Feuille d'entraînement : Diffusion thermique

Corrigés

1. Exercice 1CCINP Physique-Chimie TSI 2026, Q8

   Les trois modes de transfert thermique sont :

   1. La conduction thermique (ou diffusion thermique) : transfert d'énergie thermique de proche en proche au sein de la matière sous l'effet de l'agitation microscopique (chocs intermoléculaires, vibrations du réseau cristallin, électrons libres), sans déplacement macroscopique de matière. Il régit les transferts au sein des solides et des fluides immobiles.
   2. La convection : transfert d'énergie thermique au sein d'un fluide en écoulement, s'effectuant avec déplacement macroscopique de matière. On distingue la convection naturelle (induite par les gradients de masse volumique d'origine thermique) et la convection forcée (mise en mouvement par un dispositif mécanique externe tel qu'un ventilateur ou une pompe).
   3. Le rayonnement thermique : transfert d'énergie thermique par émission et absorption d'ondes électromagnétiques (ou photons) par tout corps à température non nulle. C'est le seul mode de transfert pouvant s'effectuer dans le vide, sans support matériel, à l'image du rayonnement solaire atteignant la Terre.

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CentraleSupélec Physique-Chimie 1 TSI 2026, Q39

   Considérons comme système la tranche de béton indéformable comprise entre x et x + \mathrm{d}x, d'aire transverse S, de volume \mathrm{d}V = S\,\mathrm{d}x et de masse \mathrm{d}m = \rho S\,\mathrm{d}x.

   1. Bilan d'énergie interne entre t et t + \mathrm{d}t :

   Le béton étant une phase condensée indéformable, le travail des forces pressantes est nul (W = 0). La variation d'énergie interne du système s'écrit :

   \mathrm{d}(\mathrm{d}U) = \mathrm{d}m \, c \, \left[ T(x, t + \mathrm{d}t) - T(x, t) \right] = \rho c S \frac{\partial T}{\partial t}(x, t) \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}t

   2. Transfert thermique conductif :

   Le transfert thermique est unidimensionnel suivant l'axe (Ox). Les faces latérales étant isolées et en l'absence de terme source volumique interne, la tranche n'échange d'énergie que par ses faces en x et en x + \mathrm{d}x :

   • à travers la face en x, le flux thermique entrant s'écrit \Phi(x, t) = \vec{\jmath}_\mathrm{th}(x, t) \cdot S \vec{e}_x = j_\mathrm{th}(x, t) S ;
   • à travers la face en x + \mathrm{d}x, le flux thermique sortant s'écrit \Phi(x + \mathrm{d}x, t) = j_\mathrm{th}(x + \mathrm{d}x, t) S.

   Le transfert thermique algébrique reçu par le système pendant la durée \mathrm{d}t est donc :

   \delta Q = \left[ \Phi(x, t) - \Phi(x + \mathrm{d}x, t) \right] \mathrm{d}t = - S \, \frac{\partial j_\mathrm{th}}{\partial x}(x, t) \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}t

   D'après la loi de Fourier, la densité de flux thermique conductif est :

   \vec{\jmath}_\mathrm{th}(x, t) = -\lambda \frac{\partial T}{\partial x}(x, t) \, \vec{e}_x \implies j_\mathrm{th}(x, t) = -\lambda \frac{\partial T}{\partial x}(x, t)

   La conductivité thermique \lambda étant constante, il vient :

   \delta Q = \lambda S \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}(x, t) \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}t

   3. Premier principe de la thermodynamique :

   L'application du premier principe donne \mathrm{d}(\mathrm{d}U) = \delta Q :

   \rho c S \frac{\partial T}{\partial t} \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}t = \lambda S \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}t

   En simplifiant par S \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}t \neq 0, on obtient l'équation de la diffusion thermique à une dimension (équation de la chaleur) :

   \boxed{\frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\lambda}{\rho c} \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}}

   Résultat

   $$\frac{\partial T}{\partial t}=\frac{\lambda }{\rho c}\frac{{\partial }^{2}T}{\partial x^2}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3CentraleSupélec Physique-Chimie 1 TSI 2026, Q40

   D'après l'équation de la diffusion thermique établie à la question Q39 :

   \frac{\partial T}{\partial t} = D \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} \quad \text{avec} \quad D = \frac{\lambda}{\rho c}

   Par analyse dimensionnelle, les termes différentiels s'évaluent aux échelles caractéristiques du système :

   \left[ \frac{\partial T}{\partial t} \right] \sim \frac{\Delta T}{\tau} \quad \text{et} \quad \left[ D \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} \right] \sim D \frac{\Delta T}{h^2}

   Le temps caractéristique de diffusion thermique à travers l'épaisseur h du mur s'exprime donc par :

   \boxed{\tau = \frac{h^2}{D} = \frac{\rho c h^2}{\lambda}}

   Calculons numériquement la diffusivité thermique D puis le temps \tau :

   \begin{aligned} D &= \frac{1{,}8}{2{,}3 \times 10^3 \times 9{,}0 \times 10^2} \approx 8{,}70 \times 10^{-7}\text{ m}^2\cdot\text{s}^{-1} \\ \tau &= \frac{(0{,}200)^2}{8{,}70 \times 10^{-7}} \approx 4{,}6 \times 10^4\text{ s} \approx 12{,}8\text{ h} \approx 13\text{ h} \end{aligned}

   D'après le préambule de la partie D, un épisode de canicule s'étend sur plus de trois jours consécutifs, soit une durée \Delta t_{\text{canicule}} \ge 3 \times 24\text{ h} = 72\text{ h}.

   Le régime stationnaire est considéré comme atteint au bout d'une durée d'environ 3\tau à 5\tau (soit entre 39\text{ h} et 65\text{ h}). Comme :

   \Delta t_{\text{canicule}} > 5\tau

   le régime stationnaire est effectivement atteint au cours de la canicule étudiée.

   Résultat

   $$\tau =\frac{h^2}{D}=\frac{\rho c{h}^2}{\lambda }$$

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4. Exercice 4CentraleSupélec Physique-Chimie 1 TSI 2026, Q41

   1. Profil de température T(x) en régime stationnaire

   En régime permanent (stationnaire), le champ de température est indépendant du temps : \dfrac{\partial T}{\partial t} = 0. D'après l'équation de la diffusion thermique établie à la question Q39, le champ de température vérifie :

   \frac{\mathrm{d}^2 T}{\mathrm{d}x^2} = 0

   Par intégrations successives, T(x) est une fonction affine de la position :

   T(x) = A x + B \quad (A, B \in \mathbb{R})

   Les conditions aux limites aux parois du mur s'écrivent :

   • en x = 0 (extérieur) : T(0) = T_{\mathrm{ext}} \implies B = T_{\mathrm{ext}} ;
   • en x = h (intérieur) : T(h) = T_{\mathrm{int}} \implies A\,h + T_{\mathrm{ext}} = T_{\mathrm{int}} \iff A = -\dfrac{T_{\mathrm{ext}} - T_{\mathrm{int}}}{h}.

   Le profil de température dans l'épaisseur du mur est donc :

   \boxed{T(x) = T_{\mathrm{ext}} - \frac{T_{\mathrm{ext}} - T_{\mathrm{int}}}{h}\,x}

   2. Puissance thermique \Phi_{\mathrm{th0}} traversant le mur

   D'après la loi de Fourier, le vecteur densité de flux thermique orienté selon \vec{e}_x (vers l'intérieur) vaut :

   \vec{\jmath}_{\mathrm{th}} = -\lambda\,\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}\,\vec{e}_x = \lambda\,\frac{T_{\mathrm{ext}} - T_{\mathrm{int}}}{h}\,\vec{e}_x

   Le flux thermique à travers la surface plane d'aire S normale à \vec{e}_x est uniforme et s'écrit :

   \Phi_{\mathrm{th0}} = \iint_S \vec{\jmath}_{\mathrm{th}}\cdot \vec{e}_x\,\mathrm{d}S = \frac{\lambda\,S}{h}(T_{\mathrm{ext}} - T_{\mathrm{int}})

   Application numérique avec \lambda = 1{,}8\text{ W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}, S = 25\text{ m}^2, h = 0{,}200\text{ m} et T_{\mathrm{ext}} - T_{\mathrm{int}} = 30 - 20 = 10\text{ K} :

   \Phi_{\mathrm{th0}} = \frac{1{,}8 \times 25}{0{,}200} \times 10 = 2\,250\text{ W}

   \boxed{\Phi_{\mathrm{th0}} = 2{,}25 \times 10^3\text{ W} = 2{,}25\text{ kW}}

   3. Résistance thermique du mur

   Par analogie électrocinétique avec la loi d'Ohm U = R\,I reliant la différence de potentiel électrique au courant électrique, on relie l'écart de température \Delta T = T_{\mathrm{ext}} - T_{\mathrm{int}} (analogue de la tension) au flux de chaleur \Phi_{\mathrm{th0}} (analogue du courant électrique) par :

   \Delta T = R_{\mathrm{th}}\, \Phi_{\mathrm{th0}} \iff \boxed{R_{\mathrm{th}} = \frac{T_{\mathrm{ext}} - T_{\mathrm{int}}}{\Phi_{\mathrm{th0}}} = \frac{h}{\lambda\,S}}

   Application numérique :

   R_{\mathrm{th}} = \frac{0{,}200}{1{,}8 \times 25} = \frac{0{,}200}{45} \approx 4{,}44 \times 10^{-3}\text{ K}\cdot\text{W}^{-1}

   \boxed{R_{\mathrm{th}} \approx 4{,}4 \times 10^{-3}\text{ K}\cdot\text{W}^{-1}}

   Résultat

   $$T(x)=T_{\mathrm{ext}}-\frac{T_{\mathrm{ext}}-T_{\mathrm{int}}}{h}x$$

   $${\Phi }_{th0}=2,25\times 10^3\text{ W}=2,25\text{ kW}$$

   $$R_{\mathrm{th}}=\frac{T_{\mathrm{ext}}-T_{\mathrm{int}}}{{\Phi }_{th0}}=\frac{h}{\lambda S}$$

   $$R_{\mathrm{th}}\approx 4,4\times 10^{-3}\text{ K}\cdot {\text{W}}^{-1}$$

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5. Exercice 5CentraleSupélec Physique-Chimie 1 TSI 2025, Q29

   Considérons comme système la plaque d'acier de masse m = \rho_a V = \rho_a a b e. La pression extérieure étant constante et la température de la plaque étant supposée spatio-temporellement uniforme à chaque instant t, la variation d'enthalpie du système entre t et t+\mathrm{d}t s'écrit :

   \mathrm{d}H = m \, c_{m,a} \, \mathrm{d}T_{\text{plaque}} = \rho_a a b e \, c_{m,a} \, \mathrm{d}T_{\text{plaque}}

   Pendant cette durée \mathrm{d}t, les seuls échanges thermiques avec l'extérieur se font avec l'air ambiant. D'après le résultat simplifié de la question Q28 (R_{\mathrm{th}} \approx \frac{1}{2hab}), le transfert thermique reçu par la plaque s'exprime par :

   \delta Q = - \frac{T_{\text{plaque}}(t) - T_{\text{air}}}{R_{\mathrm{th}}} \, \mathrm{d}t = - 2 h a b \left(T_{\text{plaque}}(t) - T_{\text{air}}\right) \mathrm{d}t

   En appliquant le premier principe de la thermodynamique \mathrm{d}H = \delta Q, on obtient :

   \rho_a a b e \, c_{m,a} \, \frac{\mathrm{d}T_{\text{plaque}}}{\mathrm{d}t}(t) = - 2 h a b \left(T_{\text{plaque}}(t) - T_{\text{air}}\right)

   Les facteurs géométriques a et b se simplifient, ce qui conduit à l'équation différentielle du premier ordre :

   \boxed{\frac{\mathrm{d}T_{\text{plaque}}}{\mathrm{d}t}(t) + \frac{1}{\tau} T_{\text{plaque}}(t) = \frac{1}{\tau} T_{\text{air}}}

   où le temps caractéristique \tau d'évolution thermique de la plaque est défini par :

   \boxed{\tau = \frac{\rho_a \, c_{m,a} \, e}{2h}}

   Application numérique : Avec \rho_a = 7{,}8 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}, c_{m,a} = 450\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{kg}^{-1}, e = 5 \times 10^{-3}\text{ m} et h = 30\text{ W}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{m}^{-2} :

   \begin{aligned} \tau &= \frac{7{,}8 \times 10^3 \times 450 \times 5 \times 10^{-3}}{2 \times 30} \\ \tau &= 292{,}5\text{ s} \approx 2{,}9 \times 10^2\text{ s} \quad (\text{soit environ } 4\text{ min } 53\text{ s}) \end{aligned}

   \boxed{\tau \approx 2{,}9 \times 10^2\text{ s}}

   Résultat

   $$\frac{\mathrm{d}{T}_{\text{plaque}}}{\mathrm{d}t}(t)+\frac{1}{\tau }{T}_{\text{plaque}}(t)=\frac{1}{\tau }{T}_{\text{air}}$$

   $$\tau =\frac{{\rho }_a{c}_{m,a}e}{2h}$$

   $$\tau \approx 2,9\times 10^2\text{ s}$$

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6. Exercice 6CCINP Physique-Chimie TSI 2024, Q47

   Dans un problème unidimensionnel le long de l'axe (Ox), la loi de Fourier s'écrit :

   \boxed{\vec{\jmath}_{\mathrm{th}}(x, t) = -\lambda \frac{\partial T}{\partial x}(x, t)\,\vec{u}_x}

   où :

   • \vec{\jmath}_{\mathrm{th}} est le vecteur densité de flux thermique (en \text{W}\cdot\text{m}^{-2}) ;
   • \lambda est la conductivité thermique du milieu (en \text{W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}, ici le verre) ;
   • \frac{\partial T}{\partial x} est le gradient de température selon la direction x (en \text{K}\cdot\text{m}^{-1}).

   D'après les données de l'énoncé, la température initiale du vin est T_i = 8{,}0\,^\circ\text{C} et celle de l'air ambiant est T_A = 22\,^\circ\text{C}. En l'absence de convection superficielle, la température de surface extérieure est T_S = T_A = 22\,^\circ\text{C}.

   On a donc T_S > T_i. Le transfert thermique s'effectuant spontanément du milieu le plus chaud vers le milieu le plus froid :

   \boxed{\text{Le vecteur densité de flux thermique } \vec{\jmath}_{\mathrm{th}} \text{ est orienté de l'extérieur vers l'intérieur (vers les } x \text{ décroissants, sens de } -\vec{u}_x\text{).}}

   Résultat

   $${\vec{ȷ}}_{\mathrm{th}}(x,t)=-\lambda \frac{\partial T}{\partial x}(x,t){\vec{u}}_x$$

   $$\text{Le vecteur densiteˊ de flux thermique }{\vec{ȷ}}_{\mathrm{th}}\text{ est orienteˊ de l’exteˊrieur vers l’inteˊrieur (vers les }x\text{ deˊcroissants, sens de }-{\vec{u}}_x\text{).}$$

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7. Exercice 7CCINP Physique-Chimie TSI 2024, Q50

   Le flux thermique \varphi à travers une surface orientée \Sigma est le flux du vecteur densité de courant thermique \vec{\jmath}_{\mathrm{th}} :

   \varphi = \iint_{\Sigma} \vec{\jmath}_{\mathrm{th}} \cdot \mathrm{d}\vec{S}

   Dans la paroi de verre, en l'absence de source interne d'énergie et en régime stationnaire, l'équation de la diffusion thermique s'écrit :

   \frac{\mathrm{d}^2 T}{\mathrm{d} x^2} = 0 \implies T(x) = A x + B

   En utilisant les conditions aux limites T(0) = T_i et T(e) = T_S, on obtient le gradient thermique constant :

   \frac{\mathrm{d} T}{\mathrm{d} x} = \frac{T_S - T_i}{e}

   D'après la loi de Fourier (question Q47), le vecteur densité de flux thermique s'écrit :

   \vec{\jmath}_{\mathrm{th}} = -\lambda \frac{\mathrm{d} T}{\mathrm{d} x} \vec{u}_x = -\lambda \frac{T_S - T_i}{e} \vec{u}_x

   Puisque T_S > T_i, le flux thermique circule spontanément de l'extérieur vers l'intérieur (selon -\vec{u}_x). En orientant la normale à la surface S dans ce sens (\mathrm{d}\vec{S} = -S\,\vec{u}_x), le flux thermique traversant la paroi s'exprime par :

   \varphi = \vec{\jmath}_{\mathrm{th}} \cdot (-S\,\vec{u}_x) = \frac{\lambda S}{e} (T_S - T_i)

   En utilisant la relation établie à la question Q49, R_{\mathrm{th}} = \frac{T_S - T_i}{\varphi}, on en déduit :

   \boxed{R_{\mathrm{th}} = \frac{e}{\lambda S}}

   Résultat

   $$R_{\mathrm{th}}=\frac{e}{\lambda S}$$

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8. Exercice 8CCINP Physique-Chimie TSI 2024, Q55

   Considérons le système fermé \{\text{vin} + \text{bouteille}\}, de température uniforme T(t) et de capacité thermique C.

   Le système est en phase condensée indéformable, de sorte que le travail des forces de pression est nul : \delta W = 0.

   Le premier principe de la thermodynamique appliqué à ce système entre les instants t et t + \mathrm{d}t s'écrit :

   \mathrm{d}U = \delta Q + \delta W = \delta Q

   La variation d'énergie interne s'exprime à l'aide de la capacité thermique C par :

   \mathrm{d}U = C\,\mathrm{d}T

   Le transfert thermique reçu par le système pendant la durée \mathrm{d}t provient de l'air ambiant à la température T_{\mathrm{A}}, à travers la résistance thermique totale R_{\text{tot}} calculée à la question Q54 :

   \delta Q = \Phi_{\text{reçu}}\,\mathrm{d}t = \frac{T_{\mathrm{A}} - T(t)}{R_{\text{tot}}}\,\mathrm{d}t

   En égalant les deux expressions de \mathrm{d}U, on obtient :

   C\,\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t} = \frac{T_{\mathrm{A}} - T(t)}{R_{\text{tot}}}

   Soit, en divisant par C et en réorganisant les termes :

   \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t} + \frac{T}{\tau} = K

   avec les constantes :

   \boxed{\tau = R_{\text{tot}}\,C} \quad \text{et} \quad \boxed{K = \frac{T_{\mathrm{A}}}{R_{\text{tot}}\,C} = \frac{T_{\mathrm{A}}}{\tau}}

   Résultat

   $$\tau =R_{\text{tot}}C$$

   $$K=\frac{T_{\mathrm{A}}}{R_{\text{tot}}C}=\frac{T_{\mathrm{A}}}{\tau }$$

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9. Exercice 9CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2024, Q25

   L'équation différentielle fournie par l'énoncé peut s'écrire sous la forme classique de l'équation de la diffusion thermique à une dimension (équation de la chaleur sans source) :

   \frac{\partial T}{\partial t} = a_v \, \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} \quad \text{avec} \quad a_v = \frac{\lambda_v}{\rho_v c_v}

   Le coefficient a_v = \frac{\lambda_v}{\rho_v c_v} est appelé la diffusivité thermique du verre.

   D'après l'équation de diffusion, l'analyse dimensionnelle donne :

   [a_v] = \frac{[x]^2}{[t]} = \mathrm{L^2 \cdot T^{-1}}

   Le coefficient s'exprime donc en mètres carrés par seconde (\mathrm{m^2 \cdot s^{-1}}).

   \boxed{\text{Diffusivité thermique, exprimée en }\mathrm{m^2 \cdot s^{-1}}}

   Résultat

   $$\text{Diffusiviteˊ thermique, exprimeˊe en }{\mathrm{m}}^2\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$$

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10. Exercice 10CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2024, Q27

    En régime stationnaire (indépendant du temps), la dérivée temporelle de la température s'annule :

    \frac{\partial T}{\partial t} = 0

    L'équation de diffusion thermique vérifiée par T(x,t) dans la paroi de verre se simplifie alors en :

    \frac{\mathrm{d}^2 T}{\mathrm{d}x^2} = 0

    Par intégration successive par rapport à x, la température varie de manière affine avec l'abscisse x :

    T(x) = A\,x + B

    où A et B sont deux constantes d'intégration déterminées par les conditions aux limites :

    • En x = 0 :

      T(0) = B = T_{e,i}

    • En x = e_v :

      T(e_v) = A\,e_v + T_{e,i} = T_a \implies A = \frac{T_a - T_{e,i}}{e_v}

    On en déduit l'expression du profil de température dans la paroi de verre :

    \boxed{T(x) = T_{e,i} + \frac{T_a - T_{e,i}}{e_v}\,x = T_{e,i} \left(1 - \frac{x}{e_v}\right) + T_a\,\frac{x}{e_v}}

    Numériquement, avec T_{e,i} = 18\ ^\circ\mathrm{C}, T_a = 12\ ^\circ\mathrm{C} et e_v = 1,0 \times 10^{-2}\text{ m} :

    T(x) = 18 - 600\,x \quad (\text{avec } x \text{ en m et } T \text{ en } ^\circ\mathrm{C})

    Résultat

    $$T(x)=T_{e,i}+\frac{T_a-T_{e,i}}{e_v}x=T_{e,i}\left(1-\frac{x}{e_v}\right)+T_a\frac{x}{e_v}$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question