Feuille d'entraînement : Ondes électromagnétiques dans les milieux

Corrigés

1. Exercice 1Banque PT Modelisation PT 2026, Q15

   Dans un conducteur ohmique linéaire, homogène et isotrope de conductivité électrique \gamma, la loi d'Ohm locale (ou loi d'Ohm microscopique) relie linéairement et localement le vecteur densité volumique de courant de conduction \vec{j} au champ électrique \vec{E} :

   \boxed{\vec{j} = \gamma \vec{E}}

   où :

   • \vec{j} est la densité volumique de courant (en \mathrm{A}\cdot\mathrm{m}^{-2}) ;
   • \gamma est la conductivité électrique du milieu (en \Omega^{-1}\cdot\mathrm{m}^{-1} ou \mathrm{S}\cdot\mathrm{m}^{-1}) ;
   • \vec{E} est le champ électrique local (en \mathrm{V}\cdot\mathrm{m}^{-1}).

   Résultat

   $$\vec{j}=\gamma \vec{E}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2Banque PT Modelisation PT 2026, Q16

   D'après la loi d'Ohm locale (question Q15), le vecteur densité de courant de conduction s'écrit :

   \vec{j} = \gamma \vec{E}

   La densité volumique de courant de déplacement introduite par Maxwell est :

   \vec{j}_{\mathrm{d}} = \epsilon \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}

   Pour une onde monochromatique de champ électrique \vec{E}(x,y,z,t) = E_0\,\mathrm{e}^{i(\omega t - \underline{k}z)}\vec{e}_x, la dérivation temporelle correspond à une multiplication par i\omega :

   \underline{\vec{j}}_{\mathrm{d}} = i \epsilon \omega \underline{\vec{E}}

   En prenant la norme de ces grandeurs complexes, on a :

   \begin{aligned} \|\underline{\vec{j}}\| &= \gamma \|\underline{\vec{E}}\| \\ \|\underline{\vec{j}}_{\mathrm{d}}\| &= \epsilon \omega \|\underline{\vec{E}}\| \end{aligned}

   Le courant de déplacement est donc négligeable devant le courant de conduction (\|\vec{j}_{\mathrm{d}}\| \ll \|\vec{j}\|) si et seulement si :

   \epsilon \omega \ll \gamma \iff \omega \ll \frac{\gamma}{\epsilon}

   La pulsation critique cherchée est donc :

   \boxed{\omega_c = \frac{\gamma}{\epsilon}}

   Résultat

   $${\omega }_c=\frac{\gamma }{ϵ}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3Banque PT Modelisation PT 2026, Q17

   Dans l'eau de mer assimilée à un conducteur ohmique neutre (\rho = 0) en régime basse fréquence (\omega \ll \omega_c), les équations de Maxwell s'écrivent :

   • Maxwell-Gauss : \mathrm{div}\,\vec{E} = \dfrac{\rho}{\epsilon} = 0 ;
   • Maxwell-Faraday : \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E} = -\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t} ;

   • Maxwell-Ampère (avec courant de déplacement négligé d'après Q16 et loi d'Ohm locale d'après Q15) :

     \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B} \approx \mu_0 \vec{j} = \mu_0 \gamma \vec{E}

   Utilisons l'identité du double rotationnel appliquée au champ électrique :

   \vec{\mathrm{rot}}(\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E}) = \vec{\mathrm{grad}}(\mathrm{div}\,\vec{E}) - \Delta \vec{E}

   Puisque \mathrm{div}\,\vec{E} = 0, il vient :

   \vec{\mathrm{rot}}(\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E}) = -\Delta \vec{E}

   En substituant la loi de Maxwell-Faraday et en permutant les dérivées spatio-temporelles :

   \begin{aligned} -\Delta \vec{E} &= \vec{\mathrm{rot}}\!\left(-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\right) \\ &= -\frac{\partial}{\partial t}(\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B}) \\ &= -\frac{\partial}{\partial t}(\mu_0 \gamma \vec{E}) \\ &= -\mu_0 \gamma \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \end{aligned}

   En regroupant tous les termes dans le membre de gauche, on obtient bien l'équation vérifiée par le champ électrique :

   \boxed{\Delta\vec{E} - \mu_0\gamma\frac{\partial\vec{E}}{\partial t} = \vec{0}}

   Résultat

   $$\Delta \vec{E}-{\mu }_0\gamma \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}=\vec{0}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4Banque PT Physique A PT 2020, Q17

   À l'intérieur d'un conducteur parfait, le champ électrique est identiquement nul :

   \boxed{\vec{E}_{\text{int}} = \vec{0}}

   Justification :

   • Par définition d'un conducteur parfait, la conductivité électrique tend vers l'infini (\gamma \to +\infty).

   • D'après la loi d'Ohm locale, la densité volumique de courant s'écrit :

     \vec{j} = \gamma \vec{E}

     Pour que la densité de courant \vec{j} et la puissance volumique dissipée par effet Joule restent finies, le champ électrique doit impérativement vérifier :

     \vec{E} = \frac{\vec{j}}{\gamma} \xrightarrow[\gamma \to +\infty]{} \vec{0}

   • En régime variable harmonique de pulsation \omega, cette propriété se traduit également par une épaisseur de peau nulle :

     \delta = \sqrt{\frac{2}{\mu_0 \gamma \omega}} \xrightarrow[\gamma \to +\infty]{} 0

     L'onde électromagnétique ne pénètre donc pas dans le conducteur, assurant la stricte nullité du champ électrique en son sein.

   Résultat

   $${\vec{E}}_{\text{int}}=\vec{0}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5Banque PT Physique A PT 2020, Q5

   Dans le conducteur, la matière est modélisée par un conducteur ohmique neutre en volume, vérifiant la loi d'Ohm locale :

   \vec{j} = \gamma \vec{E}

   L'équation de Maxwell-Ampère s'écrit alors :

   \boxed{ \vec{\operatorname{rot}}\vec{B} = \mu_0 \left( \vec{j} + \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \right) = \mu_0 \gamma \vec{E} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} }

   où \vec{j} est la densité volumique de courant de conduction et \vec{j}_D = \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} est la densité de courant de déplacement.

   En régime sinusoïdal à la pulsation \omega = 2\pi \nu, les grandeurs varient comme \exp(j\omega t), ce qui conduit pour les amplitudes de ces deux termes à :

   \begin{aligned} \|\vec{j}\| &\sim \gamma E \\ \|\vec{j}_D\| &\sim \varepsilon_0 \omega E \end{aligned}

   Le rapport des ordres de grandeur s'écrit ainsi :

   \frac{\|\vec{j}\|}{\|\vec{j}_D\|} = \frac{\gamma}{\varepsilon_0 \omega} = \frac{\gamma}{2\pi \varepsilon_0 \nu} = \frac{\gamma \lambda}{2\pi \varepsilon_0 c}

   Avec les valeurs numériques fournies :

   • \gamma = 1{,}0 \cdot 10^7\text{ S}\cdot\text{m}^{-1}
   • \varepsilon_0 = 8{,}85 \cdot 10^{-12}\text{ F}\cdot\text{m}^{-1}
   • \nu = 5\cdot 10^{14}\text{ Hz} (d'après la question 2) d'où \omega = 2\pi\nu \approx 3\cdot 10^{15}\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}

   Le calcul donne (avec un chiffre significatif) :

   \begin{aligned} \varepsilon_0 \omega &\approx 9\cdot 10^{-12} \times 3\cdot 10^{15} \approx 3\cdot 10^4\text{ S}\cdot\text{m}^{-1} \\ \frac{\|\vec{j}\|}{\|\vec{j}_D\|} &\approx \frac{1\cdot 10^7}{3\cdot 10^4} \approx 4\cdot 10^2 \gg 1 \end{aligned}

   On a donc bien :

   \boxed{ \|\vec{j}\| \gg \|\vec{j}_D\| }

   Le courant de conduction est très supérieur au courant de déplacement (d'un facteur d'environ 400).

   Résultat

   $$\overrightarrow{\mathrm{rot}}\vec{B}={\mu }_0\left(\vec{j}+{\epsilon }_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\right)={\mu }_0\gamma \vec{E}+{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$$

   $$\Vert \vec{j}\Vert \gg \Vert {\vec{j}}_D\Vert$$

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6. Exercice 6Banque PT Physique A PT 2020, Q6

   Dans le conducteur ohmique, les équations de Maxwell s'écrivent :

   • Maxwell-Faraday :

     \vec{\operatorname{rot}}\vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}

   • Maxwell-Ampère, dans le cadre de l'approximation établie à la question Q5 (courant de déplacement négligeable devant le courant de conduction \vec{j} = \gamma\vec{E}) :

     \vec{\operatorname{rot}}\vec{B} \approx \mu_0\gamma\vec{E}

   • Maxwell-Gauss : \operatorname{div}\vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}. L'équation de conservation de la charge \frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}\vec{j} = 0 associée à la loi d'Ohm locale donne :

     \frac{\partial\rho}{\partial t} + \frac{\gamma}{\varepsilon_0}\rho = 0

     Le temps de relaxation des charges \tau_r = \frac{\varepsilon_0}{\gamma} \approx \frac{8{,}85\cdot 10^{-12}}{1{,}0\cdot 10^7} \approx 9\cdot 10^{-19}\text{ s} est extrêmement court devant la période optique (T \approx 2\cdot 10^{-15}\text{ s}) ; le milieu est donc neutre en volume en régime établi : \rho = 0, soit \operatorname{div}\vec{E} = 0.

   Prenons le rotationnel de l'équation de Maxwell-Faraday :

   \vec{\operatorname{rot}}(\vec{\operatorname{rot}}\vec{E}) = -\frac{\partial}{\partial t}\left(\vec{\operatorname{rot}}\vec{B}\right)

   En utilisant la formule vectorielle fournie dans le sujet, \vec{\operatorname{rot}}(\vec{\operatorname{rot}}\vec{E}) = \vec{\operatorname{grad}}(\operatorname{div}\vec{E}) - \vec{\Delta}\vec{E}, et en exploitant \operatorname{div}\vec{E} = 0, le membre de gauche devient :

   \vec{\operatorname{rot}}(\vec{\operatorname{rot}}\vec{E}) = -\vec{\Delta}\vec{E}

   En injectant l'équation de Maxwell-Ampère simplifiée dans le membre de droite :

   -\frac{\partial}{\partial t}\left(\vec{\operatorname{rot}}\vec{B}\right) = -\mu_0\gamma\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}

   On en déduit l'équation vérifiée par le champ électrique dans le conducteur :

   \boxed{\vec{\Delta}\vec{E} - \mu_0\gamma\frac{\partial\vec{E}}{\partial t} = \vec{0}}

   Résultat

   $$\vec{\Delta }\vec{E}-{\mu }_0\gamma \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}=\vec{0}$$

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7. Exercice 7Banque PT Modelisation PT 2026, Q18

   D'après la question Q17, le champ électrique vérifie dans l'eau de mer l'équation de diffusion :

   \Delta\vec{E} - \mu_0\gamma\frac{\partial\vec{E}}{\partial t} = \vec{0}

   En notation complexe, le champ s'écrit \vec{\underline{E}}(x,y,z,t) = E_0 \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega t - \underline{k}z)}\vec{e}_x. Comme il ne dépend spatialement que de la variable z, le laplacien vectoriel se réduit à :

   \Delta\vec{\underline{E}} = \frac{\partial^2\vec{\underline{E}}}{\partial z^2} = (-\mathrm{i}\underline{k})^2 \vec{\underline{E}} = -\underline{k}^2 \vec{\underline{E}}

   De plus, la dérivation temporelle donne :

   \frac{\partial\vec{\underline{E}}}{\partial t} = \mathrm{i}\omega\vec{\underline{E}}

   L'équation de diffusion se réécrit donc :

   \left(-\underline{k}^2 - \mathrm{i}\mu_0\gamma\omega\right)\vec{\underline{E}} = \vec{0}

   Comme le champ n'est pas identiquement nul, on obtient la relation de dispersion :

   \underline{k}^2 = -\mathrm{i}\mu_0\gamma\omega

   Écrivons -\mathrm{i} sous forme trigonométrique :

   -\mathrm{i} = \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{2}}

   Les deux racines carrées complexes de -\mathrm{i} sont données par :

   \pm \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{4}} = \pm \left(\cos\frac{\pi}{4} - \mathrm{i}\sin\frac{\pi}{4}\right) = \pm \frac{1 - \mathrm{i}}{\sqrt{2}}

   On en déduit les deux valeurs possibles du vecteur d'onde complexe \underline{k} :

   \underline{k} = \pm (1 - \mathrm{i})\sqrt{\frac{\mu_0\gamma\omega}{2}}

   \boxed{\underline{k} = \pm (1 - \mathrm{i})\sqrt{\frac{\mu_0\gamma\omega}{2}}}

   Résultat

   $$\underline{k}=\pm (1-\mathrm{i})\sqrt{\frac{{\mu }_0\gamma \omega }{2}}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8Banque PT Modelisation PT 2026, Q19

   D'après la question Q18, le nombre d'onde complexe s'écrit :

   \underline{k} = \pm (1 - \mathrm{i})\sqrt{\frac{\mu_0 \gamma \omega}{2}}

   Le terme de propagation et d'atténuation spatiale dans l'expression du champ électrique est :

   \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\underline{k}z} = \exp\left[\mp \mathrm{i}(1 - \mathrm{i})\sqrt{\frac{\mu_0 \gamma \omega}{2}}\,z\right] = \exp\left[\mp \mathrm{i}\sqrt{\frac{\mu_0 \gamma \omega}{2}}\,z \mp \sqrt{\frac{\mu_0 \gamma \omega}{2}}\,z\right]

   L'onde se propageant dans le demi-espace z \ge 0, le milieu étant dissipatif (pertes par effet Joule), l'amplitude du champ électrique doit rester bornée et décroître lorsque z \to +\infty. On doit donc retenir le signe correspondant à une exponentielle décroissante en z, soit :

   \underline{k} = (1 - \mathrm{i})\sqrt{\frac{\mu_0 \gamma \omega}{2}}

   En posant la constante réelle \delta telle que :

   \frac{1}{\delta} = \sqrt{\frac{\mu_0 \gamma \omega}{2}} \iff \delta = \sqrt{\frac{2}{\mu_0 \gamma \omega}}

   l'expression du champ électrique devient :

   \vec{\underline{E}}(x,y,z,t) = E_0\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\omega t - \frac{z}{\delta}\right)}\,\mathrm{e}^{-\frac{z}{\delta}}\,\vec{e}_x

   L'expression de la constante \delta (épaisseur de peau) est donc :

   \boxed{\delta = \sqrt{\frac{2}{\mu_0 \gamma \omega}} = \sqrt{\frac{1}{\pi \mu_0 \gamma f}}}

   Application numérique : Pour une fréquence f = 100\text{ kHz} = 10^5\text{ Hz}, soit \omega = 2\pi f = 2\pi \cdot 10^5\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}, avec \mu_0 \approx 10^{-6}\text{ H}\cdot\text{m}^{-1} et \gamma = 4\ \Omega^{-1}\cdot\text{m}^{-1} :

   \begin{aligned} \mu_0 \gamma \omega &\approx 10^{-6} \times 4 \times (2\pi \cdot 10^5) = 0{,}8\pi \approx 2{,}5\text{ m}^{-2} \\ \delta &= \sqrt{\frac{2}{2{,}5}} = \sqrt{0{,}80} \approx 0{,}89\text{ m} \end{aligned}

   Soit, avec un à deux chiffres significatifs :

   \boxed{\delta \approx 0{,}9\text{ m}}

   Résultat

   $$\delta =\sqrt{\frac{2}{{\mu }_0\gamma \omega }}=\sqrt{\frac{1}{\pi {\mu }_0\gamma f}}$$

   $$\delta \approx 0,9\text{ m}$$

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9. Exercice 9Banque PT Physique A PT 2020, Q7

   Dans le conducteur (x > 0), on recherche le champ électrique sous la forme d'une onde plane progressive harmonique (OPPH) de pulsation \omega, polarisée rectilignement selon \vec{u}_z et se propageant suivant l'axe (Ox) :

   \underline{\vec{E}}(x,t) = \underline{E}_z(x,t)\,\vec{u}_z = \underline{E}_{0t}\,\mathrm{e}^{j(\omega t - \underline{k}x)}\,\vec{u}_z

   où \underline{k} désigne la composante complexe du vecteur d'onde selon \vec{u}_x.

   D'après la question précédente (Q6), le champ électrique vérifie l'équation de diffusion :

   \frac{\partial^2 \underline{\vec{E}}}{\partial x^2} - \mu_0\gamma\frac{\partial\underline{\vec{E}}}{\partial t} = \vec{0}

   En dérivant l'expression de \underline{\vec{E}}(x,t), on obtient :

   \begin{aligned} \frac{\partial^2 \underline{\vec{E}}}{\partial x^2} &= (-j\underline{k})^2 \underline{\vec{E}} = -\underline{k}^2 \underline{\vec{E}} \\ \frac{\partial \underline{\vec{E}}}{\partial t} &= j\omega \underline{\vec{E}} \end{aligned}

   En réinjectant dans l'équation de propagation, il vient :

   \left(-\underline{k}^2 - j\mu_0\gamma\omega\right)\underline{\vec{E}} = \vec{0}

   Comme le champ électrique n'est pas identiquement nul, on en déduit l'équation de dispersion complexe :

   \underline{k}^2 = -j\mu_0\gamma\omega

   En introduisant la grandeur \delta = \sqrt{\dfrac{2}{\mu_0\gamma\omega}}, on a \mu_0\gamma\omega = \dfrac{2}{\delta^2}, d'où :

   \underline{k}^2 = -\frac{2j}{\delta^2} = \frac{(1-j)^2}{\delta^2}

   L'onde se propageant dans le sens des x>0, son amplitude doit décroître lorsque x \to +\infty (onde évanescente sans amplification à l'infini). Avec la convention de phase \mathrm{e}^{j(\omega t - \underline{k}x)} = \mathrm{e}^{j(\omega t - \mathrm{Re}(\underline{k})x)}\,\mathrm{e}^{\mathrm{Im}(\underline{k})x}, il est nécessaire que \mathrm{Im}(\underline{k}) < 0. On retient donc la racine :

   \boxed{\underline{k} = \frac{1-j}{\delta}}

   Résultat

   $$\underline{k}=\frac{1-j}{\delta }$$

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10. Exercice 10Banque PT Modelisation PT 2026, Q20

    D'après l'expression du champ électrique obtenue à la question Q19 :

    \underline{\vec{E}}(x,y,z,t) = E_0 \,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\omega t - \frac{z}{\delta}\right)}\,\mathrm{e}^{-\frac{z}{\delta}}\,\vec{e}_x

    l'amplitude du champ électrique à la profondeur z vaut E(z) = E_0 \,\mathrm{e}^{-z/\delta}.

    Le facteur d'atténuation de l'amplitude à la profondeur L est le rapport :

    \boxed{\frac{E(L)}{E(0)} = \mathrm{e}^{-\frac{L}{\delta}}}

    Pour f = 100\text{ kHz}, la question Q19 donne \delta \approx 0{,}9\text{ m}. Avec L = 1\text{ km} = 10^3\text{ m} :

    \frac{L}{\delta} \approx \frac{1000}{0{,}9} \approx 1{,}1 \cdot 10^3

    Le facteur d'atténuation vaut donc :

    \frac{E(L)}{E(0)} \approx \mathrm{e}^{-1100} \approx 10^{-480} \lll 1

    Conclusion : L'onde électromagnétique subit une atténuation titanesque et se trouve totalement absorbée au bout de quelques mètres seulement. Il est donc rigoureusement impossible d'utiliser ces ondes radio pour communiquer avec un engin sous-marin situé à une profondeur de l'ordre du kilomètre.

    Résultat

    $$\frac{E(L)}{E(0)}={\mathrm{e}}^{-\frac{L}{\delta }}$$

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