Feuille d'entraînement : Diffraction et réseaux

Corrigés

1. Exercice 1CCINP Modelisation PC 2026, Q48

   Le réseau étant éclairé sous incidence normale par une onde plane, les ondes incidentes arrivent en phase sur chaque fente.

   Considérons deux fentes consécutives distantes de a = \frac{1}{n}, émettant deux rayons parallèles faisant un angle \theta avec la normale au réseau (figure 9) :

   • En amont d'un plan d'onde orthogonal aux rayons diffractés sous l'angle \theta, la différence de marche géométrique entre les deux rayons issus de deux fentes successives vaut :

     \delta = a \sin\theta
   • D'après le théorème de Malus, la lentille convergente n'introduit aucun déphasage supplémentaire entre les surfaces d'onde et le point de convergence M situé dans son plan focal image.

   La différence de marche en M entre deux rayons consécutifs s'écrit donc :

   \boxed{\delta = a \sin\theta = \frac{\sin\theta}{n}}

   Puisque le point M est situé dans le plan focal image à une ordonnée x du foyer image principal, la direction de diffraction fait un angle \theta tel que :

   \tan\theta = \frac{x}{f'}

   Dans les conditions de Gauss (angles petits), on effectue l'approximation paraxiale :

   \sin\theta \approx \tan\theta \approx \frac{x}{f'}

   La différence de marche devient :

   \delta \approx \frac{x}{n f'}

   Le déphasage \varphi entre deux rayons consécutifs de longueur d'onde \lambda_0 est relié à la différence de marche par la relation \varphi = \frac{2\pi}{\lambda_0}\delta, ce qui conduit directement à :

   \boxed{\varphi = \frac{2\pi x}{\lambda_0 n f'}}

   Résultat

   $$\delta =a\sin \theta =\frac{\sin \theta }{n}$$

   $$\phi =\frac{2\pi x}{{\lambda }_{0}n{f}^{\prime }}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CentraleSupélec Physique 2 PC 2026, Q2

   La source ponctuelle \mathrm{S} étant située à l'infini, elle émet des ondes planes. L'éclairage se faisant sous incidence normale, le plan contenant les miroirs \mathrm{M}_1 et \mathrm{M}_2 est perpendiculaire aux rayons incidents. Par conséquent, les deux rayons incidents sont en phase au niveau des miroirs :

   (\mathrm{SM}_1) = (\mathrm{SM}_2)

   Après réflexion, les rayons diffractés se propagent dans la direction faisant un angle \theta avec la normale \vec{u}_y. Le vecteur unitaire directeur des rayons diffractés est :

   \vec{u} = \sin\theta\,\vec{u}_x + \cos\theta\,\vec{u}_y

   Soit \mathrm{H} le projeté orthogonal de \mathrm{M}_1 sur le rayon diffracté passant par \mathrm{M}_2. Le plan orthogonal aux rayons diffractés passant par \mathrm{M}_1 et \mathrm{H} constitue une surface d'onde pour l'onde diffractée vers le point \mathrm{P} à l'infini, ce qui implique (\mathrm{M}_1\mathrm{P}) = (\mathrm{HP}).

   Puisque le rayon issu de \mathrm{M}_2 est orienté vers les x croissants (\theta > 0), \mathrm{M}_2 est situé en aval du plan d'onde passant par \mathrm{M}_1. Le rayon passant par \mathrm{M}_1 parcourt donc une distance supplémentaire par rapport à celui passant par \mathrm{M}_2 :

   (\mathrm{M}_1\mathrm{P}) - (\mathrm{M}_2\mathrm{P}) = \vec{\mathrm{M}_1\mathrm{M}_2}\cdot\vec{u} = (a\,\vec{u}_x)\cdot(\sin\theta\,\vec{u}_x + \cos\theta\,\vec{u}_y) = a\sin\theta

   La différence de marche \delta s'écrit alors :

   \delta = (\mathrm{SM}_1\mathrm{P}) - (\mathrm{SM}_2\mathrm{P}) = (\mathrm{M}_1\mathrm{P}) - (\mathrm{M}_2\mathrm{P})

   \boxed{\delta = a\sin\theta}

   Le déphasage \phi correspondant est relié à la différence de marche \delta par \phi = \frac{2\pi}{\lambda}\delta, d'où :

   \boxed{\phi = \frac{2\pi a}{\lambda}\sin\theta}

   Résultat

   $$\delta =a\sin \theta$$

   $$\varphi =\frac{2\pi a}{\lambda }\sin \theta$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3CentraleSupélec Physique 2 PC 2026, Q5

   D'après la question Q4, l'amplitude complexe de l'onde issue du k-ième miroir s'écrit :

   \underline{s}(k) = A_0\,\mathrm{e}^{i(k-1)\phi} \quad \text{pour } k \in \{1, \dots, N\}

   Par le principe de superposition, l'amplitude complexe totale au point \mathrm{P} est la somme des N amplitudes :

   \underline{s}_{\text{tot}} = \sum_{k=1}^N \underline{s}(k) = A_0 \sum_{j=0}^{N-1} \left(\mathrm{e}^{i\phi}\right)^j

   Pour \phi \not\equiv 0 \pmod{2\pi}, on utilise la formule de la somme des termes d'une suite géométrique de raison q = \mathrm{e}^{i\phi} \neq 1 :

   \begin{aligned} \sum_{j=0}^{N-1} \mathrm{e}^{ij\phi} &= \frac{1 - \mathrm{e}^{iN\phi}}{1 - \mathrm{e}^{i\phi}} \\ &= \frac{\mathrm{e}^{iN\phi/2} \left(\mathrm{e}^{-iN\phi/2} - \mathrm{e}^{iN\phi/2}\right)}{\mathrm{e}^{i\phi/2} \left(\mathrm{e}^{-i\phi/2} - \mathrm{e}^{i\phi/2}\right)} \\ &= \mathrm{e}^{i(N-1)\frac{\phi}{2}} \frac{-2i\sin(N\phi/2)}{-2i\sin(\phi/2)} \\ &= \mathrm{e}^{i(N-1)\frac{\phi}{2}} \frac{\sin(N\phi/2)}{\sin(\phi/2)} \end{aligned}

   L'intensité lumineuse I_N(\phi), proportionnelle au carré du module de l'amplitude résultante, s'écrit donc :

   I_N(\phi) = |\underline{s}_{\text{tot}}|^2 = A_0^2 \left| \mathrm{e}^{i(N-1)\frac{\phi}{2}} \frac{\sin(N\phi/2)}{\sin(\phi/2)} \right|^2

   \boxed{I_N(\phi) = A_0^2 \left( \frac{\sin(N\phi/2)}{\sin(\phi/2)} \right)^2}

   Normalisation de l'intensité :

   Par l'inégalité triangulaire appliquée à l'amplitude complexe, on a pour tout \phi :

   |\underline{s}_{\text{tot}}| \leqslant \sum_{k=1}^N |\underline{s}(k)| = N A_0

   L'égalité est atteinte lorsque toutes les ondes interfèrent de façon purement constructive, c'est-à-dire lorsque tous les termes sont en phase : \phi = 2p\pi avec p \in \mathbb{Z}.

   En effet, au voisinage de \phi \to 0 (ou \phi \to 2p\pi), les équivalents usuels donnent :

   \sin\left(\frac{N\phi}{2}\right) \underset{\phi \to 0}{\sim} \frac{N\phi}{2} \quad \text{et} \quad \sin\left(\frac{\phi}{2}\right) \underset{\phi \to 0}{\sim} \frac{\phi}{2}

   d'où :

   \lim_{\phi \to 0} \frac{\sin(N\phi/2)}{\sin(\phi/2)} = N

   Le maximum absolu de l'intensité est donc :

   \max(I_N) = N^2 A_0^2

   L'intensité normalisée I_{n,N}(\phi) = \frac{I_N(\phi)}{\max(I_N)} s'écrit donc soigneusement :

   \boxed{I_{n,N}(\phi) = \left( \frac{\sin(N\phi/2)}{N\sin(\phi/2)} \right)^2}

   Résultat

   $$I_N(\varphi )=A_0^2{\left(\frac{\sin (N\varphi /2)}{\sin (\varphi /2)}\right)}^2$$

   $$I_{n,N}(\varphi )={\left(\frac{\sin (N\varphi /2)}{N\sin (\varphi /2)}\right)}^2$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4CentraleSupélec Physique 2 PC 2026, Q9

   D'après la question Q6, l'angle de diffraction \theta_p^\lambda du p-ième pic principal associé à la longueur d'onde \lambda vérifie :

   \sin(\theta_p^\lambda) = \frac{p\lambda}{a} \iff \theta_p^\lambda = \arcsin\left(\frac{p\lambda}{a}\right)

   Pour une variation élémentaire \delta\lambda > 0, au premier ordre en \delta\lambda, la différentiation de cette relation donne :

   \cos(\theta_p^\lambda)\,\delta\theta_p = \frac{p}{a}\,\delta\lambda

   soit une dispersion angulaire :

   \theta_p^{\lambda+\delta\lambda} - \theta_p^\lambda \simeq \frac{p}{a\cos(\theta_p^\lambda)}\,\delta\lambda

   Le critère de résolution s'écrit :

   \theta_p^{\lambda+\delta\lambda} - \theta_p^\lambda \geqslant \frac{\delta\theta_p^\lambda}{2}

   En utilisant l'expression de la largeur angulaire établie à la question Q7, \delta\theta_p^\lambda = \frac{2\lambda}{Na\cos(\theta_p^\lambda)}, il vient :

   \frac{p}{a\cos(\theta_p^\lambda)}\,\delta\lambda \geqslant \frac{\lambda}{Na\cos(\theta_p^\lambda)}

   Puisque a\cos(\theta_p^\lambda) > 0 et p > 0, on obtient directement :

   \delta\lambda \geqslant \frac{\lambda}{pN}

   Le critère est donc bien respecté pour \delta\lambda \geqslant \delta\lambda_{\min} avec :

   \boxed{\delta\lambda_{\min} = \frac{\lambda}{pN}}

   On en déduit l'expression du pouvoir de résolution du réseau :

   \boxed{P_r = \frac{\lambda}{\delta\lambda_{\min}} = pN}

   Résultat

   $$\delta {\lambda }_{\min }=\frac{\lambda }{pN}$$

   $$P_r=\frac{\lambda }{\delta {\lambda }_{\min }}=pN$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5Mines-Ponts Physique 1 PC 2026, Q21

   D'après le texte et la figure 6, le faisceau incident et le faisceau réfléchi font entre eux l'angle \theta. La réflexion sur les plans réticulaires obéit aux lois de Snell-Descartes de la réflexion : la normale aux plans est la bissectrice de l'angle entre le faisceau incident et le faisceau réfléchi. Par conséquent :

   • L'angle d'incidence par rapport à la normale aux plans réticulaires est :

     i = \frac{\theta}{2}
   • L'angle d'attaque (ou angle de glissement) avec le plan réticulaire est donc \alpha = \frac{\pi}{2} - i = \frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2}.

   Considérons deux rayons électroniques parallèles consécutifs réfléchis par deux plans distants de a. Le second rayon parcourt un trajet supplémentaire dans l'espace interréticulaire par rapport au premier. La situation géométrique est strictement analogue à celle d'une lame à faces parallèles d'épaisseur a d'indice n=1 éclairée sous l'angle d'incidence i :

   \delta = 2 a \cos i

   En remplaçant i par \theta/2, la différence de marche entre deux rayons consécutifs s'écrit :

   \boxed{\delta = 2a\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)}

   Pour observer un faisceau diffracté intense dans la direction \theta, les ondes diffusées par tous les plans consécutifs doivent interférer de manière constructive. Cela se traduit par le fait que la différence de marche doit être un multiple entier de la longueur d'onde \lambda de De Broglie :

   \delta = q \lambda \quad \text{avec } q \in \mathbb{N}^*

   D'où la relation de Bragg adaptée à la géométrie de l'expérience :

   \boxed{2a\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = q\lambda}

   Résultat

   $$\delta =2a\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)$$

   $$2a\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)=q\lambda$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6Polytechnique Physique A PC 2025, Q26

   Il s'agit de la limite de diffraction (ou critère de Rayleigh / limite d'Abbe).

   En physique ondulatoire, une onde propagative ne transporte que des composantes spectrales spatiales de norme inférieure ou égale à k = \omega/c_0. Les détails spatiaux de la source de dimensions sub-longueur d'onde (r \ll \lambda) sont associés à des ondes évanescentes qui s'atténuent exponentiellement avec la distance et ne parviennent pas jusqu'à la sphère réceptrice. Le miroir à retournement temporel n'enregistre et ne réémet donc que la partie propagative du champ, ce qui borne la résolution spatiale de refocalisation à une demi-longueur d'onde environ (\sim \lambda/2).

   On retrouve cette limite fondamentale dans de nombreuses applications :

   • en microscopie optique classique, où elle fixe le pouvoir de résolution ultime (résolution d'Abbe d \sim \lambda / (2\,\mathrm{ON})), ce qui interdit de distinguer des détails biologiques plus petits qu'environ 200\text{--}250\text{ nm} dans le visible ;
   • en imagerie médicale et thérapie par ultrasons (échographie, destruction de calculs par lithotripsie ou de tumeurs par ultrasons focalisés de haute intensité / HIFU), où la tache focale acoustique est bornée par \lambda/2 ;
   • en astronomie, où le pouvoir séparateur angulaire d'un télescope de diamètre D est borné par le critère de Rayleigh \theta \sim 1{,}22\,\lambda/D ;
   • en photolithographie pour la microélectronique, où la finesse de gravure des circuits intégrés est contrainte par la diffraction de la lumière utilisée (imposant le recours aux UV extrêmes EUV, \lambda \approx 13{,}5\text{ nm}).

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7X-ENS Physique B PC 2023, Q17.a

   Chaque composante de la superposition représentant le faisceau est une onde plane monochromatique se propageant dans le vide à la pulsation \omega = kc. Son vecteur d'onde \vec{k} = (k_x, k_y, k_z) vérifie donc la relation de dispersion :

   \|\vec{k}\|^2 = k_x^2 + k_y^2 + k_z^2 = k^2

   Le faisceau se propageant dans le sens des z croissants, on a k_z > 0, d'où :

   k_z = \sqrt{k^2 - (k_x^2 + k_y^2)} = k \sqrt{1 - \frac{k_x^2 + k_y^2}{k^2}}

   D'après l'énoncé, la distribution spectrale en amplitude est proportionnelle à \exp\left(-\frac{k_x^2+k_y^2}{4}w_0^2\right). Les valeurs de k_x et k_y contribuant de façon significative à l'intégrale sont donc confinées dans un domaine d'extension transverse typique :

   k_\perp = \sqrt{k_x^2 + k_y^2} \lesssim \frac{2}{w_0}

   Comme k = \frac{2\pi}{\lambda} et w_0 \gg \lambda, le rapport sans dimension vérifie :

   \frac{k_x^2 + k_y^2}{k^2} \lesssim \left(\frac{2}{k w_0}\right)^2 = \left(\frac{\lambda}{\pi w_0}\right)^2 \ll 1

   On peut donc effectuer un développement limité au premier ordre en \frac{k_x^2 + k_y^2}{k^2} de la fonction \sqrt{1 - \varepsilon} \simeq 1 - \frac{\varepsilon}{2} :

   k_z = k \left(1 - \frac{k_x^2 + k_y^2}{2k^2} + o\left(\frac{k_x^2+k_y^2}{k^2}\right)\right)

   ce qui donne directement :

   \boxed{k_z \simeq k - \frac{k_x^2 + k_y^2}{2k}}

   Résultat

   $$k_z\simeq k-\frac{k_x^2+k_y^2}{2k}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8ENS Physique-Chimie L PC 2022, Q13

   L'utilisation d'un télescope de grand diamètre D présente deux intérêts physiques majeurs :

   1. Augmentation du pouvoir collecteur (luminosité) : La surface collectrice du miroir primaire est proportionnelle au carré de son diamètre :

      S = \frac{\pi D^2}{4}

      Le flux lumineux collecté en provenance d'un objet céleste lointain est donc proportionnel à D^2. Un diamètre plus grand permet de capter des flux très faibles, rendant ainsi observables des objets très peu lumineux (étoiles de magnitude élevée, galaxies lointaines) ou de diminuer les temps d'exposition nécessaires pour un rapport signal sur bruit donné.

   2. Amélioration du pouvoir de résolution angulaire (séparation) : L'image d'un point à l'infini à travers une pupille circulaire de diamètre D est limitée par la diffraction sous la forme d'une tache d'Airy dont le demi-angle d'ouverture est donné par le critère de Rayleigh :

      \theta_{\min} \simeq 1{,}22\,\frac{\lambda}{D}

      Augmenter le diamètre D diminue la diffraction et permet ainsi de séparer des sources angulairement très proches ou de distinguer des détails plus fins de l'objet observé.

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9CentraleSupélec Physique 2 PC 2021, Q22

   Lors du balayage de l'échantillon dans le plan focal (z = 0), une molécule fluorescente quasi-ponctuelle sonde l'intensité du faisceau laser d'excitation. Le signal de fluorescence détecté est proportionnel à l'intensité locale I(r, 0) reçue par la molécule :

   I(r, 0) = I_0 \exp\left(-2\frac{r^2}{\omega_r^2}\right)

   Le profil de coups détectés représenté sur la figure 3 correspond donc au profil gaussien d'intensité du faisceau laser au point de focalisation.

   1. Évaluation de l'ouverture numérique :

   Le maximum du profil atteint environ 250\text{ coups}. La demi-hauteur correspond à I \approx 125\text{ coups} (niveau repéré par la graduation 128). On lit sur l'axe des abscisses les positions pour lesquelles le signal vaut la moitié de son maximum :

   x_1 \approx 0{,}68\ \mu\text{m} \quad \text{et} \quad x_2 \approx 1{,}08\ \mu\text{m}

   La largeur à mi-hauteur (FWHM) vaut ainsi :

   \Delta x_{1/2} = x_2 - x_1 \approx 0{,}40\ \mu\text{m}

   Pour un profil de la forme I(r) = I_0 \exp\left(-2 r^2/\omega_r^2\right), la largeur à mi-hauteur est reliée à \omega_r par :

   \begin{aligned} \exp\left(-2\frac{(\Delta x_{1/2}/2)^2}{\omega_r^2}\right) = \frac{1}{2} &\implies \frac{\Delta x_{1/2}^2}{2\omega_r^2} = \ln 2 \\ &\implies \Delta x_{1/2} = \omega_r \sqrt{2\ln 2} \approx 1{,}18\,\omega_r \end{aligned}

   On en déduit le rayon du col :

   \omega_r = \frac{\Delta x_{1/2}}{\sqrt{2\ln 2}} \approx \frac{0{,}40\ \mu\text{m}}{1{,}18} \approx 0{,}34\ \mu\text{m} = 340\text{ nm}

   D'après la formule donnée dans le préambule de la sous-partie I.E, \omega_r = 0{,}5\,\frac{\lambda}{\sin\theta} = 0{,}5\,\frac{\lambda}{\mathrm{ON}}. L'ouverture numérique s'exprime donc par :

   \begin{aligned} \mathrm{ON} = \sin\theta = 0{,}5\,\frac{\lambda}{\omega_r} \end{aligned}

   Avec \lambda = 532\text{ nm} = 0{,}532\ \mu\text{m} :

   \mathrm{ON} \approx 0{,}5 \times \frac{0{,}532\ \mu\text{m}}{0{,}34\ \mu\text{m}} \approx 0{,}78

   Compte tenu des incertitudes de lecture graphique sur la figure 3 :

   \boxed{\mathrm{ON} \approx 0{,}8}

   (une valeur comprise entre 0{,}7 et 0{,}85 est tout à fait acceptable).

   2. Intérêt d'une ouverture numérique élevée :

   L'utilisation d'un objectif de grande ouverture numérique est primordiale pour deux raisons principales :

   • Efficacité de collecte des photons : La fluorescence d'une molécule individuelle est émise de manière quasi-isotrope dans tout l'espace (4\pi\text{ sr}). L'objectif ne collecte la lumière que dans le cône d'angle au sommet 2\theta, correspondant à un angle solide \Omega = 2\pi(1-\cos\theta). Une valeur élevée de \mathrm{ON} = \sin\theta maximise l'angle solide de collecte, ce qui augmente directement l'efficacité de détection \eta_D et permet de capter un nombre suffisant de photons par molécule.
   • Résolution spatiale et réjection du bruit de fond : La dimension de la tache focale \omega_r \propto 1/\mathrm{ON} diminue quand \mathrm{ON} augmente. D'une part, cela améliore la résolution spatiale (limite de diffraction) en évitant d'illuminer plusieurs fluorophores simultanément. D'autre part, cela réduit le volume focal excité V, limitant ainsi la diffusion parasite du substrat S_d \propto V et augmentant considérablement le rapport signal sur bruit.

   Résultat

   $$\mathrm{ON}\approx 0,8$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10CentraleSupélec Physique 2 PC 2020, Q18

    La diffraction d'une onde lumineuse de longueur d'onde \lambda_o par une ouverture circulaire de diamètre D (diamètre de la pupille d'entrée ou du miroir principal du télescope) donne lieu à une figure de diffraction appelée tache d'Airy.

    L'ordre de grandeur de l'ouverture angulaire (demi-angle au sommet du cône de diffraction, correspondant au premier anneau sombre) est donné par :

    \boxed{\theta_d \sim \frac{\lambda_o}{D}}

    Plus précisément, le rayon angulaire du premier zéro de la figure d'Airy s'écrit :

    \theta_d = 1{,}22\,\frac{\lambda_o}{D}

    où D = 200\text{ mm} représente le diamètre d'ouverture du miroir principal (mentionné en annexe 2).

    Résultat

    $${\theta }_d\sim \frac{{\lambda }_o}{D}$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question