Facteur de Boltzmann et physique statistique : 157 questions de concours corrigées

Rappeler la loi statistique de BOLTZMANN. On notera Z(β) = Σ_j=1p exp (-β ε_j).

En généralisant le raisonnement précédent, déterminer P(N_G) pour N quelconque.

Déterminer σ et N_G en fonction des données du problème.

Nous considérons que la largeur de BC est suffisante pour qu'il devienne légitime de rejeter à l'infini sa borne supérieure. Donner alors l'expression, sous forme d'une intégrale, de la…

En utilisant le théorème d'équipartition de l'énergie, déterminer l'expression de x² , où la notation x désigne la dérivée de x(t) par rapport au temps, composante de la vitesse dans la direction eₓ.

Donner la définition de la vitesse quadratique moyenne, notée u. En appliquant le théorème d'équipartition de l'énergie au cas particulier étudié, exprimer u en fonction de m_b, T₀ et k_B.

Le mouvement de la particule peut être traité comme celui d'un oscillateur harmonique à l'équilibre avec le gaz environnant à une température T = 300 K. Quel est l'écart-type de l'amplitude du…

Exprimer l'énergie moyenne ε d'une des N particules du milieu en fonction de Z(β) et sa dérivée. En déduire l'expression de l'énergie interne U(β) du système.

En déduire que n*(z) s'écrit en fonction de la densité n₀* au sol sous la forme n*(z) = n₀ exp (-z/H) et exprimer la hauteur caractéristique H en fonction de u et g₀.

Déterminer l'expression de Z.

Montrer que U = ħω/2 coth(X/2) 10 où coth(x) = (ch(x))/(sh(x)).

Déterminer la limite de U pour T → 0 et commenter le résultat obtenu.

Déterminer le comportement asymptotique de U pour T → ∞. On notera que la constante de Planck n'apparaît pas dans l'expression obtenue : pouvait-on s'y attendre ?

Donner l'expression de p_G(t) et p_D(t) en fonction de E_G(t) et E_D(t), en faisant l'hypothèse que ces probabilités sont proportionnelles au facteur de Boltzmann.

Indiquer la condition que la constante A doit satisfaire. En déduire l'expression de cette constante en fonction de m et du produit k_BT₀.

Les deux protons considérés précédemment sont supposés appartenir à un gaz de protons que l'on modélise par un gaz parfait unidimensionnel à la température T. On note P(v₁, v₂) dv₁ dv₂ la…

Nous nous plaçons dans le cas où exp [β(E_C - µ)] ≫ 1, sur l'intervalle de température que nous considérons (hypothèse H_µ, 1). En posant x = β(E - E_C), établir que la concentration n des électrons…

À partir des relations (4) et (6) exprimer le produit np en faisant apparaître la largeur E_G de la bande interdite. Exprimer également le paramètre µ en faisant apparaître la moyenne (E_V + E_C)/2.

Préciser la relation liant n à p pour un SCi. En déduire l'expression de n dans ce cas, que nous noterons n_i. Préciser les points de l'analyse qualitative conduite en réponse à la question (3)…

En déduire que la masse volumique ρ du gaz dépend aussi de z et l'exprimer en fonction de P(z). Écrire la condition d'équilibre mécanique pour une tranche de gaz comprise entre les altitudes z et…

Compte tenu des forces conservatives s'exerçant sur un grain, quelle est l'expression de l'énergie potentielle E_p*(z) correspondant au poids de la masse apparente m* du grain à l'altitude z ? En…

Dans le cadre de la physique statistique, déterminer l'expression de la probabilité p_i pour qu'un oscillateur harmonique décrit par la mécanique quantique possède l'énergie mécanique E_i. On pourra…

On note n le nombre moyen de sites occupés à l'équilibre thermodynamique. Montrer qu'on peut le calculer ainsi : n = 1/ε (∂ ln Z)/(∂ β).

Avec les conditions précédentes, la loi de Boltzmann est vérifiée pour la pression. Donner l'expression de p(z) en notant p(+∞) la pression à la température T₀ en un point z = +∞ infiniment éloigné…

Déterminer le profil altimétrique de masse volumique ρₐ(Z) en fonction de ρₐ(0) et d'une hauteur caractéristique H_c que l'on exprimera et dont on calculera la valeur numérique.

Exprimer le nombre de modes N(ω) pour lesquels la pulsation est inférieure à ω fixée.

Établir l'expression du nombre moyen de photons, noté n(ν), contenus dans le mode électromagnétique de fréquence ν. On pourra poser x = e⁻β hν afin de faciliter les calculs.

En développant (1-p)N⁻ⁿ dans la limite N → +∞, et en utilisant le résultat (12), montrer que la statistique d'émission de la source laser tend vers une distribution de Poisson, caractérisée par sa…

Montrer que q(ε) est proportionnel à √(ε). Pour la suite, on pourra poser q(ε) = Q√(ε) sans préciser la constante Q.

Sous des conditions de température et de pression données, la probabilité pour qu'une molécule donnée entre en collision avec une autre molécule de l'atmosphère pendant un temps infinitésimal dt…

On revient à une particule de silice de rayon a = 100 nm piégée dans la pince optique. Le long de l'axe (Ox), la position de la bille est en moyenne nulle : x_b = 0. En utilisant le théorème…

Est-il alors possible de confiner cette particule dans un piège avec l₀ ≈ 100 ?

Préciser l'unité (ou la dimension) de la densité d'états q(ε).

Après avoir cité le théorème d'équipartition de l'énergie, établir la valeur de la vitesse quadratique moyenne u d'un atome de masse m à la température T. Indiquer les valeurs manquantes du tableau…

Pour N = 1, quelle est la probabilité p_G que la particule se trouve dans le compartiment de gauche après insertion de la paroi ? Quelle est la probabilité p_D qu'elle se trouve dans le compartiment…

Représenter l'allure graphique de la fonction pₓ = pₓ(uₓ) pour deux températures T₀ et T₁ > T₀ (en correspondance, sur le même repère). Commenter ces tracés.

Sans faire de calculs, que vaut la valeur moyenne z' ?

En déduire n₋.

Représenter les fonctions [U n₊(U)] et [U n₋(U)].

Exprimer la largeur E_G de la bande interdite en fonction du produit k_B Tₐ (pour cet ordre de grandeur on ne conservera qu'un chiffre significatif). Indiquer quelle est la conséquence de ce…

Proposer une application (simple) d'un semi-conducteur SCi inspirée directement de la figure (3).

Esquisser la représentation graphique de la fonction fₑ en précisant les valeurs particulières qui apparaissent. Déterminer l'intervalle caractéristique d'énergie Δ E, exprimé en k_B T, sur lequel…

La relation établie en réponse à la question (9) conduit à la valeur n_i ∼ 10¹¹ cm⁻³. Comparer cette valeur au nombre (moyen) n_GP, par unité de volume, d'atomes ou de molécules d'un gaz parfait à…

Montrer que la concentration c_g(z) du gaz, rapport du nombre de moles sur le volume, suit une loi du même type, et qu'on peut écrire c_g(z) = c_g0 A(z), où c_g0 représente la concentration au…

Préciser la fonction E(z) telle que A(z) = exp [ -(E(z))/(k_B T₀) ]. Que représente la fonction E(z) ? Interpréter physiquement cette expression dont la généralisation est due à Boltzmann.

Donner l'expression de l'énergie E(n) associée à une configuration microscopique où n sites, parmi les N, sont occupés. On note gₙ le nombre de réalisations de cette configuration microscopique…

Donner l'expression de la probabilité P(n) que le système soit dans une configuration où n sites sont occupés, en faisant intervenir Z, gₙ et le facteur de Boltzmann.

Dans le cadre du modèle du gaz parfait classique monodimensionnel exprimer finalement λ en fonction de n, T, k_B, τ et de la masse m de l'électron.

Quelle est la distribution de Boltzmann pour les particules chargées négativement, c₋ ? Justifier que l'on peut utiliser la même constante c_∞ pour la caractériser.

La thermistance utilisée est un cylindre de section s et de longueur ℓ. Rappeler la relation liant G, s, ℓ et la conductivité électrique γ_el du matériau. En déduire que cette dernière varie, dans…

Déterminer l'expression du nombre de modes D(ω) par unité de pulsation ω. En déduire l'expression du nombre de modes D(ν) par unité de fréquence ν D(ν) = (8π V)/c³ν², où V est le volume de la cavité.

Exprimer la probabilité Pₙ(ν) qu'un mode électromagnétique de fréquence ν contienne n photons. On notera Z(β, ν) la fonction de normalisation de la probabilité Pₙ(ν) qui assure que Σₙ₌₀⁺∞ Pₙ(ν) = 1…

En utilisant la condition de normalisation ci-dessus, déterminer l'expression de Z(β, ν). En déduire que Pₙ(ν) = e⁻β ⁿhν(1 - e⁻β hν).

Montrer que la probabilité Pₙ peut se réécrire sous la forme Pₙ = 1/(n + 1)(n/(n + 1))ⁿ. Cette distribution de probabilité, appelée distribution de Bose-Einstein, est caractéristique des modes…

Calculer l'énergie moyenne E(ν) du mode électromagnétique de fréquence ν. Montrer que la densité spectrale d'énergie moyenne associée U(ν) s'écrit U(ν) = (8πν² V)/c³hν/(eβ hν - 1).

Représenter l'allure de la probabilité Pₙ en fonction de n, en faisant apparaître qualitativement la moyenne n et l'écart-type Δ n sur le graphique.

On précisera la signification physique de p. Exprimer p à l'aide du formulaire sachant que cette loi doit conduire à un nombre moyen n de photons émis.

Sur le même graphique, représenter l'allure des lois de probabilité Pₙ d'un mode thermique et d'une source laser de même fréquence ν telles que n = 10.

Calculer numériquement le compte moyen n et l'écart-type Δ n auxquels on s'attend pour une fenêtre de détection de durée τ = 0,1 s sachant que le rendement quantique du photomultiplicateur vaut 25%.

En déduire l'expression de Z(β) en fonction de β, Q et de l'intégrale A = ∫₀∞ √(x)e⁻x dx (il est aussi inutile de calculer A).

Déterminer enfin l'énergie interne U du gaz, en fonction de N et β ; commenter le résultat obtenu et proposer une généralisation dans le cas d'un gaz parfait diatomique.

En exploitant le résultat précédent et la relation d'Einstein (eq equation VI.2) déduire une estimation de la constante de Boltzmann k_B, puis de la constante d'Avogadro. On indiquera précisément…

Pour N = 2, quelles sont les différentes situations possibles et leurs probabilités P(N_G) ? Vérifier que la somme des différentes probabilités vaut bien 1.

Exprimer Wₘ sous la forme d'une somme que l'on ne cherchera pas à évaluer à ce stade.

Tracer l'allure de la fonction f(N_G) pour x = 1/2. Interprétez son comportement en fonction de N_G.

En utilisant l'équation (8), obtenir l'expression de S en fonction de X.

Que vaut U_d ?

La position de la bosse principale correspond-elle qualitativement à ce que l'on aurait pour la machine de Szilard de la partie 1 ? Cela vous semble-t-il surprenant ?

La valeur moyenne uₓ² _R s'exprime par une relation qui prend la forme suivante : uₓ² _R = ∫_R duₓ f(uₓ) Exprimer la fonction f (on conservera la constante A sans développer son expression)…

Exprimer γ(θ) et calculer ζ(θ) en fonction de k_Bθ et σ.

En déduire l'énergie interne du cristal en fonction de la température T.

Justifier qu'à "très haute température", n₊ = nₑ ( 1 - eU/(k_B T) ). À quelle inégalité correspond la notion de "haute température" ?

À partir du tracé réalisé en réponse à la question (43), représenter, dans un système d'axes commun, l'allure graphique de la dépendance de chacune des concentrations ioniques c₊ et c₋ (définies par…

Soit Γ la probabilité de cavitation par unité de volume et par unité de temps à T. Proposer une expression de Γ en fonction de Δ E*, de k_B T et d'une constante Γ₀ de même dimension que Γ.

Exprimer le paramètre µ dans le cas d'un SCi, que nous noterons µ_i. Vérifier que ce résultat justifie les hypothèses H_µ, 1 et H_µ, 2 adoptées a priori dans la question (7), pour T = Tₐ.

Nous considérons un SCN dans le domaine ② de la figure (3). Exprimer le rapport de concentration p/n et donner l'ordre de grandeur de sa valeur. Commenter ce résultat.

À T = 0 K, les électrons peuplent les états obtenus par énergie croissante, avec au plus deux électrons dans le même état d'énergie d'après le principe d'exclusion de Wolfgang Pauli. En déduire le…

À l'aide du théorème d'équipartition de l'énergie : 1/2mv² = 3/2k_BT, montrer que le coefficient de diffusion D s'écrit : D = k_BT/mτ_col .

Donner l'expression de l'énergie cinétique E_cm et de l'énergie potentielle E_pm d'une particule de masse mₘ de ce gaz. Pourquoi observe-t-on qu'à température ambiante ces molécules ne se regroupent…

En notant P₀ = P(z=0), montrer que (P(z))/P₀ s'exprime simplement grâce à la fonction A(z). Exprimer la distance caractéristique H en fonction de k_B, g, T₀ et mₘ. Calculer la valeur numérique de H…

Préciser la fonction E(z) telle que A(z) = exp [-(E(z))/(k_B T₀)]. Que représente la fonction E(z) ? Interpréter physiquement cette expression dont la généralisation est due à Boltzmann.

Compte tenu des forces conservatives s'exerçant sur un grain, quelle est l'expression de l'énergie potentielle E_p*(z) correspondant au poids de la masse apparente m* du grain à l'altitude z ? En…

Donner l'expression de l'énergie cinétique E_cm et de l'énergie potentielle E_pm d'une particule de masse mₘ de ce gaz. Pourquoi observe-t-on qu'à température ambiante ces molécules ne se regroupent…

Estimer la valeur de k_B qu'a pu déduire Jean Perrin de cette expérience. Identifier des causes d'erreurs expérimentales.

Donner la définition de la vitesse quadratique moyenne, notée u. Dans le cas particulier de notre étude on montre que m_b u² = k_B T₀, commenter ce résultat.

L'énergie de première ionisation du carbone est E_i1 ≃ 11 eV, celle de seconde ionisation E_i2 ≃ 24 eV, et celle de dernière ionisation est E_i6 ≃ 490 eV. Un atome de carbone présent à la surface de…

En déduire l'expression de l'énergie moyenne d'un oscillateur harmonique E_qs dans le cadre de ce modèle statistique quantique.

Établir l'expression du taux d'occupation θ à l'équilibre thermodynamique en fonction de la pression p du monoxyde de carbone sachant qu'une étude plus approfondie permet d'établir que le facteur…

Calculer la valeur de v_r qui rend f(v_r) maximale. On l'appelle vitesse la plus probable d'agitation thermique et on la note v_c.

Donner la probabilité P_erreur⁽¹⁾(t) qu'un bit ait subit au moins une commutation accidentelle pendant un temps t.

Pour un ensemble de N bits, donner la probabilité P_erreur⁽N⁾(t) qu'il y ait eu au moins une commutation accidentelle d'un des bits pendant un temps t.

Pour un ensemble de N bits, donner l'expression du rapport Δ E/k_BT nécessaire pour que la probabilité qu'au moins une erreur survienne pendant un temps t soit inférieure à une certaine valeur p.

Application numérique : pour une MRAM avec une capacité de 1 Gbit conservée à la température ambiante de 300 K pendant 10 ans, quelle doit être la valeur typique de Δ E pour assurer que la…

Quelle est, dans l'expression précédente, la limite de p(z) lorsque z tend vers 0 ? Qu'arrive-t-il lorsque p(z) devient supérieure à p_s(T₀), la pression de vapeur saturante du gaz à la température…

Exprimer le coefficient de Lorenz κ en fonction de e et k_B dans le modèle quantique proposé par Sommerfeld. Cette relation constitue la loi de Wiedemann-Franz dans le modèle de Drude-Sommerfeld.

Expliquer pourquoi on n'observe pas de raie d'absorption en dehors de l'intervalle [2600 ; 3100] cm⁻¹.

Estimer la valeur de ℓ_B. Cette grandeur permet de comparer deux énergies ; à quoi correspondent-elles ?

En appliquant une loi statistique utilisant un facteur de Boltzmann, donner le rapport entre les densités de porteurs de charge n_q dans la bande de conduction et n₀ dans celle de valence. Sans…

Quelles seraient les limites de pₘ à très basse et à très haute température ? Exprimer, en fonction du moment dipolaire individuel p_H_2O d'une molécule d'eau et de la constante de Boltzmann k_B…

En utilisant le théorème d'équipartition de l'énergie appliqué au champ électromagnétique contenu dans la cavité en contact avec un thermostat de température fixée T, déterminer l'expression de la…

Comparer la densité spectrale U(ν) prévue par le modèle de Rayleigh-Jeans aux données de la figure 3. Expliquer pourquoi l'on parlait de « catastrophe ultraviolette » jusqu'au début du XXème siècle…

En comparant deux énergies caractéristiques, déterminer les expressions asymptotiques de la densité spectrale d'énergie électromagnétique moyenne d'un mode dans la cavité dans les régimes basse et…

Pour caractériser les fluctuations du nombre de photons autour de la valeur moyenne n, on utilise l'écart-type Δ n (défini dans le formulaire). Déterminer Δ n en fonction de n.

En supposant que les photons sont émis indépendamment les uns des autres, et en négligeant les émissions multiples dans un intervalle de temps élémentaire δτ = τ/N (avec N le nombre de subdivisions…

En utilisant le formulaire, donner également l'expression de l'écart-type Δ n dans la limite N ≫ n. Comparer au cas d'une source de rayonnement thermique (cf. question 28) et interpréter en termes…

En admettant que le temps de cohérence d'une source polychromatique correspond au temps caractéristique de ses variations d'intensité, expliquer pourquoi il est très difficile de mettre en évidence…

En notant v₀ la vitesse d'un électron juste après une collision à l'instant t₀, comment s'exprime sa vitesse v juste avant la collision suivante δ t plus tard ? En moyennant le résultat sur un très…

Montrer qu'on peut exprimer, en fonction d'une somme (qu'on ne cherchera surtout pas à calculer), l'écart-type σ_ε associé à la moyenne ε. Quel est l'écart-type σ_U associé ? Que peut-on en en…

Pour N = 1, pour quelle valeur de x ce travail moyen est-il maximal ? Même question pour N = 2.

Déterminer U_b.

Déterminer S_b.

Contrairement au cas classique, l'insertion de la barrière a un coût énergétique. En utilisant les résultats des questions précédentes, calculer la chaleur Q_ins et le travail W_ins reçus par la…

Déterminer S_d. En déduire la variation d'entropie S_d - S_b associée à l'opération de détection. Commenter brièvement.

Voyez-vous un ou deux types d'événements pouvant expliquer la présence de la bosse secondaire ?

Donner brièvement deux raisons pour lesquelles l'hypothèse faite dans la question 53 est vérifiée pour t - t₁ ≫ τ où τ est un temps dont on donnera la signification physique sans chercher à…

On note P*(v_G, v) dv_G dv la probabilité élémentaire que la vitesse du centre de masse soit v_G à dv_G près, et que la vitesse relative soit v à dv près. Montrer que P*(v_G, v) peut se mettre sous…

On note p(E) dE la probabilité que l'énergie cinétique relative vaille E à dE près. Par un changement de variables de v à E, donner l'expression de p(E) en fonction de E à une constante…

On note Γ(E) dE le nombre de réactions nucléaires de fusion par unité de temps, pour une énergie relative valant E à dE près. On postule que Γ(E) est proportionnel à v p(E) Θ(E). Comment…

En utilisant les résultats obtenus précédemment, exprimer Γ(E) en fonction de E. On écrira le résultat sous la forme Γ(E) = K exp (-φ(E)), où K ne dépend pas de E, et on exprimera φ(E) en fonction…

Étudier la variation de φ(E). Montrer que Γ(E) possède un maximum pour une valeur de E qu'on notera E₀ et qu'on exprimera en fonction de E_G et k_B T.

Situer l'énergie E₀ par rapport à E_G et k_B T dans la limite où E_G ≫ k_B T. Dans le cas de la fusion entre deux protons au cœur du Soleil, les valeurs numériques sont E_G ≃ 500 keV et k_B T ≃ 1,5…

Déterminer l'expression littérale de φ(E₀) en fonction de E_G et k_B T, puis calculer son ordre de grandeur avec les valeurs numériques données plus haut.

Moyenner le résultat de la question 21 sur θ avec cette loi de probabilité.

Calculer la valeur moyenne z'² ; commenter, au regard du théorème d'équipartition.

Connaissez-vous d'autres cas de mouvement brownien ? D'autres expériences ayant conduit à une vérification expérimentale de la loi de Boltzmann ?

Former une distance caractéristique z_ en dessous de laquelle nous pouvons considérer que la diffusion domine l'advection. Exprimer d'abord cette distance en fonction de D_R et |v_z|. L'exprimer…

On crée un état métastable de volume V. On note Σ(t) la probabilité que la cavitation ait eu lieu entre les instants 0 et t. Σ(t+dt) - Σ(t) correspond ainsi à la probabilité qu'il y ait cavitation…

On définit la pression de cavitation p_c telle que la probabilité de cavitation Σ(τ) définie au bout d'un temps τ est égale à 1/2 : donner son expression en fonction de γ, k_B, T, Γ₀, V et τ. Que se…

La figure (3) représente l'allure (il s'agit donc d'un tracé qualitatif) de la dépendance de la concentration n avec β = 1/(k_B T), pour un semi-conducteur SCi (c'est-à-dire sans impureté) et un…

En exprimant c(z) en fonction de n(z), déduire de ces données une estimation de la hauteur caractéristique H_b associée ici au phénomène. La hauteur du récipient utilisé par Jean Perrin, h₁ = 100…

Estimer la valeur de k_B qu'a pu déduire Jean Perrin de cette expérience. Identifier des causes d'erreurs expérimentales.

En partant de l'équation (E_L), obtenir une équation différentielle du premier ordre linéaire à coefficients constants vérifiée par la fonction φ(t). En supposant que φ(0) = 0, en déduire…

En déduire la valeur de k_B qu'a obtenue Jean Perrin avec ses expériences de diffusion toujours effectuées à T₀ = 20^. Comparer cette valeur avec celle obtenue grâce aux résultats des expériences de…

En partant de l'équation (E_L), obtenir une équation différentielle du premier ordre linéaire à coefficients constants vérifiée par la fonction φ(t). En supposant que φ(0) = 0, en déduire…

Sachant que γ₀² ≃ 10⁻³ et θ ≃ 5,5 × 10⁵ K, évaluer γ à la surface de la naine blanche et au cœur de celle-ci où on estime que la température est T_c ≃ 10⁷ K. En déduire l'état de la matière…

Expliquer alors pourquoi, contrairement à l'atmosphère terrestre, l'atmosphère de Jupiter peut être riche en dihydrogène ou hélium. On pourra comparer les valeurs des vitesses de libération de la…

Quelle est la dimension de ρ_i[z, v_z] ? Montrer que ρ_i(0) est bien la densité volumique d'étoiles de type i dans le plan galactique.

Application numérique : estimer le rayon minimal r d'une couche de stockage F2 cylindrique d'épaisseur d ≈ 1 nm qui est ainsi nécessaire pour stocker un de ces bits.

En déduire qu'il existe à la surface de la paroi une « couche liquide » sur une épaisseur d_liq dont on déterminera l'expression en fonction de K_ad, la constante de Boltzmann k_B, T₀, p_s(T₀) et…

On peut montrer que la relation entre l'énergie cinétique moyenne d'une particule dans un gaz parfait et l'agitation thermique reste valable en ordre de grandeur pour les électrons. En déduire la…

Par une approche semblable à celle de la question 6, établir l'équation différentielle vérifiée par Π(t) pour t > 0. Intégrer cette équation pour obtenir l'expression de Π(t) en fonction de τ, puis…

Proposer un protocole permettant de déterminer si le laser à argon présente bien une statistique d'émission poissonnienne.

L'expression de l'écart-type Δ n trouvée pour une source thermique à la question 28 suppose un rayonnement monochromatique. On peut montrer que pour une superposition de Nₘ modes de fréquences…

On se place à une dimension. Quels atomes sont susceptibles d'être ralentis par le laser ? Ce processus de ralentissement permet-il de les immobiliser complètement ?

Montrer que pour N_G assez proche de N_G et grand devant 1, f(N_G) ≈ C (N_G - N_G)² exp ( -((N_G - N_G)²)/2σ² ) 3 où C est un préfacteur (indépendant de N_G) que l'on déterminera en fonction des…

À partir de la forme donnée à l'équation (3), déduire la limite de Wₘ pour N → ∞. Commenter brièvement le résultat obtenu.

Exprimer W(t, t+dt) pour dt infinitésimal et t - t₁ ≫ τ. En déduire une expression simple de W(t, t') pour t - t₁ et t' - t₁ grands devant τ.

On note W = W(0, t_f) le travail moyen pour un cycle complet. Obtenir une expression très simple de W, en supposant que la température est relativement basse et que la variation de E_G(t) et E_D(t)…

Cette dernière question a pour objet de vérifier que le modèle employé dans cette partie est cohérent avec les principes de la thermodynamique. On note E(t) l'énergie moyenne de l'électron à…

Tracer l'allure de Γ(E). Quelle est la particularité de la variation de Γ(E) avec E dans la limite où E_G ≫ k_B T ?

Le taux d'une réaction nucléaire de fusion est défini comme le nombre de réactions de fusion par unité de volume et de temps, divisé par le produit des densités volumiques des deux noyaux impliqués…

À partir de vos connaissances sur la loi d'Arrhénius, ou sur le facteur de Boltzmann, proposez une expression pour la dépendance de la vitesse d'apparition des gouttelettes dans l'atmosphère en…

En utilisant l'hypothèse ergodique, déterminer la relation entre φ(t) et ψ(t) = x² . Après avoir obtenu l'expression générale de ψ(t), montrer que les ordres de grandeur de ce problème permettent…

En rapprochant l'expression de E_qs de la valeur classique moyennée sur un volume V, montrer que γ² = γ₀² 1/(tanh θ/T) avec γ₀² = Aħ/e√(ε₀/(m_p a)) et θ = B(ħ e)/(k_B √(ε₀ m_p a³)) on précisera les…

La Galaxie contenant un très grand nombre d'étoiles de tout type qui se rapprochent et s'éloignent du plan galactique, et supposant que le déplacement de ces étoiles perpendiculairement au plan…

En déduire finalement ρ_i(z), la densité volumique d'étoiles de type i à l'altitude z. Conclure sur la possibilité d'estimer la densité totale de matière contribuant à engendrer un champ de…

Comparer les valeurs du coefficient de Lorenz dans les cas classique et quantique. Pour les métaux conducteurs l'énergie de Fermi des électrons est de l'ordre de l'électron-volt et on rappelle qu'à…