Feuille d'entraînement : Diffraction et réseaux

Corrigés

1. Exercice 1Mines-Ponts Physique 1 MP 2026, Q21

   Considérons deux plans réticulaires parallèles consécutifs, distants de a. D'après la figure 6, le faisceau incident et le faisceau réfléchi font chacun un angle \theta/2 avec la normale aux plans réticulaires (l'angle total de déviation étant \theta). L'angle d'incidence par rapport à la normale aux plans est donc :

   i = \frac{\theta}{2}

   Le second rayon parcourt un trajet supplémentaire dans le cristal avant de ressortir parallèlement au premier rayon. Par analogie directe avec la réflexion d'une onde plane sur une lame à faces parallèles d'indice n = 1 et d'épaisseur a (lame d'air), la différence de marche géométrique entre les deux rayons électroniques réfléchis s'écrit :

   \delta = 2 a \cos i = 2 a \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)

   On peut également retrouver ce résultat en projetant géométriquement les fronts d'onde incidents et réfléchis : le retard du second rayon correspond à un aller-retour de longueur 2 \frac{a}{\cos(\theta/2)}, diminué de la projection sur la direction de propagation de l'avance du premier rayon, ce qui donne bien 2 a \cos(\theta/2).

   \boxed{\delta = 2 a \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)}

   Pour observer un faisceau diffracté d'intensité maximale, les ondes diffusées par les différents plans réticulaires doivent interférer de manière constructive. La différence de marche \delta doit donc être un multiple entier de la longueur d'onde de De Broglie \lambda du faisceau électronique :

   \delta = q \lambda \quad \text{avec } q \in \mathbb{N}^*

   où q désigne l'ordre d'interférence. On en déduit la relation de Bragg adaptée à cette paramétrisation :

   \boxed{2 a \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = q \lambda}

   Résultat

   $$\delta =2a\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)$$

   $$2a\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)=q\lambda$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2Mines-Ponts Physique 2 MP 2026, Q3

   La lumière traverse l'ouverture circulaire du télescope de diamètre D. Le phénomène de diffraction à l'infini (figure d'Airy) donne une tache centrale circulaire dont le demi-angle d'ouverture (rayon angulaire du premier zéro) vaut en ordre de grandeur :

   \theta_{\text{diff}} \sim \frac{\lambda_0}{D} \quad \left(\text{ou plus précisément } \theta_{\text{diff}} = 1{,}22\,\frac{\lambda_0}{D}\right).

   L'ouverture angulaire totale (diamètre angulaire du disque central d'Airy) est donc de l'ordre de 2\theta_{\text{diff}} \sim \frac{2\lambda_0}{D}.

   Dans le plan focal image de la lentille de distance focale f', la taille spatiale caractéristique (rayon) de cette tache de diffraction est :

   R_{\text{tâche}} = f' \theta_{\text{diff}} \sim \frac{\lambda_0 f'}{D}.

   D'après le critère de Rayleigh usuel, deux points sont discernables si la distance séparant leurs images géométriques est au moins égale au rayon de la tache de diffraction (le centre d'une tache coïncidant au plus près avec le premier minimum d'intensité de l'autre) :

   A'B' \ge R_{\text{tâche}}.

   En reprenant l'expression de la distance géométrique établie à la question précédente, A'B' = f'\,\frac{\epsilon}{2}, la condition de résolution s'écrit :

   f'\,\frac{\epsilon}{2} \ge \frac{\lambda_0 f'}{D} \iff \epsilon \ge \frac{2\lambda_0}{D}.

   La résolution angulaire due à la diffraction r_{\text{diff}}, définie comme la plus petite valeur de \epsilon détectable par le télescope (conformément à la question 2), vaut donc :

   \boxed{r_{\text{diff}} = \frac{2\lambda_0}{D}} \quad \left(\text{ou avec le facteur d'Airy : } r_{\text{diff}} = 2{,}44\,\frac{\lambda_0}{D}\right).

   Résultat

   $$r_{\text{diff}}=\frac{2{\lambda }_0}{D}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3CCINP Physique MP 2024, Q10

   a) Schéma du système optique et marche d'un rayon

   La source ponctuelle S est au foyer objet de la première lentille L_1 : elle produit un faisceau parallèle (onde plane en incidence normale sur le réseau). La lentille L_2 focalise les rayons diffractés sous un même angle \theta en un point M(x,y,f') de son plan focal image, avec \theta \approx x/f' dans l'approximation paraxiale.

   b) Établissement de la fonction intensité I(\varphi)

   Chaque fente se comporte comme une source secondaire émettant une onde synchrone d'amplitude s_0. Pour un point M d'abscisse x, deux fentes successives distantes de a présentent une différence de marche \delta = a\sin\theta \approx \frac{ax}{f'}, d'où un déphasage uniforme :

   \varphi = \frac{2\pi}{\lambda}\delta = 2\pi\frac{ax}{\lambda f'}

   L'amplitude complexe résultante au point M s'écrit comme la somme d'une suite géométrique de raison \mathrm{e}^{-j\varphi} :

   \begin{aligned} \underline{s}(M) &= \sum_{k=0}^{N-1} s_0\,\mathrm{e}^{-j k\varphi} = s_0\,\frac{1 - \mathrm{e}^{-j N\varphi}}{1 - \mathrm{e}^{-j\varphi}} \\ &= s_0\,\frac{\mathrm{e}^{-j N\varphi/2}\left(\mathrm{e}^{j N\varphi/2} - \mathrm{e}^{-j N\varphi/2}\right)}{\mathrm{e}^{-j\varphi/2}\left(\mathrm{e}^{j\varphi/2} - \mathrm{e}^{-j\varphi/2}\right)} = s_0\,\mathrm{e}^{-j(N-1)\varphi/2}\,\frac{\sin\left(N\frac{\varphi}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\varphi}{2}\right)} \end{aligned}

   L'intensité étant proportionnelle au carré du module de l'amplitude (I_0 \propto s_0^2), on obtient :

   \begin{aligned} I(\varphi) = I_0 \left(\frac{\sin\left(N\frac{\varphi}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\varphi}{2}\right)}\right)^2 = N^2 I_0 \left(\frac{\sin\left(N\frac{\varphi}{2}\right)}{N\sin\left(\frac{\varphi}{2}\right)}\right)^2 \end{aligned}

   \boxed{I(\varphi) = N^2 I_0 \left(\frac{\sin N\frac{\varphi}{2}}{N\sin\frac{\varphi}{2}}\right)^2 = N^2 I_0 f(\varphi)^2}

   c) Zéros et maxima de la fonction intensité

   • Annulation du numérateur : Le numérateur s'annule lorsque :

     \sin\left(N\frac{\varphi}{2}\right) = 0 \iff N\frac{\varphi}{2} = p\pi \iff \varphi = \frac{2p\pi}{N}, \quad p \in \mathbb{Z}

   • Maxima principaux d'intensité : Lorsque le dénominateur s'annule également, c'est-à-dire pour \sin(\varphi/2) = 0, soit \varphi = 2m\pi avec m \in \mathbb{Z} (ce qui correspond à p = mN) :

     \lim_{\varphi \to 2m\pi} \frac{\sin(N\varphi/2)}{\sin(\varphi/2)} = \pm N \implies I(2m\pi) = N^2 I_0

     Les maxima principaux d'intensité sont donc obtenus pour :

     \boxed{\varphi_{\max} = 2m\pi, \quad m \in \mathbb{Z}}

   • Zéros d'intensité : Les zéros d'intensité correspondent aux zéros du numérateur qui ne sont pas des zéros du dénominateur, c'est-à-dire pour p non multiple de N :

     \boxed{\varphi_{\text{zéro}} = \frac{2p\pi}{N}, \quad p \in \mathbb{Z} \setminus N\mathbb{Z}}

   • Nombre de zéros entre deux maxima successifs : Entre le maximum d'ordre m=0 (\varphi=0) et le maximum d'ordre m=1 (\varphi=2\pi), l'entier p prend les valeurs 1, 2, \dots, N-1. Il existe donc :

     \boxed{N-1 \text{ zéros d'intensité entre deux maxima successifs}}

   d) Rapport d'intensité H

   L'intensité d'une frange principale la plus brillante vaut I_{\max} = N^2 I_0, alors qu'une fente seule produit au même point l'intensité I_0. Le rapport demandé vaut donc :

   \boxed{H = \frac{I_{\max}}{I_0} = N^2}

   e) Largeur \delta\varphi des franges brillantes

   La largeur d'une frange brillante principale est classiquement définie par l'écart angulaire en phase entre les deux premiers zéros d'intensité qui l'encadrent (autour de \varphi=0, ces zéros sont en \varphi = \pm \frac{2\pi}{N}) :

   \delta\varphi = \frac{2\pi}{N} - \left(-\frac{2\pi}{N}\right) = \frac{4\pi}{N}

   \boxed{\delta\varphi = \frac{4\pi}{N}}

   (Remarque : si l'on définit la demi-largeur au premier zéro, on obtient \delta\varphi/2 = \frac{2\pi}{N}.)

   f) Commentaire et généralisation de la question Q9.e

   À la question Q9.e, le passage de N=2 à N=3 fentes montrait un rehaussement de la brillance (I_{\max} = 9I_0 au lieu de 4I_0) et un rétrécissement des franges. Pour N fentes quelconques :

   • La brillance de crête des maxima principaux varie en N^2 : la lumière est fortement concentrée.
   • La largeur des pics varie en 1/N : plus N est grand, plus les franges d'interférence sont fines et piquées.

   Pour un réseau comportant plusieurs milliers de traits (N \gg 1), les franges brillantes deviennent des raies spectrales extrêmement lumineuses et étroites, séparées par de larges plages sombres, ce qui confère au réseau un pouvoir de résolution spectral exceptionnel.

   Résultat

   $$I(\phi )=N^2{I}_0{\left(\frac{\sin N\frac{\phi }{2}}{N\sin \frac{\phi }{2}}\right)}^2=N^2{I}_{0}f(\phi {)}^2$$

   $${\phi }_{\max }=2m\pi ,m\in \mathbb{Z}$$

   $${\phi }_{\text{zeˊro}}=\frac{2p\pi }{N},p\in \mathbb{Z}\setminus N\mathbb{Z}$$

   $$N-1\text{ zeˊros d’intensiteˊ entre deux maxima successifs}$$

   $$H=\frac{I_{\max }}{I_0}=N^2$$

   $$\delta \phi =\frac{4\pi }{N}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4CCINP Physique MP 2024, Q20

   1. Formule de De Broglie et longueur d'onde associée :

      D'après l'hypothèse de Louis de Broglie (1924), à toute particule matérielle possédant une quantité de mouvement p est associée une onde de matière de longueur d'onde :

      \lambda = \frac{h}{p}

      Considérons un électron de masse m et de charge -e, initialement au repos, accéléré par une différence de potentiel U. Le théorème de l'énergie cinétique donne l'énergie cinétique acquise :

      E_c = e U

      Cette énergie (E_c = 100\text{ eV}) étant très inférieure à l'énergie de masse de l'électron (m c^2 \approx 511\text{ keV}), un traitement non relativiste est pleinement justifié :

      E_c = \frac{p^2}{2m} \implies p = \sqrt{2m E_c} = \sqrt{2m e U}

      La longueur d'onde associée au faisceau d'électrons s'exprime donc par :

      \boxed{\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m e U}}}

      Application numérique :

      \begin{aligned} h &= 6,63 \cdot 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s} \\ m &= 9,11 \cdot 10^{-31}\text{ kg} \\ e &= 1,6 \cdot 10^{-19}\text{ C} \\ U &= 100\text{ V} \end{aligned}
      \begin{aligned} p &= \sqrt{2 \times 9,11 \cdot 10^{-31} \times 1,6 \cdot 10^{-19} \times 100} \approx 5,40 \cdot 10^{-24}\text{ kg}\cdot\text{m}\cdot\text{s}^{-1} \\ \lambda &= \frac{6,63 \cdot 10^{-34}}{5,40 \cdot 10^{-24}} \approx 1,23 \cdot 10^{-10}\text{ m} \end{aligned}
      \boxed{\lambda \approx 0,123\text{ nm} = 1,23\text{ \AA}}

   2. Pouvoir de résolution comparé :

      La résolution spatiale ultime d'un instrument d'optique est limitée par le phénomène de diffraction. D'après le critère de Rayleigh (ou la limite d'Abbe), le plus petit détail résoluble d_{\min} est proportionnel à la longueur d'onde utilisée :

      d_{\min} \sim \frac{\lambda}{2\,\text{O.N.}}

      où \text{O.N.} est l'ouverture numérique du système optique.

      • Pour un microscope optique conventionnel fonctionnant dans le domaine visible, \lambda_{\text{opt}} \sim 400\text{ à }700\text{ nm}, ce qui limite la résolution spatiale à environ 0,2\ \mu\text{m}.
      • Pour un microscope électronique, les électrons accélérés sous des tensions de quelques dizaines de volts à quelques centaines de kilovolts possèdent des longueurs d'onde de De Broglie \lambda_e de l'ordre de 10^{-10}\text{ m} (ici \lambda \approx 0,12\text{ nm}) voire 10^{-12}\text{ m} (quelques picomètres en microscopie électronique en transmission).

      La longueur d'onde associée aux électrons étant de trois à cinq ordres de grandeur plus courte que celle des photons visibles, la limite de diffraction est considérablement repoussée, conférant au microscope électronique un pouvoir de résolution bien supérieur (pouvant atteindre l'échelle atomique).

   Résultat

   $$\lambda =\frac{h}{\sqrt{2meU}}$$

   $$\lambda \approx 0,123\text{ nm}=1,23\text{ A˚}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5CentraleSupélec Physique-Chimie 2 MP 2024, Q40

   Considérons deux fentes consécutives du réseau G, séparées d'une distance a, éclairées en incidence normale par le faisceau moléculaire incident. Les ondes de de Broglie associées aux molécules sont alors émises en phase au niveau de chaque fente.

   Dans une direction repérée par l'angle \theta par rapport à la normale au plan du réseau, la différence de marche \delta entre les ondes issues de deux fentes successives s'écrit géométriquement :

   \delta = a \sin\theta

   Le déphasage correspondant entre ces deux ondes vaut :

   \Delta\phi = \frac{2\pi}{\lambda_B} \delta = \frac{2\pi}{\lambda_B} a \sin\theta

   Les interférences entre les ondes issues des différentes fentes du réseau sont constructives lorsque toutes les contributions interfèrent en phase, c'est-à-dire lorsque le déphasage est un multiple entier de 2\pi (\Delta\phi = 2k\pi), ce qui équivaut à :

   \delta = k \lambda_B \quad (k \in \mathbb{Z})

   On en déduit que les directions d'interférences constructives \theta_k vérifient la relation des réseaux :

   \boxed{a \sin\theta_k = k \lambda_B \quad (k \in \mathbb{Z})}

   En mécanique quantique, l'amplitude de l'onde de matière totale superposée détermine la fonction d'onde \psi sur le détecteur. La densité volumique (ou surfacique) de probabilité de présence des molécules étant donnée par |\psi|^2, les interférences constructives se traduisent directement par des maxima de probabilité d'impact des molécules sur l'écran, ce qui engendre les franges observées.

   Résultat

   $$a\sin {\theta }_k=k{\lambda }_B(k\in \mathbb{Z})$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6E3A Physique-Chimie MP 2023, Q29

   Considérons deux rayons parallèles incidents sous l'angle de rasance \theta par rapport aux plans cristallins séparés d'une distance a. Le milieu étant l'air ou le vide, l'indice optique vaut n = 1.

   Soit A_1 le centre diffuseur sur le premier plan et A_2 le centre diffuseur correspondant sur le second plan, situé sur la normale aux plans passant par A_1 (A_1A_2 = a).

   • Le plan d'onde incident passant par A_1 est perpendiculaire aux rayons incidents et coupe le rayon incident 2 au point H_1 ;
   • Le plan d'onde émergent passant par A_1 est perpendiculaire aux rayons diffractés et coupe le rayon émergent 2 au point H_2.

   Dans les triangles rectangles A_1 H_1 A_2 et A_1 H_2 A_2, l'angle \widehat{A_1 A_2 H_1} = \widehat{A_1 A_2 H_2} = \theta. On en déduit :

   H_1 A_2 = A_2 H_2 = a \sin\theta

   La différence de marche \delta = (L_2 - L_1) entre le rayon 2 et le rayon 1 s'écrit donc :

   \delta = H_1 A_2 + A_2 H_2

   \boxed{\delta = 2a \sin\theta}

   Le retard spatial \delta du rayon 2 se traduit par un déphasage \Delta\varphi(M) = \varphi_2(M) - \varphi_1(M) donné par :

   \Delta\varphi(M) = \frac{2\pi}{\lambda}\,\delta

   \boxed{\Delta\varphi(M) = \frac{4\pi a \sin\theta}{\lambda}}

   Résultat

   $$\delta =2a\sin \theta$$

   $$\Delta \phi (M)=\frac{4\pi a\sin \theta }{\lambda }$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7E3A Physique-Chimie MP 2023, Q32

   Puisque les rayons émergents interfèrent à l'infini dans une direction repérée par l'angle \theta, l'observation sur un écran placé à distance finie nécessite un montage d'optique de Fraunhofer (interférences à l'infini) :

   1. Collimation du faisceau incident : Pour éclairer l'échantillon par une onde plane (rayons parallèles), on place une source ponctuelle monochromatique S au foyer principal objet d'une première lentille mince convergente L_1 de distance focale f'_1 :

      S \equiv F_1

      (Dans le cas d'une source laser, cette lentille n'est pas indispensable car le faisceau est naturellement quasi-parallèle).

   2. Échantillon diffractant : L'échantillon (ou réseau diffractant) est placé dans le faisceau parallèle issu de L_1.

   3. Observation à l'infini (projection) : On place après l'échantillon une seconde lentille mince convergente L_2 de distance focale image f'_2. L'écran d'observation (E) est placé rigoureusement dans le plan focal image de cette lentille :

      (E) \equiv \mathcal{P}'_{f,2} \quad (\text{soit } O_2E = f'_2)

      D'après les lois de l'optique géométrique, un faisceau de rayons parallèles émergeant de l'échantillon avec l'angle de diffraction \theta converge en un point unique M du plan focal image de L_2, situé à la distance x \approx f'_2 \theta du foyer principal image F'_2.

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8CCINP Physique-Chimie MP 2022, Q12

   a) Formule des réseaux et rôle du nombre d'antennes

   Considérons un réseau de sources ponctuelles identiques, synchrones et en phase, alignées le long d'un axe z avec un pas spatial d. Dans l'approximation de Fraunhofer (observation à l'infini ou à grande distance par rapport aux dimensions du réseau), les rayons émis vers le récepteur dans une direction faisant un angle \theta avec l'axe z (figure 7) sont parallèles.

   La différence de marche entre deux antennes consécutives O_n et O_{n+1} séparées de \vec{O_n O_{n+1}} = d\,\vec{e}_z s'écrit :

   \delta = \vec{O_n O_{n+1}} \cdot \vec{u} = d \cos\theta

   Le déphasage correspondant entre deux ondes consécutives est :

   \Delta\varphi = \frac{2\pi}{\lambda}\delta = \frac{2\pi d}{\lambda}\cos\theta

   Les interférences sont constructives lorsque toutes les ondes arrivent en phase, soit \Delta\varphi = 2p\pi avec p \in \mathbb{Z}. On obtient ainsi la formule des réseaux :

   \boxed{d \cos\theta = p\lambda \quad (p \in \mathbb{Z})}

   Avantages d'un très grand nombre N d'antennes :

   • Directivité accrue : la largeur angulaire du lobe principal est inversement proportionnelle à la taille totale du réseau (\Delta\theta \sim \frac{\lambda}{N d}), ce qui permet de focaliser l'onde émise dans une direction spatiale extrêmement précise.
   • Gain en puissance : dans la direction de pointage, les amplitudes s'ajoutent en phase (s_{\text{tot}} = N s_0), si bien que l'intensité maximale est multipliée par N^2 (I_{\max} = N^2 I_0), concentrant l'énergie vers la cible et limitant les pertes dans les autres directions.

   b) Comparaison des intensités pour 1 et 4 antennes

   Pour une antenne unique isolée, le signal reçu est s_1(t) = s_0 \exp(i\omega t) (à un facteur de propagation commun près), d'où une intensité :

   I_1 = |s_0|^2 = I_0

   Pour N = 4 antennes émettant en phase, le signal résultant s'écrit :

   s_{\text{tot}}(t) = \sum_{n=0}^{3} s_0 \exp\big(i(\omega t - n\Delta\varphi)\big) = s_0 \exp(i\omega t) \sum_{n=0}^{3} \exp(-i n\Delta\varphi)

   En sommant cette suite géométrique de raison e^{-i\Delta\varphi} et en factorisant par l'angle moitié :

   \begin{aligned} \sum_{n=0}^{3} e^{-i n\Delta\varphi} &= \frac{1 - e^{-4i\Delta\varphi}}{1 - e^{-i\Delta\varphi}} = \frac{e^{-2i\Delta\varphi}(e^{2i\Delta\varphi} - e^{-2i\Delta\varphi})}{e^{-i\Delta\varphi/2}(e^{i\Delta\varphi/2} - e^{-i\Delta\varphi/2})} \\ &= e^{-i\frac{3}{2}\Delta\varphi}\,\frac{\sin(2\Delta\varphi)}{\sin(\Delta\varphi/2)} \end{aligned}

   En posant u = \frac{\Delta\varphi}{2} = \frac{\pi d}{\lambda}\cos\theta, l'intensité totale est donnée par :

   I_4(\theta) = I_0 \left(\frac{\sin(4u)}{\sin u}\right)^2

   Pour un pas d = \frac{\lambda}{2}, on a u = \frac{\pi}{2}\cos\theta. Au voisinage de \theta = \frac{\pi}{2}, on a \cos\theta \to 0, donc u \to 0. D'après l'indication du sujet, \lim_{u\to 0}\frac{\sin 4u}{\sin u} = 4. L'intensité au centre du faisceau vaut donc :

   \boxed{I_4\left(\frac{\pi}{2}\right) = 16\,I_0 = 16\,I_1}

   L'intensité dans la direction perpendiculaire à l'axe du réseau est 16 fois supérieure à celle produite par une antenne seule.

   Recherche d'autres maxima d'intensité :

   • Pour obtenir un autre maximum principal (pour lequel \left|\frac{\sin 4u}{\sin u}\right| = 4), il faudrait que u = p\pi avec p \in \mathbb{Z}^*. Cela impose :

     \frac{\pi}{2}\cos\theta = p\pi \implies \cos\theta = 2p

     Pour |p| \ge 1, |2p| \ge 2 > 1, ce qui est impossible car |\cos\theta| \le 1. Il n'existe donc aucun autre maximum principal.

   • Il existe uniquement des maxima secondaires d'intensité très faible. Le premier zéro du lobe principal a lieu pour 4u = \pm\pi \implies \cos\theta = \pm \frac{1}{2} (\theta = \frac{\pi}{3} ou \frac{2\pi}{3}). Le maximum secondaire situé vers u \approx \frac{3\pi}{8} présente une intensité :

     I_{\text{sec}} \approx \frac{I_0}{\sin^2(3\pi/8)} \approx 1{,}17\,I_0 \ll 16\,I_0

   Commentaire : le choix de la distance inter-éléments d = \frac{\lambda}{2} est une règle fondamentale dans la conception des réseaux d'antennes. Elle assure l'absence de lobes de réseau (grating lobes), c'est-à-dire de directions parasites où la totalité de la puissance constructive serait rayonnée, garantissant ainsi une émission univoque et hautement directive vers le satellite.

   Résultat

   $$d\cos \theta =p\lambda (p\in \mathbb{Z})$$

   $$I_4\left(\frac{\pi }{2}\right)=16I_0=16I_1$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9CentraleSupélec Physique-Chimie 2 MP 2021, Q26

   Pour l'ordre p = 1, la position angulaire du pic d'intensité lumineuse pour la longueur d'onde \lambda est donnée par la relation du réseau (question Q23) :

   a\sin\theta_1 = \lambda

   Pour la longueur d'onde voisine \lambda', on a de même :

   a\sin\theta'_1 = \lambda'

   Comme \lambda' est très proche de \lambda, l'écart \theta'_1 - \theta_1 est très faible. Par différenciation de la relation du réseau à \lambda fixé :

   a\cos\theta_1\,\mathrm{d}\theta_1 = \mathrm{d}\lambda

   On en déduit au premier ordre la relation liant l'écart angulaire à l'écart en longueur d'onde :

   |\theta'_1 - \theta_1| \approx \frac{|\lambda' - \lambda|}{a\cos\theta_1}

   D'après la question Q25, la demi-largeur angulaire du pic d'intensité vaut :

   \Delta\theta = \frac{\lambda}{Na\cos\theta_1}

   Le critère de séparation |\theta'_1 - \theta_1| \ge \Delta\theta (critère de Rayleigh) s'écrit donc :

   \begin{aligned} \frac{|\lambda' - \lambda|}{a\cos\theta_1} &\ge \frac{\lambda}{Na\cos\theta_1} \\ |\lambda' - \lambda| &\ge \frac{\lambda}{N} \end{aligned}

   La résolution du dispositif, définie à la question Q21 comme le plus petit écart en longueur d'onde \Delta\lambda_{\min} = |\lambda' - \lambda|_{\min} séparable, s'exprime ainsi :

   \boxed{\Delta\lambda_{\min} = \frac{\lambda}{N}}

   Résultat

   $$\Delta {\lambda }_{\min }=\frac{\lambda }{N}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10X-ENS Physique MP 2020, Q7

    L'écran opaque percé de l'ouverture (\mathcal{O}) est éclairé sous incidence normale par une onde plane d'amplitude E_0. Dans le plan z=0, le champ transmis est modélisé par :

    \underline{E}(x, z=0) = \begin{cases} E_0 & \text{si } |x| \leqslant \dfrac{W_0}{2}, \\[6pt] 0 & \text{si } |x| > \dfrac{W_0}{2}. \end{cases}

    D'après le résultat de la question 5 (formule (11)), l'amplitude spectrale \underline{A}(\alpha) s'obtient par transformée de Fourier spatiale :

    \begin{aligned} \underline{A}(\alpha) &= \int_{-\infty}^{+\infty} \underline{E}(x, z=0) \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\alpha x}\,\mathrm{d}x \\ &= \int_{-W_0/2}^{W_0/2} E_0 \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\alpha x}\,\mathrm{d}x. \end{aligned}

    Pour \alpha \neq 0 :

    \begin{aligned} \underline{A}(\alpha) &= E_0 \left[ \frac{\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\alpha x}}{-\mathrm{i}\alpha} \right]_{-W_0/2}^{W_0/2} \\ &= E_0 \, \frac{\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\alpha W_0 / 2} - \mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha W_0 / 2}}{-\mathrm{i}\alpha} \\ &= 2 E_0 \, \frac{\sin\left(\dfrac{\alpha W_0}{2}\right)}{\alpha} \\ &= E_0 W_0 \, \frac{\sin\left(\dfrac{\alpha W_0}{2}\right)}{\dfrac{\alpha W_0}{2}}. \end{aligned}

    Pour \alpha = 0, la limite redonne \underline{A}(0) = E_0 W_0. En introduisant la fonction sinus cardinal normalisée par \operatorname{sinc}(u) = \dfrac{\sin u}{u}, on obtient :

    \boxed{\underline{A}(\alpha) = E_0 W_0 \, \operatorname{sinc}\left(\frac{\alpha W_0}{2}\right)}

    La grandeur \underline{A}(\alpha) est réelle. Ses caractéristiques principales sont :

    • Une parité paire : \underline{A}(-\alpha) = \underline{A}(\alpha) ;
    • Un maximum global en \alpha = 0 : \underline{A}(0) = E_0 W_0 ;

    • Des annulations pour \dfrac{\alpha W_0}{2} = m\pi, c'est-à-dire :

      \alpha_m = m \, \frac{2\pi}{W_0}, \quad m \in \mathbb{Z}^*.

    Résultat

    $$\underline{A}(\alpha )=E_0{W}_0\mathrm{sinc}\left(\frac{\alpha W_0}{2}\right)$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question