Corrigé détaillé X ENS Physique MP 2020

Le champ électrique s'écrit \underline{\vec{E}}(\vec{r},t) = \underline{E}(x,z)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}\vec{e}_y. L'équation de Helmholtz vectorielle (8) projetée sur la direction (\mathrm{O}y) conduit à l'équation de Helmholtz scalaire :

D'après la formule (3), la fonction \underline{E}(x,z) s'exprime sous la forme :

En utilisant la possibilité de permuter les dérivées partielles et l'intégration (Remarque 2), on calcule les dérivées spatiales de \underline{E}(x,z) :

En injectant ces deux expressions dans l'équation de Helmholtz, on obtient :

En posant \underline{\gamma}^2 = \frac{\omega^2}{c^2} - \alpha^2, et en appliquant la Propriété 1 (équation (4)), l'annulation de cette intégrale pour tout x équivaut à l'annulation de l'amplitude spectrale pour tout \alpha \in \mathbb{R} :

avec \underline{\gamma}^2 = \frac{\omega^2}{c^2} - \alpha^2.

D'après la question 1, le paramètre \underline{\gamma} vérifie :

1. Cas où \underline{\gamma} est réel :

\underline{\gamma} est réel non nul si et seulement si \underline{\gamma}^2 > 0, ce qui se traduit par :

En posant \underline{\gamma} = \gamma = \sqrt{\dfrac{\omega^2}{c^2} - \alpha^2} > 0, l'équation différentielle (9) s'écrit :

L'équation caractéristique associée a pour racines \pm \mathrm{i}\gamma. L'expression générale de \underline{\widetilde{E}}(\alpha,z) est donc :

où \underline{A}_1(\alpha) et \underline{A}_2(\alpha) sont des amplitudes complexes dépendant de la variable spatiale transverse \alpha.

2. Cas où \underline{\gamma} est imaginaire pur :

\underline{\gamma} est imaginaire pur non nul si et seulement si \underline{\gamma}^2 < 0, ce qui correspond à :

En posant \underline{\gamma} = \mathrm{i}\delta avec \delta = \sqrt{\alpha^2 - \dfrac{\omega^2}{c^2}} > 0, l'équation différentielle devient :

L'équation caractéristique admet pour racines réelles \pm \delta. L'expression générale de \underline{\widetilde{E}}(\alpha,z) est alors :

où \underline{B}_1(\alpha) et \underline{B}_2(\alpha) sont deux amplitudes complexes arbitraires.

En introduisant le vecteur position dans le plan (x,z), \vec{r} = x\vec{e}_x + z\vec{e}_z, ainsi que le vecteur :

le champ électrique complexe s'écrit sous la forme :

1. Sens physique du vecteur \alpha\vec{e}_x + \gamma\vec{e}_z :

• La norme au carré de ce vecteur vaut :

  \|\vec{k}(\alpha)\|^2 = \alpha^2 + \gamma^2 = \alpha^2 + \left(\frac{\omega^2}{c^2} - \alpha^2\right) = \frac{\omega^2}{c^2} = k_0^2.

  Il s'agit donc du vecteur d'onde d'une onde plane progressive monochromatique se propageant dans le vide à la pulsation \omega.

• Comme \gamma > 0, la composante le long de (\mathrm{O}z) est strictement positive : chaque onde plane élémentaire se propage vers les z>0.

• La direction de propagation forme avec l'axe optique (\mathrm{O}z) un angle \theta tel que :

  \boxed{\sin\theta = \frac{\alpha}{k_0} = \frac{\alpha c}{\omega} \quad \text{et} \quad \cos\theta = \frac{\gamma}{k_0} > 0}

  La condition |\alpha| < \omega/c correspond à \theta \in \left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[.

2. Sens physique de la grandeur \underline{A}(\alpha) :

• La quantité \underline{A}(\alpha)\frac{\mathrm{d}\alpha}{2\pi} représente l'amplitude complexe (module et phase à l'origine) de l'onde plane élémentaire se propageant dans la direction repérée par \alpha (ou par l'angle \theta).
• La fonction \underline{A}(\alpha) est donc l'amplitude spectrale angulaire (ou densité spectrale spatiale) du champ électromagnétique.

3. Interprétation globale de la décomposition :

Lorsque |\alpha| > \omega/c, la grandeur \underline{\gamma} est imaginaire pure. Avec le choix \underline{\gamma} = \mathrm{i}\delta où \delta = \sqrt{\alpha^2 - \omega^2/c^2} > 0, imposé par la condition de champ borné lorsque z \to +\infty, l'amplitude complexe spectrale s'écrit :

L'onde élémentaire associée à la pulsation spatiale \alpha dans le développement harmonique a pour expression :

Cette onde présente deux caractéristiques physiques majeures :

• Propagation le long de l'axe (Ox) : le terme \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\alpha x - \omega t)} décrit une onde plane progressive se propageant dans le plan transverse selon l'axe (Ox), avec une vitesse de phase v_\varphi = \frac{\omega}{\alpha} < c.

• Atténuation exponentielle le long de l'axe (Oz) : le terme \mathrm{e}^{-\delta z} correspond à une extinction exponentielle dans la direction de propagation macroscopique. Il s'agit d'une onde évanescente, confinée au voisinage immédiat du plan z = 0, sur une profondeur caractéristique de pénétration :

  \boxed{\delta_{\mathrm{p}} = \frac{1}{\delta} = \frac{1}{\sqrt{\alpha^2 - \omega^2/c^2}}.}

Une onde évanescente ne transporte aucune puissance active moyenne selon l'axe (Oz) (le vecteur de Poynting moyen selon \vec{e}_z est nul).

D'après le préambule précédant la question 3, le spectre angulaire du champ s'écrit :

Dans le plan z = 0, cette relation donne immédiatement :

Par ailleurs, la définition (3) de l'énoncé permet de décomposer toute fonction spatiale F(x, z) via sa transformée de Fourier spatiale selon :

En appliquant cette définition à la composante spatiale du champ électrique F(x, z) = \underline{E}(x, z) prise en z = 0, on obtient :

En identifiant les deux expressions de \underline{\widetilde{E}}(\alpha, z = 0), on en déduit :

1. Critère quantitatif de l'optique géométrique :
   L'approximation de l'optique géométrique (propagation rectiligne de la lumière sous forme de rayons indépendants) est valable lorsque les dimensions caractéristiques D des obstacles, diaphragmes ou ouvertures rencontrés par l'onde sont très grandes devant la longueur d'onde \lambda :

   \boxed{D \gg \lambda}

2. Applicabilité dans la situation considérée :
   Ici, la longueur d'onde dans le vide vaut \lambda = 600\text{ nm} = 0{,}6\,\mu\text{m} et la largeur de l'ouverture est W_0 \sim \text{quelques micromètres} (par exemple W_0 \approx 5\text{ à }10\,\mu\text{m}).

   Le rapport des longueurs caractéristiques vaut :

   \frac{W_0}{\lambda} \sim 5 \text{ à } 15

   Cette valeur n'étant pas très grande devant l'unité, la condition W_0 \gg \lambda n'est pas satisfaite. L'approximation de l'optique géométrique n'est donc pas applicable.

3. Phénomène physique mis en évidence :
   La limitation transversale de l'onde plane par l'ouverture donne naissance au phénomène de diffraction (ici diffraction de Fraunhofer à l'infini ou dans le plan focal d'une lentille convergente).

L'écran opaque percé de l'ouverture (\mathcal{O}) est éclairé sous incidence normale par une onde plane d'amplitude E_0. Dans le plan z=0, le champ transmis est modélisé par :

D'après le résultat de la question 5 (formule (11)), l'amplitude spectrale \underline{A}(\alpha) s'obtient par transformée de Fourier spatiale :

Pour \alpha \neq 0 :

Pour \alpha = 0, la limite redonne \underline{A}(0) = E_0 W_0. En introduisant la fonction sinus cardinal normalisée par \operatorname{sinc}(u) = \dfrac{\sin u}{u}, on obtient :

La grandeur \underline{A}(\alpha) est réelle. Ses caractéristiques principales sont :

• Une parité paire : \underline{A}(-\alpha) = \underline{A}(\alpha) ;
• Un maximum global en \alpha = 0 : \underline{A}(0) = E_0 W_0 ;

• Des annulations pour \dfrac{\alpha W_0}{2} = m\pi, c'est-à-dire :

  \alpha_m = m \, \frac{2\pi}{W_0}, \quad m \in \mathbb{Z}^*.

D'après la question Q3, chaque onde plane composant le faisceau possède un vecteur d'onde :

avec \|\vec{k}\| = k = \sqrt{\alpha^2 + \gamma^2} = \frac{\omega}{c} = \frac{2\pi}{\lambda}. En repérant la direction de propagation par l'angle \theta formé par \vec{k} avec l'axe (\mathrm{O}z) dans le plan (x\mathrm{O}z), on a :

D'après la question Q7, le spectre angulaire s'écrit \underline{A}(\alpha) = E_0 W_0 \operatorname{sinc}\left(\frac{\alpha W_0}{2}\right). On identifie ainsi les directions remarquables :

• Extremum principal (maximum global) : Il est atteint pour \alpha = 0, ce qui correspond à :

  \theta = 0

  L'onde plane dominante se propage selon la direction de l'onde incidente, parallèlement à l'axe (\mathrm{O}z).

• Annulations de \underline{A}(\alpha) : L'amplitude s'annule lorsque l'argument du sinus cardinal est un multiple non nul de \pi :

  \frac{\alpha W_0}{2} = m\pi \quad (m \in \mathbb{Z}^*) \implies \alpha_m = m\frac{2\pi}{W_0}

  En reliant \alpha à \sin\theta, on obtient les directions d'annulation :

  k\sin\theta_m = m\frac{2\pi}{W_0} \iff \sin\theta_m = m\frac{\lambda}{W_0} \quad (m \in \mathbb{Z}^*)

Pour la première annulation (m = 1), on obtient la relation :

Dans le cadre de l'approximation des petits angles (\tan\theta \approx \sin\theta \approx \theta), l'angle du premier zéro s'écrit simplement :

1. Transformation d'une onde plane par une lentille convergente

D'après les lois de l'optique géométrique :

• Une onde plane se propageant parallèlement à l'axe optique (\mathrm{O}z) (\theta = 0) correspond à un faisceau de rayons parallèles à l'axe. Après traversée de la lentille (\mathcal{L}), ces rayons convergent au foyer principal image F' de coordonnées (x'=0, y'=0) dans le plan focal image.

• Une onde plane dont le vecteur d'onde est incliné d'un angle \theta par rapport à (\mathrm{O}z) dans le plan (x\mathrm{O}z) est constituée de rayons mutuellement parallèles inclinés de \theta. Après réfraction, ils émergent en convergeant en un foyer secondaire image dans le plan focal image, à l'abscisse :

  x' = f' \tan\theta \approx f' \theta

  dans l'approximation des petits angles (conditions de Gauss).

La lentille mince convergente réalise ainsi une transformation angle-position (ou direction-espace) : à chaque composante d'onde plane d'angle \theta correspond un unique point géométrique x' dans le plan focal image.

2. Observation dans le plan focal image

Le champ lumineux diffracté par l'ouverture (\mathcal{O}) s'écrit comme une superposition d'ondes planes d'amplitudes \underline{A}(\alpha), avec \alpha = k \sin\theta \approx k \theta = \frac{2\pi}{\lambda}\theta. Au point d'abscisse x' du plan focal image, l'amplitude complexe du champ électrique est donc directement proportionnelle à l'amplitude spectrale \underline{A}(\alpha) évaluée en :

Un capteur optique (œil, photodiode, barrette CCD) est sensible à l'éclairement moyen I(x'), proportionnel au carré du module du champ électrique :

Le capteur optique enregistre la figure de diffraction à l'infini (ou de Fraunhofer) de la fente rectangulaire :

• une frange (ou tache) centrale brillante très intense, centrée en x' = 0 (F'),
• bordée de franges d'intensité décroissante (maxima secondaires),
• séparées par des extinctions régulières (zéros d'intensité) lorsque \frac{\pi W_0 x'}{\lambda f'} = m\pi, soit pour :

D'après les questions Q8 et Q9 :

• Le maximum global de l'amplitude spectrale \underline{A}(\alpha) correspond à \alpha = 0, soit une onde plane se propageant selon l'axe (\mathrm{O}z) (\theta_0 = 0). Son image se forme au foyer image principal F' de la lentille (\mathcal{L}), en x_0 = 0.

• Le premier zéro de \underline{A}(\alpha) est obtenu pour l'angle \theta_1 \approx \sin\theta_1 = \frac{\lambda}{W_0}. L'onde plane associée converge dans le plan focal image en l'abscisse :

  x_1 = f' \tan\theta_1 \approx f' \theta_1 = \frac{\lambda f'}{W_0}

La distance \Delta x entre le maximum global et le premier zéro s'écrit donc :

La largeur de la tache centrale de diffraction observée dans le plan focal image est par symétrie :

Commentaire sur l'évolution de la tache lumineuse :

• La largeur 2\Delta x est inversement proportionnelle à la largeur W_0 de la fente.
• Si l'ouverture se resserre (W_0 diminue), la tache lumineuse s'élargit dans le plan focal : le confinement spatial accru entraîne un étalement spectral plus grand.
• À l'inverse, si W_0 \gg \lambda, la largeur 2\Delta x \to 0 : on retrouve la limite de l'optique géométrique où l'image tend vers un point géométrique en F'.

Application numérique : Avec \lambda = 600\text{ nm} = 6{,}0 \cdot 10^{-7}\text{ m}, f' = 200\text{ mm} = 0{,}20\text{ m} et W_0 = 10\;\mu\text{m} = 1{,}0 \cdot 10^{-5}\text{ m} :

En respectant la consigne de ne donner qu'un chiffre significatif :

D'après les résultats de la partie I (formule (10) et remarque finale autorisant le prolongement des bornes en -\infty et +\infty), le champ complexe \underline{E}_{\mathrm{L}}(x,z,t) = \underline{E}_{\mathrm{L}}(x,z)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t} s'écrit comme une superposition continue d'ondes planes progressives harmoniques se propageant dans le demi-espace z > 0 :

où \gamma = \sqrt{k^2 - \alpha^2} avec k = \omega/c = 2\pi/\lambda.

En simplifiant par \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}, l'expression intégrale de la composante spatiale \underline{E}_{\mathrm{L}}(x,z) s'écrit :

D'après la relation (11) établie à la question 5, l'amplitude spectrale \underline{A}(\alpha) s'obtient par projection sur le plan z = 0 :

En injectant le profil d'amplitude gaussien du champ en z = 0 donné par l'équation (16) :

on reconnaît la transformée de Fourier spatiale d'une fonction gaussienne. En appliquant la Propriété 2 du formulaire (équation (5)) avec F_0 = E_0, on obtient directement :

1. Expressions approchées de W(z) :

D'après l'expression (18) de l'énoncé, le rayon du faisceau est donné par :

• Pour z \ll z_{\mathrm{R}} (zone de Rayleigh ou de champ proche) :

  W(z) = W_0 \left(1 + \frac{1}{2}\frac{z^2}{z_{\mathrm{R}}^2} + o\left(\frac{z^2}{z_{\mathrm{R}}^2}\right)\right) \approx W_0

  Le rayon du faisceau reste quasiment constant, égal à W_0 (waist ou col du faisceau).

• Pour z \gg z_{\mathrm{R}} (champ lointain) :

  W(z) = W_0 \frac{z}{z_{\mathrm{R}}} \sqrt{1 + \frac{z_{\mathrm{R}}^2}{z^2}} \approx \frac{W_0}{z_{\mathrm{R}}} z

  Le rayon croît linéairement avec la distance de propagation z.

2. Tracé de la courbe W(z) :

La courbe W(z) est une branche d'hyperbole d'asymptote la droite d'équation W = \frac{W_0}{z_{\mathrm{R}}} z lorsque z \to +\infty. En z = z_{\mathrm{R}}, on note que W(z_{\mathrm{R}}) = W_0 \sqrt{2}.

3. Angle de divergence du faisceau :

Le demi-angle de divergence \theta du faisceau laser correspond au demi-angle au sommet du cône asymptotique formé par le faisceau en champ lointain (z \gg z_{\mathrm{R}}). Dans l'approximation paraxiale (\theta \ll 1) :

En remplaçant la distance de Rayleigh par son expression z_{\mathrm{R}} = \frac{\pi W_0^2}{\lambda} :

(L'angle de divergence totale est alors 2\theta = \frac{2\lambda}{\pi W_0}).

4. Phénomène physique mis en évidence :

L'angle de divergence \theta est inversement proportionnel à la largeur initiale du faisceau W_0 et proportionnel à la longueur d'onde \lambda. Cette relation \theta \sim \frac{\lambda}{W_0} est la signature caractéristique du phénomène de diffraction, déjà rencontré lors de l'étude de l'ouverture de largeur W_0 (questions 6 à 8 où le premier zéro apparaissait en \theta_1 \approx \lambda/W_0).

Même en l'absence de diaphragme matériel abrupt, la limitation spatiale transverse intrinsèque du faisceau à l'émission impose un étalement angulaire par diffraction.

L'intensité lumineuse moyenne est proportionnelle au module au carré de l'amplitude complexe du champ électrique :

D'après l'expression (17) de \underline{E}_{\mathrm{L}}(x,z) :

puisque k, x et R(z) sont réels, ce qui confère au facteur de courbure un module unité : \left|\exp\left(\mathrm{i}k\frac{x^2}{2R(z)}\right)\right| = 1.

Calculons le module au carré de \underline{K}(z) à partir de l'expression (18) :

En introduisant l'intensité maximale au centre du col I_0 = I_{\mathrm{L}}(0,0), l'intensité s'écrit donc :

Dans un plan transverse de cote z = \text{Cste}, W(z) et la valeur sur l'axe I_{\mathrm{L}}(0,z) sont constants. L'intensité en fonction de x est donc de la forme :

Il s'agit de l'équation caractéristique d'une loi gaussienne : le faisceau conserve ainsi un profil gaussien dans tout plan de section transverse z = \mathrm{Cste}.

Étudions les deux profils demandés :

• En z = 0 : W(0) = W_0, donc :

  I_{\mathrm{L}}(x, 0) = I_0 \exp\left( - \frac{2x^2}{W_0^2} \right)

  L'intensité sur l'axe vaut I_{\mathrm{L}}(0,0) = I_0.

• En z = z_{\mathrm{R}} : W(z_{\mathrm{R}}) = W_0\sqrt{1 + 1} = W_0\sqrt{2}, donc :

  I_{\mathrm{L}}(x, z_{\mathrm{R}}) = \frac{I_0}{\sqrt{2}} \exp\left( - \frac{x^2}{W_0^2} \right)

  L'intensité sur l'axe est abaissée à \dfrac{I_0}{\sqrt{2}} \approx 0{,}71\, I_0, et la largeur de la nappe est élargie d'un facteur \sqrt{2}.

1. Identification du terme de phase pour z \gg z_{\mathrm{R}} et z \gg |x|

Lorsque z \gg z_{\mathrm{R}}, l'expression de R(z) donnée en (18) devient :

Le facteur de phase du faisceau gaussien s'écrit alors :

Par ailleurs, dans le plan y=0, une onde sphérique (ou cylindrique d'axe (\mathrm{O}y)) émise depuis l'origine \mathrm{O}(0,0,0) possède un terme de propagation de la forme \exp(\mathrm{i}kr) où la distance à la source est r = \sqrt{x^2+z^2}. Dans l'approximation paraxiale z \gg |x|, le développement limité au premier ordre non nul en x^2/z^2 donne :

On constate ainsi l'égalité :

Le terme de phase du faisceau s'identifie donc bien à celui d'une onde divergente issue du centre du col du faisceau laser.

2. Rayon de courbure des surfaces d'onde

• Pour z \gg z_{\mathrm{R}}, le rayon de courbure des surfaces d'onde est :

  \boxed{\mathcal{R}(z) \approx z}

  Les surfaces d'onde sont des portions de cylindres d'axe (\mathrm{O}y) (ou de sphères) centrées à l'origine et de rayon de courbure \mathcal{R} \approx z.

• Pour z \ll z_{\mathrm{R}}, on a :

  R(z) \approx \frac{z_{\mathrm{R}}^2}{z} \xrightarrow[z \to 0]{} +\infty

  Le terme quadratique \exp\left(\mathrm{i}k\frac{x^2}{2R(z)}\right) tend vers 1. Le rayon de courbure est infini, ce qui signifie que la surface d'onde est un plan au col (z = 0) : l'onde s'y comporte localement comme une onde plane.

3. Évaluation numérique de z_{\mathrm{R}}

La distance de Rayleigh est donnée par z_{\mathrm{R}} = \frac{\pi W_0^2}{\lambda}. Avec \lambda = 600\text{ nm} = 6{,}0 \times 10^{-7}\text{ m} et \pi \approx 3 :

• Pour W_0 = 100\;\mu\mathrm{m} = 1{,}0 \times 10^{-4}\text{ m} :

  z_{\mathrm{R}} = \frac{\pi \times (1{,}0 \times 10^{-4})^2}{6{,}0 \times 10^{-7}} \approx \frac{3 \times 10^{-8}}{6 \times 10^{-7}} = 0{,}05\text{ m}
  \boxed{z_{\mathrm{R}} \approx 5 \times 10^{-2}\text{ m} = 5\text{ cm}}

• Pour W_0 = 1\text{ mm} = 1{,}0 \times 10^{-3}\text{ m} (W_0 est 10 fois plus grand, donc z_{\mathrm{R}} \propto W_0^2 est multiplié par 100) :

  \boxed{z_{\mathrm{R}} \approx 5\text{ m}}

La sphère de rayon R_0 porte la charge totale +e uniformément répartie en volume, soit une densité volumique de charge :

La distribution présente une symétrie sphérique par rapport au centre \mathrm{O}. Le champ électrostatique \vec{E}_{\mathrm{sph}}(\vec{r}) est donc purement radial et ne dépend que de la distance r = \|\vec{r}\| : \vec{E}_{\mathrm{sph}}(\vec{r}) = E(r)\vec{e}_r.

Appliquons le théorème de Gauss à travers une sphère \Sigma centrée en \mathrm{O} et de rayon r \leqslant R_0 :

Le champ électrostatique à l'intérieur de la sphère s'écrit donc :

La force électrostatique subie par l'électron de charge -e placé en \vec{r}_{\mathrm{e}} est alors :

Cette force est bien proportionnelle et opposée au déplacement \vec{r}_{\mathrm{e}} : c'est une force de rappel élastique linéaire de la forme \vec{F}_{\mathrm{el}} = -k_{\mathrm{el}}\vec{r}_{\mathrm{e}}, avec :

L'équation du mouvement de l'électron libre de toute autre sollicitation s'écrit m_{\mathrm{e}}\ddot{\vec{r}}_{\mathrm{e}} + k_{\mathrm{el}}\vec{r}_{\mathrm{e}} = \vec{0}, soit \ddot{\vec{r}}_{\mathrm{e}} + \omega_0^2\vec{r}_{\mathrm{e}} = \vec{0}, où la pulsation caractéristique associée vérifie k_{\mathrm{el}} = m_{\mathrm{e}}\omega_0^2 :

Application numérique :
Avec 2R_0 = 0{,}1\text{ nm}, soit R_0 = 5\times 10^{-11}\text{ m}, et \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx \dfrac{1}{4\pi \times 8{,}9\times 10^{-12}} \approx 9\times 10^9\text{ F}^{-1}\cdot\text{m} :

L'onde électromagnétique incidente est modélisée par une onde plane monochromatique dont les amplitudes spatiales complexes s'écrivent :

avec \|\vec{k}\| = k = \dfrac{2\pi}{\lambda}.

En prenant l'origine au centre de l'atome, la position d'un point au sein de l'atome vérifie \|\vec{r}\| \leqslant R_0, où R_0 = 0{,}05\text{ nm} = 5\times 10^{-11}\text{ m}. La variation de phase de l'onde sur l'étendue atomique est alors majorée par :

L'onde incidente appartenant au domaine visible, sa longueur d'onde dans le vide est de l'ordre de \lambda \sim 600\text{ nm} = 6\times 10^{-7}\text{ m}. On a donc :

Le terme de phase vérifie ainsi :

Par conséquent, sur toute l'étendue de l'atome :

Les champs électrique et magnétique de l'onde peuvent donc être considérés comme uniformes à l'échelle de l'atome.

Le noyau (ou la sphère de charge positive +e) et l'électron (de charge -e) sont soumis, sous l'action du champ électrique incident \vec{E}, à des forces électrostatiques opposées et de même amplitude :

D'après la deuxième loi de Newton, l'accélération subie par chaque entité est inversement proportionnelle à sa masse :

où M désigne la masse du noyau. Même pour le noyau le plus léger (l'atome d'hydrogène, constitué d'un unique proton de masse m_{\mathrm{p}}), on a :

En régime sinusoïdal forcé à pulsation \omega, l'amplitude du déplacement est reliée à celle de l'accélération par x \sim a/\omega^2. Le rapport des amplitudes d'oscillation vérifie donc :

L'action du champ électromagnétique de l'onde incidente sur l'électron, animé d'une vitesse \vec{v} = \dot{\vec{r}}_{\mathrm{e}}, s'exprime par la composante de Lorentz associée aux champs de l'onde :

où la partie électrique est \vec{F}_E = -e \vec{E} et la partie magnétique est \vec{F}_B = -e (\vec{v} \wedge \vec{B}).

Comparons les ordres de grandeur de ces deux contributions :

Pour une onde plane progressive monochromatique se propageant dans le vide, les amplitudes des champs électrique et magnétique sont reliées par la structure de l'onde :

Le rapport des forces s'écrit alors :

L'énoncé précise explicitement que l'électron ne peut pas atteindre des vitesses nécessitant de prendre en compte des effets relativistes, ce qui garantit le caractère non relativiste du mouvement :

On applique le principe fondamental de la dynamique à l'électron, assimilé à un point matériel de masse m_{\mathrm{e}} et de charge -e, repéré par son vecteur position \vec{r}_{\mathrm{e}}(t) par rapport au centre O de la sphère chargée, dans le référentiel galiléen \mathcal{R}.

Le noyau atomique étant considéré fixe en O (d'après la question Q17), l'électron est soumis à trois forces :

• la force de rappel élastique exercée par le nuage positif (d'après la question Q15) :

  \vec{F}_{\mathrm{el}} = -k_{\mathrm{el}}\vec{r}_{\mathrm{e}} = -m_{\mathrm{e}}\omega_0^2 \vec{r}_{\mathrm{e}}

• la force d'amortissement visqueux modélisant les pertes par rayonnement dipolaire :

  \vec{F}_{\mathrm{v}} = -m_{\mathrm{e}}\Gamma \dot{\vec{r}}_{\mathrm{e}}

• la force de Lorentz due à l'onde incidente, pour laquelle l'action du champ magnétique est négligée (d'après la question Q18) et le champ électrique est pris uniforme à l'échelle de l'atome (approximation dipolaire, d'après la question Q16) :

  \vec{F}_{\mathrm{em}} = -e\left(\vec{E} + \dot{\vec{r}}_{\mathrm{e}}\wedge\vec{B}\right) \approx -e\vec{E}(t)

Le principe fondamental de la dynamique s'écrit donc :

En divisant par la masse m_{\mathrm{e}} de l'électron, on obtient l'équation différentielle régissant l'évolution du vecteur position \vec{r}_{\mathrm{e}}(t) :

L'équation différentielle établie à la question Q19 s'écrit en représentation complexe :

où le champ électrique excitateur au niveau de l'atome est \underline{\vec{E}}(\vec{r},t) = \underline{\vec{E}}(\vec{r})\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}.

En régime sinusoïdal forcé, on injecte la forme recherchée \underline{\vec{r}}_{\mathrm{e}}(t) = \underline{\vec{r}}_{\mathrm{e},0}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}. Les dérivées temporelles successives s'expriment par :

En substituant dans l'équation différentielle et en simplifiant par \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}, il vient :

On en déduit l'amplitude complexe du déplacement de l'électron :

Le moment dipolaire de l'atome est défini par \underline{\vec{d}}_{\mathrm{at}}(t) = -e\underline{\vec{r}}_{\mathrm{e}}(t) = -e\underline{\vec{r}}_{\mathrm{e},0}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}. On obtient directement :

Par définition, le vecteur polarisation \underline{\vec{P}}(\vec{r}, t) représente la densité volumique de moment dipolaire. Pour un milieu contenant N atomes identiques par unité de volume, dont le moment dipolaire induit individuel est \underline{\vec{d}}_{\mathrm{at}}(t), on a :

D'après le résultat de la question Q20, le moment dipolaire atomique s'exprime selon :

Il en découle l'amplitude complexe du vecteur polarisation :

En identifiant cette expression avec la relation constitutive (19) fournie par l'énoncé, \underline{\vec{P}}(\vec{r}) = \varepsilon_0 (n^2 - 1) \underline{\vec{E}}(\vec{r}), on obtient :

D'où l'expression de n^2 :

D'après la question Q21, le carré de l'indice optique s'écrit :

D'après le résultat de la question Q15, la pulsation caractéristique vaut :

Dans le domaine des fréquences optiques considéré, \omega \in [2\cdot 10^{15}\,,\, 5\cdot 10^{15}]\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}, le rapport maximal est :

ce qui implique que :

Par ailleurs, les pertes radiatives vérifient \Gamma \ll \omega_0, donc :

Le dénominateur peut ainsi être approché par \omega_0^2 :

Il s'ensuit que l'indice de réfraction est quasiment constant et réel dans tout le spectre visible :

La dépendance de n en fonction de \omega est donc très faible dans le domaine visible, les corrections relatives étant d'ordre (\omega/\omega_0)^2 \sim 1\,\%.

D'après la question Q20, un atome soumis à un champ électrique sinusoïdal d'amplitude \underline{\vec{E}} acquiert un moment dipolaire d'amplitude :

Or, d'après la relation (20) de l'énoncé, le champ électrique effectif ressenti par chaque atome à l'intérieur de la sphère est :

En injectant ce champ local, le moment dipolaire de chaque atome s'écrit :

En utilisant la relation établie à la question Q21, \varepsilon_0(n^2 - 1) = \dfrac{N e^2}{m_{\mathrm{e}}(\omega_0^2 - \omega^2 - \mathrm{i}\Gamma\omega)}, on peut également l'écrire sous la forme :

La polarisation volumique étant liée au dipôle atomique par \underline{\vec{P}} = N\underline{\vec{d}}_{\mathrm{at}} (équation issue de Q21), on obtient :

En regroupant les termes en \underline{\vec{P}} :

On en déduit finalement l'expression de la polarisation volumique \underline{\vec{P}} :

Le vecteur polarisation \underline{\vec{P}} représente la densité volumique de moment dipolaire au sein de la sphère diélectrique. Le moment dipolaire total \underline{\vec{D}} de la sphère s'obtient donc par intégration sur le volume V = \frac{4}{3}\pi a^3 de la sphère :

Sous l'approximation dipolaire (a \ll \lambda), le champ incident \underline{\vec{E}}_0 et la polarisation résultante \underline{\vec{P}} sont uniformes dans toute la sphère. L'intégration se résume alors au produit du vecteur polarisation par le volume de la sphère :

En injectant l'expression de \underline{\vec{P}} établie à la question Q23, à savoir :

il vient immédiatement :

On en déduit l'expression du moment dipolaire de la sphère :

Par définition de la puissance moyenne \mathcal{P} rayonnée (ou diffusée) par le dipôle, l'énergie électromagnétique \mathrm{d}\mathcal{E} diffusée pendant une durée infinitésimale \mathrm{d}t s'écrit :

où \mathcal{P} = \dfrac{4\pi^3}{3} \dfrac{c n_{\mathrm{s}}}{\varepsilon_0 \lambda^4} D_{\mathrm{b},0}^2.

La diffusion par le dipôle induit oscillant à la pulsation \omega est un processus élastique (sans changement de pulsation). Chaque photon diffusé transporte donc l'énergie :

Le nombre infinitésimal de photons \mathrm{d}\mathcal{N} diffusés pendant la durée \mathrm{d}t est par conséquent :

En introduisant l'expression de \mathcal{P}, il vient :

Pendant la durée \mathrm{d}t, la bille interagit avec l'onde incidente en diffusant \mathrm{d}\mathcal{N} photons.

Chaque photon incident transporte une quantité de mouvement :

où la propagation s'effectue selon +\vec{e}_z dans le solvant d'indice n_{\mathrm{s}}. L'impulsion totale apportée par ces photons incidents avant diffusion s'écrit :

D'après l'énoncé, la diffusion par le dipôle présente une symétrie centrale : pour chaque photon diffusé avec le vecteur d'onde \vec{k}', il en existe un diffusé avec le vecteur d'onde -\vec{k}'. L'impulsion globale emportée par le rayonnement diffusé est donc nulle :

Par conservation de l'impulsion totale du système {bille + rayonnement}, l'impulsion infinitésimale transmise à la bille est égale à la variation d'impulsion du champ électromagnétique :

D'après la question Q25, le nombre de photons diffusés s'exprime par \mathrm{d}\mathcal{N} = \frac{\mathcal{P}\,\mathrm{d}t}{\hbar\omega}. On obtient donc :

La force de diffusion \vec{F}_{\mathrm{d}} exercée sur la bille s'en déduit par application du principe fondamental de la dynamique :

Action et sens de la force :

• La force \vec{F}_{\mathrm{d}} est orientée selon les z croissants, c'est-à-dire dans le sens de propagation du faisceau laser incident.
• Il s'agit d'une force de pression de radiation (force de diffusion ou de poussée photonique) qui tend à entraîner et repousser la bille vers l'aval du faisceau, dans le sens de la propagation lumineuse.

La force de Lorentz instantanée exercée par les champs électromagnétiques incidents sur la charge positive +q, située en \vec{r}_+ = \vec{r}_0 et supposée fixe (\vec{v}_+ = \dot{\vec{r}}_+ = \vec{0}), est :

La charge négative -q, située en \vec{r}_- = \vec{r}_0 - \vec{\delta}, possède la vitesse \vec{v}_- = \dot{\vec{r}}_- = -\dot{\vec{\delta}}. Elle subit la force de Lorentz :

En injectant le développement limité au premier ordre de \vec{E}(\vec{r}_-, t) donné par l'équation (23) :

et en effectuant le développement analogue pour le champ magnétique \vec{B}(\vec{r}_-, t) = \vec{B}(\vec{r}_0, t) + \mathcal{O}(\|\vec{\delta}\|), le terme magnétique s'écrit au premier ordre :

La force totale de Lorentz instantanée \vec{F}_{\mathrm{Lor}} = \vec{F}_+ + \vec{F}_- exercée sur le dipôle vaut alors :

Comme \vec{D}_{\mathrm{b}} = q\vec{\delta} et \dfrac{\mathrm{d}\vec{D}_{\mathrm{b}}}{\mathrm{d}t} = q\dot{\vec{\delta}}, en sous-entendant l'évaluation des champs au centre du dipôle \vec{r}_0, on obtient bien :

D'après l'expression (21), le moment dipolaire induit s'écrit \vec{D}_{\mathrm{b}} = A\vec{E}, où A est une constante réelle. La position du dipôle étant considérée fixe aux échelles de temps optiques, on a :

L'expression de la force de Lorentz issue de la question précédente (Q27) devient donc :

En utilisant l'identité vectorielle donnée dans l'énoncé :

on isole le premier terme :

L'équation de Maxwell-Faraday dans le solvant s'écrit \overrightarrow{\operatorname{rot}}\vec{E} = -\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}, d'où :

Le premier terme de la force s'écrit ainsi :

En injectant cette relation dans l'expression de \vec{F}_{\mathrm{Lor}}, on obtient :

La force de Lorentz s'exprime donc sous la forme demandée :

Les coefficients de la combinaison linéaire valent respectivement \frac{A}{2} devant \overrightarrow{\operatorname{grad}}(\vec{E}^2) et A devant \frac{\partial(\vec{E}\wedge\vec{B})}{\partial t}.

Par définition de la moyenne temporelle sur une période T = 2\pi/\omega :

En régime monochromatique de pulsation \omega, les champs \vec{E}(\vec{r}, t) et \vec{B}(\vec{r}, t) sont sinusoïdaux de période T. Le produit vectoriel \vec{E} \wedge \vec{B} est donc une fonction T-périodique (et même T/2-périodique). On en déduit :

d'où :

D'après le résultat de la question Q28, la force de Lorentz instantanée s'écrit :

En prenant la moyenne temporelle, et compte tenu de la linéarité de l'opérateur moyenne et de la possibilité de permuter dérivation spatiale et intégration temporelle :

La force de gradient \vec{F}_{\mathrm{g}} = \langle \vec{F}_{\mathrm{Lor}} \rangle_T s'exprime ainsi :

1. Expression de la force de gradient \vec{F}_{\mathrm{g}}

D'après le résultat de la question Q29, la force de gradient s'écrit :

La relation (26) définit l'intensité lumineuse au sein du solvant par :

En injectant cette relation ainsi que l'expression (25) du coefficient A = 4\pi\varepsilon_0 n_{\mathrm{s}}^2 a^3 \frac{m^2-1}{m^2+2}, il vient :

D'où l'expression de la force de gradient :

2. Expression de la force de diffusion \vec{F}_{\mathrm{d}}

D'après la question Q26, les photons incidents se propageant selon l'axe (\mathrm{O}z) exercent sur la bille une force de diffusion :

où la puissance moyenne diffusée est donnée par l'équation (22) :

La relation (21) donne l'amplitude du dipôle induit : D_{\mathrm{b},0} = A E_0. Avec la relation fournie \langle \vec{E}^2 \rangle_T = E_0^2/2, on a :

En remplaçant A par son expression (25) :

On en déduit l'expression de la force radiative de diffusion :

La force totale subie par la bille s'écrit \vec{F} = \vec{F}_{\mathrm{g}} + \vec{F}_{\mathrm{d}}.

1. Condition sur l'indice relatif m = n/n_{\mathrm{s}} : Le profil d'intensité I(x,y,z) présente un maximum absolu en (0,0,0) : le gradient \overrightarrow{\operatorname{grad}} I est donc orienté vers l'origine lorsqu'on s'en écarte. D'après l'expression établie à la question 30 :

   \vec{F}_{\mathrm{g}} = \frac{2\pi n_{\mathrm{s}} a^3}{c}\left(\frac{m^2-1}{m^2+2}\right)\overrightarrow{\operatorname{grad}} I

   Pour que la force de gradient agisse comme une force de rappel attractive vers le maximum d'intensité lumineuse (le centre du faisceau), il est indispensable que le coefficient soit strictement positif, soit :

   \frac{m^2-1}{m^2+2} > 0 \iff m > 1 \iff n > n_{\mathrm{s}}

   L'indice optique de la bille diélectrique doit impérativement être supérieur à celui du fluide environnant.

2. Condition sur l'équilibre le long de l'axe de propagation (Oz) : La force de diffusion \vec{F}_{\mathrm{d}} s'exerce continûment selon +\vec{e}_z (sens de propagation de l'onde) et tend à éjecter la bille vers l'aval du faisceau.

   Pour qu'un point d'équilibre stable existe le long de l'axe (Oz), la composante de rappel de la force de gradient selon z pour z > 0 (où \frac{\partial I}{\partial z} < 0, créant une force dirigée selon -\vec{e}_z) doit être capable de compenser et de surmonter la force de poussée radiative :

   \|\vec{F}_{\mathrm{g}, z}\| > \|\vec{F}_{\mathrm{d}}\|

   Le gradient longitudinal d'intensité au niveau du point focal doit donc être suffisamment intense devant l'intensité elle-même.

En résumé, les deux conditions nécessaires et suffisantes sont :