Corrigé détaillé Centrale Physique-Chimie 2 MP 2021

La configuration électronique fondamentale du plutonium (Z = 94) est :

1. Place dans la classification périodique :

• Le nombre quantique principal maximal est n = 7, donc le plutonium appartient à la 7e période.
• La sous-couche en cours de remplissage est une sous-couche f (incomplètement remplie avec 6 électrons sur 14), le plutonium appartient donc au bloc f (famille des actinides).

2. Électrons de cœur et de valence :

• Les électrons de cœur sont les 86 électrons de la configuration du gaz noble précédent, le radon [\mathrm{Rn}].
• Les électrons de valence sont les électrons appartenant à la couche externe ainsi qu'à la sous-couche 5f partiellement remplie, soit les 8 électrons : 5f^6 \, 7s^2.

D'après la configuration électronique établie à la question Q1, la sous-couche 7s est saturée par deux électrons appariés (spins antiparallèles).

La sous-couche 5f correspond au nombre quantique azimutal \ell = 3 et comporte donc 2\ell + 1 = 7 cases quantiques dégénérées en énergie, associées aux valeurs :

D'après la règle de Hund, les 6 électrons de la sous-couche 5f occupent chacun une orbitale distincte avec des spins parallèles afin de maximiser le spin total.

Le plutonium possède donc 6 électrons célibataires à l'état fondamental.

Chacun de ces électrons célibataires est décrit par un quadruplet (n, \ell, m_\ell, m_s) où :

• n est le nombre quantique principal (n = 5 ici) ;
• \ell est le nombre quantique azimutal (ou secondaire) (\ell = 3 pour une sous-couche f) ;
• m_\ell est le nombre quantique magnétique, vérifiant -\ell \leqslant m_\ell \leqslant \ell ;
• m_s est le nombre quantique magnétique de spin, valant \pm 1/2.

On peut ainsi proposer pour l'un des électrons célibataires le quadruplet :

Dénombrons les entités en propre dans la maille cubique pour chacune des deux structures :

Structure A :

• Sphères bleues : situées aux 8 sommets (comptant pour 1/8) et aux centres des 6 faces (comptant pour 1/2) :

  N_{\text{bleu}} = 8 \times \frac{1}{8} + 6 \times \frac{1}{2} = 1 + 3 = 4

• Sphères rouges : situées au centre des 8 sous-cubes (les 8 sites tétraédriques), elles sont entièrement intérieures à la maille :

  N_{\text{rouge}} = 8 \times 1 = 8

Structure B :

• Sphères bleues : de même, réseau cubique à faces centrées :

  N_{\text{bleu}} = 8 \times \frac{1}{8} + 6 \times \frac{1}{2} = 4

• Sphères rouges : occupant la moitié des sites tétraédriques (4 sous-cubes sur 8) :

  N_{\text{rouge}} = 4 \times 1 = 4

L'électroneutralité du cristal \mathrm{Pu}_x\mathrm{O}_y impose :

Le rapport stœchiométrique doit être \dfrac{n(\mathrm{O}^{2-})}{n(\mathrm{Pu}^{4+})} = 2.

• Dans la structure A, le rapport \dfrac{N_{\text{rouge}}}{N_{\text{bleu}}} = \dfrac{8}{4} = 2 correspond parfaitement au solide ionique en identifiant les sphères bleues aux cations \mathrm{Pu}^{4+} et les sphères rouges aux anions \mathrm{O}^{2-}.
• Dans la structure B, le rapport \dfrac{N_{\text{rouge}}}{N_{\text{bleu}}} = \dfrac{4}{4} = 1 conduirait à la formule \mathrm{PuO}, incompatible avec le degré d'oxydation +\text{IV} du plutonium.

Seule la structure A est donc possible.

La formule de cet oxyde est \mathrm{PuO}_2 (dioxyde de plutonium), et le nombre de motifs par maille est :

Dans la structure A (type fluorine) :

• Coordinence de l'ion oxyde \mathrm{O}^{2-} : Chaque ion \mathrm{O}^{2-} occupe le centre de l'un des huit petits sous-cubes d'arête a/2 (site tétraédrique). Il est entouré de quatre cations \mathrm{Pu}^{4+} situés sur des sommets alternés de ce sous-cube, formant les sommets d'un tétraèdre régulier à la distance :

  d = \frac{a\sqrt{3}}{4}

  La coordinence de l'ion \mathrm{O}^{2-} par rapport aux ions \mathrm{Pu}^{4+} est donc égale à 4 (coordinence tétraédrique).

• Coordinence de l'ion plutonium \mathrm{Pu}^{4+} : Considérons un cation \mathrm{Pu}^{4+} placé à un sommet de la maille conventionnelle. Ce sommet est commun à huit sous-cubes adjacents (appartenant aux huit mailles se rejoignant en ce sommet). Chacun de ces sous-cubes contient un anion \mathrm{O}^{2-} en son centre, tous situés à la même distance d = a\sqrt{3}/4. Les huit anions \mathrm{O}^{2-} forment ainsi un cube entourant le cation. Le même raisonnement s'applique aux cations situés aux centres des faces. La coordinence de l'ion \mathrm{Pu}^{4+} par rapport aux ions \mathrm{O}^{2-} est donc égale à 8 (coordinence cubique).

On vérifie bien la relation de stœchiométrie :

On qualifie cette coordinence de type (8,4) ou [8:4].

D'après la question Q3, la maille de \mathrm{PuO}_2 contient en propre Z = 4 motifs. La masse molaire de l'oxyde de plutonium vaut :

La masse volumique s'exprime par le quotient de la masse de la maille par son volume :

On en déduit le paramètre de maille a :

Application numérique :

Dans la structure fluorine, chaque anion \mathrm{O}^{2-} occupe le centre d'un sous-cube d'arête a/2. La tangence anion-cation a lieu entre l'ion oxyde et l'ion plutonium situé à l'un des sommets de ce sous-cube, soit à une distance d = \frac{a\sqrt{3}}{4} :

D'où l'expression du rayon ionique du cation :

Application numérique :

Commentaire : La valeur obtenue (95\text{ pm}) est proche de la valeur tabulée de 86\text{ pm} (écart relatif d'environ 10\,\%) : l'accord est très satisfaisant compte tenu du modèle simplifié des sphères dures indéformables. Cet écart s'explique par deux facteurs principaux :

• la liaison Pu–O n'est pas purement ionique (existence d'une polarisabilité des ions et d'un caractère partiellement covalent) ;
• le rayon tabulé usuel de 86\text{ pm} correspond à une coordinence de référence égale à 6 (octaédrique), alors que dans le réseau de type fluorine \mathrm{PuO}_2, le plutonium présente une coordinence de 8 (cubique), ce qui augmente naturellement son rayon effectif en raison d'une plus forte répulsion stérique entre ligands.

La maille élémentaire contient en propre 4 ions \mathrm{Pu}^{4+} et 8 ions \mathrm{O}^{2-}. En modélisant les ions par des sphères indéformables de rayons respectifs R(\mathrm{Pu}^{4+}) et R(\mathrm{O}^{2-}), le volume total occupé par ces ions au sein de la maille s'écrit :

Le volume de la maille cubique de côté a est V_{\text{maille}} = a^3. La compacité C est donc définie par :

Application numérique :

• Avec les valeurs issues du modèle de tangence établi en Q5 (a = 542{,}3\text{ pm}, R(\mathrm{O}^{2-}) = 140\text{ pm} et R(\mathrm{Pu}^{4+}) \approx 95\text{ pm}) :

  \begin{aligned} V_{\text{occupé}} &= \frac{16\pi}{3}\left((95 \times 10^{-12})^3 + 2 \times (140 \times 10^{-12})^3\right) \approx 1{,}06 \times 10^{-28}\text{ m}^3 \\ V_{\text{maille}} &= (542{,}3 \times 10^{-12})^3 \approx 1{,}59 \times 10^{-28}\text{ m}^3 \\ C &= \frac{1{,}06 \times 10^{-28}}{1{,}59 \times 10^{-28}} \approx 0{,}67 = 67\,\% \end{aligned}

• Si l'on utilise la valeur tabulée de la littérature (R(\mathrm{Pu}^{4+}) = 86\text{ pm}) :

  C = \frac{16\pi}{3 \times (542{,}3 \times 10^{-12})^3}\left((86 \times 10^{-12})^3 + 2 \times (140 \times 10^{-12})^3\right) \approx 0{,}64 = 64\,\%

Commentaire : La compacité obtenue (environ 65\text{ à }67\,\%) est significativement inférieure à celle d'un empilement compact de sphères dures identiques (C_{\text{max}} = \frac{\pi}{3\sqrt{2}} \approx 74\,\% pour un réseau cfc ou hc). Ce résultat est tout à fait cohérent pour un cristal ionique :

• la différence importante de taille entre les anions et les cations,
• l'occupation des seuls sites tétraédriques par les anions \mathrm{O}^{2-},
• et les répulsions électrostatiques entre ions de même signe interdisant un contact direct de tous les ions entre eux,

limitent le taux de remplissage de l'espace.

L'enthalpie libre standard de réaction est liée à la constante d'équilibre K^\circ(T) par la relation :

En supposant \Delta_r H^\circ et \Delta_r S^\circ indépendantes de la température (approximation d'Ellingham), on obtient :

Soit, en utilisant le logarithme décimal \log_{10}(x) = \frac{\ln(x)}{\ln 10} :

Le tracé de \log_{10} K^\circ en fonction de 1/T est une droite affine de pente p = -\frac{\Delta_r H^\circ}{R \ln 10}.

Sur la figure 4, relevons deux points le long de l'alignement :

• Pour 1/T_1 = 1{,}00 \times 10^{-3}\text{ K}^{-1} (T_1 = 1000\text{ K}) : \log_{10} K^\circ_1 \approx -0{,}35 (soit K^\circ_1 \approx 0{,}45) ;
• Pour 1/T_2 = 2{,}00 \times 10^{-3}\text{ K}^{-1} (T_2 = 500\text{ K}) : \log_{10} K^\circ_2 \approx -6{,}95 (soit K^\circ_2 \approx 1{,}1 \times 10^{-7}).

La pente vaut :

On en déduit l'enthalpie standard de réaction :

Puisque \Delta_r H^\circ > 0, la réaction de déshydrogénation de l'éthylbenzène est endothermique.

L'entropie standard de réaction se déduit par exemple au point 1 :

Prévision qualitative du signe de \Delta_r S^\circ : L'équation de la réaction en phase gazeuse s'écrit :

La variation de la stœchiométrie gazeuse vaut :

L'état final comporte davantage de molécules de gaz que l'état initial (une mole de gaz formée net), ce qui se traduit par une augmentation importante du désordre moléculaire (degrés de liberté de translation). On pouvait donc prévoir sans calcul que \Delta_r S^\circ > 0.

La réaction de déshydrogénation s'écrit en phase gazeuse :

La variation du nombre de moles de gaz pour un avancement unitaire vaut :

En assimilant le mélange réactionnel à un mélange idéal de gaz parfaits, les pressions partielles s'expriment par P_i = x_i P, où x_i est la fraction molaire du constituant i et P la pression totale. Le quotient de réaction s'écrit alors :

Initialement, le système est à l'équilibre chimique à la température T, donc Q_r = K^\circ(T).

Une augmentation de pression (P > P_{\text{ini}}) effectuée à température constante (K^\circ(T) inchangée) et à composition constante (fractions molaires x_i inchangées) entraîne, du fait que \Delta_r \nu_{\text{g}} = +1 > 0 :

Le système évolue spontanément dans le sens qui tend à faire diminuer Q_r, c'est-à-dire dans le sens indirect (formation d'éthylbenzène E, sens 2).

La sensibilité de la constante d'équilibre K^\circ(T) à la température est régie par la relation de van 't Hoff :

D'après la question Q7, la déshydrogénation de l'éthylbenzène est endothermique :

La constante d'équilibre K^\circ(T) est donc une fonction strictement croissante de la température.

Le quotient de réaction s'exprime, pour ce mélange gazeux assimilé à des gaz parfaits, par :

À pression et composition fixées, une augmentation de température de T_1 à T_2 > T_1 ne modifie pas le quotient de réaction, qui reste égal à sa valeur d'équilibre initiale :

Comme K^\circ(T_2) > K^\circ(T_1), on a immédiatement à la nouvelle température :

Le système évolue donc spontanément dans le sens direct pour rétablir l'équilibre.

Conformément à la loi de modération de Le Chatelier (règle de van 't Hoff), une augmentation de température à pression constante déplace l'équilibre dans le sens de la réaction endothermique :

• Température élevée (T \approx 650\text{ }^\circ\text{C}) :

  • Aspect thermodynamique : d'après les questions Q7 et Q9, la réaction de déshydrogénation est endothermique (\Delta_r H^\circ > 0). Selon la loi de van 't Hoff, une élévation de température augmente la constante d'équilibre K^\circ(T) et déplace l'équilibre dans le sens direct. À 650\text{ }^\circ\text{C} (T \approx 923\text{ K}, soit 1/T \approx 1{,}08 \times 10^{-3}\text{ K}^{-1}), la figure 4 indique K^\circ \approx 0{,}2, ce qui permet d'atteindre un taux de conversion économiquement rentable.
  • Aspect cinétique : selon la loi d'Arrhenius, une température élevée augmente considérablement la vitesse de réaction.
  • Compromis : la température est limitée à environ 650\text{ }^\circ\text{C} pour éviter le craquage thermique parasite de l'éthylbenzène et la polymérisation prématurée du styrène formé.

• Pression modérée (P \approx 1\text{ bar}) :

  • D'après la question Q8, la réaction s'accompagne d'une création de moles de gaz (\Delta_r \nu_{\text{g}} = +1). Une basse pression favorise donc la formation de styrène. Travailler à pression atmosphérique permet de bénéficier d'un bon déplacement d'équilibre sans nécessiter d'installation sous vide poussé, techniquement complexe et coûteuse.

• Présence de vapeur d'eau en large excès :

  • Effet de dilution (thermodynamique) : la vapeur d'eau agit comme un gaz inerte vis-à-vis de l'équilibre principal. À pression totale fixée, l'augmentation de la quantité de matière totale gazeuse diminue les pressions partielles des réactifs et des produits, ce qui abaisse le quotient de réaction Q_r et déplace l'équilibre dans le sens direct (gain de conversion).
  • Apport thermique : la réaction étant fortement endothermique, la vapeur d'eau surchauffée, grâce à sa capacité thermique élevée, apporte les calories nécessaires et limite la chute de température au sein du réacteur.
  • Protection du catalyseur : la vapeur d'eau élimine les dépôts charbonneux (coke) qui désactivent le catalyseur, en réagissant avec le carbone formé par pyrolyse selon la réaction de gazéification (\mathrm{C}_{(\text{s})} + \mathrm{H}_2\mathrm{O}_{(\text{g})} = \mathrm{CO}_{(\text{g})} + \mathrm{H}_{2(\text{g})}).
  • Séparation aisée : en sortie de réacteur, l'eau se condense facilement par refroidissement, permettant de séparer le styrène par simple décantation.

• Catalyseur à base d'oxydes de fer :

  • Il augmente la vitesse de déshydrogénation en abaissant l'énergie d'activation, ce qui permet d'atteindre rapidement l'état d'équilibre thermodynamique.
  • Il améliore la sélectivité en favorisant la déshydrogénation au détriment des réactions parasites (désalkylation en benzène ou toluène).

D'après le texte introductif, l'échange selon le formalisme de Vanselow entre un ion A^{z_A} sur la résine et un contre-ion B^{z_B} en solution s'écrit :

Dans le cas présent :

• l'ion initialement présent sur la résine échangeuse de cations est le proton \mathrm{H}^+, de charge z_A = 1 ;
• le contre-ion introduit avec la solution de soude est le cation sodium \mathrm{Na}^+, de charge z_B = 1.

L'équation bilan traduisant l'échange s'écrit donc :

Le titrage réalisé est un titrage acido-basique en retour. La solution titrée prélevée contient les ions hydroxyde \mathrm{HO}^-_{(\text{aq})} en excès non consommés par la résine, ainsi que les contre-ions spectateurs \mathrm{Na}^+_{(\text{aq})}. La solution titrante d'acide chlorhydrique apporte des ions oxonium \mathrm{H}_3\mathrm{O}^+_{(\text{aq})} et des ions chlorure spectateurs \mathrm{Cl}^-_{(\text{aq})}.

L'équation de la réaction support du titrage s'écrit :

1. Identification des capteurs de la figure 6 :

• Capteur 1 : Électrode combinée de pH (à corps protecteur en plastique). Elle réunit en un seul corps une électrode de verre indicatrice et une électrode de référence.
• Capteur 2 : Électrode au calomel saturé (ECS). C'est une électrode de référence dont le potentiel est fixé et indépendant du milieu (E_{\text{ECS}} \approx 0{,}244\text{ V} à 25\text{ }^\circ\text{C}).
• Capteur 3 : Cellule de conductimétrie (constituée de deux plaques de platine platiné parallèles), dédiée aux mesures de conductivité.
• Capteur 4 : Électrode de verre (ou électrode combinée tout en verre). Il s'agit d'une électrode indicatrice de pH dont la fine membrane de verre développe un potentiel fonction de l'activité des ions \mathrm{H}_3\mathrm{O}^+.

2. Choix et rôle des capteurs pour le titrage pH-métrique : Le suivi demandé est pH-métrique. Deux options sont possibles :

• Option 1 (la plus usuelle) : Utiliser uniquement l'électrode combinée de pH (capteur 1), reliée à un pH-mètre. Elle assure à la fois la mesure du potentiel indicateur et la référence, permettant de mesurer directement la différence de potentiel proportionnelle au \mathrm{pH} selon la loi de Nernst :

  \Delta E = E_{\text{ind}} - E_{\text{réf}} = \text{cste} - \frac{RT\ln 10}{F}\mathrm{pH}
• Option 2 : Utiliser l'électrode au calomel saturé (capteur 2) comme électrode de référence (fournit un potentiel invariant) associée à l'électrode de verre (capteur 4) comme électrode indicatrice (mesure de l'activité des ions \mathrm{H}^+).

3. Verrerie et montage expérimental :

• Prélèvement : une pipette jaugée de 50{,}0\text{ mL} (munie d'une pro-pipette) pour introduire avec précision le volume V_0 = 50{,}0\text{ mL} de filtrat dans un bécher de titrage (forme haute, typiquement 150 ou 250\text{ mL}).
• Burette graduée : une burette de 25\text{ mL} (préalablement rincée à l'eau distillée puis avec la solution titrante d'acide chlorhydrique à C_1 = 0{,}10\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1}, et ajustée au zéro) fixée au-dessus du bécher.
• Agitation et immersion : le bécher est placé sur un agitateur magnétique muni d'un barreau aimanté. On peut ajouter de l'eau distillée (sans modifier la quantité de matière de \mathrm{HO}^- prélevée) afin d'assurer l'immersion complète de la membrane de verre et du poreux sans que le barreau ne heurte l'électrode.
• Étalonnage préalable : le pH-mètre est étalonné à l'aide de deux solutions tampons (par exemple de pH 7,00 et 10,00, la solution à titrer étant initialement basique).

D'après l'équation de la réaction support de titrage établie en Q12 :

À l'équivalence du titrage de la prise d'essai de volume V_0, les réactifs ont été introduits dans les proportions stœchiométriques. La quantité d'ions hydroxyde présente dans ce volume V_0 vaut :

La solution surnageante étant homogène, la concentration effective en ions hydroxyde restant après échange est :

La quantité totale d'ions hydroxyde restant dans le volume initial V s'exprime donc par :

Application numérique : D'après la figure 5, le volume équivalent est V_{\text{eq}} = 6,7\text{ mL}. Avec C_1 = 0,10\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1}, V = 100,0\text{ mL} et V_0 = 50,0\text{ mL}, on a :

En conservant deux chiffres significatifs (en accord avec la précision sur V_{\text{eq}}) :

Lorsqu'un seul mesurage est réalisé, on ne dispose pas d'une série statistique de valeurs expérimentales. On procède donc à une évaluation de type B de l'incertitude.

Cette démarche consiste à estimer l'incertitude-type à partir de sources d'informations préalables indépendantes d'une analyse statistique répétée : tolérance du constructeur (classe de la verrerie), incertitude de lecture du manipulateur, certificats d'étalonnage, ou encore modélisation physique des phénomènes parasites.

Concernant le prélèvement du volume V_0 à l'aide d'une pipette jaugée à deux traits, plusieurs sources d'incertitude peuvent être identifiées :

• La tolérance de fabrication de la pipette : indiquée par le fabricant (\pm 0{,}1\text{ mL}), elle rend compte de la précision intrinsèque de la verrerie jaugée ;
• L'erreur de visée et d'ajustement du ménisque : avec une pipette à deux traits, l'ajustement du bas du ménisque doit être réalisé à deux reprises (au trait supérieur puis au trait inférieur), ce qui introduit deux erreurs de parallaxe et de repérage visuel ;
• L'effet de la température : les instruments jaugés sont généralement étalonnés à 20\text{ }^\circ\mathrm{C} ; un écart de température modifie le volume par dilatation thermique du liquide et du verre ;
• Le temps et le mode d'écoulement : une vidange trop rapide ou un égouttement imparfait (rétention d'une goutte sur la paroi externe ou interne) peut modifier le volume réellement délivré.

L'incertitude élargie U(n_{\mathrm{HO}^-,r}) associée à un niveau de confiance de 95\,\% s'obtient à partir de l'incertitude-type u(n_{\mathrm{HO}^-,r}) = 1 \times 10^{-5}\text{ mol} par :

Pour une loi de distribution assimilée à une loi normale et un niveau de confiance de 95\,\%, le facteur d'élargissement vaut k = 2 (ou plus précisément 1{,}96). Ainsi :

D'après la question Q14, la valeur centrale calculée est n_{\mathrm{HO}^-,r} = 1{,}34 \times 10^{-3}\text{ mol}. L'incertitude portant sur le centième de millimole, le nombre de décimales de la valeur centrale est parfaitement en cohérence avec l'incertitude élargie.

Le résultat doit être consigné sous la forme :

D'après l'équation d'échange établie à la question Q11 :

Les ions \mathrm{H}^+ libérés en solution aqueuse réagissent de manière quantitative avec les ions hydroxyde \mathrm{HO}^- apportés par la soude :

L'équation globale du processus de fixation des ions sodium sur la résine s'écrit donc :

La présence de soude en excès consomme intégralement les ions \mathrm{H}^+ libérés et déplace l'équilibre d'échange vers la droite jusqu'à saturation des sites de la résine. La quantité de matière d'ions \mathrm{H}^+ initialement présents sur la masse m de résine humide et échangés est donc égale à la quantité d'ions \mathrm{HO}^- consommés :

En injectant l'expression de n_{\mathrm{HO}^-,r} établie à la question Q14, il vient :

Par définition, la capacité d'échange maximale \mathrm{CE} de la résine est la quantité de matière de contre-ions échangeables par unité de masse de résine humide :

D'où l'expression littérale finale :

Application numérique :

• n_{\mathrm{HO}^-,\text{initial}} = C V = 0{,}025 \text{ mol}\cdot\text{L}^{-1} \times 0{,}1000\text{ L} = 2{,}50 \times 10^{-3}\text{ mol} ;
• n_{\mathrm{HO}^-,r} = 1{,}34 \times 10^{-3}\text{ mol} (d'après la question Q14) ;
• n(\mathrm{H}^+) = 2{,}50 \times 10^{-3} - 1{,}34 \times 10^{-3} = 1{,}16 \times 10^{-3}\text{ mol} ;
• m = 0{,}50\text{ g}.

Avec deux chiffres significatifs (imposés par m = 0{,}50\text{ g} et C = 0{,}025\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1}) :

L'onde incidente étant plane et en incidence normale, les surfaces d'onde sont parallèles au plan des trous : les sources secondaires S_1 et S_2 sont en phase, soit \delta_{\text{amont}} = 0.

La différence de marche au point M s'écrit donc :

Plaçons-nous dans le cadre de l'approximation paraxiale de Gauss (x, y \ll f'). Le point M(x, y, f') étant situé dans le plan focal image de la lentille de centre O, les rayons issus de S_1 et S_2 qui convergent en M sont, en amont de la lentille, parallèles à la direction de la droite (OM).

Le vecteur unitaire \vec{u} de cette direction s'écrit, au premier ordre en x/f' et y/f' :

Par stigmatisme de la lentille entre l'infini et son plan focal, tous les rayons parallèles à la direction \vec{u} présentent le même chemin optique jusqu'à M à partir d'un plan d'onde d'amont \Sigma perpendiculaire à \vec{u}. En projetant la distance entre les deux sources sur la direction de propagation \vec{u} :

avec \vec{r}_1 = \vec{OS}_1 = +\frac{a}{2}\vec{e}_x et \vec{r}_2 = \vec{OS}_2 = -\frac{a}{2}\vec{e}_x, soit \vec{r}_1 - \vec{r}_2 = a\,\vec{e}_x.

On en déduit :

Les deux trous d'Young sont identiques et éclairés en incidence normale par la même onde plane monochromatique : ils constituent deux sources secondaires synchrones, cohérentes et de même intensité I_0.

Le déphasage entre les ondes issues de S_2 et S_1 au point M(x,y) s'écrit, d'après l'expression de la différence de marche \delta(M) = \dfrac{ax}{f'} obtenue à la question Q18 :

La superposition des deux ondes scalaires conduit, par la formule de Fresnel, à l'intensité lumineuse :

En utilisant l'identité 1 + \cos(2u) = 2\cos^2(u), on obtient :

Description de la figure observée sur l'écran :

• L'intensité I(M) ne dépend que de la coordonnée x et est indépendante de y : les franges d'interférence sont des droites rectilignes parallèles à l'axe (Oy), perpendiculaires à l'axe de séparation des deux trous (Ox).
• On observe une alternance périodique de franges brillantes (d'intensité maximale I_{\max} = 4I_0) et de franges sombres (d'intensité minimale I_{\min} = 0), avec un contraste maximal égal à 1.
• En x = 0, la différence de marche est nulle : le centre de l'écran correspond à une frange brillante centrale.

L'interfrange i est la distance séparant deux franges brillantes (ou sombres) consécutives sur l'écran selon l'axe (Ox). D'après l'expression de l'intensité obtenue à la question précédente :

la phase spatiale varie de 2\pi lorsque x varie de l'interfrange i, ce qui conduit à :

Avec les valeurs numériques fournies :

• \lambda = 499{,}3\text{ nm} = 499{,}3 \times 10^{-9}\text{ m} ;
• f' = 20\text{ cm} = 0{,}20\text{ m} ;
• a = 100\text{ }\mu\text{m} = 1{,}00 \times 10^{-4}\text{ m}.

Le calcul donne :

La position sur l'écran du maximum d'intensité d'ordre p pour une longueur d'onde \lambda est donnée par :

Un écart en longueur d'onde \Delta \lambda se traduit par un décalage spatial de ce pic égal à :

Pour \lambda = 499{,}3\text{ nm}, \Delta \lambda = 20\text{ pm} et à l'ordre p = 1, le décalage spatial vaut :

Or, dans un dispositif d'interférences à deux ondes, le profil d'intensité est sinusoïdal (en \cos^2). Les franges d'intensité sont donc très peu piquées : la demi-largeur d'un maximum d'intensité est de l'ordre de la demi-largeur à mi-hauteur, soit :

Le décalage \Delta x_1 \approx 40\text{ nm} est quatre ordres de grandeur inférieur à la largeur de la frange brillante (\Delta x_1 \ll \Delta x_{1/2}).

Considérons deux ouvertures consécutives du réseau, notées S_k et S_{k+1}, distantes de a le long de l'axe (Ox), telles que \vec{S_k S_{k+1}} = a\,\vec{e}_x.

• À l'amont du réseau : l'éclairage s'effectuant sous incidence normale par une onde plane dont le plan d'onde est parallèle au plan du réseau (xOy), les ondes parviennent en phase sur toutes les ouvertures. La différence de marche en amont est donc nulle :

  \delta_{\text{amont}} = 0

• À l'aval du réseau : les ondes émergent dans la direction faisant un angle \theta avec l'axe (Oz) dans le plan (xOz). Le vecteur unitaire directeur de propagation est :

  \vec{u} = \sin\theta\,\vec{e}_x + \cos\theta\,\vec{e}_z

  Le plan d'onde à l'infini étant perpendiculaire à \vec{u}, la différence de marche géométrique entre l'onde issue de S_k et celle issue de S_{k+1} s'écrit par projection sur la direction d'observation :

  \delta = \vec{S_k S_{k+1}} \cdot \vec{u} = (a\,\vec{e}_x) \cdot (\sin\theta\,\vec{e}_x + \cos\theta\,\vec{e}_z) = a\sin\theta

Le déphasage \varphi entre les vibrations lumineuses issues de deux ouvertures consécutives s'en déduit directement :

L'onde résultante en un point situé à l'infini dans la direction \theta est la superposition des ondes issues des N fentes. En prenant la première ouverture comme référence d'amplitude s_0, l'amplitude complexe totale s'écrit :

D'après l'inégalité triangulaire :

Cette borne supérieure est atteinte si et seulement si tous les termes de la somme sont en phase, c'est-à-dire :

L'intensité lumineuse I(\theta) \propto |\underline{s}(\theta)|^2 est alors maximale et vaut I_{\max} = N^2 I_0, où I_0 est l'intensité produite par une ouverture seule. Il s'agit d'un phénomène d'interférences purement constructives entre toutes les ondes émises.

L'entier relatif p est appelé l'ordre d'interférence (ou ordre du pic de diffraction).

D'après le résultat de la question Q22, le déphasage s'exprime par \varphi = \dfrac{2\pi}{\lambda} a \sin\theta. Pour le pic correspondant à p = 1, la condition s'écrit :

D'où l'expression de l'angle d'émergence \theta_1 :

Le réseau comporte n = 1800\text{ mm}^{-1} = 1{,}800 \times 10^6\text{ m}^{-1} ouvertures par unité de longueur. Le pas du réseau vaut donc :

D'après la question Q23, la direction \theta_1 du pic d'ordre p = 1 vérifie :

Avec \lambda = 499{,}3\text{ nm} = 499{,}3 \times 10^{-9}\text{ m} :

Le dispositif de projection décrit en III.A.1 repose sur l'approximation paraxiale (conditions de Gauss) pour laquelle les angles d'incidence et d'émergence sont petits (\theta \ll 1\text{ rad}, permettant d'écrire \sin\theta \approx \tan\theta \approx x/f').

Ici, l'angle d'émergence \theta_1 \approx 64^\circ est très grand :

• les faisceaux diffractés ne traverseraient plus la lentille au voisinage de l'axe optique ni sous faible incidence : de très fortes aberrations géométriques détruiraient la netteté des raies ;
• pour intercepter un faisceau incliné de 64^\circ, il faudrait une lentille de diamètre prohibitif (ouverture numérique proche de 0{,}9) ;
• sur un écran plan perpendiculaire à l'axe optique, la position serait x = f'\tan\theta_1 \approx 20 \times \tan(64^\circ) \approx 41\text{ cm}, ce qui entraînerait une projection rasante et un étalement considérable du faisceau.

Il n'est donc plus envisageable d'utiliser ce dispositif de projection centré. On utilise plutôt un montage à miroir concave ou une rotation du réseau (montage de type Czerny-Turner).

L'amplitude complexe de l'onde résultant de la superposition des ondes issues des N ouvertures, déphasées successivement de \varphi, s'écrit :

L'intensité lumineuse correspondante est donc donnée par :

où I_0 est l'intensité transmise par une fente seule dans cette direction.

Les pics principaux (maxima d'interférence) sont atteints pour \varphi = 2p\pi (p \in \mathbb{Z}).
Autour d'un maximum principal d'ordre p, le numérateur s'annule pour :

L'écart entre le maximum et le premier minimum adjacent (demi-largeur au premier zéro) est donc bien :

D'après la question Q22, le déphasage est relié à l'angle d'émergence \theta par :

En différentiant cette relation au voisinage de la direction \theta_1 :

En égalant avec l'expression de \Delta\varphi, on obtient :

Comme les N ouvertures réparties au pas a occupent une largeur totale \ell \approx N a, il vient :

Application numérique :

• \lambda = 499{,}3\text{ nm} = 499{,}3 \times 10^{-9}\text{ m}
• \ell = 5\text{ cm} = 5 \times 10^{-2}\text{ m} (soit N = \ell / a = 5 \times 10^{-2} \times 1\,800 \times 10^3 = 90\,000 traits)

• D'après la question Q24, \sin\theta_1 = \lambda/a = 0{,}8987, d'où :

  \cos\theta_1 = \sqrt{1 - \sin^2\theta_1} = \sqrt{1 - 0{,}8987^2} \approx 0{,}4385

Pour l'ordre p = 1, la position angulaire du pic d'intensité lumineuse pour la longueur d'onde \lambda est donnée par la relation du réseau (question Q23) :

Pour la longueur d'onde voisine \lambda', on a de même :

Comme \lambda' est très proche de \lambda, l'écart \theta'_1 - \theta_1 est très faible. Par différenciation de la relation du réseau à \lambda fixé :

On en déduit au premier ordre la relation liant l'écart angulaire à l'écart en longueur d'onde :

D'après la question Q25, la demi-largeur angulaire du pic d'intensité vaut :

Le critère de séparation |\theta'_1 - \theta_1| \ge \Delta\theta (critère de Rayleigh) s'écrit donc :

La résolution du dispositif, définie à la question Q21 comme le plus petit écart en longueur d'onde \Delta\lambda_{\min} = |\lambda' - \lambda|_{\min} séparable, s'exprime ainsi :

D'après la question Q26, la résolution théorique associée au réseau éclairé à l'ordre p = 1 s'écrit :

Avec \lambda = 499{,}3\text{ nm} et N = 90\,000 ouvertures éclairées (obtenu à la question Q25 pour \ell = 5\text{ cm} et 1\,800\text{ traits}\cdot\text{mm}^{-1}), on obtient :

Cette valeur théorique est environ quatre fois meilleure (plus petite) que la résolution réelle annoncée pour le spectromètre ICP-AES (\Delta\lambda_{\text{exp}} \approx 20\text{ pm}). Plusieurs facteurs expliquent cette dégradation en pratique :

• Largeur finie de la fente d'entrée : pour garantir un flux lumineux mesurable suffisant, la fente d'entrée possède une ouverture géométrique non nulle dont l'image spectrale sur le détecteur présente une largeur instrumentale finie supérieure à la seule tache de diffraction ;
• Élargissement intrinsèque des raies d'émission : au sein du plasma, porté à plusieurs milliers de kelvins (T \sim 6\,000\text{ à }10\,000\text{ K}), les atomes subissent une agitation thermique intense conduisant à un élargissement Doppler thermique notable, auquel s'ajoute un élargissement collisionnel (effet Stark et collisions à haute pression locale) ;
• Résolution spatiale du détecteur : la pixellisation du capteur (caméra CCD ou CMOS) impose un pas d'échantillonnage spatial minimal qui limite la résolution spectrale effective ;
• Aberrations optiques et défauts du réseau : les aberrations géométriques des miroirs collimateurs et focalisateurs ainsi que l'éventuelle non-uniformité de l'éclairement du réseau réduisent le nombre effectif N_{\text{eff}} de traits contribuant aux interférences.

Soit \Sigma une surface fermée délimitant un volume V, orientée vers l'extérieur (\vec{n}_{\text{ext}}), et soit \Gamma une courbe fermée orientée délimitant une surface ouverte quelconque S, l'orientation de S étant liée à celle de \Gamma par la règle de la main droite.

Les formes intégrales des quatre équations de Maxwell dans le cadre de l'ARQS magnétique sont :

1. Équation de Maxwell-Gauss (théorème de Gauss) :

   \boxed{\iint_{\Sigma} \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0} = \frac{1}{\varepsilon_0} \iiint_V \rho \, \mathrm{d}\tau}

   où Q_{\text{int}} est la charge électrique totale contenue à l'intérieur de la surface \Sigma.

2. Équation de Maxwell-Faraday (loi de Faraday) :

   \boxed{\oint_{\Gamma} \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} = - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \iint_{S} \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = - \frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}}

   où \Phi est le flux du champ magnétique \vec{B} à travers la surface S.

3. Équation de Maxwell-Thomson (conservation du flux magnétique) :

   \boxed{\iint_{\Sigma} \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = 0}

   le flux du champ magnétique à travers toute surface fermée est nul (absence de monopôles magnétiques).

4. Équation de Maxwell-Ampère dans l'ARQSM (théorème d'Ampère) :

   \boxed{\oint_{\Gamma} \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} = \mu_0 I_{\text{enl}} = \mu_0 \iint_{S} \vec{\jmath} \cdot \mathrm{d}\vec{S}}

   où I_{\text{enl}} est l'intensité du courant total enlacé par le contour \Gamma.

La lame de gauche occupe le domaine -(a+b) \le x \le -a, d'épaisseur b et de plan médian x_c = -(a + b/2). Elle est parcourue par la densité volumique de courant uniforme \vec{\jmath}_1 = -J(t)\,\vec{e}_y.

1. Invariances En négligeant les effets de bord, la distribution de courant est invariante par translation selon les axes (Oy) et (Oz). Le champ magnétique ne dépend donc spatialement que de la variable x :

2. Symétries

• Tout plan z = \text{cste} est un plan de symétrie (\Pi_s) de la distribution de courant, car le vecteur densité de courant \vec{\jmath}_1 = -J(t)\,\vec{e}_y est contenu dans ce plan. Le champ magnétique étant un vecteur axial (pseudovecteur), il est orthogonal à tout plan de symétrie des courants :

  \vec{B}_1(x,t) = B_{1,z}(x,t)\,\vec{e}_z

• Le plan x = x_c = -(a + b/2) est également un plan de symétrie (\Pi_s) pour la lame considérée seule (le courant lui étant parallèle). Le champ en tout point de ce plan doit donc être orthogonal au plan, c'est-à-dire dirigé selon \vec{e}_x. Comme \vec{B}_1 est colinéaire à \vec{e}_z, on en déduit que :

  B_{1,z}(x_c, t) = 0

  De plus, sous la symétrie plane par rapport à x = x_c, la composante axiale parallèle au plan est transformée en son opposée, ce qui montre que B_{1,z}(x,t) est une fonction impaire de la variable (x - x_c) :

  B_{1,z}(x_c + u, t) = - B_{1,z}(x_c - u, t) \quad (\forall u \ge 0)

3. Application du théorème d'Ampère Dans le cadre de l'ARQS magnétique, appliquons le théorème d'Ampère à un contour fermé rectangulaire \mathcal{C} tracé dans un plan y = \text{cste}, symétrique par rapport au plan x = x_c, constitué de deux côtés de longueur L parallèles à l'axe (Oz) situés en x_c + u et x_c - u (u > 0).

Orientons le contour de sorte que la normale associée par la règle de la main droite soit -\vec{e}_y (c'est-à-dire dans le sens du courant -J(t)\vec{e}_y).

Les côtés parallèles à (Ox) ne contribuent pas à la circulation car \vec{B}_1 \cdot \vec{e}_x = 0. La circulation de \vec{B}_1 le long de \mathcal{C} s'écrit :

D'après le théorème d'Ampère, \Gamma = \mu_0 I_{\text{enl}} où I_{\text{enl}} est le courant total traversant le rectangle :

• À l'extérieur de la lame (u \ge b/2) : Le rectangle englobe toute l'épaisseur b de la lame, donc le courant enlacé vaut I_{\text{enl}} = J(t)\,b\,L. On en déduit :

  2\,B_{1,z}(x_c + u, t)\,L = \mu_0 J(t)\,b\,L \implies B_{1,z}(x_c + u, t) = \frac{\mu_0 J(t) b}{2}

  Par imparité, de part et d'autre de la lame :

  \begin{aligned} \text{Pour } x > -a \text{ :} \quad & \vec{B}_1(x,t) = \frac{1}{2}\,\mu_0 J(t) b\,\vec{e}_z \\ \text{Pour } x < -(a+b) \text{ :} \quad & \vec{B}_1(x,t) = -\frac{1}{2}\,\mu_0 J(t) b\,\vec{e}_z \end{aligned}

• À l'intérieur de la lame (u \le b/2, soit -(a+b) \le x \le -a) : La largeur de la tranche de courant traversée est 2u = 2(x - x_c), d'où I_{\text{enl}} = J(t) \cdot 2(x - x_c) \cdot L. Il vient :

  2\,B_{1,z}(x,t)\,L = \mu_0 J(t) \cdot 2(x - x_c) \cdot L \implies B_{1,z}(x,t) = \mu_0 J(t)\left(x + a + \frac{b}{2}\right)

En résumé, le champ magnétique produit par la lame de gauche s'écrit dans tout l'espace :

La lame de droite s'étend sur l'intervalle a \le x \le a+b et transporte une densité volumique de courant +J(t)\vec{e}_y.

Par une démarche rigoureusement analogue à celle de la question précédente (ou par translation de 2a+b et changement de signe du courant), le champ \vec{B}_2(x,t) = B_{2z}(x,t)\vec{e}_z créé par la lame de droite seule s'écrit :

D'après le principe de superposition, le champ magnétique total dans tout l'espace en l'absence de plasma est \vec{B}(x,t) = \vec{B}_1(x,t) + \vec{B}_2(x,t) = B(x,t)\vec{e}_z. En sommant zone par zone :

• Pour x < -(a+b) :

  B(x,t) = -\frac{1}{2}\mu_0 J(t) b + \frac{1}{2}\mu_0 J(t) b = 0

• Pour -(a+b) \le x \le -a :

  B(x,t) = \mu_0 J(t)\left(x + a + \frac{b}{2}\right) + \frac{1}{2}\mu_0 J(t) b = \mu_0 J(t)\,(x + a + b)

• Pour -a \le x \le a (domaine central occupé ultérieurement par le plasma) :

  B(x,t) = +\frac{1}{2}\mu_0 J(t) b + \frac{1}{2}\mu_0 J(t) b = \mu_0 J(t) b

• Pour a \le x \le a+b :

  B(x,t) = +\frac{1}{2}\mu_0 J(t) b - \mu_0 J(t)\left(x - a - \frac{b}{2}\right) = \mu_0 J(t)\,(a + b - x)

• Pour x > a+b :

  B(x,t) = +\frac{1}{2}\mu_0 J(t) b - \frac{1}{2}\mu_0 J(t) b = 0

On synthétise ce résultat sous la forme :

Pour une valeur de J(t) > 0, le profil de la composante B(x,t) en fonction de x présente un plateau uniforme dans l'espace inter-lames et s'annule à l'extérieur :

1. Origine du champ électrique dans le plasma

Les courants circulant dans les lames inductrices dépendent du temps (J(t) à haute fréquence). D'après la question précédente, ils créent un champ magnétique \vec{B}(x,t) dépendant du temps dans l'espace délimité par les lames.

D'après l'équation de Maxwell-Faraday :

cette variation temporelle du flux magnétique induit un champ électrique d'induction \vec{E}(x,t) au sein du plasma, bien que celui-ci soit localement et globalement neutre (\rho = 0).

2. Forme du champ électrique

• Invariances : les lames et le plasma étant supposés infinis selon les directions y et z (effets de bords négligés), la distribution de courants est invariante par translation selon y et z. Le champ électrique ne dépend donc que de la variable d'espace x et du temps t :

  \vec{E} = \vec{E}(x,t) = E_x(x,t)\,\vec{e}_x + E_y(x,t)\,\vec{e}_y + E_z(x,t)\,\vec{e}_z

• Direction selon \vec{e}_z : tout plan z = \text{cste} est un plan de symétrie pour la distribution de courants (\vec{\jmath} \parallel \vec{e}_y est invariant par réflexion par rapport à un plan orthogonal à \vec{e}_z). \vec{E} étant un vecteur polaire, tout plan z = \text{cste} est un plan de symétrie pour \vec{E}, ce qui impose :

  E_z(x,t) = 0

• Direction selon \vec{e}_x : le plasma étant localement neutre, l'équation de Maxwell-Gauss s'écrit \operatorname{div}\vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} = 0. Compte tenu de l'invariance selon y et z, cela se réduit à :

  \frac{\partial E_x}{\partial x} = 0 \implies E_x(x,t) = E_x(t)

  En l'absence de charges aux limites ou de champ électrostatique uniforme appliqué selon x, on a E_x(t) = 0.

On en déduit que le champ électrique est purement dirigé selon \vec{e}_y :

3. Parité de la fonction E(x,t)

Considérons le plan (x = 0). La symétrie plane par rapport à (x=0) transforme x en -x tout en conservant le vecteur de base \vec{e}_y.

Or, les densités de courant dans les deux lames vérifient \vec{\jmath}(-x, t) = -\vec{\jmath}(x, t) : le plan (x = 0) est donc un plan d'antisymétrie pour la distribution des courants inducteurs.

Puisque les équations de Maxwell sont linéaires et que les sources de courant sont impaires par réflexion par rapport au plan (x=0), le champ électrique induit \vec{E}, vecteur polaire, se transforme avec un changement de signe par rapport à une symétrie classique :

Comme \mathcal{S}_{(x=0)}(\vec{e}_y) = \vec{e}_y, on obtient :

La fonction E(x,t) est donc bien une fonction impaire de la variable x (ce qui implique en particulier E(0,t) = 0).

1. Différence avec le champ produit par les lames seules

Le champ magnétique variable créé par les bobinages inducteurs induit, d'après la loi de Faraday, un champ électrique \vec{E}(x,t) dans le plasma. Les électrons mobiles du plasma sont alors mis en mouvement sous l'action de la force électrique, engendrant un vecteur densité de courant induit \vec{\jmath}(x,t).

D'après l'équation de Maxwell-Ampère (et la loi de modération de Lenz), ces courants induits créent à leur tour un champ magnétique de réaction qui vient se superposer au champ appliqué par les lames extérieures. Le champ magnétique total au sein du plasma résulte donc de la somme du champ inducteur et du champ induit par le plasma lui-même.

2. Forme du champ magnétique \vec{B}(x,t)

• Invariances : en négligeant les effets de bord selon y et z, le système constitué par les deux lames et le plasma présente une invariance par translation selon \vec{e}_y et \vec{e}_z. Les composantes du champ magnétique ne dépendent donc que de la coordonnée x et du temps t :

  \vec{B} = \vec{B}(x,t)

• Direction : tous les courants (courants extérieurs dans les lames et courants induits dans le plasma) sont orientés selon l'axe (Oy), puisque \vec{E} = E(x,t)\vec{e}_y (d'après la question Q31). Tout plan parallèle à (xOy) (z = \text{cte}) est donc un plan de symétrie pour la distribution de courant :

  \Pi_z : z = \text{cte} \quad \text{est un plan de symétrie pour les courants } (\mathcal{P}_s)

  Le champ magnétique \vec{B} étant un champ pseudo-vectoriel (axial), il est orthogonal en tout point à ce plan de symétrie :

  \vec{B}(x,t) \perp (xOy) \implies \vec{B}(x,t) = B(x,t)\,\vec{e}_z

3. Parité de B(x,t) par rapport à la variable x

• Par symétrie des sources : Le plan (yOz) (x=0) est un plan d'antisymétrie pour la distribution de courant global. En effet :

  • pour les lames : \vec{J}(-x,t) = -\vec{J}(x,t) pour x > a ;
  • pour le plasma : le champ \vec{E} étant une fonction impaire de x (établi en Q31), les courants induits sont également antisymétriques par rapport au plan x=0, soit \vec{\jmath}(-x,t) = -\vec{\jmath}(x,t).

  Un plan d'antisymétrie pour les courants (\mathcal{P}_a) constitue un plan de symétrie pour le pseudo-vecteur \vec{B}. La composante tangentielle de \vec{B} est donc conservée par la réflexion x \mapsto -x :

  B(-x,t)\,\vec{e}_z = B(x,t)\,\vec{e}_z \implies B(-x,t) = B(x,t)

• Vérification par l'équation de Maxwell-Faraday : Dans le plasma, l'équation locale s'écrit :

  \vec{\operatorname{rot}}\vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}

  Avec \vec{E}(x,t) = E(x,t)\,\vec{e}_y et \vec{B}(x,t) = B(x,t)\,\vec{e}_z, on a :

  \vec{\operatorname{rot}}\vec{E} = \frac{\partial E(x,t)}{\partial x}\,\vec{e}_z \implies -\frac{\partial B(x,t)}{\partial t} = \frac{\partial E(x,t)}{\partial x}

  Comme E(x,t) est une fonction impaire de x, sa dérivée spatiale \frac{\partial E}{\partial x}(x,t) est une fonction paire de x. En l'absence de champ magnétique statique permanent, B(x,t) hérite de la parité de sa dérivée temporelle.

1. Relation entre E(x,t) et B(x,t) :

D'après l'équation de Maxwell-Faraday :

Avec \vec{E}(x,t) = E(x,t)\,\vec{e}_y, le rotationnel s'exprime en coordonnées cartésiennes par :

Comme \vec{B}(x,t) = B(x,t)\,\vec{e}_z, la projection sur l'axe (Oz) donne :

2. Relation entre B(x,t) et j(x,t) :

Dans le cadre de l'ARQSM, l'équation de Maxwell-Ampère s'écrit :

Avec \vec{B}(x,t) = B(x,t)\,\vec{e}_z, le calcul du rotationnel donne :

Sachant que \vec{\jmath}(x,t) = j(x,t)\,\vec{e}_y, on obtient par identification sur l'axe (Oy) :

D'après la question Q33, les champs dans le plasma vérifient les équations aux dérivées partielles :

En dérivant la première équation par rapport à x et en appliquant le théorème de Schwarz :

En y injectant l'expression de \frac{\partial B}{\partial x} :

D'après la loi de réponse du plasma non collisionnel fournie par l'énoncé, \frac{\partial j}{\partial t} = \frac{n e^2}{m} E(x,t), d'où :

On identifie l'équation demandée sous la forme :

Vérification dimensionnelle :

• D'après l'équation différentielle, l'opérateur \frac{\partial^2}{\partial x^2} a pour dimension \mathrm{L}^{-2}. Ainsi, \left[\frac{1}{\lambda^2}\right] = \mathrm{L}^{-2}, ce qui impose que \lambda soit homogène à une longueur : [\lambda] = \mathrm{L}.

• Vérifions la dimension de l'expression trouvée pour \lambda. Sachant que \varepsilon_0 \mu_0 c^2 = 1, on a :

  \lambda^2 = \frac{m}{\mu_0 n e^2} = \frac{m \varepsilon_0 c^2}{n e^2} = \frac{c^2}{\omega_p^2}

  où \omega_p = \sqrt{\frac{n e^2}{m \varepsilon_0}} est la pulsation plasma, de dimension inverse d'un temps ([\omega_p] = \mathrm{T}^{-1}).

• La vitesse de la lumière c vérifiant [c] = \mathrm{L}\cdot\mathrm{T}^{-1}, on en déduit immédiatement :

  [\lambda] = \left[\frac{c}{\omega_p}\right] = \frac{\mathrm{L}\cdot\mathrm{T}^{-1}}{\mathrm{T}^{-1}} = \mathrm{L}

L'expression de \lambda est donc bien homogène à une distance.

À chaque instant t, l'équation différentielle spatiale établie à la question Q34 s'écrit :

La solution générale s'exprime sous la forme :

où C_1(t) et C_2(t) sont des fonctions du temps à déterminer.
D'après la question Q31, E(x,t) est une fonction impaire de la variable spatiale x, ce qui impose C_1(t) = 0. En posant C_2(t) = E_1(t), la forme générale du champ électrique est :

Pour en déduire le champ magnétique, utilisons la relation issue de l'équation de Maxwell-Faraday obtenue à la question Q33 :

Par intégration par rapport au temps t :

L'énoncé précisant qu'on ne tient pas compte d'un champ magnétique statique (B_{\text{stat}}(x) = 0), la dépendance spatio-temporelle de B(x,t) se factorise selon :

où K(t) est une fonction du temps. En évaluant cette expression en x = a :

On en déduit l'expression du champ magnétique dans le plasma :

D'après le résultat de la question Q35, le champ magnétique dans le plasma s'écrit :

1. Détermination du champ électrique E(x,t) :

L'équation reliant E(x,t) et B(x,t) établie à la question Q33 est :

En intégrant par rapport à x et en tenant compte de la condition E(0,t) = 0 (due à l'imparité de E(x,t) établie en Q31), il vient :

2. Détermination de la densité volumique de courant j(x,t) :

L'équation de Maxwell-Ampère (ARQSM) établie à la question Q33 relie B(x,t) et j(x,t) :

On dérive B(x,t) par rapport à x :

On en déduit immédiatement :

La puissance volumique cédée par le champ électromagnétique aux porteurs de charge (les électrons) est donnée par le terme source du théorème de Poynting :

En utilisant les expressions établies à la question Q36 :

On en déduit l'expression de la puissance volumique :

L'excitation par le bobinage haute fréquence est périodique de période T (donc B_0(t), puis B_0^2(t), sont des fonctions T-périodiques). La moyenne temporelle sur une période s'écrit :

Non-validité du modèle non collisionnel pour la torche ICP-AES : Dans la torche à plasma, le milieu est porté à plusieurs milliers de kelvins et subit d'importantes pertes énergétiques vers l'extérieur (rayonnement, conduction et convection thermique dues à l'écoulement de gaz). Pour maintenir le plasma à cette température en régime stationnaire, le champ électromagnétique inducteur doit nécessairement lui transférer une puissance moyenne non nulle (\langle \mathcal{P}_{\text{vol}} \rangle > 0) sous forme de dissipation Joule.

Le modèle non collisionnel prédit un régime purement réactif : l'énergie oscille de manière réversible entre le champ électromagnétique et l'énergie cinétique du mouvement collectif des électrons sans la moindre dissipation thermique. Il ne permet donc pas d'expliquer l'entretien énergétique du plasma.

Dans le modèle collisionnel, la loi d'Ohm locale s'écrit :

D'après la question Q33, les équations de Maxwell s'écrivent pour les composantes scalaires sous la forme :

Dérivons la première équation par rapport à la variable d'espace x :

En substituant l'expression de \dfrac{\partial E(x,t)}{\partial x}, on obtient :

Soit finalement :

D'après l'équation aux dérivées partielles établie à la question Q38 :

Par homogénéité de cette équation, les deux termes ont la même dimension :

On en déduit la dimension du produit \mu_0 \sigma :

Puisque la pulsation \omega est l'inverse d'un temps ([\omega] = \mathrm{T}^{-1}) et que le facteur 2 est sans dimension :

Par conséquent, en prenant la racine carrée de l'inverse :

D'après la question Q38, le champ magnétique dans le plasma vérifie l'équation aux dérivées partielles :

En régime sinusoïdal forcé, avec \underline{\vec{B}}(x,t) = \underline{f}(x)\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}\vec{e}_z, la dérivée temporelle se traduit par une multiplication par \mathrm{i}\omega :

Or, par définition de l'épaisseur de peau \delta (question Q39) :

Sachant que (1+\mathrm{i})^2 = 1 + 2\mathrm{i} - 1 = 2\mathrm{i}, on en déduit :

L'équation différentielle s'écrit alors :

La solution générale fait intervenir les fonctions hyperboliques à argument complexe :

D'après la question Q32, le champ magnétique est une fonction paire de la variable x (\underline{f}(-x) = \underline{f}(x)), ce qui impose immédiatement :

La condition aux limites en x = a donne :

On en déduit l'expression de \underline{f}(x) :

Le champ magnétique complexe s'écrit finalement :