Feuille d'entraînement : Approche énergétique et oscillateurs mécaniques

10 questions · filière MPI · durée estimée environ 45 min

Énoncés

Exercice 1X-ENS Physique MPI 2026, Q10· Exigeant· Incontournable· ≈ 5 min
On considère maintenant des trajectoires faiblement elliptiques, telles que $r (t) = r_{0} + r_{1} (t)$ avec, pour tout temps $t$ , $∣ r_{1} (t) ∣ ≪ r_{0}$ . Pour ces trajectoires, $r (t)$ présente des oscillations de faible amplitude autour de $r_{0}$ . En utilisant l'expression de $E_{p, eff} (r)$ obtenue plus haut, déterminer la pulsation $ω$ de ces petites oscillations en fonction de $r_{0}$ et $v_{0}$ .
Exercice 2X-ENS Physique MPI 2026, Q24· Application directe· Incontournable· ≈ 3 min
Établir la relation entre $v (x)$ , $V (x)$ , $e$ et $m$ .
Exercice 3CentraleSupélec Physique-Chimie 1 MPI 2025, Q15· Intermédiaire· Incontournable· ≈ 6 min
Montrer que les grandeurs $i (t)$ et $z (t)$ vérifient l'équation différentielle :
$\frac{d ^{2} z}{d t ^{2}} + \frac{ω _{0}}{Q _{m}} \frac{d z}{d t} + ω_{0}^{2} z (t) = - β i (t)$
où $ω_{0}$ , $Q_{m}$ et $β$ sont à exprimer en fonction de $K$ , $M$ , $λ$ , $r$ , $N$ et $B_{0}$ .
Exercice 4CentraleSupélec Physique-Chimie 2 MPI 2025, Q4· Application directe· Incontournable· ≈ 4 min
Traduire la conservation de l'énergie mécanique d'un électron circulant depuis la cathode vers l'anode pour en déduire la vitesse $v (r)$ d'un électron à la distance $r$ de l'axe en fonction, notamment, du potentiel électrique $V (r)$ .
Exercice 5E3A Physique-Chimie MPI 2025, Q8· Intermédiaire· Incontournable· ≈ 4 min
La solution qui a été retenue pour peser les spationautes en impesanteur est d'utiliser les oscillations d'un ressort. Le spationaute $M$ de masse $m_{2}$ s'accroche à un dispositif appelé BMMD (voir figure 2.a) de masse mobile $m_{1} = 12, 43 kg$ . Ce dispositif inclut aussi un ressort de raideur $k$ , et on peut le modéliser comme sur la figure 2b, où $m$ désigne la masse du dispositif et du spationaute. On négligera les frottements. Déterminer la relation entre la période propre et la masse $m$ .
Exercice 6Mines-Ponts Physique 1 MPI 2024, Q15· Intermédiaire· Incontournable· ≈ 6 min
Justifier que la contribution $d W_{g}$ à l'énergie gravitationnelle de cet accroissement (passage de $r$ à $r + d r$ ) s'écrit $d W_{g} = - G \frac{m d m}{r}$ . Calculer l'énergie gravitationnelle totale $W_{g}$ de l'étoile en fonction de $G$ , $M$ et $R$ .
Exercice 7X-ENS Physique MPI 2024, Q10· Intermédiaire· Incontournable· ≈ 5 min
L'énergie cinétique du système est conservée dans la collision. Écrire l'équation correspondante. En déduire le rapport $v^{'} / v$ en fonction du nombre de masse $A$ du noyau.
Exercice 8CCINP Physique-Chimie MPI 2023, Q6· Intermédiaire· Incontournable· ≈ 6 min
Montrer que l'équation liant $Z (t)$ à $F (t)$ est :
$\frac{d ^{2} Z ( t )}{d t ^{2}} + γ \frac{d Z ( t )}{d t} + β Z (t) = \frac{F ( t )}{M}$
et exprimer les coefficients $γ$ et $β$ en fonction de $k$ , $M$ et de $λ$ .
Exercice 9E3A Physique-Chimie MPI 2023, Q2· Intermédiaire· Incontournable· ≈ 3 min
Donner l'expression de la force gravitationnelle terrestre $F_{G}$ , s'exerçant sur un point matériel $M$ de masse $m$ , situé à la distance $r$ ( $r > R_{T}$ ) du centre de la Terre $O_{T}$ (figure 1). Exprimer l'énergie potentielle gravitationnelle $E_{p}$ associée, en justifiant qu'elle ne dépend que de la distance $r$ . On prendra la constante d'intégration de l'énergie potentielle gravitationnelle, $E_{p} (r)$ , telle que $E_{p} (\infty) = 0$ .
Exercice 10E3A Physique-Chimie MPI 2023, Q4· Intermédiaire· Incontournable· ≈ 3 min
En négligeant les frottements dus à l'atmosphère, quelle vitesse $v_{lib}$ serait à communiquer à un projectile tiré radialement, depuis la surface terrestre, pour le soustraire à l'attraction gravitationnelle terrestre ?

Corrigés

Exercice 1X-ENS Physique MPI 2026, Q10
Le mouvement radial d'une particule dans un potentiel central newtonien est équivalent à un mouvement unidimensionnel le long de la coordonnée r, régi par l'équation du mouvement :
m \ddot{r} = -\frac{\mathrm{d}E_{\mathrm{p,eff}}}{\mathrm{d}r}(r)
En posant r(t) = r_0 + r_1(t) avec |r_1(t)| \ll r_0, et sachant que r_0 correspond à un extremum de E_{\mathrm{p,eff}} (\mathrm{d}E_{\mathrm{p,eff}}/\mathrm{d}r(r_0) = 0 d'après la question Q9), le développement de Taylor de la force effective au premier ordre en r_1 s'écrit :
-\frac{\mathrm{d}E_{\mathrm{p,eff}}}{\mathrm{d}r}(r_0 + r_1) = -\left.\frac{\mathrm{d}^2 E_{\mathrm{p,eff}}}{\mathrm{d}r^2}\right|_{r_0} r_1 + \mathcal{O}(r_1^2)
D'après le résultat de la question Q9, la dérivée seconde au minimum vaut :
\left.\frac{\mathrm{d}^2 E_{\mathrm{p,eff}}}{\mathrm{d}r^2}\right|_{r_0} = \frac{m v_0^2}{r_0^2}
L'équation différentielle du mouvement pour la perturbation r_1(t) devient ainsi :
m \ddot{r}_1 + \frac{m v_0^2}{r_0^2} r_1 = 0 \iff \ddot{r}_1 + \omega^2 r_1 = 0
avec :
\omega^2 = \frac{1}{m} \left.\frac{\mathrm{d}^2 E_{\mathrm{p,eff}}}{\mathrm{d}r^2}\right|_{r_0} = \frac{v_0^2}{r_0^2}
On en déduit l'expression de la pulsation des petites oscillations radiales :
\boxed{\omega = \frac{v_0}{r_0}}
Résultat
$ω = \frac{v _{0}}{r _{0}}$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 2X-ENS Physique MPI 2026, Q24
Considérons un ion de masse m et de charge positive e, se déplaçant selon l'axe (Ox) entre les grilles. L'énergie potentielle électrostatique associée s'écrit :
E_p(x) = e\,V(x)
Le système n'étant soumis à aucune force non conservative, son énergie mécanique se conserve au cours du mouvement :
E_m = \frac{1}{2}m v(x)^2 + e\,V(x) = \text{cte}
D'après les conditions initiales à l'entrée du dispositif (x = 0) :
v(0) \approx 0 \quad \text{et} \quad V(0) = 0 \implies E_m = 0
On en déduit :
\frac{1}{2} m v(x)^2 = -e\,V(x)
Comme les ions sont accélérés vers les x croissants, leur vitesse est positive (v(x) \ge 0), et le potentiel décroît de 0 à V_0 < 0, de sorte que -V(x) \ge 0. On obtient ainsi :
\boxed{v(x) = \sqrt{-\frac{2e\,V(x)}{m}}}
Résultat
$v (x) = - \frac{2 e V ( x )}{m}$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 3CentraleSupélec Physique-Chimie 1 MPI 2025, Q15
On étudie le système constitué de l'équipage mobile (membrane et bobine de N spires), de masse M, dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen. L'équipage mobile effectue un mouvement de translation rectiligne le long de l'axe (Oz), sa vitesse étant \vec{v} = \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\vec{u}_z.
D'après le préambule précédant la question, on néglige l'effet de la pesanteur. L'ensemble est soumis aux actions mécaniques extérieures suivantes :
- la force de rappel élastique des suspensions modélisées par un ressort équivalent de raideur K :
  \vec{F}_{\text{rappel}} = -K z(t)\,\vec{u}_z
- la force dissipative exercée par l'air (frottement fluide de coefficient \lambda) :
  \vec{f} = -\lambda \vec{v} = -\lambda \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\,\vec{u}_z
- la résultante des forces de Laplace exercée sur les N spires parcourues par le courant i(t), établie à la question Q14 :
  \vec{F} = -2\pi r N B_0\,i(t)\,\vec{u}_z
Le principe fondamental de la dynamique appliqué à l'équipage mobile s'écrit :
M \frac{\mathrm{d}^2 z}{\mathrm{d}t^2}\,\vec{u}_z = \vec{F}_{\text{rappel}} + \vec{f} + \vec{F}
En projetant sur le vecteur unitaire \vec{u}_z, il vient :
\begin{aligned} M \frac{\mathrm{d}^2 z}{\mathrm{d}t^2} &= -K z - \lambda \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} - 2\pi r N B_0\,i(t) \\ M \frac{\mathrm{d}^2 z}{\mathrm{d}t^2} + \lambda \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} + K z(t) &= - 2\pi r N B_0\,i(t) \end{aligned}
En divisant cette relation par la masse M > 0, on obtient :
\frac{\mathrm{d}^2 z}{\mathrm{d}t^2} + \frac{\lambda}{M}\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} + \frac{K}{M} z(t) = -\frac{2\pi r N B_0}{M}\,i(t)
Par identification avec la forme canonique de l'oscillateur harmonique amorti :
\frac{\mathrm{d}^{2} z}{\mathrm{d} t^{2}}+\frac{\omega_{0}}{Q_{m}} \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} t}+\omega_{0}^{2} z(t)=-\beta\,i(t)
on identifie directement :
\boxed{\omega_0 = \sqrt{\frac{K}{M}}} \quad,\quad \boxed{Q_m = \frac{M\omega_0}{\lambda} = \frac{\sqrt{K M}}{\lambda}} \quad\text{et}\quad \boxed{\beta = \frac{2\pi r N B_0}{M}}
Résultat
$ω_{0} = \frac{K}{M}$ $Q_{m} = \frac{M ω _{0}}{λ} = \frac{K M}{λ}$ $β = \frac{2 π r N B _{0}}{M}$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 4CentraleSupélec Physique-Chimie 2 MPI 2025, Q4
On étudie un électron, assimilé à un point matériel de masse m et de charge q = -e, dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen.
D'après la question Q3, le poids de l'électron est totalement négligeable devant la force électrostatique. L'électron n'est donc soumis qu'à la force électrostatique :
\vec{F}_e = -e \vec{E} = e \, \vec{\operatorname{grad}} V
Cette force dérive de l'énergie potentielle électrostatique :
\mathcal{E}_p(r) = q \, V(r) = -e \, V(r)
Le système n'étant soumis à aucune force non conservative, son énergie mécanique \mathcal{E}_m se conserve au cours du mouvement :
\mathcal{E}_m = \mathcal{E}_c(r) + \mathcal{E}_p(r) = \frac{1}{2} m v^2(r) - e V(r) = \text{cte}
À la cathode (r = r_1), les électrons sont émis sans vitesse initiale (v(r_1) = 0) et le potentiel est choisi nul (V(r_1) = V_c = 0). L'énergie mécanique initiale est donc nulle :
\mathcal{E}_m = 0
On en déduit que pour tout r \in [r_1, r_2] :
\frac{1}{2} m v^2(r) - e V(r) = 0
Comme V(r) \ge 0, la vitesse v(r) de l'électron à la distance r de l'axe s'écrit :
\boxed{v(r) = \sqrt{\frac{2e \, V(r)}{m}}}
Résultat
$v (r) = \frac{2 e V ( r )}{m}$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 5E3A Physique-Chimie MPI 2025, Q8
On étudie le système constitué du plateau mobile et du spationaute, de masse totale m = m_1 + m_2, assimilé à un point matériel M de cote z le long de l'axe vertical (Oz).
L'étude est menée dans le référentiel lié à la station spatiale internationale (ISS). Dans ce référentiel, comme établi à la question Q6, le spationaute et le dispositif sont en impesanteur : la force gravitationnelle et la force d'inertie d'entraînement se compensent exactement. En l'absence de frottements, la seule force agissant selon l'axe (Oz) est la force de rappel élastique exercée par le ressort :
\vec{F} = -k(z - \ell_0)\,\vec{u}_z
où \ell_0 est la longueur à vide du ressort et k sa constante de raideur.
Le principe fondamental de la dynamique appliqué au système projeté sur l'axe (Oz) s'écrit :
m\,\ddot{z} = -k(z - \ell_0)
soit, en posant la variable d'écart X(t) = z(t) - \ell_0 :
\ddot{X}(t) + \frac{k}{m}\,X(t) = 0
Il s'agit de l'équation différentielle canonique d'un oscillateur harmonique de pulsation propre :
\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}
La période propre d'oscillation T_0 (notée également T) s'en déduit immédiatement :
T_0 = \frac{2\pi}{\omega_0} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}
\boxed{T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}}
Résultat
$T_{0} = 2 π \frac{m}{k}$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 6Mines-Ponts Physique 1 MPI 2024, Q15
La masse m déjà rassemblée forme une boule de rayon r à symétrie sphérique. D'après le théorème de Gauss (ou les résultats de la question Q2), le champ gravitationnel extérieur créé par cette boule à une distance r' \geqslant r est identique à celui d'une masse ponctuelle m située en O :
\vec{G}(r') = -\frac{\mathcal{G} m}{{r'}^2} \hat{u}_r
Pour amener de manière quasi-statique une masse élémentaire \mathrm{d}m depuis l'infini (où l'interaction est nulle) jusqu'au rayon r, l'opérateur doit compenser à chaque instant la force gravitationnelle :
\vec{F}_{\text{op}} = -\vec{F}_{\text{grav}} = +\frac{\mathcal{G} m \mathrm{d}m}{{r'}^2} \hat{u}_r
L'auto-interaction de la couche élémentaire d'épaisseur \mathrm{d}r étant d'ordre (\mathrm{d}m)^2, elle est négligeable. Le travail fourni par l'opérateur lors de cette étape s'écrit donc :
\mathrm{d}W_g = \int_{\infty}^r \vec{F}_{\text{op}} \cdot \mathrm{d}\vec{r}' = \int_{\infty}^r \frac{\mathcal{G} m \mathrm{d}m}{{r'}^2} \, \mathrm{d}r' = \left[ -\frac{\mathcal{G} m \mathrm{d}m}{r'} \right]_{\infty}^r
ce qui conduit bien à :
\boxed{\mathrm{d}W_g = -\mathcal{G}\frac{m\,\mathrm{d}m}{r}}
D'après la question Q14, la masse intérieure et la masse de la couche élémentaire valent :
m(r) = M \frac{r^3}{R^3} \quad \text{et} \quad \mathrm{d}m = 3M \frac{r^2}{R^3}\,\mathrm{d}r
En substituant ces expressions dans \mathrm{d}W_g :
\mathrm{d}W_g = -\frac{\mathcal{G}}{r} \left( M \frac{r^3}{R^3} \right) \left( 3M \frac{r^2}{R^3}\,\mathrm{d}r \right) = -\frac{3\mathcal{G}M^2}{R^6} r^4 \,\mathrm{d}r
L'énergie gravitationnelle totale s'obtient en intégrant de r = 0 (début de la constitution) à r = R (étoile entièrement formée) :
W_g = \int_0^R \mathrm{d}W_g = -\frac{3\mathcal{G}M^2}{R^6} \int_0^R r^4 \,\mathrm{d}r = -\frac{3\mathcal{G}M^2}{R^6} \left[ \frac{r^5}{5} \right]_0^R
Soit finalement :
\boxed{W_g = -\frac{3}{5}\frac{\mathcal{G}M^2}{R}}
Résultat
$d W_{g} = - G \frac{m d m}{r}$ $W_{g} = - \frac{3}{5} \frac{G M ^{2}}{R}$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 7X-ENS Physique MPI 2024, Q10
Le choc étant élastique, l'énergie cinétique totale du système isolé \{\text{neutron} + \text{noyau}\} est conservée au cours de la collision :
\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m{v'}^2 + \frac{1}{2}Am\,v_R^2
En simplifiant par \frac{1}{2}m, on obtient :
\boxed{v^2 = {v'}^2 + A\,v_R^2}
D'après la question Q9, la conservation de la quantité de mouvement s'écrit :
v_R = \frac{v + v'}{A}
En injectant cette expression dans la conservation de l'énergie cinétique :
v^2 - {v'}^2 = A \left(\frac{v + v'}{A}\right)^2 = \frac{(v + v')^2}{A}
En reconnaissant une identité remarquable et sachant que v + v' > 0 :
\begin{aligned} (v - v')(v + v') &= \frac{(v + v')^2}{A} \\ v - v' &= \frac{v + v'}{A} \\ A(v - v') &= v + v' \\ (A - 1)v &= (A + 1)v' \end{aligned}
On en déduit l'expression du rapport des vitesses :
\boxed{\frac{v'}{v} = \frac{A - 1}{A + 1}}
Résultat
$v^{2} = v^{'}^{2} + A v_{R}^{2}$ $\frac{v ^{'}}{v} = \frac{A - 1}{A + 1}$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 8CCINP Physique-Chimie MPI 2023, Q6
On applique la seconde loi de Newton à la platine, assimilée à un point matériel de masse M, dans le référentiel terrestre supposé galiléen lié au support fixe.
L'axe Oz étant orienté verticalement vers le bas, la position de la platine est repérée par son écart à l'équilibre Z(t). La platine est soumise à :
- son poids : \vec{P} = M g \vec{e}_z ;
- la force de rappel du ressort : la platine étant située au-dessus du support fixe, un déplacement Z(t) > 0 vers le bas comprime davantage le ressort. Sa longueur s'écrit l(t) = l_{\text{équ}} - Z(t). Le ressort pousse la platine vers le haut avec une force :
  \vec{F}_{\text{ressort}} = -k\left(l_0 - l(t)\right)\vec{e}_z = -k\left(l_0 - l_{\text{équ}} + Z(t)\right)\vec{e}_z
  D'après la question Q5, à l'équilibre statique on a k(l_0 - l_{\text{équ}}) = Mg, d'où :
  \vec{F}_{\text{ressort}} = -\left(Mg + k Z(t)\right)\vec{e}_z
- la force d'amortissement fluide :
  \vec{f} = -\lambda \vec{v}_{\text{platine}} = -\lambda \frac{\mathrm{d}Z}{\mathrm{d}t} \vec{e}_z
- la force exercée par l'impact de la goutte : \vec{F}(t) = F(t)\vec{e}_z.
La seconde loi de Newton s'écrit :
M \frac{\mathrm{d}^2 Z(t)}{\mathrm{d}t^2}\vec{e}_z = \vec{P} + \vec{F}_{\text{ressort}} + \vec{f} + \vec{F}(t)
En projetant sur le vecteur unitaire \vec{e}_z :
\begin{aligned} M \frac{\mathrm{d}^2 Z(t)}{\mathrm{d}t^2} &= Mg - \left(Mg + k Z(t)\right) - \lambda \frac{\mathrm{d}Z(t)}{\mathrm{d}t} + F(t) \\ M \frac{\mathrm{d}^2 Z(t)}{\mathrm{d}t^2} + \lambda \frac{\mathrm{d}Z(t)}{\mathrm{d}t} + k Z(t) &= F(t) \end{aligned}
En divisant par la masse M, on obtient l'équation différentielle demandée :
\frac{\mathrm{d}^2 Z(t)}{\mathrm{d}t^2} + \gamma \frac{\mathrm{d}Z(t)}{\mathrm{d}t} + \beta Z(t) = \frac{F(t)}{M}
par identification des termes :
\boxed{\gamma = \frac{\lambda}{M} \quad \text{et} \quad \beta = \frac{k}{M}}
Résultat
$γ = \frac{λ}{M} et β = \frac{k}{M}$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 9E3A Physique-Chimie MPI 2023, Q2
D'après la loi de la gravitation universelle de Newton, la Terre étant modélisée par une distribution sphérique homogène de masse M_T, elle agit sur tout point matériel extérieur (r > R_T) comme si toute sa masse était concentrée en son centre O_T.
La force gravitationnelle exercée sur le point matériel M de masse m s'écrit :
\boxed{\vec{F}_G = -\frac{G M_T m}{r^2}\vec{u}_r}
où \vec{u}_r = \frac{\overrightarrow{O_T M}}{r} est le vecteur unitaire radial centrifuge.
Le travail élémentaire de cette force lors d'un déplacement infinitésimal \mathrm{d}\overrightarrow{OM} s'exprime par :
\begin{aligned} \delta W &= \vec{F}_G \cdot \mathrm{d}\overrightarrow{OM} \\ &= \left(-\frac{G M_T m}{r^2}\vec{u}_r\right) \cdot \left(\mathrm{d}r\,\vec{u}_r + r\,\mathrm{d}\theta\,\vec{u}_\theta + r\sin\theta\,\mathrm{d}\varphi\,\vec{u}_\varphi\right) \\ &= -\frac{G M_T m}{r^2}\mathrm{d}r \end{aligned}
Ce travail élémentaire ne fait intervenir que la variable radiale r et sa différentielle \mathrm{d}r : il s'agit d'une différentielle totale exacte indépendante des coordonnées angulaires (\theta, \varphi). La force dérive donc d'une énergie potentielle E_p qui ne dépend que de la distance r.
Par définition de l'énergie potentielle, \mathrm{d}E_p = -\delta W, d'où :
\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}E_p}{\mathrm{d}r} &= \frac{G M_T m}{r^2} \\ E_p(r) &= -\frac{G M_T m}{r} + \text{cte} \end{aligned}
Compte tenu de la condition de jauge E_p(\infty) = 0, la constante d'intégration est nulle, ce qui donne :
\boxed{E_p(r) = -\frac{G M_T m}{r}}
Résultat
$F_{G} = - \frac{G M _{T} m}{r ^{2}} u_{r}$ $E_{p} (r) = - \frac{G M _{T} m}{r}$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 10E3A Physique-Chimie MPI 2023, Q4
On étudie le projectile de masse m dans le référentiel géocentrique, supposé galiléen.
En négligeant les frottements atmosphériques, le projectile n'est soumis qu'à la force d'attraction gravitationnelle terrestre, qui est une force conservative. L'énergie mécanique E_m du système est donc constante au cours du mouvement :
E_m = E_c + E_p(r) = \frac{1}{2}m v^2 - \frac{G M_T m}{r} = \text{cte}
Pour que le projectile se soustraie à l'attraction terrestre, son mouvement ne doit pas être lié : il doit pouvoir atteindre l'infini (r \to \infty) avec une vitesse v_\infty \ge 0. D'après la question Q3, cela impose :
E_m \ge E_p(\infty) = 0
La vitesse de libération v_{\text{lib}} est la vitesse initiale minimale à communiquer à la surface de la Terre (r = R_T) pour que E_m = 0 :
\frac{1}{2} m v_{\text{lib}}^2 - \frac{G M_T m}{R_T} = 0
On en déduit :
\boxed{v_{\text{lib}} = \sqrt{\frac{2 G M_T}{R_T}}}
Application numérique :
- G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\text{ m}^3\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{s}^{-2}
- M_T = 5{,}97 \cdot 10^{24}\text{ kg}
- R_T = 6{,}37 \cdot 10^3\text{ km} = 6{,}37 \cdot 10^6\text{ m}
\begin{aligned} v_{\text{lib}} &= \sqrt{\frac{2 \times 6{,}67 \cdot 10^{-11} \times 5{,}97 \cdot 10^{24}}{6{,}37 \cdot 10^6}} \\ v_{\text{lib}} &\approx 1{,}12 \cdot 10^4\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} = 11{,}2\text{ km}\cdot\text{s}^{-1} \end{aligned}
\boxed{v_{\text{lib}} = 11{,}2\text{ km}\cdot\text{s}^{-1}}
Résultat
$v_{lib} = \frac{2 G M _{T}}{R _{T}}$ $v_{lib} = 11, 2 km \cdot s^{- 1}$
Indice, stratégie et pièges de cette question

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