u_2({t''_b}^-) = V_b, clôturant ainsi une période complète du régime établi (T = t''_b - t_b).

a) Expression de la période T
Pour t > t_{\mathrm{b}}, le circuit fonctionne en régime périodique entretenu. Une période complète T est constituée de la somme des durées des deux demi-cycles consécutifs calculées aux questions Q31.c et Q32.b :

En remplaçant par les expressions établies :

Soit, en regroupant les logarithmes :

b) Application numérique
Avec R = 100\text{ k}\Omega et C = 20\text{ nF} :

Pour V_{\mathrm{a}} = 5\text{ V} et V_{\mathrm{b}} = 1{,}5\text{ V} :

On en déduit :

c) Rôle de l'étage 1 et dénomination en électronique

• Rôle : L'étage 1 génère de manière autonome une oscillation périodique (signal rectangulaire / en créneaux) sans nécessiter de signal de commande extérieur. Il sert de générateur de signal ou d'horloge pour alimenter et exciter le capteur d'humidité capacitif de l'étage 2 en régime alternatif.
• Nom du circuit : Il s'agit d'un oscillateur astable (ou multivibrateur astable).