Corrigé détaillé X ENS Physique B PC 2023

Notons x_1 et x_2 les deux valeurs mesurées de 1/\alpha, accompagnées de leurs incertitudes-types respectives u_1 et u_2 :

• D'après l'Éq. (2) : x_1 = 137{,}035\,999\,206 et u_1 = 11 \times 10^{-9} ;
• D'après l'Éq. (3) : x_2 = 137{,}035\,999\,15 et u_2 = 3 \times 10^{-8} = 30 \times 10^{-9}.

L'écart normalisé E_n entre deux grandeurs indépendantes est défini par :

Calculons la différence des valeurs centrales :

Calculons l'incertitude composée :

Comme 32^2 = 1024 \simeq 1021, on a :

On en déduit :

Puisque E_n < 2, la différence entre les deux déterminations est inférieure à deux écarts-types combinés. Les deux résultats sont donc statistiquement compatibles au niveau de confiance de 95 % : la théorie du Modèle Standard semble pleinement valide au regard de ces deux valeurs.

Le modèle de Bohr de l'atome d'hydrogène est qualifié de semi-classique car il juxtapose des notions de physique classique et des postulats quantiques :

• Aspect classique : l'électron est décrit comme une particule ponctuelle possédant une trajectoire bien déterminée (une orbite circulaire) et obéissant aux lois de la mécanique newtonienne (principe fondamental de la dynamique) sous l'effet de l'interaction électrostatique coulombienne classique.

• Aspect quantique :

  • une règle de discrétisation non classique est postulée de manière ad hoc, à savoir la quantification du moment cinétique orbital :

    L = n\hbar \quad (n \in \mathbb{N}^*)
  • les orbites correspondantes sont postulées stables et non rayonnantes, ce qui contredit directement l'électromagnétisme classique selon lequel toute charge accélérée perd continûment son énergie par rayonnement (formule de Larmor).

Dans le référentiel lié au proton, supposé galiléen, l'électron décrit un mouvement circulaire uniforme de rayon r_n à la vitesse v_n. Il est soumis à la force électrostatique coulombienne exercée par le proton :

L'accélération dans la base de Frenet s'écrit \vec{a} = -\frac{v_n^2}{r_n}\,\vec{u}_r. Le principe fondamental de la dynamique donne :

Par ailleurs, la quantification du moment cinétique orbital de l'électron s'écrit :

En effectuant le quotient membre à membre de ces deux relations, on élimine r_n :

D'après l'équation (1), \alpha = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0\hbar c}, d'où l'expression de la vitesse sur l'orbite n :

Comme n \in \mathbb{N}^*, la suite (v_n) est strictement décroissante avec n. La vitesse maximale est donc atteinte sur la première orbite (n = 1), appelée orbite fondamentale de Bohr :

Avec \alpha \simeq \frac{1}{137}, le rapport de la vitesse maximale à la vitesse de la lumière vaut :

Le facteur de Lorentz associé vérifie \gamma - 1 \simeq \frac{1}{2}\left(\frac{v_{\max}}{c}\right)^2 \simeq \frac{\alpha^2}{2} \simeq 2{,}7 \times 10^{-5} \ll 1. La vitesse de l'électron restant toujours très inférieure à c, il est tout à fait légitime de traiter l'électron de manière non relativiste dans le modèle de Bohr.

L'énergie mécanique de l'électron sur l'orbite de rang n est la somme de son énergie cinétique et de son énergie potentielle électrostatique (en choisissant la référence E_p(\infty) = 0) :

D'après l'équation du mouvement circulaire issue du principe fondamental de la dynamique :

L'énergie mécanique s'écrit donc simplement (théorème du viriel) :

En utilisant l'expression de v_n obtenue à la question 2.b, v_n = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 n \hbar} = \frac{e^2}{2\epsilon_0 n h} (car \hbar = \frac{h}{2\pi}), on obtient :

où E_I = \frac{m_e e^4}{8 \epsilon_0^2 h^2} \simeq 13{,}6\text{ eV} est l'énergie d'ionisation de l'atome d'hydrogène.

Lors d'une transition entre un état initial de niveau n_2 et un état final de niveau inférieur n_1 (n_2 > n_1), l'atome émet un photon de longueur d'onde \lambda. La conservation de l'énergie s'écrit :

En remplaçant par l'expression de E_n :

d'où :

On retrouve ainsi la formule empirique de Rydberg (Éq. (4)) en identifiant :

D'après l'équation (1) de l'énoncé, la constante de structure fine s'écrit :

En utilisant la relation \hbar = \frac{h}{2\pi}, cette expression devient :

En élevant au carré, on obtient :

Par ailleurs, d'après la question 2.c, la constante de Rydberg s'exprime sous la forme :

Calculons le terme sous le radical de l'équation (5), où la masse m de l'atome de rubidium se simplifie :

\alpha étant une grandeur réelle strictement positive, on en déduit en prenant la racine carrée :

D'après l'équation (5), la constante de structure fine s'écrit :

En prenant le logarithme népérien :

Les grandeurs c et h étant supposées sans incertitude, la différentielle s'écrit :

En supposant les déterminations expérimentales de R_\infty, de m/m_e et de m indépendantes et non corrélées, la loi de composition des incertitudes-types donne :

Incertitudes sur c et h : Dans le Système International d'unités (SI révisé en 2019, et dès 1983 pour c), la célérité de la lumière dans le vide (c = 299\,792\,458\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}) et la constante de Planck (h = 6{,}626\,070\,15 \times 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s}) sont des constantes de référence fixées de manière exacte par définition. Leurs incertitudes-types sont donc strictement nulles :

Vérification numérique de u(m)/m : En inversant la formule de propagation des incertitudes :

Les données fournies dans le texte sont :

• \dfrac{u(\alpha)}{\alpha} \simeq 8{,}0 \times 10^{-11} (obtenu à partir de l'Éq. (2) : \frac{11 \times 10^{-9}}{137{,}04} \simeq 8{,}03 \times 10^{-11}) ;
• \dfrac{u(m/m_e)}{m/m_e} = 7 \times 10^{-11} ;
• \dfrac{u(R_\infty)}{R_\infty} = 2 \times 10^{-12} (négligeable devant les autres termes).

On effectue le calcul numérique :

D'où :

Considérons le système isolé constitué de l'atome de rubidium et du photon absorbé, dans le référentiel d'étude :

• État initial : l'atome est au repos (E_c = 0) dans son état électronique fondamental d'énergie E_a, et l'énergie potentielle E_p est constante. L'énergie du photon incident est notée E_{\text{ph}} = \hbar \omega. L'énergie totale du système est :

  E_{\text{tot, initial}} = E_a + E_p + \hbar\omega

• État final : le photon a été absorbé. L'atome est dans l'état électronique d'énergie E_i (i = b ou i = c) et possède une énergie cinétique de recul E_{c,\text{fin}}. L'énergie totale du système est :

  E_{\text{tot, final}} = E_i + E_p + E_{c,\text{fin}}

La conservation de l'énergie totale s'écrit alors :

En négligeant la variation d'énergie cinétique de recul (\Delta E_c = E_{c,\text{fin}} \simeq 0), on en déduit l'énergie du photon nécessaire pour effectuer la transition :

avec i = b ou i = c.

Le système \{\text{atome} + \text{photon}\} est isolé.

1. Conservation de la quantité de mouvement : Initialement, l'atome est au repos (\vec{p}_{\text{atome}} = \vec{0}) et le photon incident possède la quantité de mouvement \hbar\vec{k}. Après absorption, l'atome possède la vitesse \vec{v}_r (la variation de vitesse est donc \vec{v}_r) et une quantité de mouvement m\vec{v}_r. La conservation de la quantité de mouvement s'écrit :

2. Conservation de l'énergie : L'énergie totale du système avant absorption est la somme de l'énergie du photon \hbar\omega et de l'énergie initiale de l'atome au repos (E_a + E_p). Après absorption, l'énergie du photon est entièrement cédée à l'atome, qui se trouve dans l'état électronique E_i avec une vitesse de recul \vec{v}_r (soit une énergie cinétique de recul \frac{1}{2}mv_r^2, le mouvement étant non relativiste) et une énergie potentielle E_p constante :

La conservation de l'énergie (E_{\text{initial}} = E_{\text{final}}) donne donc :

D'après la question 4.b, la conservation de la quantité de mouvement donne :

En injectant cette relation ainsi que \omega = kc dans le bilan énergétique de la question 4.b, il vient :

soit l'équation du second degré en k :

Pour estimer l'ordre de grandeur du terme de recul par rapport au terme linéaire, formons le rapport :

Comme la vitesse de recul v_r d'un atome massif est infime devant la célérité de la lumière (v_r \ll c), ce terme quadratique est totalement négligeable. On obtient ainsi au premier ordre :

On en déduit la vitesse de recul v_r subie par l'atome :

Applications numériques : Les données numériques de l'énoncé sont c \simeq 3 \times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, e \simeq 1{,}5 \times 10^{-19}\text{ C} et m \simeq 1{,}5 \times 10^{-25}\text{ kg}, d'où :

• Pour la transition a \rightarrow b : d'après la figure 1(a), E_b - E_a = 2 \times 10^{-5}\text{ eV} = 2 \times 10^{-5} \times 1{,}5 \times 10^{-19}\text{ J} = 3{,}0 \times 10^{-24}\text{ J} :

  \boxed{v_r(a \rightarrow b) \simeq \frac{3{,}0 \times 10^{-24}}{4{,}5 \times 10^{-17}} \simeq 6{,}7 \times 10^{-8}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} \simeq 7 \times 10^{-8}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}}

• Pour la transition a \rightarrow c : d'après la figure 1(a), E_c - E_a = 2\text{ eV} = 2 \times 1{,}5 \times 10^{-19}\text{ J} = 3{,}0 \times 10^{-19}\text{ J} :

  \boxed{v_r(a \rightarrow c) \simeq \frac{3{,}0 \times 10^{-19}}{4{,}5 \times 10^{-17}} \simeq 6{,}7 \times 10^{-3}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} \simeq 7\text{ mm}\cdot\text{s}^{-1}}

1. Transition a \rightarrow c :

   • Avantage : L'écart énergétique élevé (E_c - E_a \simeq 2\text{ eV}) confère une vitesse de recul importante (v_r \simeq 6{,}7\text{ mm}\cdot\text{s}^{-1}). Cela permet une séparation spatiale rapide et marquée des fonctions d'onde, assurant une grande sensibilité interférométrique.
   • Inconvénient : L'état c a une durée de vie courte. Il se désexcite rapidement par émission spontanée, ce qui détruit la cohérence de phase de la fonction d'onde (décohérence) et altère le motif d'interférence.

2. Transition a \rightarrow b :

   • Avantage : L'état b possède une durée de vie considérée comme infinie (état hyperfin métastable). L'atome ne subit pas d'émission spontanée gênante, préservant ainsi parfaitement la cohérence quantique au cours de l'expérience.
   • Inconvénient : La vitesse de recul est extrêmement faible (v_r \simeq 6{,}7 \times 10^{-8}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}), ce qui ne permet pas d'obtenir une séparation spatiale appréciable des paquets d'onde et limite drastiquement la sensibilité du dispositif.

Lors du processus de transition Raman à deux photons :

• l'atome absorbe un photon issu du premier laser de vecteur d'onde \vec{k}_1 = \vec{k}, ce qui lui confère une variation d'impulsion +\hbar\vec{k}_1 = +\hbar\vec{k} ;
• l'atome émet ensuite, par émission stimulée, un photon dans le mode du second laser se propageant en sens opposé, de vecteur d'onde \vec{k}_2 = -\vec{k}. Par conservation de la quantité de mouvement, l'atome reçoit une impulsion de recul opposée à celle du photon émis, soit -\hbar\vec{k}_2 = -(-\hbar\vec{k}) = +\hbar\vec{k}.

La variation totale de quantité de mouvement de l'atome est donc :

Comme \Delta\vec{p} = m\Delta\vec{v}, la variation de vitesse de l'atome s'écrit :

L'énergie des photons absorbé et émis est :

puisque E_b - E_a \simeq 2 \times 10^{-5}\text{ eV} \ll E_c - E_a. La vitesse de recul \vec{v}_r est donc celle associée à la transition optique a \to c déterminée à la question 4.c.

D'après le résultat de la question 4.c :

Avec E_c - E_a = 2\text{ eV} = 2 \times (1{,}5 \times 10^{-19}\text{ J}) = 3{,}0 \times 10^{-19}\text{ J}, \hbar \simeq 1 \times 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s} et c \simeq 3 \times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} :

L'évolution temporelle de la fonction d'onde \Psi(\vec{r}, t) de l'atome est régie par l'équation de Schrödinger indépendante du temps de perturbation (hors impulsions laser) :

où \hat{H} est le hamiltonien de l'atome.

Chaque fonction d'onde spatiale \varphi_i(\vec{r}) (i = 1, 2) est associée à un état stationnaire d'énergie totale E_i, c'est-à-dire un état propre du hamiltonien :

En injectant la décomposition \Psi(\vec{r}, t) = a_1(t)\varphi_1(\vec{r}) + a_2(t)\varphi_2(\vec{r}) dans l'équation de Schrödinger, il vient :

Les états spatiaux \varphi_1(\vec{r}) et \varphi_2(\vec{r}) étant orthogonalement distincts (ils correspondent à deux impulsions différentes m\vec{v}_0 et m(\vec{v}_0 + 2\vec{v}_r)), on identifie terme à terme, ce qui conduit aux deux équations différentielles non couplées :

Comme j^2 = -1 \iff 1/j = -j, on obtient :

D'après la question précédente, chaque coefficient a_i(t) (i \in \{1, 2\}) vérifie une équation différentielle linéaire d'ordre 1 à coefficients constants :

L'intégration immédiate donne :

En adoptant la représentation vectorielle sous forme de vecteur colonne \vec{a}(t) = \begin{pmatrix} a_1(t) \\ a_2(t) \end{pmatrix}, le système s'écrit sous la forme matricielle :

soit :

avec la matrice diagonale d'évolution libre :

Les coefficients diagonaux de A(t) sont donc :

D'après le résultat de la question 6.b, l'évolution temporelle du vecteur \vec{a}(t) est régie par la relation matricielle :

On en déduit les composantes à tout instant t :

La fonction d'onde de l'atome s'écrit donc pour tout instant t :

La probabilité de trouver l'atome dans l'état 2 est nulle à tout instant (|a_2(t)|^2 = 0), tandis que celle de le trouver dans l'état 1 vaut |a_1(t)|^2 = 1.

La fonction d'onde ne diffère de son état initial \varphi_1(\vec{r}) que par un facteur de phase globale \mathrm{e}^{-j E_1 t/\hbar}, sans conséquence physique : la densité volumique de probabilité de présence |\Psi(\vec{r}, t)|^2 = |\varphi_1(\vec{r})|^2 est stationnaire. L'atome reste donc dans l'état propre d'énergie E_1 pour tout t \ge 0.

La matrice R(\Omega\tau) modélisant l'interaction avec le champ laser est donnée par l'équation (10) de l'énoncé :

1. Pour une « impulsion \pi/2 », l'aire de l'impulsion vérifie \Omega\tau = \frac{\pi}{2}, soit un demi-angle \frac{\Omega\tau}{2} = \frac{\pi}{4}.
   Sachant que \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}, on obtient :

   \boxed{R(\pi/2) = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & -j\,\mathrm{e}^{j\phi_{\text{laser}}} \\[6pt] -j\,\mathrm{e}^{-j\phi_{\text{laser}}} & 1 \end{pmatrix}}

2. Pour une « impulsion \pi », l'aire de l'impulsion vérifie \Omega\tau = \pi, soit \frac{\Omega\tau}{2} = \frac{\pi}{2}.
   Sachant que \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 et \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1, la matrice devient :

   \boxed{R(\pi) = \begin{pmatrix} 0 & -j\,\mathrm{e}^{j\phi_{\text{laser}}} \\[6pt] -j\,\mathrm{e}^{-j\phi_{\text{laser}}} & 0 \end{pmatrix} = -j\begin{pmatrix} 0 & \mathrm{e}^{j\phi_{\text{laser}}} \\[6pt] \mathrm{e}^{-j\phi_{\text{laser}}} & 0 \end{pmatrix}}

1. Fonction d'onde à l'instant t = \tau :

D'après la question Q6.b, la matrice d'évolution libre est :

En t = 0, A(0) = I_2, d'où A^{-1}(0) = I_2. Avec l'état initial \vec{a}(0) = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} et la matrice d'impulsion \pi/2 déterminée à la question Q7 :

la relation (9) donne pour le vecteur \vec{a}(\tau) :

En utilisant la décomposition (7), la fonction d'onde à l'instant t = \tau s'écrit :

2. Évolution de la fonction d'onde pour t > \tau :

Pour t > \tau, l'impulsion laser est éteinte et l'atome est à nouveau soumis à l'évolution libre. D'après l'équation (8), l'évolution temporelle depuis l'instant \tau est régie par :

Comme A(t-\tau) A(\tau) = A(t), on obtient directement pour tout t > \tau :

La fonction d'onde pour t > \tau s'écrit donc :

3. Analogie avec une lame séparatrice optique :

Avant l'impulsion, l'atome est dans l'état stationnaire pur 1 d'impulsion m\vec{v}_0 avec une amplitude unité. Pour t > \tau, la fonction d'onde est la superposition cohérente de deux paquets d'ondes :

• une composante dans l'état électronique a qui conserve sa vitesse \vec{v}_0 (non déviée), de coefficient d'amplitude :

  \boxed{t_a = \frac{1}{\sqrt{2}}}

• une composante ayant effectué la transition vers l'état b et ayant acquis une vitesse \vec{v}_0 + 2\vec{v}_r (déviée), de coefficient d'amplitude :

  \boxed{r_a = -\frac{j}{\sqrt{2}}\mathrm{e}^{-j\phi_{\text{laser}}}}

Cette impulsion scinde donc l'onde atomique incidente en deux ondes de trajectoires spatiales distinctes, avec des amplitudes relatives t_a et r_a, de la même façon qu'une lame séparatrice semi-réfléchissante en optique sépare un faisceau incident en un faisceau transmis et un faisceau réfléchi.

À l'instant initial, l'atome est dans l'état 2 (état électronique b) :

Sachant que A(0) = \mathcal{I}_2 (matrice identité), l'état à l'issue de l'impulsion de durée \tau s'écrit d'après l'équation (9) :

En utilisant la matrice R(\pi/2) obtenue à la question 7 :

En appliquant la matrice d'évolution libre A(\tau) :

Pour t > \tau, l'atome évolue librement selon \vec{a}(t) = A(t-\tau)\vec{a}(\tau), ce qui donne :

Par analogie avec une lame séparatrice :

• La voie transmise correspond à la conservation de l'état électronique et de l'impulsion (l'atome reste dans l'état b, avec la vitesse \vec{v}_0 + 2\vec{v}_r, trajectoire rectiligne) ; son amplitude est modulée par le coefficient de transmission t_b :

  \boxed{t_b = \frac{1}{\sqrt{2}}}

• La voie réfléchie correspond à la transition vers l'état fondamental a par émission stimulée (la vitesse varie de -2\vec{v}_r, la trajectoire est déviée) ; son amplitude est modulée par le coefficient de réflexion r_b :

  \boxed{r_b = -\frac{j}{\sqrt{2}}\mathrm{e}^{j\phi_{\text{laser}}}}

D'après la question Q7, la matrice d'interaction associée à une impulsion \pi (\Omega\tau = \pi) s'écrit :

Ses coefficients diagonaux étant nuls, les coefficients de transmission en amplitude sont nuls (t_a = t_b = 0). Les coefficients de transfert d'état (coefficients de réflexion) vérifient quant à eux :

L'impulsion \pi inverse totalement les populations des deux états :

• un atome incident dans l'état 1 est intégralement dévié vers l'état 2 avec une variation d'impulsion +2m\vec{v}_r ;
• un atome incident dans l'état 2 est intégralement renvoyé vers l'état 1 avec une variation d'impulsion -2m\vec{v}_r.

Il n'y a aucune composante transmise sans déviation (T = |t|^2 = 0) et la réflexion est totale (R = |r|^2 = 1).

L'élément optique analogue à une impulsion \pi est donc un miroir (miroir plan parfaitement réfléchissant).

Suivons les deux trajets en trait plein aboutissant au détecteur en sortie de la lame D :

• Trajet ACD :

  • Réflexion sur la lame A (coefficient r_o),
  • Réflexion sur la lame C (coefficient r_o),
  • Réflexion sur la lame D (coefficient r_o).

  L'onde traverse le milieu d'indice n sur une épaisseur l, le reste du trajet s'effectuant dans l'air d'indice 1. Le chemin optique associé s'écrit :

  L_{\mathrm{ACD}} = n l + 1 \times (AC - l) + 1 \times CD = AC + CD + (n-1)l

  L'amplitude complexe en sortie est donc :

  \underline{s}_1 = r_o^3 \, s_0 \, \exp\left(-\mathrm{j}\frac{2\pi}{\lambda_o} L_{\mathrm{ACD}}\right)

• Trajet ABD :

  • Transmission par la lame A (coefficient t_o),
  • Réflexion sur la lame B (coefficient r_o),
  • Transmission par la lame D (coefficient t_o).

  La totalité du trajet s'effectue dans l'air, d'où le chemin optique :

  L_{\mathrm{ABD}} = 1 \times AB + 1 \times BD = AB + BD

  L'amplitude complexe en sortie est donc :

  \underline{s}_2 = t_o^2 r_o \, s_0 \, \exp\left(-\mathrm{j}\frac{2\pi}{\lambda_o} L_{\mathrm{ABD}}\right)

Puisque AB = CD et AC = BD, la différence de chemin optique entre les deux bras se réduit à :

Le déphasage correspondant entre les deux ondes est :

L'amplitude complexe résultante au détecteur est la somme des deux contributions :

En supposant les coefficients r_o et t_o réels, l'intensité lumineuse mesurée I = |\underline{s}|^2 (avec I_0 = |s_0|^2) vaut :

Effet d'une variation de l'épaisseur l :

Lorsque l'épaisseur l varie, le déphasage \Delta\phi varie de manière linéaire. L'intensité en sortie subit une modulation périodique sinusoïdale entre une valeur minimale I_{\min} = I_0 r_o^2 (r_o^2 - t_o^2)^2 et une valeur maximale I_{\max} = I_0 r_o^2 (r_o^2 + t_o^2)^2.

On observe ainsi un défilement de franges d'interférence en sortie de l'interféromètre, avec une période spatiale en épaisseur donnée par :

À chaque impulsion \pi/2, le coefficient de transmission sans changement d'état électronique est t_a = t_b = \frac{1}{\sqrt{2}}. D'après les questions 8.a et 8.b :

• à t = 0 et t = T, l'impulsion transfère +2\vec{v}_r (recul vers le haut, transition a \to b). Le coefficient de réflexion associé est :

  r_a(t) = -\frac{j}{\sqrt{2}}\mathrm{e}^{-j\phi_{\mathrm{laser}}(t)}

• à t = 2T et t = 3T, l'effet de recul est vers le bas (transition b \to a). L'inversion du sens relatif des lasers impose le changement \phi_{\mathrm{laser}} \to -\phi_{\mathrm{laser}} sur la matrice d'interaction, de sorte que le coefficient de réflexion vaut :

  r_b'(t) = -\frac{j}{\sqrt{2}}\mathrm{e}^{j\phi_{\mathrm{laser}}(t)}

L'impulsion de Bloch (entre T et 2T) communique la même quantité de mouvement \Delta\vec{v} aux atomes des deux voies (tous dans l'état b) sans modifier leur état électronique ni créer de déphasage relatif.

1. Voie I (trajet ABCD) : L'atome subit :

• une réflexion en A (t = 0, transition a \to b) : facteur r_a(0) ;
• une transmission en B (t = T, état b) : facteur t_b ;
• une réflexion en C (t = 2T, transition b \to a) : facteur r_b'(2T) ;
• une transmission en D (t = 3T, état a) : facteur t_a.

En tenant compte de la phase de propagation accumulée \Phi_I (selon la convention d'évolution temporelle \mathrm{e}^{-j\Phi_I}) :

2. Voie II (trajet AB'C'D) : L'atome subit :

• une transmission en A (t = 0, état a) : facteur t_a ;
• une réflexion en B' (t = T, transition a \to b) : facteur r_a(T) ;
• une transmission en C' (t = 2T, état b) : facteur t_b ;
• une réflexion en D (t = 3T, transition b \to a) : facteur r_b'(3T).

L'amplitude associée à cette voie s'écrit :

3. Amplitude totale et probabilité de détection : L'amplitude totale au détecteur est \Psi_D = \Psi_I + \Psi_{II} :

La probabilité de détection vaut P = |\Psi_D|^2 = |\Psi_I + \Psi_{II}|^2. Comme |\Psi_I| = |\Psi_{II}| = \frac{1}{4}|\Psi_0|, on a :

avec :

Par parité de la fonction cosinus, \cos(-(\Delta\Phi + \Delta\phi_{\mathrm{laser}})) = \cos(\Delta\Phi + \Delta\phi_{\mathrm{laser}}), d'où :

D'après l'équation (11) et l'expression de la phase différentielle laser :

La probabilité P est une fonction périodique de la variable \delta_{\text{laser}}, de période fréquentielle notée \Delta\delta_{\text{laser}}, vérifiant :

Sur l'interférogramme expérimental de la figure 5 :

• La frange centrale repérée en pointillé gris est centrée en \delta_{\text{laser}}^* + 15\,907\,000\text{ Hz} \simeq -411\text{ Hz} ;
• Le maximum voisin à droite se situe à environ -361\text{ Hz} ;
• Le maximum voisin à gauche se situe à environ -461\text{ Hz} ;
• Les deux minima visibles sont situés en -436\text{ Hz} et -386\text{ Hz}.

L'écart entre deux maxima (ou deux minima) successifs donne directement la période :

On en déduit l'intervalle de temps T choisi pour l'expérience :

D'après l'Éq. (12), la phase cumulée s'écrit :

avec E = E_c + E_p + E_i et E_c = \frac{1}{2}mv^2. La contribution des énergies potentielle et électronique à cette phase s'écrit donc :

• Énergie potentielle E_p : dans cette section (partie I.2), E_p est supposée constante. Son intégrale sur la durée totale 3T vaut donc :

  \int_0^{3T} E_p\,\mathrm{d}t = 3E_p T

  pour l'un comme pour l'autre des deux trajets.

• Énergie électronique E_i : en observant la figure 4 (code couleur : bleu pour l'état b, gris pour l'état a) :

  • Pour le trajet I (\mathrm{ABCD}) : l'atome est dans l'état b sur [0, T] (segment \mathrm{AB}), reste dans l'état b sur [T, 2T] (segment \mathrm{BC}), puis passe dans l'état a sur [2T, 3T] (segment \mathrm{CD}). Le temps cumulé est donc de 2T dans l'état b et T dans l'état a :

    \int_{\mathrm{ABCD}} E_i(t)\,\mathrm{d}t = 2T E_b + T E_a

  • Pour le trajet II (\mathrm{AB'C'D}) : l'atome est dans l'état a sur [0, T] (segment \mathrm{AB'}), passe dans l'état b sur [T, 2T] (segment \mathrm{B'C'}), et reste dans l'état b sur [2T, 3T] (segment \mathrm{C'D}). Le temps cumulé est également de T dans l'état a et 2T dans l'état b :

    \int_{\mathrm{AB'C'D}} E_i(t)\,\mathrm{d}t = T E_a + 2T E_b

Ainsi, les intégrales de E_p + E_i(t) sur [0, 3T] sont rigoureusement identiques pour les deux trajets.

La phase cumulée due aux énergies potentielle et électronique est donc identique sur les deux trajets.

L'énergie totale de l'atome le long de sa trajectoire se décompose selon :

où i \in \{a, b\}. L'intégrande de la phase cumulée (Éq. (12)) s'écrit donc :

D'après la question 12.a, la contribution des termes E_p + E_i(t) intégrée entre t = 0 et t = 3T est identique sur les deux trajets ABCD (noté I) et AB'C'D (noté II) :

La différence de phase \Delta\Phi = \Phi_{II} - \Phi_I se réduit ainsi à la seule contribution cinétique :

En introduisant le produit scalaire et l'identité remarquable v_{II}^2 - v_I^2 = (\vec{v}_{II} - \vec{v}_I) \cdot (\vec{v}_{II} + \vec{v}_I), on a :

On en déduit directement l'expression de l'Éq. (13) :

D'après la figure 4 et la description du dispositif :

• Sur l'intervalle [0, T] : L'atome suivant le trajet I (ABCD) est défléchi par la première impulsion \pi/2 et acquiert la vitesse de recul +2\vec{v}_r, tandis que sur le trajet II (AB'C'D) l'atome est transmis sans modification d'impulsion :

  \vec{v}_I(t) = \vec{v}_0 + 2\vec{v}_r \quad \text{et} \quad \vec{v}_{II}(t) = \vec{v}_0

  On en déduit :

  \vec{v}_{II}(t) - \vec{v}_I(t) = -2\vec{v}_r \quad \text{et} \quad \frac{\vec{v}_I(t) + \vec{v}_{II}(t)}{2} = \vec{v}_0 + \vec{v}_r

• Sur l'intervalle [T, 2T] : À l'instant t = T, l'atome sur le trajet I est transmis (sa vitesse reste inchangée), tandis que sur le trajet II, il subit l'impulsion de recul +2\vec{v}_r. Tous deux se retrouvent dans l'état b avec la même vitesse \vec{v}_0 + 2\vec{v}_r. À l'instant t', l'impulsion Bloch communique la même variation de vitesse \Delta\vec{v} aux deux paquets d'ondes. Ainsi, à chaque instant t \in [T, 2T], les deux trajets ont exactement la même vitesse : \vec{v}_I(t) = \vec{v}_{II}(t). D'où :

  \vec{v}_{II}(t) - \vec{v}_I(t) = \vec{0}

• Sur l'intervalle [2T, 3T] : À l'instant t = 2T, l'impulsion laser transfère un recul vers le bas (-2\vec{v}_r) à la branche supérieure (trajet I), tandis que la branche inférieure (trajet II) est transmise sans déviation :

  \vec{v}_I(t) = \vec{v}_0 + \Delta\vec{v} \quad \text{et} \quad \vec{v}_{II}(t) = \vec{v}_0 + 2\vec{v}_r + \Delta\vec{v}

  On en déduit :

  \vec{v}_{II}(t) - \vec{v}_I(t) = +2\vec{v}_r \quad \text{et} \quad \frac{\vec{v}_I(t) + \vec{v}_{II}(t)}{2} = \vec{v}_0 + \Delta\vec{v} + \vec{v}_r

En injectant ces grandeurs par morceaux dans l'expression de \Delta\Phi donnée par l'équation (13) :

D'après la question 4.b (étendue à la transition Raman à la question 5), la vitesse de recul vérifie m\vec{v}_r = \hbar\vec{k}, ce qui donne :

On obtient finalement :

D'après l'énoncé, la position de la frange centrale correspond à la condition d'annulation du déphasage total :

avec \Delta\phi_{\mathrm{laser}} = 2\pi\delta_{\mathrm{laser}}^* T.

D'après le résultat de la question 12.c, le déphasage atomique s'écrit :

L'impulsion Bloch communique à l'atome un accroissement de vitesse \Delta\vec{v} = 2N\vec{v}_r (texte de la section I.2.4). Avec \vec{v}_r = \frac{\hbar\vec{k}}{m} et \vec{k} = k\vec{e}_z, on a :

Le produit scalaire vaut alors :

ce qui conduit à :

en utilisant \hbar = \frac{h}{2\pi}.

En injectant cette expression dans la condition de la frange centrale :

En simplifiant par 2\pi T \neq 0, on obtient :

D'après la question 13.a, la fréquence laser associée à la frange centrale s'écrit :

Puisque N est un entier positif, on en déduit l'expression de N :

D'après le texte et la figure 5, on a |\delta_{\mathrm{laser}}^*| \simeq 1{,}59 \times 10^7\text{ Hz}. Avec les données numériques fournies par l'énoncé :

• m \simeq 1{,}5 \times 10^{-25}\text{ kg}
• \hbar \simeq 1 \times 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s}
• k \simeq 1{,}0 \times 10^7\text{ m}^{-1} (retenu à la question 5)
• \pi \simeq 3{,}14

Le calcul donne :

Si l'on utilise alternativement h \simeq 7 \times 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s} et \pi^2 \simeq 10 :

Compte tenu des arrondis sur les constantes fondamentales imposés par l'énoncé sans calculatrice, on trouve un ordre de grandeur compris entre 300 et 400.

Ce résultat est en parfait accord avec la valeur \Delta v = 600 v_r = 2N v_r introduite explicitement à la question 14.b, qui correspond précisément à :

D'après la question 13.a, la fréquence associée à la frange centrale s'écrit :

On en déduit l'expression de la masse m de l'atome de rubidium 87 :

où \nu = \omega/(2\pi) = kc/(2\pi) désigne la fréquence optique des faisceaux laser. Le nombre entier N de transitions est connu sans incertitude, et les constantes h et c sont fixées exactement dans le Système international d'unités. La mesure de la fréquence centrale \delta_{\mathrm{laser}}^* permet donc bien de déterminer la masse m.

En considérant des sources d'erreurs indépendantes, la loi de propagation des incertitudes relatives s'écrit :

Évaluons les deux termes :

• L'incertitude relative sur \delta_{\mathrm{laser}}^* vaut :

  \frac{u(\delta_{\mathrm{laser}}^*)}{|\delta_{\mathrm{laser}}^*|} = \frac{0{,}047\text{ Hz}}{15\,907\,410{,}770\text{ Hz}} \simeq 3{,}0 \times 10^{-9}

• La fréquence optique \nu = \frac{kc}{2\pi} \simeq \frac{1{,}0 \times 10^7 \times 3 \times 10^8}{2\pi} \simeq 4{,}8 \times 10^{14}\text{ Hz} (domaine optique/proche infrarouge, \lambda \approx 780\text{ nm}). Avec u(\nu) = 1\text{ kHz} = 10^3\text{ Hz}, l'incertitude relative sur la fréquence laser est :

  \frac{u(\nu)}{\nu} \simeq \frac{10^3}{4{,}8 \times 10^{14}} \simeq 2 \times 10^{-12}

On constate que :

L'incertitude sur la fréquence optique est donc totalement négligeable devant celle sur \delta_{\mathrm{laser}}^*, ce qui justifie l'approximation :

Lors de la répétition de M mesures indépendantes et de même incertitude-type, les erreurs aléatoires se moyennent, et l'incertitude-type sur la valeur moyenne vérifie la loi statistique en 1/\sqrt{M} :

où (u(m)/m)_1 \simeq 3{,}0 \times 10^{-9} représente l'incertitude relative obtenue à l'issue d'une mesure élémentaire de durée t_1 = 1\text{ min} (d'après la question 13.c).

Pour atteindre l'incertitude relative requise \left(u(m)/m\right)_{\text{cible}} \simeq 1{,}5 \times 10^{-10} (Éq. (6)), le nombre de réalisations indépendantes doit vérifier :

soit un nombre total de mesures :

Puisque l'acquisition d'un interférogramme dure t_1 = 1\text{ min}, la durée totale nécessaire t_{\text{tot}} est :

Remarque sur le texte du sujet :
L'énoncé demande d'établir que l'Éq. (14) reste valable. Or, la question suivante 14.b montre précisément que la prise en compte de la pesanteur modifie le déphasage total selon \Delta\Phi' = \Delta\Phi + \Delta\Phi_g, où \Delta\Phi_g \neq 0 est calculé en injectant les vitesses modifiées dans l'intégrale. L'Éq. (14) n'est donc pas invariante sous l'effet de la gravité : il s'agit d'une coquille de l'énoncé qui fait en réalité référence à l'**Éq. (13)**.

D'après l'Éq. (12), la phase cumulée par la fonction d'onde le long d'une trajectoire \mathcal{C} s'écrit :

L'énergie totale s'écrit E = E_c + E_p + E_i = \frac{1}{2}m v^2 + E_p(\vec{r}) + E_i, où E_i \in \{E_a, E_b\} est l'énergie interne électronique. On a donc :

Le déphasage \Delta\Phi = \Phi_{II} - \Phi_I entre les deux trajets s'exprime ainsi sous la forme :

Comme établi à la question 12.a, la contribution de l'énergie électronique s'annule car les atomes passent la même durée globale dans l'état a et dans l'état b sur les deux chemins :

Examinons à présent le terme d'énergie potentielle. Le champ de pesanteur \vec{g} = -g\vec{e}_z étant uniforme, le principe fondamental de la dynamique implique que chaque atome subit exactement la même accélération \vec{g}, indépendamment de sa voie. La trajectoire sur chaque bras j \in \{I, II\} s'écrit :

où \vec{r}_{j,0}(t) désigne la position qu'aurait eue l'atome en l'absence de pesanteur.

L'énergie potentielle de pesanteur s'écrit E_p(\vec{r}) = -m\vec{g}\cdot\vec{r}. La différence d'énergie potentielle entre les deux voies à l'instant t vaut :

Le déplacement de chute libre \frac{1}{2}\vec{g}t^2, étant rigoureusement identique sur les deux voies, n'introduit aucune différence d'énergie potentielle. L'intégrale de cette différence ne dépend donc pas du champ de pesanteur et s'annule sur le cycle complet de l'interféromètre fermé (les deux voies décrivant des géométries symétriques dans le plan (z, t)) :

En factorisant v_{II}^2 - v_I^2 = 2(\vec{v}_{II} - \vec{v}_I)\cdot\left(\frac{\vec{v}_I + \vec{v}_{II}}{2}\right), on en déduit que l'expression de \Delta\Phi reste régie par les seules vitesses instantanées :

L'**Éq. (13)** reste donc pleinement valable dans un champ de pesanteur uniforme.

Dans un champ de pesanteur uniforme \vec{g} = -g\vec{e}_z, le principe fondamental de la dynamique implique que chaque atome subit une accélération constante \vec{g}, de sorte que la vitesse acquiert un terme additif \vec{g}t :

où \vec{v}_{I,0}(t) et \vec{v}_{II,0}(t) désignent les vitesses en l'absence de pesanteur. Par intervalle de temps, avec t' \in ]T, 2T[ l'instant de l'impulsion Bloch :

• Sur [0, T] :

  \vec{v}_I(t) = \vec{v}_0 + 2\vec{v}_r + \vec{g}t \quad \text{et} \quad \vec{v}_{II}(t) = \vec{v}_0 + \vec{g}t

• Sur [T, t'] :

  \vec{v}_I(t) = \vec{v}_{II}(t) = \vec{v}_0 + 2\vec{v}_r + \vec{g}t

• Sur [t', 2T] :

  \vec{v}_I(t) = \vec{v}_{II}(t) = \vec{v}_0 + 2\vec{v}_r + \Delta\vec{v} + \vec{g}t

• Sur [2T, 3T] :

  \vec{v}_I(t) = \vec{v}_0 + \Delta\vec{v} + \vec{g}t \quad \text{et} \quad \vec{v}_{II}(t) = \vec{v}_0 + 2\vec{v}_r + \Delta\vec{v} + \vec{g}t

L'écart de vitesse \vec{v}_{II}(t) - \vec{v}_I(t) = \vec{v}_{II,0}(t) - \vec{v}_{I,0}(t) est donc rigoureusement inchangé par la gravité. En revanche, la vitesse moyenne devient :

D'après l'Éq. (13), le nouveau déphasage s'écrit \Delta\Phi' = \Delta\Phi + \Delta\Phi_g avec :

En décomposant l'intégrale sur les trois intervalles :

En sommant et en utilisant la relation \frac{m}{\hbar}\vec{v}_r = \vec{k} (question 4.c) :

Comme \vec{k} = k\vec{e}_z et \vec{g} = -g\vec{e}_z, on a \vec{k}\cdot\vec{g} = -kg, soit :

Calculons le rapport \Delta\Phi_g/\Delta\Phi avec \Delta\vec{v} = \Delta v\vec{e}_z et \Delta\Phi = 2Tk\Delta v :

Avec g \simeq 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}, T = 20\text{ ms} = 2{,}0 \times 10^{-2}\text{ s} (question 11) et v_r \simeq 6{,}7 \times 10^{-3}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} (question 4.c) :

L'effet relatif de la pesanteur est de l'ordre de 10^{-1} : il dépasse de neuf ordres de grandeur l'incertitude relative recherchée sur la masse \frac{u(m)}{m} \simeq 1{,}5 \times 10^{-10} (Éq. (6)). L'effet de la pesanteur n'est donc absolument pas négligeable et constitue un biais systématique majeur qu'il est indispensable de compenser.

D'après l'équation (15) établie à la question 14.b, le déphasage total dans l'interféromètre s'écrit :

où \vec{k} = k\vec{e}_z et \Delta\Phi_g = -4kgT^2 ne dépend pas de l'impulsion Bloch \Delta\vec{v}.

Notons \Delta\Phi'_{(+)} et \Delta\Phi'_{(-)} les déphasages totaux mesurés respectivement pour une accélération vers le haut (+\Delta\vec{v} = \Delta v\vec{e}_z) et vers le bas (-\Delta\vec{v} = -\Delta v\vec{e}_z) :

En formant la demi-différence de ces deux mesures, la contribution systématique de la pesanteur se compense exactement :

Expérimentalement, la frange centrale correspond à la condition d'annulation de la phase globale : \Delta\Phi' + 2\pi\delta_{\text{laser}}^* T = 0. Les fréquences mesurées pour chaque configuration vérifient ainsi :

La demi-différence des fréquences de résonance mesurées :

est totalement affranchie de l'effet de la gravité \Delta\Phi_g.

Pour une onde plane de vecteur d'onde \vec{k} faisant un angle \theta avec l'axe (Oz), la quantité de mouvement associée à un photon s'écrit :

La projection de cette impulsion sur l'axe de visée (Oz) vaut donc :

Par définition du terme correctif \delta k_{\mathrm{rel}} donné dans le préambule :

On en déduit l'expression exacte de \delta k_{\mathrm{rel}} :

Pour un léger désalignement (\theta \ll 1), un développement limité à l'ordre 2 fournit :

On cherche la condition sur l'angle pour que l'erreur relative reste inférieure à 10^{-12} :

En prenant \sqrt{2} \simeq 1{,}4, on obtient la limite supérieure :

Une onde électromagnétique plane monochromatique se propageant dans le vide présente un champ électrique de la forme :

où \vec{k} est le vecteur d'onde, \omega = kc la pulsation temporelle et \varphi_0 une phase à l'origine.

La phase totale de l'onde au point repéré par \vec{r} et à la date t est donc :

À un instant t fixé, une surface équiphase (ou front d'onde) est définie comme le lieu des points de l'espace présentant la même phase, soit :

En notant \vec{r} = x\vec{e}_x + y\vec{e}_y + z\vec{e}_z et \vec{k} = k_x\vec{e}_x + k_y\vec{e}_y + k_z\vec{e}_z, cette condition s'écrit sous la forme cartésienne :

Il s'agit de l'équation d'une famille de plans de vecteur normal \vec{k}.

À un instant t fixé, une surface d'onde (ou surface équiphase) correspond à l'ensemble des points de l'espace \vec{r} ayant la même phase totale :

Les surfaces d'onde sont donc les surfaces de niveau du champ scalaire de phase spatiale \phi(\vec{r}).

Considérons un déplacement élémentaire \mathrm{d}\vec{r} tangent en un point \vec{r} à la surface d'onde \Sigma. Puisque la phase spatiale y est constante, sa différentielle est nulle :

Cette relation étant vérifiée pour tout déplacement \mathrm{d}\vec{r} appartenant au plan tangent à la surface d'onde au point \vec{r}, on en déduit que :

D'après le préambule de la sous-partie II.2, l'impulsion locale du photon est reliée au gradient spatial de la phase par :

Par définition, la composante p_z est la projection orthogonale de \vec{p} sur le vecteur unitaire \vec{e}_z de l'axe (Oz) :

En coordonnées cartésiennes, la composante suivant \vec{e}_z du gradient est la dérivée partielle de \phi par rapport à z :