Magnétostatique : 166 questions de concours corrigées

Les ions produits sont envoyés dans une cellule d'analyse où règne un champ magnétique uniforme et constant B = Be_z, où e_z est le vecteur unitaire dirigé suivant l'axe z et B > 0. Décrire un…

Par des arguments d'invariance et de symétrie, simplifiez la forme du champ magnétique B(M) créé par ce solénoïde en un point quelconque M de coordonnées cylindriques (r, θ, z).

On suppose que le champ magnétique est nul à l'extérieur du solénoïde. En appliquant le théorème d'Ampère, déterminer alors l'expression de B(M) créé à l'intérieur du solénoïde infini.

Montrer que le flux magnétique Φₐ à travers le circuit Cₐ ne dépend pas de la surface Σₐ choisie, tant que celle-ci repose sur Γₐ et est d'orientation compatible avec celle de Γₐ.

Déterminer la direction du champ magnétique B créé en M par ce fil. En déduire la projection de B sur la base locale cylindrique en fonction des coordonnées de M.

Rappeller et nommer les deux équations de Maxwell vérifiées par le champ B en magnétostatique, ainsi que les formes intégrales associées.

On repère tout point M de l’espace par ses coordonnées cylindriques (r, θ, z) dans la base locale (u_r, u_θ, u_z). Exprimer en fonction de µ₀, I et de r le champ magnétique B_f,Bi(M) créé par le fil…

Expliquer comment on peut mesurer un champ magnétique au laboratoire.

Pour repérer un point M à l'intérieur du solénoïde, on utilise la base des coordonnées cylindriques d'axe (Oz). À partir de considérations de symétrie de la distribution de courants étudiée…

Dans l'approximation du solénoïde infini, justifier que le champ magnétostatique en tout point M à l'intérieur du solénoïde est de la forme : B(M) = B(r) u_z où r est la distance de M à la droite Oz…

Reproduire la spire et l'aimant représentés sur la figure (1) mais vus dans le plan (O, x, y) et non plus en perspective. Tracer l'allure de quelques lignes du champ magnétique Bₐ créé par l'aimant.

Énoncer les deux équations de Maxwell pour un champ magnétique en régime permanent.

Rappeler les équations locales de Maxwell relatives au champ magnétique B. Comment se simplifient-elles dans l'ARQS ?

On suppose dorénavant la perméabilité magnétique du rotor et du stator infinies. Montrer que l'intensité du champ magnétique en un point quelconque des deux entrefers est donnée par la relation Bₐ =…

Déterminer l'équation r(θ) d'une ligne de champ magnétique et tracer l'allure du graphe d'une ligne de champ dans un plan méridien.

Énoncer le théorème d'Ampère. L'établir à partir d'une équation de Maxwell en régime stationnaire.

En admettant que le champ créé à l'extérieur du solénoïde est nul, montrer que le champ créé en un point M situé à l'intérieur du solénoïde s'exprime par : B_s(M) = -µ₀ n I_s eₓ où µ₀ est la…

Déterminer soigneusement l'expression du champ magnétique B créé en tout point de l'espace par un fil très fin horizontal supposé infini, parcouru par un courant constant d'intensité I. On se…

En déduire que l'énergie magnétique totale d'un système de circuits Cₐ parcourus par des courants Iₐ s'écrit U_C=β₂ Σ_a, b Iₐ Φ_b → a, avec β₂ un facteur numérique à déterminer, et où la somme…

Prouver qu’en tout point M situé sur l’axe commun des deux spires (O_sy), on a B(M) = B(M)e_y.

Établir l’expression des inductances propres Lₐ et L_b des solénoïdes Sₐ et S_b en fonction de Nₐ, N_b, rₐ, r_b, µ₀ et ℓ.

Rappeler les deux équations locales vérifiées par le champ magnétique en régime stationnaire et montrer que le champ proposé vérifie ces équations. Donner la valeur de K'.

À partir du modèle du solénoïde infini, montrer que le champ magnétique peut s'écrire B(M) = B(x, y) u_z, puis déterminer l'expression du champ magnétique à l'intérieur du solénoïde, sous la forme…

À partir du modèle du solénoïde infini, montrer que le champ magnétique peut s'écrire B(M) = B(x, y) u_z, puis déterminer l'expression du champ magnétique à l'intérieur du solénoïde, sous la forme…

Déterminer l'expression du champ magnétique B_sol(M, t) produit à l'intérieur et à l'extérieur du solénoïde, et pour chacune des phases temporelles : t < 0, t [0, τ[ et t ≥ τ. On justifiera les…

En déduire l'expression de B(r) pour r < a, a < r < b puis r > b.

Montrer que le champ magnétique à l'intérieur du solénoïde est de la forme B = B₀ u_z, avec B₀ une constante qu'on exprimera, entre autres, en fonction de l'intensité I. On admettra que le champ…

En utilisant le théorème de Stokes, démontrer le théorème d'Ampère dans le cadre de la magnétostatique et dans le cas des courants circulant dans des circuits filiformes. Vous préciserez sur un…

Analyser les symétries et les invariances de la distribution de courant pour déterminer la direction du champ magnétique et les paramètres d'espace dont dépendent sa ou ses coordonnée(s) en…

En appliquant le théorème d'Ampère, établir l'expression du champ magnétique créé par ce fil à une distance R du fil. Préciser le contour d'Ampère choisi.

En travaillant en coordonnées cylindriques, d'axe l'axe de révolution du tore, justifier que H = He_θ et B = Be_θ.

Exprimer les champs H et B en fonction de µ₀, µ_r, Nₜ, ℓₜ et i. Préciser les orientations choisies.

En admettant que le champ magnétique est nul à l'extérieur de la bobine, déterminer le champ B à l'intérieur de la bobine.

Représenter graphiquement ce champ de vecteurs. En quoi ce champ magnétique n'est-il pas compatible avec les équations de Maxwell écrites sous forme globale ? On justifiera la réponse par le calcul…

En un point M de coordonnées (r,θ,z) quelconques, que peut-on dire des coordonnées (B_r, B_θ, B_z) du champ magnétique compte tenu des symétries du problème ?

Comme il est difficile de représenter le champ magnétique en trois dimensions, la figure D se limite au plan (Ω, u₁, u₃). Pourquoi cela ne constitue-t-il pas une perte d'information ? En quels…

Pour la ligne de champ moyenne, on note H_air et H_fer les normes du champ d'excitation magnétique dans l'air (entrefer) et dans le fer. Ces normes sont supposées uniformes le long de cette ligne de…

En appliquant le théorème d'Ampère, déterminer l'expression du champ magnétique créé par le fil à une distance d de celui-ci.

Justifier que le champ magnétostatique est uniforme à l'intérieur du solénoïde infini. Établir son expression en admettant qu'il est nul à l'extérieur.

On souhaite vérifier la valeur de cette pression à l'aide d'un capteur magnétique. Ce dernier comprend une bobine de longueur ℓ = 5 cm constituée d'un enroulement de N = 1000 spires de rayon R, de…

Déterminer, en explicitant soigneusement l'argumentation, le champ magnétique produit dans tout l'espace uniquement par la lame de gauche (on ne tiendra donc pas compte de l'autre lame et du plasma).

Montrer que le champ magnétique dans l'entrefer a pour intensité : B₀ = (µ₀ I)/2e (III.1) et préciser son sens en fonction de l'angle θ.

En l'absence de courant de charges libres, j_libres = 0, montrer que Hₘ dérive d'un potentiel tel que µ₀ Hₘ = -∇φₘ, et que le problème se ramène à l'équation de Poisson suivante ∇² φₘ = µ₀ ∇ · M.

En sélectionnant soigneusement une surface fermée à l'interface des milieux 1 et 2, démontrer la relation de passage n · ∇ (φₘ(x₁) - φₘ(x₂)) = µ₀ (M(x₁) - M(x₂)) · n, où n est le vecteur unitaire…

Comment se transforme un champ magnétique B si l'on renverse la flèche du temps ? (On pourra s'aider du fait qu'un champ magnétique peut être vu comme résultant d'une charge électrique en rotation.)

Définir l'ARQS magnétique. Que deviennent les équations de Maxwell dans cette approximation ?

D'après la figure, que peut-on dire du flux magnétique ?

Quelle est, en fonction de λ_f et Vₑ, l'expression de l'intensité du courant électrique vue par un observateur dans (R) ? À l'aide du théorème d'Ampère, exprimer B. Commenter par rapport à Q12.

En précisant le contour d'Ampère choisi, montrer tout d'abord que le champ magnétique est uniforme à l'intérieur du solénoïde. En choissant un second contour d'Ampère, déterminer le champ magnétique…

En fait, le tube de champ est également parcouru par un courant électrique provenant de l'intérieur du Soleil et dont la densité est de la forme jₜ = jₜ(r)u_z. En supposant que la longueur du tube…

En déduire que le solénoïde exerce sur lui-même une force qui peut être décrite comme une force de pression, qui vaut sur un élément dS orienté vers l'extérieur : dF=P_ms dS, où l'on exprimera P_ms…

Établir l'expression du champ magnétique B(M) en un point M à l'intérieur du solénoïde en fonction de la perméabilité magnétique du vide µ₀, du nombre de spires N, de la longueur ℓ du solénoïde et…

Montrer que, dans des conditions d'approximation à préciser, l'expression de la composante radiale du champ B_1→ 2 créé par la bobine N° 1 au niveau de la bobine N° 2, s'écrit B_r = e_r · B_1→ 2 ≃…

En utilisant, au voisinage d'un point de l'axe (coordonnées (r, x₃) avec r ≪ R₁), l'équation de Maxwell de la question 37, démontrer que B_r(r, x₃) ≃ -r/2 dBₐₓₑ/dx₃.

Exprimer le flux φ_a/s = φ_a/s(s) du champ magnétique créé par l'aimant à travers la spire (on veillera à respecter les conventions de signe usuelles). L'écrire sous la forme : φ_a/s(s) = φ₀ F(X) où…

On ajoute un noyau ferromagnétique de perméabilité relative µ_r = 100. Que devient le champ magnétique ? Calculer l'intensité de ce champ si I = 10,0 A, n = 1000 spires par mètre.

Dans quelle direction est porté le courant dans l'anneau ? Déterminer l'expression de la densité volumique de courant j₂(t) en fonction de I₂, ω, t ainsi que des dimensions de l'anneau.

Déterminer j(r) en fonction de I, H et r.

Justifier qu'il est raisonnable de considérer le solénoïde comme étant infini. On considèrera cela pour la suite.

Justifier que les tubes de champ sont soit refermés sur eux-mêmes, soit vont à l'infini.

Que devient l'équation de Maxwell-Ampère dans le cadre de l'hypothèse précédente ?

Comment choisir la géométrie du bobinage M et le courant I dans M pour créer un tel champ magnétique ?

On suppose les normes des champs d'excitation magnétique H et magnétique B uniformes dans le tore. À quelle condition sur la géométrie du tore cette hypothèse est-elle justifiée ?

Exprimer le champ d'excitation magnétique H dans le barreau. On d'étaillera la méthode utilisée.

Tracer l'allure des lignes de champ magnétique pour une bobine infinie, puis pour une bobine de longueur finie. Décrire les variations du champ magnétique dans les deux cas.

Énoncer l'équation de Maxwell-Thomson (également appelée Maxwell-Flux) et en déduire la propriété correspondante du flux du champ magnétique.

Quels éléments observés en figures 3 et 5 permettent de justifier que l'on puisse considérer le champ magnétique comme uniforme au voisinage du centre du noyau.

À partir des graphiques fournis, déterminer le facteur µ tel que Bₐₓₑ(0) = µ N₁ i₁.

Déterminer l'expression de B en fonction de i₁(t), de e et de µ₀.

De quelles perturbations s'agit-il ?

Estimer la norme B₀ de ce champ pour un bobinage de 1 · 10³ spires⁻¹ avec I = 0,1 A. Comparer cette valeur à l'ordre de grandeur de la valeur du champ magnétique terrestre.

Quel est l'intérêt d'avoir supposé le solénoïde infini ? À quelle(s) condition(s) cette approximation est-elle valide ?

Justifier que B' = 0. En déduire B d'après Q11.

Sous quelle(s) condition(s) l'approximation d'un solénoïde « infini » vous semble-t-elle légitime ?

Préciser, en justifiant votre réponse, la direction du champ magnétique B(M) au point M.

Que dire du plan d'équation z = 0 d'un point de vue des courants ? Qu'en déduire d'un point de vue du champ magnétique ? En déduire une relation simple entre B_z(-z) et B_z(z).

Sur la carte de champ du solénoïde, on remarque que les lignes de champ se resserrent au sein du solénoïde et qu'elles y sont approximativement parallèles. Que peut-on déduire de ces observations…

À partir des résultats et données de la partie I, donner l'expression du champ magnétique total B(r,z,t) généré par le demi-solénoïde parcouru par le courant i₁(t).

Laquelle des deux simulations 1 ou 2 donne-t-elle l'intensité |B| du champ magnétique ? On justifiera la réponse.

Rappeler la définition d'une ligne de champ magnétique B. Dessiner, sans justification sur votre copie, l'allure de quelques lignes de champ magnétique dans les trois cas suivants : un fil…

On suppose que le moment M est dû à des courants volumiques de densité j circulant dans le noyau terrestre. On admet une relation entre j et R_N de la forme : M = jα R_Nβ. Déterminer par analyse…

En déduire que l'énergie magnétique totale stockée dans le système de courants pour t>T s'écrit: U_ms= (B²(r))/(2 µ₀) d τ_r où l'intégrale est prise sur tout l'espace.

On considère à nouveau le solénoïde introduit dans la section précédente. Calculer la variation d'énergie magnétique quand celui-ci passe d'un rayon R à un rayon 2 R. Commenter.

Montrer que le flux magnétique transverse est conservé le long d'un tube de champ.

Préciser si les énergies magnétiques propre et d'interaction entre circuits changent de signe si le courant d'un des circuits en jeu change de signe. Quels signes peuvent avoir chacune de ces…

En effectuant une application numérique, comparer cette énergie cinétique à l'énergie magnétique propre du solénoïde. On pourra utiliser le champ créé par un solénoïde infini, et ne calculer que la…

Indiquer comment varie la norme du champ magnétique de gauche à droite le long d'une ligne de champ.

Ce champ magnétique est assimilé à celui créé par un fil infini situé à la distance d/2 du point où se trouve le projectile. Exprimer puis calculer la valeur minimale I du courant électrique…

Reproduire rapidement sur votre copie cette figure avec quelques lignes de champ et représenter leur orientation en supposant i > 0. On constate que sur certaines zones, les lignes de champ…

Pour cette simulation, on a pris i = 1,0 × 10³ A. Déterminer la valeur numérique de _C B · dℓ le long de la courbe C représentée avec son orientation sur le schéma en pointillés.

On s'intéresse dans un premier temps au champ magnétique créé par le rotor. Recopier, sur la copie, le schéma du rotor et du stator. Tracer l'allure de la carte du champ magnétique, en justifiant…

En déduire l’expression du champ magnétique total B_f(M) créé par les deux fils en un point M situé dans le plan vertical (O, u_y, u_z), à égale distance d/2 de ces deux fils.

Exprimer l’angle β en fonction de la norme des champs B_f et B_T,h. Calculer β sachant que B_T,h = 2· 10⁻⁵ T. On prendra d = 5 cm et I = 6 A.

Rappeler les deux équations locales vérifiées par le champ magnétique en régime stationnaire et montrer que le champ proposé vérifie ces équations. Donner la valeur de K'.

Expliquer pourquoi le champ en un point du plan xOy de la figure 2b est contenu dans ce plan. Donner la direction et le sens du champ au voisinage de l'origine : - sur l'axe Ox ; - sur l'axe Oy…

Reproduire sur votre copie l'aspect général de la figure 4 en y précisant le sens du champ magnétique par l'orientation des lignes de champ ; justifier très brièvement.

Comment évolue qualitativement l'intensité du champ magnétique lorsqu'on se rapproche des bords de la bouteille magnétique (c'est-à-dire lorsque |z| augmente) ? Représenter graphiquement l'allure de…

En utilisant les propriétés de symétrie de la distribution de courant, déterminer la direction et le sens du champ magnétique créé par cette spire au point M. Reproduire succinctement le schéma…

Établir l'expression de B au point M en fonction de B₀, r et de x, x représentant la distance entre le point O et le point M.

Déterminer l'énergie magnétique dans l'air, en fonction de B_air et des paramètres géométriques, et l'énergie magnétique dans le fer, ces milieux étant supposés linéaires.

Montrer que ces trois champs sont uniformes dans ce milieu. En négligeant le champ magnétique à l'extérieur du milieu magnétique, exprimer B₀ en fonction de µ_r, µ₀, N₁, N₂, ℓ et des courants I₁ et…

En utilisant un schéma, déterminer la direction du champ magnétique B créé par le courant circulant dans la bobine et indiquer les variables dont il dépend.

Quelle est la direction du champ magnétique en tout point du plan passant par O et orthogonal à u_z ?

Le résultat de la simulation numérique est-il compatible avec ceux des questions 3 et 4 ? On justifiera précisément la réponse.

Représenter sommairement l'allure d'une ligne de champ. Après avoir orienté cette ligne, justifier le signe des composantes du champ magnétique observé en figure 4.

Quels éléments observés en figure 3 permettent d'expliquer la diminution de la composante B · u_z du champ observée en figure 5 lorsqu'on se rapproche des bords du noyau ?

Représenter graphiquement en fonction de θ, l'allure de B_spire(θ,t) pour i₁(t) > 0 et θ [-π,π].

Exprimer l'énergie magnétique Wₘ stockée dans l'entrefer à l'aide d'une intégrale qu'on ne demande pas d'intégrer et faisant intervenir B_s et B_R.

En analysant les symétries et les invariances de la distribution de courant, déterminer la direction du champ magnétique B créé par ce fil et les paramètres d'espace influents.

Représenter l'allure des lignes de champ magnétique sur un schéma.

Quelles solutions peuvent être envisagées pour ne plus perturber le compas ?

Représenter graphiquement ses variations en fonction de r. Proposer une analogie magnétique.

En déduire le champ magnétique produit dans tout l'espace par l'ensemble des deux lames, sans tenir compte du plasma. Représenter en fonction de x, pour une valeur donnée de J(t) non nulle, le…

Dans le cadre de l'ARQS, indiquer comment on passe de l'équation locale concernée au théorème d'Ampère.

En invoquant des arguments de symétrie et d'invariance de la distribution de courants, déterminer la direction du champ B(M), ainsi que la (ou les) coordonnée(s) dont dépend(ent) son module.

Commenter les résultats obtenus. Proposer une justification qualitative, en lien avec les cartes de champ représentées sur la figure 5, permettant de comprendre le contraste avec les résultats…

Représenter l'allure de la fonction B_z(z). Exprimer le champ magnétique maximal B_z,max, et déterminer à quelle distance z_1/2 de la spire le champ magnétique vaut B_z,max/2, en fonction de a.

Justifier les symétries et/ou antisymétries observées sur chacune de ces cartes de champ.

On considère un volume élémentaire dτ supposé neutre du plasma solaire constitué de N sortes de particules élémentaires de charges q₁, , q_N, en nombre n₁, , n_N par unité de volume et de vitesses…

Montrer que la grandeur p + 1/2µ₀B² est uniforme si on reste proche de la surface du Soleil. A la surface du Soleil, mais à l'extérieur d'une tache solaire, la valeur de la pression est pₑₓₜ = 1,3…

On admet que B(r) est une fonction décroissante. Justifier le fait que le tube de champ a tendance à se dilater sous le seul effet du champ magnétique B.

On constate sur les clichés du Soleil (partie droite de la figure 1) que les tubes de champ ont tendance à former des boucles, en connectant deux points de la surface du Soleil. Ce que l'on voit sur…

En utilisant le fait que le champ magnétique est à flux conservatif, écrire une équation liant B_r(r,z) et B_z(z). En déduire que, pour r proche de l'axe, sa composante radiale s'exprime : B_r(r,z)…

Déterminer alors les expressions équivalentes de B_r et B_z en ne gardant qu'un seul terme dominant. On rappelle que les lignes de champ magnétique sont les courbes tangentes à B en tout point et…

Déterminer le champ magnétique B*(z → 0±, t) résultant de la superposition de l'onde incidente et du champ créé par la nappe de courants surfaciques du plan z = 0 privée de l'élément de surface dS…

Préciser par des considérations de symétrie la direction du champ magnétique créé par la bobine au point O. En déduire la nature et la direction de la force qui s'exerce sur le fil à cet endroit.

En vous appuyant notamment sur des schémas clairs, faisant apparaître explicitement les différents éléments du raisonnement, calculer la valeur du champ magnétique B_Σ créé par Σ au point P.

En déduire le travail reçu par le solénoïde sous sa propre action lorsqu'il passe de façon quasi-statique d'un rayon R à un rayon 2 R. Comparer ce résultat à celui obtenu par le théorème de Maxwell…

On considère à présent un système S_j constitué d'un ensemble S_ja de distributions de courants. Identifier dans l'énergie magnétique U_ms de S_j les contributions U_ja d'énergies propres de chaque…

Montrer que les tubes de champ qui se referment sur eux-mêmes entourent forcément des branches de circuits dans lesquelles circulent des courants.

On reprend l'exemple A2 décrit dans la section 2.1. Effectuer à nouveau le calcul de l'énergie magnétique de la configuration finale, mais en utilisant cette fois le flux de la spire sur le solénoïde.

On considère un électron de rayon rₑ, se déplaçant à la vitesse vₑ. Justifier qu'à un facteur numérique λ près, proche de l'unité, on peut interpréter l'énergie magnétique Uₘe associée au champ créé…

On considère à présent un solénoïde de longueur L, composé de N spires circulaires de rayon R parcourues par un courant I. On suppose que les fils de ce solénoïde sont de section circulaire, de…

Montrer l'existence de courants surfaciques sur la face z_S = -vt du véhicule et préciser à quelle pulsation ω_i ils oscillent.

Expliquer pourquoi le champ en un point du plan xOy de la figure 2b est contenu dans ce plan. Donner la direction et le sens du champ au voisinage de l'origine : • sur l'axe Ox ; • sur l'axe Oy…

Au voisinnage du câble et en le supposant uniforme, exprimer B₀ en projection sur B_c. On justifiera la direction et le sens choisis et on exprimera la norme B₀ de ce champ en fonction de Bₑ (champ…

Quelle valeur maximale de x permet de considérer que le champ B est égal à B₀, (à 10 On exprimera x en fonction de r. On donne √(2/30) ≈ 0,26.

L'hypothèse consistant à considérer le champ magnétique comme inchangé est-elle raisonnable ?

Donner une propriété fondamentale du champ magnétique et rappeler l'équation locale qui traduit cette propriété. En déduire une nouvelle expression pour (∂ F_z(R, z))/(∂ R) en fonction notamment de…

Comment peut-on à partir de 2 spires identiques planes, créer un champ magnétique radial sortant dans un plan ? Faire un schéma du dispositif en supposant que ce plan est le plan z = 0. Dessiner les…

Tracer approximativement la courbe de F(R, z = 0) en fonction de R. Montrer qu'il existe une valeur de R, qu'on appellera R_opt, autour de laquelle F(R, z = 0) dépend peu de R.

Les valeurs de h, e, k_B et N_A étant fixées, rassembler dans un tableau les grandeurs qui sont à présent mesurables, alors qu'elles étaient fixées par convention avant la réforme du SI de 2018.

Dessiner en fonction de θ la fonction B₁(θ) pour θ [-π,π[ et proposer, à l'aide d'une figure, une répartition des conducteurs qui permette de créer un champ magnétique B₃ = B₃(θ) e_r décrit sur la…

Supposons qu'il existe une fonction A(M) telle qu'en tout point de l'espace l'équation Bₘₒₙₒ(M) = rotA(M) (15) est vérifiée. Montrer que cela n'est pas compatible avec l'existence d'une charge…

Montrer que le flux du champ magnétique Bₘₒₙₒ à travers S_r peut s'écrire comme la différence de deux intégrales le long de l'équateur faisant intervenir A_N et A_S.

Cette situation est analogue à celle du monopole magnétique. Dresser un tableau explicitant les quantités correspondantes dans les deux problèmes.

Justifier les propriétés de parité de ces deux composantes du champ.

Justifier cette observation par un calcul littéral. Peut-on, sur la figure 3, observer ce phénomène à d'autres endroits ?

Quelle équation de Maxwell exprime la conservation du flux de B ? En quoi cette propriété s'illustre-t-elle sur la carte fournie ? En utilisant les figures D et E, vous apporterez une réponse…

Considérons à titre d'exemple le point A(x_1A = 5 cm, x_3A = 20 cm), près duquel la ligne de champ est légèrement inclinée. Que valent B₃(A) et B_r(A) ? Ces valeurs sont-elles cohérentes avec…

Cette relation est-elle satisfaite en A ?

Déterminer rₘₐₓ et représenter ce cylindre sur la figure D.

Sachant que z ≃ 5 mm, R ≃ 5 cm, L ≃ 50 cm, montrer que b(z) ≃ B₀ (1 + a z/R). On donnera la valeur du coefficient numérique a. Dans quelle limite cette expression approchée redonne-t-elle celle…

On souhaite déterminer l'intensité du courant i circulant le long du câble ; pour cela, on se propose d'appliquer le théorème d'Ampère sur un contour fermé circulaire de rayon r compris entre R₁ et…

Le champ magnétique qui règne dans le plasma ne correspond pas à celui produit par les lames calculé précédemment. Expliquer qualitativement pourquoi. Montrer qu'il s'écrit sous la forme B(x,t) =…

En utilisant cette analogie et à l'aide du formulaire, montrer que l'énergie magnétique correspondante, dite énergie de démagnétisation, s'écrit E_dem = -1/2 µ₀ ∫_V d³x M(x) · Hₘ(x).

On se place maintenant dans la situation réelle en superposant les deux champs magnétiques régnant dans le tube Bₜₒₜ = B + Bₜ. Etablir une condition portant sur les composantes du champ et de la…

On considère un unique circuit filiforme fermé Cₐ. En décomposant tout l'espace où le champ magnétique Bₐ est non-nul en tubes de champ élémentaires, montrer à partir de la formulation donnée…

Par un raisonnement similaire, obtenir la forme de l'énergie magnétique d'interaction U_Ca b entre les circuits Cₐ et C_b, que l'on exprimera en fonction de I_b et Φ_a → b. On supposera pour…

Par un raisonnement physique ne demandant pas de développements calculatoires poussés, mais pouvant reposer sur des schémas, calculer le travail quasi-statique nécessaire pour effectuer le…

D'où vient la différence constatée à la question précédente? En vous appuyant sur un exemple simple, déterminer une borne supérieure absolue U_msmax de l'énergie magnétique du solénoïde en fonction…

En négligeant les effets de bord, on pourra en première approximation considérer le champ magnétique B, dans le plan z = 0 où se trouve le projectile, comme uniforme dans chaque zone de l'espace…

Donner les caractéristiques de B dans le plan z = 0. Quel est le signe de (∂ B_z)/(∂ z)(r, z = 0) au voisinage de r = 0 et pour r → ∞ ?

Montrer que les champs de vecteurs A_N et A_S vérifient tous les deux l'équation (15) et déterminer l'ensemble des points de S_r pour lesquels ces fonctions sont définies.

Calculer A_N - A_S. Avec la question précédente, vérifier que la description avec deux champs de vecteurs A_N et A_S est cohérente avec la question 36.

Les valeurs du champ observées le long de C sont-elles compatibles avec l'intensité circulant dans les bobines ?