Corrigé détaillé Mines Physique 2 MP 2021

Le marteau est constitué du matériau de la naine blanche supposée homogène et sphérique. La masse volumique de ce matériau s'écrit :

Le volume du parallélépipède formant l'extrémité du marteau vaut :

La masse m_m du marteau est donc donnée par :

Avec les valeurs numériques fournies :

• M_{\star} = 1 \times 10^{30}\text{ kg},
• R_{\star} = 1 \times 10^4\text{ km} = 1 \times 10^7\text{ m},
• V_{\star} = \dfrac{4\pi}{3}(1 \times 10^7)^3 \simeq 4{,}2 \times 10^{21}\text{ m}^3,

on obtient la masse volumique :

D'où la masse du marteau :

En arrondissant à un chiffre significatif :

Thor possédant une morphologie humaine et son marteau étant muni d'un manche court, la hauteur typique sur laquelle il lève le marteau au-dessus du sol (ou du rocher) avant de frapper est de l'ordre de grandeur de l'allonge d'un bras, soit :

Dans le champ de pesanteur terrestre uniforme où g \simeq 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}, la variation d'énergie potentielle de pesanteur du marteau de masse m_m \simeq 10^6\text{ kg} (déterminée à la question 1) lors de sa descente s'écrit :

L'application numérique donne, avec un seul chiffre significatif :

Commentaire : L'énergie cinétique acquise par le marteau lors de sa chute (sans même compter la force musculaire surhumaine éventuellement exercée par Thor pour accélérer le coup) est transférée au rocher lors de l'impact. Cette énergie de l'ordre de 10^7\text{ J} équivaut à celle libérée par l'explosion d'une dizaine de bâtons de dynamite concentrée au point d'impact. Il est donc tout à fait cohérent qu'un tel coup pulvérise instantanément les rochers les plus massifs.

Lors de la désexcitation d'un électron de l'atome d'hydrogène d'un niveau n \in \mathbb{N}^* (n > 1) vers le niveau fondamental n_1 = 1, la conservation de l'énergie s'écrit :

D'après la relation de Planck-Einstein, l'énergie du photon émis est liée à sa longueur d'onde dans le vide \lambda_n par \Delta E = \frac{h c}{\lambda_n}, d'où :

Calculons la constante \frac{h c}{E_0}, qui correspond à la limite de la série de Lyman (n \to \infty) :

Pour les premières transitions visibles sur le spectre de la figure 2 :

• Raie \text{Ly}\,\beta (n=3 \to 1) :

  \lambda_\beta = \frac{\lambda_\infty}{1 - \frac{1}{9}} = \frac{9}{8} \lambda_\infty \simeq \frac{9}{8} \times 91{,}0\text{ nm} \simeq 102\text{ nm}

• Raie \text{Ly}\,\gamma (n=4 \to 1) :

  \lambda_\gamma = \frac{\lambda_\infty}{1 - \frac{1}{16}} = \frac{16}{15} \lambda_\infty \simeq \frac{16}{15} \times 91{,}0\text{ nm} \simeq 97\text{ nm}

Sur la figure 2, la raie marquée \text{Ly}\,\beta se situe précisément vers \lambda \simeq 103\text{ nm}, la raie \text{Ly}\,\gamma vers \lambda \simeq 97\text{ nm}, et l'accumulation des raies tend vers la limite de série à gauche autour de 91\text{ nm} - 92\text{ nm}.

L'accord est excellent :

Les raies de la série de Lyman correspondent aux transitions désexcitatrices depuis un niveau quantique initial n > 1 vers le niveau fondamental n_f = 1 :

• raie Ly \beta : transition n = 3 \to 1 ;
• raie Ly \gamma : transition n = 4 \to 1 ;
• raie Ly \delta : transition n = 5 \to 1.

D'après la formule de Bohr rappelée dans l'énoncé, l'énergie d'un photon émis lors de la transition n \to 1 s'écrit :

d'où l'expression de la longueur d'onde de la raie associée :

où \lambda_\infty = \frac{hc}{E_0} \simeq 91\text{ nm} représente la limite de la série de Lyman (n \to \infty).

Calculons les écarts en longueur d'onde entre raies consécutives :

On constate donc explicitement que :

Physiquement, comme les niveaux d'énergie de l'hydrogène varient en -1/n^2, l'écart entre niveaux successifs \Delta E_{n+1,n} = E_{n+1}-E_n \sim \frac{2E_0}{n^3} décroît très rapidement lorsque n augmente. Les raies d'émission se resserrent ainsi progressivement pour s'accumuler au voisinage de la longueur d'onde limite \lambda_\infty.

1. Origine de l'élargissement :

Cet élargissement est dû à l'effet Doppler thermique : les atomes d'hydrogène de l'atmosphère stellaire sont animés d'un mouvement d'agitation thermique aléatoire. Les atomes s'approchant ou s'éloignant de l'observateur émettent des photons dont la longueur d'onde perçue est décalée vers le bleu ou vers le rouge par effet Doppler-Fizeau. La superposition de ces contributions pour une distribution de vitesses produit une raie élargie de profil gaussien (comme observé sur la figure 3).

2. Relation entre \delta\lambda, \lambda et la température T :

Considérons un atome d'hydrogène de masse m_H \simeq m_p se déplaçant à la vitesse v_\parallel le long de la ligne de visée de l'observateur. Dans le cadre non relativiste (v_\parallel \ll c), le décalage Doppler de la longueur d'onde reçue par rapport à la longueur d'onde propre d'émission \lambda s'écrit :

L'hydrogène étant modélisé comme un gaz parfait à l'équilibre thermodynamique à la température T, la distribution des vitesses suit la loi de Maxwell-Boltzmann. D'après le théorème de l'équipartition de l'énergie, l'énergie cinétique moyenne associée au degré de liberté selon la ligne de visée vérifie :

La dispersion ou largeur typique \delta\lambda de la raie est donc directement reliée à la dispersion de vitesse thermique v_{\text{th}} par :

Soit, en isolant \delta\lambda :

où la caractéristique thermodynamique de l'étoile est la température T de son atmosphère.

Le noyau (proton), beaucoup plus lourd que l'électron (m_p \gg m_e), est supposé immobile à l'origine O du référentiel galiléen d'étude.

L'électron, de masse m_e et de charge -e, décrit une trajectoire circulaire de rayon r à la vitesse v. Il est soumis à la force électrostatique attractive exercée par le noyau de charge +e :

Le mouvement étant circulaire uniforme, l'accélération est purement centripète : \vec{a} = -\dfrac{v^2}{r}\widehat{e}_r. Le principe fondamental de la dynamique projeté sur l'axe radial donne :

L'énergie cinétique de l'électron s'écrit alors :

En choisissant une énergie potentielle nulle à l'infini, l'énergie potentielle électrostatique est :

L'énergie mécanique totale vaut donc :

D'après le postulat de Bohr, le moment cinétique scalaire L = m_e v r est quantifié selon :

En réinjectant cette expression dans la relation dynamique m_e v^2 r = \dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0} :

On en déduit le rayon de l'orbite quantifiée associée à l'entier n :

L'énergie mécanique correspondante s'exprime ainsi :

Par identification avec E_n = -\dfrac{E_0}{n^2}, on obtient :

À température T fixée, la variable x est définie par :

En injectant cette relation dans la loi de Planck, la densité spectrale u s'écrit sous la forme :

La fonction \lambda \mapsto x(\lambda) réalise une bijection strictement décroissante de ]0, +\infty[ sur ]0, +\infty[, et sa dérivée :

ne s'annule en aucun point de ]0, +\infty[. Par dérivation d'une fonction composée :

Comme \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}\lambda} \neq 0, la condition d'extremum \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\lambda} = 0 équivaut rigoureusement à \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = 0 (avec changement de signe traduisant le fait qu'un maximum en \lambda correspond à un maximum en x).

Calculons la dérivée de f par rapport à x pour x > 0 :

Pour x > 0, le facteur \frac{x^4 \mathrm{e}^x}{(\mathrm{e}^x - 1)^2} est strictement positif. L'annulation de la dérivée conduit donc à l'équation transcendante :

(que l'on peut également écrire sous la forme \mathrm{e}^{-x} = 1 - \frac{x}{5}).

D'après la question Q7, l'extremum de la densité spectrale d'énergie u est atteint pour une valeur de x vérifiant l'équation implicite :

Pour x de l'ordre de quelques unités, le terme exponentiel décroissant \mathrm{e}^{-x} devient très rapidement négligeable devant 1 :

Sous cette approximation tout à fait raisonnable, l'équation se simplifie immédiatement en :

qui est bien une valeur entière.

Par définition du changement de variable introduit à la question Q7 :

On en déduit l'expression du produit \lambda_{\max} T au maximum du spectre :

D'après la figure 2, la courbe théorique de Planck (courbe continue ajustant le spectre d'émission) atteint son maximum pour une longueur d'onde :

En utilisant la loi de Wien sous la forme donnée par l'énoncé, \lambda_{\max} T \simeq 3\text{ mm}\cdot\text{K} = 3 \times 10^{-3}\text{ m}\cdot\text{K}, la température de surface T_s de la naine blanche LAWD 21 s'écrit :

Numériquement :

Avec un seul chiffre significatif conformément aux consignes de l'énoncé :

À la surface de l'étoile naine, la température a été déterminée à la question Q9 : T_s \simeq 3 \times 10^4\text{ K}.

L'énergie thermique caractéristique par particule est :

En convertissant en électron-volts avec 1\text{ eV} = 1{,}6 \times 10^{-19}\text{ J} :

De même, l'énergie des photons correspondant au maximum d'émission du corps noir (\lambda_{\max} \simeq 100\text{ nm} = 1{,}0 \times 10^{-7}\text{ m}) vaut :

Comparons ces grandeurs aux énergies d'ionisation successives :

• L'énergie de première ionisation E_{i1} \simeq 11\text{ eV} est inférieure à l'énergie des photons les plus abondants (E_{\text{ph}} \simeq 12\text{ eV}) et accessible dans la queue de distribution thermique de Maxwell-Boltzmann (les collisions inélastiques et la photo-ionisation sont très efficaces).
• L'énergie de deuxième ionisation E_{i2} \simeq 24\text{ eV} est deux fois plus élevée que E_{\text{ph}} et représente près de dix fois l'énergie thermique (E_{i2} \approx 9\, k_B T_s), ce qui rend la seconde ionisation très minoritaire.
• L'énergie de dernière ionisation E_{i6} \simeq 490\text{ eV} est très largement supérieure aux énergies disponibles (E_{i6} \gg k_B T_s).

Par conséquent, un atome de carbone présent à la surface de la naine blanche est ionisé, avec un degré d'ionisation égal à 1 (ion \mathrm{C}^+ prédominant).

L'étoile est modélisée comme étant constituée d'atomes de carbone ^{12}\mathrm{C} intégralement ionisés (Z = 6, A = 12).

La masse d'un électron étant négligeable devant celle d'un nucléon (m_e \ll m_p), et sachant que m_n \simeq m_p, la masse d'un noyau de carbone-12 vaut :

Si l'étoile contient N_C noyaux de carbone, sa masse totale s'écrit :

Chaque atome de carbone étant totalement ionisé, il libère ses Z = 6 électrons. Le nombre total d'électrons contenus dans la naine blanche est donc :

d'où :

Une pression est homogène à une force par unité de surface, ou de manière équivalente à une énergie par unité de volume :

Examinons la dimension des différents termes intervenant dans l'expression de la pression de dégénérescence quantique :

• Le préfacteur \dfrac{\pi^{4/3}}{15} \times 3^{5/3} ainsi que le nombre d'électrons N_e sont sans dimension : [N_e] = 1.

• Le volume V_\star a pour dimension une longueur au cube : [V_\star] = \mathrm{L}^3, d'où :

  \left[\left(\frac{N_e}{V_\star}\right)^{5/3}\right] = (\mathrm{L}^{-3})^{5/3} = \mathrm{L}^{-5}
• La masse m_e a pour dimension une masse : [m_e] = \mathrm{M}.

• La constante de Planck réduite \hbar a la dimension d'un moment cinétique ou d'une action (E = \hbar\omega) :

  [\hbar] = \frac{[E]}{[\omega]} = \frac{\mathrm{M}\cdot\mathrm{L}^2\cdot\mathrm{T}^{-2}}{\mathrm{T}^{-1}} = \mathrm{M}\cdot\mathrm{L}^2\cdot\mathrm{T}^{-1}

  Par conséquent :

  [\hbar^2] = \mathrm{M}^2\cdot\mathrm{L}^4\cdot\mathrm{T}^{-2}

En combinant ces grandeurs :

On retrouve bien :

P_e a donc bien la dimension d'une pression (exprimée en pascals, \mathrm{Pa}).

Considérons deux corps ponctuels de masses respectives m_1 et m_2, situés aux points M_1 et M_2 séparés d'une distance r = M_1 M_2.

D'après la loi de la gravitation universelle de Newton, la force gravitationnelle exercée par le corps 1 sur le corps 2 s'écrit :

où \widehat{u}_{1\to 2} = \frac{\overrightarrow{M_1 M_2}}{r} est le vecteur unitaire dirigé de 1 vers 2, le signe négatif traduisant le caractère attractif de l'interaction.

Cette force dérive d'une énergie potentielle d'interaction E_p(r). Le travail élémentaire reçu par le système lors d'une variation relative \mathrm{d}\vec{r} = \mathrm{d}r\,\widehat{u}_{1\to 2} s'écrit :

On en déduit :

En choisissant conventionnellement la référence d'énergie potentielle nulle pour des masses infiniment éloignées (\lim_{r\to+\infty} E_p(r) = 0), la constante d'intégration est nulle, d'où :

Les forces de gravitation étant conservatives, le travail élémentaire qu'elles développent lors d'une modification de la configuration de l'étoile s'écrit :

Les forces d'auto-gravitation s'opposent à une dilatation de l'étoile (\delta W_g < 0 si \mathrm{d}V_\star > 0) ; elles exercent donc une action compressive équivalente à une pression P_g > 0, dont le travail mécanique d'expansion associé est :

On en déduit l'expression thermodynamique de la pression gravitationnelle :

L'étoile étant assimilée à une sphère de rayon R_\star, son volume vaut :

L'énergie potentielle gravitationnelle s'écrivant E_g = -\dfrac{3GM_\star^2}{5R_\star}, sa dérivée par rapport au rayon est :

Il vient ainsi :

L'étoile est modélisée par une sphère de rayon R_\star, de volume V_\star = \dfrac{4}{3}\pi R_\star^3.

D'après le résultat de la question Q11, le nombre d'électrons libres est N_e = \dfrac{M_\star}{2m_p}. On a donc :

En injectant cette relation dans l'expression de la pression de dégénérescence de Fowler :

car 8^{5/3} = (2^3)^{5/3} = 2^5 = 32.

D'après la question Q14, la pression d'origine gravitationnelle s'écrit :

À l'équilibre, la pression gravitationnelle compense la pression de dégénérescence quantique (P_e = P_g) :

On en déduit l'expression du rayon d'équilibre R_\star :

Application numérique :

On écrit m_p = 1{,}7 \times 10^{-27}\text{ kg}, de sorte que :

d'après l'indication numérique de l'énoncé.

Par ailleurs :

• \hbar^2 = (1{,}1 \times 10^{-34})^2 \simeq 1{,}2 \times 10^{-68}\text{ J}^2\cdot\text{s}^2
• G m_e = 6{,}7 \times 10^{-11} \times 9{,}1 \times 10^{-31} \simeq 6{,}1 \times 10^{-41}\text{ m}^3\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{s}^{-2}\cdot\text{kg}
• M_\star^{1/3} = (10^{30})^{1/3} = 10^{10}\text{ kg}

Il vient alors :

On obtient finalement :

Le carbone possède un numéro atomique Z = 6. Les atomes étant intégralement ionisés au cœur de l'étoile, chaque atome libère 6 électrons. La neutralité globale impose donc :

D'après la question Q11, la masse de l'étoile est essentiellement portée par les nucléons des noyaux de carbone-12 (A = 12). La masse d'un noyau étant m_c \simeq 12 m_p, la masse totale s'écrit M_\star = N_c m_c = 12 m_p N_c (résultat cohérent avec N_e = \frac{M_\star}{2 m_p}), d'où :

Chaque noyau occupe le centre d'une cellule cubique de côté a et de volume a^3. Il y a ainsi un noyau par cellule élémentaire de volume a^3. Le volume total V_\star de la naine blanche, assimilée à une sphère de rayon R_\star, s'écrit :

On en déduit l'expression du paramètre de réseau a :

Soit finalement :

Application numérique : Avec R_\star = 1 \times 10^7\text{ m}, M_\star = 1 \times 10^{30}\text{ kg} et m_p = 1{,}7 \times 10^{-27}\text{ kg} :

Sachant que 85^{1/3} \simeq 4{,}4, on obtient :

On retrouve bien la valeur indiquée par l'énoncé.

Dans le modèle de Wigner-Seitz proposé, le nuage électronique est modélisé par une distribution sphérique continue de rayon a, centrée en O, et de densité volumique de charge uniforme :

Symétries et invariances :

• La distribution de charges présente une symétrie sphérique par rapport au centre O : elle est invariante par toute rotation autour de tout axe passant par O. Le champ électrostatique ne dépend donc que de la coordonnée radiale r.
• Tout plan contenant la droite (OM) est un plan de symétrie de la distribution de charges, le champ électrostatique appartient donc à leur intersection : \vec{E}(M) est purement radial.

On en déduit l'expression du champ en coordonnées sphériques :

Application du théorème de Gauss : Choisissons comme surface de Gauss \Sigma la sphère centrée en O et de rayon r tel que r < a, orientée vers l'extérieur. Le flux sortant du champ électrostatique à travers \Sigma s'écrit :

La charge totale Q_{\text{int}} contenue à l'intérieur de la sphère de Gauss de rayon r est :

D'après le théorème de Gauss :

En simplifiant par 4\pi r^2, on obtient la composante radiale :

D'où l'expression vectorielle du champ électrostatique dans lequel évolue le noyau :

1. Confinement du mouvement dans un plan

Le noyau de carbone possède le numéro atomique Z = 6 ; étant totalement ionisé, sa charge est q = +6e et sa masse est m_c = 12m_p. Il subit la force électrostatique due au champ \vec{E} déterminé à la question précédente (Q17) :

Cette force est centrale de centre O (de la forme \vec{F} = -k\vec{r} avec k = \frac{12e^2}{\varepsilon_0 a^3}).

Dans le référentiel lié au réseau (supposé galiléen), le théorème du moment cinétique appliqué au noyau en O s'écrit :

Le moment cinétique \vec{L}_O = \vec{r} \wedge (m_c\vec{v}) est donc un vecteur constant au cours du temps.

• Si \vec{L}_O \neq \vec{0}, le vecteur position \vec{r}(t) reste orthogonal au vecteur constant \vec{L}_O : le mouvement est strictement confiné dans le plan passant par O et perpendiculaire à \vec{L}_O.
• Si \vec{L}_O = \vec{0}, le mouvement est rectiligne passant par O, ce qui constitue un cas particulier de mouvement plan.

2. Oscillations harmoniques et pulsation \omega

Munissons ce plan d'un repère cartésien orthonormé (O, \vec{u}_x, \vec{u}_y) centré en O, de sorte que \vec{r}(t) = x(t)\vec{u}_x + y(t)\vec{u}_y. Le principe fondamental de la dynamique s'écrit :

Par projection sur les axes Ox et Oy, les coordonnées cartésiennes vérifient deux équations d'oscillateurs harmoniques découplées de même pulsation \omega :

avec :

3. Nature de la courbe \mathscr{C}

Les solutions générales sont des fonctions sinusoïdales de même pulsation \omega :

La trajectoire \mathscr{C} = \{t \in \mathbb{R}, \vec{r}(t)\} est une combinaison linéaire de deux mouvements harmoniques orthogonaux isochrones : il s'agit d'une ellipse centrée en O (qui peut dégénérer en un segment de droite si le déphasage est \Delta\phi \equiv 0 \pmod \pi, ou en un cercle si X_0 = Y_0 et \Delta\phi \equiv \pm \frac{\pi}{2} \pmod \pi).

4. Expression de s_0^2 = \langle \vec{r}^{\,2}(t)\rangle

En notant les conditions initiales à t = 0 par \vec{r}(0) = \vec{r}_0 et \dot{\vec{r}}(0) = \vec{v}_0, la solution vectorielle s'écrit :

Le carré de la distance au centre est :

Puisque \langle\cos^2(\omega t)\rangle = \langle\sin^2(\omega t)\rangle = \frac{1}{2} et \langle\cos(\omega t)\sin(\omega t)\rangle = 0, la moyenne temporelle vaut :

En choisissant les axes cartésiens selon les axes principaux de l'ellipse et l'origine des dates t = 0 au passage par l'un des sommets (où \vec{r}_0 \perp \vec{v}_0), on a y_0 = 0 et \dot{x}_0 = 0. Les quatre conditions initiales se réduisent à (x_0, 0, 0, \dot{y}_0), de sorte que deux d'entre elles sont nulles et s_0^2 s'exprime uniquement à l'aide des deux conditions initiales non nulles x_0 et \dot{y}_0 :

Le noyau de carbone, de masse m_c = 12 m_p et de charge q = +6e, est soumis à la force électrostatique :

avec k = m_c \omega^2 = 12 m_p \omega^2, en reprenant la pulsation \omega = \frac{e}{\sqrt{\varepsilon_0 m_p a^3}} établie à la question Q18.

Cette force centrale conservative dérive d'une énergie potentielle électrostatique (choisie nulle en \vec{r}=\vec{0}) :

L'énergie cinétique du noyau s'écrit quant à elle :

Le système étant conservatif, l'énergie mécanique \mathcal{E}_{\mathrm{cl}} = E_c(t) + E_p(t) est une constante du mouvement. Sa valeur instantanée est donc égale à sa valeur moyenne temporelle :

Pour un oscillateur harmonique isotrope, les moyennes temporelles des énergies cinétique et potentielle sont égales (théorème du viriel, ou par équipartition temporelle entre termes en \cos^2(\omega t) et \sin^2(\omega t) dont la moyenne vaut 1/2) :

On en déduit :

Comme m_c = 12 m_p, il vient :

Un oscillateur harmonique quantique est ici en équilibre thermique à la température T avec un thermostat. Dans l'ensemble canonique, la probabilité pour que l'oscillateur se trouve dans l'état quantique d'énergie \mathcal{E}_i est donnée par le facteur de Boltzmann normalisé :

où \beta = \frac{1}{k_B T} et Z est la fonction de partition canonique :

Comme \beta\hbar\omega > 0, la raison géométrique vérifie \mathrm{e}^{-\beta\hbar\omega} \in ]0, 1[. La somme converge vers :

En injectant l'expression de Z et de \mathcal{E}_i dans la loi de probabilité, le terme d'énergie de point zéro \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}\beta\hbar\omega} se simplifie :

Par définition, l'énergie moyenne de l'oscillateur harmonique dans l'ensemble canonique s'écrit :

D'après la question Q20, la fonction de partition canonique est :

soit en prenant le logarithme népérien :

En dérivant par rapport à \beta :

On peut également factoriser par \frac{1}{2}\hbar\omega :

D'où l'expression sous forme hyperbolique :

D'après la question Q19, l'énergie mécanique classique d'un noyau s'écrit en fonction de l'amplitude quadratique s_0^2 :

À l'échelle du volume V, en moyennant sur l'ensemble des oscillateurs et en introduisant le critère de Lindemann s^2 = \gamma^2 a^2, l'énergie mécanique moyenne d'un noyau vaut :

En rapprochant cette valeur classique moyennée de l'énergie moyenne quantique obtenue à la question Q21 :

on pose l'égalité \langle \mathcal{E}_{\mathrm{cl}} \rangle_V = \mathcal{E}_{\mathrm{qs}}, soit :

On en déduit :

En réinjectant l'expression de la pulsation établie à la question Q18, \omega = \dfrac{e}{\sqrt{\varepsilon_0 m_p a^3}} :

• Pour l'argument de la tangente hyperbolique :

  \frac{\hbar\omega}{2 k_B T} = \frac{\theta}{T} \quad \text{avec} \quad \theta = \frac{1}{2} \frac{\hbar e}{k_B \sqrt{\varepsilon_0 m_p a^3}}

  On identifie directement :

  \boxed{B = \frac{1}{2}}

• Pour le préfacteur \gamma_0^2 :

  \begin{aligned} \gamma_0^2 &= \frac{\hbar}{24 m_p a^2 \left(\dfrac{e}{\sqrt{\varepsilon_0 m_p a^3}}\right)} \\ &= \frac{1}{24}\frac{\hbar}{e} \frac{\sqrt{\varepsilon_0 m_p a^3}}{m_p a^2} \\ &= \frac{1}{24}\frac{\hbar}{e}\sqrt{\frac{\varepsilon_0}{m_p a}} \end{aligned}

  On identifie ainsi :

  \boxed{A = \frac{1}{24}}

On aboutit bien à la relation demandée :

D'après la question Q22, le paramètre de Lindemann vérifie :

avec \gamma_0^2 \simeq 10^{-3} et \theta \simeq 5{,}5 \times 10^5\text{ K}.

1. À la surface de la naine blanche : La température de surface a été déterminée à la question Q9 : T_s \simeq 3 \times 10^4\text{ K}. Calculons le rapport :

Puisque \frac{\theta}{T_s} \gg 1, on a \tanh\left(\frac{\theta}{T_s}\right) \simeq 1, ce qui donne :

2. Au cœur de la naine blanche : La température au cœur est estimée à T_c \simeq 10^7\text{ K}. Calculons le rapport :

Pour x \ll 1, \tanh x \simeq x, d'où :

En prenant la racine carrée :

Avec un seul chiffre significatif :

3. État de la matière : Le critère de Lindemann stipule que la fonte se produit dès que \gamma \sim 10\% :

• Au cœur de l'étoile, \gamma_c \gtrsim 10\% : l'agitation thermique dépasse le seuil de stabilité du réseau, la matière est à l'état fluide / liquide (plasma dense sous forme de liquide de Fermi).
• Vers la surface (sous la mince couche atmosphérique gazeuse), \gamma_s \simeq 3\% < 10\% : l'amplitude des oscillations est bien inférieure au pas du réseau, la matière y est à l'état solide cristallin.