Corrigé détaillé Centrale Physique-Chimie 2 TSI 2023

On repère un point quelconque de l'espace M en coordonnées cylindriques (r, \theta, z) associées à la base locale (\vec{u}_r, \vec{u}_\theta, \vec{u}_z), où l'axe (Oz) coïncide avec l'axe de révolution du solénoïde.

1. Invariances et dépendance spatiale :

• Le solénoïde est supposé infini suivant (Oz) et parcouru par un courant stationnaire : la distribution de courant est invariante par toute translation le long de l'axe (Oz). Le champ \vec{B} ne dépend donc pas de la variable z.
• La distribution de courant présente une symétrie de révolution autour de l'axe (Oz) : elle est invariante par toute rotation d'angle \theta autour de cet axe. Le champ \vec{B} ne dépend donc pas de la variable \theta.

Par conséquent, le champ magnétique ne dépend que de la seule variable radiale r :

2. Direction du champ magnétique :

• Le plan \Pi_{as} = (M, \vec{u}_r, \vec{u}_z) contient l'axe (Oz). Le courant circule perpendiculairement à ce plan (selon \pm \vec{u}_\theta). La symétrie plane par rapport à \Pi_{as} inverse donc le sens des vecteurs densité de courant : \Pi_{as} est un plan d'antisymétrie pour la distribution de courant. Comme le champ magnétique \vec{B} est un pseudovecteur (vecteur axial), il appartient à ce plan :

  \vec{B}(M) \in \Pi_{as} \implies B_\theta(M) = 0

• Le plan \Pi_s = (M, \vec{u}_r, \vec{u}_\theta) perpendiculaire à l'axe (Oz) coupe le solénoïde orthogonalement. Par réflexion par rapport à ce plan, le sens de parcours circulaire du courant le long des spires est conservé : \Pi_s est un plan de symétrie pour la distribution de courant. Le champ magnétique \vec{B} est donc orthogonal à ce plan :

  \vec{B}(M) \perp \Pi_s \implies B_r(M) = 0 \quad \text{et} \quad B_\theta(M) = 0

On en déduit que le champ magnétique \vec{B} est purement axial, dirigé selon \vec{u}_z :

Le champ magnétique est dirigé selon l'axe (Oz) de la bobine et ne dépend que de la distance r à cet axe.

D'après la question Q1, le champ magnétique est dirigé selon l'axe du solénoïde et ne dépend que de la distance radiale : \vec{B}(r) = B_z(r)\,\vec{u}_z.

On applique le théorème d'Ampère sur un contour rectangulaire fermé \mathcal{C} = M_1 M_2 M_3 M_4 situé dans un demi-plan méridien (\vec{u}_r, \vec{u}_z), orienté selon la règle du tire-bouchon en cohérence avec le sens de parcours du courant :

• un segment [M_1 M_2] intérieur au solénoïde, parallèle à l'axe (Oz), de longueur L et situé à une distance r < R de l'axe, orienté selon +\vec{u}_z ;
• deux segments radiaux [M_2 M_3] et [M_4 M_1], orthogonaux à \vec{u}_z ;
• un segment [M_3 M_4] extérieur au solénoïde, parallèle à l'axe (Oz), de longueur L et situé à r_{\text{ext}} > R.

La circulation de \vec{B} le long du contour \mathcal{C} vaut :

Sur les segments radiaux, \vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{\ell} = B_z(r)\,\vec{u}_z\cdot(\mathrm{d}r\,\vec{u}_r) = 0. À l'extérieur, \vec{B}_{\text{ext}} = \vec{0} d'après l'énoncé. Il reste :

Le courant enlacé par ce contour correspond aux spires interceptées sur la longueur L. Avec n spires par unité de longueur parcourues chacune par le courant i, la surface s'appuyant sur \mathcal{C} est traversée par :

D'après le théorème d'Ampère en régime quasi stationnaire :

Le champ est donc uniforme à l'intérieur de la bobine et vaut :

1. Cas de la bobine infinie (solénoïde infini)

• À l'intérieur : Le champ magnétique est uniforme :

  \vec{B} = \mu_0 n i \vec{u}_z

  Il est colinéaire à l'axe (Oz), indépendant des coordonnées (r, \theta, z). Les lignes de champ sont des droites parallèles équidistantes orientées selon \vec{u}_z.

• À l'extérieur : Le champ magnétique est rigoureusement nul (\vec{B} = \vec{0}). Il n'y a donc aucune ligne de champ à l'extérieur.

2. Cas de la bobine de longueur finie

• Au centre du solénoïde : Le champ magnétique reste quasi-uniforme, orienté selon \vec{u}_z, avec une intensité maximale proche de celle du solénoïde infini (B \approx \mu_0 n i). Les lignes de champ y sont rectilignes et resserrées.
• Près des extrémités : Les lignes de champ s'évasent en sortant par la face supérieure (face Nord) et convergent en entrant par la face inférieure (face Sud). Sur l'axe, l'intensité du champ décroît progressivement pour valoir la moitié de sa valeur centrale aux extrémités (B \approx \frac{1}{2}\mu_0 n i pour un solénoïde long).
• À l'extérieur : Le champ n'est plus nul ; les lignes de champ se referment sur elles-mêmes en boucle continue de l'extérieur vers l'intérieur (propriété de flux conservatif \mathrm{div}\,\vec{B} = 0). L'intensité du champ décroît rapidement lorsqu'on s'éloigne de la bobine (comportement dipolaire à grande distance).

1. Nom de la force : Il s'agit de la force de Laplace (ou résultante des forces de Laplace).

2. Sens du courant et de la force :

   • Le pôle positif du générateur est relié au pivot O et le pôle négatif à l'arc conducteur. Le courant d'intensité I circule donc dans la partie mobile de l'axe O vers l'extrémité (le palet).
   • En utilisant la règle de la main droite (ou du trièdre direct) pour le produit vectoriel I\vec{\mathrm{d}\ell} \times \vec{B} avec \vec{B} dirigé vers le fond du plan (\vec{B} = -B\,\vec{u}_z), la force de Laplace est orthogonale à la tige et orientée vers le bas (dans le sens de \theta croissant, soit selon \vec{u}_\theta).

3. Expression de la force : En repérant un élément de tige par ses coordonnées cylindriques, un élément de longueur de la tige s'écrit \mathrm{d}\vec{\ell} = \mathrm{d}r\,\vec{u}_r (avec r \in [0, l]). La force élémentaire de Laplace subie par cet élément s'écrit :

   \mathrm{d}\vec{F}_L = I\,\mathrm{d}\vec{\ell} \times \vec{B} = I\,\mathrm{d}r\,\vec{u}_r \times (-B\,\vec{u}_z) = I B\,\mathrm{d}r\,\vec{u}_\theta

   En intégrant sur toute la longueur l de la partie mobile, on obtient la résultante :

   \boxed{\vec{F}_L = I l B\,\vec{u}_\theta}

   avec \vec{u}_\theta le vecteur unitaire orthoradial dirigé dans le sens des \theta croissants.

À l'instant t = 0^-, le générateur n'est pas branché, donc aucun courant ne traverse la partie mobile (I = 0) : la force de Laplace est nulle.

D'après les hypothèses de l'énoncé :

• l'action du poids est négligeable ;
• les forces de frottement sont négligeables ;
• la liaison pivot d'axe (Oz) est supposée parfaite, son moment par rapport à l'axe (Oz) est donc nul.

La seule action mécanique ayant un moment non nul par rapport à l'axe (Oz) est le couple de rappel exercé par la lame métallique :

La partie mobile étant au repos, elle est à l'équilibre mécanique. Le théorème du moment cinétique projeté sur l'axe (Oz) impose l'annulation du moment des forces extérieures par rapport à cet axe :

Comme la constante de torsion K est strictement positive, on en déduit :

La partie mobile se situe donc à la position d'angle nul, c'est-à-dire dans sa position de repos où la lame métallique n'est pas déformée.

On étudie la partie mobile, assimilée à une tige rigide de longueur l, mobile en rotation autour de l'axe fixe (Oz), dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen.

Dès la mise sous tension à t = 0^+, un courant d'intensité I circule le long de la partie mobile dans le champ magnétique \vec{B} = -B\,\vec{u}_z. Le bilan des actions mécaniques s'écrit :

1. Forces de Laplace réparties le long de la tige : Chaque élément de longueur \mathrm{d}\vec{l} = \mathrm{d}r\,\vec{u}_r (pour r \in [0, l]) subit la force élémentaire :

   \mathrm{d}\vec{F}_L = I\,\mathrm{d}r\,\vec{u}_r \wedge (-B\,\vec{u}_z) = I B\,\mathrm{d}r\,\vec{u}_\theta

   Le moment résultant par rapport à l'axe (Oz) est :

   M_z(\vec{F}_L) = \int_0^l r\,(I B\,\mathrm{d}r) = \frac{1}{2} I B l^2

2. Couple de rappel modélisant l'action de la lame métallique élastique :

   \vec{\Gamma} = -K\theta\,\vec{u}_z \implies M_z(\text{rappel}) = -K\theta

3. Action de la liaison pivot sur l'axe (Oz) : Cette liaison bloque les translations et laisse libre la rotation autour de (Oz), son moment par rapport à (Oz) est donc nul :

   M_z(\text{liaison}) = 0

4. Action normale de contact de l'arc de cercle conducteur sur le palet à l'extrémité : En l'absence de frottement, la réaction \vec{R}_c est portée par la normale au cercle, c'est-à-dire selon -\vec{u}_r. Son bras de levier par rapport à (Oz) est donc nul :

   M_z(\vec{R}_c) = 0

D'après les hypothèses de l'énoncé :

• le poids de la partie mobile est négligeable devant les autres actions ;
• les forces de frottement (dans la liaison et au contact du palet) sont négligées.

On applique le théorème du moment cinétique scalaire à la partie mobile, de moment d'inertie J, en rotation autour de l'axe fixe (Oz) dans le référentiel d'étude galiléen :

D'après le bilan des actions mécaniques de la question Q6, en négligeant le poids et les frottements :

On obtient ainsi :

En divisant par le moment d'inertie J > 0 :

Par identification avec l'équation demandée \ddot{\theta} + \omega_0^2 \theta = A, on en déduit :

D'après l'équation différentielle obtenue à la question Q7 :

L'angle \theta étant sans dimension ([\theta] = 1), sa dérivée seconde par rapport au temps a pour dimension :

Pour que l'équation différentielle soit homogène, le terme A doit donc être homogène à l'inverse du carré d'un temps :

Examinons à présent l'expression trouvée pour A = \dfrac{I B l^2}{2 J} :

• [I] = \mathrm{I} ;
• [l] = \mathrm{L} ;

• D'après l'expression de l'énergie cinétique de rotation \mathcal{E}_c = \dfrac{1}{2} J \dot{\theta}^2 ou ses unités (\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2), le moment d'inertie a pour dimension :

  [J] = \mathrm{M}\cdot\mathrm{L}^2

• Pour déterminer la dimension du champ magnétique B, on utilise la force de Laplace F = I l B, où [F] = \mathrm{M}\cdot\mathrm{L}\cdot\mathrm{T}^{-2} d'après le principe fondamental de la dynamique (F = m a) :

  [B] = \frac{[F]}{[I]\,[l]} = \frac{\mathrm{M}\cdot\mathrm{L}\cdot\mathrm{T}^{-2}}{\mathrm{I}\cdot\mathrm{L}} = \mathrm{M}\cdot\mathrm{T}^{-2}\cdot\mathrm{I}^{-1}

On en déduit la dimension du produit au numérateur, qui correspond à un moment de force :

Par conséquent :

L'expression de A est donc bien homogène.

D'après la question Q7, la position angulaire \theta(t) satisfait l'équation différentielle :

La solution générale est la somme d'une solution de l'équation homogène et d'une solution particulière constante :

où C_1 et C_2 sont deux constantes réelles déterminées par les conditions initiales.

À l'instant t = 0^+, la continuité de la position et de la vitesse de la partie mobile (d'inertie non nulle J) impose :

Or, l'expression de la vitesse angulaire s'écrit :

En appliquant les conditions initiales :

On en déduit l'expression de \theta(t) tant que le contact est assuré :

En remplaçant par les grandeurs du problème (A = \frac{I B l^2}{2J} et \omega_0^2 = \frac{K}{J}), cette expression s'écrit également :

D'après la question Q2 et l'énoncé, en présence du matériau ferromagnétique de perméabilité relative \mu_r, la norme du champ magnétique uniforme régnant au niveau de la partie mobile s'écrit :

D'après la question Q9, tant que le contact est assuré, l'angle évolue selon :

Le cosinus oscillant entre -1 et 1, la valeur maximale susceptible d'être atteinte par l'angle \theta en l'absence de rupture est :

Pour que la partie mobile puisse atteindre l'extrémité de l'arc au point S et donc quitter la zone de contact, il est nécessaire que l'angle maximal franchisse la valeur seuil \theta_S :

En remplaçant B par son expression, on en déduit la valeur maximale de la constante de rappel :

Effectuons l'application numérique avec les valeurs données :

• \mu_r = 500 ;
• \mu_0 = 1{,}257 \times 10^{-6}\text{ H}\cdot\text{m}^{-1} ;
• n = 2 \times 10^3\text{ m}^{-1} ;
• I = 1\text{ A} ;
• l = 3\text{ cm} = 3 \times 10^{-2}\text{ m} ;
• \theta_S = \frac{\pi}{60}\text{ rad}.

Le champ magnétique a pour valeur :

On obtient alors :

Soit :

La valeur donnée dans l'énoncé est K = 7 \times 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{m}^2\cdot\text{s}^{-2}. On a bien :

La condition est donc parfaitement satisfaite : la partie mobile est capable de vaincre le couple de rappel et de quitter l'arc conducteur.

D'après la question Q9, l'angle \theta(t) évolue selon :

La partie mobile quitte le contact avec l'arc conducteur à la date t_1 > 0 telle que \theta(t_1) = \theta_S :

On en déduit :

Comme la partie mobile part du repos en \theta(0)=0 et s'écarte dans le sens des \theta croissants, t_1 correspond à la plus petite valeur strictement positive :

Application numérique :

• \omega_0 = \sqrt{\dfrac{K}{J}} = \sqrt{\dfrac{7\times 10^{-3}}{2\times 10^{-6}}} = \sqrt{3500} \approx 59{,}2\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}
• B = \mu_r \mu_0 n I = 500 \times 1{,}257\times 10^{-6} \times 2\times 10^3 \times 1 \approx 1{,}26\text{ T}
• \dfrac{2K\theta_S}{I B l^2} = \dfrac{2 \times 7\times 10^{-3} \times \frac{\pi}{60}}{1 \times 1{,}257 \times (3\times 10^{-2})^2} \approx \dfrac{7{,}33\times 10^{-4}}{1{,}13\times 10^{-3}} \approx 0{,}648

L'argument du cosinus vaut ainsi :

D'où :

Et finalement :

1. Nouvelle équation différentielle

Dès que la partie mobile quitte l'arc conducteur (t' \ge 0), le circuit électrique est ouvert : le courant s'annule (I = 0), et la force de Laplace devient donc nulle (\vec{F}_L = \vec{0}).

Seul subsiste le couple mécanique de rappel de moment scalaire par rapport à l'axe (Oz) :

Puisque t' = t - t_1, on a \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t'} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}. Le théorème du moment cinétique appliqué à la partie mobile en rotation autour de l'axe fixe (Oz) s'écrit alors :

soit, en introduisant la pulsation propre \omega_0 = \sqrt{\frac{K}{J}} déjà définie à la question Q7 :

2. Résolution pour \theta(t')

La solution générale de cette équation différentielle linéaire homogène du second ordre à coefficients constants est de la forme :

où C et D sont deux constantes réelles déterminées par les conditions initiales en t' = 0 (soit t = t_1).

• Continuité de la position : À l'instant t = t_1, la partie mobile se trouve à l'extrémité de l'arc conducteur :

  \theta(t'=0) = \theta(t_1) = \theta_S \implies C = \theta_S

• Continuité de la vitesse angulaire : En dérivant \theta(t'), on obtient :

  \dot{\theta}(t') = -C\omega_0 \sin(\omega_0 t') + D\omega_0 \cos(\omega_0 t') \implies \dot{\theta}(t'=0) = D\omega_0

  D'après la question Q9, l'expression de \theta(t) pendant la phase de contact est \theta(t) = \theta_{\text{éq}}(1 - \cos(\omega_0 t)) avec \theta_{\text{éq}} = \frac{I B l^2}{2K}. La vitesse angulaire à l'instant t_1 vaut donc :

  \dot{\theta}(t_1) = \omega_0 \theta_{\text{éq}} \sin(\omega_0 t_1)

  Par continuité de la vitesse angulaire en t_1, on a :

  D = \frac{\dot{\theta}(t_1)}{\omega_0} = \theta_{\text{éq}} \sin(\omega_0 t_1)

Comme \cos(\omega_0 t_1) = 1 - \frac{\theta_S}{\theta_{\text{éq}}} et que \sin(\omega_0 t_1) > 0, on a également :

L'expression de l'angle \theta(t') tant que le contact est rompu s'écrit donc :

ou, sous forme explicite en fonction des paramètres du système :

L'aiguille est fixée à l'extrémité de la partie mobile, à une distance l de l'axe de rotation (Oz).

Pour de petites oscillations (\theta \ll 1\text{ rad}, ce qui est bien vérifié ici puisque \theta_{\max} = 0{,}096\text{ rad} \ll 1), le déplacement vertical de l'aiguille par rapport à sa position de repos \theta = 0 s'écrit :

L'angle \theta évoluant entre la position de repos \theta_{\min} = 0 et l'angle maximal \theta_{\max}, la course totale de l'aiguille (amplitude crête-à-crête du déplacement) vaut :

Application numérique avec l = 3\text{ cm} = 3{,}0 \times 10^{-2}\text{ m} et \theta_{\max} = 0{,}096\text{ rad} :

Remarque : si l'on définit l'amplitude comme la demi-excursion autour de la position moyenne, on obtient a = \frac{\Delta z}{2} \approx 1{,}4\text{ mm}.

Analysons successivement les caractéristiques du mouvement de la partie mobile :

1. Absence de palier à \theta = 0 :
   Lorsque la partie mobile atteint la position \theta = 0, le contact électrique est fermé. Le circuit est parcouru par le courant I et la force de Laplace s'exerce. D'après l'équation différentielle établie à la question Q7 :

   \ddot{\theta}(0) = A - \omega_0^2 \times 0 = A > 0

   L'accélération angulaire n'étant pas nulle, la partie mobile ne peut pas stationner à \theta = 0 : elle repart immédiatement vers les angles croissants. Cela élimine la courbe 3, qui comporte des paliers d'attente à \theta = 0.

2. Continuité de la vitesse et absence de points anguleux :
   Les actions mécaniques appliquées (force de Laplace et couple élastique de rappel) sont d'intensité finie. En l'absence de choc mécanique ou de butée, l'accélération angulaire \ddot{\theta}(t) reste finie à tout instant. La vitesse angulaire \dot{\theta}(t) est donc continue : la fonction \theta(t) est de classe \mathcal{C}^1.
   Aux extrema du mouvement (\theta = 0 et \theta = \theta_{\max}), la vitesse angulaire s'annule nécessairement (\dot{\theta} = 0), ce qui impose des tangentes horizontales.

   • La courbe 2 présente des pointes anguleuses aux maxima (\theta = \theta_{\max}), ce qui supposerait une inversion instantanée de la vitesse par un choc au sommet : elle est donc exclue.
   • La courbe 4 présente des pointes anguleuses en « V » à la base (\theta = 0), ce qui correspondrait à un rebond élastique sur une butée : elle est donc également exclue.

3. Concavité et points d'inflexion :
   Examinons le signe de la dérivée seconde \ddot{\theta}(t) :

   • Phase de contact (0 \le \theta \le \theta_S) :

     \ddot{\theta} = \omega_0^2(\theta_{\text{éq}} - \theta)

     Or, d'après les questions Q9 et Q10, la position d'équilibre sous tension vaut \theta_{\text{éq}} = \frac{I B l^2}{2K} \approx 0{,}081\text{ rad} > \theta_S \approx 0{,}052\text{ rad}. On a donc \ddot{\theta} > 0 sur tout cet intervalle : la courbe est convexe (concavité tournée vers le haut).

   • Phase hors contact (\theta_S < \theta \le \theta_{\max}) :

     \ddot{\theta} = -\omega_0^2 \theta < 0

     Puisque \theta > 0, on a \ddot{\theta} < 0 : la courbe est concave (concavité tournée vers le bas).

   • Au passage en \theta = \theta_S, \ddot{\theta} change brutalement de signe : il y a un point d'inflexion sur chaque front montant et descendant.

La seule courbe présentant à la fois une allure périodique lisse (\mathcal{C}^1), des tangentes horizontales aux extrema (\theta = 0 et \theta = \theta_{\max}), une zone convexe à la base et une zone concave au sommet est la courbe 1.

D'après la figure 4 et sa légende :

• Les atomes de fer (disques noirs) occupent les 8 sommets du cube et les centres des 6 faces :

  N(\mathrm{Fe}) = 8 \times \frac{1}{8} + 6 \times \frac{1}{2} = 1 + 3 = 4

• Les ions oxygène \mathrm{O}^{2-} (cercles blancs) occupent le centre du cube et les milieux des 12 arêtes :

  N(\mathrm{O}) = 1 \times 1 + 12 \times \frac{1}{4} = 1 + 3 = 4

Une maille contient donc 4 entités de fer pour 4 entités d'oxygène, soit une proportion stœchiométrique de 1 : 1.

La formule chimique de ce pigment est donc :

Dans l'oxyde ferreux de formule chimique \mathrm{FeO}, le nombre d'oxydation de l'oxygène sous forme d'ion oxyde \mathrm{O}^{2-} vaut :

L'espèce étant électriquement neutre, la somme des nombres d'oxydation des éléments constitutifs est nulle :

On en déduit immédiatement le degré d'oxydation du fer :

L'équation de la réaction considérée est :

D'après la loi de Hess, l'enthalpie standard de la réaction s'exprime en fonction des enthalpies standard de formation des réactifs et des produits :

Par convention, l'enthalpie standard de formation d'un corps pur simple dans son état de référence à la température considérée est nulle :

D'où :

Application numérique avec les données à T_0 = 298\text{ K} :

Puisque \Delta_r H^\circ(T_0) > 0, la réaction nécessite un apport de chaleur du milieu extérieur : elle est endothermique.

La relation de Van't Hoff s'écrit :

En supposant l'enthalpie standard de réaction \Delta_r H^\circ indépendante de la température (approximation d'Ellingham), on intègre cette relation différentielle entre la température de référence T_0 et une température T quelconque :

En composant par la fonction exponentielle, on en déduit l'expression de K^\circ(T) :

D'après la relation établie à la question Q18, la constante thermodynamique d'équilibre à T = 1300\text{ K} s'écrit :

Calculons l'argument de l'exponentielle avec les valeurs numériques suivantes :

• \Delta_r H^\circ = 156\times 10^3\text{ J}\cdot\text{mol}^{-1} (d'après Q17) ;
• R = 8{,}314\text{ J}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} ;
• T_0 = 298\text{ K} et T = 1300\text{ K}.

On obtient :

D'où la valeur de la constante d'équilibre à 1300 K :

À T = 298\text{ K}, la constante K^\circ(T_0) = 7\times 10^{-19} \ll 1 indiquait une réaction quasi-nulle. À T = 1300\text{ K}, on a :

L'équilibre est donc très largement déplacé dans le sens direct : la réduction de l'oxyde de fer \mathrm{FeO} par le carbone est bien thermodynamiquement favorisée à 1300 K.

Dans le vide dépourvu de charges et de courants, les densités volumiques de charge et de courant sont nulles :

Les quatre équations de Maxwell locales s'écrivent alors :

• Équation de Maxwell-Gauss (MG) :

  \boxed{\operatorname{div} \vec{E} = 0}

• Équation de Maxwell-Thomson (ou conservation du flux magnétique) (MT) :

  \boxed{\operatorname{div} \vec{B} = 0}

• Équation de Maxwell-Faraday (MF) :

  \boxed{\vec{\operatorname{rot}}\,\vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}}

• Équation de Maxwell-Ampère (MA) :

  \boxed{\vec{\operatorname{rot}}\,\vec{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} = \frac{1}{c^2}\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}}

  avec c = \dfrac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}} la vitesse de la lumière dans le vide.

Partons de l'équation de Maxwell-Faraday dans le vide rappelée en Q20 :

Prenons le rotationnel de cette relation :

D'une part, en utilisant l'identité vectorielle du formulaire :

Comme le milieu est le vide dépourvu de charges électriques (\rho = 0), l'équation de Maxwell-Gauss impose \operatorname{div}\vec{E} = 0. Il vient :

D'autre part, les opérateurs spatiaux et temporels commutent selon le théorème de Schwarz :

En injectant l'équation de Maxwell-Ampère dans le vide (\vec{\jmath} = \vec{0}) :

où la vitesse de la lumière dans le vide est définie par c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}}. On obtient alors :

Soit finalement l'équation de d'Alembert vérifiée par \vec{E} :

L'onde plane progressive sinusoïdale se propageant selon \vec{u}_x est représentée en notation complexe par :

Cette onde vérifie l'équation de propagation établie à la question Q21 :

Le champ électrique ne dépendant que de la variable d'espace x, le laplacien vectoriel se réduit à :

La dérivée temporelle seconde s'écrit :

En injectant ces dérivées dans l'équation d'onde, on obtient :

Cette égalité étant vérifiée à tout instant et en tout point avec une amplitude non nulle (E_0 \neq 0), il vient :

Pour une onde progressive se propageant dans le sens des x croissants avec \omega > 0, la norme du vecteur d'onde k est positive, ce qui conduit à la relation de dispersion :

D'après l'équation de d'Alembert obtenue à la question Q21, le champ électrique dans le vide vérifie :

En régime harmonique et dans le milieu isolant non chargé considéré, les équations de Maxwell sont modifiées en substituant \varepsilon_0 \underline{\varepsilon}_r à \varepsilon_0. Le champ électrique complexe \underline{\vec{E}} satisfait ainsi à l'équation de propagation :

En utilisant la relation définissant la vitesse de la lumière dans le vide c^2 = \frac{1}{\varepsilon_0 \mu_0}, cette équation s'écrit :

Le champ électrique s'écrit sous forme d'une onde plane progressive sinusoïdale se propageant selon +x :

Le champ ne dépendant spatialement que de la coordonnée x, le laplacien vectoriel se réduit à :

Par ailleurs, la dérivée temporelle seconde en régime harmonique s'exprime par :

En reportant ces dérivées dans l'équation de propagation, on obtient :

Comme cette relation doit être vérifiée pour tout x et tout t (le champ n'étant pas identiquement nul), on en déduit la relation de dispersion :

L'onde se propage selon la direction \vec{u}_x. En substituant l'écriture complexe \underline{k} = k' - \mathrm{j}k'' dans l'expression du champ électrique complexe \underline{\vec{E}}, on obtient :

Le champ électrique réel associé s'écrit donc :

Comme k' > 0, l'onde se propage dans le sens des x croissants. Puisque k'' > 0, l'amplitude du champ électrique E(x) = E_0 \mathrm{e}^{-k'' x} décroît exponentiellement avec la distance de propagation x. On parle d'atténuation de l'onde, caractérisée par une profondeur de pénétration \delta = \frac{1}{k''}.

Conséquence énergétique : La densité volumique d'énergie électromagnétique et le flux d'énergie (vecteur de Poynting) étant proportionnels au carré de l'amplitude du champ électrique, l'énergie transportée par l'onde diminue au cours de la propagation selon la loi de Beer-Lambert en \mathrm{e}^{-2k'' x}.

L'onde cède donc continûment de la puissance électromagnétique au milieu traversé : le milieu est absorbant (ou dissipatif) et l'énergie électromagnétique absorbée est convertie sous une autre forme (ici principalement en énergie thermique).

D'après le résultat de la question Q23, la relation de dispersion s'écrit :

En développant avec la forme complexe imposée \underline{k} = k' - \mathrm{j}k'' (où k', k'' \in \mathbb{R}) :

Si la permittivité relative est un réel strictement positif (\underline{\varepsilon}_r = \varepsilon_r \in \mathbb{R}^+), le membre de droite \varepsilon_r \frac{\omega^2}{c^2} est purement réel :

L'énoncé précisant que k' > 0, il vient immédiatement :

Il en découle que le vecteur d'onde est purement réel, avec k = k' = \sqrt{\varepsilon_r}\,\frac{\omega}{c}.

L'onde plane s'écrit alors :

L'amplitude du champ électromagnétique reste constante au cours de la propagation : l'onde ne subit aucune atténuation. Le milieu se comporte comme un milieu transparent (non absorbant, ou diélectrique parfait sans pertes).

Pour effacer le tatouage sans endommager les tissus cutanés sus-jacents, l'onde laser doit être très peu absorbée par la peau lors de sa traversée, tout en étant fortement absorbée par le pigment noir, dont le coefficient est k''_{\text{pigment}} = 5 \times 10^4\text{ m}^{-1} = 500\text{ cm}^{-1} quelle que soit la longueur d'onde. Il faut donc se placer dans un domaine spectral où le coefficient k'' des constituants de la peau est minimal :

• Mélanine : son absorption décroît continûment avec la longueur d'onde, passant de plus de 100\text{ cm}^{-1} dans le proche UV et le visible à moins de 10\text{ cm}^{-1} au-delà de 700\text{ nm}.
• Oxyhémoglobine : elle présente une absorption très marquée pour \lambda < 600\text{ nm} (k'' \in [10, 100]\text{ cm}^{-1}), mais devient très faiblement absorbante (k'' \lesssim 1\text{ à }10\text{ cm}^{-1}) pour \lambda \in [650\text{ nm}, 1100\text{ nm}].
• Eau : elle est particulièrement transparente pour \lambda < 900\text{ nm} (k'' < 0{,}1\text{ cm}^{-1}), mais son absorption augmente sensiblement au-delà de 1100\text{ nm} pour atteindre plusieurs dizaines de \text{cm}^{-1} à 1400\text{ nm}.

L'intersection des domaines de faible absorption de ces trois composants définit une « fenêtre thérapeutique » (ou fenêtre optique de la peau) située approximativement entre 650\text{ nm} et 1100\text{ nm}. Dans cet intervalle, l'atténuation cutanée globale reste inférieure à 10\text{ cm}^{-1}, soit au moins 50 fois plus faible que celle du pigment noir.

• Jeu de courbes (a) : L'absorption est maximale dans la bande [400\text{ nm}, 500\text{ nm}], correspondant au violet et au bleu, tandis qu'elle est quasiment nulle pour \lambda > 550\text{ nm} (vert, jaune, rouge). La couleur perçue étant complémentaire du bleu absorbé, il s'agit d'encres de couleur jaune (à jaune-orangé).
  Remarque : La nomenclature standard des pigments confirme ce résultat (P.Y. pour Pigment Yellow, P.O. pour Pigment Orange).
• Jeu de courbes (b) : L'absorption est très élevée pour toutes les longueurs d'onde inférieures à 600\text{ nm} (violet, bleu, vert), puis chute brutalement dans le rouge (\lambda > 600\text{ nm}). Ces pigments ne transmettent et ne diffusent que la partie rouge du spectre visible : il s'agit d'encres de couleur rouge.
  Remarque : Les codes indiquent P.R. pour Pigment Red.
• Jeu de courbes (c) : L'absorption présente un plateau élevé dans la zone [600\text{ nm}, 800\text{ nm}] (orange, rouge) et un minimum d'absorption marqué dans la zone [450\text{ nm}, 550\text{ nm}]. Ces pigments diffusent préférentiellement les rayonnements bleu et vert : il s'agit d'encres de couleur bleue ou verte (cyan, bleu-vert).
  Remarque : Les codes confirment la présence de P.B. (Pigment Blue), P.G. (Pigment Green) et P.V. (Pigment Violet).

En résumé :

Pour effacer efficacement un pigment par effet photothermique ou photomécanique sans léser la peau environnante, il faut remplir simultanément deux conditions :

1. le laser doit émettre à une longueur d'onde fortement absorbée par le pigment ciblé (k'' élevé pour ce pigment) ;
2. le rayonnement doit se situer dans une gamme où les constituants naturels de la peau (mélanine, oxyhémoglobine, eau) absorbent peu (fenêtre thérapeutique, typiquement entre 650\text{ nm} et 1100\text{ nm}).

Comme le montrent les spectres de la figure 6, chaque famille de pigments colorés possède des bandes d'absorption propres et disjointes :

• une encre rouge absorbe principalement dans le vert et le bleu (\lambda \sim 500\text{ nm}) ;
• une encre jaune/orange absorbe dans le bleu et le proche UV (\lambda < 500\text{ nm}) ;
• une encre bleue ou verte absorbe dans le rouge et le proche infrarouge (\lambda \sim 600\text{ à }800\text{ nm}).

Par conséquent, un laser monochromatique unique ne peut pas fragmenter l'ensemble des couleurs : une longueur d'onde optimale pour un pigment sera quasiment transmise (non absorbée) par un autre.

De plus, certaines teintes (comme le jaune ou l'orange) n'absorbent que dans des domaines de longueurs d'onde où l'hémoglobine et la mélanine absorbent également fortement, ce qui rend le ciblage sélectif très délicat et majore le risque de brûlures cutanées.

D'après l'énoncé, la relation de structure s'écrit en représentation complexe :

avec :

Sachant que \vec{u}_x \wedge \vec{u}_y = \vec{u}_z, il vient :

En développant l'exponentielle complexe via la formule d'Euler :

on obtient :

car -\mathrm{j}^2 = +1.

Le champ magnétique réel correspond à la partie réelle du champ complexe :

On retrouve bien l'expression demandée :

avec :

D'après l'énoncé, le vecteur de Poynting s'écrit avec les notations réelles sous la forme :

D'après les résultats des questions Q24 et Q29, les champs électrique et magnétique s'écrivent :

Sachant que \vec{u}_y \wedge \vec{u}_z = \vec{u}_x, le produit vectoriel donne :

Prenons la moyenne temporelle sur une période T = \frac{2\pi}{\omega}. En utilisant l'identité \cos(u)\sin(u) = \frac{1}{2}\sin(2u) :

On en déduit la valeur moyenne temporelle du vecteur de Poynting :

Considérons une tranche cylindrique élémentaire d'axe (Ox), de section droite transversale S (perpendiculaire à l'axe (Ox)), comprise entre les abscisses x et x + \mathrm{d}x. Le volume de cette tranche est :

L'onde plane se propageant selon \vec{u}_x, le vecteur de Poynting est dirigé selon \vec{u}_x : il n'y a aucun flux électromagnétique à travers la surface latérale du cylindre.

En régime périodique établi, l'énergie électromagnétique moyenne stockée dans le volume \mathrm{d}V est constante dans le temps (\frac{\mathrm{d}\langle U_{\text{em}}\rangle}{\mathrm{d}t} = 0). Le principe de conservation de l'énergie en moyenne temporelle stipule donc que la puissance moyenne cédée par l'onde électromagnétique au milieu matériel au sein du volume \mathrm{d}V, notée \mathrm{d}\langle P_{\text{cédée}} \rangle = p_v(x)\,\mathrm{d}V, est égale au flux net entrant du vecteur de Poynting moyen à travers la frontière du cylindre :

avec :

Au premier ordre en \mathrm{d}x, on a :

d'où :

D'après le résultat de la question Q30, la composante suivant \vec{u}_x du vecteur de Poynting moyen s'écrit :

En dérivant par rapport à x :

On en déduit directement :

D'après le résultat de la question Q31, la puissance volumique moyenne cédée localement par le faisceau laser au pigment s'écrit :

L'atténuation spatiale de la puissance volumique sur l'épaisseur du pigment, de longueur L_p = 1\,\mu\text{m} = 10^{-6}\text{ m}, est gouvernée par le facteur sans dimension 2k''L_p.

D'après les données de l'énoncé, pour un laser Nd:Yag (\lambda = 1064\text{ nm}), le coefficient d'atténuation vaut k'' = 5\times 10^4\text{ m}^{-1}. On a donc :

De manière équivalente, la longueur caractéristique d'atténuation en puissance :

est nettement supérieure à la taille du pigment : L_p \ll \delta_p.

Par conséquent, pour tout x \in [0, L_p], on a 2k''x \le 0{,}10, ce qui permet d'effectuer un développement limité à l'ordre zéro :

L'écart relatif maximal de p_v sur toute la traversée du pigment est d'environ :

La loi phénoménologique de Fourier relie le vecteur densité de flux thermique au gradient de température dans le milieu conducteur :

Compte tenu de la géométrie unidimensionnelle du problème où la température ne dépend spatialement que de l'abscisse x, elle s'écrit selon l'axe (Ox) :

Les grandeurs intervenant dans cette loi sont :

• \vec{\jmath}_{\mathrm{th}} : le vecteur densité de flux thermique (ou densité de courant thermique), exprimé en watt par mètre carré (\mathrm{W\cdot m^{-2}}) ;
• \lambda_p : la conductivité thermique du milieu (ici le pigment noir), exprimée en watt par mètre par kelvin (\mathrm{W\cdot m^{-1}\cdot K^{-1}}) ;
• T : la température thermodynamique, exprimée en kelvin (\mathrm{K}) ;
• \vec{\operatorname{grad}} T : le gradient de température, exprimé en kelvin par mètre (\mathrm{K\cdot m^{-1}}).

Considérons le système fermé constitué par la tranche de pigment située entre x et x + \mathrm{d}x, de section droite d'aire S = \pi r_p^2 et de volume élémentaire \mathrm{d}V = S\,\mathrm{d}x, entre les instants t et t + \mathrm{d}t.

Le pigment étant modélisé par une phase condensée indéformable et incompressible de masse volumique \rho_p et de capacité thermique massique c_p, le travail des forces de pression est nul. La variation d'énergie interne du système s'écrit :

Pendant la durée \mathrm{d}t, les échanges énergétiques du système avec l'extérieur sont les suivants :

• Le transfert thermique conductif net à travers les deux sections transversales en x et x + \mathrm{d}x orientées selon \vec{u}_x (le transfert thermique latéral étant négligé) :

  \begin{aligned} \delta Q_{\text{cond}} &= \Phi_{\mathrm{th}}(x,t)\,\mathrm{d}t - \Phi_{\mathrm{th}}(x+\mathrm{d}x,t)\,\mathrm{d}t \\ &= \left[ j_{\mathrm{th}}(x,t) - j_{\mathrm{th}}(x+\mathrm{d}x,t) \right] S\,\mathrm{d}t \\ &= -\frac{\partial j_{\mathrm{th}}}{\partial x}\,S\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t \end{aligned}

  D'après la loi de Fourier établie à la question Q33, \vec{\jmath}_{\mathrm{th}} = -\lambda_p\,\dfrac{\partial T}{\partial x}\vec{u}_x, d'où :

  -\frac{\partial j_{\mathrm{th}}}{\partial x} = \lambda_p\,\frac{\partial^2 T}{\partial x^2}

• L'énergie thermique apportée par l'absorption du faisceau laser (terme source volumique p_v) :

  \delta Q_{\text{source}} = p_v\,\mathrm{d}V\,\mathrm{d}t = p_v\,S\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t

D'après le premier principe de la thermodynamique :

En remplaçant par les expressions obtenues :

En divisant par le volume élémentaire S\,\mathrm{d}x et par la durée \mathrm{d}t, on obtient l'équation de la chaleur unidimensionnelle :

Une fois l'impulsion laser terminée, la puissance volumique apportée s'annule (p_v = 0). L'équation de diffusion thermique établie à la question Q34 s'écrit alors :

où D_p = \dfrac{\lambda_p}{\rho_p c_p} désigne la diffusivité thermique du pigment.

En notant L une dimension spatiale caractéristique du pigment (telle que sa longueur L_p ou son rayon r_p) et \tau le temps caractéristique de diffusion, l'estimation des ordres de grandeur des dérivées partielles donne :

En injectant ces estimations dans l'équation de diffusion thermique :

On en déduit l'expression du temps caractéristique de diffusion :

Application numérique : Pour le pigment noir considéré, la longueur et le rayon valent L \sim 1\;\mu\text{m} = 10^{-6}\;\text{m}. Avec \rho_p = 1\times 10^3\;\text{kg}\cdot\text{m}^{-3}, c_p = 2{,}5\times 10^3\;\text{J}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} et \lambda_p = 50\;\text{W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}, la diffusivité thermique vaut :

Le temps caractéristique est donc :

La durée d'une impulsion laser est de l'ordre de :

D'après l'estimation menée à la question Q35, le temps caractéristique de diffusion thermique au sein du pigment est de l'ordre de :

On constate ainsi que :

Pendant la durée de l'impulsion laser, le transfert d'énergie thermique par conduction n'a donc pas le temps de s'établir. On formule l'hypothèse suivante :

Le terme conductif \lambda_p \dfrac{\partial^2 T}{\partial x^2} peut ainsi être négligé dans le bilan d'énergie au cours du tir.

D'après la question Q36, la diffusion thermique est négligeable devant l'apport d'énergie apporté par le laser pendant la durée de l'impulsion. On peut donc négliger le terme de diffusion conductive devant le terme source volumique dans l'équation de la chaleur établie en Q34 :

L'équation différentielle régissant l'évolution de la température T(x,t) se simplifie alors sous la forme :

Puisque la puissance volumique p_v est considérée comme uniforme dans le pigment (d'après la question Q32) et que la température initiale est uniforme, le champ de température T ne dépend plus de la position x pendant le tir. L'équation différentielle peut donc également s'écrire sous forme scalaire ordinaire :

D'après l'équation différentielle établie à la question Q37 traduisant le régime de confinement thermique pendant l'impulsion laser :

En intégrant entre le début de l'impulsion (t = 0) et sa fin (t = \Delta t), on obtient l'élévation de température :

D'après les questions Q30 à Q32, la puissance volumique absorbée au niveau du pigment est quasi uniforme et vaut :

où \Pi_0 = \langle \Pi(0) \rangle est la puissance surfacique incidente du faisceau laser. La fluence F étant l'énergie par unité de surface reçue au cours de l'impulsion :

Il vient ainsi :

On en déduit l'expression littérale de l'élévation de température :

soit pour la température finale :

Application numérique :

• T_i = 30\text{ }^\circ\text{C}
• k'' = 5 \times 10^4\text{ m}^{-1}
• F = 5\text{ J}\cdot\text{cm}^{-2} = 5 \times 10^4\text{ J}\cdot\text{m}^{-2}
• \rho_p = 1 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}
• c_p = 2{,}5\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} = 2{,}5 \times 10^3\text{ J}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}

On obtient :

Commentaires :

• L'élévation de température est gigantesque (\approx 2\,000\text{ }^\circ\text{C}). Dans ces conditions, l'hypothèse de caractéristiques thermiques et optiques constantes est une approximation très idéalisée : le pigment subit d'importantes contraintes thermomécaniques, une vaporisation partielle et une fragmentation brutale (principe de la photothermolyse sélective).
• Cette très forte concentration d'énergie dans un volume nanométrique favorise également le claquage diélectrique, la création d'un plasma et une onde de choc mécanique destructrice, comme le précise la suite du texte.