Corrigé détaillé Mines Physique 1 MPI 2024

Le système constitué des deux astres \{\mathscr{A}, \mathscr{P}\} est supposé isolé dans le référentiel galiléen (\mathcal{R}_0). Le centre de masse G du système est défini par :

Pour que l'astre attracteur \mathscr{A} reste immobile au cours du mouvement, le centre de masse du système doit être pratiquement confondu avec le point A, ce qui impose l'inégalité forte :

Sous cette hypothèse, le référentiel lié à A peut être assimilé à un référentiel galiléen.

D'après la loi de la gravitation universelle de Newton, la force gravitationnelle attractive \vec{F} exercée par l'astre ponctuel \mathscr{A} situé en A sur l'astre ponctuel \mathscr{P} situé en P s'écrit, avec \vec{r} = \overrightarrow{AP} = r\hat{u}_r :

La distribution de masse de l'astre \mathscr{A} étant à symétrie sphérique de centre A et invariante par toute rotation autour de A, tout plan contenant la droite (AP) est un plan de symétrie. Le champ gravitationnel \vec{G}(P) créé en P est donc radial et ne dépend que de la distance radiale r = AP :

Appliquons le théorème de Gauss pour le champ de gravitation à travers une surface fermée \Sigma, choisie comme la sphère de centre A et de rayon r > R_A, orientée vers l'extérieur :

Comme r > R_A, la masse intérieure totale est la masse complète de l'astre : M_{\text{int}} = m_A. Le calcul du flux donne :

On en déduit :

Le point matériel P de masse m_P subit ainsi la force gravitationnelle \vec{F} = m_P \vec{G}(P) :

L'expression de la force gravitationnelle reste donc strictement identique à celle obtenue pour deux points matériels.

Oui, cette expression reste parfaitement applicable, à condition que les deux astres soient disjoints (r > R_A + R_P).

En effet :

• L'astre \mathscr{A} possédant une répartition de masse à symétrie sphérique, le champ gravitationnel qu'il crée en tout point extérieur (r > R_A) est identique à celui d'une masse ponctuelle m_A située en son centre A. La force exercée par \mathscr{A} sur l'astre \mathscr{P} est donc identique à la force exercée par une masse ponctuelle m_A placée en A sur \mathscr{P}.
• D'après le principe des actions réciproques, la force exercée par \mathscr{P} sur une masse ponctuelle située en A (extérieur à \mathscr{P}) est l'opposée de la force précédente. Or, \mathscr{P} présente lui aussi une répartition de masse à symétrie sphérique : il crée donc en A le même champ qu'une masse ponctuelle m_P concentrée en son centre P.

Par conséquent, l'interaction entre deux corps à symétrie sphérique disjoints se réduit rigoureusement à l'interaction entre deux points matériels situés en leurs centres de masse respectifs A et P :

où r = \|\overrightarrow{AP}\| est la distance séparant les deux centres.

On étudie le point matériel P de masse m_P dans le référentiel galiléen \mathcal{R}_0 où le centre attracteur A est fixe. Le point P n'est soumis qu'à la force gravitationnelle \vec{F} = -\frac{\mathcal{G} m_A m_P}{r^2}\hat{u}_r.

Le moment de cette force par rapport au point fixe A s'écrit :

D'après le théorème du moment cinétique appliqué en A fixe dans \mathcal{R}_0 :

Le moment cinétique \vec{\sigma}_A = \overrightarrow{AP} \times (m_P \vec{v}) est donc un vecteur constant au cours du temps.

En excluant le cas d'une trajectoire rectiligne de collision (\vec{\sigma}_A = \vec{0}), le vecteur \vec{\sigma}_A définit une direction fixe de l'espace. Par définition du produit vectoriel :

Le rayon vecteur \overrightarrow{AP} est donc orthogonal à tout instant à \vec{\sigma}_A : le mouvement de P est plan, contenu dans le plan passant par A et orthogonal à \vec{\sigma}_A. On note (Axy) ce plan.

On introduit la constante C, composante selon le vecteur unitaire \hat{u}_z = \hat{u}_x \times \hat{u}_y du moment cinétique par unité de masse (ou constante des aires) :

La vitesse aréolaire de P, correspondant à l'aire élémentaire balayée par unité de temps, vaut \frac{dA}{dt} = \frac{1}{2}\|\vec{r} \times \vec{v}\| = \frac{|C|}{2} = \text{cste}, ce qui traduit la loi des aires.

Dans le repère polaire (r, \theta) du plan (Axy), la position et la vitesse s'écrivent :

Le produit vectoriel devient :

On en déduit l'expression de la constante C :

Le principe fondamental de la dynamique appliqué au point P dans le référentiel galiléen (\mathcal{R}_0) s'écrit :

D'après la loi des aires établie à la question Q4, C = r^2 \dot{\theta}, d'où \dot{\theta} = \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} = \frac{C}{r^2}. En utilisant la dérivation en chaîne \frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} = \dot{\theta} \frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}\theta}, il vient :

Sachant que \frac{\mathrm{d}\hat{u}_\theta}{\mathrm{d}\theta} = -\hat{u}_r, cette relation devient :

Par intégration vectorielle par rapport à \theta, on obtient :

où \vec{v}_0 est un vecteur constant d'intégration. En factorisant par C/p, cette expression se met sous la forme demandée :

par identification :

et \vec{e} = \frac{p}{C}\vec{v}_0 est un vecteur constant.

Dimension et planéité du vecteur \vec{e} :

• La constante des aires vérifie [C] = \mathrm{L^2\cdot T^{-1}}. D'autre part, [\mathcal{G} m_A] = \mathrm{L^3\cdot T^{-2}}, d'où [p] = \frac{[C]^2}{[\mathcal{G} m_A]} = \frac{\mathrm{L^4\cdot T^{-2}}}{\mathrm{L^3\cdot T^{-2}}} = \mathrm{L}. Ainsi, p est homogène à une longueur.
• Il s'ensuit que [C/p] = \mathrm{L\cdot T^{-1}}, ce qui correspond à la dimension d'une vitesse. Comme [\vec{v}] = \mathrm{L\cdot T^{-1}} et que le vecteur unitaire \hat{u}_\theta est sans dimension, le vecteur \vec{e} est sans dimension.

• Le mouvement de P a lieu dans le plan (Axy) (Q4), donc à tout instant \vec{v} \cdot \hat{u}_z = 0. Comme \hat{u}_\theta appartient également au plan (Axy) (\hat{u}_\theta \cdot \hat{u}_z = 0), on a :

  \vec{e} \cdot \hat{u}_z = \left( \frac{p}{C}\vec{v} - \hat{u}_\theta \right) \cdot \hat{u}_z = 0

  Le vecteur \vec{e} est donc situé dans le plan (Axy) du mouvement.

En choisissant l'axe (Ay) selon la direction et le sens de \vec{e}, on peut poser sans perte de généralité :

D'après la figure 1, les vecteurs de la base cartésienne s'expriment dans la base polaire (\hat{u}_r, \hat{u}_\theta) selon :

Avec \vec{e} = e\hat{u}_y, le vecteur \vec{e} s'écrit dans la base polaire :

La vitesse de P dans le plan (Axy) est donnée par \vec{v} = \dot{r}\,\hat{u}_r + r\dot{\theta}\,\hat{u}_\theta. En utilisant le résultat de la question Q5, \vec{v}(\theta) = \frac{C}{p}(\hat{u}_\theta + \vec{e}), il vient :

Par identification des composantes radiale et orthoradiale, on obtient :

D'après la question Q4, la constante des aires s'écrit C = r^2\dot{\theta} = r(r\dot{\theta}). En remplaçant r\dot{\theta} par son expression :

Comme C \neq 0, on en déduit directement l'équation de la trajectoire :

Pour un mouvement borné, la distance r(\theta) doit rester finie et strictement positive pour tout angle polaire \theta \in [0, 2\pi]. Étant donné que p = C^2/(\mathcal{G}m_A) > 0 et e \geqslant 0, le dénominateur 1 + e\cos\theta ne doit jamais s'annuler et doit rester strictement positif :

La valeur minimale de cette quantité est atteinte pour \cos\theta = -1 (soit \theta = \pi), ce qui impose :

L'équation polaire obtenue est celle d'une conique d'excentricité e < 1 dont l'origine A est un foyer. Il s'agit donc d'une ellipse (ou d'un cercle dans le cas particulier e = 0).

D'après la question 4, la constante des aires s'écrit :

Le mouvement s'effectuant dans le sens des angles croissants (C > 0), la durée élémentaire \mathrm{d}t s'exprime sous la forme :

La trajectoire étant fermée et périodique de période T, l'angle polaire \theta balaie l'intervalle [0, 2\pi] lorsque t varie de 0 à T :

En injectant l'équation polaire de la trajectoire obtenue à la question 6, r(\theta) = \dfrac{p}{1 + e\cos\theta}, on obtient :

où l'on a posé :

Par ailleurs, le paramètre p défini à la question 5 vérifie p = \dfrac{C^2}{\mathcal{G}m_A}, soit :

Le facteur géométrique devient ainsi :

On en déduit l'expression demandée de la période :

D'après la question Q6, l'équation polaire de la trajectoire est :

Pour e = 0, la distance au centre attracteur est constante : r(\theta) = p.

L'intégrale \mathcal{I} introduite à la question Q7 se calcule immédiatement pour e = 0 :

En injectant cette valeur dans l'expression de la période T issue de la question Q7 :

En élevant cette expression au carré, on obtient :

Cette constante est universelle pour tous les corps en orbite autour d'un même astre attracteur \mathscr{A} car elle ne dépend que de sa masse m_A. On reconnaît la troisième loi de Kepler (ou loi des périodes).

Énoncé historique de la troisième loi de Kepler :

Conformément aux syntaxes fournies en annexe, on propose le script Python suivant :

import numpy as np
import scipy.integrate
import matplotlib.pyplot as plt

# Definition de l'integrale pour une valeur de e donnee
def I(e):
    def integrande(theta):
        return 1.0 / (1.0 + e * np.cos(theta))**2
    valeur, erreur = scipy.integrate.quad(integrande, 0, 2 * np.pi)
    return valeur

# 1. Echantillonnage fin pour la courbe en trait plein
e_continu = np.linspace(0, 0.5, 200)
I_continu = [I(e) for e in e_continu]

# 2. Une dizaine de points regulierement repartis (10 points)
e_points = np.linspace(0, 0.5, 10)
I_points = [I(e) for e in e_points]

# 3. Traces
plt.figure()
plt.plot(e_continu, I_continu, '-')       # trace en trait plein
plt.plot(e_points, I_points, 'o')         # mise en exergue des points
plt.xlabel("parametre e")
plt.ylabel("integrale I")
plt.grid(True)
plt.show()

D'après l'énoncé, lors de la mesure, le Soleil S, la Terre et Mars sont alignés dans cet ordre, ce qui minimise la distance Terre–Mars :

Les paramètres géométriques à faire figurer sont :

• a_0 = ST : rayon de l'orbite circulaire de la Terre autour du Soleil ;
• a_1 = SM : rayon de l'orbite circulaire de Mars autour du Soleil ;
• \ell = PC : distance rectiligne entre l'observatoire de Paris (P) et celui de Cayenne (C) ;
• \alpha = \widehat{PMC} : angle de visée sous-tendu par la base Paris–Cayenne depuis Mars (angle de parallaxe).

Le schéma géométrique correspondant (hors échelle) est représenté ci-dessous :

D'après la troisième loi de Kepler démontrée à la question 8, pour les mouvements circulaires de la Terre et de Mars autour du Soleil (de masse M_\odot) :

On en déduit le rayon de l'orbite martienne en fonction de a_0 et des périodes :

Au moment de la configuration considérée (Soleil, Terre et Mars alignés dans cet ordre), la distance entre la Terre et Mars est minimale et vaut :

La distance \ell entre les deux observatoires étant très faible devant la distance Terre–Mars (\ell \ll d), l'angle de parallaxe \alpha est très petit (\alpha \ll 1\text{ rad}). Dans l'approximation des petits angles, on a :

En combinant ces deux relations, on obtient l'expression de l'unité astronomique a_0 :

D'après la question Q11, l'expression de l'unité astronomique est :

À l'aide des données du sujet :

• \left(\dfrac{T_1}{T_0}\right)^{1/3} = \left(\dfrac{687}{365}\right)^{1/3} \simeq \dfrac{5}{4}, d'où \left(\dfrac{T_1}{T_0}\right)^{2/3} \simeq \left(\dfrac{5}{4}\right)^2 \simeq 1{,}6 ;

• le facteur entre crochets vaut donc :

  \left(\frac{T_1}{T_0}\right)^{2/3} - 1 \simeq 1{,}6 - 1 = 0{,}6 = \frac{3}{5}

• l'angle en radians vaut :

  \alpha = 14'' = 14 \times 4{,}85\cdot 10^{-6}\text{ rad} = 6{,}79\cdot 10^{-5}\text{ rad}
• la distance entre les deux observatoires est \ell = 7\,070\text{ km} = 7{,}07\cdot 10^6\text{ m}.

On en déduit la valeur de a_0 :

La valeur de référence indiquée dans les données est a_0 = 1{,}50\cdot 10^{11}\text{ m}. L'écart relatif est de :

La valeur annoncée par Cassini est donc tout à fait compatible avec la valeur attendue, ce qui constitue une remarquable première mesure historique de la taille absolue du Système solaire.

L'interaction gravitationnelle étant purement attractive, les éléments de matière sont naturellement attirés vers le centre de l'étoile au cours de sa constitution depuis l'infini.

Pour que la formation s'effectue de manière quasi-statique, l'opérateur doit à chaque instant exercer une force opposée à la force d'attraction gravitationnelle, c'est-à-dire dirigée vers l'extérieur alors que le déplacement de la matière s'effectue vers l'intérieur. Le travail élémentaire exercé par l'opérateur est donc résistant :

D'un point de vue énergétique, en choisissant l'état de référence de l'énergie potentielle gravitationnelle nul à l'infini (E_p(\infty) = 0), l'énergie potentielle finale de l'étoile liée est strictement négative (E_{p} < 0). L'évolution étant quasi-statique (\Delta E_c = 0), le premier principe ou le théorème de l'énergie mécanique donne W_g = \Delta E_p = E_p - 0 < 0.

Par définition, l'énergie de liaison E_\ell d'un système lié est l'énergie minimale qu'un opérateur extérieur doit fournir au système pour dissocier totalement ses constituants et les renvoyer à l'infini au repos.

En inversant le processus de formation de manière quasi-statique, le travail à fournir pour disperser l'étoile vaut :

L'énergie de liaison de l'étoile est donc bien une grandeur positive égale à l'opposé du travail de constitution :

L'étoile est modélisée par une boule homogène de masse totale M et de rayon R. Son volume total est donc :

La masse volumique \rho étant uniforme, elle s'écrit :

La masse m(r) déjà constituée à l'intérieur de la sphère de rayon r \leqslant R s'exprime comme le produit de la masse volumique par le volume de cette sphère :

soit :

L'accroissement de masse \mathrm{d}m nécessaire pour faire passer le rayon de r à r + \mathrm{d}r correspond à la masse contenue dans une couche sphérique d'épaisseur \mathrm{d}r et de volume \mathrm{d}V = 4\pi r^2 \mathrm{d}r. Il s'obtient directement par différentiation de m(r) ou par \rho\,\mathrm{d}V :

La masse m déjà rassemblée forme une boule de rayon r à symétrie sphérique. D'après le théorème de Gauss (ou les résultats de la question Q2), le champ gravitationnel extérieur créé par cette boule à une distance r' \geqslant r est identique à celui d'une masse ponctuelle m située en O :

Pour amener de manière quasi-statique une masse élémentaire \mathrm{d}m depuis l'infini (où l'interaction est nulle) jusqu'au rayon r, l'opérateur doit compenser à chaque instant la force gravitationnelle :

L'auto-interaction de la couche élémentaire d'épaisseur \mathrm{d}r étant d'ordre (\mathrm{d}m)^2, elle est négligeable. Le travail fourni par l'opérateur lors de cette étape s'écrit donc :

ce qui conduit bien à :

D'après la question Q14, la masse intérieure et la masse de la couche élémentaire valent :

En substituant ces expressions dans \mathrm{d}W_g :

L'énergie gravitationnelle totale s'obtient en intégrant de r = 0 (début de la constitution) à r = R (étoile entièrement formée) :

Soit finalement :

Considérons la colonne de fluide immobile de section droite d'aire S, délimitée par les plans horizontaux de cotes z_1 et z_2 (avec z_1 < z_2).

Les forces extérieures appliquées à cette colonne sont :

• la force pressante exercée sur la face inférieure en z_1, dirigée vers le haut :

  \vec{F}_1 = P(z_1) \, S \, \hat{u}_z

• la force pressante exercée sur la face supérieure en z_2, dirigée vers le bas :

  \vec{F}_2 = - P(z_2) \, S \, \hat{u}_z

• les forces pressantes exercées par le fluide environnant sur la surface latérale : perpendiculaires à la paroi verticale en chaque point, leur résultante est purement horizontale et ne possède aucune composante selon \hat{u}_z :

  \vec{F}_{\text{lat}} \cdot \hat{u}_z = 0

• la force de gravitation volumique : pour une tranche élémentaire de fluide comprise entre z et z + \mathrm{d}z, de masse \mathrm{d}m = \rho(z) \, S \, \mathrm{d}z, le poids élémentaire s'écrit \mathrm{d}\vec{F}_g = \vec{G}(z) \, \mathrm{d}m = \rho(z) \, G(z) \, S \, \mathrm{d}z \, \hat{u}_z. La résultante sur la colonne vaut donc :

  \vec{F}_g = \left( \int_{z_1}^{z_2} \rho(z) \, G(z) \, S \, \mathrm{d}z \right) \hat{u}_z

À l'équilibre mécanique de la colonne dans le référentiel d'étude, la résultante des forces est nulle :

En projetant sur le vecteur unitaire \hat{u}_z, il vient :

Soit, en simplifiant par S \neq 0 :

Cette relation étant valable pour tout couple d'altitudes (z_1, z_2), on dérive par rapport à z_2 (ou on pose z_1 = z et z_2 = z + \mathrm{d}z), ce qui donne l'équation différentielle fondamentale de la statique des fluides :

Cette relation s'obtient dans le cadre du modèle du gaz parfait monoatomique classique (non relativiste) :

• Les constituants sont modélisés par des particules ponctuelles sans structure interne, n'interagissant entre elles que par des collisions élastiques instantanées (pas d'énergie potentielle d'interaction à distance).

• Chaque particule ne possède que 3 degrés de liberté de translation. D'après le théorème de l'équipartition de l'énergie (ou la théorie cinétique des gaz), l'énergie cinétique moyenne d'une particule à la température T s'écrit :

  \langle e_c \rangle = \frac{3}{2} k_B T

  Pour un système de N particules, l'énergie cinétique totale de translation (agitation thermique) vaut donc :

  E_c = N \langle e_c \rangle = \frac{3}{2} N k_B T
• L'équation d'état du gaz parfait s'écrit P V = N k_B T. En combinant ces deux relations, on obtient directement :

De manière équivalente, la théorie cinétique des gaz relie directement la pression cinétique P à la densité volumique d'énergie cinétique de translation u_c = E_c / V par la relation fondamentale :

qui reste valable pour tout gaz parfait où les particules n'ont pas d'énergie interne de rotation ou de vibration contribuant à la pression.

La distribution de masse possède une symétrie sphérique centrée en O. Le champ gravitationnel est donc purement radial et ne dépend que de la distance r au centre :

D'après le théorème de Gauss appliqué au champ gravitationnel à travers une sphère de centre O et de rayon r \leqslant R :

Par invariance et symétrie, le flux s'écrit \iint_{S(r)} \vec{G} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = 4\pi r^2 G_r(r). La masse intérieure m_{\text{int}}(r) = m(r) vaut, d'après la question Q14, m(r) = M\frac{r^3}{R^3}. On en déduit :

soit :

D'après le préambule de la question, l'équation différentielle d'équilibre s'obtient en transposant celle de la question Q16 en coordonnées sphériques par la substitution z \to r, avec \rho(r) = \rho = \text{cste} :

En remplaçant \rho = \frac{3M}{4\pi R^3} (question Q14) et G_r(r) = -\frac{\mathcal{G}Mr}{R^3} :

À la surface de l'étoile (r = R), le fluide est au contact du vide, ce qui impose la condition aux limites P(R) = 0. On intègre alors entre r et R :

On retrouve bien :

D'après l'hypothèse de la question Q17, l'énergie cinétique d'agitation thermique contenue dans un volume élémentaire \mathrm{d}V soumis à la pression locale P(r) s'écrit :

En raison de la symétrie sphérique, on découpe l'étoile en couches concentriques d'épaisseur \mathrm{d}r, de volume \mathrm{d}V = 4\pi r^2 \mathrm{d}r. L'énergie cinétique totale s'obtient donc par intégration :

En injectant l'expression de la pression issue de la question Q18, P(r) = \dfrac{3\mathcal{G}M^2}{8\pi R^6}(R^2 - r^2) :

Ce qui se simplifie en :

Commentaires :

1. Théorème du viriel : À la question Q15, nous avons trouvé pour l'énergie potentielle gravitationnelle de l'étoile W_g = -\dfrac{3}{5}\dfrac{\mathcal{G}M^2}{R}. On constate la relation remarquable :

   E_c = -\frac{1}{2} W_g \quad \Longleftrightarrow \quad 2E_c + W_g = 0

   On retrouve exactement le théorème du viriel pour un système auto-gravitant à l'équilibre dynamique soumis à un potentiel d'interaction en 1/r.

2. Cohérence des ordres de grandeur : Cela confirme que l'énergie thermique d'agitation et l'énergie gravitationnelle sont du même ordre de grandeur, comme annoncé dans le préambule.

3. Énergie mécanique totale et stabilité : L'énergie mécanique totale de l'étoile vaut :

   E_m = E_c + W_g = -E_c = \frac{1}{2} W_g = -\frac{3}{10} \frac{\mathcal{G}M^2}{R} < 0

   Le signe négatif confirme que l'étoile forme un système gravitationnellement lié et stable.

L'étoile est constituée de N atomes d'hydrogène, soit N protons de masse m_p et N électrons de masse m_e. La masse totale s'écrit :

Puisque m_e \ll m_p, la masse de l'étoile est très majoritairement portée par les protons :

L'étoile étant sphérique de rayon R, son volume total est :

Le volume disponible par particule est \vartheta = \frac{V}{N}, d'où le côté a du volume cubique élémentaire tel que a^3 = \vartheta :

En prenant la racine cubique, on obtient :

En injectant \Psi(x,t) = \psi(x)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t} dans l'équation de Schrödinger fournie, avec \mathrm{j}^2 = -1 et en posant E = \hbar \omega, il vient :

Soit, pour l'onde spatiale à l'intérieur de la boîte (x \in [0, a]) :

La solution générale est de la forme \psi(x) = A\sin(kx) + B\cos(kx).
Le confinement strict impose l'annulation de la fonction d'onde aux parois :

L'état fondamental correspond au premier niveau d'énergie non nul, soit n = 1 :

En exprimant \hbar en fonction de la constante de Planck (\hbar = \frac{h}{2\pi}) :

La constante A est déterminée par la condition de normalisation \displaystyle\int_0^a |\psi_1(x)|^2\,\mathrm{d}x = 1 :

La fonction d'onde spatiale de l'état fondamental s'écrit donc :

Illustration du principe d'indétermination de Heisenberg : La particule étant confinée dans un segment de longueur a, l'indétermination sur sa position est de l'ordre de la taille de la boîte : \Delta x \sim a.
D'après la relation d'indétermination de Heisenberg spatio-cinétique :

Comme la fonction d'onde correspond à une onde stationnaire, la valeur moyenne de l'impulsion est nulle (\langle p_x \rangle = 0), de sorte que :

L'énergie cinétique moyenne minimale imposée par la mécanique quantique est alors :

On retrouve bien, à un facteur numérique d'ordre 1 près, l'énergie fondamentale e_1 = \frac{h^2}{8m a^2}. Le confinement spatial interdit à la particule d'être au repos et lui confère nécessairement une énergie cinétique minimale non nulle, appelée énergie de point zéro ou énergie de confinement.

Pour une particule confinée dans la boîte cubique [0, a]^3, le potentiel est nul à l'intérieur et infini à l'extérieur. L'équation de Schrödinger stationnaire à trois dimensions s'écrit à l'intérieur du domaine :

avec la condition d'annulation de la fonction d'onde sur les frontières de la boîte.

La géométrie cartésienne permet de chercher la fonction d'onde sous forme à variables séparées :

L'équation se scinde alors en trois équations indépendantes identiques à celle résolue à la question Q21. Pour l'état fondamental, chaque direction correspond au mode fondamental (n_x = n_y = n_z = 1).

La fonction d'onde spatiale normalisée de l'état fondamental devient ainsi :

pour (x, y, z) \in [0, a]^3, et \psi_1(x, y, z) = 0 à l'extérieur.

L'énergie totale de l'état fondamental est la somme des énergies associées à chaque degré de liberté :

En injectant l'expression de e_1 établie à la question Q21, on obtient :

L'étoile est constituée de N protons et de N électrons, avec d'après la question Q20 :

D'après la question Q22, l'énergie cinétique de confinement dans l'état fondamental pour une particule de masse m dans la boîte cubique de côté a s'écrit :

L'énergie cinétique totale de confinement de l'étoile est la somme des énergies de confinement de l'ensemble des particules :

Comme m_e \ll m_p, le terme électronique domine très largement : \frac{1}{m_e} + \frac{1}{m_p} \simeq \frac{1}{m_e}. Il vient donc :

En injectant l'expression de a établie à la question Q20, a = R \left( \frac{4\pi m_p}{3M} \right)^{1/3}, on obtient :

En remplaçant N et a^2 dans l'expression de E_c :

On retrouve bien la forme demandée E_c = \gamma \frac{M^{5/3}}{R^2} avec :

(ou de façon rigoureusement exacte sans l'approximation m_e \ll m_p, en remplaçant 1/m_e par 1/m_e + 1/m_p).

Dans le modèle des naines blanches présenté, les effets de l'agitation thermique sont négligés. L'énergie totale de l'étoile est la somme de l'énergie cinétique de confinement des électrons et de l'énergie gravitationnelle :

D'après les résultats des questions Q15 et Q23 (rappelé dans le préambule de la partie II.D) :

L'énergie totale s'écrit donc en fonction du rayon R :

Pour trouver le rayon R_{\mathrm{eq}} minimisant cette énergie, on calcule la dérivée de E_{\mathrm{tot}} par rapport à R :

L'annulation de cette dérivée impose :

Soit finalement :

Vérifions qu'il s'agit bien d'un minimum en calculant la dérivée seconde :

En R = R_{\mathrm{eq}}, comme \frac{2\gamma M^{5/3}}{R_{\mathrm{eq}}} = \frac{3}{5}\mathcal{G}M^2, on obtient :

La dérivée seconde étant strictement positive, le rayon R_{\mathrm{eq}} correspond bien à un minimum strict de l'énergie totale.

D'après la question 24, le rayon d'équilibre d'une naine blanche s'écrit :

Pour mener le calcul sans calculatrice :

• On remarque que \mathcal{G} = 6{,}67\cdot 10^{-11}\text{ m}^3\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{s}^{-2} \simeq \dfrac{20}{3}\cdot 10^{-11}\text{ SI} ;
• La masse du Soleil vaut M_\odot = 1{,}99\cdot 10^{30}\text{ kg} \simeq 2{,}0\cdot 10^{30}\text{ kg} ;

• En utilisant la donnée de l'énoncé \left(\dfrac{5}{4}\right)^2 \simeq 1{,}6, on déduit :

  \left(\frac{5}{4}\right)^3 = \left(\frac{5}{4}\right)^2 \times 1{,}25 \simeq 1{,}6 \times 1{,}25 = 2{,}0 \implies M_\odot^{1/3} \simeq \frac{5}{4}\cdot 10^{10}\text{ kg}^{1/3}

En injectant ces approximations dans l'expression de R_{\mathrm{wd}} :

On obtient finalement :

Conclusion : Cette valeur est quasiment identique au rayon terrestre (R_T = 6{,}37\cdot 10^6\text{ m}) et est environ 100 fois plus petite que le rayon solaire (R_\odot \simeq 7{,}0\cdot 10^8\text{ m}). Une naine blanche concentre donc la masse du Soleil dans un volume comparable à celui de la Terre, ce qui correspond à une matière extraordinairement dense, de masse volumique moyenne :

Dans le modèle classique (non relativiste) adopté, l'énergie cinétique totale de confinement E_c est portée par les électrons, supposés de vitesse quadratique moyenne v :

où N est le nombre total d'électrons dans l'étoile. À l'équilibre mécanique de la naine blanche, l'énergie cinétique de confinement vaut (d'après l'équilibre de la question Q24) :

En reprenant l'approximation de la partie II.C pour laquelle la masse de l'étoile est assurée par les nucléons (protons) de sorte que M \simeq N m_p, le nombre d'électrons s'écrit N \simeq \frac{M}{m_p} (ou N \simeq \frac{M}{2 m_p} pour un cœur de carbone, ce qui ne change pas l'ordre de grandeur). On en déduit :

soit :

Avec les valeurs numériques fournies pour une naine blanche de masse solaire M = M_\odot = 1{,}99\cdot 10^{30}\text{ kg} et de rayon R_{\mathrm{wd}} \simeq 6{,}4\cdot 10^6\text{ m} :

(ou v \simeq 2{,}1\cdot 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} en considérant du carbone où N \simeq M/(2m_p)).

Dans les deux cas, on obtient :

La vitesse moyenne des électrons atteint une fraction notable de la vitesse de la lumière c = 3{,}0\cdot 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}. L'approximation non relativiste v \ll c n'est donc plus vérifiée : l'argument de Chandrasekhar est pleinement justifié, il est indispensable d'utiliser la mécanique quantique relativiste.