Feuille d'entraînement : Circuits électriques et régimes transitoires

Corrigés

1. Exercice 1CCINP Physique PC 2026, Q27

   Considérons le circuit fermé constitué du condensateur de capacité C et de la bobine d'inductance L.

   Soit i(t) l'intensité du courant circulant dans le sens horaire dans la maille.

   • La tension u_c est orientée par une flèche pointant vers la gauche sur la branche supérieure. Le courant horaire entre par la borne positive de cette tension : en convention récepteur pour le condensateur, la relation intensité-tension s'écrit :

     i = C \frac{\mathrm{d}u_c}{\mathrm{d}t}.

   • Ce même courant i traverse la bobine dans la branche inférieure de la droite vers la gauche. En adoptant la convention récepteur pour la bobine, la tension u_L à ses bornes est fléchée vers la droite et vérifie :

     u_L = L \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}.

   D'après la loi des mailles orientée dans le sens horaire :

   u_c + u_L = 0 \iff u_c + L \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} = 0.

   En remplaçant l'expression de i(t) dans cette relation, on obtient :

   u_c + LC \frac{\mathrm{d}^2 u_c}{\mathrm{d}t^2} = 0,

   soit l'équation différentielle de l'oscillateur harmonique :

   \boxed{\frac{\mathrm{d}^2 u_c}{\mathrm{d}t^2} + \frac{1}{LC}\,u_c = 0}

   Cette équation différentielle est de la forme \ddot{u}_c + \omega_{LC}^2 u_c = 0, avec une pulsation propre :

   \omega_{LC} = \frac{1}{\sqrt{LC}}.

   La fréquence d'oscillation f_{LC} = \frac{\omega_{LC}}{2\pi} s'en déduit immédiatement :

   \boxed{f_{LC} = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}}

   Résultat

   $$\frac{{\mathrm{d}}^2{u}_c}{\mathrm{d}{t}^2}+\frac{1}{LC}{u}_c=0$$

   $$f_{LC}=\frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CCINP Physique PC 2025, Q1

   Dans un conducteur ohmique homogène et isotrope de conductivité électrique \sigma, la loi d'Ohm locale s'écrit :

   \boxed{\vec{j}_{\text{él}} = \sigma \vec{E}}

   En régime stationnaire, le champ électrique dérive d'un potentiel scalaire selon \vec{E} = -\vec{\nabla} V = -\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}x} \vec{u}_x. Le champ électrique est donc orienté dans le sens des potentiels décroissants :

   Comme V_1 > V_2, \vec{E} est dirigé dans le sens de +x, c'est-à-dire selon le vecteur unitaire \vec{u}_x.

   Puisque le courant est uniforme et unidirectionnel, \vec{E} = E \vec{u}_x est également uniforme dans le cylindre. La différence de potentiel entre les deux extrémités s'obtient par circulation du champ électrique :

   \begin{aligned} V_1 - V_2 &= \int_0^L \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} = \int_0^L E\,\mathrm{d}x = E L \end{aligned}

   d'où :

   E = \frac{V_1 - V_2}{L}

   L'intensité I traversant une section droite S normale à \vec{u}_x s'écrit :

   \begin{aligned} I &= \iint_S \vec{j}_{\text{él}} \cdot \vec{u}_x\,\mathrm{d}S = j_{\text{él}} S = \sigma E S = \frac{\sigma S}{L}(V_1 - V_2) \end{aligned}

   Par identification avec la relation macroscopique V_1 - V_2 = R_{\text{él}} I, on retrouve bien :

   \boxed{R_{\text{él}} = \frac{L}{\sigma S}}

   Résultat

   $${\vec{j}}_{\text{eˊl}}=\sigma \vec{E}$$

   $$R_{\text{eˊl}}=\frac{L}{\sigma S}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3CCINP Physique PC 2025, Q24

   D'après les questions Q22 et Q23, la puissance électrique reçue par la charge de résistance R_c s'écrit :

   \mathcal{P}_{\text{charge}} = -\mathcal{P}_{\text{él}} = R_c I^2

   En injectant l'expression du courant I = \dfrac{\alpha \Delta T}{R_{\text{él}} + R_c} établie en Q23, on obtient :

   |\mathcal{P}_{\text{él}}| = (\alpha \Delta T)^2 \frac{R_c}{(R_{\text{él}} + R_c)^2}

   Pour R_{\text{él}}, \alpha et \Delta T fixés, étudions la fonction f(R_c) = \dfrac{R_c}{(R_{\text{él}} + R_c)^2} pour R_c > 0. Sa dérivée par rapport à R_c vaut :

   \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}R_c} &= \frac{(R_{\text{él}} + R_c)^2 - R_c \cdot 2(R_{\text{él}} + R_c)}{(R_{\text{él}} + R_c)^4} \\ &= \frac{R_{\text{él}} + R_c - 2R_c}{(R_{\text{él}} + R_c)^3} \\ &= \frac{R_{\text{él}} - R_c}{(R_{\text{él}} + R_c)^3} \end{aligned}

   Le dénominateur étant strictement positif :

   • \dfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}R_c} > 0 si R_c < R_{\text{él}} ;
   • \dfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}R_c} = 0 si R_c = R_{\text{él}} ;
   • \dfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}R_c} < 0 si R_c > R_{\text{él}}.

   La puissance reçue par la charge admet donc un maximum strict en :

   R_c = R_{\text{él}}

   En remplaçant R_c par R_{\text{él}} dans l'expression de |\mathcal{P}_{\text{él}}|, on obtient la puissance maximale fournie à la charge :

   \boxed{|\mathcal{P}_{\text{él}}|_{\text{max}} = \frac{(\alpha \Delta T)^2}{4 R_{\text{él}}}}

   Résultat

   $$|{\mathcal{P}}_{\text{eˊl}}{|}_{\text{max}}=\frac{(\alpha \Delta T{)}^2}{4R_{\text{eˊl}}}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4CentraleSupélec Physique 2 PC 2025, Q19

   Considérons la maille associée à la cavité n. Elle est parcourue par le courant de maille i_n(t) et est constituée :

   • d'une bobine d'inductance L, aux bornes de laquelle la tension vaut :

     u_{L,n} = L \frac{\mathrm{d}i_n}{\mathrm{d}t}

   • d'un condensateur propre de capacité C, parcouru par l'intensité i_n(t), dont la tension u_n vérifie :

     i_n = C \frac{\mathrm{d}u_n}{\mathrm{d}t} \implies \frac{\mathrm{d}u_n}{\mathrm{d}t} = \frac{i_n}{C}

   • d'un condensateur de couplage de capacité C_c partagé avec la maille n-1, parcouru par le courant net (i_n - i_{n-1}) dans le sens de circulation de la maille n, de sorte que sa tension vérifie :

     \frac{\mathrm{d}u_{C,n-1}}{\mathrm{d}t} = \frac{i_n - i_{n-1}}{C_c}

   • d'un condensateur de couplage de capacité C_c partagé avec la maille n+1, parcouru par le courant net (i_n - i_{n+1}) dans le sens de circulation de la maille n, de sorte que sa tension vérifie :

     \frac{\mathrm{d}u_{C,n}}{\mathrm{d}t} = \frac{i_n - i_{n+1}}{C_c}

   En convention récepteur, la loi des mailles appliquée à la maille n s'écrit :

   u_{L,n} + u_n + u_{C,n-1} + u_{C,n} = 0

   En dérivant cette relation par rapport au temps t, on obtient :

   \frac{\mathrm{d}u_{L,n}}{\mathrm{d}t} + \frac{\mathrm{d}u_n}{\mathrm{d}t} + \frac{\mathrm{d}u_{C,n-1}}{\mathrm{d}t} + \frac{\mathrm{d}u_{C,n}}{\mathrm{d}t} = 0

   Soit en remplaçant par les expressions des dérivées des tensions :

   L \frac{\mathrm{d}^2 i_n}{\mathrm{d}t^2} + \frac{i_n}{C} + \frac{i_n - i_{n-1}}{C_c} + \frac{i_n - i_{n+1}}{C_c} = 0

   En regroupant les termes selon les courants i_{n-1}, i_n et i_{n+1}, on aboutit à la relation différentielle :

   \boxed{L \frac{\mathrm{d}^2 i_n}{\mathrm{d}t^2} + \left(\frac{1}{C} + \frac{2}{C_c}\right) i_n - \frac{1}{C_c}(i_{n-1} + i_{n+1}) = 0}

   Résultat

   $$L\frac{{\mathrm{d}}^2{i}_n}{\mathrm{d}{t}^2}+\left(\frac{1}{C}+\frac{2}{C_c}\right)i_n-\frac{1}{C_c}(i_{n-1}+i_{n+1})=0$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5CCINP Physique PC 2024, Q33

   Le flux magnétique total \Phi_2 traversant la boucle de courant représentant le plasma (circuit 2), orientée en cohérence avec le sens de parcours choisi pour i_2, s'écrit comme la somme du flux propre et du flux créé par le solénoïde central (circuit 1) :

   \Phi_2(t) = L_2 i_2(t) + M i_1(t)

   D'après la loi de Faraday, la force électromotrice induite dans la boucle 2 vaut :

   e_2(t) = -\frac{\mathrm{d}\Phi_2}{\mathrm{d}t} = -L_2 \frac{\mathrm{d}i_2}{\mathrm{d}t} - M \frac{\mathrm{d}i_1}{\mathrm{d}t}

   La loi des mailles appliquée au circuit secondaire fermé sur sa résistance R_2 donne :

   \begin{aligned} e_2(t) &= R_2 i_2(t) \\ L_2 \frac{\mathrm{d}i_2}{\mathrm{d}t} + R_2 i_2(t) &= -M \frac{\mathrm{d}i_1}{\mathrm{d}t} \end{aligned}

   Pour t \in [0, t_1], l'expression du courant inducteur est i_1(t) = I_0 \left(1 - \frac{t}{t_1}\right), dont la dérivée temporelle est :

   \frac{\mathrm{d}i_1}{\mathrm{d}t} = -\frac{I_0}{t_1}

   L'équation différentielle devient ainsi :

   L_2 \frac{\mathrm{d}i_2}{\mathrm{d}t} + R_2 i_2 = \frac{M I_0}{t_1}

   En divisant par l'inductance propre L_2, on obtient :

   \frac{\mathrm{d}i_2}{\mathrm{d}t} + \frac{R_2}{L_2} i_2 = \frac{M}{L_2 t_1} I_0

   Cette équation est bien de la forme :

   \boxed{\frac{\mathrm{d}i_2}{\mathrm{d}t} + \frac{i_2}{\tau_2} = \frac{I_0}{\tau_1}}

   avec les constantes de temps :

   \boxed{\tau_1 = \frac{L_2}{M} t_1 \quad \text{et} \quad \tau_2 = \frac{L_2}{R_2}}

   Résultat

   $$\frac{\mathrm{d}{i}_2}{\mathrm{d}t}+\frac{i_2}{{\tau }_2}=\frac{I_0}{{\tau }_1}$$

   $${\tau }_1=\frac{L_2}{M}{t}_1\text{et}{\tau }_2=\frac{L_2}{R_2}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6Mines-Ponts Physique 1 PC 2024, Q13

   On repère le cylindre métallique par son axe de révolution selon le vecteur unitaire \vec{e}_x, entre l'entrée en x = 0 au potentiel V_1 et la sortie en x = L au potentiel V_2, sous la tension U = V_1 - V_2.

   En régime stationnaire et en négligeant les effets de bord, le champ électrique \vec{E} et le vecteur densité volumique de courant \vec{j} sont colinéaires à l'axe du cylindre et uniformes sur toute la section S :

   \vec{E} = E\,\vec{e}_x \quad \text{et} \quad \vec{j} = j\,\vec{e}_x

   D'après la loi d'Ohm locale :

   \vec{j} = \sigma \vec{E} \implies j = \sigma E

   La différence de potentiel s'écrit par circulation conservative du champ électrostatique :

   U = V_1 - V_2 = \int_0^L \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} = \int_0^L E\,\mathrm{d}x = E\,L

   soit :

   E = \frac{U}{L}

   L'intensité I du courant électrique traversant une section droite S s'obtient par intégration du flux de \vec{j} :

   I = \iint_S \vec{j} \cdot \vec{n}\,\mathrm{d}S = j\,S = \sigma E\,S = \frac{\sigma S}{L} U

   Par définition de la résistance électrique macroscopique R_{\text{él}} = \frac{U}{I}, on en déduit immédiatement :

   \boxed{R_{\text{él}} = \frac{L}{\sigma S}}

   Résultat

   $$R_{\text{eˊl}}=\frac{L}{\sigma S}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7X-ENS Physique B PC 2021, Q45

   D'après la question Q44, l'équation différentielle régissant la déformation dans le modèle de Kelvin-Voigt s'écrit :

   \tau \frac{\mathrm{d}\varepsilon_{\mathrm{KV}}}{\mathrm{d}t} + \varepsilon_{\mathrm{KV}}(t) = \frac{\sigma_{\mathrm{KV}}(t)}{E} \quad \text{avec} \quad \tau = \frac{\eta}{E}

   Pour une expérience de fluage, la contrainte imposée est un échelon : \sigma_{\mathrm{KV}}(t) = \sigma_0 = \text{Cte} pour t > 0.

   L'équation différentielle devient, pour t > 0 :

   \tau \frac{\mathrm{d}\varepsilon_{\mathrm{KV}}}{\mathrm{d}t} + \varepsilon_{\mathrm{KV}}(t) = \frac{\sigma_0}{E}

   La solution générale est la somme d'une solution particulière constante et de la solution générale de l'équation sans second membre :

   \varepsilon_{\mathrm{KV}}(t) = \frac{\sigma_0}{E} + A \mathrm{e}^{-t/\tau}, \quad A \in \mathbb{R}

   La condition initiale \varepsilon_{\mathrm{KV}}(0) = 0 impose :

   \varepsilon_{\mathrm{KV}}(0) = \frac{\sigma_0}{E} + A = 0 \implies A = -\frac{\sigma_0}{E}

   On en déduit l'évolution temporelle de la déformation pour tout t \ge 0 :

   \boxed{\varepsilon_{\mathrm{KV}}(t) = \frac{\sigma_0}{E} \left( 1 - \mathrm{e}^{-t/\tau} \right)}

   Résultat

   $${\epsilon }_{\mathrm{KV}}(t)=\frac{{\sigma }_0}{E}\left(1-{\mathrm{e}}^{-t/\tau }\right)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8CCINP Modelisation PC 2026, Q41

   La tige conductrice de résistance R, parcourue par un courant électrique continu d'intensité i, reçoit par effet Joule une puissance électrique donnée par la loi de Joule :

   P_{\text{élec}} = R i^2

   En utilisant l'expression de la résistance électrique fournie par l'énoncé, R = \dfrac{L}{\gamma \pi a^2}, on obtient :

   \boxed{P_{\text{élec}} = \frac{L i^2}{\gamma \pi a^2}}

   Résultat

   $$P_{\text{eˊlec}}=\frac{L{i}^2}{\gamma \pi a^2}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9CCINP Physique PC 2026, Q12

   L'amplificateur linéaire intégré (ALI) étant supposé idéal :

   • les courants d'entrée sont nuls : i^- = i^+ = 0 ;

   • il fonctionne en régime linéaire (rétroaction négative, d'après la question Q11), d'où une tension différentielle d'entrée nulle :

     \varepsilon = V^+ - V^- = 0 \implies V^- = V^+.

   L'entrée non-inverseuse étant reliée à la masse (V^+ = 0\text{ V}), la borne inverseuse est au potentiel de la masse virtuelle :

   V^- = 0\text{ V}.

   D'après le fléchage de la figure 4, le courant I_{\text{cc}} arrive au nœud de l'entrée inverseuse. Comme aucun courant n'entre dans l'ALI (i^- = 0), ce courant traverse intégralement la résistance de rétroaction R_1 de la borne inverseuse vers la sortie.

   La loi d'Ohm aux bornes de la résistance R_1 s'écrit alors :

   V^- - U_s = R_1 I_{\text{cc}}.

   Sachant que V^- = 0\text{ V}, on obtient :

   U_s = - R_1 I_{\text{cc}}.

   En remplaçant l'intensité produite par la photodiode par sa relation avec l'éclairement, I_{\text{cc}} = \beta \mathcal{E}, il vient finalement :

   \boxed{U_s = - \beta R_1 \mathcal{E}}

   Résultat

   $$U_s=-\beta R_1\mathcal{E}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10CCINP Physique PC 2026, Q15

    Les grandeurs réelles données par l'énoncé sont :

    \begin{aligned} F(t) &= F_1 \cos(\omega t + \psi) \\ x(t) &= x_1 \cos(\omega t + \varphi) \end{aligned}

    En notation complexe, en convenant que les signaux réels s'obtiennent par la partie réelle (F(t) = \mathrm{Re}[\underline{F}(t)] et x(t) = \mathrm{Re}[\underline{x}(t)]), les signaux temporels complexes s'écrivent sous la forme :

    \begin{aligned} \underline{F}(t) &= \underline{F}_1\,\mathrm{e}^{j\omega t} \\ \underline{x}(t) &= \underline{x}_1\,\mathrm{e}^{j\omega t} \end{aligned}

    avec les amplitudes complexes données par :

    \boxed{\underline{F}_1 = F_1\,\mathrm{e}^{j\psi}} \qquad \text{et} \qquad \boxed{\underline{x}_1 = x_1\,\mathrm{e}^{j\varphi}}

    Les signaux temporels complexes associés sont donc :

    \boxed{\underline{F}(t) = F_1\,\mathrm{e}^{j(\omega t + \psi)}} \qquad \text{et} \qquad \boxed{\underline{x}(t) = x_1\,\mathrm{e}^{j(\omega t + \varphi)}}

    Résultat

    $${\underline{F}}_1=F_1{\mathrm{e}}^{j\psi }$$

    $${\underline{x}}_1=x_1{\mathrm{e}}^{j\phi }$$

    $$\underline{F}(t)=F_1{\mathrm{e}}^{j(\omega t+\psi )}$$

    $$\underline{x}(t)=x_1{\mathrm{e}}^{j(\omega t+\phi )}$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question