Corrigé détaillé CCINP Physique PC 2022

D'après l'énoncé, la force aérodynamique s'écrit \vec{F} = \mu U \vec{U}, où U = \|\vec{U}\| désigne la vitesse du vent. La norme de cette force s'exprime donc sous la forme :

Par analyse dimensionnelle, en appliquant le principe fondamental de la dynamique ([F] = \mathrm{M \cdot L \cdot T^{-2}}) :

Dans le Système International (SI), les unités de base associées à la masse et à la longueur sont respectivement le kilogramme (\mathrm{kg}) et le mètre (\mathrm{m}).

L'unité de \mu exprimée à l'aide des grandeurs de base est donc :

Le régime d'écoulement d'un fluide autour d'un obstacle de dimension caractéristique D (ici le diamètre de la plaque, D = 2R = 0{,}10\text{ m}) est gouverné par le nombre de Reynolds :

Pour une vitesse typique du vent de quelques mètres par seconde, prenons U \sim 1\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} :

Puisque \mathrm{Re} \gg 1, les forces d'inertie prédominent largement devant les forces de viscosité (régime inertiel).

L'écoulement présente un décollement de couche limite et un sillage turbulent à l'arrière de la plaque, générant une dépression motrice. La force aérodynamique est alors dominée par la traînée de forme (ou de pression), modélisée par la formule usuelle de traînée :

où S = \pi R^2 est la section droite de la plaque et C_x son coefficient de traînée.

On étudie le système \{\text{plaque} + \text{tige}\} dans le référentiel terrestre supposé galiléen. On note O l'intersection de la tige avec l'axe horizontal (\Delta), et C le centre de la plaque circulaire, situé à la distance OC = L de O.

On définit un repère orthonormé direct (O, \vec{e}_x, \vec{e}_y, \vec{e}_z) tel que :

• \vec{e}_x est le vecteur unitaire horizontal colinéaire et de même sens que la vitesse du vent \vec{U} ;
• \vec{e}_z est le vecteur unitaire vertical descendant, colinéaire et de même sens que \vec{g} ;
• \vec{e}_\Delta = \vec{e}_z \wedge \vec{e}_x est le vecteur unitaire orientant l'axe (\Delta), de sorte qu'une rotation dans le sens direct autour de \vec{e}_\Delta corresponde à une augmentation de l'angle \theta.

Le vecteur position du point C s'écrit alors :

Les actions mécaniques extérieures appliquées au système sont :

1. L'action de la liaison pivot en O : modélisée par une résultante \vec{R}. Sa droite d'action coupant l'axe (\Delta), son moment scalaire par rapport à (\Delta) est nul :

   \boxed{\mathcal{M}_\Delta(\vec{R}) = 0}

2. Le poids du système : la tige étant de masse négligeable et la plaque homogène, il se réduit au poids de la plaque \vec{P} = m\vec{g} = mg\,\vec{e}_z, appliqué au centre de masse C. Son moment par rapport à (\Delta) vaut :

   \begin{aligned} \vec{\mathcal{M}}_O(\vec{P}) &= \vec{OC} \wedge \vec{P} = (L \sin\theta\,\vec{e}_x + L \cos\theta\,\vec{e}_z) \wedge (mg\,\vec{e}_z) \\ &= - mg L \sin\theta\,(\vec{e}_z \wedge \vec{e}_x) = - mg L \sin\theta\,\vec{e}_\Delta \end{aligned}

   D'où le moment scalaire :

   \boxed{\mathcal{M}_\Delta(\vec{P}) = - mg L \sin\theta}

3. La résultante des forces aérodynamiques : \vec{F} = \mu U \vec{U} = \mu U^2 \vec{e}_x, appliquée en C. Son moment par rapport à (\Delta) vaut :

   \begin{aligned} \vec{\mathcal{M}}_O(\vec{F}) &= \vec{OC} \wedge \vec{F} = (L \sin\theta\,\vec{e}_x + L \cos\theta\,\vec{e}_z) \wedge (\mu U^2 \vec{e}_x) \\ &= \mu U^2 L \cos\theta\,(\vec{e}_z \wedge \vec{e}_x) = \mu U^2 L \cos\theta\,\vec{e}_\Delta \end{aligned}

   D'où le moment scalaire :

   \boxed{\mathcal{M}_\Delta(\vec{F}) = \mu U^2 L \cos\theta}

À l'équilibre mécanique dans le référentiel d'étude galiléen, la somme des moments scalaires des forces appliquées au système {plaque + tige} par rapport à l'axe (\Delta) est nulle :

En utilisant les expressions obtenues à la question précédente (Q3) pour \theta = \theta_{\text{eq}} :

La longueur L se simplifie (puisqu'elle est non nulle), ce qui conduit à :

La vitesse du vent U étant positive, on en déduit :

Application numérique :

• m = 30\text{ g} = 30 \cdot 10^{-3}\text{ kg}
• g = 9{,}81\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}
• \mu = 1 \cdot 10^{-2}\text{ kg}\cdot\text{m}^{-1}
• \theta_{\text{eq}} = 8^\circ

Commentaire sur la cohérence :

• Cette valeur est de l'ordre de « quelques \text{m}\cdot\text{s}^{-1} » (environ 7{,}3\text{ km}\cdot\text{h}^{-1}, ce qui correspond à une légère brise), en parfait accord avec l'ordre de grandeur annoncé dans l'introduction de la sous-partie I.1.
• L'angle \theta_{\text{eq}} = 8^\circ \approx 0{,}14\text{ rad} reste faible devant 1\text{ rad}, ce qui valide a posteriori l'hypothèse de faibles inclinaisons formulée pour l'expression de la traînée \vec{F}.

Le vent incident se propage horizontalement de gauche à droite à la vitesse \vec{U}.

Identification des angles d'incidence et des coefficients C_{\mathrm{N}} :

• Coupelles inférieures : le vent arrive dans la concavité (creux de la coupelle). L'angle d'incidence entre le vent et l'axe de la coupelle est \beta = \pm 45^\circ. D'après la courbe du document 2 :

  C_{\mathrm{N}}(45^\circ) \approx 1{,}6 > 0.

  La force normale est dirigée selon +\vec{u}_{\mathrm{N}} (vers l'aval du vent, vers la droite).

• Coupelles supérieures : le vent frappe la face convexe (la pointe du cône). L'angle d'incidence est \beta = \pm (180^\circ - 45^\circ) = \pm 135^\circ. D'après la courbe du document 2 :

  C_{\mathrm{N}}(135^\circ) \approx -0{,}35 < 0.

  La force normale est dirigée selon -\vec{u}_{\mathrm{N}} (également orientée globalement vers l'aval, vers la droite).

Comparaison des normes des forces : La norme de la force normale s'écrit \|\vec{F}_{\mathrm{N}}\| = \frac{1}{2}\rho_{\mathrm{air}}\mathcal{A}\,|C_{\mathrm{N}}|\,U^2. Par symétrie de la configuration (\|\vec{F}_{\mathrm{N}}(-\beta)\| = \|\vec{F}_{\mathrm{N}}(\beta)\|), les deux coupelles inférieures subissent une force de même norme, notée F_{\mathrm{N, bas}}, et les deux coupelles supérieures subissent une force de même norme, notée F_{\mathrm{N, haut}} :

Le rapport des normes vaut donc :

Les forces normales sur les coupelles inférieures sont ainsi environ quatre à cinq fois plus intenses que celles s'exerçant sur les coupelles supérieures.

Représentation schématique : Sur le schéma ci-dessous, les forces \vec{F}_{\mathrm{N}} normales aux bases des cônes sont tracées : des flèches de grande longueur pour les deux coupelles inférieures, et de faible longueur pour les deux coupelles supérieures.

Soit (\Delta) l'axe vertical de rotation de l'anémomètre, orienté vers le haut (vers l'observateur). Les quatre coupelles sont situées à égale distance R_{\text{bras}} de cet axe.

• Les forces tangentielles \vec{F}_{\mathrm{T}} étant portées par les bras, leur droite d'action coupe l'axe (\Delta) : leur moment par rapport à (\Delta) est nul.
• Les forces normales \vec{F}_{\mathrm{N}} sont orthogonales aux bras ; leur bras de levier par rapport à l'axe (\Delta) est donc maximal et égal à la longueur du bras R_{\text{bras}}.
• D'après l'étude menée à la question précédente, les coupelles inférieures présentent leur face creuse (concave) face au vent et subissent des forces \vec{F}_{\mathrm{N}} motrices de grande norme (C_{\mathrm{N}} \approx 1{,}6). À l'inverse, les coupelles supérieures présentent leur pointe (convexe) face au vent et subissent des forces résistantes de norme nettement plus faible (|C_{\mathrm{N}}| \approx 0{,}35, soit un rapport d'environ 4{,}5).

Le moment résultant par rapport à l'axe vertical (\Delta) n'est donc pas nul :

Le couple moteur exercé sur les coupelles inférieures l'emporte largement sur le couple résistant exercé sur les coupelles supérieures. D'après le théorème du moment cinétique appliqué à l'anémomètre autour de l'axe (\Delta), cette dissymétrie induit une accélération angulaire non nulle : l'anémomètre se met en rotation.

Sens de rotation : Les coupelles inférieures étant poussées vers la droite (dans le sens du vent) avec une force prépondérante, l'anémomètre se met à tourner dans le sens anti-horaire (sens trigonométrique).

Le mouvement de rotation de l'anémomètre autour de son axe vertical (\Delta) orienté par \vec{u}_z est régi par le théorème du moment cinétique scalaire, dans lequel n'interviennent que les moments des forces extérieures par rapport à cet axe.

Pour une coupelle dont le centre est repéré par le point M à l'extrémité du bras de rayon R_{\text{bras}} issu de l'axe (\Delta) en un point O :

car le bras radial reliant l'axe au centre de la base de la coupelle est colinéaire au vecteur tangentiel \vec{u}_{\mathrm{T}} défini dans le document 2.

La force tangentielle s'écrit :

Le moment scalaire de cette force par rapport à l'axe (\Delta) vaut donc :

puisque le produit vectoriel de deux vecteurs colinéaires est nul.

La droite d'action de \vec{F}_{\mathrm{T}} coupe l'axe de rotation : son bras de levier est nul. Elle n'engendre aucun couple moteur ou résistant et est donc sans influence sur la rotation de l'anémomètre.

1. Définition d'un couple de forces :

En mécanique du solide, un couple de forces est un système de forces dont la résultante est nulle :

En particulier, un couple élémentaire est constitué de deux forces de directions parallèles, de sens opposés et de même norme, portées par des droites d'action distinctes.

Une conséquence fondamentale est que le moment résultant d'un couple est indépendant du point de référence choisi :

2. Discussion sur l'appellation « couple aérodynamique » :

• Au sens strict de la mécanique : l'expression est impropre (abus de langage). En effet, la résultante des actions aérodynamiques exercées par le vent sur l'anémomètre n'est pas nulle (\vec{R}_{\text{aéro}} \neq \vec{0}) : le vent exerce une force de traînée globale non nulle sur le dispositif, reprise par la fixation de l'axe. Le torseur des actions aérodynamiques n'est donc pas un torseur couple.
• Dans l'usage courant en sciences pour l'ingénieur : le terme « couple » est très souvent employé par métonymie pour désigner le moment scalaire des forces par rapport à l'axe de rotation (\Gamma = \mathcal{M}_{\Delta}), qui traduit la capacité du vent à entraîner l'anémomètre en rotation (analogue à la notion anglo-saxonne de torque). En ce sens pratique, le terme permet d'identifier immédiatement l'action motrice agissant sur la rotation.

Les forces aérodynamiques exercées par l'écoulement d'air sur une coupelle dépendent non pas de la vitesse absolue \vec{U} du vent, mais de la vitesse relative \vec{U}_{\text{rel}} = \vec{U} - \vec{v} du vent par rapport à cette coupelle, où \vec{v} est la vitesse de déplacement de la coupelle (de norme v = 2\pi f R, avec R le rayon du bras de l'anémomètre) :

• Pour les coupelles motrices (creux face au vent, qui se déplacent dans le sens du vent) : la vitesse relative a pour norme U_{\text{rel}} \approx U - v. Lorsque la fréquence de rotation f augmente, v augmente, donc la vitesse relative diminue : la force motrice et le couple moteur associé diminuent.
• Pour les coupelles résistantes (pointes face au vent, qui remontent le vent) : la vitesse relative a pour norme U_{\text{rel}} \approx U + v. Lorsque f augmente, cette vitesse relative augmente, ce qui accroît la force résistante et donc le couple résistant.

Par conséquent, la résultante de ces deux effets conduit à une diminution globale du couple aérodynamique moyen \Gamma lorsque la fréquence de rotation f augmente.

L'existence d'une vitesse de démarrage U_0 s'explique par la présence de frottements mécaniques solides (secs) au niveau de l'axe de rotation (liaison pivot, roulements ou paliers).

D'après les lois de Coulomb sur le frottement sec, le système reste immobile tant que le couple moteur d'origine aérodynamique \Gamma_{\text{aéro}}(U) n'excède pas le couple de frottement statique maximal \Gamma_{\text{s,max}} opposé par les contacts mécaniques :

Le couple aérodynamique exercé sur l'anémomètre à l'arrêt étant une fonction croissante de la vitesse du vent U (proportionnel à U^2), il n'atteint la valeur critique \Gamma_{\text{s,max}} qu'à partir d'une vitesse seuil non nulle, notée U_0. Pour toute vitesse U < U_0, le rotor ne peut pas démarrer.

En régime permanent et en l'absence de couple résistant de frottement (ce qui correspond à U_0 = 0), l'accélération angulaire moyenne de l'anémomètre est nulle. D'après le théorème du moment cinétique projeté sur l'axe vertical, le couple moyen résultant s'exerçant sur le rotor doit être nul :

D'après le document 3, le vent souffle à une vitesse U = 8{,}0\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}. Sur l'axe des abscisses, les graduations principales indiquent un pas de 1\text{ Hz} par grand carreau (comme en attestent les repères 9\text{ Hz} et 10\text{ Hz}). L'intersection de la courbe \Gamma(f) avec l'axe \Gamma = 0 se situe entre la 6e et la 7e division, ce qui donne une fréquence de rotation d'équilibre :

En utilisant la loi d'étalonnage du document 1 avec U_0 = 0 :

Soit numériquement :

1. Hypothèses et modélisation :

• Modèle mécanique : Un aimant droit comporte un pôle Nord et un pôle Sud (une paire de pôles). Une rotation complète de l'anémomètre induit donc une période temporelle complète de flux magnétique dans la bobine. La fréquence de rotation de l'axe est ainsi égale à la fréquence électrique observée :

  f_{\text{rot}} = f = 38\text{ Hz}, \quad \text{soit une vitesse angulaire } \Omega = 2\pi f \approx 239\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}

• Modèle électrique : Le circuit est modélisé par une f.é.m. d'induction e(t), en série avec la bobine (d'inductance L = 11\text{ mH} et de résistance interne r_{\text{b}}) et l'oscilloscope de résistance d'entrée R_{\text{osc}} = 1\text{ M}\Omega. L'impédance inductive vaut :

  L\Omega = 11\cdot 10^{-3} \times 239 \approx 2{,}6\,\Omega \ll R_{\text{osc}}

  La résistance interne du fil de la bobine vérifie également r_{\text{b}} \ll R_{\text{osc}}. L'impédance totale du circuit se réduit donc à la résistance de l'oscilloscope R_{\text{osc}}.

• Les pertes par hystérésis magnétique et par courants de Foucault dans les pièces métalliques sont négligées.

2. Bilan de puissance : La tension mesurée aux bornes de l'oscilloscope est sinusoïdale d'amplitude U_m = 32\text{ V}. Le courant induit instantané est i(t) = \frac{u(t)}{R_{\text{osc}}}. La puissance électrique moyenne dissipée par effet Joule s'écrit :

Par conservation de l'énergie, cette puissance dissipée est intégralement fournie par le travail des forces de Laplace s'exerçant sur l'aimant tournant, qui développe un couple résistant moyen \Gamma_{\text{res}} :

On en déduit l'expression du couple résistant moyen :

3. Application numérique :

4. Commentaire : D'après le document 3, le couple aérodynamique s'exerçant sur l'anémomètre est de l'ordre de quelques \text{mN}\cdot\text{m} (environ 5\text{ mN}\cdot\text{m} au démarrage). Le couple de freinage électromagnétique induit par le capteur (\Gamma_{\text{res}} \approx 2\cdot 10^{-3}\text{ mN}\cdot\text{m}) est environ un millier de fois plus faible :

La présence de la bobine n'est donc absolument pas de nature à perturber le fonctionnement et la mesure de la vitesse par l'anémomètre.

La résistance électrique R_0 d'un conducteur cylindrique homogène de longueur \ell, de section droite constante S et de résistivité électrique \rho_{\mathrm{Pt}} à la température T_0 est donnée par la loi de Pouillet :

La section du fil de diamètre d étant un disque d'aire S = \dfrac{\pi d^2}{4}, il vient :

Avec les données numériques :

• \rho_{\mathrm{Pt}} = 1{,}11 \cdot 10^{-7}\ \Omega\cdot\mathrm{m} ;
• \ell = 1\ \mathrm{mm} = 1{,}0 \cdot 10^{-3}\ \mathrm{m} ;
• d = 1\ \mu\mathrm{m} = 1{,}0 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m}.

On obtient :

Considérons comme système fermé le fil conducteur de longueur \ell et de diamètre d. En régime permanent, la température T_{\mathrm{f}} du fil est stationnaire, de sorte que son énergie interne est constante :

Pendant une durée élémentaire \mathrm{d}t, le fil reçoit :

• un travail électrique lié à l'effet Joule :

  \delta W_{\mathrm{e}} = R_{\mathrm{f}} I^2 \,\mathrm{d}t

• un transfert thermique avec l'air ambiant, dominé par la convection forcée :

  \delta Q_{\text{reçu}} = - \delta Q_{\text{cédé}} = - h (T_{\mathrm{f}} - T_0) S_{\mathrm{lat}} \,\mathrm{d}t

  où la surface latérale d'échange vaut S_{\mathrm{lat}} = \pi d \ell.

D'après le premier principe de la thermodynamique, \mathrm{d}U = \delta W_{\mathrm{e}} + \delta Q_{\text{reçu}} = 0, ce qui conduit au bilan de puissance :

Par ailleurs, la relation donnant la résistance du fil en fonction de la température s'écrit :

En substituant cette expression et la loi d'échange h = a_0 + b_0 \sqrt{U} dans le bilan de puissance, on obtient :

On retrouve la loi de King demandée :

avec :

La température du fil T_{\mathrm{f}} étant maintenue constante, la résistance électrique R_{\mathrm{f}} = R_0(1 + \gamma(T_{\mathrm{f}} - T_0)) reste également constante.

D'après la loi de King établie à la question Q14 :

Lorsque la vitesse de l'écoulement U augmente, le membre de droite augmente strictement. Par conséquent, l'intensité I doit augmenter.

En convention récepteur, la loi d'Ohm appliquée au fil conducteur de résistance R_{\mathrm{f}} traversé par le courant continu I s'écrit :

En injectant cette relation dans la loi de King établie à la question Q14, il vient :

On en déduit l'expression du carré de la tension :

La tension E_{\mathrm{f}} étant positive, on obtient :

La sensibilité d'un capteur correspond au taux de variation du signal mesuré en fonction de la grandeur d'intérêt :

D'après la courbe d'étalonnage de la figure 4, la pente de la tangente à la courbe, c'est-à-dire la dérivée \frac{\mathrm{d}E_{\mathrm{f}}}{\mathrm{d}U}, est une fonction strictement décroissante de la vitesse U : la courbe présente une concavité tournée vers le bas et s'aplatit aux vitesses élevées.

Si le voltmètre (ou la chaîne d'acquisition) présente une incertitude de mesure \Delta E_{\mathrm{f}} fixée, l'incertitude induite sur la vitesse déduite s'exprime au premier ordre par :

• À faible vitesse, la pente \frac{\mathrm{d}E_{\mathrm{f}}}{\mathrm{d}U} est grande : une variation donnée de E_{\mathrm{f}} correspond à un intervalle très étroit de vitesse U, assurant une bonne précision.
• À grande vitesse, la pente \frac{\mathrm{d}E_{\mathrm{f}}}{\mathrm{d}U} devient faible : une faible incertitude sur la tension mesurée se répercute en une grande incertitude sur la vitesse U.

Les mesures sont donc moins précises à grande vitesse qu'à faible vitesse.

L'axe vertical étant orienté par le vecteur unitaire \vec{e}_z ascendant (figure 5), le champ de pesanteur s'écrit :

Le système constitué par la portion d'air de volume \delta \tau et de masse volumique \rho_{\mathrm{f}} est soumis à :

• son propre poids :

  \vec{\delta P} = \rho_{\mathrm{f}}\,\delta\tau\,\vec{g} = -\rho_{\mathrm{f}}\,\delta\tau\,g\,\vec{e}_z

• la poussée d'Archimède exercée par le fluide environnant non perturbé (de masse volumique \rho_0), égale à l'opposé du poids du fluide déplacé :

  \vec{\delta \Pi} = -\rho_0\,\delta\tau\,\vec{g} = +\rho_0\,\delta\tau\,g\,\vec{e}_z

Par définition, la force de flottaison \vec{\delta F_{\mathrm{f}}} est la résultante de ces deux forces :

Comme le volume de la portion d'air est modélisé par \delta\tau = \ell d^2, on obtient finalement :

L'équation d'état du gaz parfait pour une masse m occupant un volume V sous la pression P et à la température T s'écrit :

La masse volumique s'exprime donc selon :

La pression étant identique dans la portion d'air \delta\tau et dans le fluide environnant (P_{\mathrm{f}} = P_0 = P), on a :

Il en résulte :

En réinjectant ce résultat dans l'expression de la force de flottaison établie à la question Q18 (\overrightarrow{\delta F_{\mathrm{f}}} = (\rho_0 - \rho_{\mathrm{f}})\,\ell d^2 g\,\vec{e}_z), on obtient :

Le champ de vitesse est vertical et dirigé selon \vec{e}_z : \vec{v} = v_z(x,y,z)\,\vec{e}_z. L'écoulement étant supposé incompressible, l'équation de continuité \mathrm{div}\,\vec{v} = \frac{\partial v_z}{\partial z} = 0 implique que v_z ne dépend pas de z : \vec{v} = v_z(x,y)\,\vec{e}_z.

Le laplacien vectoriel du champ de vitesse s'écrit alors :

La portion d'air se déplace à la vitesse u au voisinage du fil, alors que le fluide environnant est au repos à l'extérieur. La vitesse varie donc de u à 0 sur les distances caractéristiques du parallélépipède :

• sur une échelle de longueur d selon la direction transverse horizontale (Ox) ;
• sur une échelle de longueur \ell le long du fil selon (Oy).

Puisque le profil de vitesse présente un maximum au centre du volume et décroît vers les bords, les dérivées secondes sont négatives. Les ordres de grandeur des dérivées secondes sont ainsi :

La force visqueuse s'opposant au mouvement (force de frottement résistante), elle est dirigée selon -\vec{e}_z :

La force de viscosité s'exerçant sur le volume \delta\tau = \ell d^2 s'estime donc par :

Comme d \ll \ell, on a \frac{1}{\ell^2} \ll \frac{1}{d^2} (soit \frac{d^2}{\ell} \ll \ell), ce qui permet de négliger les variations le long du fil devant les gradients transverses :

D'après la question Q19, la norme de la force de flottaison motrice s'exerçant sur le volume \delta\tau = \ell d^2 est :

D'après la question Q20, l'ordre de grandeur de la norme de la force de frottement visqueux s'opposant au mouvement est :

En régime permanent d'ascension, la vitesse verticale u s'établit à une valeur limite pour laquelle la force de flottaison compense les frottements visqueux. En traduisant que ces deux forces sont du même ordre de grandeur :

En simplifiant par la longueur \ell du fil, on en déduit l'ordre de grandeur de la vitesse d'ascension verticale due à la convection naturelle :

D'après le résultat de la question précédente (Q21), la vitesse d'ascension par convection naturelle s'exprime sous la forme :

Effectuons l'application numérique avec les grandeurs fournies :

• \rho_0 = \rho_{\mathrm{air}} = 1{,}3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3},
• T_0 = 300\text{ K},
• T_{\mathrm{f}} = 500\text{ K}, d'où T_{\mathrm{f}} - T_0 = 200\text{ K},
• g = 9{,}81\text{ m}\cdot\text{s}^{-2},
• d = 1\ \mu\text{m} = 1{,}0\cdot 10^{-6}\text{ m},
• \eta_{\mathrm{air}} = 1{,}85\cdot 10^{-5}\text{ Pl}.

On obtient :

Les vitesses d'écoulement mesurées en pratique avec un anémomètre à fil chaud sont typiquement de l'ordre de U \sim 0{,}1\text{ à }10\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} (comme l'illustre la courbe d'étalonnage de la figure 4).

La vitesse induite par la convection naturelle vérifie u \ll U avec un écart de plus de six ordres de grandeur. Par conséquent, la convection naturelle n'induit aucune perturbation notable sur le fonctionnement de l'anémomètre à fil chaud dans son domaine usuel d'utilisation.

Le fil étant assimilé à un cylindre d'axe (Ox) et de diamètre d, sa section droite transverse vaut :

D'après la loi de Fourier, le transfert de chaleur par conduction au sein du fil est décrit par le vecteur densité de flux thermique :

La portion de fil \Sigma(x) échange de la chaleur par conduction à travers :

• la face d'entrée en x, orientée vers l'extérieur par -\vec{e}_x, d'où un flux entrant algébrique :

  \Phi_{\mathrm{cond}}(x) = \vec{\jmath}_{\mathrm{th}}(x)\cdot (\vec{e}_x S) = -\lambda_{\mathrm{f}} S \frac{\mathrm{d}T_{\mathrm{f}}}{\mathrm{d}x}(x)

• la face de sortie en x+\mathrm{d}x, de vecteur normal sortant +\vec{e}_x, d'où un flux sortant :

  \Phi_{\mathrm{cond}}(x+\mathrm{d}x) = -\lambda_{\mathrm{f}} S \frac{\mathrm{d}T_{\mathrm{f}}}{\mathrm{d}x}(x+\mathrm{d}x)

Le flux net reçu par conduction par la portion \Sigma(x) s'écrit alors :

Le transfert thermique reçu pendant la durée \mathrm{d}t est donc :

La tranche élémentaire de fil \Sigma(x) se comporte comme un conducteur ohmique de résistance \mathrm{d}R, parcouru par un courant d'intensité I. En convention récepteur, la puissance électrique reçue par effet Joule s'écrit :

Le travail électrique \delta W_{\mathrm{e}} reçu par le système \Sigma(x) pendant la durée élémentaire \mathrm{d}t est donc :

En remplaçant la résistance élémentaire \mathrm{d}R par l'expression fournie par l'énoncé, on obtient :

Considérons le système fermé constitué par la tranche de fil élémentaire \Sigma(x) de section S = \frac{\pi d^2}{4} et de longueur \mathrm{d}x, entre les instants t et t + \mathrm{d}t.

En régime stationnaire, l'énergie interne du système est constante, soit \mathrm{d}U = 0. Le bilan énergétique du premier principe s'écrit :

où :

• d'après la question Q24, le travail électrique reçu par effet Joule vaut :

  \delta W_{\mathrm{e}} = \frac{R_0}{\ell} \left(1 + \gamma \theta_{\mathrm{f}}(x)\right) I^2 \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}t

  en notant \theta_{\mathrm{f}}(x) = T_{\mathrm{f}}(x) - T_0 ;

• d'après la question Q23, le transfert thermique net reçu par conduction s'écrit :

  \delta Q_{\mathrm{cond}} = \lambda_{\mathrm{f}} \frac{\pi d^2}{4} \frac{\mathrm{d}^2 T_{\mathrm{f}}}{\mathrm{d}x^2} \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}t = \lambda_{\mathrm{f}} \frac{\pi d^2}{4} \frac{\mathrm{d}^2 \theta_{\mathrm{f}}}{\mathrm{d}x^2} \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}t

• le transfert thermique cédé par convection à l'air sur la surface latérale \mathrm{d}S_{\mathrm{lat}} = \pi d \, \mathrm{d}x est :

  \delta Q_{\mathrm{conv}} = h \left(T_{\mathrm{f}}(x) - T_0\right) \mathrm{d}S_{\mathrm{lat}} \, \mathrm{d}t = h \pi d \, \theta_{\mathrm{f}}(x) \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}t

En injectant ces trois expressions dans le bilan et en divisant par \mathrm{d}x \, \mathrm{d}t \neq 0 :

En divisant l'ensemble par le facteur \lambda_{\mathrm{f}} \frac{\pi d^2}{4} devant la dérivée seconde, on obtient :

Cette relation correspond bien à l'équation différentielle demandée :

avec les constantes :

et

D'après la question Q25, la grandeur \theta_{\mathrm{f}}(x) vérifie l'équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants :

où \ell_{\mathrm{r}} = \frac{1}{\sqrt{K_1}}.

Une solution particulière constante de cette équation est :

On pose donc :

La solution générale de l'équation différentielle s'écrit comme la somme de la solution particulière et de la solution générale de l'équation homogène associée :

où A et B sont deux constantes réelles.

Les conditions aux limites aux deux extrémités du fil (en x = -\frac{\ell}{2} et x = +\frac{\ell}{2}) imposent T_{\mathrm{f}}(\pm \ell/2) = T_0, soit :

Le dispositif et les conditions aux limites étant pairs par rapport à x = 0, la fonction \theta_{\mathrm{f}}(x) est paire, ce qui impose B = 0.

La condition en x = \frac{\ell}{2} donne alors :

On en déduit l'expression du profil de température dans le fil :

D'après la figure 7, l'allure du profil de température adimensionné \theta_{\mathrm{f}}(x)/\theta_0 dépend fortement du rapport \ell_{\mathrm{r}}/\ell :

• pour \ell_{\mathrm{r}} = \ell/2 ou \ell_{\mathrm{r}} = \ell/4, le profil est parabolique et fortement bombé, la température variant continûment entre le centre et les extrémités sans présenter de zone uniforme ;
• pour \ell_{\mathrm{r}} = \ell/20, la température atteint un palier quasi-constant (\theta_{\mathrm{f}} \approx \theta_0) sur une grande partie centrale du fil (environ 80\,\% de sa longueur), et ne chute vers zéro que très brutalement aux abords des extrémités.

Pour que la température soit quasi-uniforme sur l'essentiel du fil, il faut donc choisir une longueur de refroidissement très inférieure à la longueur du fil :

Sens physique de la longueur de refroidissement \ell_{\mathrm{r}} :

Les deux extrémités du fil sont maintenues à la température ambiante T_0 par les broches de fixation métalliques massives, qui agissent comme des puits thermiques. La longueur \ell_{\mathrm{r}} représente la distance caractéristique de pénétration de cet effet de bord depuis chaque extrémité. Sur une épaisseur de l'ordre de quelques \ell_{\mathrm{r}} près des attaches, la conduction axiale évacue efficacement l'énergie vers les broches, refroidissant ainsi le fil. À une distance supérieure à quelques \ell_{\mathrm{r}} des bords, l'influence des supports devient négligeable : la conduction axiale s'annule et la température atteint la valeur d'équilibre uniforme \theta_0 pour laquelle l'effet Joule compense exactement la convection latérale.

• Caractère transversal ou longitudinal :
  Les vecteurs d'onde \vec{k}_1 et \vec{k}_2 appartiennent au plan (Oxy), tandis que les champs électriques \vec{E}_1 et \vec{E}_2 sont portés par le vecteur unitaire \vec{u}_z. Le champ électrique est donc orthogonal à la direction de propagation :

  \vec{E}_i \cdot \vec{k}_i = 0 \quad (i \in \{1, 2\})

  Il s'agit donc d'ondes transversales (propriété générale des ondes électromagnétiques planes dans le vide ou dans l'air).

• État de polarisation :
  Pour chaque faisceau, la direction du champ électrique reste constante au cours du temps et alignée selon l'axe (Oz) (portée par \vec{u}_z). Les ondes sont donc polarisées rectilignement (ou linéairement) selon la direction de \vec{u}_z.

D'après le principe de superposition, le champ électrique total en un point M de la zone de croisement est :

L'éclairement \mathcal{E}(M) est défini comme la moyenne temporelle du carré de la norme du champ électrique :

Calculons séparément chacun des termes :

• Pour le premier faisceau :

  \left\langle E_1^2(M, t) \right\rangle = E_0^2 \left\langle \cos^2(\omega_{\mathrm{L}} t - \vec{k}_1 \cdot \vec{OM}) \right\rangle = \frac{E_0^2}{2} = \mathcal{E}_0

• De même, pour le second faisceau :

  \left\langle E_2^2(M, t) \right\rangle = \frac{E_0^2}{2} = \mathcal{E}_0

• Pour le terme d'interférence, en utilisant l'identité trigonométrique du formulaire \cos a \cos b = \frac{1}{2}(\cos(a+b) + \cos(a-b)) avec a = \omega_{\mathrm{L}} t - \vec{k}_1 \cdot \vec{OM} et b = \omega_{\mathrm{L}} t - \vec{k}_2 \cdot \vec{OM} :

  \begin{aligned} 2\left\langle E_1(M, t) E_2(M, t) \right\rangle &= 2 E_0^2 \left\langle \cos(\omega_{\mathrm{L}} t - \vec{k}_1 \cdot \vec{OM}) \cos(\omega_{\mathrm{L}} t - \vec{k}_2 \cdot \vec{OM}) \right\rangle \\ &= E_0^2 \left\langle \cos(2\omega_{\mathrm{L}} t - (\vec{k}_1 + \vec{k}_2)\cdot\vec{OM}) + \cos((\vec{k}_1 - \vec{k}_2)\cdot\vec{OM}) \right\rangle \end{aligned}

  Le terme oscillant à la pulsation 2\omega_{\mathrm{L}} est de moyenne temporelle nulle, tandis que le second terme est indépendant du temps :

  2\left\langle E_1(M, t) E_2(M, t) \right\rangle = E_0^2 \cos\left((\vec{k}_1 - \vec{k}_2)\cdot\vec{OM}\right) = 2\mathcal{E}_0 \cos\left((\vec{k}_1 - \vec{k}_2)\cdot\vec{OM}\right)

En sommant ces trois contributions, on obtient bien :

D'après la figure 9, les deux faisceaux se propagent vers les x croissants avec une inclinaison d'angle \alpha par rapport à l'axe (Ox). Les vecteurs d'onde s'écrivent :

La différence des vecteurs d'onde vaut donc :

Pour un point M(x,y,z) repéré par \vec{OM} = x\,\vec{u}_x + y\,\vec{u}_y + z\,\vec{u}_z, le produit scalaire intervenant dans l'éclairement vaut :

D'après le résultat de la question Q29, l'éclairement dans la zone d'interférences s'écrit, par parité de la fonction cosinus :

Les franges brillantes correspondent aux maxima d'éclairement (\mathcal{E}(M) = 4\mathcal{E}_0), obtenus lorsque le cosinus vaut 1 :

Dans le plan (x,y), les franges brillantes sont donc des droites parallèles à l'axe (Ox) d'équations :

L'interfrange \Delta y est la distance séparant deux franges brillantes consécutives :

Application numérique :

• \lambda_0 = 514{,}5\text{ nm} = 514{,}5 \cdot 10^{-9}\text{ m}
• \alpha = 6{,}0^\circ

Compte tenu des deux chiffres significatifs sur l'angle \alpha :

La particule traverse le réseau de franges selon l'axe (Oy) avec une vitesse v_y. Sa position à l'instant t s'écrit :

L'éclairement lumineux \mathcal{E}(y) au point occupé par la particule varie selon l'axe (Oy) avec une période spatiale égale à l'interfrange \Delta y. La lumière diffusée, de puissance proportionnelle à cet éclairement, présente donc une modulation périodique au cours du temps :

La pulsation correspondante est \omega_{\mathrm{d}} = 2\pi f_{\mathrm{d}} = \frac{2\pi |v_y|}{\Delta y}, ce qui donne pour la fréquence du signal détecté :

En supposant un mouvement dans le sens des y croissants (v_y > 0) :

Avec les valeurs numériques :

• f_{\mathrm{d}} = 2{,}45\cdot 10^6\text{ Hz}
• \lambda_0 = 514{,}5\cdot 10^{-9}\text{ m}
• \alpha = 6{,}0^\circ (d'où \Delta y \approx 2{,}461\cdot 10^{-6}\text{ m}, d'après la question Q30)

Compte tenu de la précision sur l'angle \alpha (deux chiffres significatifs) :

En optique géométrique, un faisceau de rayons parallèles traversant une lentille mince convergente convergerait vers un point unique en son foyer principal image F'.

En réalité, du fait de la nature ondulatoire de la lumière et du phénomène de diffraction, le faisceau laser possède une extension transverse non nulle en F' :

• avant le foyer F', le faisceau converge depuis la lentille (où il possède une largeur 2W_0) jusqu'à un rayon minimal w_0 au plan focal image ;
• en F', le faisceau forme un col de rayon w_0 (soit une largeur totale 2w_0) ;
• après le foyer F', le faisceau diverge à nouveau symétriquement par rapport au plan focal.

1. Expression approchée de w_0 :

Le faisceau incident présente une largeur transverse 2W_0. Par diffraction, le faisceau diverge après le plan de la lentille avec un demi-angle de diffraction caractéristique :

Au foyer image situé à la distance f' de la lentille, le rayon (demi-largeur) du col du faisceau est donc de l'ordre de grandeur de :

Remarque : selon que l'on considère la largeur totale ou le rayon pour l'ouverture diffractante, une estimation de la forme w_0 \approx \frac{\lambda_0 f'}{W_0} ou issue du profil gaussien (w_0 = \frac{\lambda_0 f'}{\pi W_0}) est également acceptable à un facteur d'ordre 1 près.

2. Expression de la résolution spatiale \delta_x :

Chaque faisceau est assimilé au niveau du croisement à un cylindre de demi-largeur transverse w_0, incliné d'un angle \alpha par rapport à l'axe (Ox) (figure 9).

Considérons le triangle rectangle formé par :

• le centre O de la zone de croisement,
• le point extrême sur l'axe (Ox) correspondant au sommet droit de la zone losangique d'interférences, d'abscisse x_{\max},
• la projection orthogonale de O sur la bordure extérieure du faisceau.

La distance orthogonale entre l'axe du faisceau (passant par O) et son bord vaut w_0. L'axe du faisceau étant incliné d'un angle \alpha par rapport à (Ox), la trigonométrie dans ce triangle donne directement :

La longueur totale de la zone d'interférences selon l'axe (Ox), qui définit la résolution spatiale \delta_x, vaut donc :

En injectant l'expression approchée de w_0 :

3. Application numérique :

Avec \lambda_0 = 514{,}5\text{ nm} = 5{,}145\cdot 10^{-7}\text{ m}, f' = 16\text{ cm} = 0{,}16\text{ m}, W_0 = 1\text{ mm} = 1{,}0\cdot 10^{-3}\text{ m} et \alpha = 6{,}0^\circ :

(Une convention prenant w_0 \approx \frac{\lambda_0 f'}{W_0} conduirait à \delta_x \approx 1{,}6\text{ mm} ; dans tous les cas, l'ordre de grandeur est d'environ 1\text{ mm}).

4. Moyen d'augmenter la résolution spatiale :

Augmenter la résolution spatiale signifie obtenir une mesure plus ponctuelle, c'est-à-dire diminuer la taille \delta_x du volume de mesure. D'après l'expression \delta_x \approx \frac{\lambda_0 f'}{W_0 \sin\alpha}, on peut :

• élargir le faisceau laser incident W_0 (à l'aide d'un expanseur de faisceau / télescope afocal) afin d'accroître la focalisation ;
• diminuer la distance focale f' de la lentille de focalisation ;
• augmenter l'angle de croisement \alpha des faisceaux.

Le principe de la vélocimétrie laser repose sur la détection du signal lumineux diffusé lors du passage individuel d'une particule traceuse à travers le volume d'interférences.

• Concentration trop faible :

  • La probabilité de passage d'une particule dans le volume de mesure par unité de temps devient très faible, ce qui induit un taux d'acquisition (fréquence d'échantillonnage des données) très bas.
  • Il devient alors difficile, voire impossible, de suivre les variations temporelles rapides de l'écoulement (fluctuations de vitesse, profils turbulents) ou d'obtenir des statistiques représentatives en un temps raisonnable.

• Concentration trop élevée :

  • Brouillage du signal optique : plusieurs particules peuvent se trouver simultanément dans le volume de mesure. Les ondes diffusées par ces différentes particules interfèrent avec des phases aléatoires, ce qui dégrade considérablement le contraste des battements lumineux et rend difficile l'extraction de la fréquence Doppler f_{\mathrm{d}}.
  • Atténuation de la lumière : la diffusion multiple et l'absorption le long du trajet optique réduisent fortement l'intensité des faisceaux incidents et de la lumière collectée.
  • Perturbation mécanique du fluide : une fraction volumique trop importante de particules peut altérer les propriétés physiques du fluide (viscosité apparente, masse volumique) et perturber l'écoulement, de sorte que les particules ne se comportent plus comme des traceurs passifs neutres.

Pour sélectionner une longueur d'onde précise parmi les trois longueurs d'onde émises par la particule diffusante, on peut utiliser :

• un filtre interférentiel (ou filtre passe-bande optique), centré sur la longueur d'onde souhaitée, placé en amont du photodétecteur (dispositif couramment employé en vélocimétrie laser tridimensionnelle) ;
• ou un système dispersif tel qu'un réseau de diffraction ou un prisme associé à une fente de sélection spatiale (monochromateur) ;
• ou un ensemble de miroirs dichroïques (lames séparatrices chromatiques).

La fréquence f_{\mathrm{L}} d'une onde lumineuse est une caractéristique de la source qui ne dépend pas du milieu traversé : elle est invariante lors du changement de milieu de propagation.

Dans l'air (assimilé au vide), la célérité de la lumière est c et la longueur d'onde s'écrit :

Dans le cristal de phosphure de gallium d'indice optique n_{\mathrm{GaP}}, la vitesse de phase de l'onde lumineuse est :

Par conséquent, la longueur d'onde \lambda du laser dans le milieu est donnée par :

Numériquement, avec n_{\mathrm{GaP}} = 3{,}32 :

En utilisant la valeur \lambda_0 = 514{,}5\text{ nm} donnée dans la sous-partie III.1 :

Considérons deux rayons lumineux parallèles incidents faisant un angle d'attaque (ou angle de rasance) \theta_{\mathrm{B}} avec les plans d'ondes acoustiques successifs, séparés par le pas du réseau \Lambda (figure 12).

En projetant sur la direction de propagation avant et après réflexion, le retard géométrique du rayon se réfléchissant sur le plan inférieur par rapport à celui se réfléchissant sur le plan supérieur s'écrit :

Le milieu de propagation ayant pour indice de réfraction n_{\mathrm{GaP}}, la différence de chemin optique (différence de marche) entre ces deux rayons vaut :

Or, d'après la question Q36, la longueur d'onde dans le milieu est \lambda = \dfrac{\lambda_0}{n_{\mathrm{GaP}}}, d'où :

L'ordre 1 du réseau correspond à une différence de marche \delta = \lambda_0, ce qui donne la condition de Bragg usuelle :

La longueur d'onde acoustique \Lambda étant reliée à la célérité c_{\mathrm{S}} et à la fréquence f_{\mathrm{S}} de l'onde acoustique par \Lambda = \dfrac{c_{\mathrm{S}}}{f_{\mathrm{S}}}, on obtient :

L'angle \theta_{\mathrm{B}} étant très petit devant 1, on peut utiliser l'approximation des petits angles \sin\theta_{\mathrm{B}} \approx \theta_{\mathrm{B}} :

Application numérique :

• \lambda = \dfrac{\lambda_0}{n_{\mathrm{GaP}}} = \dfrac{514{,}5\cdot 10^{-9}}{3{,}32} \approx 1{,}55\cdot 10^{-7}\text{ m} ;
• f_{\mathrm{S}} = 40\text{ MHz} = 4{,}0\cdot 10^7\text{ Hz} ;
• c_{\mathrm{S}} = 4\,130\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}.

D'après l'hypothèse de l'énoncé, l'énergie d'un phonon de fréquence f_{\mathrm{S}} s'exprime de la même manière que celle d'un photon via la relation de Planck-Einstein :

où h est la constante de Planck.

De même, pour les photons du laser avant et après l'interaction :

Lors de la collision inélastique, le système {photon + phonon} est isolé. La conservation de l'énergie totale du système s'écrit :

soit :

En simplifiant par h \neq 0, on obtient directement :

D'après les relations de de Broglie, la quantité de mouvement d'un photon dans le cristal de phosphure de gallium où sa longueur d'onde est \lambda vaut :

De même, pour le phonon acoustique associé à l'onde de longueur d'onde \Lambda = \frac{c_{\mathrm{S}}}{f_{\mathrm{S}}} :

Pour le photon diffusé après absorption du phonon, sa quantité de mouvement est p'_{\mathrm{L}} = \frac{h}{\lambda'}. Comme f_{\mathrm{S}} \ll f_{\mathrm{L}}, la variation de fréquence et donc de longueur d'onde est négligeable (\lambda' \approx \lambda), soit :

La conservation de la quantité de mouvement lors de la collision s'écrit :

D'après le repère orthonormé (\vec{u}_x, \vec{u}_z) de la figure 13 :

• Le photon incident est incliné vers le haut d'un angle \theta_{\mathrm{B}} :

  \vec{p}_{\mathrm{L}} = p_{\mathrm{L}} \cos\theta_{\mathrm{B}} \, \vec{u}_x + p_{\mathrm{L}} \sin\theta_{\mathrm{B}} \, \vec{u}_z

• Le phonon se propage vers le bas (de la céramique vers l'absorbeur) :

  \vec{p}_{\mathrm{S}} = - p_{\mathrm{S}} \, \vec{u}_z

• Le photon diffusé est incliné vers le bas d'un angle \theta_{\mathrm{B}} :

  \vec{p}\,'_{\mathrm{L}} = p'_{\mathrm{L}} \cos\theta_{\mathrm{B}} \, \vec{u}_x - p'_{\mathrm{L}} \sin\theta_{\mathrm{B}} \, \vec{u}_z

En projetant la relation de conservation sur l'axe vertical \vec{u}_z, on obtient :

Soit, en regroupant les termes et en utilisant l'approximation p'_{\mathrm{L}} \approx p_{\mathrm{L}} :

En remplaçant les quantités de mouvement par leurs expressions :

On en déduit :

Aux faibles angles (\theta_{\mathrm{B}} \ll 1), on a \sin\theta_{\mathrm{B}} \approx \theta_{\mathrm{B}}, ce qui redonne parfaitement l'expression de l'angle de Bragg établie à la question Q37 :

L'éclairement en un point M(x, y) de la zone d'interférences au cours du temps est donné par :

En introduisant l'interfrange \Delta y = \dfrac{\lambda_0}{2\sin\alpha} déterminé à la question Q30, cette expression s'écrit sous la forme d'une onde se propageant :

Les franges brillantes correspondent aux maxima d'éclairement, c'est-à-dire aux positions y_p(t) vérifiant :

Soit, en isolant la position y_p(t) de la frange d'ordre p :

La vitesse de déplacement des franges est obtenue en dérivant par rapport au temps :

Les franges défilent donc à une vitesse :

Puisque \dfrac{\mathrm{d}y_p}{\mathrm{d}t} < 0, les franges défilent dans le sens des y décroissants, c'est-à-dire dans le sens opposé au vecteur unitaire \vec{u}_y (selon -\vec{u}_y).

Soit une particule se déplaçant à vitesse constante v_y selon l'axe (Oy), repérée par sa position :

L'éclairement auquel est soumise la particule à l'instant t est donné par l'expression établie avant la question Q40 :

avec \Delta y = \dfrac{\lambda_0}{2\sin\alpha} et v_{\text{franges}} = f_{\mathrm{S}} \Delta y.

En injectant la loi horaire y(t), l'argument de la fonction cosinus s'écrit :

L'intensité diffusée par la particule oscille donc à la fréquence apparente :

En pratique, la fréquence acoustique f_{\mathrm{S}} est choisie suffisamment grande pour que f_{\mathrm{S}} > \dfrac{|v_y|}{\Delta y} (ici f_{\mathrm{S}} = 40\text{ MHz}, ce qui correspond à une vitesse limite v_{\text{franges}} \approx 100\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, largement supérieure aux vitesses mesurées). On a alors simplement :

Le décalage fréquentiel \Delta f = f_{\text{mes}} - f_{\mathrm{S}} = \dfrac{v_y}{\Delta y} donne directement accès au signe de la vitesse de la particule :

• Si f_{\text{mes}} > f_{\mathrm{S}}, alors \boldsymbol{v_y > 0} : la particule se déplace dans le sens opposé au défilement des franges (vers les y croissants) et croise les franges avec une fréquence plus élevée.
• Si f_{\text{mes}} < f_{\mathrm{S}}, alors \boldsymbol{v_y < 0} : la particule se déplace dans le même sens que les franges (vers les y décroissants) et croise les franges avec une fréquence plus faible.
• Si f_{\text{mes}} = f_{\mathrm{S}}, la particule est immobile (v_y = 0).