Corrigé détaillé Banque PT Physique A PT 2020

Soit \varepsilon_0 la permittivité diélectrique du vide. On note :

• \vec{r}_{12} = \vec{P_1P_2} le vecteur joignant le point P_1 au point P_2,
• r_{12} = \|\vec{P_1P_2}\| la distance séparant les deux charges ponctuelles,
• \vec{u}_{1\to 2} = \dfrac{\vec{P_1P_2}}{r_{12}} le vecteur unitaire dirigé de P_1 vers P_2.

D'après la loi de Coulomb, la force électrostatique exercée par la charge ponctuelle q_1 située en P_1 sur la charge ponctuelle q_2 située en P_2 s'écrit :

Le théorème de Gauss en électrostatique s'énonce ainsi :

Le flux du champ électrostatique \vec{E} à travers une surface fermée \Sigma orientée vers l'extérieur est égal à la charge électrique totale algébrique Q_{\text{int}} contenue à l'intérieur du volume délimité par \Sigma, divisée par la permittivité diélectrique du vide \varepsilon_0 :

où :

• \Sigma est une surface fermée fictive (surface de Gauss) ;
• \mathrm{d}\vec{S}_{\text{ext}} = \vec{n}_{\text{ext}}\,\mathrm{d}S est le vecteur surface élémentaire orienté vers l'extérieur de la surface fermée ;
• Q_{\text{int}} = \iiint_{\mathcal{V}} \rho\,\mathrm{d}\tau est la charge intérieure au volume \mathcal{V} délimité par \Sigma.

Sous forme locale, il correspond à l'équation de Maxwell-Gauss :

D'après la loi de la gravitation universelle de Newton, la force gravitationnelle exercée par la masse ponctuelle m_1 située en P_1 sur la masse ponctuelle m_2 située en P_2 est une force d'interaction attractive, dirigée le long de la droite joignant les deux points.

En conservant les notations de la question précédente, en posant r_{12} = P_1 P_2 et en introduisant le vecteur unitaire \vec{u}_{1\to 2} = \frac{\overrightarrow{P_1 P_2}}{P_1 P_2} dirigé de P_1 vers P_2, elle s'écrit :

où G est la constante de gravitation universelle.

Le champ électrostatique créé en un point P_2 par une charge ponctuelle q_1 située en P_1 s'écrit :

De façon analogue, le champ gravitationnel créé en P_2 par une masse ponctuelle m_1 située en P_1 s'écrit (d'après l'expression de la force de gravitation de la question Q3 avec \vec{F}_{1\to 2} = m_2 \vec{g}(P_2)) :

Par identification directe des deux expressions, on établit la correspondance suivante :

En appliquant cette correspondance au théorème de Gauss électrostatique (question Q2), on en déduit le théorème de Gauss gravitationnel :

Le flux sortant du champ gravitationnel \vec{g}(M) à travers une surface fermée \Sigma orientée vers l'extérieur est proportionnel à la masse totale M_{\text{int}} contenue à l'intérieur du volume délimité par \Sigma :

Sous forme locale, cette loi se traduit par l'équation de Maxwell-Gauss gravitationnelle :

où \rho désigne la masse volumique locale.

On repère le point M en coordonnées sphériques (r,\theta,\varphi) d'origine O, centre de l'astre : \vec{OM} = r\,\vec{u}_r, avec r = OM > R.

1. Symétries et invariances :

• Invariances : La distribution de masse est à symétrie sphérique, invariante par toute rotation autour de O. Le champ gravitationnel ne dépend donc pas des coordonnées angulaires \theta et \varphi : \vec{g}(M) = \vec{g}(r).

• Symétries : Tout plan contenant l'axe (OM) est un plan de symétrie de la distribution de masse. Le champ gravitationnel étant un vrai vecteur, \vec{g}(M) doit appartenir à tous ces plans de symétrie : il est donc radial, porté par leur intersection, la droite (OM) :

  \vec{g}(M) = g(r)\,\vec{u}_r

2. Choix de la surface de Gauss et calcul du flux : On choisit pour surface de Gauss \Sigma la sphère de centre O et de rayon r > R, orientée vers l'extérieur : \mathrm{d}\vec{S}_{\text{ext}} = \mathrm{d}S\,\vec{u}_r. Le flux gravitationnel sortant à travers \Sigma vaut :

3. Application du théorème de Gauss gravitationnel : D'après le théorème de Gauss gravitationnel (question Q4) :

Comme r > R, la surface de Gauss englobe la totalité de l'astre : M_{\text{int}} = m. On en déduit :

Le champ gravitationnel s'écrit donc :

Comme r = OM, on obtient bien :

Commentaires :

• Le signe négatif traduit le caractère attractif de l'interaction gravitationnelle : le champ est dirigé vers le centre attracteur O.
• En tout point extérieur (r > R), le champ créé par une sphère de masse m est rigoureusement identique à celui qu'engendrerait une masse ponctuelle de même valeur m concentrée en son centre O (théorème de Newton).

Soit un point M intérieur à l'astre, situé à une distance r = OM < R du centre O.

Les symétries et invariances de la distribution sphérique sont identiques à celles analysées à la question Q5 :

On choisit comme surface de Gauss \Sigma la sphère de centre O et de rayon r (r < R). Le flux sortant du champ gravitationnel à travers \Sigma s'écrit :

La masse m étant uniformément répartie dans la sphère de volume V = \frac{4}{3}\pi R^3, la masse volumique de l'astre est :

La masse M_{\text{int}} contenue à l'intérieur de la surface de Gauss \Sigma est donc :

D'après le théorème de Gauss gravitationnel établi à la question Q4 :

Sous forme vectorielle, en utilisant \vec{OM} = r\,\vec{u}_r, on obtient :

D'après les résultats établis aux questions Q5 et Q6, la norme du champ gravitationnel s'écrit :

On relève les caractéristiques suivantes :

• Pour 0 \le r \le R, \|\vec{g}(M)\| varie de façon linéaire avec r, partant de zéro au centre (r = 0) ;

• À la surface de l'astre (r = R), \|\vec{g}(M)\| est continu et atteint sa valeur maximale :

  g_{\max} = \|\vec{g}(R)\| = \frac{Gm}{R^2}
• Pour r \ge R, \|\vec{g}(M)\| décroît en 1/r^2 et tend vers 0 lorsque r \to +\infty ;
• La dérivée par rapport à r présente une discontinuité en r = R (pente à gauche égale à +Gm/R^3, pente à droite égale à -2Gm/R^3), traduisant la discontinuité de la masse volumique à la surface.

Par définition du centre de masse C du système constitué des deux corps C_1 et C_2 de même masse m, on a :

En simplifiant par la masse m \neq 0, il vient :

D'après la relation de Chasles, le vecteur position relative \vec{r} = \vec{C_1 C_2} s'écrit :

En substituant \vec{R_2} = -\vec{R_1} dans cette relation :

On en déduit immédiatement :

On étudie le point matériel C_1 de masse m dans le référentiel galiléen d'origine C.

Le système \{C_1 + C_2\} étant isolé, la seule force appliquée à C_1 est l'action gravitationnelle exercée par C_2 :

D'après la question Q8, on a \vec{r} = -2\vec{R_1} avec \vec{R_1} = \vec{CC_1}, donc :

La force subie par C_1 est donc une force centrale de centre C.

Appliquons le théorème du moment cinétique à C_1 au point fixe C dans ce référentiel :

Comme \vec{F}_{2\to 1} est colinéaire à \vec{R_1}, le moment en C de la force est nul :

Deux situations se présentent :

• Si \vec{L}_C(C_1) = \vec{0}, alors \vec{R_1} et \vec{v}_1 sont colinéaires à chaque instant : le mouvement est rectiligne, ce qui constitue un cas particulier de mouvement plan.

• Si \vec{L}_C(C_1) \neq \vec{0}, le produit scalaire donne en permanence :

  \vec{R_1}(t) \cdot \vec{L}_C(C_1) = \left(\vec{R_1} \wedge m\vec{v}_1\right) \cdot \vec{R_1} = 0

  Le vecteur position \vec{R_1}(t) est orthogonal au vecteur constant non nul \vec{L}_C(C_1).

Le mouvement de C_1 est donc plan.

D'après la question Q8, le vecteur position de C_1 par rapport à C s'écrit :

Puisque la distance r = \|\vec{r}\| est supposée constante, la distance R_1 = CC_1 l'est également :

Le mouvement de C_1 étant plan (d'après la question Q9), repérons la position de C_1 en coordonnées polaires (R_1, \theta) de pôle C dans ce plan, avec la base (\vec{u}_{R_1}, \vec{u}_\theta, \vec{u}_z) telle que \vec{R}_1 = R_1 \vec{u}_{R_1}. Le vecteur vitesse s'exprime par :

Comme R_1 = \text{cte}, on a \dot{R}_1 = 0, d'où :

D'après la question Q9, la force subie par C_1 est une force centrale de centre C, donc le moment cinétique de C_1 en C est conservé au cours du temps :

La masse m et le rayon R_1 étant constants, la vitesse angulaire \dot{\theta} est constante.

La norme de la vitesse vaut alors :

D'après les questions précédentes :

• le mouvement de C_1 est plan (question Q9) ;
• la distance de C_1 au centre d'inertie C est constante : R_1 = \|\vec{R}_1\| = \dfrac{r}{2} = \text{cte} (question Q8) ; la trajectoire de C_1 dans le référentiel galiléen de centre C est donc un cercle de centre C et de rayon R_1 = \dfrac{r}{2} ;
• la norme de la vitesse de C_1 est constante : v_1 = \text{cte} (question Q10).

Le mouvement de C_1 est donc un mouvement circulaire uniforme de centre C et de rayon :

D'après la question Q8, \vec{R}_2(t) = -\vec{R}_1(t). En dérivant par rapport au temps dans le référentiel galiléen lié à C :

Les corps C_1 et C_2 sont donc en permanence diamétralement opposés sur le même cercle de centre C et de rayon r/2, avec des vecteurs vitesse opposés, orthogonaux à la droite (C_1 C_2) et de même norme.

On étudie le corps C_1 de masse m dans le référentiel galiléen lié au centre de masse C.

Le corps C_1 est soumis à la force gravitationnelle exercée par C_2, située à une distance r :

Cette force est centrale, dirigée vers le centre C de la trajectoire.

D'après les questions précédentes, le mouvement de C_1 est circulaire uniforme de rayon R_1 = \frac{r}{2}. Son accélération est donc purement centripète et s'écrit, en introduisant la pulsation \omega = 2\pi f :

La deuxième loi de Newton appliquée à C_1 s'écrit :

En projetant selon le vecteur unitaire centripète -\vec{u}_r, on obtient :

Comme la fréquence f est une grandeur positive, on en déduit :

La force gravitationnelle exercée par le corps C_1 sur le corps C_2 s'écrit, d'après le résultat de la question Q3 avec m_1 = m_2 = m et \vec{r} = \overrightarrow{C_1C_2} = r \vec{u}_r :

Cette force dérive d'une énergie potentielle E_{\text{pot}} définie par :

On en déduit par intégration :

La condition de référence choisie impose \lim_{r\to+\infty} E_{\text{pot}}(r) = 0, d'où \text{cte} = 0.

L'énergie potentielle gravitationnelle s'écrit ainsi :

Le corps C_1 décrit un cercle de centre C et de rayon R_1 = \frac{r}{2} d'après la question 8, à la vitesse constante :

L'énergie cinétique de C_1 dans le référentiel barycentrique s'écrit donc :

En utilisant l'expression de la fréquence orbitale établie à la question 12, f^2 = \frac{Gm}{2\pi^2 r^3}, il vient :

D'après l'énoncé, l'énergie mécanique totale E_m du système \{C_1 + C_2\} s'obtient par la somme des énergies cinétiques des deux corps et de l'énergie potentielle d'interaction :

Par symétrie du mouvement dans le référentiel galiléen du centre de masse (question 11), on a \vec{v}_2 = -\vec{v}_1, d'où v_2^2 = v_1^2 et :

L'énergie cinétique totale vaut donc :

En utilisant l'expression de l'énergie potentielle gravitationnelle établie à la question 13, E_{\text{pot}} = -\dfrac{Gm^2}{r}, il vient :

d'où :

Conservation de l'énergie mécanique :

• Le système \{C_1 + C_2\} est isolé, il n'est soumis à aucune action mécanique extérieure.
• La seule force en jeu est la force gravitationnelle mutuelle entre C_1 et C_2, qui est une force intérieure conservative dérivant de l'énergie potentielle E_{\text{pot}}.
• Le travail des forces non conservatives est donc nul à chaque instant (\mathcal{P}_{\text{nc}} = 0).

D'après le théorème de l'énergie mécanique appliqué au système dans le référentiel galiléen lié à C :

L'énergie mécanique E_m est donc une constante du mouvement.

D'après la question Q12, la fréquence orbitale f s'écrit :

On en déduit l'expression de la distance r en fonction de f :

D'après la question Q15, l'énergie mécanique totale du système vaut :

En remplaçant \frac{1}{r} par son expression en fonction de f, il vient :

On identifie directement la relation demandée :

Vérification de l'homogénéité : Une énergie a la dimension du travail d'une force, soit :

La loi de la gravitation universelle F = G\frac{m^2}{r^2} permet d'obtenir la dimension de la constante de gravitation G :

Déterminons la dimension du coefficient \alpha :

La fréquence f est l'inverse d'un temps, donc [f] = \mathrm{T}^{-1} et [f^{2/3}] = \mathrm{T}^{-2/3}.

On en déduit la dimension du terme \alpha f^{2/3} :

L'expression est donc rigoureusement homogène.

Le système \{C_1 + C_2\} émet des ondes gravitationnelles avec une puissance P(t) > 0. D'après le théorème de l'énergie mécanique appliqué au système isolé de toute autre interaction extérieure, la dérivée temporelle de son énergie mécanique s'écrit :

L'énergie mécanique totale E_m(t) du système diminue donc continûment au cours du temps (elle prend des valeurs de plus en plus négatives).

D'après le résultat de la question Q15, l'énergie mécanique s'exprime en fonction de la distance r(t) entre les deux corps sous la forme :

Comme E_m(t) diminue, la valeur absolue |E_m(t)| = \frac{Gm^2}{2r(t)} augmente, ce qui implique que :

Les deux corps se rapprochent continûment l'un de l'autre en décrivant une trajectoire quasi circulaire en spirale (coalescence).

D'après la question Q12, la fréquence orbitale f(t) est reliée à la séparation r(t) par la troisième loi de Kepler :

Puisque la distance r(t) diminue :

Le mouvement orbital s'accélère à mesure que les corps se rapprochent.

Le système \{C_1 + C_2\} perd de l'énergie mécanique par émission d'ondes gravitationnelles avec une puissance P(t), d'où le bilan énergétique :

D'après le résultat de la question Q16, l'énergie mécanique s'écrit en fonction de la fréquence f :

En dérivant cette expression par rapport au temps, on obtient :

Par ailleurs, d'après la relation établie à la question Q12 :

La distance r(t) s'exprime donc en puissance de f sous la forme r \propto f^{-2/3}.

En injectant cette relation dans l'expression de la puissance rayonnée fournie par l'énoncé, on obtient :

En égalant les deux expressions de \dfrac{\mathrm{d}E_m}{\mathrm{d}t} :

On en déduit :

L'équation différentielle vérifiée par la fréquence s'écrit donc bien sous la forme :

avec :

D'après la question Q18, la fréquence orbitale f(t) vérifie l'équation différentielle :

En séparant les variables, il vient :

On intègre cette relation entre la date initiale t=0, où f(0)=f_0, et une date ultérieure t :

On isole [f(t)]^{-8/3} :

En élevant les deux membres à la puissance -3/8, on obtient :

où le temps caractéristique \tau est défini par :

D'après la loi d'évolution établie à la question Q19 :

Lorsque t tend vers la date \tau par valeurs inférieures :

D'après la relation issue de la question Q12, la distance relative r(t) entre les deux corps vérifie r(t) \propto f(t)^{-2/3}, de sorte que :

La grandeur \tau s'interprète donc comme la durée restant avant la coalescence (ou fusion) des deux corps, à compter de l'instant initial t=0 :

• Signification de la configuration en « lame d'air » :
  L'interféromètre de Michelson est réglé de telle sorte que les miroirs plans M_x et M_y soient rigoureusement perpendiculaires entre eux. L'image de M_y à travers la lame séparatrice semi-réfléchissante, notée M'_y, est alors un plan strictement parallèle au miroir M_x. L'ensemble \{M_x, M'_y\} est optiquement équivalent à une lame d'air à faces planes et parallèles d'épaisseur :

  e = |L_x - L_y|
• Lieu d'observation des franges avec une source étendue :
  Dans une lame à faces parallèles, la différence de marche \delta = 2e\cos i ne dépend que de l'angle d'incidence i des rayons lumineux. Pour une source spatialement étendue, des rayons issus de points sources distincts mais se propageant dans la même direction (même incidence i) émergent parallèles entre eux et présentent la même différence de marche. Les interférences sont donc localisées à l'infini (franges d'égale inclinaison ou anneaux de Haidinger). On les observe dans le plan focal image d'une lentille convergente (ou à l'infini à l'œil nu sans accommoder).
• Effet d'un déplacement de l'écran :
  Si l'écran d'observation est placé à distance finie hors du plan focal image d'une lentille, les rayons qui interfèrent en un même point de l'écran proviennent d'incidences i différentes issues de différents points de la source étendue. Les figures d'interférence produites par chacun des points sources indépendants se décalent les unes par rapport aux autres : il y a brouillage spatial et le contraste s'annule rapidement, l'écran présentant alors un éclairement quasi uniforme.

Dans un interféromètre réel, la séparatrice possède une épaisseur non nulle e et est constituée d'un matériau d'indice n(\lambda) dispersif. La couche semi-réfléchissante n'est déposée que sur l'une de ses faces (généralement la face d'entrée).

En suivant les trajets des deux ondes :

• le rayon réfléchi par le traitement semi-réfléchissant se dirige vers le miroir M_y, s'y réfléchit, puis traverse une seule fois le substrat de verre de la séparatrice pour émerger vers la voie de sortie ;
• le rayon transmis traverse le substrat pour aller vers le miroir M_x, s'y réfléchit, puis retraverse le substrat avant d'être réfléchi par le traitement vers la sortie : il effectue au total trois traversées du substrat.

Sans compensation, il existe une différence de marche additionnelle liée à deux traversées du verre, de la forme \Delta L_{\text{verre}} = 2(n-1)e/\cos r', où r' est l'angle de réfraction dans le verre. Cette dissymétrie présente deux défauts majeurs :

• La dispersion chromatique : l'indice n dépend de la longueur d'onde \lambda (loi de Cauchy). En lumière polychromatique (ou blanche), la différence de marche dépend de \lambda, ce qui empêche d'obtenir une frange centrale achromatique (\delta = 0 pour toutes les longueurs d'onde) et réduit considérablement le contraste des franges.
• La dépendance angulaire : pour une source étendue, la compensation angulaire n'est plus rigoureusement vérifiée à tous les ordres d'incidence.

Pour y remédier, on introduit une lame compensatrice, taillée dans le même verre, rigoureusement de même épaisseur e que la séparatrice, mais sans traitement réfléchissant. On la dispose :

• dans le bras vers le miroir M_y (le bras qui ne subissait qu'une seule traversée) ;
• parallèlement à la séparatrice, de sorte que l'onde réfléchie traverse deux fois la compensatrice (un aller et un retour).

Les deux faisceaux effectuent alors exactement le même trajet dans le verre (deux traversées chacun), ce qui rétablit la stricte symétrie des deux bras.

1. Schéma et marche des rayons

L'interféromètre de Michelson réglé en lame d'air est optiquement équivalent à deux miroirs plans parallèles M_1 et M_2' séparés par une couche d'air d'épaisseur e = |L_x - L_y|. Deux rayons parallèles issus d'une même onde plane incidente inclinée d'un angle i par rapport à la normale aux miroirs émergent parallèlement avec le même angle i et sont focalisés par la lentille convergente (L) de distance focale image f' en un même point M du plan focal image (l'écran).

2. Expression de la différence de marche \delta

Considérons une onde incidente plane inclinée de l'angle i. L'onde se réfléchit partiellement en I_1 sur M_1 (rayon 1) et traverse pour se réfléchir en I_2 sur M_2' avant d'émerger en J parallèlement au rayon 1 (rayon 2).

Soit K le projeté orthogonal de I_1 sur le rayon incident passant par J (surface d'onde incidente) et H le projeté orthogonal de I_1 sur le segment [I_2 J] (surface d'onde réfléchie). Le milieu étant l'air d'indice n \approx 1, la différence de marche géométrique entre les deux rayons vaut :

D'après le principe du retour inverse ou la construction géométrique standard projetant I_1 en H perpendiculairement à (I_2 J), la différence de marche s'écrit directement :

Or dans le triangle rectangle formé par I_2, sa projection sur la normale issue de I_1 et l'épaisseur e, on a I_2 J = \frac{e}{\cos i}. De plus, la distance I_1 J = 2e \tan i, d'où H J = I_1 J \sin i = 2e \tan i \sin i. Il vient :

3. Justification de la forme des franges

Dans le plan focal image de la lentille de distance focale f', un point M est repéré par ses coordonnées polaires (r, \theta) par rapport au foyer image principal F' (axe optique). La relation angulaire s'écrit \tan i = \frac{r}{f'}. Pour les petits angles d'incidence, on a simplement i \approx \frac{r}{f'}.

La différence de marche \delta ne dépend que de l'angle d'incidence i, c'est-à-dire uniquement de la distance radiale r = OM :

Le système présente une invariance par rotation autour de l'axe optique. Les lignes d'égale différence de marche (\delta = \text{cte}) correspondent donc à i = \text{cte}, soit r = \text{cte} : ce sont des anneaux concentriques centrés sur le foyer principal F', appelés anneaux d'égale inclinaison (ou franges de Haidinger).

D'après la question précédente Q3, la différence de marche entre les deux rayons émergeant avec une incidence i s'écrit :

L'ordre d'interférence associé à cette différence de marche est :

où l'ordre au centre (i=0) vaut :

Effectuons l'application numérique de p_0 :

1. Cas usuel où les anneaux brillants vérifient \delta = p\lambda :
Puisque p_0 = 10\,000 est un entier, le centre (i=0) correspond à un maximum d'intensité (centre brillant). L'ordre d'interférence décroissant à partir du centre lorsque i augmente, le premier anneau brillant non confondu avec le centre correspond à l'ordre immédiatement inférieur :

On en déduit l'angle d'incidence i_1 associé :

Le rayon R_1 de cet anneau dans le plan focal image de la lentille vaut :

Numériquement :

2. Prise en compte du déphasage supplémentaire de \pi introduit par la séparatrice :
Si l'on tient compte de la remarque liminaire (déphasage relatif intrinsèque de \pi entre les deux voies), le déphasage total est \Delta\phi = \frac{2\pi\delta}{\lambda} \pm \pi. Les anneaux brillants correspondent alors aux ordres demi-entiers p = k - \frac{1}{2}.

Le centre étant alors sombre, le premier anneau brillant correspond à p_1 = p_0 - \frac{1}{2}, soit p_0 - p_1 = \frac{1}{2}, d'où :

Conformément à la consigne de l'énoncé précisant que les calculs se feront avec un seul chiffre significatif, les deux approches conduisent au même résultat :

L'onde incidente, d'éclairement E_0, arrive sur la lame séparatrice (S_p) sous une incidence de 45^\circ. Les miroirs M_x et M_y sont supposés parfaits, soit un facteur de réflexion énergétique R_M = 1. La séparatrice réfléchit une fraction R = 0{,}5 et transmet une fraction T = 0{,}5 de l'éclairement incident.

Considérons les deux situations possibles selon le miroir occulté :

• Si le miroir M_y est occulté : seul le faisceau parcourant le bras selon Ox parvient à la sortie. Le faisceau incident est d'abord transmis par (S_p) vers M_x (facteur T), se réfléchit totalement sur M_x (R_M = 1), puis est réfléchi par (S_p) vers la sortie dans la direction -\vec{u_y} (facteur R). L'éclairement en sortie vaut donc :

  E_{s,x} = T \times R_M \times R \times E_0 = 0{,}5 \times 1 \times 0{,}5 \times E_0 = \frac{E_0}{4}

• Si le miroir M_x est occulté : seul le faisceau parcourant le bras selon Oy parvient à la sortie. Le faisceau incident est d'abord réfléchi par (S_p) vers M_y (facteur R), se réfléchit totalement sur M_y (R_M = 1), puis est transmis par (S_p) vers la sortie dans la direction -\vec{u_y} (facteur T). L'éclairement en sortie vaut donc :

  E_{s,y} = R \times R_M \times T \times E_0 = 0{,}5 \times 1 \times 0{,}5 \times E_0 = \frac{E_0}{4}

Dans les deux cas, l'éclairement obtenu en sortie de l'interféromètre est identique :

Considérons une onde incidente plane monochromatique de longueur d'onde dans le vide \lambda.

1. Chemins optiques et déphasages de propagation :

• Dans le bras selon Ox, l'onde traverse la séparatrice, effectue l'aller-retour entre O et A (distance 2L_x) dans un milieu d'indice n_x, puis se réfléchit sur la séparatrice vers la sortie - \vec{u}_y. Le chemin optique associé à ce trajet est :

  \delta_x = 2 n_x L_x

  Le déphasage accumulé lors de la propagation s'écrit donc :

  \varphi_x = \frac{2\pi}{\lambda} \delta_x = \frac{4\pi}{\lambda} n_x L_x

• Dans le bras selon Oy, l'onde est réfléchie par la séparatrice, effectue l'aller-retour entre O et B (distance 2L_y) dans un milieu d'indice n_y, puis traverse la séparatrice vers la sortie - \vec{u}_y. Le chemin optique associé est :

  \delta_y = 2 n_y L_y

  Le déphasage accumulé lors de la propagation s'écrit donc :

  \varphi_y = \frac{2\pi}{\lambda} \delta_y = \frac{4\pi}{\lambda} n_y L_y

La différence de phase de propagation entre les deux trajets s'exprime ainsi :

2. Prise en compte des déphasages aux réflexions :

• Les miroirs M_x et M_y sont identiques et introduisent chacun un déphasage de \pi à la réflexion ; leur contribution relative est donc nulle (\pi - \pi = 0).
• Selon le préambule, la séparatrice d'épaisseur nulle est dissymétrique : l'une des réflexions (face avant ou arrière) introduit un déphasage de \pi et l'autre un déphasage nul. L'une des deux ondes subit la réflexion sur la face avant (onde y) tandis que l'autre se réfléchit sur la face arrière (onde x). Les réflexions introduisent donc un saut de phase relatif intrinsèque de \pi.

Comme l'indique la formule cible de la question 10, l'énoncé désigne par \varphi le déphasage lié au trajet optique, le terme additionnel \pi intervenant dans le signe relatif des amplitudes complexes à la question 7.

Soit \underline{S}_{\text{inc}} = S_0 l'amplitude complexe de l'onde incidente en O (prise comme origine des phases).

1. Onde issue du bras x :

• traverse la séparatrice (S_p) en O avec un coefficient de transmission t = 1/\sqrt{2} ;
• se propage dans le bras x sur un aller-retour (facteur de phase \mathrm{e}^{-j\varphi_x}) ;
• subit une réflexion sur le miroir parfait M_x (facteur \mathrm{e}^{j\pi} = -1) ;
• se réfléchit sur la face arrière de (S_p) pour émerger selon -\vec{u}_y avec un coefficient de réflexion r_x.

2. Onde issue du bras y :

• se réfléchit sur la face avant de (S_p) en O avec un coefficient de réflexion r_y ;
• se propage dans le bras y sur un aller-retour (facteur de phase \mathrm{e}^{-j\varphi_y}) ;
• subit une réflexion sur le miroir parfait M_y (facteur \mathrm{e}^{j\pi} = -1) ;
• traverse la séparatrice (S_p) en O avec un coefficient de transmission t = 1/\sqrt{2}.

D'après l'énoncé, |r_x| = |r_y| = 1/\sqrt{2}, et l'une des réflexions sur la séparatrice s'accompagne d'un déphasage de \pi tandis que l'autre se fait sans déphasage, soit r_y / r_x = -1 = \mathrm{e}^{j\pi}. Les deux réflexions sur les miroirs M_x et M_y introduisent le même déphasage \pi et n'introduisent donc aucune phase relative supplémentaire.

À une phase globale près, les amplitudes complexes des deux ondes s'écrivent :

3. Éclairement en sortie :

L'amplitude complexe totale résultant de la superposition dans la direction -\vec{u}_y vaut :

L'éclairement détecté est donné par E_y = \underline{S}\,\underline{S}^* :

L'onde gravitationnelle se propage le long de l'axe Oz à la célérité c avec une fréquence f_0 \approx 1\text{ kHz}. Sa longueur d'onde spatiale est :

Avec c = 3{,}0\times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} et f_0 \approx 10^3\text{ Hz} :

La variation de la phase spatiale sur la hauteur maximale des miroirs D = 1\text{ m} s'écrit :

Numériquement, avec un chiffre significatif :

De manière équivalente, le temps mis par l'onde pour traverser la dimension verticale d'un miroir, \Delta t = D/c \approx 3\times 10^{-9}\text{ s}, est infiniment plus court que sa période temporelle T_0 = 1/f_0 = 10^{-3}\text{ s}.

Comme D \ll \Lambda_g, la perturbation \tau(z,t) peut être considérée comme uniforme selon z sur l'ensemble de la surface des miroirs :

Trois échelles temporelles caractéristiques interviennent dans cette mesure :

• La période de l'onde lumineuse (fréquence optique \nu = c/\lambda) :

  T_{\text{opt}} = \frac{\lambda}{c} = \frac{600 \times 10^{-9}}{3{,}0 \times 10^8} = 2 \times 10^{-15}\text{ s}.

• Le temps d'intégration (ou temps de réponse) du photodétecteur :

  T = 10^{-4}\text{ s}.

• La période de l'onde gravitationnelle de fréquence f_0 \approx 1\text{ kHz} :

  T_g = \frac{1}{f_0} = \frac{1}{10^3} = 10^{-3}\text{ s}.

On constate que ces grandeurs vérifient la hiérarchie :

1. D'une part, comme T \gg T_{\text{opt}} (10^{-4}\text{ s} \gg 2 \times 10^{-15}\text{ s}), le photodétecteur moyenne parfaitement les oscillations optiques ultra-rapides du champ électromagnétique. Il donne donc bien accès à l'éclairement moyen E_y = \underline{S}_y \underline{S}_y^* tel que défini à la question 7.
2. D'autre part, comme T \ll T_g (ou plus précisément T = T_g / 10 = 0{,}1\text{ ms}), le temps de réponse est suffisamment court pour que la phase \varphi(t), modulée par l'onde gravitationnelle, puisse être considérée comme quasi constante pendant une durée de mesure T. Le détecteur n'estompe pas le signal et peut suivre en temps réel la modulation temporelle de l'éclairement E_y(t).

D'après la question Q6, la différence de phase entre les deux ondes en sortie s'écrit :

En introduisant les indices modifiés par l'onde gravitationnelle, n_x = 1 - \tau(t) et n_y = 1 + \tau(t), on obtient :

Posons le déphasage statique en l'absence d'onde gravitationnelle :

et la perturbation temporelle :

Puisque \tau_M = 10^{-21} \ll 1, la perturbation \delta\varphi(t) est extrêmement petite devant 1. On peut donc développer la fonction cosinus au premier ordre en \tau :

D'après la question Q7, l'éclairement en sortie vaut E_y = \frac{E_0}{2}(1 - \cos\varphi). En substituant ce développement limité, on trouve :

soit finalement :

La puissance lumineuse P_y(t) reçue par le détecteur et la puissance incidente P_0 sont obtenues par intégration de l'éclairement sur la section droite du faisceau. La relation établie à la question B.10 donne donc directement pour les puissances :

La variation de puissance induite par le passage de l'onde gravitationnelle s'écrit :

Cette variation est sinusoïdale de pulsation 2\pi f_0 et d'amplitude :

Pour maximiser cette amplitude, il faut maximiser |\sin\varphi_0|, ce qui impose |\sin\varphi_0| = 1, soit :

En pratique, on retient classiquement \varphi_0 = \frac{\pi}{2} \pmod{2\pi} pour que la variation de signal soit en phase avec \tau(t).

L'amplitude maximale de la variation de puissance vaut alors :

Application numérique :

• P_0 = 10\text{ W}
• L_x \approx L_y \approx 3\text{ km} \implies L_x + L_y \approx 6 \cdot 10^3\text{ m}
• \lambda = 600\text{ nm} = 6{,}0 \cdot 10^{-7}\text{ m}
• \tau_M = 10^{-21}

En ne conservant qu'un seul chiffre significatif :

L'énergie lumineuse totale \mathcal{E} reçue par le détecteur durant le temps d'intégration T s'exprime en fonction de la puissance moyenne \langle P_y \rangle par :

L'onde lumineuse étant assimilée à un flux de photons de longueur d'onde \lambda, chaque photon transporte un quantum élémentaire d'énergie :

Le nombre moyen \langle N \rangle de photons détectés pendant cet intervalle de temps correspond au rapport de l'énergie totale reçue à l'énergie d'un photon :

D'où :

Pendant la durée d'intégration T, l'énergie lumineuse totale collectée par le détecteur s'écrit :

La puissance correspondante mesurée sur cette durée est donc :

Une fluctuation \Delta N = \sqrt{\langle N \rangle} du nombre de photons entraîne une fluctuation de puissance :

En utilisant l'expression du nombre moyen de photons établie à la question Q12, \langle N \rangle = \dfrac{\langle P_y \rangle \lambda T}{hc}, on obtient :

D'après la question Q10, pour un déphasage statique \varphi_0 = \frac{\pi}{2}, on a \cos\varphi_0 = 0 et \sin\varphi_0 = 1. L'éclairement s'écrit alors :

La puissance lumineuse étant proportionnelle à l'éclairement, la puissance moyenne en l'absence d'onde est :

La variation maximale de puissance due à l'onde gravitationnelle d'amplitude \tau_M (le signal) vaut donc :

En identifiant la variation relative par rapport à la puissance moyenne collectée \langle P_y \rangle selon la formulation de l'énoncé :

La condition sur le rapport signal sur bruit s'écrit :

En remplaçant \Delta P_y par l'expression établie à la question Q13 :

La plus petite valeur de \tau_M mesurable (seuil de détection) correspond à l'égalité :

On en déduit bien :

Application numérique : Avec les données de l'énoncé :

• L_x \approx L_y \approx 3\text{ km} \implies L_x + L_y \approx 6 \cdot 10^3\text{ m}
• h = 6{,}62 \cdot 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s}
• c = 3{,}0 \cdot 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}
• \lambda = 600\text{ nm} = 6{,}0 \cdot 10^{-7}\text{ m}
• T = 10^{-4}\text{ s}
• \langle P_y \rangle = \frac{P_0}{2} = 5\text{ W} (avec P_0 = 10\text{ W} d'après la question Q11)

On calcule le terme sous la racine :

D'où :

Puis :

Soit, avec un chiffre significatif :

(Si l'on prend \langle P_y \rangle \approx P_0 = 10\text{ W}, on obtient de même \tau_M \approx 3 \cdot 10^{-19} \sim 10^{-19}.)

Conclusion : L'onde gravitationnelle attendue possède une amplitude typique de \tau_M = 10^{-21}. Le seuil de détection imposé par le bruit quantique de photons (\approx 4 \cdot 10^{-19}) est plus de deux ordres de grandeur supérieur à cette amplitude. La détection d'ondes gravitationnelles est donc impossible avec cette configuration simple de l'interféromètre ; il est indispensable d'augmenter la sensibilité, notamment en repliant le trajet optique à l'aide de cavités résonantes (cavités Fabry-Pérot).

Dans le vide séparant les deux conducteurs situés en x=0 et x=L, la densité volumique de charge est nulle (\rho = 0) et la densité volumique de courant est nulle (\vec{\jmath} = \vec{0}).

Les équations de Maxwell s'écrivent donc :

Prenons le rotationnel de l'équation de Maxwell-Faraday :

En substituant \vec{\operatorname{rot}}\vec{B} par son expression issue de l'équation de Maxwell-Ampère et en utilisant l'identité vectorielle \vec{\operatorname{rot}}(\vec{\operatorname{rot}}\vec{E}) = \vec{\operatorname{grad}}(\operatorname{div}\vec{E}) - \vec{\Delta}\vec{E} :

Comme \operatorname{div}\vec{E} = 0 dans le vide, et sachant que c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}, on obtient l'équation de d'Alembert :

Dans le cas d'une onde ne dépendant que de la coordonnée spatiale x, cette équation se réduit à :

La forme proposée pour le champ électrique est :

Cette forme présente plusieurs caractéristiques physiques :

• Onde stationnaire : les variables spatiale x et temporelle t sont factorisées sous la forme d'un produit g(x) \times \cos(2\pi ft). L'onde ne dépend pas d'une combinaison de propagation du type (t \pm x/c) : il n'y a pas de transport net d'énergie selon Ox, mais une oscillation synchrone en tous points avec une amplitude locale modulée par g(x), définissant des ventres et des nœuds d'oscillation.
• Onde monochromatique (ou harmonique) : l'évolution temporelle est purement sinusoïdale de fréquence bien déterminée f.
• Onde polarisée rectilignement : la direction du champ électrique est fixe au cours du temps et parallèle à l'axe vertical \vec{u}_y.
• Onde plane transverse : le champ ne dépend spatialement que de la seule coordonnée cartésienne x, et il est orthogonal à la direction de variation spatiale (\vec{E} \cdot \vec{u}_x = 0).

À l'intérieur d'un conducteur parfait, le champ électrique est identiquement nul :

Justification :

• Par définition d'un conducteur parfait, la conductivité électrique tend vers l'infini (\gamma \to +\infty).

• D'après la loi d'Ohm locale, la densité volumique de courant s'écrit :

  \vec{j} = \gamma \vec{E}

  Pour que la densité de courant \vec{j} et la puissance volumique dissipée par effet Joule restent finies, le champ électrique doit impérativement vérifier :

  \vec{E} = \frac{\vec{j}}{\gamma} \xrightarrow[\gamma \to +\infty]{} \vec{0}

• En régime variable harmonique de pulsation \omega, cette propriété se traduit également par une épaisseur de peau nulle :

  \delta = \sqrt{\frac{2}{\mu_0 \gamma \omega}} \xrightarrow[\gamma \to +\infty]{} 0

  L'onde électromagnétique ne pénètre donc pas dans le conducteur, assurant la stricte nullité du champ électrique en son sein.

Les deux parois conductrices occupent les plans x=0 et x=L, dont le vecteur unitaire normal est \vec{u}_x. Par conséquent, tout vecteur orthogonal à \vec{u}_x, en particulier \vec{u}_y, est contenu dans le plan tangent aux interfaces.

Le champ électrique dans la cavité s'écrit \vec{E}(x,t) = g(x)\cos(2\pi f t)\,\vec{u}_y : il est donc purement tangentiel aux deux interfaces :

D'après le résultat de la question Q17, le champ électrique est strictement nul à l'intérieur des conducteurs parfaits situés en x < 0 et x > L. La continuité de la composante tangentielle du champ électrique à la traversée des interfaces impose donc :

Cette relation étant valable à tout instant t, la fonction spatiale g(x) doit vérifier :

ou, sous forme vectorielle pour le champ électromagnétique :

D'après la question Q15, le champ électrique dans le vide vérifie l'équation de propagation de d'Alembert :

Le champ recherché est unidimensionnel et polarisé selon \vec{u}_y : \vec{E}(x,t) = g(x)\cos(\omega t)\vec{u}_y, avec la pulsation \omega = 2\pi f.

Calculons les dérivées partielles nécessaires :

En reportant dans l'équation de d'Alembert, il vient :

Cette relation étant vraie à tout instant t, g(x) vérifie l'équation différentielle de l'oscillateur harmonique spatial :

La solution générale de cette équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants est :

En appliquant la condition aux limites en x = 0 obtenue à la question Q18, g(0) = 0 :

On en déduit la forme de la fonction g(x) :

où B est une constante d'amplitude réelle.

D'après la question Q19, la solution générale respectant la condition aux limites en x=0 s'écrit :

La condition aux limites en x = L établie à la question Q18 impose :

Pour obtenir un champ électromagnétique non identiquement nul dans la cavité, l'amplitude B doit être non nulle, ce qui conduit à :

Le vecteur d'onde ne peut donc prendre qu'un ensemble discret de valeurs k_p = \frac{p\pi}{L}.

Comme k = \frac{2\pi f}{c}, les fréquences permises (fréquences des modes propres de la cavité) sont quantifiées :

La longueur d'onde dans le vide associée à chaque mode propre s'en déduit par \lambda_p = \frac{c}{f_p} :

Ce qui équivaut à la condition de résonance géométrique :

Considérons deux ondes successives émergeant de la lame partiellement réfléchissante (M'_x) dans le sens de -\vec{u}_x :

• La première onde subit une transmission à travers (M'_x), un aller-retour dans la cavité entre (M'_x) et (M_x), puis une transmission à travers (M'_x).
• L'onde suivante subit un aller-retour supplémentaire dans la cavité avant d'émerger : elle parcourt une distance géométrique supplémentaire égale à 2l_x dans un milieu d'indice de réfraction n_x.

La différence de chemin optique associée à cet aller-retour supplémentaire est donc :

Le déphasage de propagation correspondant s'écrit :

Par ailleurs, l'onde qui réalise cet aller-retour supplémentaire subit deux réflexions de plus :

• une réflexion sur le miroir parfait (M_x), induisant un déphasage de \pi ;
• une réflexion sur la face interne de la lame partiellement réfléchissante (M'_x), induisant également un saut de phase (souvent modélisé par \pi pour une réflexion interne ou compensé par les propriétés diélectriques de la lame).