Interférences par division du front d'onde : 92 questions de concours corrigées

Définir et exprimer l'interfrange i de cette figure d'interférence.

Établir l'expression de l'intensité lumineuse I(M). Décrire la figure que l'on observe sur l'écran.

Établir l’expression de l’ordre d’interférence p_S(M), produit par la source S au point M.

L'intensité sonore s'écrit I = C|p(r, t)|² avec C une constante qu'on ne cherchera pas à calculer. Montrer qu'au niveau de l'auditeur, on a I = I₁ + I₂ + 2√(I₁ I₂) cos [ω/c(r₁ - r₂)], (11) où I₁ est…

En ayant recours à une construction des rayons issus de A et interférant en M(x), exprimer p_A(x) l'ordre d'interférence en M(x) en fonction de λ₀, x, f' et b(θ). Montrer que l'intensité lumineuse…

Exprimer de la même manière p_B(x), l'ordre d'interférence en M(x) pour les rayons issus de B. Pourquoi la figure d'interférence obtenue par la présence simultanée de A et B est la superposition des…

Déterminer la différence de marche en un point M(x, y, z = 0) (figure 10) sur l'écran en fonction de a la distance entre les fentes, x et f'₁. On se placera dans les conditions de Gauss.

Établir l'expression de δ_source en fonction de a et α ≪ 1.

Donner l'expression de I à l'aide de s₁ et s₂ et éventuellement d'autres grandeurs. Déduire de celle-ci la relation I(δ) = 2I₀ (1 + cos [ k ( a α/2 + δ ) ] ) .

Indiquer, avec justification, si les signaux issus de S_A interfèrent avec ceux issus de S_B. Montrer que l'intensité détectée au point M se met sous la forme I_d(δ) = I_d, 0 (1 + Γ(a,α) cos (kδ) )…

On observe sur un écran placé dans le plan z=D, en un point M de coordonnées (x, y, D). On suppose que D est très grand devant a, |x| et |y|. Le montage est réalisé dans l'air d'indice égal à…

En utilisant notamment le théorème de Malus, montrer que δ(M), la différence de marche des deux rayons au point M, est égale à la distance P₁ H (figure B). Montrer que cette différence de marche…

En déduire l'ordre d'interférence p(M) au point M. Décrire la figure d'interférence observée. Définir et exprimer l'interfrange i de cette figure d'interférence.

Après avoir déterminé son expression, tracer sur votre copie l'intensité lumineuse I(y) sur l'écran en fonction de y, la coordonnée du point M sur l'axe (Oy). On notera I₀ l'intensité que l'on…

Évaluer la différence de marche δ entre les 2 rayons renvoyés dans la direction symétrique θ. Faire clairement apparaître δ sur un schéma reproduisant la figure 13. En déduire l'expression de Δφ(M)…

Rappeler l'énoncé du théorème de Malus (ou de Malus et Dupin). En déduire l'expression de la différence de marche δ_A = (AM₁P) - (AM₂P) en fonction de la géométrie du dispositif et d'une coordonnée…

Montrer que le signal reçu s'écrit sous la forme I(t) = 2Λ [1 + cos (β t)]. On précisera Λ et β en fonction des données. Exprimer la fréquence f_c de clignotement de cette lumière diffusée en…

Établir l'expression de la différence de marche δ(M) en fonction de a, x et f', en faisant les approximations jugées utiles.

En déduire l’expression de la plus petite valeur de a qui conduit au brouillage de la figure d’interférence produite par les deux sources incohérentes S et S'.

Exprimer l'intensité I en un point de coordonnées (x, y, z) dans le champ d'interférence en fonction des grandeurs utiles parmi I₀, λ₀, α, x, y et z. Décrire la figure d'interférence observée.

Déterminer l'expression de l'intensité normalisée I_n,2(φ) au point P en fonction de φ, puis la tracer.

Expliquer l'intérêt de placer la source S dans le plan focal objet de la première lentille.

Identifier la position initiale de la frange d'ordre d'interférence nul.

Exprimer le signal s₁(t) reçu au point M pour l'onde qui est passée par T₁, ainsi que le signal s₂(t) reçu au point M pour l'onde qui est passée par T₂, en fonction de s₀, ω, t, k = 2π/λ₀, (S_A T₁…

Tracer l'allure de I_d(δ) en fonction de δ dans le cas où le facteur de cohérence vaut 1, puis dans le cas où le facteur de cohérence est nul.

Calculer numériquement ka/2 pour cette expérience.

Ajouter votre point de mesure avec son incertitude-type sur le document réponse. L'incertitude-type sur le contraste sera prise égale à 10 % de sa valeur.

a) Décrire ce qu'on doit voir sur l'écran dans le cadre de ces hypothèses et exprimer l'interfrange i en fonction de la fréquence d'émission ν, de c et des paramètres géométriques du dispositif. b)…

On s'intéresse à présent au contraste de chaque figure d'interférence. Écrire en langage Python une fonction d'entête ```python def contraste(I:np.ndarray) -> float: ``` qui, à partir d'un vecteur…

Exprimer l'intensité lumineuse (ou éclairement) I_A(P) observée au point P en fonction de λ₀, a, f', x et de I_0A qui désigne l'intensité totale issue de A et parvenant sur l'un des miroirs M₁ ou M₂.

La valeur de la composante de la vitesse particulaire intervenant dans le résultat de la question précédente est de 10 cm.s⁻¹ ; calculer numériquement la valeur de f_c obtenue avec deux faisceaux…

Pourquoi ne peut-on pas faire la différence entre une valeur positive et une valeur négative de la composante mesurée ?

Calculer numériquement l'interfrange pour a = 100 , f' = 20 cm et λ = 499,3 nm (longueur d'onde associée à une raie du nickel présent dans un échantillon).

Décrire alors la figure d’interférences.

En notant I₀ l’intensité moyenne, donner, sans démonstration, l’expression de l’intensité lumineuse I(M) dans le plan d’observation.

Représenter graphiquement cette quantité I/I₀ en fonction de l'élévation h de la source, convenablement normalisée.

Montrer par un schéma que la distance entre les deux axes optiques des télescopes, nommée distance de base équivalente, est b(θ) = b₀ cos (θ). Les télescopes actuels étant capables de pointer en…

Quelle est la plus petite valeur de b(θ) permettant d'annuler le contraste ? Comment utiliser la figure d'interférence pour mesurer la taille d'une galaxie, en supposant connue sa distance au…

Sachant que b(θ) peut varier entre les valeurs extrémales 0 et b₀, déterminer la résolution angulaire r_double d'un tel télescope en fonction de λ₀ et b₀. Pourquoi dit-on qu'un tel télescope est…

Néanmoins, pourquoi un tel télescope double ne permet-il pas l'observation d'objets moins lumineux, comme le ferait un télescope unique de diamètre b₀ ?

Indiquer la différence de marche δ entre deux rayons situés dans chacun des deux faisceaux, au niveau d'un plan orthogonal à l'axe optique en sortie du prisme. Conclure quant à l'intérêt de ce…

Exprimer, en fonction de B, θ et α, la projection δ R définie sur la figure (11).

Justifier que |ε| ≪ 1. En conséquence, nous considérerons que les directions (S₁C) et (S₂C) sont parallèles et donc que R₂ = R₁ - δ R.

Nous supposons qu'entre les deux images radar, prises successivement depuis les positions S₁ et S₂ du satellite, le déphasage propre φ_cible (définie à la question (43)) reste inchangé. En utilisant…

Établir que ce déplacement induit le déphasage supplémentaire suivant : Δφ_d = 4π/λ × θ (27) On se souviendra que les direction (CS₁) et (CS₂) sont quasi-parallèles (objet de la question (48)).

Estimer la valeur du déplacement minimal η_min décelable pour une précision sur la mesure du déphasage de l'ordre de Δφ_bruit ≃ π/4 et pour θ = 30°.

En déduire l'incertitude-type sur ka/2.

Déterminer la valeur numérique du contraste pour cette figure d'interférences.

Expliquer en quelques lignes comment on peut obtenir les incertitudes-types sur les paramètres C₀ et α en exploitant les incertitudes-types sur les données expérimentales.

En déduire la valeur numérique de d avec son incertitude-type u(d).

Établir l'expression de la différence de marche totale entre un rayon passant dans le télescope 2 et un rayon passant dans le télescope 1 en fonction de α, a et δ_r. Comparer au résultat de la…

Déterminer la résolution angulaire que l'on peut ainsi obtenir avec ces télescopes. En déduire la résolution spatiale (en kilomètres) que l'on peut espérer atteindre pour une exoplanète située à une…

Une troisième fente, identique au deux autres, parallèle à Oy, est placée en O(0,0,0). Le plan des trois fentes est placé orthogonalement à l'axe de révolution commun de deux lentilles minces…

Dans l'expérience de 1991 (figure 6), la source est un dispositif d'émission thermique d'atomes d'hélium He suivie d'une fente diaphragme F. Le montage est celui d'une division du front d'onde de…

À quelle distance de la lentille L₂ doit-on placer l'écran pour que les rayons issus de (S) ressortent parallèles à l'axe après la lentille L₂ ? Sur la figure B du document réponse, compléter le…

Commenter les figures 6a et 6b. Le calcul semi-quantitatif effectué en question 18 est-il confirmé par les résultats de la figure 6b ?

Exprimer, en fonction de N, le rapport entre l'éclairement maximal et l'éclairement moyen observé sur l'écran. Que peut-on en conclure sur l'allure de la figure d'interférence observée lorsque N est…

Les sources A et B sont-elles cohérentes entre elles ? Calculer δ_B = (BM₁P) - (BM₂P) en fonction de δ_A, θ et b.

Le photorécepteur utilisé possède un temps de réponse de τ = 4,4 × 10⁻⁹ s et l'angle θ entre les faisceaux vaut 3,6°. Pour le laser à argon, déterminer littéralement puis numériquement la plage…

Pourquoi ne peut-on mesurer qu'une seule composante de V avec ce dispositif ? Proposer une solution permettant d'accéder simultanément aux trois composantes du vecteur vitesse de la particule.

La résolution d'un spectromètre est le plus petit écart entre deux longueurs d'onde que l'on peut séparer. Expliquer pourquoi le dispositif précédent à deux trous d'Young ne peut permettre…

Faire un schéma des deux rayons lumineux passant par T₁ et T₂ qui convergent vers le point M. Représenter la différence de marche entre ces deux rayons sur ce schéma.

Faire un schéma des deux rayons lumineux issus de S', passant par T₁ et T₂ et qui convergent vers le point M. Représenter la différence de marche entre ces deux rayons sur ce schéma.

Établir l’expression de l’ordre d’interférence p_S'(M) produit par la source S' au point M.

Faire l’application numérique et commenter.

On note I₀ l'intensité sonore perçue en l'absence de sol. Que vaut I₀ en fonction de I₁ et I₂ ? On suppose que la source est à grande distance, soit L ≫ H et L ≫ h. Montrer qu'à une telle distance…

Montrer que pour certaines valeurs ωₙ de la pulsation, l'intensité perçue chute brutalement. Comment varie l'intervalle Δω entre deux telles pulsations d'annulation lorsque la hauteur h de la source…

On considère deux rayons issus d'une même source ponctuelle à l'infini dans la direction θ et confondus avec les axes optiques des télescopes. À l'aide d'un schéma, exprimer la différence de marche…

Déterminer l'intensité totale de I_gal(x) résultante, en faisant apparaître la fonction sinus cardinal définie en annexe. En déduire l'expression du contraste de la figure d'interférence obtenue en…

Représenter schématiquement un tel dispositif comme en figure 3. Pour N grand, l'intensité lumineuse n'est non nulle que lorsque deux rayons issus d'un même point source et reçus par deux télescopes…

Déterminer l'expression de la norme V de la vitesse de l'eau. L'évaluer numériquement avec une estimation de son incertitude-type.

Exprimer la dimension Δ de la zone d'interférence (voir figure 12) en fonction de d_f et α.

Établir et évaluer numériquement la valeur minimale de d_f. Conclure quant à l'utilisation du laser argon pour la mesure de vitesse.

a) Lorsque la pression dans C₂ est considérée comme nulle, déterminer la position sur l'écran de la frange d'ordre nul. b) Déterminer l'expression de l'indice n_gaz du gaz de l'atmosphère à la…

Caractériser l'angle de vue θₙ = θ₀ + βₙ d'une cible Cₙ qui conduit à des interférences constructives entre les signaux reçus par le satellite successivement dans les positions S₁ et S₂ (on tiendra…

La composante de phase Δφ_tp(Y') peut être soustraite du déphasage puisque l'abscisse Y' est déduite de la mesure du temps de parcours (qui donne R₁) et est donc connue. En raison notamment des…

Déterminer une autre valeur numérique de d à partir de cette expérience, en proposant une estimation d'incertitude associée. Comparer à la valeur obtenue à la question Q11. Discuter à l'aide d'un…

La source est en réalité quasi-monochromatique à profil spectral "rectangulaire" de largeur Δλ autour de λ₀, avec Δλ ≪ λ₀. Ce profil spectral, en fonction de la fréquence d'émission, est représenté…

Le point source (S) est déplacé dans le plan de l'écran, ses coordonnées deviennent (y_S, z_S). En s'appuyant sur un schéma, déterminer l'expression de la différence de marche au point M en fonction…

À l'aide d'un critère semi-quantitatif, basé par exemple sur l'ordre d'interférence au point M, déterminer l'expression de la largeur maximale cₘₐₓ au-delà de laquelle la figure d'interférence sera…

Écrire en langage Python une fonction d'entête ```python def Itot(y:float, c:float, K:int) -> float: ``` qui, à partir de la position y du point M, de la distance c et du nombre de sources…

En utilisant les résultats de la question 14, exprimer sans calculs les différences de marches au point M, δ_i/1(M) avec i = 2, 3, 4, entre l'onde passant par le miroir P_i et celle passant par le…

On modélise l'écran du téléphone par un réseau carré de N pixels assimilés à de petits miroirs répartis périodiquement avec une période a selon y et selon z. Montrer que l'éclairement obtenu est…

Déterminer la distance entre deux pixels avec une estimation de son incertitude-type. Comparer ce résultat à celui de la question 12 par le calcul d'un écart normalisé et conclure.

Exprimer l'intensité lumineuse totale I(P) en utilisant la formule géométrique affirmée en annexe pour l'exprimer sous la forme : I(P) = K [ 1 + cos (2π(x-x₀)/(Δ x)) V(θ) ] dans laquelle on…

Quelles sont les significations physiques de x₀ et Δ x ? Expliquez comment l'étude des franges permet de mesurer l'écartement angulaire des deux composantes d'une étoile double à l'instant de…

Quelle valeur faut-il donner à la largeur commune ℓ des miroirs auxiliaires M'₁ et M'₂ pour pouvoir observer en tout au moins une dizaine de franges de part et d'autre de la frange centrale ?

Déterminer la nouvelle expression f_c' de la fréquence de clignotement, en fonction de f_B, λₑ, θ et d'une des composantes de V. Dans les mêmes conditions que la question 10, exprimer et calculer la…

Expliquer qualitativement pourquoi le raisonnement précédent, utilisant deux sources ponctuelles l’une située au centre et l’autre sur le bord apparent de l’étoile, rend compte des observations…

À l'instar de la situation en terrain plat, la cible est observée par le satellite une première fois lorsqu'il est en position S₁ puis une seconde fois lorsqu'il se trouve en position S₂. La cible…

La figure (13) représente les franges d'interférences résultant de la somme de deux images (une image est une collection de signaux issus de tous les pixels-terrain qui constituent la surface…

Exprimer l'amplitude de probabilité de présence d'un atome de Rubidium en sortie de l'interféromètre en fonction de Ψ₀, Φ_I, Φ_II et des phases lasers φ_laser(t) à t = 0, T, 2T ou 3T. En déduire la…