Corrigé détaillé Mines Physique 1 MPI 2025

La relation (1) s'écrit sous la forme :

Par identification avec le théorème de Pythagore, le « triangle relativiste » est un triangle rectangle. Son hypoténuse est l'énergie totale E, et les deux côtés adjacents à l'angle droit sont le terme d'impulsion pc et l'énergie de masse au repos mc^2.

Unités dans le système international (SI) :

• L'impulsion p est homogène à une quantité de mouvement ([p] = \mathrm{M\cdot L\cdot T^{-1}}). Son unité usuelle dans le SI est le kilogramme-mètre par seconde :

  \boxed{\mathrm{kg\cdot m\cdot s^{-1}} \quad (\text{ou } \mathrm{N\cdot s})}

• Le produit pc a la dimension d'une quantité de mouvement multipliée par une vitesse, soit une énergie ([pc] = \mathrm{M\cdot L^2\cdot T^{-2}}). Son unité dans le SI est le joule :

  \boxed{\mathrm{J}}

D'après la relation du triangle relativiste (1), lorsque l'impulsion de la particule est nulle (p = 0), son énergie totale E_0 vérifie :

L'énergie étant une grandeur positive, on en déduit l'expression de l'énergie de repos du proton :

L'énoncé précise que dans la partie I, l'énergie s'exprime en \mathrm{MeV} et donne directement m_p c^2 = 940\text{ MeV}.

Dans le Système international, avec 1\text{ eV} = 1,6\times 10^{-19}\text{ J} :

En conservant deux chiffres significatifs conformément aux consignes :

D'après la relation du triangle relativiste (1), l'énergie totale s'écrit :

Dans la limite classique, l'énergie cinétique est négligeable devant l'énergie de repos (E_c \ll E_0), ce qui implique p \ll mc. En effectuant un développement limité au premier ordre non nul en (p/mc)^2 :

L'énergie cinétique E_c = E - E_0 s'exprime donc par :

En identifiant cette expression à celle de l'énergie cinétique classique E_c = \frac{1}{2}m v^2, on obtient p = mv. Les vecteurs impulsion et vitesse étant colinéaires et de même sens, on retrouve la relation classique :

Le rapport de l'énergie cinétique sur l'énergie de repos s'exprime alors en fonction de la vitesse v :

La condition \frac{E_c}{E_0} < 1\% = 10^{-2} conduit à :

Avec c = 3{,}0 \times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} et \sqrt{2} \approx 1{,}41 :

Ce rapport étant strictement indépendant de la masse m, la vitesse maximale est rigoureusement identique pour un électron :

D'après la relation du triangle relativiste (1) et la définition de l'énergie de repos E_0 = mc^2 (question Q2), l'énergie totale s'écrit :

En utilisant l'expression générale de l'impulsion admise en (3), la norme p = \|\vec{p}\| vaut :

d'où :

En injectant cette relation dans l'expression de E^2, il vient :

Comme l'énergie E d'une particule libre est positive, on en déduit l'expression générale de l'énergie totale :

D'après la relation obtenue à la question 4 :

Pour un photon se propageant dans le vide, la vitesse est v = c. Le dénominateur \sqrt{1 - v^2/c^2} s'annule. Pour que l'énergie E du photon reste finie et non nulle, il est nécessaire que le numérateur s'annule également, soit E_0 = 0. Comme E_0 = m c^2, on en déduit que :

La masse au repos d'un photon est rigoureusement nulle.

En injectant m = 0 dans la relation du triangle relativiste (1), il vient :

D'après la relation de De Broglie (2), \lambda = \frac{h}{p}, soit p = \frac{h}{\lambda}. On obtient l'expression de l'énergie en fonction de la longueur d'onde :

Pour une onde électromagnétique dans le vide, la fréquence \nu et la longueur d'onde sont liées par \nu = \frac{c}{\lambda}, d'où la relation de Planck-Einstein :

Applications numériques : En utilisant la valeur fournie hc \simeq 1{,}2\text{ eV}\cdot\mu\text{m} :

• Domaine bleu (\lambda \sim 400\text{ nm} = 0{,}40\ \mu\text{m}) :

  E_{\text{bleu}} = \frac{1{,}2\text{ eV}\cdot\mu\text{m}}{0{,}40\ \mu\text{m}} \implies \boxed{E_{\text{bleu}} \simeq 3{,}0\text{ eV}}

• Domaine rouge (\lambda \sim 600\text{ nm} = 0{,}60\ \mu\text{m}) :

  E_{\text{rouge}} = \frac{1{,}2\text{ eV}\cdot\mu\text{m}}{0{,}60\ \mu\text{m}} \implies \boxed{E_{\text{rouge}} \simeq 2{,}0\text{ eV}}

Le système isolé \{\text{atome} + \text{photon}\} est initialement au repos, son impulsion totale avant l'émission est donc nulle. D'après le principe de conservation de la quantité de mouvement :

Comme le photon a pour impulsion p = \frac{E}{c}, la vitesse de recul de l'atome s'écrit v = \frac{E}{mc}. L'énergie cinétique classique de recul de l'atome vaut donc :

La conservation de l'énergie totale du système s'écrit :

soit, en décomposant l'énergie de l'atome en son énergie interne et son énergie cinétique :

En introduisant \Delta E = E_i - E_f, il vient :

On reconnaît une équation polynomiale du second degré en E, que l'on peut mettre sous forme canonique :

L'énergie E du photon étant positive, la seule solution physiquement acceptable est :

Cette expression s'identifie à la relation proposée E = mc^2\left(\sqrt{1+2\eta} - 1\right) en posant :

La masse de l'atome d'hydrogène est essentiellement concentrée dans son noyau (le proton), d'où m \simeq m_p, soit :

Pour une transition électronique dans l'atome d'hydrogène, \Delta E est de l'ordre de quelques électrons-volts (\Delta E \sim 1\text{ à }10\text{ eV}). On en déduit l'ordre de grandeur de \eta défini à la question Q6 :

Comme \eta \ll 1, effectuons un développement limité au premier ordre de l'expression de E établie à la question Q6 :

L'énergie cinétique de recul de l'atome vaut :

Elle est totalement négligeable devant \Delta E (fraction relative de l'ordre de 10^{-9}).

Toute l'énergie libérée lors de la désexcitation est donc emportée par le photon :

D'après la question Q7, l'énergie du photon émis est E \simeq \Delta E = E_{n_i} - E_{n_f}, avec n_i > n_f. En utilisant l'expression des niveaux d'énergie E_n = -\frac{H}{2n^2} et la relation de Planck-Einstein E = \frac{hc}{\lambda} (question Q5), il vient :

1. Cas n_f = 1 :

L'état initial le plus proche est n_i = 2. La fonction n_i \mapsto \Delta E est strictement croissante, donc l'écart énergétique est minimal pour n_i = 2 :

Puisque \lambda = \frac{hc}{\Delta E} est une fonction décroissante de l'énergie, la longueur d'onde est maximale pour cette transition :

Avec hc \simeq 1{,}2\text{ eV}\cdot\mu\text{m} = 1{,}2\times 10^3\text{ eV}\cdot\text{nm} et H = 27{,}2\text{ eV} :

Comme \lambda \leqslant 120\text{ nm} < 400\text{ nm}, toutes ces raies se situent dans le domaine de l'ultraviolet (série de Lyman).

2. Cas n_f > 2 (soit n_f \geqslant 3) :

L'écart énergétique maximal correspond à la limite d'ionisation n_i \to \infty pour la plus petite valeur possible de n_f, c'est-à-dire n_f = 3 :

On en déduit l'existence d'une borne inférieure pour la longueur d'onde :

Numériquement :

Puisque \lambda \geqslant 800\text{ nm} > 700\text{ nm}, ces raies d'émission appartiennent toutes au domaine de l'infrarouge (séries de Paschen, Brackett, Pfund, etc.).

3. Raies du domaine visible (raies de Balmer) :

Les transitions vers n_f = 1 sont entièrement situées dans l'ultraviolet (\lambda \leqslant 120\text{ nm}) et celles vers n_f \geqslant 3 dans l'infrarouge (\lambda \geqslant 800\text{ nm}). Le domaine visible (400\text{ nm} \lesssim \lambda \lesssim 750\text{ nm}) ne peut donc correspondre qu'à l'unique valeur :

La lame L_1 (séparatrice) possède deux faces planes et parallèles :

• la face avant (ou face d'entrée), tournée vers la source (monochromateur) et le miroir mobile ;
• la face arrière, tournée vers le miroir fixe et l'oculaire.

La lame compensatrice L_2, de même épaisseur e et de même indice n que L_1, est disposée parallèlement à L_1 sur le trajet du bras vertical (vers le miroir mobile). Tout faisceau effectuant un aller-retour vers le miroir mobile traverse donc deux fois la lame L_2.

Détaillons le nombre de traversées de verre d'épaisseur e pour chaque voie :

• Voie 2 (miroir mobile) : Le faisceau incident se réfléchit directement sur la face avant semi-réfléchissante de L_1 (0 traversée de L_1). Il monte vers le miroir mobile en traversant L_2 (1 traversée), s'y réfléchit, retraverse L_2 au retour (1 traversée), puis traverse l'épaisseur de L_1 pour émerger vers l'oculaire (1 traversée).

  N_2 = 1 \text{ (dans } L_1\text{)} + 2 \text{ (dans } L_2\text{)} = 3 \text{ traversées.}

• Voie 1 (miroir fixe) : Le faisceau incident traverse L_1 (1 traversée) vers le miroir fixe, s'y réfléchit, rentre par la face arrière de L_1 et traverse son épaisseur jusqu'à la face semi-réfléchissante (1 traversée), s'y réfléchit (réflexion interne) et retraverse L_1 pour sortir par la face arrière vers l'oculaire (1 traversée).

  N_1 = 3 \text{ (dans } L_1\text{)} = 3 \text{ traversées.}

Grâce à ce choix, les deux trajets parcourent rigoureusement la même épaisseur géométrique de verre (3e/\cos r).

Si la couche semi-réfléchissante était déposée sur la face arrière, la voie 1 ne traverserait L_1 qu'une seule fois au total (N_1 = 1), tandis que la voie 2 traverserait L_1 trois fois et L_2 deux fois (N_2 = 5), ce qui accentuerait la dissymétrie au lieu de la compenser.

1. Forme des franges d'interférence

Lorsque le miroir fixe et le miroir mobile sont rigoureusement perpendiculaires, l'image du miroir fixe par la séparatrice L_1 est strictement parallèle au miroir mobile : l'interféromètre de Michelson est réglé en lame d'air à faces parallèles.

Pour un rayon incident sous un angle d'inclinaison \theta par rapport à la normale aux miroirs, la différence de marche ne dépend que de \theta :

où e est l'épaisseur de la lame d'air équivalente.

Les lignes d'égale intensité sont des lignes d'égale différence de marche, donc d'égale inclinaison \theta. Par symétrie de révolution autour de l'axe optique (O, \vec{e}_z), les franges observées dans le plan focal de l'oculaire ont la forme d'anneaux concentriques (anneaux d'égale inclinaison, ou anneaux de Haidinger), centrés sur l'axe optique.

2. Influence du déréglage de l'oculaire

La source lumineuse n'étant pas ponctuelle (elle est constituée d'une fente de largeur finie, donc spatialement étendue), chaque point source crée son propre système de franges. Ces systèmes ne se superposent en phase que dans la direction où la différence de marche est indépendante de la position de la source, c'est-à-dire à l'infini : les franges sont localisées à l'infini.

L'oculaire afocal réglé à l'infini permet de conjuguer l'infini optique avec la rétine de l'observateur (qui observe sans accommoder).

Si l'oculaire est déréglé, le plan conjugué de la rétine se retrouve à distance finie. Or, à distance finie, les rayons issus des différents points de la source étendue interfèrent avec des différences de marche différentes, ce qui conduit à un brouillage spatial : le contraste s'annule rapidement.

Dans la configuration en lame d'air à faces parallèles, la différence de marche pour des rayons faisant un angle i avec la normale aux miroirs s'écrit :

où e est l'épaisseur de la lame d'air équivalente (séparation entre le miroir mobile et l'image du miroir fixe par la séparatrice L_1).

Au centre du champ d'observation, les rayons émergent parallèlement à l'axe optique, soit sous une incidence normale i = 0. La différence de marche au centre vaut donc :

L'ordre d'interférence au centre est donné par :

Lorsque l'opérateur déplace le miroir mobile d'une distance \Delta z parallèlement à l'axe (O, \vec{e}_z), c'est-à-dire orthogonalement à sa surface réfléchissante, l'épaisseur de la lame d'air varie de \Delta e = \Delta z. La variation de différence de marche au centre s'élève donc à :

Chaque variation d'une unité de l'ordre d'interférence (\Delta p_0 = 1) correspond au passage d'une nouvelle frange sombre (ou brillante) au centre du champ. Par conséquent, le nombre \Delta N de franges sombres qui défilent au centre vérifie :

Dans le modèle équivalent de l'interféromètre de Michelson réglé en lame d'air, le système est équivalent à deux miroirs parallèles plans M_1 et M'_2 distants de e = \Delta z, éclairés par une onde plane faisant un angle d'incidence \theta avec la normale commune aux miroirs.

La différence de marche \delta(\theta) entre les deux rayons émergeant parallèlement sous l'angle \theta s'écrit :

Par trigonométrie élémentaire dans les triangles rectangles ABB' (où B' est le projeté de A sur M_1) et ACH :

On en déduit :

En prenant en compte le déplacement \Delta z depuis le contact optique (e = \Delta z) :

L'ordre d'interférence en un point associé à l'inclinaison \theta vaut :

Au centre du champ (\theta = 0), l'ordre d'interférence est maximal :

La fonction \cos\theta étant strictement décroissante au voisinage de \theta = 0, l'ordre d'interférence diminue lorsqu'on s'écarte du centre. La première frange de même nature que le centre correspond à une diminution de l'ordre d'une unité entière :

Soit :

Pour les faibles inclinaisons observées (\Delta\theta \ll 1), un développement limité au second ordre donne 1 - \cos\Delta\theta \simeq \frac{(\Delta\theta)^2}{2}, d'où :

On obtient finalement l'angle \Delta\theta sous la forme :

D'après la question Q11, le défilement de N franges lors d'un déplacement \Delta z s'écrit :

L'application numérique donne, avec deux chiffres significatifs :

Cette longueur d'onde appartient au domaine du rouge :

Le nombre de franges N étant déterminé par comptage sans incertitude, la précision relative sur la mesure de \lambda_0 découle directement de celle sur \Delta z :

Numériquement :

D'après la question Q12, l'écart angulaire avec le premier anneau de même nature après le déplacement \Delta z vaut :

Numériquement :

Commentaires :

• L'angle \Delta\theta \ll 1\text{ rad} valide a posteriori le développement limité à l'ordre deux de \cos\theta effectué à la question Q12.
• Les anneaux étant très resserrés au centre pour une telle épaisseur de lame d'air, l'emploi d'un oculaire afocal grossissant est indispensable pour séparer et observer nettement les franges.

Les deux ondes issues de la division d'amplitude sont cohérentes entre elles et se propagent le long des deux bras de l'interféromètre avec la même intensité I_0. En un point où la différence de marche entre les deux trajets optiques est \delta, le déphasage entre les deux ondes vaut :

D'après la formule de Fresnel pour l'interférence de deux ondes d'égales intensités I_1 = I_2 = I_0, l'intensité résultante s'écrit :

Le facteur de contraste (ou visibilité) de Michelson C est défini par :

Pour une source rigoureusement monochromatique, l'intensité varie entre les valeurs extrêmes :

On en déduit immédiatement le contraste des franges :

Deux ondes de fréquences optiques différentes sont mutuellement incohérentes au sens de l'interférométrie : les termes d'interférence croisés ont une moyenne temporelle nulle. L'intensité totale observée est donc la somme des intensités associées à chaque radiation.

D'après la question Q14, chaque radiation monochromatique d'intensité I_0 par voie produit le signal :

L'intensité totale vaut ainsi :

Sachant que \lambda_1 = \lambda_0 - \frac{\Delta\lambda}{2} et \lambda_2 = \lambda_0 + \frac{\Delta\lambda}{2} avec \Delta\lambda \ll \lambda_0, on effectue les développements :

On obtient ainsi l'expression de l'intensité observée :

Puisque \Delta\lambda \ll \lambda_0, le facteur \cos\left(\frac{\pi\delta\,\Delta\lambda}{\lambda_0^2}\right) varie beaucoup plus lentement avec \delta que le facteur \cos\left(\frac{2\pi\delta}{\lambda_0}\right). L'intensité présente donc des oscillations rapides modulées par une enveloppe lente. Les extrema locaux d'intensité s'écrivent :

Le facteur de contraste C des franges est défini par :

On en déduit :

Mesure de \lambda_0/\Delta\lambda : Le contraste s'annule (phénomène de brouillage des franges) lorsque l'argument du cosinus est un multiple impair de \pi/2 :

L'écart de différence de marche entre deux brouillages successifs (ou entre deux réapparitions maximales de contraste) vaut :

En mesurant expérimentalement le déplacement \Delta z = \Delta\delta / 2 du miroir mobile entre deux extinctions consécutives du contraste, on en déduit directement le pouvoir de résolution :

Chaque composante monochromatique de longueur d'onde \lambda_k (k \in \{1, 2\}) donne une intensité :

Les deux rayonnements étant mutuellement incohérents, les intensités s'ajoutent :

En introduisant les phases \phi_1 = \dfrac{2\pi\delta}{\lambda_1} et \phi_2 = \dfrac{2\pi\delta}{\lambda_2}, avec \Delta\lambda \ll \lambda_0, on a \phi_0 = \dfrac{\phi_1+\phi_2}{2} \simeq \dfrac{2\pi\delta}{\lambda_0} et :

Le terme d'interférence s'écrit sous forme complexe :

L'amplitude des modulations d'intensité est donc proportionnelle à :

Le facteur de contraste s'exprime ainsi :

Le contraste est minimal lorsque le terme en cosinus vaut -1, c'est-à-dire :

La valeur minimale du facteur de contraste est alors (avec I_2 < I_1) :

Mise en évidence du doublet H_\alpha : Pour la raie H_\alpha, on a \lambda_0 \simeq 656\text{ nm} (question Q13) et \Delta\lambda = 1{,}4\times 10^{-11}\text{ m}. La première valeur de \delta conduisant à un minimum de contraste (k=0) est :

Comme \delta = 2\Delta z au centre du champ, le déplacement correspondant du miroir mobile vaut :

Une vis micrométrique standard dispose couramment d'une course de l'ordre de 10\text{ mm} à 25\text{ mm}. Un déplacement de 7{,}7\text{ mm} (ou de 15\text{ mm} pour une période complète de battement) est donc réalisable mécaniquement : il est tout à fait possible de mettre en évidence cette raie double (c'est d'ailleurs l'une des mesures historiques remarquables menées par Michelson en 1892).

1. Rôle de la circulation d'eau :

   Les décharges électriques haute tension dissipent une puissance thermique importante par effet Joule au sein du gaz et des parois. Le circuit de refroidissement à eau permet :

   • d'évacuer cette chaleur pour éviter l'échauffement critique et la détérioration du tube en quartz ;
   • de limiter la température du gaz, ce qui réduit l'élargissement Doppler thermique des raies d'émission et prévient le dégazage des parois.

2. Unité de la graduation en abscisse :

   La série de Balmer dans le domaine visible présente pour la raie H_\beta (transition de n=4 vers n_f=2) une longueur d'onde théorique :

   \frac{1}{\lambda} = R_H \left(\frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2}\right) = \frac{3}{16} R_H \implies \lambda \simeq 486\text{ nm}

   Sur la figure 4, le pic H_\beta se situe juste en dessous de la valeur 5 000 (environ 4 860), tandis que H_\gamma se trouve autour de 4 340. Les graduations (2 600, 3 000, 4 000, 5 000) correspondent donc à des longueurs d'onde exprimées en ångströms (\text{Å}), avec 1\text{ Å} = 10^{-10}\text{ m} = 0{,}1\text{ nm}.

   \boxed{\text{L'unité de l'abscisse est l'\aa{}ngstrœ{}m (\AA) ; } 1\text{ \AA} = 10^{-10}\text{ m} = 0{,}1\text{ nm}}

3. Origine du fond continu :

   Le fond continu ultraviolet peut s'interpréter selon deux origines physiques :

   • Origine moléculaire (prépondérante pour \text{H}_2) : Lors de la décharge, des molécules excitées de dihydrogène subissent une transition radiative vers un état électronique dissociatif répulsif (b\,{}^3\Sigma_u^+), se dissociant en deux atomes d'hydrogène :

     \mathrm{H}_2^* \longrightarrow \mathrm{H} + \mathrm{H} + h\nu

     L'énergie cinétique relative des atomes après dissociation n'étant pas quantifiée et variant continûment, le photon émis possède une énergie continûment variable, produisant ce fond continu caractéristique des lampes à hydrogène moléculaire.

   • Recombinaison radiative (transitions libre-lié) : La capture d'un électron libre d'énergie cinétique quelconque E_c par un proton \mathrm{H}^+ + e^- \to \mathrm{H}(n) + h\nu émet un photon d'énergie h\nu = |E_n| + E_c. Pour n=2, cette recombinaison donne naissance au continuum de Balmer pour des longueurs d'onde inférieures à la limite de Balmer \lambda_B \simeq 3650\text{ \AA}, ce qui coïncide remarquablement avec la bande observée.

L'énoncé indique que l'utilisation de tubes à vapeur d'eau permet « l'obtention d'un spectre atomique sans bande continue ».

La propriété mise à profit est la suivante :

• la molécule hydroxyle \mathrm{HO} n'émet pas de continuum dans le domaine d'observation des raies atomiques de l'hydrogène (le visible pour la série de Balmer) ;
• son émission moléculaire est constituée de bandes discrètes (spectre de rovibration électronique) situées principalement dans le proche ultraviolet (autour de 306\text{ nm} pour le système A\,{}^2\Sigma^+ \to X\,{}^2\Pi), laissant le domaine visible (400\text{ nm} à 656\text{ nm}) totalement exempt de lumière parasite ou de fond continu émis par la molécule.

Les raies atomiques de l'hydrogène (et de ses isotopes) se détachent ainsi sur un fond sombre, avec un contraste optimal pour les mesures interférométriques.

Le noyau d'hydrogène ordinaire est un proton unique de masse m_N = m_p, tandis que le noyau de deutérium contient un proton et un neutron, soit m_N = m_D \simeq 2m_p (le neutron et le proton ayant des masses quasi identiques).

D'après la relation fournie :

Comme m_D > m_p, il vient immédiatement :

La longueur d'onde émise par le deutérium est donc plus courte que celle de l'hydrogène : les raies d'émission du deutérium sont décalées vers le bleu.

Pour pouvoir séparer expérimentalement les deux raies, la résolution spectrale du dispositif (au sens du plus petit écart \delta\lambda discernable) doit être inférieure ou égale à l'écart spectral \Delta\lambda = \lambda_H - \lambda_D. En explicitant cet écart :

Comme m_e \ll m_p, on peut assimiler \lambda_\infty à la longueur d'onde \lambda mesurée, d'où la résolution spectrale requise :

Sur la figure 4, la position de la raie H_\beta se lit à l'abscisse :

Avec les valeurs numériques de l'énoncé (m_e c^2 = 0{,}51\text{ MeV} et m_p c^2 = 940\text{ MeV}) :

On en déduit l'écart spectral entre l'hydrogène et le deutérium pour la raie H_\beta :

La fonction d'onde s'écrit sous la forme :

avec \underline{\psi}(x) = \underline{\psi}_0 \mathrm{e}^{\mathrm{i}p(E)x/\hbar}. La dépendance spatiale et la dépendance temporelle se factorisent, et l'énergie E est bien définie (état propre de l'hamiltonien). La densité volumique de probabilité de présence vaut :

Elle est rigoureusement indépendante du temps t (et ici de la position x). L'état associé est donc un état stationnaire.

En posant la pulsation \omega = \dfrac{E}{\hbar} > 0 et le nombre d'onde k = \dfrac{p(E)}{\hbar} > 0, la fonction d'onde s'écrit :

Il s'agit d'une onde plane progressive monochromatique se propageant dans la direction (Ox). Les plans d'onde d'égale phase vérifient kx - \omega t = \text{cte}, soit x(t) = \frac{\omega}{k}t + \text{cte} : l'onde se propage vers les x croissants. Le mouvement de la particule décrite par cette onde a donc lieu dans le sens des x croissants (dans le sens du vecteur \vec{e}_x).

D'après les relations d'Einstein-Planck (E = \hbar\omega) et de de Broglie (p = \hbar k), la vitesse de phase s'écrit :

La vitesse de groupe s'obtient par dérivation :

En notant p'(E) = \dfrac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}E} la dérivée de l'impulsion par rapport à l'énergie, on a :

Dans un domaine où le potentiel V est constant, calculons les dérivées de la fonction d'onde :

On a :

En reportant dans l'équation de Schrödinger (4) :

Comme p(E) > 0 par hypothèse, on en déduit immédiatement (pour E > V) :

D'après la relation établie à la question Q20, la vitesse de groupe s'obtient par v_g = \dfrac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}p} :

En exprimant cette vitesse en fonction de l'énergie E :

On constate que la relation entre l'impulsion et la vitesse de groupe p = m v_g est la relation classique p = mv (question Q3), sans facteur de Lorentz \gamma. De plus, lorsque l'énergie E tend vers l'infini, la vitesse de groupe v_g diverge et peut dépasser la célérité de la lumière c, ce qui viole le postulat fondamental de la relativité restreinte.

L'équation de Schrödinger constitue donc un modèle non relativiste.

Considérons la fonction d'onde plane unidirectionnelle proposée :

Dans un domaine où le potentiel V est constant, les dérivées spatiales et temporelles s'écrivent :

En injectant ces résultats dans l'équation de Klein–Gordon (5) :

il vient, après simplification par \underline{\Psi} \neq 0 :

Puisque p(E) > 0, on obtient l'expression de l'impulsion (pour E - V \geqslant mc^2) :

D'après la question Q20, la vitesse de groupe s'obtient par v_g = \frac{1}{p'(E)}. En dérivant p(E) par rapport à E :

D'où l'expression de la vitesse de groupe :

Caractère relativiste du modèle :

• Pour une particule libre (V = 0), on retrouve la relation de dispersion relativiste exacte d'Einstein :

  E^2 = p^2 c^2 + m^2 c^4
• La vitesse de groupe vérifie v_g(E) < c pour toute énergie finie, et tend vers la célérité de la lumière c lorsque E \to +\infty, respectant ainsi le postulat de la relativité restreinte.
• L'équation de Klein–Gordon est d'ordre 2 en temps comme en espace (faisant intervenir l'opérateur d'Alembertien), ce qui lui confère l'invariance de Lorentz.

Le modèle associé à l'équation de Klein–Gordon est donc relativiste.

• Nature de l'onde dans le domaine x \in [0, a] : Dans ce domaine, le potentiel est constant et vaut V_0 > E. L'équation de Schrödinger indépendante du temps s'écrit :

  -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\mathrm{d}^2 \underline{\psi}}{\mathrm{d}x^2} + V_0 \underline{\psi}(x) = E \underline{\psi}(x) \iff \frac{\mathrm{d}^2 \underline{\psi}}{\mathrm{d}x^2} = K^2 \underline{\psi}(x)

  avec K = \frac{\sqrt{2m(V_0 - E)}}{\hbar} \in \mathbb{R}^{+*}. La solution générale s'exprime comme une combinaison linéaire d'exponentielles réelles :

  \underline{\psi}(x) = A \mathrm{e}^{-Kx} + B \mathrm{e}^{Kx} \quad (A, B \in \mathbb{C})

  Il s'agit donc d'une onde évanescente (ou onde non propagative / amortie).

• Relations permettant de déterminer \underline{R} et \underline{T} : Le potentiel V(x) ne présentant que des discontinuités de première espèce (marches finies), la fonction d'onde spatiale et sa dérivée spatiale première doivent être continues en tout point, en particulier aux frontières de la barrière :

  \begin{aligned} \text{Continuité de } \underline{\psi}(x) \text{ en } x = 0 \quad &\text{et} \quad x = a \\ \text{Continuité de } \frac{\mathrm{d}\underline{\psi}}{\mathrm{d}x}(x) \text{ en } x = 0 \quad &\text{et} \quad x = a \end{aligned}

  Ces quatre conditions aux limites fournissent un système linéaire de quatre équations à quatre inconnues (A, B, \underline{R} et \underline{T}).

• Phénomène physique mis en évidence : Bien que l'énergie mécanique E de la particule soit strictement inférieure à la hauteur de la barrière de potentiel V_0 (zone classiquement interdite), l'onde transmise pour x > a a une amplitude non nulle. Ce phénomène purement quantique est l'effet tunnel.

• Interprétation physique de |\underline{T}|^2 : Puisque le potentiel est identique dans les régions x < 0 et x > a (V=0), la vitesse de groupe et l'impulsion p sont les mêmes pour l'onde incidente et l'onde transmise. Le courant de probabilité incident s'écrit j_{\text{inc}} = \frac{p}{m}|\underline{\psi}_0|^2 et le courant transmis j_{\text{trans}} = \frac{p}{m}|\underline{T}|^2 |\underline{\psi}_0|^2.

  La quantité |\underline{T}|^2 s'interprète donc comme le coefficient de transmission en probabilité :

  \boxed{|\underline{T}|^2 = \frac{j_{\text{trans}}}{j_{\text{inc}}}}

  Elle représente la probabilité pour une particule incidente de traverser la barrière de potentiel par effet tunnel.

Dans le domaine x \in [0, a], le potentiel est constant et vaut V(x) = V_0.

Cherchons une solution stationnaire en énergie sous la forme \underline{\Psi}(x, t) = \underline{\psi}(x) \exp\left(-\frac{\mathrm{i}}{\hbar} E t\right). En injectant cette forme dans l'équation de Klein–Gordon (5) :

En posant \varepsilon = E - V_0, l'équation différentielle spatiale s'écrit :

Comme par hypothèse V_0 - E > mc^2, on a \varepsilon < -mc^2 < 0, de sorte que :

Leur produit est donc strictement positif, ce qui justifie l'indication de l'énoncé :

L'équation spatiale se met sous la forme canonique d'un oscillateur harmonique spatial :

avec q = \frac{\sqrt{\varepsilon^2 - m^2 c^4}}{c} \in \mathbb{R}_+^*.

La solution générale pour \underline{\psi}(x) est une combinaison linéaire d'exponentielles imaginaires pures :

Le module au carré du dénominateur s'écrit, pour \varphi réel :

Comme p > 0 et q > 0, l'inégalité arithmético-géométrique donne :

avec égalité si et seulement si p = q. Ainsi, le coefficient (\alpha^2 - 1) est strictement positif ou nul :

Le dénominateur vérifie donc en tout point :

On en déduit que le facteur de transmission est borné par :

La valeur maximale de |\underline{T}|^2 vaut ainsi :

Ce maximum est atteint pour \sin\varphi = 0, c'est-à-dire :

Commentaire :

• Contraste avec la mécanique non relativiste : Dans le cadre de l'équation de Schrödinger (question Q23), pour une barrière telle que V_0 > E, l'onde dans la barrière est évanescente (q = \mathrm{i}K), ce qui conduit à un facteur de transmission par effet tunnel exponentiellement amorti avec l'épaisseur :

  |\underline{T}|^2 \propto \exp\left(-\frac{2Ka}{\hbar}\right) \xrightarrow[a \to +\infty]{} 0
• Transmission résonante en régime relativiste : À l'inverse, pour l'équation relativiste de Klein-Gordon avec un potentiel très élevé (V_0 - E > mc^2), l'onde redevient propagative dans la barrière. L'interférence constructive des ondes aller et retour entre les parois x = 0 et x = a conduit à des résonances de transmission totale (|\underline{T}|^2 = 1), strictement identiques à celles d'une cavité de Fabry-Pérot ou à l'effet Ramsauer–Townsend, et ce quelle que soit la largeur a de la barrière.
• Origine physique (paradoxe de Klein) : Cette pénétration sans atténuation exponentielle au travers d'une barrière d'énergie potentielle supérieure à l'énergie de la particule est la manifestation du paradoxe de Klein. En théorie quantique relativiste des champs, un tel potentiel électrostatique violent est capable d'arracher des paires particule-antiparticule au vide quantique : des antiparticules (d'énergie négative pour l'équation de Klein-Gordon) se propagent alors au sein de la région de fort potentiel.