Ondes électromagnétiques dans les milieux : 364 questions de concours corrigées

a - Dans ces conditions, établir l'équation du mouvement d'une particule chargée (de charge q et de masse m) du plasma, en présence du champ électromagnétique E(r,t) et B(r,t) de l'onde incidente. b…

Écrire les équations de Maxwell dans le conducteur ohmique ainsi que la loi d'ohm locale.

Rappeler l'expression de la loi d'Ohm locale, reliant la densité volumique de courant j à E dans le cas d'un conducteur ohmique de conductivité réelle γ.

En déduire une expression de la conductivité du métal en régime permanent γ₀, en fonction de n, e, τ et m.

Écrire les équations de Maxwell dans le conducteur dans l'hypothèse d'un milieu localement neutre et à courant de déplacement négligeable devant le courant de conduction.

Rappeler la signification de la vitesse de groupe V_g à une pulsation ω et l'exprimer.

Lors du déplacement de l'aimant, le bloc de cuivre est soumis à un champ magnétique variable. Nous notons τ_B le temps caractéristique de sa variation. Donner alors l'expression d'une longueur…

En utilisant la réponse à Q34, justifier la couleur bleue du ciel, vue par le photographe.

En écrivant le principe fondamental de la dynamique à cet électron, déterminer sa vitesse limite dans ce modèle. En déduire l'expression de la conductivité électrique γ du matériau.

Rappeler la formulation locale de la loi d'Ohm en faisant intervenir d'abord le champ électrique E puis le potentiel électrique V. Donner un ordre de grandeur de la conductivité électrique du cuivre…

En déduire en fonction de γ et des caractéristiques géométriques, la résistance électrique R_Ω de ce conducteur.

Comment nomme-t-on ce type d'équation ? Préciser l'unité de D.

Que peut-on dire du champ électrique dans un conducteur parfait. Pourquoi ?

On considère maintenant que le champ électromagnétique se propageant dans le plasma est une onde plane progressive harmonique, de pulsation ω, se propageant dans la direction donnée par le vecteur…

Justifier que les ions ne contribuent pratiquement pas à la densité de courant et en déduire l'expression de la conductivité complexe σ du milieu, à exprimer en fonction de la densité numérique nₑ…

En déduire la relation de dispersion relative à une opph se propageant dans ce milieu et dont la phase est de la forme ω t - kz.

Déterminer l'équation de propagation vérifiée par le champ électrique E.

Établir la relation de dispersion de ce milieu. On exprimera pour cela k² en fonction de ω, µ₀, ε_r et de ε_i.

Déterminer l'équation différentielle du mouvement de l'électron vérifiée par r(t).

Après avoir justifié que le courant de déplacement est négligeable devant le courant de conduction, simplifier l'équation de Maxwell-Ampère.

Montrer que le champ électrique vérifie l'équation d'onde de la forme : - α /(∂ t) = 0. Préciser l'expression de α en fonction de γ et de µ₀.

Déterminer la relation de dispersion qui lie k et ω. Le conducteur ohmique est-il un milieu dispersif ou non ?

Montrer que, en norme, le courant de déplacement qui apparaît dans l'expression ci-dessus est négligeable devant le courant de conduction, lorsque la pulsation ω de l'onde de champ E considérée est…

Dans le cadre des approximations précédentes, montrer que le champ électrique vérifie : - µ₀γ/(∂ t) = 0

Déterminer les valeurs de k possibles dans le contexte d'une onde plane du type E(x,y,z,t) = E₀ ei(ω t - kz)eₓ se propageant dans de l'eau de mer.

En déduire que l'onde plane se propageant dans l'eau de mer entre z = 0 et z = +∞ est une onde atténuée de la forme : E(x,y,z,t) = E₀ ei⁽ω t ⁻ z/δ⁾ e⁻z/δeₓ où δ est une constante réelle dont on…

On admet que le résultat obtenu à la question 1 reste valable lorsque la densité de charges dépend du temps. Écrire l'équation du mouvement d'un électron de la plaque, de masse m, sous l'effet du…

Écrire l'équation du mouvement des électrons du métal dans un champ électrique uniforme oscillant à la pulsation ω. En déduire l'expression de la conductivité complexe γ en fonction de N, e, m et ω…

Établir la relation de dispersion reliant ω au vecteur d'onde k pour une onde plane transverse électrique monochromatique se propageant dans le métal. On note c la vitesse de la lumière dans le…

Établir l'équation régissant l'évolution temporelle de la vitesse d'un électron dans le barreau cylindrique conducteur. En régime permanent, montrer que la vitesse v d'un électron et le champ…

Retrouver l'expression de γ(ω) dans le cas d'une sollicitation du barreau métallique par un champ électrique sinusoïdal.

Pour quelle raison peut-on négliger les contributions ioniques au courant total induit par le passage de l'onde dans le plasma ? En déduire la relation de dispersion des ondes dans un tel plasma…

En utilisant le principe fondamental de la dynamique appliqué à un électron puis à un cation, exprimer en notation complexe les vitesses vₑ et v_c dont sont respectivement animés les électrons et…

En utilisant le fait que la masse des cations est bien plus grande que celle des électrons, montrer à partir de la question précédente que la conductivité complexe γ(ω) du plasma peut s'écrire de…

Écrire les équations de Maxwell dans le plasma sous forme complexe. Montrer que la relation de dispersion peut s'écrire : k² = (ω² - ω_p²)/c² (5)

Exprimer la vitesse de phase v_φ et la vitesse de groupe v_g en fonction de ω, ω_p et de c. Représenter v_φ/c et v_g/c en fonction de ω.

En déduire l'équation d'onde vérifiée par le champ électrique dans le conducteur ohmique. Préciser le nom de ce type d'équation.

En déduire l'équation d'onde vérifiée par le champ électrique dans le conducteur ohmique. Préciser le nom de ce type d'équation.

Montrer que le vecteur densité de courant vérifie en notation complexe la relation : j = γE. On donnera l'expression de γ en fonction de mₑ, ω, n et de la charge élémentaire e.

À partir des équations de Maxwell, établir la relation de dispersion. On donnera l'expression de la pulsation plasma ω_P.

Montrer que la vitesse d'un électron est constante au bout d'un temps grand devant τ_d. En déduire une expression de la conductivité électrique en fonction de m, e, τ_d et de la densité volumique nₑ…

Expliciter la seconde loi de Newton pour un des électrons mobiles. En déduire que la densité volumique de courant j vérifie la relation j = γ(ω)E et exprimer la conductivité électronique γ(ω) en…

Rappeler l'équation de Maxwell–Ampère ; on notera ε₀ la permittivité électronique du vide et µ₀ sa perméabilité magnétique. En déduire que les électrons et le champ électrique oscillent spontanément…

Que devient ici l'équation de dispersion ? Dans quel domaine de fréquence le milieu est-il transparent ? La propagation est-elle dispersive ?

Établir l'équation aux dérivées partielles vérifiée par le champ E. On rappelle que rot(rot E) = grad(div E) - Δ E, où Δ est l'opérateur laplacien vectoriel.

Établir l'équation vérifiée par l'unique composante non nulle du champ B lorsque l'excitation est sinusoïdale à la pulsation ω (on choisira la convention B(r, t) = B(r)e⁻jω t).

Déterminer la solution de cette équation (en introduisant B_s la valeur de B en z = 0). On prendra soin d'introduire une épaisseur de peau δ à définir.

Justifier le fait que la contribution des ions au courant électrique est négligeable devant celle des électrons. Déterminer la relation qui existe entre la représentation complexe du champ…

Établir l'équation de propagation du champ électrique E. En déduire la relation de dispersion vérifiée par le vecteur d'onde k.

En formulant une hypothèse sur l'une des composantes de la force de Lorentz, sans la discuter à ce stade, montrer que la conductivité complexe du plasma peut se mettre sous la forme σ = -iε₀ ω_p²/ω…

Établir l'équation aux dérivées partielles portant sur Eₓ(z, t) caractérisant la propagation de l'onde dans le plasma.

En déduire la relation de dispersion caractéristique du plasma sous la forme k² = f(ω). Indiquer dans quel cas et pourquoi on parle de domaine de transparence du plasma.

Établir l'équation différentielle du mouvement vérifiée par le vecteur vitesse v(t) des électrons.

Montrer alors que l'on peut établir une loi d'ohm locale complexe en considérant que la conductivité électrique du milieu γ peut s'écrire, en notation complexe, sous la forme γ = γ₀/(1 + ig(ω)) où…

Montrer alors que la relation de dispersion, pour le milieu considéré, s'écrit kₜ² = -iωµ₀γ₀.

Montrer alors que le champ électrique, en notation réelle, dans le conducteur peut se mettre sous la forme E_c(z, t) = E_0,c exp (-z/δ) cos (ω t - z/δ) eₓ. Exprimer δ en fonction des données de…

En considérant que les électrons ne sont soumis qu'à la seule force électrique (on néglige l'effet du champ magnétique), montrer que la densité volumique de courant dans le plasma est reliée au…

À partir des équations de Maxwell, établir la relation de dispersion sous la forme k² = (ω² - ω_p²)/c² où l'on exprimera la pulsation plasma ω_p en fonction de n, m, e et ε₀.

Établir alors l'expression de la vitesse de groupe v_g en fonction de ω, ω_p et c.

Établir alors l'équation vérifiée par B(M, t) dans le conducteur. Qu'est-ce qui permet de dire qu'elle traduit un phénomène irréversible ? Citer un phénomène décrit par une équation analogue dans un…

Établir et résoudre l'équation différentielle vérifiée par la fonction complexe f(x), sachant que l'on impose en x = 0 le champ B = B₀ cos (ω t) u_y. On posera une longueur caractéristique δ que…

À partir des équations de Maxwell, établir une équation aux dérivées partielles dont E(M,t) est solution.

Établir la relation de dispersion de l'OPPH dans l'eau de mer. Montrer que l'on retrouve la relation de dispersion dans le vide si la conductivité est nulle et si ε = ε₀.

Établir l'équation de propagation du champ E(M, t) dans le plasma.

Écrire l'équation de Maxwell-Ampère et identifier un terme de courant de déplacement et un terme de courant de conduction. Déterminer la valeur de la pulsation ω_c à partir de laquelle le courant de…

On suppose ω ≪ ω_c. Établir l'équation aux dérivées partielles vérifiée par le champ électrique E. De quel type d'équation s'agit-il ?

Exprimer le nombre d'onde complexe k en fonction de δ=2/(µ₀ γ ω). Évaluer numériquement δ pour une fréquence f=1,0 MHz.

On suppose que la base de contrôle envoie des ondes électromagnétiques planes dans tout le demi-espace au-dessus de la Terre. On s'intéresse à une composante du spectre émis caractérisé par le champ…

Comment se nomme cet effet ? Calculer numériquement δ en prenant pour la fréquence f la valeur obtenue à la question Q6. En comparant cette taille à l'épaisseur typique d'une poêle, cet effet vous…

Dans le cadre non relativiste, en justifiant les simplifications, expliciter l'équation du mouvement des électrons et en déduire la densité volumique de courant dans ce milieu sous la forme J =…

Montrer que cette expression de J permet d'obtenir une équation de dispersion (ED) ; préciser en particulier l'expression de la grandeur ω_p.

Écrire, dans le cadre de l'approximation des régimes quasi stationnaires, la loi d'Ohm locale dans le conducteur ainsi que les quatre équations de Maxwell dans le conducteur. En déduire l'équation…

Déterminer la relation de dispersion dans le conducteur. En déduire le vecteur d'onde complexe k en fonction de l'épaisseur de peau δ = √(2/(µ₀ σ₀ ω)).

Exprimer la conductivité électrique complexe σ en fonction de n, e, ε₀ et ω et de la pulsation ω_p = √((n e²)/mε₀) appelée pulsation plasma.

On définit la constante diélectrique du métal par ε = 1 - iσ/ωε₀. Exprimer ε en fonction de ω et de la pulsation ω_p, dans le cas où les pertes sont négligeables.

Exprimer, dans l'approximation linéaire, la densité volumique de courant électrique ₁(M, t) dans le métal en fonction, entre autres, de la vitesse moyenne des électrons v₁(M, t), puis établir…

Établir l'équation aux dérivées partielles vérifiée par B(x,t).

Dériver le nombre d'onde par rapport à la pulsation, puis exprimer la vitesse de groupe v_g de l'impulsion en fonction de ω, c, de la partie réelle de n(ω) notée n_r(ω), et de sa dérivée n'_r(ω).

On cherche la solution de cette équation en régime établi (régime sinusoïdal forcé) sous la forme rₑ(t) = r_e,0exp (-iω t). Déterminer l'expression de r_e,0. En déduire l'expression du moment…

Exprimer P(r,t) en fonction de N et dₐₜ(t), et en déduire l'expression de n².

Effectuer un bilan unidimensionnel de puissance électromagnétique moyenne pour une tranche d'air limitée par les plans d'abscisse x et x+dx ; en déduire la relation liant l'intensité I(x+dx) de…

En appliquant le principe fondamental de la dynamique à q, dans le référentiel de l'échantillon supposé galiléen, montrer que le mouvement de q est décrit par la fonction : x(t) = x₁(t) = (qE₀eiω…

Exprimer le vecteur d’onde complexe kₘ en fonction d’une longueur δ dont on donnera l’expression et la signification.

Écrire l'équation du mouvement d'un électron libre de vitesse (complexe) vₑ soumis à la seule influence du champ électrique E(x,t) de l'onde. En déduire que le plasma possède une conductivité…

Écrire les équations de Maxwell dans un milieu localement neutre et de conductivité γ. En déduire l'équation de propagation pour le champ électrique E(x,t) puis l'équation de dispersion : k² = (ω² -…

Ecrire l'équation de Maxwell Ampère dans le conducteur. Montrer que le courant de conduction est très supérieur à l'autre terme (courant de déplacement).

Déterminer l'équation de propagation vérifiée par le champ électrique dans le conducteur.

Déterminer l'équation de dispersion (complexe). On posera δ = √(2/(µ₀ γ ω)).

a - Etablir la relation de dispersion dans ce milieu et montrer l'existence d'une pulsation particulière, appelée pulsation plasma et notée ω_p, dont on donnera l'expression. b - Calculer l'ordre de…

On définit l'intensité lumineuse I de l'onde comme I = |Π(x, t)|, Π(x, t) étant le vecteur de Poynting dont la valeur moyenne est donnée en annexe. Montrer que I se met sous la forme : I = I₀ exp…

Le plasmon de surface est une solution dont le champ électrique se propage dans la direction x (kₓ est donc réel), tout en décroissant exponentiellement dans la direction z, dans le vide comme dans…

Montrer que la densité volumique de courant jₓ(r,t) vérifie l'équation suivante : Δ jₓ = µ₀ γ₀ (∂ jₓ)/(∂ t) On justifiera notamment pourquoi on peut négliger le courant de déplacement j_d = ε₀ (∂…

En supposant que les valeurs des fréquences utilisées permettent d'utiliser les versions simplifiées des équations de Maxwell identifiées dans les questions 8 et 10, établir l'équation suivante pour…

Dans le cas où l'onde incidente arrive sur l'interface avec un angle i₁ > i_ℓ, exprimer k_r en fonction de ω, sin i₁, cos i₁, c_p1. Montrer que k_tz se met sous la forme -j/δ, où on précisera la…

Établir l'équation aux dérivées partielles qui régit l'évolution spatiale et temporelle du champ électrique E₁(M, t) dans le métal. On fera apparaître la pulsation plasma définie par la relation ω_p…

Effectuer un bilan unidimensionnel de puissance électromagnétique moyenne pour une tranche d'air limitée par les plans d'abscisse x et x+dx ; en déduire la relation liant l'intensité I(x+dx) de…

Quel effet est responsable de la dépendance de R₀ avec ω ? Proposer une modélisation simple permettant de retrouver, aux facteurs numériques près, l'expression de R₀.

Montrer l'existence d'une pulsation de coupure ω_P, dite pulsation plasma, à exprimer en fonction de ε₀, nₑ, e et m*.

Calculer numériquement la masse effective des électrons de conduction dans cette modélisation.

On pose δ = 1/(α c₀) où α est une constante et c₀ la concentration de la substance absorbante. Que vaut l'intensité lumineuse I_s juste en sortie de la cuve ?

On pose εₑₘ = α/(ln (10)) où εₑₘ est le coefficient d'extinction molaire. En déduire l'expression de l'absorbance en fonction de εₑₘ, c₀ et de e. Quel est le nom de la relation vérifiée par…

Réécrire le champ électrique réel E en fonction de Eₒ, ω, t, k₁, k₂, z et d'un vecteur unitaire de base.

Préciser la signification de δ = 1/k₂.

Déduire l'information que Major Tom pourrait extraire de l'absorbance.

Quelle est l'unité de α dans le Système International (S.I.) ? De quel type d'équation s'agit-il ? Préciser un autre domaine de la physique dans lequel on rencontre cette catégorie d'équations.

Donner le nom et l'unité de δ. Que peut-on dire des champs E et B pour z ≫ δ ?

Préciser simplement quel phénomène physique est à l'origine de l'atténuation des ondes électromagnétiques dans les conducteurs ohmiques ?

Par des considérations énergétiques, justifier que le champ électrique au sein d'un conducteur parfait est nul.

Quelle observation expérimentale permet de justifier que communiquer depuis la surface avec un sous-marin situé à L = 1 km de profondeur via des ondes électromagnétiques de ce domaine n'est pas…

Exprimer alors la résistance électrique R_el du barreau métallique reliant les deux solides, S₁ et S₂, en fonction de γ₀ et des paramètres géométriques.

On s'intéresse à la seule solution k de partie réelle positive ; elle s'écrit k = 2π/λ - i/δ où λ > 0 et δ > 0. Quelles sont les interprétations de ces deux grandeurs ?

Déterminer la condition pour laquelle la composante magnétique de la force de Lorentz exercée par l'onde sur les charges peut être négligée devant la composante électrique. On supposera cette…

Le plasma est localement neutre avant le passage de l'onde. Expliquer quelle caractéristique de l'onde électromagnétique permet d'écrire que la densité volumique de charge ρ reste nulle même en…

Établir les expressions des champs réels E(M, t) et B(M, t) en fonction notamment de k dont on donnera l'expression, en justifiant soigneusement le choix de la solution de l'équation 5. Préciser…

En déduire que le plasma se comporte comme un filtre pour la propagation des ondes électromagnétiques, en précisant sa nature et l'expression littérale de sa pulsation de coupure.

Indiquer si l'ionosphère est dispersive pour les ondes électromagnétiques. Justifier.

Écrire les équations de Maxwell dans le conducteur ohmique. On va travailler en régime lentement variable (aussi appelé ARQS). Quel terme des équations de Maxwell est alors négligé dans le…

Écrire les équations de Maxwell, sous leurs formes locales, dans le plasma.

Dans la suite, on adoptera la formulation numérique ω_p = α√(n₀) où α = 56 SI. Quel est le domaine de fréquence maximal de ces oscillations de plasma dans la haute atmosphère terrestre ?

Pour quelle raison peut-on faire l'hypothèse que les ions du plasma ont une contribution négligeable devant celle des électrons dans l'expression de ? Par la suite, on n'envisagera que la…

Calculer la pulsation plasma ω_p au sein du tokamak ITER dans lequel n₀ = 1 · 10²⁰ m⁻³.

Tracer l'évolution du module |B(z)| et discuter de l'influence de la fréquence et de la perméabilité relative µ_r du matériau.

Le Soleil est constitué en majorité d'hydrogène et d'hélium. L'intérieur du Soleil est si chaud que les atomes sont entièrement ionisés. Comment appelle-t-on cet état de la matière ?

Montrer que la contribution magnétique de la force de Lorentz sur l'électron est négligeable devant la contribution électrique de cette même force.

Montrer que les deux bandes spectrales utilisées par le GPS se situent dans le domaine de transparence du plasma.

Exprimer la vitesse de phase V_φ.

On note n* la densité volumique, supposée constante, d'électrons libres. Déterminer l'expression, en notation complexe, du vecteur densité de courant volumique .

Peut-on écrire la loi d'Ohm sous la forme = γ₀ E pour les communications NFC-RFID ?

À quelle condition sur ω l'onde peut-elle se propager dans le plasma ?

Quel est le signe de τ(ω) = t(ω) - t(∞) et quel sens concret donner à cette grandeur ?

Calculer la valeur de A.

Cette relation est-elle qualitativement en accord avec l'enregistrement de la figure 6 ?

Quelle est la difficulté pour retirer un tatouage multicolore ?

Évaluer le rapport (|Π(z+L, t)|)/(|Π(z, t)|) pour L=10 m.

Est-il réaliste d'envisager une communication par ondes électromagnétiques (de cette gamme de fréquences) entre le bateau et le sous-marin ?

Qu'est-ce qu'un conducteur parfait ?

Dans quel autre contexte rencontre-t-on une expression similaire à I_λ k_λ ρ dz pour l'absorption du rayonnement ?

Que peut-on dire de la puissance moyenne dissipée dans ce milieu lors du passage de l'onde ? Que devient la puissance incidente électromagnétique dans le cas d'un écho ionosphérique ?

Exprimer le vecteur densité volumique de courant ₑ en fonction de la densité volumique n d'électrons libres du métal, de la charge de l'électron -e et de sa vitesse v.

On note δ = √(2/(µ₀ σ ω)). Quelle est la dimension de δ ? Justifier.

La diffusion Rayleigh se produit lorsque la taille des molécules diffusantes est faible par rapport à la longueur d'onde de l'onde électromagnétique incidente. Montrer, par un calcul d'ordre de…

Rappeler la relation donnant le nombre d'onde k en fonction de la pulsation ω, de l'indice du milieu n et la vitesse de la lumière c.

Quelle est la vitesse de phase en ω = ω₁ ?

Proposer simplement une loi analogue appartenant à un autre domaine de la physique et préciser les unités de toutes les grandeurs qui interviennent.

Donner, en fonction de γ, j et des caractéristiques géométriques du conducteur, les expressions du courant électrique I traversant ce conducteur et de la différence de potentiel U aux bornes de ce…

Montrer que cette explication semble cohérente avec le raisonnement développé aux questions précédentes.

Que représente δ ? Calculer sa valeur.

A quelle condition cette approximation est-elle fondée ?

Exprimer la vitesse de phase et la vitesse de groupe en fonction de la pulsation plasma. Commenter.

Interpréter physiquement le terme γ(ω) et discuter son signe en fonction de celui de Δ n. Faire le lien avec la condition donnée à la question Q35.

Commenter les différents termes de cette équation. Préciser les conditions permettant de négliger le terme en v ∧ B devant celui en E.

En utilisant l'équation de Maxwell-Ampère, établir une équation aux dérivées partielles vérifiée par le champ magnétique B en notation complexe.

Écrire le champ électrique sous forme réelle E(x, t). Pour simplifier l'expression, on écrira E(x, t) en fonction de k' et de k'' et non pas en fonction de ω, µ₀, ε_r et de ε_i. Le milieu est-il…

Exprimer la vitesse de phase v_φ. Le milieu est-il dispersif ? Justifier.

Exprimer l'absorbance définie par A = ₀/I_s et la transmittance définie par T = I_s/I₀ en fonction de α, c₀ et de e.

En se plaçant en régime sinusoïdal forcé de pulsation ω, montrer que la représentation complexe du déplacement de l'électron se met sous la forme r = ((-e)/m)/(ωₒ² - ω² + ι (ω ωₒ)/Q) E avec ωₒ et Q…

En déduire la relation de dispersion reliant k², ω, c et ε_r.

Établir le lien entre k₁(ω), k₂(ω) et ε₁(ω), ε₂(ω) sans chercher leurs expressions explicites.

Dans l'hypothèse où la matière est peu absorbante, exprimer k₁ et k₂ en fonction de c, ω, ε₁(ω) et de ε₂(ω).

Définir la vitesse de phase et l'exprimer en fonction de c et de ε₁(ω). Le milieu est-il dispersif ?

Montrer qu'à pulsation ω fixée, A_L est proportionnelle à k₂.

Déterminer, en fonction de E₀, δ et de γ, les expressions complexes du champ électrique E et de la densité de courant électrique à l'intérieur du conducteur ohmique.

Pour écranter les perturbations électromagnétiques, on dépose une couche métallique sur une plaque non conductrice. Cet écrantage est-il plus efficace pour des ondes électromagnétiques basse ou…

On considère une tranche de conducteur située entre z et z + dz. Déterminer en fonction de γ, δ, S et de E₀ la puissance moyenne dissipée dans cette tranche de conducteur.

En déduire, en fonction E₀, µ₀, γ, ω et de S la puissance moyenne dissipée dans le conducteur semi-infini de section S. Conclure.

Par des considérations énergétiques, justifier que le champ électrique au sein d'un conducteur parfait est nul.

Donner l'expression du facteur d'atténuation de l'amplitude à une profondeur L = 1 km, pour une onde radio de fréquence f = 100 kHz. Conclure.

Comme pour la plaque, on admet que le résultat obtenu reste valable lorsque x dépend du temps. Écrire l'équation du mouvement des électrons sous l'effet du champ électrique, et en déduire que…

Les nanoparticules métalliques peuvent notamment être utilisées pour le traitement des cancers. Elles sont suffisamment petites pour pénétrer dans les cellules de l'organisme, et il se trouve…

On choisit une onde telle que le champ magnétique B soit dirigé suivant y en tout point. Que peut-on alors dire des directions du vecteur d'onde k et du champ électrique E, dans le vide et dans le…

On note Eₓ et E_z les amplitudes complexes de E suivant x et z, et on suppose k_z non nul. Exprimer E_z en fonction de Eₓ, kₓ et k_z, dans le vide et dans le métal.

En utilisant l'expression de la conductivité complexe obtenue à la question 17, en déduire la relation entre l'amplitude complexe de la densité surfacique de charge σ et l'amplitude complexe E_z2 de…

En utilisant les lois de l'électrostatique, dont on supposera qu'elles restent valables bien que le champ dépende du temps, exprimer E_z1 - E_z2 en fonction de σ et ε₀. En utilisant l'expression de…

En utilisant le résultat de la question 20, en déduire le rapport k_z2/k_z1 en fonction de ω et ω_p.

En utilisant le résultat de la question 22, montrer qu'on obtient la même expression du rapport k_z2/k_z1 si on suppose que B_y est continu en z = 0.

Par un raisonnement en ordres de grandeur, justifier que, dans un métal, les propriétés de conduction électrique sont essentiellement dues aux électrons.

Dans cette approximation, justifier que le vecteur densité volumique de courant j = jₓ(r,θ,x,t)eₓ ne dépend pas de la coordonnée x, définie par l'axe de révolution (Ox) du barreau cylindrique…

En négligeant toute force autre qu'électromagnétique, expliciter l'équation différentielle qui régit la vitesse d'un électron de l'ionosphère en fonction du champ électromagnétique E, B du signal…

Les signaux GPS sont émis aux fréquences f₁ = 1,2 GHz et f₂ = 1,6 GHz ; Exprimer v_φ pour ces fréquences. Exprimer l'erreur relative de l'approximation consistant à supposer que v_φ est égale à c…

Quel est l'intérêt d'utiliser deux fréquences si on veut corriger l'imprécision liée à la traversée de l'ionosphère ?

Donner l'expression de k en fonction de ω, ω_p et de c, en justifiant soigneusement le choix de la solution de l'équation 5. Établir les expressions des champs réels E(M, t) et B(M, t), en faisant…

Déterminer la moyenne du vecteur de Poynting de cette onde. Commenter.

Le profil de la densité particulaire, qui dépend de l'alternance des jours et des nuits, est représenté figure 9. En déduire le domaine de fréquences que l'on doit choisir pour que l'onde puisse…

En déduire que la distance d entre le satellite et la surface de l'océan peut s'écrire approximativement : d ≃ ct₀/2 - ε où ε est un terme correctif, appelé correction ionosphérique, que l'on…

Déterminer, en fonction de ℓ, n, e, ε₀, mₑ et de ω₀, l'erreur que l'on commettrait sur la mesure, faite à partir de l'impulsion de fréquence centrale f₀, si l'on considérait la vitesse de groupe…

Écrire les équations de Maxwell dans le conducteur ohmique. On va travailler en régime lentement variable (aussi appelé ARQS). Quel terme des équations de Maxwell est alors négligé dans le…

Montrer que l'onde ne peut pas se propager dans le plasma si la pulsation est inférieure à ω_P. Quelle est l'expression du champ électrique dans ce cas ? On introduira la distance δ définie par δ =…

Le Soleil est un corps noir (voir formulaire) dont la température de surface est T_S = 5800 K. Estimer la valeur de H_ω. Sachant que l'épaisseur caractéristique de l'atmosphère est de l'ordre de 100…

Décrire en quelques mots l'origine de chacun des termes de l'équation (3). Pourquoi n'y a-t-il aucun terme lié au champ magnétique B ? Quelle est la signification physique de la constante τ ? Quelle…

On cherche, maintenant, des solutions compatibles avec les conditions aux limites imposées par le câble. On suppose que les conducteurs sont parfaits. Justifier que le courant i(z, t) est surfacique.

Lorsque ω = ω_c, l'onde électromagnétique échauffe le plasma : expliquer pourquoi. On parle alors de chauffage à résonance cyclotronique électronique. Justifier le terme de résonance employé dans…

Expliquer si ce modèle semble conforme à la pénétration différenciée des rayonnements illustrée en figure 9.

Définir les symétries et invariances du système afin de réduire le nombre de composantes non nulles et leurs dépendances.

En adaptant les équations de Maxwell à la nouvelle géométrie du problème (considérée comme infinie dans la direction Ox), déterminer l'équation vérifiée par le champ B lorsque les bobines sont…

Exprimer le vecteur densité de courant J.

On donne l'allure de la fonction f sur la courbe suivante : En s'aidant de la figure, déterminer quelle est la meilleure fréquence de travail pour maximiser la puissance dissipée par effet Joule…

Discuter la possibilité d'observation des sylphes en lien avec la pression partielle en dioxygène depuis la Terre et depuis l'iss.

Pour quelle fréquence limite f_p, une onde envoyée depuis la surface de la Terre ne peut plus se propager lorsqu'elle rencontre un milieu où la densité volumique d'électrons est n ? On d'étaillera…

Tracer l'allure de V_φ et de V_g en fonction de ω. Commenter au regard des fréquences utilisées pour les signaux GPS.

Exprimer, en notation complexe, le champ magnétique B. Justifier l'hypothèse faite à la question 14.

Justifier que ne pas tenir compte de la différence entre V_g et c dans le plasma induit un décalage de positionnement au sol.

Déterminer, en régime forcé, une expression de la vitesse sous la forme v = v₀ exp (iω t) où v₀ est l'amplitude vectorielle complexe de la vitesse que l'on exprimera en fonction des données du…

Déterminer la valeur de la fréquence limite f_lim en dessous de laquelle on peut considérer que la loi d'ohm en notation réelle peut s'écrire sous la forme = γ₀ E.

Proposer une représentation soignée de la composante suivant x, E_c,x, de E_c(z, t) à t fixé, en fonction de z pour le demi-espace z 0. On fera apparaitre la grandeur δ sur le schéma.

Comment appelle-t-on δ ? Quelle est sa signification physique ? Donner la valeur de δ pour les ondes électromagnétiques de communication NFC-RFID.

Montrer que le plasma reste localement neutre en présence de l'onde. Que peut-on alors dire de la densité volumique nₑ d'électrons dans le plasma ?

Pourquoi ne peut-on pas écrire a priori t(ω) = L/v_g ?

Établir l'expression de t(∞). Quelle est son interprétation physique ?

Les mesures de dispersion mesurées pour des objets extragalactiques sont usuellement de quelques centaines de pc⁻³. Peut-on exclure une origine extragalactique aux péritios ?

Comment se simplifie l'équation de Maxwell-Ampère si ε₀ f ≪ σ ? Cette condition est-elle vérifiée dans le cadre du four à micro-ondes ?

Commenter l'expression du champ B(x, t) dans le conducteur. Donner l'interprétation de δ.

On suppose que k'' est strictement positif. Décrire l'évolution de l'amplitude de l'onde lors de sa propagation. Que peut-on en déduire énergétiquement ?

Montrer que si ε_r R⁺, alors k'' = 0. Comment se comporte alors le milieu de propagation ?

Chaque pigment coloré aura une dépendance différente de son coefficient k'' en fonction de la longueur d'onde incidente. Les spectres d'absorption de la figure 6 ont été obtenus pour différentes…

Identifier le coefficient α. Montrer que l'atténuation par unité de longueur, A_dB/z, est proportionnelle à k_i.

Montrer que pour ω ≪ γ/ε, k = ± (1-j)/δ. Exprimer la grandeur δ. Comment varie l'atténuation par unité de longueur dans ce cas ? Calculer numériquement δ pour des ondes dites VLF (Very Low…

Dans l'hélium, g_∞ ≃ 10⁻⁹ m⁻¹. En déduire l'ordre de grandeur de I₁ pour avoir une amplification de I₂ à la résonance de l'ordre de 1% sur une échelle typique de 10 . Commenter ce résultat.

En admettant que le rapport des amplitudes du champ électrique et du champ magnétique dans le plasma soit assimilable à celui dans le vide, montrer que les effets de la partie magnétique de la force…

En admettant que l'accélération d'un électron du plasma soit donnée par (∂ vₑ)/(∂ t), déterminer l'expression du vecteur vitesse complexe vₑ d'un électron, positionné en M à l'instant t, en fonction…

Justifier qu'il existe dans le plasma une densité de courant (M, t). En déduire, en utilisant les résultats précédents, que l'expression de la conductivité complexe du plasma notée γ s'écrit de…

Calculer la puissance volumique moyenne fournie par le champ électromagnétique aux électrons libres. Commenter.

En déduire l'expression de k² dans le plasma. Mettre en évidence une pulsation caractéristique, dite pulsation plasma, notée ω_p dont on fournira l'expression en fonction des grandeurs utiles parmi…

Calculer la valeur moyenne du vecteur de Poynting associé à cette onde. Caractériser l'onde obtenue.

Calculer la valeur numérique de la fréquence minimale que doit posséder l'onde pour atteindre un satellite relais géostationnaire à partir de la surface de la Terre. À quel domaine du spectre…

Évaluer numériquement τ et en déduire que, pour des ondes de fréquence inférieure à f=1,00 MHz, on peut considérer que ρ=0.

Préciser pourquoi ce problème se pose effectivement.

A.N. : calculer et commenter la valeur de la distance caractéristique. En pratique, on évite d'utiliser de tels câbles à très haute fréquence (1 GHz et plus). Pourquoi ?

Exprimer le champ E(z, t) en notation réelle dans le conducteur et tracer son allure en fonction de z à t fixé. Expliquer, en s'appuyant sur ce tracé, ce qu'est l'effet de peau en donnant une…

Établir que le champ électrique (III.2) est solution de l'équation aux dérivées partielles précédente à condition que : n² = 1 - ω_p²/(ω² - iω/τ) .

Déterminer les expressions des constantes diélectriques ε₁ et ε₂ (qui sont des grandeurs réelles) telles que n² = ε₁ - iε₂. Exprimer ε₁ et ε₂ en fonction de ω, ω_p et τ.

En déduire les expressions asymptotiques des constantes diélectriques ε₁ et ε₂ dans la limite où ωτ ≫ 1, et comparer ε₁ et ε₂ dans cette limite.

On donne pour cette expérience les valeurs γ₁ = 6,3 × 10⁷ rad/s et Ω_r = 0,2 γ₁. Vérifier que l'on est bien dans les conditions de la question 13.

Grâce à la figure 3b, indiquer précisément dans quel intervalle de pulsation la lumière est le plus ralentie.

Grâce à la figure 4 et au texte de la légende de la figure 3, estimer la valeur numérique de cette vitesse de groupe.

Établir l'équation différentielle à laquelle obéit le vecteur position rₑ(t) de l'électron.

Dans le modèle d'atome adopté initialement, montrer que dans le domaine des fréquences optiques (ω comprise entre 2· 10¹⁵ et 5· 10¹⁵ rad⁻¹) l'indice dépend peu de la pulsation.

Montrer qu'il est possible d'écrire I(x) sous la forme suivante : I(x) = I(0) exp [-dₒ(x)] où dₒ(x) est un facteur, appelé « densité optique », que l'on exprimera en fonction des quantités…

Montrer qu'il est possible d'écrire I(x) sous la forme suivante : I(x) = I(0) exp [-dₒ(x)] où dₒ(x) est un facteur, appelé « densité optique », que l'on exprimera en fonction des quantités…

Déduire de l'équation précédente une relation entre (dp(t))/dt, p(t), f_C et θ dans la limite dt → 0. Commenter l'expression obtenue et relier θ à la durée τ.

Les valeurs obtenues aux questions 4 et 23 (on prendra T ≃ 300 K) sont-elles compatibles avec la loi de Wiedemann-Franz ?

Commenter cette figure. À quel phénomène la situation étudiée est-elle analogue ?

Définir, à l'aide d'une intégrale double, l'expression de l'intensité instantanée i(t) du courant transporté par ce conducteur. On donne une primitive : F(u) = (-δ)/√(2) e⁻u/δ cos (ω t - π/4 - u/δ)…

Rappeler l'expression de la puissance volumique instantanée dissipée par effet Joule dans un conducteur ohmique. L'intégration de cette grandeur sur le volume du conducteur, non demandée ici, permet…

Que peut-on dire de P_Joule dans le cas d'une conductivité infinie ? D'une conductivité nulle ?

Comparer P_Joule à haute et à basse fréquences. La résistance du conducteur dépend de la fréquence f suivant la loi : R(f) = R(f₀) × (f/f₀)α, où f₀ est une fréquence de référence quelconque…

Comment expliquez-vous que les résistances puissent augmenter avec la fréquence ? En électromagnétisme, rappeler l'équation locale de Maxwell-Faraday ainsi que la loi de Lenz. Comment expliquez-vous…

La figure 6 présente la densité d'électrons libres nₑ en fonction de l'altitude z. Comment interpréter la croissance de cette densité pour les altitudes z < 350 km ? Pourquoi chute-t-elle pour les…

Évaluer la fréquence plasma f_p déduite de la pulsation plasma ω_p pour la densité maximale d'électrons libres. Quelle est la bande de fréquence utilisable pour les communications entre un satellite…

Exprimer la vitesse de phase v_φ des ondes électromagnétiques dans le plasma en fonction de f, c et f_p. En déduire l'expression de l'indice optique n = c/v_φ en fonction de f et de f_p. Quelle est…

Quel est le principe d'obtention de cette carte en temps réel ? Commenter et expliquer l'évolution entre les deux cartes.

Ecrire la solution harmonique plane de l'équation de propagation en supposant le métal illimité vers les x>0. On notera Eₒₜ son amplitude complexe et on fera apparaître δ.

Déterminer la vitesse de phase de l'onde dans le métal et faire l'application numérique.

Calculer la puissance volumique moyenne dissipée par effet Joule à l'abscisse x.

Exprimer la puissance moyenne totale dissipée par effet Joule dans le conducteur en fonction E₀, δ, γ et S.

a - Tracer la courbe de dispersion k = f(ω) pour k ≥ 0 et identifier sur cette courbe les zones de forte ou de faible dispersion, en expliquant le critère utilisé. b - Expliquer les effets de la…

Exprimer la vitesse de phase et valider l'hypothèse faite à la question Q31.

Dans les deux cas limites (cas 1 et cas 2) de dimensions de cavité a égales respectivement à 0,1 et 10 , discuter du choix de conducteurs respectivement en aluminium ou en or. Compte tenu des…

En déduire une expression approchée de k. On mettra k sous la forme k = k' - j k'' (avec k' et k'' réels et k'' > 0). Exprimer k' et k'' en fonction de ω, µ₀, ε_r et de ε_i.

Déterminer, en notation complexe, l'expression du champ magnétique B(x, t) de l'onde dans le milieu. On écrira B(x, t) en fonction de k' et de k'' pour simplifier son expression.

Exprimer la valeur moyenne temporelle du vecteur de Poynting Π en fonction de k₁(ω), k₂(ω), z, ω, Eₒ, µₒ et d'un vecteur unitaire de base.

Déterminer en fonction de E₀, µ₀, γ, ω et de S la puissance moyenne qui entre dans le conducteur à travers la section S située en z = 0⁺.

En utilisant la même méthode que pour la sphère, déterminer la pulsation ω_c de l'oscillation des électrons dans un cylindre métallique de révolution infiniment long, en supposant leur déplacement x…

En utilisant la relation de dispersion entre ω et k, éliminer kₓ dans l'expression obtenue, et exprimer B_y en fonction de Eₓ, k_z, et ω. On distinguera les cas du vide et du métal, et on fera…

On pose ε = 1 - ω_p²/ω². Les relations de dispersion dans le vide et dans le métal, ajoutées au résultat de la question 27 ou 28, donnent trois relations entre kₓ, k_z1, k_z2 et ω, dans lesquelles…

Montrer qu'une telle solution ne peut exister que si ω < ω_p. On supposera cette condition satisfaite jusqu'à la fin du problème.

En utilisant le résultat de la question 29 et la relation de dispersion dans le vide, éliminer k_z1 et exprimer kₓ² en fonction de ω/c et ε. Montrer que le plasmon de surface peut exister pour toute…

Tracer l'allure de ω en fonction de kₓ (on pourra d'abord tracer kₓ en fonction de ω). Que vaut la vitesse de groupe du plasmon de surface dans les limites ω ≪ ω_sp et ω → ω_sp ?

En prenant la partie réelle de l'amplitude complexe, écrire les composantes suivant x et z du champ électrique en fonction de x, z, et t, pour z > 0 et pour z < 0.

Donner un ordre de grandeur du paramètre de maille dans un métal. En supposant que chaque atome du réseau cristallin donne un électron de conduction, en déduire une estimation numérique de la…

Déterminer alors l'expression du facteur de qualité Q de l'oscillateur amorti décrit par l'équation (2) et une valeur numérique de ce dernier. Représenter graphiquement l'allure de la densité…

Justifier l'affirmation : « un bon conducteur électrique est un bon conducteur thermique ». En utilisant la loi de Wiedemann-Franz et sur la base d'arguments physiques numériques, justifier que…

En présence d'effets thermoélectriques, on définit la conductivité thermique κ(T) par l'expression du vecteur densité de courant de chaleur j_Q = -κ(T) grad T, en l'absence de mouvement…

Déterminer la condition sur A permettant de garantir que la thermorésistance a une sensibilité maximale. Proposer un argument qualitatif permettant d'expliquer l'augmentation de ρ avec θ.

Préciser la dimension de la grandeur γ₀ (on utilisera les notations L, M, T et I pour les dimensions des longueur, masse, durée et intensité de courant) et la signification physique de τ. Établir la…

À quelles conditions (que l'on traduira par des inégalités faisant intervenir ω, c, µ₀, γ₀, τ et ω) correspondent les 3 régimes de fréquences que l'on peut lire sur la figure 5 ?

Ici et dans toute la suite on se limitera au domaine radar (f ∼ 25 GHz). Justifier par le calcul la forme limite des deux courbes ; préciser leur décalage. On notera ici d = √(2/(µ₀ γ₀ ω)). Peut-on…

Exprimer le décalage temporel lié à la traversée de la couche ionisée par rapport à une propagation qui se ferait entièrement dans le vide. En déduire l'imprécision sur la détermination de la…

En comparant les ordres de grandeur de plusieurs grandeurs pertinentes, analyser l'acceptabilité de cette simplification pour les ondes de la bande HF.

Les deux impulsions, associées aux fréquences centrales f₀ et f₁, sont émises par le satellite à l'instant t = 0 et leurs échos sont détectés respectivement aux instants t₀ et t₁. Déterminer une…

On considère une onde électromagnétique sinusoïdale dont le champ électrique s'écrit : E(x,t) = E₀ exp (i(ω t - k x))u_z, avec un vecteur d'onde k complexe. Déterminer l'expression de k² en fonction…

La puissance incidente P₀ est la même pour les deux longueurs d'onde, mais elle est inconnue. On mesure la puissance qui traverse l'os P_Li, avec i = 1 ou 2. Proposer une méthode permettant de…

On considère une onde électromagnétique sinusoïdale dont le champ électrique s'écrit : E(x,t) = E₀ exp (i(ω t - kx)) u_z, avec un vecteur d'onde k complexe. Déterminer l'expression de k² en fonction…

La puissance incidente P₀ est la même pour les deux longueurs d'onde, mais elle est inconnue. On mesure la puissance qui traverse l'os P_Li, avec i = 1 ou 2. Proposer une méthode permettant de…

Exprimer la polarisabilité complexe α(ω). Montrer que dans le cadre de l'approximation |δ| ≪ ω₀, α' et α'' peuvent se mettre sous la forme suivante : α' = -α₀/2 (ω₀ δ)/(δ² + Γ²/4) et α'' = α₀/2 (ω₀…

Montrer que, pour une pulsation donnée, l'éclairement (ici assimilé à la puissance surfacique moyenne) décroit selon l'axe de propagation du rayon solaire selon une loi du type E_ω(x) = E_ω(0) exp…

Montrer que les ondes électromagnétiques dans un tel milieu sont transverses puis établir leur équation de dispersion exprimant k² en fonction de la célérité c de la lumière dans le vide, ω, ω₀ et…

Exprimer N en fonction de ω, ω₀ et ω_p au premier ordre non nul en ω du développement limité. Commenter le résultat obtenu.

En pratique, la conductivité n'est pas infinie et le champ électromagnétique pénètre dans les conducteurs. La conductivité du cuivre vaut σ = 5,9· 10⁷ Ω⁻¹⁻¹. Discuter la pertinence de l'utilisation…

En appliquant le principe fondamental de la dynamique à l'électron, montrer que vₓ et v_y vérifient le système : vₓ = iα/ω + iω_c/ω v_y [2mm] v_y = α/ω - iω_c/ω vₓ avec ω_c = (e B₀)/mₑ la pulsation…

On note n₀ la densité volumique d'électrons (en m⁻³) dans le plasma. Établir l'expression de , puis montrer que la relation de dispersion de cette onde s'écrit : k² = ω²/c² (1 - ω_p²/(ω(ω - ω_c)))…

Déterminer, en justifiant votre réponse, pour quel(s) intervalle(s) de pulsations l'onde peut se propager dans le plasma.

Déterminer la vitesse de phase de l'onde pour ω = ω_c. Interpréter.

a) Préciser la direction de propagation et la polarisation de l'onde. b) Exprimer k² en fonction de µ₀, c, γ et de la longueur d'onde dans le vide λ = (2π c)/ω. En déduire, en justifiant…

Montrer que la puissance volumique dissipée par effet Joule P_J = 1/2µ₀µ_r |E ∧ B*| peut se mettre sous la forme : P_J = P₀ e⁻²z/δ

Dans l'hypothèse d'une plaque mince (h ≪ d) on peut négliger la dépendance suivant y. Dans ce cas, écrire le champ magnétique dans la plaque. On notera à nouveau B_s le champ magnétique à la surface.

Nous considérons maintenant un milieu amplificateur occupant un volume cylindrique, d'axe Oz, de longueur ℓₐ et de section S qui est traversé par un faisceau lumineux se propageant dans le sens de…

L'image de la figure 6 montre la localisation et le nombre d'échos radar qui reviennent au niveau de l'émetteur. Analyser et commenter cette carte.

En supposant que le satellite est à la verticale du capteur, donner une expression approchée du retard ionosphérique à la traversée de l'ionosphère en fonction de ω, ω_p, c et de l'épaisseur d…

En utilisant le résultat des questions précédentes et la figure 8, estimer la valeur numérique du décalage maximal de positionnement au sol, puis l'incertitude-type sur ce décalage. On procédera à…

Pour les communications NFC-RFID, estimer numériquement le rapport entre la norme du vecteur densité de courant volumique et celle du vecteur densité de courant de déplacement _D = ε₀ (∂ E)/(∂ t)…

Déterminer l'expression des grandeurs α et β en choisissant α > 0, c'est-à-dire en considérant une propagation vers les z croissants.

En réalité, l'aluminium n'est pas un conducteur parfait. Déterminer la valeur du coefficient de transmission en énergie T = 1 - |r|² pour des ondes électromagnétiques de communication NFC-RFID…

Montrer que pour des ondes d'une fréquence f de l'ordre du gigahertz, on peut écrire τ(f) = A DM/f² où l'on exprimera A en fonction de e, ε₀, m et c.

À partir de la figure 6, estimer la mesure de dispersion DM, en exprimant le résultat d'abord en unités du système international puis en pc⁻³.

Établir que k² = ε_r ω²/c².

En utilisant les courbes de la figure 5 donnant k'' dans la peau en fonction de la longueur d'onde dans le vide du laser, déduire quelles longueurs d'onde de laser sont les plus adaptées pour…

En déduire que B = B_0,1 e⁻k''x cos (ω t - k'x) + B_0,2 e⁻k''x sin (ω t - k'x) et expliciter B_0,1 et B_0,2 en fonction de E₀, k', k'', ω et u_z.

On considère qu'un pigment noir a une longueur d'environ 1 . Si on considère un laser Nd:Yag de longueur d'onde dans le vide 1064 nm, pourquoi peut-on considérer que la puissance volumique cédée au…

Après avoir déterminé le champ B(M,t), donner l'expression de la moyenne temporelle du vecteur de Poynting Π en fonction de µ₀, ω, k_r, k_i, |E₀| et de z.

Que vaut la moyenne temporelle du carré du champ électrique total E · E en fonction de z et de t ? On moyenne, autour de t, sur un temps τ tel que τ ≪ 2π/Ω et τ ≫ 2π/ω₂. En déduire la force…

On s'intéresse au cas où l'intensité du champ électrique 1 est beaucoup plus grande que celle du champ électrique 2. Dans un tel cas, on peut supposer que I₁ reste constante. En déduire la…

On suppose dans un premier temps ω < ω_p. Expliciter l'expression de k et en déduire les expressions des champs réels E(M, t) et B(M, t). On fera apparaître une épaisseur caractéristique δ_p que…

Représenter l'évolution spatiale à un instant quelconque des profils des champs électrique et magnétique de l'onde et décrire leur évolution temporelle.

On suppose désormais que ω > ω_p. De la même façon que pour le premier cas, expliciter l'expression de k. En déduire les expressions des champs réels E(M, t) et B(M, t), puis établir l'expression de…

Déterminer l'expression de la vitesse de phase v_φ ainsi que celle de la vitesse de groupe v_g en fonction de ω_p, ω et c. Tracer v_g et v_φ en fonction de ω. Le milieu est-il dispersif ? Comparer…

Obtenir l'expression du vecteur de Poynting Π(z, t), puis celle de sa moyenne temporelle Π(z, t).

Estimer la longueur δ_B que l'on peut associer aux évolutions représentées sur la figure (3). Peut-on alors considérer que l'hypothèse H_B est fondée ?

En déduire k'²_z en fonction de ω, ω_p, c et cos θ et en déduire que l'onde transmise ne peut pas se propager dans le plasma si ω < ω_ℓ et exprimer la pulsation limite ω_ℓ en fonction de ω_p et θ.

A.N. : pour l'ionosphère on prendra f_p = ω_p/2π ∼ 1 MHz et H ∼ 175 km. Calculer cos θ puis la fréquence limite f_ℓ = ω_ℓ/2π dans le cas d'une transmission sur une distance totale d ∼ 3 500 km (en…

Exprimer la puissance moyenne dissipée par effet Joule dans une portion de métal de section S dans le plan (Oxy) et d'extension infinie selon (Oz) dans le sens des z croissants. La fréquence de…