Corrigé détaillé Polytechnique Physique A PC 2025

On étudie la particule de masse m et de charge q, assimilée à un point matériel, dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen, muni du repère d'espace cartésien (O, \vec{u}_x, \vec{u}_y, \vec{u}_z).

La particule n'est soumise qu'à la force électrique uniforme :

La deuxième loi de Newton s'écrit :

Par projection sur les trois axes cartésiens, le système différentiel s'écrit :

À l'instant t = 0, les conditions initiales sont :

Une première intégration par rapport au temps donne le vecteur vitesse :

Une seconde intégration par rapport au temps conduit à la loi horaire du mouvement :

Le mouvement est donc rectiligne et uniformément varié selon l'axe (Ox).

D'après la question 1, la trajectoire selon l'axe Ox est donnée par :

avec pour condition initiale la vitesse v(0) = v_0 et la position x(0) = 0.

Effectuons les deux modifications demandées :

• inversion de la condition initiale de vitesse : v_0 \to -v_0 ;
• inversion du sens du temps : t \to -t.

En appliquant ces substitutions à l'équation horaire, on obtient la nouvelle position :

Le système étudié est la particule de masse m, assimilée à un point matériel, dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen.

La seule force agissant sur la particule est la force de frottement fluide :

D'après le principe fondamental de la dynamique :

Les conditions initiales étant \vec{r}(0) = \vec{0} et \vec{v}(0) = v_0 \vec{u}_x, le mouvement est purement rectiligne selon l'axe (Ox), de sorte que y(t) = 0 et z(t) = 0 à tout instant.

En projetant sur \vec{u}_x, on obtient :

L'intégration directe avec la condition initiale v_x(0) = v_0 conduit à :

Puisque v_x(t) = \dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} et x(0) = 0, l'intégration donne :

L'équation horaire complète d'évolution s'écrit donc :

D'après la question Q3, la position de la particule au cours du temps est donnée par :

En inversant la condition initiale de vitesse (v_0 \to -v_0) et le sens d'écoulement du temps (t \to -t), la fonction devient :

Pour t \neq 0, cette expression est manifestement distincte de x(t) :

• la trajectoire directe x(t) converge vers une position limite \frac{m v_0}{K} par amortissement exponentiel ;
• l'expression x_{\text{rev}}(t) diverge exponentiellement lorsque t \to +\infty.

L'équation horaire n'est pas inchangée par cette transformation :

1. Différence physique fondamentale :

• La force électrique \vec{F}_e = q\vec{E} est une force conservative (elle dérive de l'énergie potentielle E_p(x) = -q E_0 x). Le système est conservatif : l'énergie mécanique est conservée au cours du temps et le mouvement est réversible.
• La force de frottement fluide \vec{F}_f = -K\vec{v} est une force dissipative (non conservative). Elle s'oppose continuellement au sens de déplacement de la particule et convertit de l'énergie mécanique en énergie thermique de manière irréversible, introduisant ainsi une « flèche du temps » macroscopique (second principe de la thermodynamique).

2. Origine mathématique : Considérons l'effet de la transformation temporelle t \to -t sur les grandeurs cinématiques :

L'accélération met en jeu une dérivée seconde par rapport au temps, invariante sous t \to -t.

• Pour la force électrique, \vec{F}_e = qE_0 \vec{u}_x est indépendante de la vitesse :

  m \frac{\mathrm{d}^2\vec{r}}{\mathrm{d}t^2} = qE_0 \vec{u}_x \quad \xrightarrow{t \to -t} \quad m \frac{\mathrm{d}^2\vec{r}}{\mathrm{d}t^2} = qE_0 \vec{u}_x

  L'équation différentielle ne contient que des dérivées temporelles d'ordre pair (0 et 2) : elle est invariante par renversement du temps.

• Pour la force de frottement fluide, la force dépend linéairement de la vitesse via une dérivée première temporelle d'ordre impair :

  m \frac{\mathrm{d}^2\vec{r}}{\mathrm{d}t^2} + K \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t} = \vec{0} \quad \xrightarrow{t \to -t} \quad m \frac{\mathrm{d}^2\vec{r}}{\mathrm{d}t^2} - K \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t} = \vec{0}

  L'équation différentielle est modifiée par le changement de signe du terme d'ordre 1 : la présence d'une dérivée temporelle d'ordre impair brise la symétrie par renversement du temps.

À une dimension d'espace, l'équation de d'Alembert s'écrit :

Posons la fonction v(x, t) = u(x, -t). En dérivant par rapport aux coordonnées d'espace et de temps, on obtient :

En injectant ces dérivées dans l'opérateur d'onde, il vient :

puisque u(x, t) est solution de l'équation d'ondes pour tout instant.

Signification physique : L'équation de d'Alembert est invariante par renversement du temps (t \to -t). Les phénomènes de propagation sans dissipation décrits par cette équation sont donc temporellement réversibles : le « film » de la propagation d'une onde passé à l'envers constitue une solution physiquement admissible de l'équation d'ondes.

En particulier, une onde se propageant vers les x croissants selon f(t - x/c_0) devient, après renversement du temps, f(-t - x/c_0) = f(-(t + x/c_0)), ce qui correspond à une onde se propageant en sens inverse, vers les x décroissants, en parcourant à rebours la trajectoire suivie lors de l'émission.

D'après l'équation de d'Alembert unidimensionnelle établie à la question précédente :

la solution générale s'écrit sous la forme de deux ondes progressives :

où f représente une onde se propageant vers les x croissants et g une onde se propageant vers les x décroissants.

Pour respecter la causalité, la perturbation reçue en un point de l'espace doit provenir de la source située en x = 0 et s'en éloigner :

• pour x > 0, l'onde doit se propager vers les x croissants, donc g = 0 ;
• pour x < 0, l'onde doit se propager vers les x décroissants, donc f = 0.

La source en x = 0 émet le signal temporel s(t). Par symétrie spatiale, l'amplitude émise de part et d'autre est identique, ce qui donne la solution causale u_0(x, t \ge 0) :

que l'on peut synthétiser sous la forme u_0(x, t \ge 0) = s\left(t - \dfrac{|x|}{c_0}\right).

Interprétation des termes :

• Pour x > 0 : le terme s\left(t - \dfrac{x}{c_0}\right) correspond à une onde progressive se propageant dans le sens des x croissants à la vitesse c_0. La perturbation en (x,t) reproduit fidèlement celle émise par la source avec un retard temporel \tau = \dfrac{x}{c_0} > 0.
• Pour x < 0 : le terme s\left(t + \dfrac{x}{c_0}\right) correspond à une onde progressive se propageant dans le sens des x décroissants à la vitesse c_0. La perturbation reproduit le signal de la source avec un retard \tau = \dfrac{|x|}{c_0} = -\dfrac{x}{c_0} > 0.

D'après la question Q7, la solution causale pour t \ge 0 s'écrit :

En effectuant le renversement du temps t' = -t (soit t = -t' \ge 0 pour t' \le 0), l'onde s'écrit en fonction de la nouvelle variable temporelle t' :

ou de façon condensée :

Interprétation du résultat :

• Sens de propagation : Pour x > 0, l'argument est de la forme f(t' + x/c_0), ce qui correspond à une onde régressive se propageant vers les x décroissants (vers x = 0). Pour x < 0, l'argument est de la forme g(t' - x/c_0), ce qui correspond à une onde progressive se propageant vers les x croissants (vers x = 0).
• Convergence et refocalisation : Au lieu de s'éloigner de la source, les ondes proviennent de l'infini et convergent vers l'origine x=0, où elles se concentrent parfaitement à l'instant t'=0.
• Non-causalité : Le champ existe pour t' \le 0 avant même l'instant t'=0 où se produit la recombinaison : il s'agit d'une onde « avancée » (ou anti-causale), correspondant au déroulement du film de la propagation en sens inverse.

Le point 9 de l'énoncé est un paragraphe introductif qui pose le cadre et définit les notations pour le passage d'une onde à travers une interface séparant deux milieux :

• pour x \le 0, le milieu possède une célérité c_1 ;
• pour x > 0, le milieu possède une célérité c_2 ;
• une onde incidente d'amplitude 1 se propageant selon les x croissants depuis x = -\infty atteint l'interface en x = 0 et donne naissance à une onde réfléchie d'amplitude r_{12} (se propageant vers x = -\infty) et une onde transmise d'amplitude t_{12} (se propageant vers x = +\infty).

Dans cette situation directe (avant renversement temporel) :

• il y a une seule onde incidente sur l'interface (d'amplitude 1) ;
• il y a deux ondes qui en repartent : l'onde réfléchie (d'amplitude r_{12}) et l'onde transmise (d'amplitude t_{12}).

Lors d'un renversement du temps, le sens de propagation de chaque onde est inversé, tandis que leurs amplitudes restent inchangées :

• l'onde réfléchie initiale (amplitude r_{12}, se propageant vers la gauche dans le milieu 1) devient une onde se propageant vers la droite, donc incidente sur l'interface depuis x < 0 ;
• l'onde transmise initiale (amplitude t_{12}, se propageant vers la droite dans le milieu 2) devient une onde se propageant vers la gauche, donc incidente sur l'interface depuis x > 0 ;
• l'onde incidente initiale (amplitude 1, venant de la gauche) devient une onde émergeant de l'interface et se propageant vers la gauche dans le milieu 1 ;
• aucune onde ne se propage vers les x > 0 fuyant l'interface (amplitude nulle pour x \to +\infty).

On représente la situation sur le schéma ci-dessous :

À l'issue du renversement du temps :

Plus précisément :

• les deux ondes incidentes sont d'amplitude r_{12} (venant de x = -\infty) et d'amplitude t_{12} (venant de x = +\infty) ;
• l'unique onde qui repart est d'amplitude 1, dans le milieu 1 (vers x = -\infty).

D'après la question Q10, la situation renversée temporellement comprend deux ondes incidentes convergeant vers l'interface en x = 0 :

• une onde d'amplitude r_{12} se propageant vers les x > 0 depuis le milieu 1 (x \le 0) ;
• une onde d'amplitude t_{12} se propageant vers les x < 0 depuis le milieu 2 (x > 0).

Par linéarité de l'équation d'ondes, cette configuration est la superposition de deux situations élémentaires :

1. Onde incidente d'amplitude r_{12} venant de la gauche (x \le 0) :

   • onde réfléchie se propageant vers x < 0 dans le milieu 1, d'amplitude r_{12} \times r_{12} = r_{12}^2 ;
   • onde transmise se propageant vers x > 0 dans le milieu 2, d'amplitude r_{12} \times t_{12}.

2. Onde incidente d'amplitude t_{12} venant de la droite (x > 0) :

   • onde réfléchie se propageant vers x > 0 dans le milieu 2, d'amplitude t_{12} \times r_{21} ;
   • onde transmise se propageant vers x < 0 dans le milieu 1, d'amplitude t_{12} \times t_{21}.

En sommant les contributions des ondes repartant de part et d'autre de l'interface :

• Dans le milieu 2 (x > 0), l'amplitude totale de l'onde se propageant vers les x croissants vaut :

  A_{2,\text{repartant}} = r_{12} t_{12} + t_{12} r_{21} = t_{12}(r_{12} + r_{21})

  Or, dans l'état renversé temporellement, aucune onde ne s'éloigne vers x = +\infty, donc A_{2,\text{repartant}} = 0. Comme t_{12} \neq 0, on obtient :

  \boxed{r_{21} = -r_{12}}

• Dans le milieu 1 (x \le 0), l'amplitude totale de l'onde se propageant vers les x décroissants vaut :

  A_{1,\text{repartant}} = r_{12}^2 + t_{12} t_{21}

  Cette onde doit reproduire l'onde initiale retournée, d'amplitude 1 :

  r_{12}^2 + t_{12} t_{21} = 1

  soit :

  \boxed{t_{21} = \frac{1 - r_{12}^2}{t_{12}}}

Considérons une onde lumineuse sous incidence normale à l'interface séparant deux milieux diélectriques transparents d'indices n_1 et n_2. Pour le champ électrique, les coefficients de Fresnel en amplitude s'écrivent :

Pour une onde incidente provenant du second milieu vers le premier, les rôles de n_1 et n_2 sont permutés :

Vérifions les deux relations de Stokes établies à la question Q11 :

• Pour les coefficients de réflexion :

  r_{21} = \frac{n_2 - n_1}{n_1 + n_2} = - \frac{n_1 - n_2}{n_1 + n_2} = -r_{12}

• Pour les coefficients de transmission :

  \begin{aligned} t_{12} \, t_{21} &= \left(\frac{2n_1}{n_1 + n_2}\right) \left(\frac{2n_2}{n_1 + n_2}\right) = \frac{4n_1 n_2}{(n_1 + n_2)^2} \\ 1 - r_{12}^2 &= 1 - \left(\frac{n_1 - n_2}{n_1 + n_2}\right)^2 = \frac{(n_1 + n_2)^2 - (n_1 - n_2)^2}{(n_1 + n_2)^2} = \frac{4n_1 n_2}{(n_1 + n_2)^2} \end{aligned}

  On a donc bien t_{12} \, t_{21} = 1 - r_{12}^2, ce qui équivaut à t_{21} = \frac{1 - r_{12}^2}{t_{12}}.

Dans le milieu homogène de célérité c_0, la source ponctuelle située en x = 0 émet un signal s(t). D'après la solution causale établie à la question 7, l'onde progressive se propageant vers les x croissants s'écrit pour tout x > 0 :

Le miroir M, placé en x_0 > 0, enregistre la perturbation locale au cours du temps. Le signal reçu s'exprime donc simplement comme le signal émis retardé de la durée de propagation \tau_0 = \frac{x_0}{c_0} :

Pour visualiser sans ambiguïté l'effet du retournement temporel, choisissons un signal émis s(t) asymétrique, non nul sur un intervalle [0, \tau] avec \tau \ll T, présentant par exemple une montée douce suivie d'une redescente abrupte.

• Signal émis s(t) : localisé au voisinage de t = 0, sur [0, \tau].
• Signal reçu R(t) : d'après la question précédente, R(t) = s\left(t - \frac{x_0}{c_0}\right). Il est décalé d'une durée \tau_0 = \frac{x_0}{c_0}. Il est donc localisé sur l'intervalle \left[\frac{x_0}{c_0}, \, \frac{x_0}{c_0} + \tau\right] \subset [0, T].

• Signal réémis R_{\mathrm{RT}}(t) : le miroir réémet entre t = T et t = 2T en inversant la chronologie. L'événement reçu à l'instant t' est réémis à l'instant t = T + (T - t') = 2T - t'. On a donc :

  R_{\mathrm{RT}}(t) = R(2T - t) \quad \text{pour } t \in [T, 2T]

  Le signal est ainsi non nul pour 2T - t \in \left[\frac{x_0}{c_0}, \, \frac{x_0}{c_0} + \tau\right], c'est-à-dire pour :

  t \in \left[2T - \frac{x_0}{c_0} - \tau, \, 2T - \frac{x_0}{c_0}\right]

  La forme d'onde est inversée dans le temps : le front raide arrive désormais en premier, suivi de la pente douce.

D'après la question Q14, le miroir à retournement temporel réémet entre les instants t = T et t = 2T le signal enregistré selon une chronologie inversée, soit :

D'après la question Q13, le signal enregistré par le miroir situé en x_0 s'exprime en fonction de l'émission s par :

En substituant \tau = 2T - t, on obtient directement :

Le signal réémis s'écrit donc sous la forme R_{\mathrm{RT}}(t) = s(t'), avec :

Le miroir situé en x = x_0 émet à partir de t = T le signal temporel R_{\mathrm{RT}}(t).

Pour la région x \le x_0, l'onde se propage dans le sens des x décroissants (vers la gauche). La distance parcourue depuis le point d'émission x_0 jusqu'à un point d'abscisse x est x_0 - x \ge 0. La durée de propagation associée est donc :

Le champ d'onde créé pour x \le x_0 s'écrit ainsi :

D'après le résultat de la question Q15, le signal réémis par le miroir s'exprime en fonction de s selon :

En évaluant cette expression en \theta = t - \dfrac{x_0 - x}{c_0}, l'argument t' du signal source s devient :

Les termes en x_0 se compensent exactement. On en déduit l'expression du champ d'onde :

D'après la question Q16, le champ d'onde réémis par le miroir situé en x_0 s'écrit, pour tout x \le x_0 :

Le signal s_{\mathrm{RT}}(t) reçu à l'emplacement de la source initiale en x = 0 s'obtient en évaluant ce champ en x = 0 :

Ce signal correspond exactement au signal d'origine s(t), mais lu en chronologie inversée (renversement du temps) et centré autour de l'instant caractéristique t = 2T.

Sur la figure en début d'énoncé (illustration issue des travaux de Mathias Fink) :

• Focalisation spatiale : L'onde sonore émise par le personnage (la source) se propage vers la droite jusqu'au miroir à retournement temporel (matérialisé par la ligne jaune). Après retournement, l'onde revient se focaliser précisément sur la source d'origine (la bouche/l'oreille du personnage).
• Retournement temporel : Le mot initialement prononcé « HELLO » revient vers le locuteur. En toute rigueur physique, le signal reçu étant s(2T-t), la fin du mot arrive en premier et le début en dernier : le son est perçu à l'envers (phonétiquement inversé). L'illustration montre le paquet d'ondes sonore qui revient directement sur l'émetteur après avoir « revécu son passé ».

D'après l'expression de la solution causale établie à la question Q7, pour x < 0, le champ créé par la source en x = 0 vaut :

Le miroir situé en x = -x_0 enregistre donc le signal :

Par symétrie, ce signal est identique à celui enregistré par le miroir situé en x = x_0.

Le miroir en x = -x_0 réémet ce signal en chronologie inverse entre T et 2T selon la même loi temporelle (question Q14 et Q15) :

Ce miroir émet pour x \ge -x_0 une onde se propageant vers les x croissants à la célérité c_0. La distance parcourue par cette onde pour atteindre le point d'abscisse x est d_- = x - (-x_0) = x + x_0, ce qui correspond à un retard de propagation :

Le champ généré par ce second miroir s'écrit donc, pour x \ge -x_0 :

Par principe de superposition, le champ global résultant dans la zone -x_0 \le x \le x_0 est la somme du champ émis par le miroir en x_0 (noté u_{\mathrm{RT}}(x, t) à la question Q16) et de celui émis par le miroir en -x_0 :

d'où :

D'après la question Q18, le champ total dans l'intervalle -x_0 \le x \le x_0 s'écrit :

L'impulsion s étant très brève, chaque terme est non nul uniquement lorsque son argument est proche de 0 :

• Le premier terme est localisé en x_1(t) = c_0(2T - t). Sa vitesse est \dfrac{\mathrm{d}x_1}{\mathrm{d}t} = -c_0 : c'est une onde se propageant vers les x décroissants (vers la gauche).
• Le second terme est localisé en x_2(t) = -c_0(2T - t). Sa vitesse est \dfrac{\mathrm{d}x_2}{\mathrm{d}t} = +c_0 : c'est une onde se propageant vers les x croissants (vers la droite).

Posons la variable temporelle centrée \tau = t - 2T :

• Pour \tau \le 0 (t \le 2T) : les deux impulsions convergent vers l'origine :

  u_{\mathrm{RT2}}(x, t) = \begin{cases} s\left(-\left(\tau + \dfrac{x}{c_0}\right)\right) & \text{pour } x > 0 \\[6pt] s\left(-\left(\tau - \dfrac{x}{c_0}\right)\right) & \text{pour } x < 0 \end{cases}

  En identifiant \tau au temps renversé t' de la question Q8, on reconnaît exactement la solution anti-causale (ou non-causale) convergente vers la source.

• Pour \tau \ge 0 (t \ge 2T) : les deux impulsions se sont croisées en x = 0 et s'éloignent de l'origine :

  u_{\mathrm{RT2}}(x, t) = \begin{cases} s\left(-\left(\tau - \dfrac{x}{c_0}\right)\right) & \text{pour } x > 0 \\[6pt] s\left(-\left(\tau + \dfrac{x}{c_0}\right)\right) & \text{pour } x < 0 \end{cases}

  En posant \tilde{s}(\tau) = s(-\tau), ces expressions correspondent à la solution causale divergente de la question Q7 émise depuis l'origine en \tau = 0.

Pour t < 2T, les deux ondes émises par les miroirs en x = \pm x_0 convergent vers l'origine x = 0 (comportement anti-causal). À l'instant t = 2T, elles se superposent exactement au point source.

En l'absence d'intervention en x = 0, ces deux paquets d'ondes se croisent librement et poursuivent leur propagation en s'éloignant de l'origine : l'onde venue de la droite part vers la gauche (x < 0) et celle venue de la gauche part vers la droite (x > 0). Cela donne naissance à l'onde divergente observée pour t \ge 2T (comportement causal).

Pour obtenir un champ strictement nul pour t \ge 2T, il faut empêcher les ondes de repartir depuis x = 0. Il faudrait donc :

afin qu'elle absorbe l'intégralité de l'énergie incidente au moment exact de la refocalisation temporelle (t = 2T).

De manière équivalente, on pourrait réaliser un contrôle actif en faisant émettre par la source en x = 0, à partir de t = 2T, une onde en opposition de phase exacte avec le champ d'onde sortant pour l'annihiler par interférences destructives.

Pour un problème invariant par rotation autour de l'origine (symétrie sphérique), le champ d'onde scalaire ne dépend que de la distance radiale r = \|\vec{r}\| et du temps t :

Les dérivées partielles par rapport aux coordonnées angulaires \theta et \phi sont donc nulles :

Le laplacien scalaire en coordonnées sphériques fourni par l'énoncé se réduit alors à sa seule composante radiale :

En injectant cette expression dans l'équation d'ondes (1), on obtient :

En multipliant par r \neq 0, cette équation se réécrit de façon équivalente sous la forme d'une équation de d'Alembert unidimensionnelle sur la fonction auxiliaire \chi(r, t) = r\,u(r, t) :

D'après la question Q21, l'équation d'ondes pour un champ à symétrie sphérique u(r,t) s'écrit :

En représentation complexe avec la convention u(r,t) = \Re\left(\underline{u}(r,\omega)\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}\right), la dérivation temporelle seconde se traduit par une multiplication par (-\mathrm{i}\omega)^2 = -\omega^2 :

L'amplitude complexe \underline{u}(r,\omega) vérifie donc l'équation de Helmholtz à symétrie sphérique :

En introduisant le vecteur d'onde (ou nombre d'onde) k = \dfrac{\omega}{c_0} et en multipliant par r, on obtient :

On peut également l'écrire sous forme développée :

D'après l'équation de Helmholtz obtenue à la question Q22 :

La variable auxiliaire r\underline{u}(r, \omega) est combinaison linéaire des fonctions \mathrm{e}^{ikr} et \mathrm{e}^{-ikr} :

où U_c et U_d sont deux constantes d'intégration complexes. En revenant au champ réel u(r, t) = \mathrm{Re}\left(\underline{u}(r, \omega)\,\mathrm{e}^{-i\omega t}\right), on analyse le comportement de chacune des deux composantes :

• Pour la composante associée à U_d :

  \frac{U_d}{r}\,\mathrm{e}^{i(kr - \omega t)} = \frac{U_d}{r}\,\mathrm{e}^{-i\omega\left(t - \frac{r}{c_0}\right)}

  Les surfaces d'onde correspondent à t - \frac{r}{c_0} = \text{cste}, soit r(t) = c_0 t + \text{cste}. La phase se propage dans le sens des r croissants (vers l'extérieur) : il s'agit de l'onde divergente.

• Pour la composante associée à U_c :

  \frac{U_c}{r}\,\mathrm{e}^{-i(kr + \omega t)} = \frac{U_c}{r}\,\mathrm{e}^{-i\omega\left(t + \frac{r}{c_0}\right)}

  Les surfaces d'onde correspondent à t + \frac{r}{c_0} = \text{cste}, soit r(t) = -c_0 t + \text{cste}. La phase se propage dans le sens des r décroissants (vers l'origine) : il s'agit de l'onde convergente.

On obtient donc les expressions analytiques des amplitudes complexes associées :

D'après la question Q23, le champ d'ondes total issu de la superposition de l'onde convergente et de l'onde divergente s'écrit en représentation complexe :

Effectuons un développement limité des exponentielles au voisinage de r = 0 :

Le champ complexe s'écrit donc au voisinage de l'origine :

Pour que le champ physique reste fini (non divergent) en r = 0 en l'absence de source ou de puits à l'origine, le terme singulier en 1/r doit nécessairement s'annuler, ce qui impose :

En posant U_c = U_0, on obtient la relation :

Le champ spatial s'écrit alors de façon régulière :

qui tend bien vers la valeur finie -2\mathrm{i} k U_0 lorsque r \to 0.

D'après la question Q24, l'amplitude complexe du champ total s'écrit pour tout r > 0 :

avec k = \frac{\omega}{c_0} = \frac{2\pi}{\lambda}, où \lambda est la longueur d'onde acoustique associée.

Le module du champ total s'exprime donc par :

Étudions cette fonction pour r \ge 0 :

• À l'origine (r \to 0) : \lim_{r \to 0} \frac{\sin(kr)}{kr} = 1, de sorte que le champ atteint son maximum absolu :

  |\underline{u}(0, \omega)| = 2 k |U_0| = \frac{4\pi}{\lambda} |U_0|

• Zéros d'annulation : le module s'annule lorsque \sin(kr) = 0 pour r > 0, c'est-à-dire :

  kr = m\pi \quad \iff \quad r = m \frac{\lambda}{2} \quad (m \in \mathbb{N}^*)

  Le premier zéro d'annulation est ainsi situé en :

  \boxed{ r_1 = \frac{\pi}{k} = \frac{\lambda}{2} }

  Cette distance r_1 = \frac{\lambda}{2} (ou la longueur d'onde \lambda) constitue la longueur caractéristique de la tache de focalisation.

• Lobes secondaires : des maxima locaux décroissants en 1/r apparaissent entre deux zéros consécutifs, le premier lobe secondaire culminant à environ 21{,}7\,\% du pic central (pour kr \approx 4{,}49, soit r \approx 0{,}71\,\lambda).

Il s'agit de la limite de diffraction (ou critère de Rayleigh / limite d'Abbe).

En physique ondulatoire, une onde propagative ne transporte que des composantes spectrales spatiales de norme inférieure ou égale à k = \omega/c_0. Les détails spatiaux de la source de dimensions sub-longueur d'onde (r \ll \lambda) sont associés à des ondes évanescentes qui s'atténuent exponentiellement avec la distance et ne parviennent pas jusqu'à la sphère réceptrice. Le miroir à retournement temporel n'enregistre et ne réémet donc que la partie propagative du champ, ce qui borne la résolution spatiale de refocalisation à une demi-longueur d'onde environ (\sim \lambda/2).

On retrouve cette limite fondamentale dans de nombreuses applications :

• en microscopie optique classique, où elle fixe le pouvoir de résolution ultime (résolution d'Abbe d \sim \lambda / (2\,\mathrm{ON})), ce qui interdit de distinguer des détails biologiques plus petits qu'environ 200\text{--}250\text{ nm} dans le visible ;
• en imagerie médicale et thérapie par ultrasons (échographie, destruction de calculs par lithotripsie ou de tumeurs par ultrasons focalisés de haute intensité / HIFU), où la tache focale acoustique est bornée par \lambda/2 ;
• en astronomie, où le pouvoir séparateur angulaire d'un télescope de diamètre D est borné par le critère de Rayleigh \theta \sim 1{,}22\,\lambda/D ;
• en photolithographie pour la microélectronique, où la finesse de gravure des circuits intégrés est contrainte par la diffraction de la lumière utilisée (imposant le recours aux UV extrêmes EUV, \lambda \approx 13{,}5\text{ nm}).

L'aire totale \mathcal{S} d'une sphère de rayon R = 10\lambda s'écrit :

Chaque capteur occupant une surface élémentaire s_{\mathrm{c}} = \frac{\lambda^2}{4}, le nombre minimal N de capteurs nécessaires pour paver cette surface sphérique est donné par le rapport :

En prenant l'approximation \pi \approx 3{,}14, on évalue numériquement :

L'onde émise en x = -x_0 se propage d'abord dans le milieu 1 jusqu'à l'interface en x = -L sur une distance x_0 - L, avec une célérité c_1 :

À l'interface x = -L, l'onde pénètre dans le milieu 2 avec un coefficient de transmission t_{12}. Elle parcourt la cavité d'épaisseur 2L de x = -L à x = +L avec la célérité c_2 en une durée :

À l'interface x = +L :

• Une fraction est transmise dans le milieu 1 avec le coefficient de transmission t_{21}, puis se propage jusqu'au capteur en x = x_0 sur une distance x_0 - L en une durée \tau_1. C'est le trajet direct (p = 0).
• Le reste est réfléchi vers l'intérieur avec le coefficient de réflexion r_{21}, revient en x = -L (durée \tau_2), s'y réfléchit à nouveau avec le coefficient r_{21}, et retourne vers x = +L (durée \tau_2).

Chaque aller-retour complet au sein de la cavité correspond donc à :

• deux réflexions internes sur les interfaces en x = \pm L, introduisant un facteur multiplicatif r_{21}^2 sur l'amplitude ;
• une durée supplémentaire \Delta t = 2\tau_2 = \dfrac{4L}{c_2}.

Pour un paquet d'ondes ayant effectué p allers-retours (p \in \mathbb{N}), le temps total de parcours est :

et son amplitude est multipliée par t_{12} t_{21} r_{21}^{2p}.

Par superposition linéaire des ondes, le signal total reçu en M s'écrit :

avec t_0 = 2\dfrac{x_0 - L}{c_1} + \dfrac{2L}{c_2}.

D'après le résultat de la question Q28, le signal reçu en x = x_0 s'écrit :

avec t_0 = 2\,\frac{x_0 - L}{c_1} + \frac{2L}{c_2} le temps de trajet direct et \Delta t = \frac{4L}{c_2} la durée d'un aller-retour dans la cavité.

Le signal émis s(t) = \exp\left(-\frac{t^2}{2\tau^2}\right) est une impulsion gaussienne de durée caractéristique \tau. Puisque \tau \ll \Delta t, les impulsions successives ne se recouvrent pas : R(t) se présente comme un train d'impulsions gaussiennes disjointes, centrées aux instants successifs :

L'amplitude de l'impulsion de rang p vaut :

D'après les relations de Stokes établies à la question Q11, t_{12} t_{21} = 1 - r_{12}^2 > 0 et r_{21}^2 < 1. Par conséquent :

• tous les pics sont de même signe (positifs), car chaque écho supplémentaire subit deux réflexions successives de coefficient r_{21}, soit un facteur r_{21}^2 > 0 ;

• les amplitudes décroissent géométriquement selon une loi exponentielle en fonction du temps :

  A(t) \propto \mathrm{e}^{-\gamma t} \quad \text{avec} \quad \gamma = -\frac{2\ln|r_{21}|}{\Delta t} > 0

Le miroir situé en x = x_0 enregistre le signal R(t) puis le réémet en chronologie inverse :

Par symétrie spatiale du dispositif par rapport à l'origine x=0, le trajet retour de x_0 à -x_0 est rigoureusement identique au trajet aller de -x_0 à x_0. Une onde issue de x_0 subit :

• une transmission à l'interface x = L (coefficient t_{12}),
• un nombre q \in \mathbb{N} d'allers-retours dans la cavité [-L, L] (chacun de durée \Delta t = \frac{4L}{c_2} et associé à deux réflexions internes de coefficient r_{21}),
• une transmission à l'interface x = -L (coefficient t_{21}),
• un temps de vol direct total t_0 = 2\frac{x_0 - L}{c_1} + \frac{2L}{c_2}.

Le signal reçu en x = -x_0 s'écrit donc :

En injectant l'expression de R(t') obtenue à la question Q28 :

évaluée en t' = 2T - t + t_0 + q \Delta t, on obtient :

Posons m = q - p \in \mathbb{Z}. Pour m fixé, sommons sur l'indice libre :

• Si m \ge 0, posons q = p + m avec p \ge 0, d'où p + q = 2p + m :

  \sum_{p=0}^{+\infty} r_{21}^{2(2p+m)} = r_{21}^{2m} \sum_{p=0}^{+\infty} (r_{21}^4)^p = \frac{r_{21}^{2m}}{1 - r_{21}^4}

• Si m < 0, posons p = q + |m| avec q \ge 0, d'où p + q = 2q + |m| :

  \sum_{q=0}^{+\infty} r_{21}^{2(2q+|m|)} = \frac{r_{21}^{2|m|}}{1 - r_{21}^4}

Par conséquent, pour tout m \in \mathbb{Z}, le préfacteur vaut \frac{r_{21}^{2|m|}}{1 - r_{21}^4}. D'après la question Q11, t_{12} t_{21} = 1 - r_{21}^2, d'où :

Le signal reçu en x = -x_0 s'exprime finalement sous la forme :

Puisque s(t) = \exp\left(-\frac{t^2}{2\tau^2}\right) est paire et que \tau \ll \Delta t, les impulsions s(2T - t + m\Delta t) sont disjointes et centrées sur les instants discrets t_m = 2T + m\Delta t. Le signal présente une symétrie par rapport à t = 2T, avec un pic principal en t = 2T et une décroissance géométrique des amplitudes de part et d'autre :

Conclusion : Non, on ne retrouve pas le signal initialement émis. Le signal d'origine était une unique impulsion brève en t = 0. Le signal retourné reçu en x = -x_0 comporte, en plus du pic central à t = 2T, une infinité de pré-échos (t < 2T) et de post-échos (t > 2T).

D'après la question Q28, le signal temporel reçu en M (x = x_0) est relié au signal émis en x = -x_0 par :

où t_0 = 2\frac{x_0 - L}{c_1} + \frac{2L}{c_2} est le temps de vol direct et \Delta t = \frac{4L}{c_2} est la durée d'un aller-retour dans la cavité.

En régime monochromatique, avec la notation complexe s(t) = \Re\{\underline{S}(\omega)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}\}, le signal retardé s(t - \tau) correspond à l'amplitude complexe :

Par linéarité de la propagation, le champ reçu en x = x_0 s'écrit sous la forme R(t) = \Re\{\underline{R}(\omega)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}\}, où l'amplitude complexe \underline{R}(\omega) vaut :

Comme |r_{21}| < 1 en l'absence d'amplification, la raison vérifie |r_{21}^2 \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega \Delta t}| = r_{21}^2 < 1. Il s'agit d'une série géométrique convergente de somme :

On en déduit l'expression de la réponse monochromatique :

avec t_0 = 2\frac{x_0 - L}{c_1} + \frac{2L}{c_2} et \Delta t = \frac{4L}{c_2}.

D'après la question Q31, l'amplitude complexe transmise s'écrit :

avec \Delta t = \frac{4L}{c_2} la durée d'un aller-retour dans la cavité de largeur 2L.

Le gain en amplitude est maximal lorsque le dénominateur est de module minimal. Comme r_{21}^2 \in ]0, 1[, ce minimum est atteint lorsque le terme \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega \Delta t} = 1, c'est-à-dire :

On en déduit les pulsations de résonance :

Les fréquences de résonance correspondantes valent donc :

En introduisant la longueur d'onde dans le milieu intermédiaire \lambda_{2,m} = \frac{c_2}{f_m}, cette condition de résonance s'écrit :

soit :

La demi-longueur L est un multiple entier du quart de la longueur d'onde acoustique dans le milieu 2, ce qui signifie que l'épaisseur totale de la cavité, 2L, est un multiple entier de la demi-longueur d'onde dans ce milieu.

D'après la question Q31, la propagation à l'aller de la source en x = -x_0 vers le récepteur en x = x_0 est décrite par la fonction de transfert H(\omega) telle que :

L'opération de retournement temporel R_{\mathrm{RT}}(t) = R(2T - t) correspond, dans le domaine fréquentiel, à une conjugaison complexe associée au décalage temporel global 2T :

Par réciprocité spatiale (symétrie du système de part et d'autre de l'origine), la propagation retour depuis x = x_0 jusqu'en x = -x_0 applique exactement la même fonction de transfert H(\omega) au signal réémis. Le signal reçu à la source s'écrit donc :

Le facteur de phase est parfaitement compensé par le retournement temporel, mais l'amplitude spectrale est modulée par la transmittance énergétique |H(\omega)|^2 :

• En milieu homogène : la propagation se réduit à un simple déphasage pur H_0(\omega) = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t_0}, de sorte que |H_0(\omega)|^2 = 1 à toutes les fréquences. Le spectre en amplitude est rigoureusement préservé, permettant une refocalisation temporelle parfaite : s_{\mathrm{RT}}(t) = s(2T - t).
• Dans la cavité Fabry-Pérot : |H(\omega)|^2 n'est pas constante mais constitue un filtre peigne très sélectif (fonction d'Airy) qui privilégie fortement les fréquences de résonance \omega_m = m \frac{2\pi}{\Delta t} et atténue les fréquences intermédiaires. Cette distorsion de l'amplitude spectrale se traduit temporellement par la dispersion du signal en une infinité de pré-échos et de post-échos autour de t = 2T, comme établi à la question Q30.

Lors de la phase de réémission, le miroir à retournement temporel situé en M réémet le signal enregistré en chronologie inverse avec un décalage global de 2T (conformément aux questions Q14 et Q15) :

En utilisant l'expression du signal enregistré R(t) = \sum_{n=0}^{N_t} a_n s(t - t_0 - n\tau), il vient :

Par invariance par retour inverse et linéarité du milieu, l'émission depuis M d'un signal quelconque e(t) produit à l'origine \vec{r} = \vec{0} le signal :

En appliquant cette transformation au signal émis e(t) = R_{\mathrm{RT}}(t), le signal reçu à l'origine s'écrit :

L'argument de la fonction s pour chaque couple de trajets (m, n) devient :

On en déduit l'expression du signal reçu à l'origine :

D'après la question Q34, le signal reçu à l'origine s'écrit :

En t = 2T, cette expression devient :

L'impulsion s(t) étant de durée caractéristique \tau (par exemple gaussienne s(t) = \mathrm{e}^{-t^2/(2\tau^2)}), pour tout entier k = m - n \neq 0, le décalage |k|\tau \ge \tau rend le terme s(k\tau) négligeable devant la valeur crête s(0). En ne conservant que les termes diagonaux m = n :

Calculons l'espérance mathématique de cette grandeur. Les amplitudes a_n sont des variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées, de moyenne nulle \langle a_n \rangle = 0. En supposant une distribution uniforme sur l'intervalle [-1, 1], leur variance (et moment d'ordre 2) vaut :

On en déduit la valeur moyenne du signal reçu :

Comme le nombre d'échos N_t est supposé grand (N_t \gg 1), la loi des grands nombres garantit que la somme des variables positives a_n^2 présente des fluctuations relatives négligeables (de l'ordre de 1/\sqrt{N_t}). Ainsi, le signal instantané est quasi-déterministe et vaut :

D'après la question Q34, l'expression générale du signal reçu à l'origine s'écrit :

Évaluons ce champ aux instants t = 2T + n\tau, où n \in \mathbb{Z} :

L'impulsion s(t) ayant une durée caractéristique très inférieure à \tau, on a s(k\tau) \approx 0 pour tout k \neq 0. Seuls contribuent les indices vérifiant la condition de coïncidence temporelle :

On distingue alors trois cas selon la valeur de n :

• Pour n = 0 (t = 2T) : tous les termes de la diagonale (m = l) s'additionnent de manière cohérente (résultat établi à la question Q35) :

  s_{\mathrm{RT}}(2T) = s(0) \sum_{l=0}^{N_t} a_l^2 \approx \frac{N_t}{3} s(0)

• Pour 0 < |n| \le N_t : la condition impose m = l + n. Le nombre de termes contribuant à la somme est N_t - |n| + 1 \approx N_t - |n|. Le champ s'écrit :

  s_{\mathrm{RT}}(2T + n\tau) \approx s(0) \sum_{l} a_{l+n} a_l

  Puisque n \neq 0, les indices l+n et l sont distincts. Les amplitudes a_{l+n} et a_l sont des variables aléatoires indépendantes et centrées (\langle a_k \rangle = 0). L'espérance mathématique du champ reçu est donc rigoureusement nulle :

  \langle s_{\mathrm{RT}}(2T + n\tau) \rangle = s(0) \sum_{l} \langle a_{l+n} \rangle \langle a_l \rangle = 0

  Les fluctuations autour de zéro (valeur efficace du résidu) sont données par la variance d'une somme de termes indépendants :

  \begin{aligned} \mathrm{Var}\left(\sum_{l} a_{l+n} a_l\right) &= \sum_{l} \mathrm{Var}(a_{l+n} a_l) = (N_t - |n|) \, \langle a_{l+n}^2 \rangle \langle a_l^2 \rangle \\ &= (N_t - |n|) \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{N_t - |n|}{9} \end{aligned}

  L'amplitude typique de ce bruit de fond (ou « speckle temporel ») est donc de l'ordre de :

  \sigma_n \sim \frac{\sqrt{N_t - |n|}}{3} |s(0)|

• Pour |n| > N_t : il n'existe aucun couple (m, l) tel que m - l = n, le champ reçu est donc strictement nul :

  s_{\mathrm{RT}}(2T + n\tau) = 0

En résumé :

Les résultats des questions Q35 et Q36 mettent en lumière le principe physique et l'efficacité remarquable du miroir à retournement temporel en milieu réverbérant :

• Recompression temporelle (focalisation temporelle) : Lors de la propagation aller, le signal initialement bref s(t) est dispersé et étalé dans le temps sous la forme d'une ondelette complexe de durée N_t \tau \gg \tau, constituée d'une multitude d'échos secondaires. Après retournement temporel et réémission par l'unique capteur en M, tous les trajets acoustiques interfèrent constructivement à l'instant précis t = 2T au niveau de la source initiale (\vec{r} = \vec{0}) :

  s_{\mathrm{RT}}(2T) \propto N_t \, s(0)

  Pour tous les autres instants t \neq 2T, les interférences entre trajets distincts sont incohérentes et de moyenne nulle, se réduisant à un bruit de fond temporel fluctuant en \mathcal{O}(\sqrt{N_t}).

• Contraste et rapport signal sur bruit : Le rapport de contraste entre l'amplitude du pic reconstitué et le niveau typique des fluctuations hors pic (bruit de réverbération résiduel) s'écrit :

  \frac{s_{\mathrm{RT}}(2T)}{\sigma_n} \sim \frac{N_t}{\sqrt{N_t}} = \sqrt{N_t} \xrightarrow[N_t \to +\infty]{} +\infty

  Plus le nombre d'échos collectés N_t est grand, plus le pic est net et se détache du fond.

• Apport fondamental de la complexité du milieu : En espace libre homogène, la refocalisation nécessitait une sphère fermée couverte d'un nombre considérable de capteurs (N \approx 5\,000 à la question Q27). Dans un milieu réverbérant ou multiplement diffusant, les multiples réflexions sur les parois replient l'espace sur le capteur unique. Les échos successifs se comportent comme une infinité de transducteurs virtuels répartis dans l'espace. Le milieu convertit ainsi la diversité spatiale en diversité temporelle.

  On retrouve analytiquement l'affirmation mentionnée dans le préambule du sujet : le retournement temporel est d'autant plus performant et robuste que le milieu de propagation est complexe et multiplement diffusant.