Feuille d'entraînement : Induction et forces de Laplace

Corrigés

1. Exercice 1Mines-Ponts Physique 2 MPI 2026, Q7

   1. Énoncé de la loi de Lenz

   La loi de Lenz est une loi qualitative de modération : les effets de l'induction s'opposent aux causes qui leur donnent naissance.

   En particulier, le courant induit crée un champ magnétique propre dont les effets tendent à s'opposer à la variation du flux magnétique inducteur qui lui donne naissance.

   2. Méthode pour déterminer le sens du courant i_2

   Pour prévoir le sens de circulation du courant induit i_2(t) dans l'anneau :

   1. On choisit un sens de parcours arbitraire sur l'anneau (par exemple selon le vecteur unitaire orthoradial \vec{e}_\theta), ce qui définit le vecteur surface élémentaire \mathrm{d}\vec{S} selon +\vec{e}_z d'après la règle de la main droite.
   2. On détermine le signe de la variation temporelle du flux du champ magnétique inducteur \vec{B}_1(t) à travers l'anneau : \dfrac{\mathrm{d}\Phi_{1\to 2}}{\mathrm{d}t}.

   3. On applique la loi de Lenz :

      • si le flux inducteur augmente (\mathrm{d}\Phi_{1\to 2}/\mathrm{d}t > 0), le courant induit i_2 circule dans le sens tel que le champ magnétique induit propre \vec{B}_{\text{propre}} soit opposé à \vec{B}_1 (afin de s'opposer à l'augmentation du flux) ;
      • si le flux inducteur diminue (\mathrm{d}\Phi_{1\to 2}/\mathrm{d}t < 0), i_2 circule de sorte que \vec{B}_{\text{propre}} soit dans le même sens que \vec{B}_1 (afin de compenser la baisse de flux).

      La règle de la main droite (ou du tire-bouchon de Maxwell) appliquée à \vec{B}_{\text{propre}} donne alors directement le sens de parcours physique de i_2.

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CentraleSupélec Physique-Chimie 1 MPI 2025, Q13

   Considérons une spire circulaire de rayon r, située à la cote z(t) et orientée selon \vec{u}_\theta (de sorte que le vecteur surface soit orienté selon +\vec{u}_z par la règle de la main droite).

   Pour déterminer le flux magnétique \Phi_1(z) = \iint_{\mathcal{D}(z)} \vec{B}\cdot\vec{u}_z\,\mathrm{d}S à travers le disque \mathcal{D}(z) délimité par la spire, introduisons une surface fermée cylindrique (\mathcal{S}) de rayon r, limitée par :

   • la base \mathcal{D}(z) à la cote z(t), dont la normale sortante est -\vec{u}_z ;
   • une base \mathcal{D}(z_0) située à une cote z_0 > z suffisamment éloignée de l'aimant pour que le champ magnétique y soit nul ou négligeable (\vec{B} \approx \vec{0}) ;
   • la surface latérale \Sigma_{\text{lat}} comprise entre z et z_0, de normale sortante \vec{n}_{\text{ext}} = \vec{u}_r, où règne le champ radial \vec{B}_0 = B_0\,\vec{u}_r.

   D'après l'équation de Maxwell-Thomson, \mathrm{div}\,\vec{B} = 0, le flux du champ magnétique sortant de cette surface fermée est nul :

   \oiint_{(\mathcal{S})} \vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{S} = 0 \iff -\iint_{\mathcal{D}(z)} \vec{B}\cdot\vec{u}_z\,\mathrm{d}S + \iint_{\mathcal{D}(z_0)} \vec{B}\cdot\vec{u}_z\,\mathrm{d}S + \iint_{\Sigma_{\text{lat}}} \vec{B}\cdot\vec{u}_r\,\mathrm{d}S = 0

   Comme \vec{B} \approx \vec{0} sur \mathcal{D}(z_0), il vient :

   \Phi_1(z) = \iint_{\Sigma_{\text{lat}}} \vec{B}_0\cdot\vec{u}_r\,\mathrm{d}S = \int_{z}^{z_0} B_0 \,(2\pi r\,\mathrm{d}z') = 2\pi r B_0 (z_0 - z)

   D'après la loi de Faraday, la force électromotrice induite dans cette spire s'écrit :

   e_1 = -\frac{\mathrm{d}\Phi_1}{\mathrm{d}t} = -\left(-2\pi r B_0 \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\right) = 2\pi r B_0 \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}

   La bobine étant constituée de N spires identiques branchées en série et animées de la même vitesse \vec{v} = \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\vec{u}_z, la force électromotrice totale induite est la somme des f.é.m. individuelles :

   \boxed{e = 2\pi r N B_0 \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}}

   Résultat

   $$e=2\pi rN{B}_0\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3CentraleSupélec Physique-Chimie 1 MPI 2025, Q16

   L'ensemble des N spires mobiles constituant la bobine est le siège :

   • d'effets ohmiques, modélisés par la résistance totale R_b ;
   • d'effets d'auto-induction, modélisés par l'inductance propre L_b ;
   • d'un phénomène d'induction motionnelle caractérisé à la question Q13 par la force électromotrice e(t) = 2\pi r N B_0 \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}.

   Dans l'orientation du circuit associée au sens de comptage du courant i(t), la force électromotrice induite e(t) agit en convention générateur. Le circuit électrique équivalent est une maille unique fermée sur le générateur E(t) :

   En convention récepteur pour la bobine (composée de R_b, L_b et du siège de la f.é.m. e), la tension à ses bornes s'écrit :

   u_b(t) = R_b i(t) + L_b \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} - e(t)

   La loi des mailles impose E(t) = u_b(t), soit :

   E(t) = R_b i(t) + L_b \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} - e(t)

   En injectant l'expression de la f.é.m. issue de la question Q13, e(t) = 2\pi r N B_0 \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}, on obtient :

   E(t) = R_b i(t) + L_b \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} - 2\pi r N B_0 \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}

   Par identification avec la relation E(t) = R_b i(t) + L_b \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} - \gamma \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}, on en déduit :

   \boxed{\gamma = 2\pi r N B_0}

   Résultat

   $$\gamma =2\pi rN{B}_0$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4E3A Physique-Chimie MPI 2025, Q13

   1. Explication qualitative (induction de Lorentz / loi de Lenz)

   Lorsque la spire entre dans la zone de champ magnétique uniforme \vec{B}_0 = B_0\,\vec{u}_z à la vitesse \vec{v}_0 = v_0\,\vec{u}_x, la surface de la spire plongée dans le champ augmente, ce qui entraîne une augmentation du flux magnétique à travers celle-ci.

   D'après la loi de modération de Lenz, les phénomènes d'induction s'opposent à la cause qui leur donne naissance. Le courant induit doit donc s'opposer à l'augmentation du flux magnétique en créant un champ magnétique induit \vec{B}_{\text{ind}} de sens opposé à \vec{B}_0, c'est-à-dire dirigé selon -\vec{u}_z.

   D'après la règle de la main droite, le sens positif arbitraire choisi pour i sur la figure 6 (contour F \to C \to D \to E \to F) définit une normale orientée selon +\vec{u}_z, ce qui créerait un champ dans le sens +\vec{u}_z si i > 0. Par conséquent, le courant réel circule en sens inverse de la flèche : l'intensité algébrique i est négative.

   2. Détermination quantitative de l'intensité i

   Pour t \in \left[0, \frac{a}{v_0}\right], la partie avant EF est à l'abscisse x(t) = v_0 t. La surface de la spire située dans la zone de champ non nul est un rectangle de longueur x(t) et de largeur a :

   S(t) = a\,x(t) = a\,v_0\,t

   Avec la convention d'orientation choisie sur la figure 6, le vecteur unitaire normal au plan de la spire est \vec{n} = +\vec{u}_z. Le flux magnétique à travers la spire s'écrit donc :

   \Phi(t) = \iint_{\text{spire}} \vec{B} \cdot \vec{n}\,\mathrm{d}S = B_0\,S(t) = B_0\,a\,v_0\,t

   D'après la loi de Faraday, la force électromotrice induite dans la spire vaut :

   e(t) = -\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t} = - B_0\,a\,v_0

   En négligeant l'auto-inductance de la spire et son champ propre, la loi d'Ohm appliquée au circuit fermé de résistance R donne :

   e = R\,i \implies i = \frac{e}{R}

   \boxed{i = -\frac{B_0\,a\,v_0}{R}}

   L'intensité i est constante pendant toute la phase d'entrée et bien négative, en accord avec l'analyse qualitative.

   Résultat

   $$i=-\frac{B_{0}a{v}_0}{R}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5CentraleSupélec Physique-Chimie 1 MPI 2026, Q7

   La densité surfacique de charge étant nulle à la surface du conducteur (\sigma = 0), la force électromagnétique élémentaire se réduit à la force de Laplace surfacique. Un élément de surface ne pouvant exercer de force sur lui-même, le champ magnétique agissant sur les porteurs de charge de l'élément \mathrm{d}S est le champ extérieur \vec{B}^*(z \to 0, t) obtenu à la question Q6.

   La force élémentaire s'écrit donc :

   \mathrm{d}\vec{F} = \vec{j}_s(t)\,\mathrm{d}S \wedge \vec{B}^*(z \to 0, t).

   D'après les résultats des questions Q5 et Q6 :

   \begin{aligned} \vec{j}_s(t) &= 2\varepsilon_0 c E_0 \cos(\omega t)\,\vec{e}_x, \\ \vec{B}^*(z \to 0, t) &= \frac{E_0}{c}\cos(\omega t)\,\vec{e}_y. \end{aligned}

   En calculant le produit vectoriel sachant que \vec{e}_x \wedge \vec{e}_y = \vec{e}_z :

   \begin{aligned} \mathrm{d}\vec{F} &= \left( 2\varepsilon_0 c E_0 \cos(\omega t)\,\vec{e}_x \right) \wedge \left( \frac{E_0}{c}\cos(\omega t)\,\vec{e}_y \right) \mathrm{d}S \\ &= 2 \varepsilon_0 E_0^2 \cos^2(\omega t)\,\mathrm{d}S\,\vec{e}_z. \end{aligned}

   \boxed{\mathrm{d}\vec{F} = 2 \varepsilon_0 E_0^2 \cos^2(\omega t)\,\mathrm{d}S\,\vec{e}_z}

   La moyenne temporelle d'un terme en \cos^2(\omega t) sur une période étant égale à \frac{1}{2}, on obtient immédiatement :

   \begin{aligned} \langle \mathrm{d}\vec{F} \rangle &= 2 \varepsilon_0 E_0^2 \, \langle \cos^2(\omega t) \rangle \,\mathrm{d}S\,\vec{e}_z \\ &= \varepsilon_0 E_0^2 \,\mathrm{d}S\,\vec{e}_z. \end{aligned}

   \boxed{\langle \mathrm{d}\vec{F} \rangle = \varepsilon_0 E_0^2 \,\mathrm{d}S\,\vec{e}_z}

   Résultat

   $$\mathrm{d}\vec{F}=2{\epsilon }_0{E}_0^2{\cos }^2(\omega t)\mathrm{d}S{\vec{e}}_z$$

   $$⟨\mathrm{d}\vec{F}⟩={\epsilon }_0{E}_0^2\mathrm{d}S{\vec{e}}_z$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6Mines-Ponts Physique 2 MPI 2026, Q8

   Dans le cadre de l'ARQS, le champ magnétique créé par le demi-solénoïde au voisinage de son axe s'obtient directement à partir des résultats de la partie I en remplaçant l'intensité stationnaire I par l'intensité instantanée i_1(t) = I_1\cos(\omega t).

   D'après les questions Q4 (donnée pour B_z) et Q5 pour B_r, le champ magnétique possède une composante axiale B_z et une composante radiale B_r :

   \begin{aligned} B_r(r,z,t) &= \frac{\mu_0 n i_1(t) r}{4} \frac{b^2}{(b^2+z^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 n I_1 r b^2}{4(b^2+z^2)^{3/2}} \cos(\omega t) \\ B_z(r,z,t) &\approx B_z(z,t) = \frac{\mu_0 n i_1(t)}{2}\left(1 - \frac{z}{\sqrt{b^2+z^2}}\right) = \frac{\mu_0 n I_1}{2}\left(1 - \frac{z}{\sqrt{b^2+z^2}}\right) \cos(\omega t) \end{aligned}

   Le champ magnétique total \vec{B}(r,z,t) = B_r(r,z,t)\,\vec{e}_r + B_z(z,t)\,\vec{e}_z s'écrit donc au voisinage de l'axe :

   \boxed{\vec{B}(r,z,t) = \frac{\mu_0 n I_1 \cos(\omega t)}{2} \left[ \frac{r b^2}{2(b^2+z^2)^{3/2}} \, \vec{e}_r + \left(1 - \frac{z}{\sqrt{b^2+z^2}}\right) \vec{e}_z \right]}

   Résultat

   $$\vec{B}(r,z,t)=\frac{{\mu }_{0}n{I}_1\cos (\omega t)}{2}\left[\frac{r{b}^2}{2(b^2+z^2{)}^{3/2}}{\vec{e}}_r+\left(1-\frac{z}{\sqrt{b^2+z^2}}\right){\vec{e}}_z\right]$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7Mines-Ponts Physique 2 MPI 2026, Q9

   Orientons l'anneau circulaire dans le sens de \vec{e}_\theta ; le vecteur surface élémentaire est alors orienté par la règle du tire-bouchon selon \vec{e}_z : \mathrm{d}\vec{S} = \mathrm{d}S\,\vec{e}_z.

   Le rayon de l'anneau a = 1\text{ cm} étant petit devant le rayon du solénoïde b = 5\text{ cm}, la composante axiale du champ magnétique \vec{B}_1 généré par le primaire peut être considérée comme uniforme sur le disque délimité par l'anneau et égale à sa valeur sur l'axe B_z(z,t) :

   B_z(z,t) = \frac{\mu_0 n i_1(t)}{2}\left(1 - \frac{z}{\sqrt{b^2+z^2}}\right)

   Le flux magnétique envoyé par le solénoïde à travers l'anneau s'écrit donc :

   \Phi_{1\to 2}(t) = \iint_{\text{anneau}} \vec{B}_1\cdot\mathrm{d}\vec{S} \approx B_z(z,t)\,\pi a^2 = \frac{\mu_0 n \pi a^2}{2}\left(1 - \frac{z}{\sqrt{b^2+z^2}}\right) i_1(t)

   Par définition de l'inductance mutuelle, \Phi_{1\to 2}(t) = M(z)\,i_1(t), d'où :

   \boxed{M(z) = \frac{\mu_0 n \pi a^2}{2}\left(1 - \frac{z}{\sqrt{b^2+z^2}}\right)}

   Le flux magnétique total traversant le circuit secondaire s'écrit, en incluant le terme d'auto-induction :

   \Phi_2(t) = L i_2(t) + M(z) i_1(t)

   D'après la loi de Faraday, la force électromotrice induite dans l'anneau à position z fixée vaut :

   e_2(t) = -\frac{\mathrm{d}\Phi_2}{\mathrm{d}t} = -L\frac{\mathrm{d}i_2}{\mathrm{d}t}(t) - M(z)\frac{\mathrm{d}i_1}{\mathrm{d}t}(t)

   La loi des mailles appliquée à l'anneau résistif de résistance R s'écrit e_2(t) = R\,i_2(t), ce qui conduit immédiatement à la relation attendue :

   \boxed{R\,i_2(t) + L\frac{\mathrm{d}i_2}{\mathrm{d}t}(t) + M(z)\frac{\mathrm{d}i_1}{\mathrm{d}t}(t) = 0}

   Résultat

   $$M(z)=\frac{{\mu }_{0}n\pi a^2}{2}\left(1-\frac{z}{\sqrt{b^2+z^2}}\right)$$

   $$R{i}_2(t)+L\frac{\mathrm{d}{i}_2}{\mathrm{d}t}(t)+M(z)\frac{\mathrm{d}{i}_1}{\mathrm{d}t}(t)=0$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8CentraleSupélec Physique-Chimie 1 MPI 2025, Q12

   Résistance totale R_b :
   Les N spires sont parcourues par le même courant électrique i : elles sont donc associées en série. La résistance d'une association série de dipôles ohmiques étant égale à la somme de leurs résistances, on a directement :

   \boxed{R_b = N R_1}

   Inductance propre totale L_b :
   Les spires sont pratiquement jointives, de sorte qu'elles partagent la même géométrie et le même volume d'espace. Par superposition en régime quasi stationnaire, le champ magnétique créé en tout point par l'ensemble des N spires parcourues par le courant i est la somme des champs créés par chaque spire :

   \vec{B}_{\text{tot}} \approx N \vec{B}_1

   où \vec{B}_1 est le champ créé par une spire unique parcourue par le courant i.

   Le flux du champ total à travers une spire quelconque s'écrit alors :

   \Phi_{\text{spire}} = \iint \vec{B}_{\text{tot}} \cdot \mathrm{d}\vec{S} \approx N \iint \vec{B}_1 \cdot \mathrm{d}\vec{S} = N L_1 i

   où L_1 est l'inductance propre d'une spire isolée.

   Le flux total embrassé par l'ensemble des N spires en série est la somme des flux à travers chacune d'elles :

   \Phi_b = \sum_{k=1}^N \Phi_{\text{spire}} \approx N \cdot (N L_1 i) = N^2 L_1 i

   Par identification avec la relation définissant l'inductance propre globale \Phi_b = L_b i, on en déduit :

   \boxed{L_b = N^2 L_1}

   Résultat

   $$R_b=N{R}_1$$

   $$L_b=N^2{L}_1$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9E3A Physique-Chimie MPI 2025, Q14

   La force de Laplace totale s'exerçant sur la spire fermée s'écrit :

   \vec{F} = \oint_{\text{spire}} i\,\mathrm{d}\vec{\ell} \wedge \vec{B}

   Pendant la phase d'entrée dans la zone de champ magnétique (0 < x < a) :

   • Le côté arrière (CD) est dans la région où le champ est nul : sa contribution est nulle.
   • Les parties immergées des deux côtés latéraux (parallèles à \vec{u}_x) sont de même longueur x, baignent dans le même champ uniforme \vec{B}_0 = B_0 \vec{u}_z, et sont parcourues par des courants en sens opposés. Les forces de Laplace élémentaires exercées sur ces deux côtés sont donc directement opposées et leur résultante est nulle.
   • Il ne subsiste ainsi que la force exercée sur le côté avant (EF), entièrement situé dans la zone de champ uniforme \vec{B}_0.

   Avec le sens d'orientation associé à la normale \vec{n} = +\vec{u}_z, le vecteur déplacement élémentaire le long du segment EF orienté est porté par \vec{u}_y : \int_E^F \mathrm{d}\vec{\ell} = a\,\vec{u}_y. La force s'écrit donc :

   \vec{F} = i \left( \int_E^F \mathrm{d}\vec{\ell} \right) \wedge \vec{B}_0 = i\,(a\,\vec{u}_y) \wedge (B_0\,\vec{u}_z) = i\,a\,B_0\,\vec{u}_x

   En utilisant l'expression du courant induit établie à la question Q13, i = -\dfrac{B_0 a v_0}{R} :

   \boxed{ \vec{F} = -\frac{B_0^2 a^2}{R} v_0\,\vec{u}_x }

   Puisque les grandeurs B_0, a, R et v_0 sont indépendantes du temps pendant cette phase d'entrée, la force est constante.

   Justification qualitative du sens : D'après la loi de modération de Lenz, les phénomènes d'induction s'opposent à la cause qui leur donne naissance. La cause de l'induction étant le déplacement de la spire à la vitesse \vec{v}_0 = v_0 \vec{u}_x, la force de Laplace induite tend à freiner la spire en s'opposant au mouvement : elle est donc orientée selon -\vec{u}_x.

   Résultat

   $$\vec{F}=-\frac{B_0^2{a}^2}{R}{v}_0{\vec{u}}_x$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10E3A Physique-Chimie MPI 2025, Q15

    Pendant la phase de sortie, la partie avant (EF) de la spire est déjà sortie de la zone de champ non nul (x > a), tandis que la partie arrière (CD) y est encore présente (x - a < a, soit x \in [a, 2a]).

    La longueur de spire encore immergée dans la zone de champ magnétique selon l'axe (Ox) est donc :

    L_x = a - (x(t) - a) = 2a - x(t)

    La surface de la spire baignée par le champ magnétique \vec{B}_0 = B_0 \vec{u}_z vaut :

    S(t) = a\,(2a - x(t))

    En conservant la même orientation que pour la question Q13 (normale \vec{n} = \vec{u}_z associée au sens positif du courant indiqué sur la figure 6), le flux magnétique à travers la spire s'écrit :

    \Phi(t) = \iint \vec{B}_0 \cdot \mathrm{d}\vec{S} = B_0\,S(t) = B_0\,a\,(2a - x(t))

    D'après la loi de Faraday, la force électromotrice induite est :

    e = -\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t} = - B_0 a \left(-\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right) = + B_0 a v_0

    L'auto-inductance étant négligée, la loi d'Ohm donne l'intensité du courant induit :

    i = \frac{e}{R} = +\frac{B_0 a v_0}{R}

    Le courant s'est donc inversé par rapport à la phase d'entrée (i_{\text{sortie}} = - i_{\text{entrée}}).

    Calculons la résultante des forces de Laplace \vec{F} = \oint_{\text{spire}} i\,\mathrm{d}\vec{\ell} \wedge \vec{B} :

    • La partie avant (EF) est en dehors de la zone de champ magnétique (\vec{B} = \vec{0}), donc \vec{F}_{\text{EF}} = \vec{0}.
    • Sur les deux brins horizontaux, le champ étant uniforme et les courants opposés, les forces de Laplace se compensent deux à deux.
    • Seule la branche arrière (CD) est soumise à une force non nulle. Sur ce segment, le courant circule en sens inverse de celui qui parcourait la branche EF : \vec{\ell}_{\text{CD}} = - \vec{\ell}_{\text{EF}}.

    Comme le courant i et le vecteur déplacement le long du brin ont tous deux changé de signe par rapport à la phase d'entrée, la force de Laplace reste rigoureusement identique à celle obtenue en Q14 :

    \vec{F} = \vec{F}_{\text{CD}} = i\,\vec{\ell}_{\text{CD}} \wedge \vec{B}_0 = (-i_{\text{entrée}})(-\vec{\ell}_{\text{EF}}) \wedge \vec{B}_0 = \vec{F}_{\text{entrée}}

    On retrouve bien :

    \boxed{\vec{F} = -\frac{B_0^2 a^2}{R} v_0\,\vec{u}_x}

    Résultat

    $$\vec{F}=-\frac{B_0^2{a}^2}{R}{v}_0{\vec{u}}_x$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question