Quantification et confinement : 141 questions de concours corrigées

Donner les valeurs numériques de E_I et a₁ (en eV et en Angstrom respectivement).

Déduire de l'équation (4) l'expression de l'énergie Eₙ de la particule en fonction de n, ℓ, m et h.

Déduire de l'équation (4) l'expression de l'énergie Eₙ de la particule en fonction de n, ℓ, m et h.

Déduire de l'équation (4) l'expression de l'énergie Eₙ de la particule en fonction de n, ℓ, m et h.

Exprimer ρ(r) en fonction de R et r puis tracer la courbe représentative de cette fonction. Quelle est l'interprétation géométrique de R ?

Montrer ainsi que l'énergie de la particule vérifie l'inégalité E f_H(Δ x) où f_H est une fonction de Δ x et des paramètres m, ω₀ et ħ. Montrer que le minimum de cette fonction de Δ x a pour…

En écrivant les conditions limites de la fonction d'onde en x = 0 et x = a, en déduire l'expression des énergies. Écrire en particulier l'énergie de l'état fondamental E₁ et exprimer l'énergie d'un…

Montrer que rₙ = a₀ n². On donnera l'expression de a₀ appelé rayon de Bohr. Montrer que l'énergie mécanique Eₙ peut se mettre sous la forme : Eₙ = -E₀/n². Déterminer l'expression de E₀. Donner deux…

Dans le cadre du modèle de Bohr de l'atome d'hydrogène, déterminer l'expression de la période de révolution de l'électron dans son niveau fondamental, qu'on notera Tₑ, en fonction de q², de la…

Lorsque l'état final est n_f = 1, montrer qu'il existe une λₘₐₓ telle que λ λₘₐₓ et donner une estimation de λₘₐₓ . Quel est le domaine spectral correspondant à ces raies d'émission ? Lorsque l'état…

La particule étudiée étant confinée à l'intervalle x [0, a], exprimer la fonction d'onde spatiale ψ₁(x) et l'énergie e₁ de l'état fondamental en fonction de h, m et a. Justifier que cette relation…

La particule étudiée étant confinée à l'intervalle x [0, a], exprimer la fonction d'onde spatiale ψ₁(x) et l'énergie e₁ de l'état fondamental en fonction de h, m et a. Justifier que cette relation…

En déduire que le rayon de la trajectoire s'écrit R = n² a₀, où a₀ est le rayon de Bohr que l'on exprimera en fonction de e, mₑ, ε₀ et de h. Calculer numériquement a₀.

Montrer que l'énergie mécanique de l'électron s'écrit Eₘ = -E₀/n² et donner l'expression de E₀ en fonction de e, mₑ, ε₀ et de h. Calculer la valeur numérique de E₀ exprimée en joule et en eV.

Déterminer la limite de U pour T → 0 et commenter le résultat obtenu.

Pour donner consistance à la notion d'état stationnaire, supposons que l'électron actif est confiné au voisinage du noyau (situé en x = 0) par le puits de potentiel infini défini par : V(x) = 0 & si…

On suppose encore Φ(x, y, z) = F₁(x) F₂(y) F₃(z). Déterminer les fonctions F_i (i = 1, 2, 3) en fonction de a_i et de trois nombres entiers n_i N*, à une constante multiplicative arbitraire près.

Justifier que les valeurs prises par la grandeur k = √(2mE/ħ²) sont de la forme kₙ = n k₁, où n est un entier strictement positif. Exprimer complètement, à un facteur de phase près, les fonctions…

Établir l'expression de E₀ en fonction de e, mₑ, ε₀ et ħ.

a) Rappeler l'écriture de la fonction d'onde d'un état stationnaire d'énergie E. On notera φ(x) la partie spatiale de la fonction d'onde. b) En déduire l'équation différentielle vérifiée par φ(x)…

Montrer que l'inégalité spatiale d'Heisenberg impose à l'énergie mécanique moyenne de l'oscillateur harmonique quantique de ne pas être inférieure à une énergie particulière, notée Eₘ _min , à…

Rappeler, sans démonstration, la forme des fonctions d'onde des états stationnaires pour un puits de potentiel infini de taille L. Comparer au cas ci-dessus.

Montrer que q(ε) est proportionnel à √(ε). Pour la suite, on pourra poser q(ε) = Q√(ε) sans préciser la constante Q.

Expliquer pourquoi une approche classique est insuffisante pour interpréter le fait que le monoxyde de carbone absorbe uniquement des longueurs d'onde proches de 4,67 .

Établir le caractère attractif ou répulsif de l'effet Casimir sachant que la géométrie de la cavité tend à évoluer de façon à minimiser E_Cas.

Expliquer en quoi l'étude expérimentale de la configuration sphère-plan est plus avantageuse d'un point de vue pratique que celle de la configuration plan-plan vue auparavant.

Déduire des calculs précédents la formule trouvée empiriquement par Rydberg lorsque l'atome d'hydrogène passe d'un niveau d'énergie E_p à un niveau d'énergie Eₙ : 1/(λ_p→ n) = R_∞ (1/n² - 1/p²) où n…

Que vaut l'énergie d'ionisation de l'atome d'hydrogène, c'est-à-dire l'énergie minimale à fournir pour que l'électron échappe à l'attraction coulombienne du proton ?

Représenter graphiquement la relation E = f(k) en faisant figurer avec une échelle adaptée les trois états stationnaires de plus faible énergie.

a) Exprimer l'énergie E₁ associée à l'état fondamental et E₂ associée au premier niveau excité. L'application numérique avec a = 0,633 nm donne E₁ = 0,931 eV et E₂ = 3,74 eV. b) À l'issue d'un…

A cause des conditions aux limites (ici périodiques), le nombre d'onde correspondant à un mode propre est quantifié. Citer un système d'un autre domaine de la physique dans lequel une telle…

La condition d'onde stationnaire représentée sur la figure 4 est-elle identique à celle proposée par BOHR pour l'étude de l'atome d'hydrogène (figure 3) ?

Exprimer ρ(r) en fonction de R et r puis tracer la courbe représentative de cette fonction. Quelle est l'interprétation géométrique de R ?

La condition d'onde stationnaire représentée sur la figure 4 est-elle identique à celle proposée par BOHR pour l'étude de l'atome d'hydrogène (figure 3) ?

La condition d'onde stationnaire représentée sur la figure 4 est-elle identique à celle proposée par BOHR pour l'étude de l'atome d'hydrogène (figure 3) ?

Justifier que les valeurs de KL solutions du problème s'obtiennent en analysant les points d'intersection entre la courbe z -z/tan (z) et un cercle centré sur l'origine du repère, de rayon R dont on…

Déterminer la différence d'énergie Δ E_J = E_J+1 - E_J entre deux niveaux rotationnels voisins en fonction de B et J.

En s'appuyant sur la figure 3, identifier les intervalles en nombre d'onde qui correspondent aux branches R et P.

Proposer une explication de cette observation de raies doubles et non simples.

En déduire une expression de l'énergie E en fonction de Δ x, Δ pₓ, m et ω₀.

Donner l'expression de l'énergie électromagnétique dans la cavité à température nulle sous la forme d'une somme portant sur tous les modes. Expliquer pourquoi un tel résultat n'est pas acceptable.

En déduire l'expression de E_∞ en fonction de a, n₀, a, c et ħ.

Sachant que la force « ressentie » par la paroi en z = -a dérive de l'énergie de Casimir selon une expression analogue à celle d'une force conservative, établir l'expression de cette force en…

Calculer numériquement la différence de pression Δ P_Cas entre l'extérieur et l'intérieur de la cavité due à la force de Casimir. En déduire la norme de cette force pour une cavité formée de deux…

Pour x ]0, a[, écrire la forme générale des solutions φ(x). On pose κ² = 2mE/ħ².

Pour les radiations du domaine visible, n = 2. On donne : λ_3→ 2 = 656,3 nm et λ_4→ 2 = 486,2 nm. La raie verte trouvée par Ångström lors de ses études spectroscopiques des aurores boréales…

Dans le cas de l'atome d'hydrogène, Δ E est de l'ordre de quelques électrons-volts. En déduire qu'on peut négliger l'énergie de recul de l'atome et conclure quant à la relation entre Δ E = E_i - E_f…

Lorsque l'état final est n_f = 1, montrer qu'il existe une λₘₐₓ telle que λ λₘₐₓ et donner une estimation de λₘₐₓ . Quel est le domaine spectral correspondant à ces raies d'émission ? Lorsque l'état…

Quelle propriété du spectre d'émission de la molécule hydroxyle HO est ici mise à profit ?

Montrer que chaque état quantique possède un demi-grand axe aₙ s'écrivant aₙ = n² a₁, où l'on exprimera a₁ en fonction de constantes fondamentales.

Quelle inégalité ℓ et n doivent-ils vérifier ?

On considère le cas de deux atomes piégés dans deux pinces optiques voisines et éclairés par le même laser. On note P₁₂(t) la probabilité que les deux atomes soient dans l'état excité à l'instant t…

Exprimer a en fonction de M, R et m_p seulement.

Que deviennent ces expressions de la fonction d'onde et de l'énergie de l'état fondamental dans un modèle confiné à trois dimensions, x [0, a], y [0, a] et z [0, a] ?

Pour une étoile de ce type, déterminer le rayon R_eq qui assure un minimum de l'énergie totale.

Calculer numériquement R_wd dans le cas d'une masse égale à celle du Soleil et conclure.

Exprimer a en fonction de M, R et m_p seulement.

Que deviennent ces expressions de la fonction d'onde et de l'énergie de l'état fondamental dans un modèle confiné à trois dimensions, x [0, a], y [0, a] et z [0, a] ?

Pour une étoile de ce type, déterminer le rayon R_eq qui assure un minimum de l'énergie totale.

Calculer numériquement R_wd dans le cas d'une masse égale à celle du Soleil et conclure.

Effectuer l'application numérique. Commenter.

Donner, en fonction de E₀, h, c, n et de p, l'expression des longueurs d'onde λ_n,p des photons susceptibles d'être absorbés.

On admet que les transitions associées à des longueurs d'onde dans le visible sont obtenues pour n = 2. Donner les valeurs de p et λ_2,p correspondant effectivement à une longueur d'onde dans le…

La figure 3 représente graphiquement les énergies des états stationnaires en fonction de V₀. Au vu de cette figure, conjecturer l'expression de Eₙ⁽b⁾ en fonction de n pour tout n N.

Montrer que l'énergie E_f de l'état fondamental de la particule s'écrit : E_f = U₀ + h²/8m [ 1/a₁² + 1/a₂² + 1/a₃² ]

En déduire l'expression du module d'élasticité E, défini par la relation (1), en fonction de h, a et mₑ. Comparer au résultat de la partie II.A.

Montrer que dans le cas N = 1, on retrouve les équations de la question 46 en identifiant α = α et β = β. Justifier physiquement ce choix. En déduire la valeur de Ω₁.

Montrer que l'évolution que l'on observe ne correspond pas à ce que l'on attend de notre modèle pour un atome interagissant avec un champ contenant un nombre de photons initial N_i donné.

Expliciter l'écart Δ E d'énergie entre ces deux niveaux puis λ₀ en fonction de h, c (célérité de la lumière dans le vide), e, mₑ et ε₀.

On appelle constante de structure fine la grandeur α = e²/(4πε₀ħ c) = e²/(2ε₀ h c). Préciser sa dimension puis estimer son ordre de grandeur.

Calculer la valeur numérique de E₁, pour L = 1 . Comparer cette valeur à l'ordre de grandeur de l'énergie d'agitation thermique à T = 300 K. Pourquoi parle-t-on de quasi-continuum d'énergie au sein…

À T = 0 K, les électrons peuplent les états obtenus par énergie croissante, avec au plus deux électrons dans le même état d'énergie d'après le principe d'exclusion de Wolfgang Pauli. En déduire le…

Que représentent, dans ce modèle, les cuvettes de potentiel et la période 2a ?

On sait que pour le silicium, la largeur de bande interdite est de l'ordre de 1 eV. Commenter.

Les raies de LYMAN du spectre de la figure 2 sont dues au retour de l'électron dans son niveau fondamental. Vérifier numériquement la vraisemblance de cette affirmation.

La raie la plus marquée du spectre est la raie LYMAN β notée Ly β sur le spectre de la figure 2. On constate que la raie LYMAN δ est plus proche de la raie LYMAN γ que cette dernière est proche de…

Quelles sont les énergies libérées lors des passages des couches M, puis L, au niveau fondamental ? Les photons correspondants sont-ils visibles ?

Si de la lumière blanche pénètre dans le cristal, quelle est la longueur d'onde de la lumière absorbée et la couleur de la lumière transmise dans le cas du cristal modifié ? Les données numériques…

La particule est un neutron ; l'écart entre état fondamental et premier état excité est Δ E = 30 MeV. Estimer la dimension ℓ du segment où le nucléon est confiné. Commenter en précisant la situation…

Exprimer R et l'énergie E de l'électron en fonction des constantes physiques h, e, mₑ et ε₀ ; comparer au modèle de BOHR.

La particule est un neutron ; l'écart entre état fondamental et premier état excité est Δ E = 30 MeV. Estimer la dimension ℓ du segment où le nucléon est confiné. Commenter en précisant la situation…

Exprimer ρ(r) en fonction de R et r puis tracer la courbe représentative de cette fonction. Quelle est l'interprétation géométrique de R ?

La particule est un neutron ; l'écart entre état fondamental et premier état excité est Δ E = 30 MeV. Estimer la dimension ℓ du segment où le nucléon est confiné. Commenter en précisant la situation…

Exprimer R et l'énergie E de l'électron en fonction des constantes physiques h, e, mₑ et ε₀ ; comparer au modèle de BOHR.

Selon vous, comment la mécanique quantique permet-elle de remédier aux problématiques soulevées par les questions 32 et 34 ?

Déterminer l'équation différentielle vérifiée par φ(x) puis donner la forme générale des solutions dans les 3 zones de l'espace : φ₁(x), φ₂(x) et φ₃(x).

En déduire que : K'L = -KL/(tan (KL))

En raisonnant sur le monôme de degré n de cette équation, montrer qu'il existe une relation simple entre ε et n. En déduire l'expression des énergies de vibration de la molécule.

Identifier les valeurs des nombres quantiques J'' et J' pour les transitions associées aux raies d'absorption à 2926 cm⁻¹, 2906 cm⁻¹, 2865 cm⁻¹ et 2844 cm⁻¹ sur la figure 3.

Expliquer pourquoi on n'observe pas de raie d'absorption en dehors de l'intervalle [2600 ; 3100] cm⁻¹.

Proposer un contenu acceptable pour les lignes incomplètes 12, 17 et 19 du script suivant en langage Python qui vise à implémenter cette méthode simplifiée.

En déduire que E_Cas(a) = -B/aξ où ξ est un exposant, supposé entier, de valeur à préciser et B une constante strictement positive qui n'est pas à déterminer.

Déterminer les exposants α, β et δ. En déduire l'expression de la constante B introduite à la question Q22.

En reliant les grandeurs e, x et R et en considérant le cas où d est de l'ordre de 100 nm, proposer une estimation qui montre que la force de Casimir se réduit en pratique aux contributions des…

Évaluer la force de Casimir sphère-plan pour une distance au plan de 100 nm. Commenter au vu de la figure 4.

En exploitant le résultat de la question Q8, donner l'ordre de grandeur de la pression de radiation sur la face externe des plans reflecteurs et liée aux photons thermiques à température ambiante…

Dans les deux cas limites (cas 1 et cas 2) de dimensions de cavité a égales respectivement à 0,1 et 10 , discuter du choix de conducteurs respectivement en aluminium ou en or. Compte tenu des…

a) En notant d_cc la distance moyenne entre deux carbones, écrire l'expression de a en fonction de d_cc. b) Établir la relation entre la longueur d'onde λ associée à la transition et la distance…

On admet que l'énergie totale du système après émission est identique à celle de l'atome au repos avant l'émission. En déduire la relation E = mc² (√(1+2η) - 1) et exprimer η en fonction de Δ E, m…

Quel est le rôle du circuit à circulation d'eau qui entoure le tube central ? Sur le spectre proposé en figure 4, quelle est l'unité de la graduation donnée en abscisse ? Quelle est, à votre avis…

Les raies d'émission du deutérium sont-elles, par rapport à celle de l'hydrogène ordinaire, décalées vers le bleu ou vers le rouge ? De quelle résolution spectrale (en nanomètre) faut-il disposer…

Les raies d'émission du deutérium sont-elles, par rapport à celle de l'hydrogène ordinaire, décalées vers le bleu ou vers le rouge ? De quelle résolution spectrale (en nanomètre) faut-il disposer…

On note Eₙ l'énergie du n-ième état permis par la mécanique quantique, que l'on classe par ordre croissant de n. Montrer que dans la limite des n grands, la conservation de l'énergie s'écrit dE/dn =…

Résoudre cette équation différentielle et en déduire que les énergies se mettent sous la forme Eₙ = -E_I/(2(n + n*)²), où n* est une constante d'intégration appelée défaut quantique et où l'on…

La condition de quantification de l'énergie ne suffit pas à spécifier complètement les orbites permises. Pour cela on rajoute une condition de quantification du moment cinétique, qui ne peut prendre…

Pourquoi le deuxième terme proportionnel à f domine-t-il le premier dans le cas d'une orbite très excitée ?

Pour que le mouvement vertical puisse être considéré comme stationnaire, il faut que le neutron ait le temps de rebondir plusieurs fois avant de ressortir. Cette condition est-elle vérifiée si le…

En déduire que l'énergie cinétique totale due au confinement de l'étoile se met sous la forme E_c = γ M⁵/³ / R² dans laquelle on exprimera γ en fonction de h, m_p et mₑ.

En déduire que l'énergie cinétique totale due au confinement de l'étoile se met sous la forme E_c = γ M⁵/³/R² dans laquelle on exprimera γ en fonction de h, m_p et mₑ.

En déduire que la « taille » de la l'atome d'hydrogène a pour expression a₀ ∼ ħ²/(m e²).

Pour quelles valeurs de m peut-on montrer sans calculs que Eₘ appartient à l'ensemble Eₙ⁽b⁾ ; n N ? Vérifier la cohérence avec la réponse à la question précédente.

Montrer que les Eₙ⁽b⁾ sont les énergies des états stationnaires d'une particule dans un potentiel harmonique de pulsation 2ω, décalées d'une constante à déterminer.

Montrer sans calculs que pour tout m N, l'énergie (2m + 3/2)ħω fait partie de l'ensemble des énergies Eₙ⁽d⁾ ; n N.

Exprimer la variation Δ E₁ de l'énergie de l'état fondamental qui accompagne cette transformation.

Justifier en utilisant les résultats précédents que Ω_N = √(N)Ω₁.

On considère maintenant que l'atome est initialement dans l'état excité, et que le mode du champ contient N_i photons. Entre quels deux états le système va-t-il évoluer ? Calculer la probabilité…

En effet, l'atome interagit ici avec un mode du champ contenant un état cohérent, qui est un état pour lequel le nombre de photons n'est pas défini. Le nombre N_i de photons dans la cavité est une…

Comment peut-on interpréter la résurgence des oscillations (encadré dans la figure 5) ? Montrer que cette résurgence est la preuve de la quantification du champ, c'est à dire que le nombre de…

La correction relativiste à l'énergie Δ E d'une transition entre niveaux d'énergie s'écrit sous la forme (Δ E_relat - Δ E)/(Δ E) ∼ αp. Déduire de ce qui précède l'entier p puis conclure…

Avec ce choix d'origine de l'énergie potentielle, l'énergie E de la particule peut-elle être négative ?

Nous nous intéresserons par la suite aux états stationnaires d'énergie E > V₀. Justifier, en précisant les expressions des grandeurs positives k et K, la forme des solutions φ(x), où n est un entier…

Compléter avec soin la figure A du document réponse et expliquer en quoi ce modèle permet de rendre compte de l'existence de bandes d'énergie, soit permises, soit interdites.

Que deviennent ces résultats lorsque α = 1 ? Justifier votre réponse.

Justifier cette dernière assertion.

La figure 5 donne deux spectres obtenus pour un échantillon contenant du plomb. L'abscisse est l'énergie du rayonnement émis exprimée en keV. Quelles raies ces spectres permettent-ils d'identifier ?…

Déterminer l'énergie potentielle moyenne de l'électron V . En déduire son énergie cinétique moyenne K à partir de la valeur de son énergie totale E ; commenter.

Exprimer R et l'énergie E de l'électron en fonction des constantes physiques h, e, mₑ et ε₀ ; comparer au modèle de BOHR.

Déterminer l'énergie potentielle moyenne de l'électron V . En déduire son énergie cinétique moyenne K à partir de la valeur de son énergie totale E ; commenter.

Estimer la valeur que doit valoir L afin que la transition énergétique entre l'état fondamental et le premier état excité corresponde à l'absorption d'un photon de longueur d'onde λ = 4,67…

Déduire, à partir de la figure 3, des valeurs expérimentales avec incertitudes-types pour la distance d₀ et de la pulsation propre ω₀ de vibration de la molécule HCl.

Exprimer l'énergie de Casimir E_Cas = E(a) - E_∞ dans la limite où n₀ ≫ 1 et a ≪ a.

Montrer que le caractère imparfait des conducteurs se traduit par une variation de la norme de la force de Casimir mesurée en aα' où α' est un entier négatif dont la valeur sera estimée.

Montrer que pour une orbite très aplatie on a α ∝ nk, où k est un entier positif dont on déterminera la valeur.

On approche à présent les deux atomes. Comparer qualitativement l'énergie nécessaire pour faire passer un atome depuis l'état fondamental au niveau excité, puis celle nécessaire à faire transiter le…

La figure ci-dessous représente le débit de neutrons reçus par le détecteur en fonction de la distance δ séparant le miroir et l'absorbeur. La courbe pleine correspond au résultat du calcul…

En estimant la vitesse des électrons dans le modèle de Fowler justifier l'argument de Chandrasekhar.

En estimant la vitesse des électrons dans le modèle de Fowler justifier l'argument de Chandrasekhar.

On suppose δ a ≪ a. Montrer qu'au premier ordre non nul en δ a / a la variation d'énergie se met sous la forme Δ E₁ = 1/2 K δ a², on exprimera K en fonction de h, m et a. On rappelle que (1 - ε)⁻² =…

En étudiant la dynamique de l'effondrement (t < 20 ), donner une estimation de N_i et de Δ N_i. On pourra estimer la valeur de Ω₁ dans l'expérience à partir de la courbe de la figure 2 de la partie…

En analysant l'effet sur le système d'une translation de a, indiquer, sans calcul, l'expression correcte de F_α(ka).

En prenant pour valeur le paramètre de maille du silicium 2a = 0,54 nm, calculer dans ce modèle et pour α = 0,2 la largeur en énergie de la première bande d'énergie interdite.