Induction et forces de Laplace : 274 questions de concours corrigées

Donner la loi de Lenz pour l'induction. Comment faire pour prévoir le sens du courant i₂ ?

On considère un circuit filiforme orienté C, parcouru par un courant constant I et déplacé dans un champ magnétique B. On considère un élément dl de ce circuit, soumis à un déplacement du. Montrer…

Rappeler la définition générale de l’inductance propre L d’un circuit et de l’inductance mutuelle M entre deux circuits.

Expliquer l'intérêt de cette bobine en citant au moins un autre élément constitutif de la lampe (mis à part la DEL et le condensateur). Préciser aussi le principe physique sur lequel se base la…

Rappeler l'équation locale de Maxwell-Faraday. On donne le théorème de Stokes : _L E · dℓ = _S rotE · dS où S désigne une surface s'appuyant sur le contour fermé L. Obtenir une formulation globale…

Exprimer le flux propre de ce champ magnétique à travers la bobine et en déduire l'expression de son inductance propre L₀ en fonction de µ₀, N, S, ℓ. Le calcul numérique conduit à L₀ = 25 mH.

Nous nous plaçons dans la situation où s > 0 et v < 0. Indiquer, sur la figure tracée précédemment, le sens du courant i qui apparaît dans la spire. On le représentera au point P en utilisant les…

Montrer que la f.é.m. induite e dans le cadre vaut e = -Bℓ v(t) où v(t) est la vitesse, dérivée de x(t).

Déduire de la question précédente l'équation électrique (E.E.) traduisant le comportement du circuit. Faire le schéma électrique équivalent en tenant compte de la f.é.m. induite. On notera i(t) le…

Le courant i(t) étant variable, il apparaît une force électromotrice (fem) e(t) aux bornes de la bobine réceptrice. Quel phénomène est ainsi mis en évidence ? Donner l'équation locale de Maxwell à…

Écrire la relation entre le flux total de la phase φₜ(t) à courant nul et la force contre électromotrice e(t). À partir du schéma équivalent de la Figure 29, écrire la loi des mailles puis la…

Montrer que l'équation différentielle liant la tension u(t) et le courant i(t) se met sous la forme [r + Ω dL/dθ_r] i(θ_r) + Ω L(θ_r) di/dθ_r = u(θ_r) dans laquelle on rappellera l'expression de Ω.

À l'aide d'un schéma, identifier du ∧ dl à un élément de surface dS. En déduire que le travail des forces de Laplace sur le circuit C lors d'une translation élémentaire du vaut δ W_L=I dΦ_c, où dΦ_c…

En déduire l'énergie potentielle d'interaction U_I d'un circuit C parcouru par un courant I constant dans un champ B(r) stationnaire. Que peut-on en déduire sur les déplacements spontanés d'un…

En déduire que l'énergie magnétique totale d'un système de circuits Cₐ parcourus par des courants Iₐ s'écrit U_C=β₂ Σ_a, b Iₐ Φ_b → a, avec β₂ un facteur numérique à déterminer, et où la somme…

Montrer que la force électromotrice e induite par ce mouvement dans l'ensemble des spires s'écrit e=2π r N B₀dz/dt. On pourra s'intéresser au flux Φ du champ magnétique à travers un cylindre (C)…

Représenter le circuit électrique équivalent et en déduire la seconde équation différentielle couplant i(t) et z(t) : E(t)=R_b i(t)+L_b (d i)/(d t)-γ (d z)/(d t) où γ est à exprimer en fonction de…

Décrire qualitativement mais précisément les phénomènes physiques qui se produisent permettant de freiner le train.

Établir l’expression des inductances propres Lₐ et L_b des solénoïdes Sₐ et S_b en fonction de Nₐ, N_b, rₐ, r_b, µ₀ et ℓ.

En écrivant les équations électriques pour le primaire et le secondaire, montrer que (uₐ(t))/Nₐ = (u_b(t))/N_b.

On étudie maintenant une spire carrée de côté a, qui passe à la vitesse v₀ = v₀ uₓ imposée en face du solénoïde réel. Elle entre puis sort de la zone grisée des figures 5 et 6. On étudie d'abord la…

On étudie maintenant une spire carrée de côté a, qui passe à la vitesse v₀ = v₀ uₓ imposée en face du solénoïde réel. Elle entre puis sort de la zone grisée des figures 5 et 6. On étudie d'abord la…

Déterminer l'expression du champ magnétique B_sol(M, t) produit à l'intérieur et à l'extérieur du solénoïde, et pour chacune des phases temporelles : t < 0, t [0, τ[ et t ≥ τ. On justifiera les…

Tous calculs faits, on obtient P_J = K M₀² v² où K = 2,3 SI. En admettant la conversion totale de l'énergie mécanique en énergie électrique lors du freinage inductif, donner l'expression littérale…

Déterminer l'expression de l'intensité du courant qui circule dans la spire en régime sinusoïdal forcé.

Montrer que i₂(t) vérifie l'équation différentielle : di₂/dt + i₂/τ₂ = I₀/τ₁ avec τ₁ et τ₂ qui seront exprimés en fonction de L₂, R₂, M et de t₁.

En déduire les inductances propres L₁ et L₂ des deux bobines et leur inductance mutuelle M₀.

Montrer que, dans ces conditions, on peut écrire EI + mgv = 0. Pourquoi parle-t-on également de « balance du watt » à la place de balance de Kibble ?

Exprimer l'intensité i du courant dans le circuit C en fonction de l'angle θ entre la normale au plan des spires et la direction de B. On suppose qu'à l'instant initial (t = 0), le plan de la spire…

Lorsque la tige est mise en mouvement au passage d'un séisme, expliquer pourquoi le circuit électrique, représenté sur la figure 15, est le siège d'un courant électrique. Rappeler le phénomène…

Établir les équations mécanique et électrique décrivant le système. On note R la résistance équivalente du circuit, e(t) la f.e.m d'induction, on néglige son inductance propre et on pose σ = ℓ B₀.

Donner l'expression de la force électromotrice d'induction e(t) en fonction de v(t), L et B.

Donner l'équation mécanique du système liant v(t), F, i(t) et les paramètres du problème.

Déduire des équations précédentes une équation différentielle sur v(t).

Rappeler la définition du coefficient de mutuelle induction M entre C₁ et C₂. L'exprimer en fonction de N₁, N₂, R₂, µ et φ.

Montrer que E(r, t) = E₀(r) sin (ω t). On précisera l'expression de E₀(r) en fonction de I, µ₀, n, r et ω, puis en fonction de B₀, r et ω.

Déterminer E(r, t) en fonction de r, t, R, I₀, ω, µ₀ et de µ_r.

Établir que le courant i est lié à la position et la vitesse de l'aimant selon la relation : i = K₁ XX/((1 + X²)⁵/²) où X = dX/dt On exprimera la constante K₁ en fonction de φ₀ et R.

Exprimer la force F_a/s que l'aimant fait subir à la spire (sans remplacer, ici, le courant i par son expression). Vérifier qu'elle se met sous la forme : F_a/s = K₂ X/((1 + X²)⁵/²) i eₓ On…

Faire le bilan des forces s'exerçant sur l'ensemble barre + haut-parleur de masse m_T. En déduire l'équation différentielle mécanique relative au mouvement de la barre (équation E.M.).

Établir, par rapport à R, l'équation différentielle du mouvement de A, le cadre étant supposé être en translation rectiligne, au cours de sa chute pour les instants compris entre l'instant initial…

En combinant les relations (E1) et (E2), montrer que le haut-parleur se comporte comme un dipôle d'impédance complexe Z appelée « impédance électrique équivalente ». On écrira Z sous la forme d'une…

En appliquant la loi des mailles dans chacun des deux circuits, établir le système d'équations électriques couplées vérifiées par les intensités i₁(t) et i₂(t).

Après avoir nommé la loi utilisée, exprimer la fem e(t) en fonction de I₀, ω, t, a, b, d, N₁ et N₂. On négligera le flux magnétique propre du circuit récepteur devant le flux extérieur.

En admettant que E_mag est une quantité positive, montrer que l'inductance mutuelle vérifie une inégalité de la forme M ≤ Mₘₐₓ. Exprimer son majorant Mₘₐₓ en fonction de L₁ et L₂.

On note Φ le flux du champ magnétique à travers le circuit et Φ₀ sa valeur particulière lorsque θ = 0. En exprimant Φ en fonction notamment de Φ₀, déterminer à l'aide de la loi de Faraday la force…

Exprimer le moment M_L,O en O des forces de Laplace qui s'exercent sur la tige. A) M_L,O = -i B₀ ℓ² e_z B) M_L,O = -(i B₀ ℓ²)/4 e_z C) M_L,O = (i B₀ ℓ²)/2 e_z D) M_L,O = -(i B₀ ℓ²)/2 e_z

En fait, le tube de champ est également parcouru par un courant électrique provenant de l'intérieur du Soleil et dont la densité est de la forme jₜ = jₜ(r)u_z. En supposant que la longueur du tube…

On suppose à présent que le circuit C effectue un déplacement à courant I toujours constant, mais dans un champ B(r) stationnaire. Montrer que le travail des forces de Laplace pour un déplacement…

En déduire que le solénoïde exerce sur lui-même une force qui peut être décrite comme une force de pression, qui vaut sur un élément dS orienté vers l'extérieur : dF=P_ms dS, où l'on exprimera P_ms…

Exprimer le champ électrique E_sol(M, t) produit à l'intérieur et à l'extérieur du solénoïde et pour chacune des phases temporelles : t < 0, t [0, τ[ et t ≥ τ. On justifiera les éventuelles…

À partir de l'équation mécanique, effectuer un bilan de puissance global et interpréter chacun des termes.

Exprimer le flux φ_a/s = φ_a/s(s) du champ magnétique créé par l'aimant à travers la spire (on veillera à respecter les conventions de signe usuelles). L'écrire sous la forme : φ_a/s(s) = φ₀ F(X) où…

Un transformateur peut-il fonctionner en régime continu ? Pourquoi ?

Exprimer la résistance totale R_b et l'inductance totale L_b de la bobine formée des N spires en fonction de R₁, L₁ et N.

Montrer que Lₐ/Nₐ² = L_b/N_b².

Expliquer comment on peut mesurer un champ magnétique au laboratoire.

On étudie maintenant une succession de spires toutes identiques, séparées de la distance a, qui passent devant le solénoïde à la vitesse v₀ = v₀ uₓ (voir figure 7). Quel est l'avantage de choisir…

Déterminer la puissance dissipée par le système de freinage. Comment varie cette puissance en fonction de la vitesse v₀ ?

Pourquoi est-il intéressant d'un point de vue sportif que la puissance augmente quand la vitesse augmente ?

Déterminer la puissance dissipée par le système de freinage. Comment varie cette puissance en fonction de la vitesse v₀ ?

Pourquoi est-il intéressant d'un point de vue sportif que la puissance augmente quand la vitesse augmente ?

Énoncer la loi de Faraday.

Donner la définition du flux de B à travers une spire de la bobine.

Que vaut l'inductance mutuelle M_S_1 S_2 entre les enroulements S₁ et S₂ du stator ? Que vaut la mutuelle M_R_1 R_2 entre les enroulements R₁ et R₂ du rotor ?

Comment peut-on expliquer qu'un courant i_R_1(t) circule dans l'enroulement R₁ alors qu'il n'est relié à aucune alimentation ?

On note respectivement φ_S_1 R_1 et φ_S_2 R_1 les flux créés dans l'enroulement R₁ du rotor par les enroulements S₁ et S₂ du stator. Exprimer le flux φ_S_1 R_1 en fonction de M_SR, θ_R et du courant…

Déterminer l'expression du flux Φ du champ magnétique qui traverse la spire (S).

En déduire l'expression de la force électromotrice induite e apparaissant dans la spire (S).

Déterminer l'expression du courant induit i(t) dans la bobine.

Déterminer l'expression de la puissance instantanée P(t) dissipée par effet Joule dans la spire (S).

Citer un intérêt d'une plaque à induction par rapport à une plaque de cuisson électrique fonctionnant à l'aide d'une résistance électrique.

On règle l'intensité du courant dans la bobine à une valeur I pour équilibrer la balance en présence de la masse m posée. Établir l'expression de m en fonction de I, g, B, et l.

La bobine comporte 600 spires réparties sur un cylindre de diamètre moyen égal à 260 mm. On prendra B = 1,0 T et |I| = 10 mA. Calculer m.

Si on prend m' = m/2, quelle relation a-t-on entre les intensités ?

Calculer la force électromotrice E attendue.

Exprimer, en fonction de I, L et de B_s, l'expression de la force de Laplace F_L qui s'exerce sur un conducteur aller de longueur L du rotor. En notant R la distance entre les conducteurs du rotor…

Expliquer pourquoi il y a des phénomènes d'induction.

Quel couple faut-il exercer pour maintenir la vitesse de rotation constante ? Est-il moteur ou résistant ?

De même, déterminer l'inductance mutuelle M₂(z) en fonction de M₀, z et Lₘₐₓ .

Donner l'expression de la force de Laplace s'exerçant sur une barre conductrice MN parcourue par un courant i dans un champ magnétique uniforme et stationnaire.

Donner l'expression de la puissance fournie par l'opérateur extérieur Pₒp en fonction de F et v(t).

Rappeler dans quel(s) cadre(s) des phénomènes d'induction électromagnétique peuvent être observés.

On dispose de poêles en aluminium et en fonte. Bien que l'aluminium soit environ 40 fois plus conducteur électriquement que la fonte, on choisira la poêle en fonte : pourquoi ?

Indiquer comment serait modifiée chacune de ces évolutions si le moment magnétique de l'aimant était orienté selon +eₓ, toutes choses égales par ailleurs.

Préciser à quelle condition, portant sur la résistance R et l'inductance L de la spire, ainsi que sur le temps caractéristique τ_i de variation du courant, l'hypothèse H_R adoptée dans la partie…

Comparer la puissance de la f.é.m. P_fem = ei à la puissance de la force de Laplace P_L.

Calculer τ si Bₐ=1 T, a=5 cm, m=0,1 kg et R_c=10 Ω. A) τ=4 s B) τ=400 s C) τ=4 min D) τ=1 min

On considère désormais le dispositif de la figure 4. Le cadre ABCD présente un interrupteur K qui permet de modifier le circuit fermé dans lequel pourrait circuler un éventuel courant induit: si K…

Expliquer, sans calcul, le principe de fonctionnement d'un haut-parleur électrodynamique.

L'ensemble du circuit mobile possède une résistance électrique R et une inductance propre L. Représenter le schéma électrique équivalent du circuit mobile.

En déduire l'équation électrique du système notée (8).

Exprimer la force électromotrice e_ind induite par le champ magnétique extérieur en fonction de B₀, ℓ et de la vitesse v de l'équipage mobile.

Exprimer la force de Laplace f_Laplace en fonction de i, ℓ et B₀.

Rappeler la définition de M, ainsi que sa dimension.

Dans la limite où les bobines primaire et secondaire sont infiniment éloignées, quelle valeur attend-on pour le coefficient k ? Qu'en déduire concernant la tension v₂ aux bornes du circuit…

On pose la variable adimensionnée x = i₁/i₂. Mettre E_mag sous la forme E_mag = 1/2 i₂² P(x) où P(x) est un polynôme d'ordre 2 que l'on explicitera.

Estimer le rendement maximal η'ₘₐₓ en couplage résonant ; commenter.

Connaissez-vous d'autres applications de tels circuits couplés par mutuelle induction dans les domaines de l'industrie et de la vie courante ? Deux applications d'étaillées sont attendues.

À partir des résultats et données de la partie I, donner l'expression du champ magnétique total B(r,z,t) généré par le demi-solénoïde parcouru par le courant i₁(t).

En passant en notation complexe à la pulsation ω, déterminer l'expression du courant complexe i₂(t) circulant dans l'anneau. Montrer alors que l'on peut écrire i₂(t) = I₂(z) cos (ω t + φ) où l'on…

Montrer que la composante radiale F_r de la force de Laplace résultante est nulle.

Que vaut F_z ₜ si on ne prend pas en compte le coefficient d'autoinductance de l'anneau ? Que recommanderiez-vous de faire à l'anneau pour empêcher sa lévitation ?

Exprimer puis calculer numériquement la constante K'.

Déduire des deux questions précédentes l'expression du champ électrique induit E(M,t) créé par le moment magnétique variable s(t) dans tout l'espace. On exprimera l'amplitude de ce champ en fonction…

En déduire la force électrique dFₑ s'exerçant sur un élément de surface dS de la coquille sphérique chargée, puis le moment élémentaire dM_e,z de cette action mécanique électrique par rapport à…

Déterminer le moment total de la force électrique M_e,z, par rapport à l'axe (O, e_z), s'exerçant sur la coquille.

En déduire la force magnétique élémentaire dF exercée sur cet élément de surface dS, puis sa moyenne temporelle dF .

Calculer le travail des forces de Laplace sur la spire dans le cas A1, et le comparer au travail prédit par le théorème de Maxwell.

Rappeler l'expression de la force de LAPLACE exercée sur un conducteur électrique. En supposant le champ magnétique uniforme dans le canon, exprimer son intensité minimale B₀ en fonction de a, m, d…

Ce champ magnétique est assimilé à celui créé par un fil infini situé à la distance d/2 du point où se trouve le projectile. Exprimer puis calculer la valeur minimale I du courant électrique…

Rappeler la loi de Faraday de l'induction électromagnétique. On distingue parfois deux situations d'induction : « circuit fixe dans un champ magnétique variable » (induction de Neumann) et « circuit…

Établir l'équation électrique reliant E₀, les fonctions L(X), R(X), I(t), X(t) et leurs dérivées.

Déterminer l'expression de la résultante F des forces électromagnétiques qui s'exercent sur les N spires. Exprimer F· v en fonction de e notamment et proposer une interprétation de cette relation.

Justifier la nécessité d’un freinage mécanique d’appoint afin d’immobiliser complètement le train à la fin de son trajet.

Montrer que l’on a M = k √(Lₐ L_b) en donnant l’expression de k en fonction de rₐ et r_b.

Écrire, en notation complexe, l’expression de u₃ en fonction de L₃, M, ω₀, iₑ et i₄.

En utilisant les résultats établis dans le II, montrer qu’on peut réécrire Y = 1/jL₃ω₀ + N₄²/Rₘ.

Exprimer la force électromagnétique δ F_L due au champ électromagnétique sur cette portion rectiligne en fonction de a, dy, j_s(t) et du champ magnétique incident à la surface de la voile B_i(x = 0…

En déduire qu'il s'exerce une force constante sur la spire pendant cette phase d'entrée dans la zone grisée, dont on donnera l'expression en fonction de B₀, a, R et de v₀. Justifier qualitativement…

De la même façon, montrer que la force exercée sur la spire pendant la phase de sortie de la zone grisée (c'est-à-dire quand la partie arrière de la spire (CD) est dans la zone grisée et la partie…

En déduire qu'il s'exerce une force constante sur la spire pendant cette phase d'entrée dans la zone grisée, dont on donnera l'expression en fonction de B₀, a, R et de v₀. Justifier qualitativement…

De la même façon, montrer que la force exercée sur la spire pendant la phase de sortie de la zone grisée (c'est-à-dire quand la partie arrière de la spire (CD) est dans la zone grisée et la partie…

On étudie maintenant une succession de spires toutes identiques, séparées de la distance a, qui passent devant le solénoïde à la vitesse v₀ = v₀ uₓ (voir figure 7). Quel est l'avantage de choisir…

Déterminer la force de Laplace qui s'exerce sur l'élément de longueur dl=dy e_y parcouru par le courant di et plongé dans le champ magnétique Bₜ(x, t).

Déterminer Γ_L le moment scalaire des forces de Laplace qui s'exercent sur le cadre par rapport à Δ (orienté) : A) Γ_L = 0 B) Γ_L = ILℓ B cos (θ/2) C) Γ_L = -ILℓ B sin θ D) Γ_L = mgℓ

Déterminer la ou les positions angulaires d'équilibre θₑ du cadre. A) θₑ = 0 B) θₑ = π C) θₑ = arccos (ILB/mg) D) θₑ = arcsin (ILB/mg)

On admet que le flux Φ(t) du champ magnétique créé par l'aimant à travers ce même anneau (A) s'écrit Φ(t) = Φ₀ r_i³/((r_i² + (z + vt)²)³/²) où Φ₀ est une constante dont on admettra qu'elle s'écrit…

On pose x = (z + vt)/r_i. Montrer que la puissance dissipée par effet Joule dans l'anneau (A) s'écrit : dP_J = (9γ e µ₀² M₀²)/(2π r_i⁴) x²dx/((1 + x²)⁵) v²

Justifier que la puissance totale dissipée par effet Joule puisse être approchée par l'intégrale : P_J ≃ ∫_x=-∞⁺∞ dP_J

Calculer le moment dipolaire M₀ de l'aimant utilisé.

Déterminer la puissance mécanique moyenne de la turbine qui entraîne le rotor de cet alternateur, ainsi que la puissance moyenne dissipée par effet Joule. Comparer ces deux puissances.

Justifier qualitativement l'apparition d'une force électromotrice dans la bobine lorsqu'une corde vibre.

En déduire l'expression de la force électromotrice, e, induite dans toute la bobine.

On considère une vibration sinusoïdale de l'aimant autour de la position z = 5 mm, d'amplitude z₀ = 1 mm et à la fréquence f = 500 Hz. Évaluer numériquement l'ordre de grandeur de e. On prendra R =…

Exprimer, φ, le flux du vecteur B à travers une spire sous forme d'une intégrale double, on prendra soin d'expliciter les bornes d'intégration.

Dans le cas précis du micro de guitare, expliquer pourquoi il n'est pas possible de tracer expérimentalement le diagramme de Bode.

Exprimer l'inductance mutuelle M entre le solénoïde central et la boucle de courant, en fonction de β et de a₁. Calculer M pour le tokamak ITER, sachant que a₁ = 2 m et que le champ magnétique au…

En déduire i₂(t). En supposant t ≪ τ₂, simplifier cette expression par un développement limité au premier ordre en t/τ₂.

Le physicien américain Lyman Spitzer a établi en 1950 que la résistivité ρ d'un plasma soumis à un champ magnétique dépendait de la température T du plasma proportionnellement à T⁻³/². À partir de…

Exprimer l'inductance mutuelle M_S_1 R_2 entre les enroulements S₁ du stator et R₂ du rotor en fonction de M_SR et de θ_R, ainsi que la mutuelle M_S_2 R_2 entre les enroulements S₂ du stator et R₂…

En remarquant que θ_R et i_S_1 dépendent du temps, exprimer en fonction de M_SR, i_S_1, Ω et de t la force électromotrice (fem) e_S_1 R_1 induite par S₁ dans R₁. Faire de même pour la fem e_S_2 R_1…

En utilisant les résultats des questions précédentes, montrer que la puissance moyenne P_moy dissipée par effet Joule dans la spire (S) est égale à : P_moy = ((ω B₀ π r₂²)²)/2R.

Indiquer sur un schéma simplifié l'orientation du courant permettant l'équilibrage de la balance une fois la masse m posée comme sur la figure 1. Déterminer la force qui agit sur la bobine.

Établir la relation qui remplace celle de la question 4. Quels sont les intérêts de cette nouvelle opération ?

Dans la phase statique, calculer l'expression de (∂ F_z(R, z))/(∂ R) en fonction notamment de (∂(R B_r(R, z)))/(∂ R).

Déduire de la question 16 une façon permettant de minimiser les problèmes posés par la dilatation de la spire.

Si les mesures de v et g sont effectuées avec une précision relative de 10⁻⁸, quelle précision relative a-t-on sur une mesure du kilogramme en théorie ?

Dans le cas où le milieu magnétique se comporte linéairement, exprimer le champ magnétique B en fonction de Iₑ, n, µ₀ et µ_r. En déduire l'expression de la tension u_s(t) en fonction de I₀ₑ, ω, n…

Sachant que I₀ₑ est tel que la valeur maximale de l'excitation magnétique Hₘₐₓ = 2H₀, exprimer u_s(t) dans les deux domaines, linéaire et saturé.

Recopier sur la copie le schéma de la figure 2 en indiquant le sens du courant électrique dans la partie mobile, ainsi que la force s'exerçant sur celle-ci lorsqu'elle est parcourue par un courant…

On met le générateur sous tension à t = 0⁺. Effectuer un bilan des actions mécaniques sur la partie mobile.

Proposer en fonction de M₀ et de θ_R l'expression de la mutuelle-inductance M_bR. Que vaut la mutuelle-inductance M_ab ?

Établir l'expression du moment résultant Γ_L des forces de Laplace exercées sur le circuit C. On rappelle qu'une boucle de moment dipolaire magnétique M placée dans un champ magnétique extérieur…

Calculer la puissance moyenne du moment des forces de Laplace. Comparer à la puissance électrique moyenne reçue par la résistance. Interpréter.

Dans le cadre de ces hypothèses simplificatrices, montrer que les deux inductances mutuelles M₁ et M₂ sont identiquement égales à une même valeur notée M₀. Exprimer M₀ en fonction de S, K, n et Lₘₐₓ .

Application numérique : On donne la résistance du circuit primaire R_p = 100 Ω et l'inductance du circuit primaire L_p = 6 mH. Pour U_p = 10 V, on mesure aux bornes de chacun des deux circuits…

Déterminer l'inductance mutuelle M₁(z) en fonction de M₀, z et Lₘₐₓ .

Déduire des résultats précédents que la tension différentielle à vide du circuit secondaire s'écrit sous la forme u_s = u₂ - u₁ = λ M₀ z/Lₘₐₓ di_p/dt, dans laquelle on précisera la valeur de la…

Prévoir qualitativement l'évolution de la vitesse de la tige.

Donner l'équation électrique du système liant e(t), i(t) et les paramètres du problème.

En déduire la dimension de Rm/(B² L²).

Exprimer la puissance de la force de Laplace P_L.

Écrire les équations électriques régissant le fonctionnement de ces deux circuits, sans tenir compte, à ce stade, de la « très grande impédance » du voltmètre.

À quelle simplification peut-on procéder en tenant compte de la « très grande impédance » du voltmètre ? En déduire une relation entre u₁, u₂, L₁ et M.

Application numérique : U₁ₘ = 5,00 V, U₂ₘ = 170 mV, L₁ = 3,6 mH, R₂ = 5,0 cm, N₁ = 50, N₂ = 200. Calculer le coefficient de mutuelle induction M (en valeur absolue) et l'angle d'inclinaison φ…

Pourquoi peut-on conseiller de secouer vigoureusement cette lampe lors de la phase de recharge ?

En admettant que l'expression du champ magnétique obtenue à la question Q11 reste valide à condition de remplacer I par i(t), justifier qu'en tout point M à l'intérieur du solénoïde, le champ…

Ce champ électrique induit est responsable de courants de Foucault répartis dans tout le volume du conducteur. Exprimer leur densité de courant volumique en tout point de la poêle, puis la puissance…

En intégrant cette puissance volumique moyenne sur le volume de la poêle, montrer que la puissance moyenne totale induite s'écrit : P_ind = (π(µ₀µ_r)²γω²I₀²ea⁴)/64R².

Lorsque l'assistance électrique est sollicitée, il apparait par induction dans le circuit une force contre électromotrice e = (ω B a²)/2. Exprimer alors l'intensité du courant dans le circuit, puis…

Déterminer le moment résultant des forces de Laplace qui s'exercent sur la tige OC par rapport à l'axe Oz, puis la puissance correspondante.

De quel pourcentage l'effort du vacancier est-t-il réduit ?

Toujours sur la même figure, représenter la force alors subie par une portion élémentaire de spire autour du point P. Préciser quelles sont toutes les conséquences mécaniques de cette force.

Représenter l'allure graphique de l'évolution temporelle du courant i. On adoptera la convention de signe évoquée dans la question (2).

Représenter, en correspondance avec le tracé précédent, l'évolution temporelle de la force axiale (composante F_a/s) que l'aimant fait subir à la spire.

Représenter, en correspondance avec les deux tracés précédents, l'évolution temporelle de la vitesse v.

Donner l'expression du produit K = K₁K₂ en fonction de B, D, a et R, puis celle de la force en fonction de K, X et X. Analyser la dépendance de cette force vis-à-vis des différents paramètres puis…

Dans le cadre réel d'une expérience, le bloc de cuivre n'est évidemment pas « semi-infini ». Au vu de l'expression de la force F_a/s obtenue à la question (14), cette hypothèse paraît-elle toutefois…

Préciser, sur la base d'une argumentation, la géométrie des lignes de courant apparaissant dans le bloc de cuivre.

Comparer, qualitativement, l'efficacité du freinage de l'aimant par la spire et par le bloc de cuivre.

Préciser pourquoi ce problème se pose effectivement.

Justifier qualitativement les expressions précédentes.

Faire un bilan de puissances en combinant les équations E.E. et E.M. Le commenter.

Le générateur délivre une tension sinusoïdale E(t) de pulsation ω. On utilisera les notations complexes, pour lesquelles E(t) = E₀ ejω t, E(t) s'identifiant alors avec la partie réelle de E(t)…

Montrer que l'admittance motionnelle Yₘ = 1/Zₘ peut s'écrire sous la forme : Yₘ = 1/Rₘ + jCₘω + 1/jLₘω. Donner l'expression des termes Rₘ, Cₘ et Lₘ en fonction de B, ℓ, α, m_T et k.

On oriente le cadre dans le sens trigonométrique (voir Figure 3). On note t₁ l'instant à partir duquel le cadre se trouve entièrement immergé dans la région z>0. Quelle est l'expression de la…

Le cadre métallique présente une résistance R_c. Déterminer l'expression de la force de Laplace F_L à laquelle est soumis le cadre. A) F_L(t)=0 si t<0 et F_L(t)=a²Bₐ²z_A/R_ce_z si t>0 et F_L(t)=0 si…

Déduire de la question précédente la loi d'évolution de la vitesse z_A(t) sachant que la vitesse initiale est z_A(0)=v₀. A) z_A(t)=(v₀-gτ)exp (-t/τ)+gτ B) z_A(t)=v₀exp (-t/τ)+gτ C) z_A(t)=(v₀+gτ)exp…

Déterminer l'expression vectorielle de la résultante des forces de Laplace s'exerçant sur la bobine en fonction de l'intensité du courant i(t), du nombre de spires N, du rayon a d'une spire et de la…

Appliquer le principe fondamental de la dynamique projeté sur l'axe (Oz) pour en déduire l'équation mécanique qui sera notée (7).

La bobine mobile étant dans un champ magnétique permanent, la puissance des forces de Laplace et celle de la force électromotrice induite se compensent exactement. En déduire que l'expression de la…

Dans cette question, on se place en régime sinusoïdal forcé à la pulsation ω. Établir une relation entre les amplitudes complexes E, V et I (respectivement associées aux grandeurs sinusoïdales e(t)…

On fait l'hypothèse que l'équipage mobile est en mouvement de translation rectiligne dans la direction de eₓ. Établir une équation différentielle vérifiée par l'abscisse x repérant la position de…

Définir et exprimer la puissance instantanée reçue par la bobine émettrice de la part du générateur, notée P_reçue, en fonction de L₁, R₁, de l'intensité i(t) et de sa dérivée di/dt. En déduire la…

Exprimer le flux Φ du champ magnétique créé par la bobine émettrice à travers la bobine réceptrice, en fonction de i(t), a, b, d, N₁ et N₂.

Quel comportement en fréquence pouvait-on prévoir par la loi théorique de Yates ? Ce comportement est-il vérifié expérimentalement ? On pourra distinguer le cas des basses et hautes fréquences.

Montrer que ce système d'équations conduit au bilan de puissance E i₁ = R₁ i₁² + R₂ i₂² + dE_mag/dt avec E_mag une quantité à exprimer en fonction de L₁, L₂, M, i₁ et i₂. Interpréter ce bilan.

En négligeant l'inductance propre L₂ de la bobine réceptrice, en déduire la puissance reçue par cette dernière de la part de la bobine émettrice, notée P_géné, puis sa moyenne temporelle P_géné en…

Montrer que le rendement peut se mettre sous la forme : η = k (µ₀² N₁² N₂² a⁴ b⁴ ω²)/(R₁ R₂ (d² + a²)³) avec k un coefficient sans dimension à expliciter. Ce résultat constitue la loi de Yates.

Commenter les résultats obtenus. Proposer une justification qualitative, en lien avec les cartes de champ représentées sur la figure 5, permettant de comprendre le contraste avec les résultats…

Afin d'accroître encore le couplage, on trouve dans la littérature d'autres systèmes constitués de plusieurs résonateurs (voir figure 17) ou d'un noyau ferromagnétique (non approprié dans le cas…

Établir l'expression de l'intensité du courant électrique. A) i = (ℓ² C B₀)/2θ B) i = (ℓ² C B₀)/2θ C) i = ℓ² C B₀θ D) i = -ℓ² C B₀θ

On suppose θ₀ ≪ 1. L'intensité du courant électrique obéit à l'équation suivante: (d² i)/dt² + ω₂² i = 0 où ω₂ est une constante temporelle. Déterminer ω₂. A) ω₂ = 0 B) ω₂ = ω₁ C) ω₂ = 2ω₁ D) ω₂ =…

Calculer numériquement ω₁ : A) ω₁ ≈ 1 rad.s⁻¹ B) ω₁ ≈ 2,3 rad.s⁻¹ C) ω₁ ≈ 5 rad.s⁻¹ D) ω₁ ≈ 12 rad.s⁻¹

On considère un volume élémentaire dτ supposé neutre du plasma solaire constitué de N sortes de particules élémentaires de charges q₁, , q_N, en nombre n₁, , n_N par unité de volume et de vitesses…

À partir de la loi de Faraday, montrer que le courant i₂(t) satisfait une équation différentielle de la forme R i₂(t) + L di₂/dt(t) + M(z) di₁/dt(t) = 0 où l'on exprimera le coefficient d'inductance…

Montrer que la valeur moyenne temporelle de la composante axiale F_z de la force de Laplace suivant l'axe e_z s'exprime sous la forme : F_z ₜ = (K(z))/((b² + z²)³/²) 1 où l'on exprimera la constante…

Examiner avec soin les symétries et les invariances du moment magnétique s(t). Pour cela, on pourra raisonner sur la spire de courant qui le génère. En exploitant le principe de Curie, déterminer la…

Rappeler l'équation de Maxwell-Faraday, puis sa forme intégrale. Soit le cercle Γ d'axe (O, e_z), inscrit sur la coquille chargée, de rayon ρ, orienté selon e_φ, vu sous l'angle θ depuis l'origine O…

En ne tenant compte que de l'action du champ électrique induit, déterminer la vitesse de rotation finale ω_F de la sphère, lorsque le moment magnétique a disparu complètement. On exprimera ω_F en…

Établir deux relations entre les grandeurs uₑ, u_s, iₑ, i_s, L₁, L₂, C₁, C₂, M et ω, traduisant le couplage magnétique entre les deux circuits. Les capacités C₁ et C₂ sont choisies de telle sorte…

Représenter, dans un diagramme de Fresnel où l'intensité iₑ forme la référence des phases, les quatre grandeurs iₑ, uₑ, u_s et i_s dans le cas des relations simplifiées de la question précédente…

On suppose que le circuit C, parcouru par un courant constant I, subit un déplacement entre une position initiale à t_ini et une position finale à t_fin. Si l'on ne fixe aucune contrainte sur le…

Calculer le travail des forces de Laplace sur la spire dans le cas A2, et le comparer au travail prédit par le théorème de Maxwell. On pourra utiliser sans la redémontrer, mais en justifiant sa…

En déduire le travail reçu par le solénoïde sous sa propre action lorsqu'il passe de façon quasi-statique d'un rayon R à un rayon 2 R. Comparer ce résultat à celui obtenu par le théorème de Maxwell…

On reprend l'exemple A2 décrit dans la section 2.1. Effectuer à nouveau le calcul de l'énergie magnétique de la configuration finale, mais en utilisant cette fois le flux de la spire sur le solénoïde.

Justifier que la force propulsive est F = I²(t) dL/dX ; en déduire l'équation mécanique qui décrit le mouvement du projectile.

Établir un bilan énergétique du fonctionnement du haut-parleur ; exprimer notamment la puissance Pₐ transmise par la membrane à l'air environnant (et en particulier à l'onde acoustique créée par le…

Exprimer Zₘ(ω) en fonction de ω, R_b, L_b, ω₀, Qₘ, β et γ. Préciser le comportement limite de Zₘ(ω) à très basse fréquence.

Après avoir précisé son orientation sur un schéma représentant uniquement le premier aimant du train et la spire avec lequel il interagit, déterminer l’expression de la force électromotrice induite…

Montrer que tant que 0 < x < ℓ, la spire est soumise à une force qui se met sous la forme F_aimant→ spire = α v eₓ où l’on précisera l’expression de α.

Montrer que pour ℓ < x < 2ℓ, F_aimant→ spire possède la même expression.

Quelle est alors la force totale F_spires→ train s’exerçant sur la totalité du train ? En déduire l’équation différentielle vérifiée par v tout au long de la phase de freinage, dont on définira la…

Que devient l’énergie cinétique perdue par le train lors de ce freinage ? On justifiera la réponse à l’aide de l’établissement d’une relation entre différents termes énergétiques que l’on identifiera.

En admettant qu’il n’y a aucune forme de perte magnétique, établir l’expression de l’inductance mutuelle M entre les solénoïdes Sₐ et S_b.

En déduire la relation iₑ = Y · u₃ en donnant l’expression de Y en fonction de L₃, N₄, Rₘ, M et ω₀.

Montrer à l’aide des résultats précédents que u₁ = -N₁/N₄(1 + Rₑ Y) Rₘ i₄.

Montrer que la force totale qui s'exerce sur un pavé de conducteur de section d'aire dydz et de longueur infinie s'écrit d F_pavé=2 B₀²/µ₀ cos ²(ω t) dz dy eₓ. Calculer alors la valeur moyenne…

Le temps de chute est Δ t_h = 4,0 s pour un tube de 20 cm de haut. Quel serait le résultat de la même expérience avec un tube de même longueur en aluminium ? en acier ?

Indiquez, sur le même schéma, la direction et le sens des densités volumiques j des courants induits dans le rail à l'aplomb des deux bobines ; justifier soigneusement le sens choisi.

Pour déterminer la force électro-motrice e induite par le déplacement du câble fixé au satellite en présence du seul champ magnétique terrestre, on imagine (figure 7) qu'il est la seule partie…

Déduire de ce qui précède les expressions et valeurs numériques de l'intensité I du courant induit et de la force de freinage f exercée sur le câble. Commenter cette dernière valeur.

Obtenir l'expression de la valeur moyenne de la projection sur l'axe (Oz) du moment du couple exercé par B sur la spire en rotation. Interpréter son signe.

On oriente la spire dans le sens direct (indiqué sur le schéma plus haut), et on rappelle que l'élément de surface infinitésimal dS à rayon constant en coordonnées sphériques s'écrit dS = r² sin…

La réponse du micro est-elle linéaire ? Justifier à l'aide des valeurs numériques données à la question précédente.

On obtient l'allure de la figure 4 pour φ en fonction de y. En déduire l'allure du spectre de e(t) pour une vibration sinusoïdale de la corde à la fréquence f = 200 Hz.

En déduire l'équation différentielle vérifiée par le courant i_R_1(t) en fonction de R_R, L_R, M_SR, Ω, t et de i_S_1(t), i_S_2(t) et de leur dérivée. Cette équation différentielle peut être écrite…

Exprimer la force de Laplace totale F_L s'exerçant sur l'aire S de la surface du conducteur en fonction de ε₀, E₀, S, ω et de t.

Déterminer, en régime harmonique forcé et à altitude z fixée, l'expression du courant induit sous la forme I₂(z,t) = I[β(z) sin (ω t) - α(z) cos (ω t)]. On exprimera les fonctions β(z) et α(z) en…

Donner une propriété fondamentale du champ magnétique et rappeler l'équation locale qui traduit cette propriété. En déduire une nouvelle expression pour (∂ F_z(R, z))/(∂ R) en fonction notamment de…

Tracer approximativement la courbe de F(R, z = 0) en fonction de R. Montrer qu'il existe une valeur de R, qu'on appellera R_opt, autour de laquelle F(R, z = 0) dépend peu de R.

Établir la relation simple entre la constante de Planck et la masse m dans l'expérience de la balance de Kibble en faisant intervenir v, g et d'autres grandeurs mesurables.

Représenter sur la figure B du document réponse les graphes des fonctions B(t) = B · u_z et u_s(t).

Quelle est l'expression de H dans le barreau ? À l'aide des graphes de B(t) et de u_s(t) fournies figure C du document réponse, déterminer quelle inégalité est vérifiée par la valeur de Hₑₓₜ : a…

Toujours à l'aide des graphes de la figure C, estimer numériquement la valeur du rapport Hₑₓₜ/H₀.

Déterminer l'expression du facteur de qualité Q du géophone. On pourra noter α' = α + σ²/R. Proposer un protocole pour accorder le géophone tel que le système obéisse à un régime critique. Justifier…

Sachant qu'on mesure la tension aux bornes de la résistance et qu'on se place en régime sinusoïdal forcé, déterminer la nouvelle fonction de transfert liée au déplacement du bâti H_de = E/X. On…

Déterminer l'équation du mouvement de la barre mobile du géophone asservi en force.

Dans le cadre de ce modèle, montrer que si |z| < Lₘₐₓ alors L_p est indépendante de z.

Pour un courant i_p sinusoïdal fixé, quel est le paramètre de la tension u_s, noté A, permettant de mesurer z ? Tracer l'allure des variations de A en fonction de z ? Comment peut-on discerner le…

Justifier le fait que la force électromagnétique reçue par le noyau mobile lors de son déplacement est nulle.

On suppose la tige en mouvement, compléter le schéma de la figure A en représentant la force électromotrice d'induction e(t), le courant ainsi que la force de Laplace. On ne cherchera pas à donner…

Résoudre cette équation différentielle et puis tracer v(t) en fonction du temps. On fera apparaitre sur le graphe le temps caractéristique τ du problème. Ces résultats sont-ils en accord avec la…

Donner l'expression de la puissance dissipée par effet Joule P_J en fonction de i(t), L, B et v(t), puis en fonction de la puissance de la force de Laplace P_L. Interpréter cette relation.

Estimer le couple mécanique résistant s'exerçant en moyenne sur l'anémomètre du fait de la présence de la bobine au voisinage de l'aimant. Cela est-il de nature à perturber le fonctionnement de…

Déterminer, en fonction de γ, B₀, ω, k, x, t, V(t) et de τ, la force de Laplace instantanée exercée sur la particule lorsqu'elle se trouve à une abscisse x dans la zone aimantée. Comment se…

Les particules posées sur le tapis arrivent à l'entrée de la zone exposée au champ magnétique avec la vitesse V₀ eₓ. En assimilant, à chaque instant, la force de Laplace qui s'exerce sur une…

Analyser ce système d'un point de vue énergétique.

Exprimer la force F_s/a. Vérifier que ce résultat concorde avec celui obtenu en réponse à la question (13).

Dans la première approche nous avons négligé la composante inductive de la bobine. Dans la seconde, nous avons considéré le champ magnétique qu'elle produit et donc, tacitement, l'existence de son…

Commenter les deux évolutions présentées sur la figure (3). Définir et estimer le temps δ t et la distance δ s caractéristiques de freinage qui apparaissent. Ces grandeurs peuvent alors être…

En adaptant l'équation (8) au paramétrage adopté, établir l'expression de la composante d²F_a/b de la force que l'aimant fait subir à une spire élémentaire.

Expliquer qualitativement pourquoi il peut exister dans le plasma un champ électrique dû aux courants dans les lames. Montrer qu'il s'écrit sous la forme E(x,t) = E(x,t)e_y et justifier que E(x,t)…

Le champ magnétique qui règne dans le plasma ne correspond pas à celui produit par les lames calculé précédemment. Expliquer qualitativement pourquoi. Montrer qu'il s'écrit sous la forme B(x,t) =…

Le générateur extérieur délivre une tension u(t) = u₀ cos ω t. À partir des équations (7) et (8), à réécrire en notations complexes, montrer que l'expression de l'impédance électrique totale du…

Interpréter l'évolution observée. Justifier qualitativement que l'effondrement du rendement soit plus important lorsque d est petit.

L'équation du mouvement se met sous la forme suivante: θ + ω₁² sin θ = 0 où ω₁ est une constante temporelle. Déterminer ω₁. A) ω₁ = (g/ℓ)¹/²(1 + (ℓ² B₀² C)/2m)⁻¹/² B) ω₁ = (g/ℓ)¹/²(1 - (ℓ² B₀²…

On a pris C₁ = 40 nF. Comment est modifié le diagramme de Fresnel précédent ? Si U_e,eff est fixée à la même valeur que dans le cas idéal, évaluer la variation de puissance transférée.

Par un raisonnement physique ne demandant pas de développements calculatoires poussés, mais pouvant reposer sur des schémas, calculer le travail quasi-statique nécessaire pour effectuer le…

En négligeant les effets de bord, on pourra en première approximation considérer le champ magnétique B, dans le plan z = 0 où se trouve le projectile, comme uniforme dans chaque zone de l'espace…

En déduire la valeur moyenne, sur une période, de la force exercée sur la bobine N° 2. Commenter son signe et l'influence de z sur cette force.

On utilise l'expression suivante, H(jω) = g₂/jω, avec g₂ positif. Quel avantage au niveau de la fréquence propre du système ce correcteur apporte-t-il ? Exprimer la nouvelle fonction de transfert…

En déduire que la composante F_a/b de la force totale subie par le bloc de cuivre prend la forme : F_a/b = α G v/s³ On précisera la valeur du préfacteur numérique α. → On donne la valeur de…