Corrigé détaillé Polytechnique Physique A PC 2023

L'irradiance spectrale du corps noir est donnée par la loi de Planck :

Introduisons la variable adimensionnée :

La fonction L^0(\lambda, T) se réécrit à température T fixée :

Comme \lambda décroît strictement avec x, le maximum de L^0 par rapport à \lambda s'obtient en annulant la dérivée de L^0 par rapport à \lambda :

Dérivons la fonction g(x) = \frac{x^5}{\mathrm{e}^x - 1} par rapport à x :

Pour x > 0, l'annulation de la dérivée conduit à la relation :

L'énoncé indique que la solution de cette équation transcendante vaut x \approx 5 (la valeur numérique exacte étant x_0 \approx 4{,}965). Par définition de x, à l'extremum \lambda = \lambda_{\max} :

Calculons la constante associée en prenant l'air (ou le vide) pour lequel l'indice de réfraction vaut n = 1, soit c = c_0 = 3{,}00 \cdot 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} :

• avec la valeur précise x_0 \approx 4{,}965 :

  \lambda_{\max} T = \frac{6{,}63 \cdot 10^{-34} \times 3{,}00 \cdot 10^8}{4{,}965 \times 1{,}38 \cdot 10^{-23}} \approx 2{,}899 \cdot 10^{-3}\text{ K}\cdot\text{m}

• avec l'approximation suggérée x \approx 5 :

  \lambda_{\max} T \approx \frac{6{,}63 \cdot 10^{-34} \times 3{,}00 \cdot 10^8}{5 \times 1{,}38 \cdot 10^{-23}} \approx 2{,}88 \cdot 10^{-3}\text{ K}\cdot\text{m}

On retrouve ainsi la loi du déplacement de Wien :

La puissance surfacique totale émise par le corps noir s'obtient en intégrant la loi de Planck sur toutes les longueurs d'onde du spectre :

Introduisons le changement de variable sans dimension :

Pour les bornes d'intégration :

• lorsque \lambda \to 0, x \to +\infty ;
• lorsque \lambda \to +\infty, x \to 0.

En réinjectant ces expressions dans l'intégrale :

D'après l'intégrale fournie en donnée de l'énoncé, \displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{x^3}{\mathrm{e}^x - 1} \, \mathrm{d}x = \frac{\pi^4}{15}. On en déduit :

On retrouve bien la loi de Stefan-Boltzmann :

1. Longueur d'onde maximale d'émission :

D'après la loi de Wien établie à la question Q1 :

Pour une température T = 1000\text{ K}, on obtient :

Cette longueur d'onde se situe dans le domaine infrarouge (proche/moyen IR).

2. Puissance surfacique dans le domaine visible :

La puissance surfacique totale émise sur tout le spectre est donnée par la loi de Stefan-Boltzmann (Q2) :

D'après l'énoncé, 98\,\% de l'énergie rayonnée est contenue dans l'intervalle :

Le domaine visible, s'étendant d'\approx 0{,}4\,\mu\text{m} à 0{,}75\,\mu\text{m}, est entièrement situé en dessous de \lambda_{\max}/2 = 1{,}45\,\mu\text{m}. La puissance émise aux longueurs d'onde plus courtes que \lambda_{\max}/2 représente tout au plus 1\,\% du rayonnement total.

En réalité, dans le domaine visible, la décroissance exponentielle de Wien est très forte (x = \frac{hc}{\lambda k_B T} \approx 19 à 0{,}75\,\mu\text{m}). Par lecture sur la figure 2 pour T = 1000\text{ K} :

• pour \lambda \leqslant 0{,}6\,\mu\text{m}, l'irradiance spectrale est quasi nulle (L^0 \ll 1\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\mu\text{m}^{-1}) ;
• au voisinage de \lambda = 0{,}75\,\mu\text{m}, l'irradiance spectrale atteint de l'ordre de 10\text{ à }50\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\mu\text{m}^{-1}.

En intégrant grossièrement sur la tranche visible utile \Delta \lambda \approx 0{,}15\,\mu\text{m} :

3. Discussion de la cohérence avec la figure 2 :

• Le sommet de la courbe isotherme 1000\text{ K} est bien localisé légèrement avant 3\,\mu\text{m} sur l'axe des abscisses, en parfait accord avec \lambda_{\max} \approx 2{,}9\,\mu\text{m}.
• La bande du domaine visible (zone colorée entre 0{,}4\,\mu\text{m} et 0{,}75\,\mu\text{m}) se situe sur la queue gauche de la distribution. L'irradiance y est extrêmement faible par rapport au pic (10^4\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\mu\text{m}^{-1}), et ne décolle qu'à l'extrême bord rouge. Le rayonnement est donc quasi-intégralement émis dans l'infrarouge.

D'après les questions précédentes, pour une température de T = 1000\text{ K} :

• Le maximum global d'irradiance spectrale est situé dans l'infrarouge lointain : \lambda_{\max} \approx 2{,}90\,\mu\text{m}. La couleur observée ne peut donc pas correspondre au maximum d'émission de la loi de Planck/Wien, qui est invisible à l'œil nu.

• Dans le domaine visible (\lambda \in [0{,}4\,\mu\text{m}\,;\,0{,}75\,\mu\text{m}]), la condition \lambda \ll \lambda_{\max} implique que l'on se situe sur l'aile exponentielle croissante du spectre (régime de Wien) :

  \frac{\partial L^0}{\partial \lambda} > 0 \quad \text{sur tout le domaine visible.}

Par conséquent :

• L'émission est quasi-nulle dans le violet et le bleu (\lambda \approx 400-500\text{ nm}).
• Elle commence à être notable dans le vert et le jaune (\lambda \approx 550-600\text{ nm}).
• Elle est maximale, au sein du spectre visible, pour les plus grandes longueurs d'onde, c'est-à-dire le rouge et l'orange (\lambda \approx 600-750\text{ nm}).

Le rayonnement visible émis par le corps noir à 1000\text{ K} est donc quasi exclusivement composé de rayonnements rouge, orangé et d'un peu de jaune.

D'après la définition de l'émissivité, le spectre d'émission d'un corps gris à émissivité constante \epsilon s'écrit :

Évolution de la loi de Wien La constante \epsilon > 0 étant indépendante de \lambda, la dérivée par rapport à \lambda s'écrit :

L'annulation de cette dérivée intervient pour la même longueur d'onde que pour le corps noir. Ainsi, la position du maximum d'émission \lambda_{\max} n'est pas modifiée :

La loi de déplacement de Wien reste donc inchangée. En revanche, la valeur maximale de l'irradiance spectrale est réduite d'un facteur \epsilon :

Évolution de la loi de Stefan-Boltzmann La puissance surfacique totale émise s'obtient en intégrant L(\lambda, T) sur tout le spectre :

En utilisant le résultat de la loi de Stefan-Boltzmann établi à la question 2 :

La puissance totale émise est directement proportionnelle à l'émissivité \epsilon.

Allure des spectres Pour \epsilon_{\text{acier}} = 0{,}7, la courbe du corps gris se déduit de celle du corps noir par une affinité verticale de rapport 0{,}7, en conservant rigoureusement le même extremum en \lambda_{\max} :

1. Estimation de \lambda'_{\max} et de la déviation à T = 1000\text{ K} :

La loi empirique s'écrit :

Pour T = 1000\text{ K}, avec a = 5 et b = 6\cdot 10^{-4}\text{ K}^{-1} :

Or, d'après la question 1, le maximum du corps noir vérifiait \frac{hc}{\lambda_{\max} k_B T} \approx 5, d'où :

Avec \lambda_{\max}(1000\text{ K}) \approx 2{,}90\,\mu\text{m} :

La déviation subie est un décalage vers les grandes longueurs d'onde :

2. Conséquence sur la loi de Stefan-Boltzmann :

Si l'émissivité dépend de la température, \epsilon = \epsilon(T), la puissance totale surfacique rayonnée s'écrit :

La dépendance globale en température n'est donc plus rigoureusement en T^4. Pour les métaux, l'émissivité augmente généralement avec la température, ce qui conduit à une croissance de P_{\text{ray}} plus rapide qu'en T^4.

3. Lien direct entre la loi de Wien et la couleur observée :

À 1000\text{ K}, le maximum d'émission \lambda'_{\max} \approx 3{,}3\,\mu\text{m} est situé encore plus profondément dans l'infrarouge que celui du corps noir (2{,}9\,\mu\text{m}). Il reste très éloigné du domaine visible (0{,}4\text{ µ m} \le \lambda \le 0{,}8\text{ µ m}).

Par conséquent, ces changements ne permettent absolument pas de relier directement la loi de Wien à la couleur observée : la couleur perçue (jaune-orangé) ne correspond pas au maximum d'émission du spectre, mais à la distribution spectrale perçue par l'œil dans l'étroite bande du visible.

1. Représentation graphique :

À T = 1000\text{ K}, le maximum d'irradiance spectrale se situe dans l'infrarouge à \lambda_{\max} \approx 2{,}9\,\mu\text{m} = 2900\text{ nm} (question Q3). Dans le domaine visible (380\text{ nm} \le \lambda \le 780\text{ nm}), l'irradiance spectrale L^0(\lambda, T) est une fonction strictement croissante de \lambda.

2. Interprétation de la couleur perçue :

La stimulation de chacun des types de cônes (notés B, V, R) résulte de l'intégrale du spectre émis pondéré par leur sensibilité spectrale respective s_i(\lambda) :

Dans le domaine visible, la loi de Planck à 1000\text{ K} vérifie l'approximation de Wien (\frac{hc}{\lambda k_B T} \gg 1) :

Cette fonction croît de plusieurs ordres de grandeur entre le bleu (400\text{ nm}) et le rouge (700\text{ nm}). Ainsi :

• L^0(\lambda, 1000\text{ K}) est quasi-nulle dans la bande de réponse des cônes bleus : S_B \approx 0 ;
• elle commence à croître légèrement au niveau de la bande des cônes verts : S_V est faible mais non nulle ;
• elle atteint des valeurs nettement plus élevées dans la bande des cônes rouges : S_R \gg S_V \gg S_B.

L'œil reçoit ainsi une forte stimulation des récepteurs rouges, une faible stimulation des récepteurs verts et quasiment aucune des récepteurs bleus. En synthèse additive, le mélange d'une forte composante rouge et d'une faible composante verte donne précisément une sensation de couleur rouge-orangée.

3. Température de couleur :

D'après la définition du texte, la température de couleur T_c est la température d'un corps noir dont le maximum d'irradiance spectrale se situerait dans le domaine correspondant à la couleur perçue, c'est-à-dire dans le rouge-orangé (\lambda_{\max} \approx 650 \text{ à } 700\text{ nm}).

Par la loi de Wien :

Dans un conducteur ohmique tel que l'acier, la densité volumique de courant induit \vec{J} est reliée au champ électrique local \vec{E} par la loi d'Ohm locale :

où :

• \sigma est la conductivité électrique du matériau ;
• son unité dans le Système International est le siemens par mètre (\text{S}\cdot\text{m}^{-1}), équivalent à l'\Omega^{-1}\cdot\text{m}^{-1} (ou \text{A}\cdot\text{V}^{-1}\cdot\text{m}^{-1}, soit en unités de base \text{A}^{2}\cdot\text{s}^{3}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{m}^{-3}).

1. Invariances : La plaque d'acier occupe le demi-espace z > 0, invariant par toute translation parallèle au plan frontière (Oxy). De plus, l'inducteur génère un champ magnétique homogène sur toute la surface z = 0.

Le système est donc invariant par translation selon les axes (Ox) et (Oy). Par conséquent, toutes les grandeurs physiques ne dépendent spatialement que de la coordonnée z (et du temps t) :

2. Composantes du champ magnétique \vec{B} :

• D'après l'équation de Maxwell-Thomson :

  \operatorname{div}\vec{B} = \frac{\partial B_x}{\partial x} + \frac{\partial B_y}{\partial y} + \frac{\partial B_z}{\partial z} = \frac{\partial B_z}{\partial z} = 0

  Ainsi, B_z(z,t) est uniforme dans la plaque. Comme le champ imposé en surface z=0 est purement tangentiel le long de (Ox) (et que le champ s'annule à l'infini z \to +\infty), on en déduit que :

  B_z(z,t) = 0.

• Un champ magnétique orienté suivant (Ox) est produit par des courants d'excitation circulant selon l'axe (Oy). Tout plan (x, y_0, z) parallèle à (xOz) est orthogonal aux courants, c'est donc un plan d'antisymétrie \Pi^* pour la distribution des courants.

  Le champ magnétique étant un pseudovectoriel, il est nécessairement parallèle aux plans d'antisymétrie des courants en tout point de ceux-ci, ce qui impose B_y(z,t) = 0.

Le champ magnétique n'a donc qu'une unique composante non nulle :

3. Composantes du champ électrique \vec{E} et du courant \vec{J} : D'après l'équation de Maxwell-Ampère et la loi d'Ohm locale \vec{J} = \sigma \vec{E} :

Par conséquent, \vec{E} et \vec{J} ne possèdent qu'une composante non nulle selon \vec{u}_y :

D'après la loi d'Ohm locale établie à la question Q8, \vec{J} = \sigma \vec{E}. L'équation de Maxwell-Ampère dans le milieu s'écrit alors :

En prenant le rotationnel de cette équation et en utilisant l'identité vectorielle \vec{\operatorname{rot}}(\vec{\operatorname{rot}} \vec{B}) = \vec{\nabla}(\operatorname{div}\vec{B}) - \Delta \vec{B} ainsi que \operatorname{div} \vec{B} = 0, on obtient :

En injectant l'équation de Maxwell-Faraday \vec{\operatorname{rot}} \vec{E} = -\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t}, il vient l'équation de diffusion magnétique :

D'après l'étude des symétries et invariances menée à la question Q9, le champ magnétique ne possède qu'une composante selon l'axe (Ox) et ne dépend que de la coordonnée z :

Le laplacien vectoriel se réduit donc à la dérivée seconde spatiale :

En régime sinusoïdal permanent avec la convention de l'énoncé \vec{B}(z, t) = B(z) e^{-j\omega t} \, \vec{u}_x (où l'on note simplement B(z) = B_x(z) l'amplitude complexe), la dérivée temporelle se traduit par :

L'amplitude complexe B(z) vérifie par conséquent l'équation différentielle ordinaire :

D'après la question Q10, l'amplitude complexe B(z) vérifie l'équation différentielle :

L'équation caractéristique associée s'écrit :

Les deux racines de cette équation sont :

On introduit l'épaisseur de peau \delta, homogène à une longueur, définie par :

Les deux racines s'écrivent alors :

La forme générale de la solution est donc :

où C_1 et C_2 sont deux constantes d'intégration complexes.

• Pour des raisons physiques, le champ doit rester fini lorsque z \to +\infty. Comme \operatorname{Re}\left(\frac{1-j}{\delta}z\right) = +\frac{z}{\delta} > 0, le second terme diverge exponentiellement : on a donc nécessairement C_2 = 0.
• En surface (z = 0), on a B(0) = B_s, d'où C_1 = B_s.

La solution pour l'amplitude complexe du champ magnétique est donc :

En revenant au champ réel avec la convention temporelle \vec{B}(z,t) = \operatorname{Re}\left(B(z)\mathrm{e}^{-j\omega t}\right)\vec{u}_x (en choisissant l'origine des temps telle que B_s soit réel) :

D'après le résultat de la question 11, le champ magnétique dans le demi-espace conducteur z > 0 s'écrit sous la forme :

avec B_s l'amplitude réelle positive du champ en z = 0. Le module du champ magnétique s'exprime donc simplement par :

L'épaisseur de peau s'exprime en fonction des caractéristiques du système par :

Influence de la fréquence \boldsymbol{f} (ou pulsation \boldsymbol{\omega}) : L'épaisseur de peau varie comme f^{-1/2}.

• À haute fréquence, \delta diminue : le champ magnétique et les courants induits sont confinés dans une pellicule superficielle très mince à la surface de l'acier (effet de peau très marqué).
• À basse fréquence, \delta est plus grande : le champ pénètre plus profondément dans le conducteur.

Influence de la perméabilité relative \boldsymbol{µ_r} du matériau : L'épaisseur de peau varie comme \mu_r^{-1/2}.

• Pour un matériau ferromagnétique (\mu_r \gg 1, comme l'acier à température ambiante où \mu_r \sim 10^2 à 10^3), la pénétration est fortement réduite par rapport à un conducteur non magnétique (\mu_r \approx 1).
• Cela entraîne une localisation accrue des courants induits et favorise une forte dissipation volumique superficielle par effet Joule, ce qui est particulièrement avantageux pour le chauffage par induction en forge.

D'après l'équation de Maxwell-Ampère dans l'acier (dans l'ARQS magnétique) et la loi d'Ohm locale (question Q8) :

Sachant que \vec{B}(\vec{r},t) = B(z) \vec{u}_x, le rotationnel s'écrit :

On en déduit l'expression du champ électrique complexe dans la plaque :

D'après le résultat de la question Q11, l'amplitude complexe du champ magnétique s'écrit :

ce qui donne pour sa dérivée spatiale :

Le champ électrique s'écrit donc :

Calculons le produit vectoriel \vec{E} \wedge \vec{B}^* avec \vec{B}^*(z) = B^*(z)\vec{u}_x :

Sa norme vaut :

Or, d'après la question Q12, |B(z)| = B_s e^{-z/\delta}, d'où |B(z)|^2 = B_s^2 e^{-2z/\delta}.

En injectant cette relation dans l'expression donnée par l'énoncé, on obtient :

Cette expression se met bien sous la forme demandée :

où l'on a utilisé \mu_0 \mu_r \sigma = \frac{2}{\omega \delta^2}.

1. Symétries et invariances :

• La bobine est enroulée autour de l'axe (Ox) et la géométrie est supposée infinie suivant (Ox) ; toutes les grandeurs physiques sont donc indépendantes de la coordonnée x : \dfrac{\partial}{\partial x} = 0.

• Les spires conductrices parcourent des plans parallèles au plan (yOz). Tout plan orthogonal à (Ox) est donc un plan d'antisymétrie de la distribution de courant. Par propriété des pseudo-vecteurs, le champ magnétique \vec{B} est orthogonal à ces plans, d'où :

  \vec{B}(\vec{r}, t) = B(y, z) e^{-j\omega t} \, \vec{u}_x

  Cette forme vérifie immédiatement \operatorname{div} \vec{B} = \dfrac{\partial B}{\partial x} = 0.

2. Équation de diffusion dans le conducteur :

En régime sinusoïdal avec la convention temporelle e^{-j\omega t}, l'équation de Maxwell-Faraday devient :

L'équation de Maxwell-Ampère (dans le cadre de l'ARQS magnétique) s'écrit avec la loi d'Ohm locale \vec{J} = \sigma \vec{E} :

Prenons le rotationnel de l'équation de Maxwell-Ampère :

En utilisant l'identité vectorielle \vec{\operatorname{rot}}(\vec{\operatorname{rot}} \vec{B}) = \vec{\operatorname{grad}}(\operatorname{div} \vec{B}) - \Delta \vec{B} et sachant que \operatorname{div}\vec{B} = 0, on obtient l'équation de Helmholtz vérifiée par l'amplitude complexe du champ :

3. Équation scalaire vérifiée par B(y, z) :

Comme \vec{B} = B(y, z) \vec{u}_x, le laplacien vectoriel se réduit au laplacien scalaire :

En introduisant l'épaisseur de peau \delta = \sqrt{\dfrac{2}{\mu_0 \mu_r \sigma \omega}}, l'équation vérifiée par B(y, z) s'écrit :

Dans l'hypothèse d'une plaque mince (h \ll d), les effets de bord latéraux selon y sont négligeables au sein du matériau. Le champ magnétique ne dépend donc plus de la coordonnée y : \frac{\partial \vec{B}}{\partial y} \approx \vec{0}.

L'équation établie à la question 14 se réduit alors à une équation différentielle unidimensionnelle selon z pour l'amplitude complexe B(z) (avec \vec{B}(z,t) = B(z)e^{-j\omega t}\vec{u}_x) :

L'équation caractéristique associée s'écrit :

Les deux racines sont donc r = \pm \underline{k} avec :

En plaçant l'origine z = 0 au plan médian de la plaque (soit pour z \in [-h/2, \, h/2]), la solution générale s'exprime sous la forme :

L'inducteur entourant symétriquement la plaque métallique, le champ magnétique extérieur tangentiel imposé à la surface est identique sur les deux faces :

Par parité du problème par rapport au plan z = 0, la fonction B(z) doit être paire, ce qui impose C_2 = 0. La condition en z = h/2 donne alors :

Le champ magnétique complexe au sein de la plaque s'écrit donc :

Remarque : si l'on conserve l'origine des cotes au bord inférieur de la plaque comme suggéré sur le schéma (z \in [0, h]), l'expression devient de façon équivalente :

D'après l'équation de Maxwell-Ampère en régime quasi-stationnaire (courant de déplacement négligé) :

Le champ magnétique étant dirigé selon \vec{u}_x et ne dépendant que de z :

Son rotationnel s'écrit en coordonnées cartésiennes :

On en déduit que le vecteur densité de courant volumique est purement selon \vec{u}_y :

En utilisant l'expression du champ magnétique obtenue à la question Q15 :

La dérivée spatiale vaut :

On obtient ainsi l'amplitude complexe de la densité volumique de courant :

En introduisant le temps, le champ réel s'écrit :

D'après la question Q16, l'amplitude complexe du vecteur densité volumique de courant dans la plaque est :

La puissance moyenne dissipée par effet Joule par unité de surface de la plaque s'obtient par intégration sur l'épaisseur [-h/2, +h/2] :

En utilisant la relation \sigma = \frac{2}{\mu_0 \mu_r \omega \delta^2} issue de la définition de l'épaisseur de peau \delta, et |\underline{k}|^2 = \frac{2}{\delta^2}, il vient :

Développons le numérateur et le dénominateur de |\underline{J}_y(z)|^2. Pour tout nombre complexe u = \alpha + j\beta :

Avec \underline{k} z = \frac{z}{\delta} - j\frac{z}{\delta}, on a \alpha = \frac{z}{\delta} et \beta = -\frac{z}{\delta}. Le dénominateur, évalué en z = h/2, vaut donc :

Le numérateur intégré sur l'épaisseur donne :

En regroupant l'ensemble des termes, on obtient la puissance surfacique dissipée :

En identifiant la constante de surface P_0 = \frac{\omega \delta B_s^2}{2\mu_0 \mu_r} (ou la constante homogène définie à la question Q13 à un facteur numérique près selon la convention du sujet) :

• Si l'on pose \xi = \frac{h}{\delta} (rapport de l'épaisseur totale sur l'épaisseur de peau) :

  f(\xi) = \frac{\operatorname{sh}\xi - \sin\xi}{\operatorname{ch}\xi + \cos\xi}
• Si l'on conserve strictement la définition imposée par l'énoncé \xi = \frac{h}{2\delta} (demi-épaisseur rapportée à la peau), la variable sans dimension de l'expression physique vaut 2\xi :

L'énoncé omet le facteur 2 dans l'argument de f, ce qui correspond à une convention où \xi = \frac{h}{\delta}.

1. Détermination du maximum de la fonction f
Graphiquement, la fonction f(\xi) présente un maximum unique pour une valeur comprise entre 3 et 3{,}2, avec f(\xi_{\max}) \approx 1{,}09.

Par le calcul, en dérivant f(\xi) = \dfrac{\operatorname{sh}\xi - \sin\xi}{\operatorname{ch}\xi + \cos\xi} :

Pour \xi > 0, \operatorname{sh}\xi > 0. La dérivée s'annule donc pour \sin\xi = 0, soit au premier extremum pour :

2. Détermination de la fréquence optimale
D'après la définition donnée à la question Q17, \xi = \dfrac{h}{2\delta}, d'où l'épaisseur de peau optimale :

Par ailleurs, l'épaisseur de peau s'exprime en fonction de la fréquence f (\omega = 2\pi f) par :

En égalant les deux expressions :

Avec les données numériques de l'énoncé :

• h = 1\text{ mm} = 10^{-3}\text{ m} ;
• \mu_r = 100 ;
• \sigma = 10^7\text{ S}\cdot\text{m}^{-1} ;
• \mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\text{ H}\cdot\text{m}^{-1}.

On a \mu_0 \mu_r \sigma = (4\pi \cdot 10^{-7}) \times 100 \times 10^7 = 4\pi \cdot 10^2\text{ SI}. Il vient immédiatement :

3. Discussion du résultat
Une fréquence de travail de 10\text{ kHz} est tout à fait raisonnable et réaliste :

• Elle se situe dans la gamme des moyennes fréquences (ultrasons), très facilement générée par l'électronique de puissance actuelle (onduleurs à résonance à base d'IGBT).
• C'est précisément la gamme de fréquences standard utilisée en forge industrielle pour chauffer des pièces d'acier de dimensions millimétriques à centimétriques.

Considérons une tranche élémentaire de matériau comprise entre les cotes z et z + \mathrm{d}z, de section droite d'aire S selon le plan (Oxy), de volume \mathrm{d}V = S\,\mathrm{d}z. Le milieu étant un solide indéformable, les capacités thermiques à volume et à pression constantes sont confondues (c_v \approx c_p).

Pendant l'intervalle de temps \mathrm{d}t, le premier principe de la thermodynamique appliqué à ce système fermé s'écrit :

• La variation d'énergie interne s'exprime par :

  \mathrm{d}U = (\rho\,\mathrm{d}V)\,c_p\,\mathrm{d}T = \rho c_p S\,\mathrm{d}z\,\frac{\partial T}{\partial t}(z,t)\,\mathrm{d}t

• Le transfert thermique net reçu par conduction à travers les faces en z et z+\mathrm{d}z s'écrit, en notant \vec{\jmath}_Q = j_{Q,z}\,\vec{u}_z le vecteur densité de flux thermique :

  \delta Q_{\text{cond}} = \left[ j_{Q,z}(z,t) - j_{Q,z}(z+\mathrm{d}z,t) \right] S\,\mathrm{d}t = -\frac{\partial j_{Q,z}}{\partial z} S\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}t

• Le travail électrique reçu et converti en chaleur par effet Joule correspond à un apport volumique d'énergie :

  \delta W_J = P_J(z)\,\mathrm{d}V\,\mathrm{d}t = P_J(z)\,S\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}t

En divisant par S\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}t, le bilan d'énergie locale s'écrit :

D'après la loi de Fourier, la conduction thermique dans ce milieu homogène et isotrope de conductivité k s'écrit :

En injectant cette relation dans le bilan local, on obtient l'équation de la chaleur avec terme source :

Interprétation physique de chaque terme :

• \rho c_p \dfrac{\partial T(z, t)}{\partial t} : terme d'accumulation thermique volumique, traduisant la variation temporelle d'énergie interne emmagasinée par unité de volume du solide.
• -k \dfrac{\partial^2 T(z, t)}{\partial z^2} = \operatorname{div}\vec{\jmath}_Q : terme de diffusion thermique par conduction (loi de Fourier), correspondant au bilan de transfert d'énergie net évacué par conduction hors du volume élémentaire.
• P_J(z) : terme source de puissance volumique, représentant la chaleur dégagée localement par effet Joule due aux courants de Foucault induits.

L'hypothèse d'un fort confinement de la source inductive signifie que l'épaisseur de peau \delta est très faible devant la longueur caractéristique de diffusion thermique dans le matériau. La puissance volumique P_J(z), non négligeable uniquement pour z \lesssim \delta, est donc concentrée dans une pellicule infiniment mince au voisinage immédiat de la surface z = 0.

À l'échelle macroscopique, ce terme source volumique se modélise par une densité surfacique de puissance P_s localisée en z=0, soit formellement :

où \delta_D(z) désigne la distribution de Dirac en z = 0.

La puissance totale dissipée par unité de surface de l'interface s'obtient en intégrant la puissance volumique sur toute la profondeur du conducteur :

L'énoncé introduit la notation :

qui sera conservée pour la suite de l'épreuve afin d'assurer la cohérence avec les conditions aux limites de la question suivante.

La température initiale étant constante et uniforme (T_0 = \mathrm{cte}), la variable d'écart \widehat{T}(z, t) = T(z, t) - T_0 vérifie directement :

Sous l'hypothèse d'un fort confinement de la source inductive (question 20), la puissance volumique P_J(z) est reportée à la frontière z = 0 sous forme d'un flux surfacique P_s. Pour tout z > 0, la source volumique est donc nulle, et l'équation établie à la question 19 devient :

Justifions à présent les conditions initiales et aux limites :

• Condition initiale (t = 0) : Avant le début du chauffage, la pièce métallique est à l'équilibre thermique à la température ambiante T_0, soit T(z, 0) = T_0, d'où :

  \widehat{T}(z, t = 0) = 0

• Condition à l'infini (z \to +\infty) : Le milieu étant semi-infini, l'onde thermique ne pénètre qu'à distance finie pour tout temps fini t ; le métal très éloigné de l'interface reste à la température ambiante T_0, soit :

  \lim_{z \to +\infty} \widehat{T}(z, t) = 0

• Condition à l'interface (z = 0) : Le matériau étant supposé isolé thermiquement de l'extérieur vers z < 0, la puissance surfacique inductive P_s injectée en surface doit intégralement pénétrer dans le conducteur selon +\vec{u}_z par conduction thermique. D'après la loi de Fourier, la densité de flux thermique surfacique entrant vaut \vec{\jmath}_{\mathrm{th}}(z, t) = -k \frac{\partial T}{\partial z} \vec{u}_z = -k \frac{\partial \widehat{T}}{\partial z} \vec{u}_z. La continuité du flux en z = 0 impose donc :

  j_{\mathrm{th}, z}(0^+, t) = P_s \iff -k \left.\frac{\partial \widehat{T}}{\partial z}\right|_{z=0} = P_s \iff \left.k \frac{\partial \widehat{T}}{\partial z}\right|_{z=0} = -P_s

On retrouve bien le système complet de conditions aux limites proposé par l'énoncé :

D'après la question Q21, le champ d'écart de température \widehat{T}(z, t) vérifie pour z > 0 l'équation de la diffusion sans terme source :

En introduisant la diffusivité thermique du matériau D = \frac{k}{\rho c_p}, cette équation s'écrit :

Par transformation de Laplace par rapport au temps t, et en utilisant la condition initiale \widehat{T}(z, t=0) = 0 :

L'équation aux dérivées partielles devient une équation différentielle ordinaire par rapport à la variable d'espace z :

Pour s > 0, la solution générale s'écrit :

La condition limite à l'infini \lim_{z \to +\infty} \widehat{T}(z, t) = 0 impose \lim_{z \to +\infty} \widehat{T}(z, s) = 0, ce qui implique B(s) = 0. Il reste donc :

La condition à l'interface en z = 0, valable pour tout t > 0, est :

Comme P_s est constant pour t > 0, sa transformée de Laplace est \mathcal{L}\{P_s\} = \frac{P_s}{s} (d'après la ligne A = \text{constante} de la table). En transformant la condition aux limites :

Or, en dérivant l'expression de \widehat{T}(z, s) par rapport à z :

On en déduit :

En remarquant que \frac{k}{\sqrt{D}} = \sqrt{k \rho c_p} (effusivité thermique du milieu), on peut exprimer A(s) sous la forme :

La solution dans le domaine de Laplace est donc :

D'après la question Q22, l'expression de la transformée de Laplace du champ de température s'écrit :

Au voisinage de z = 0, effectuons un développement limité à l'ordre 1 en z de l'exponentielle :

En multipliant par le préfacteur, on obtient le développement limité à l'ordre 1 en z de \widehat{T}(z, s) :

Pour inverser cette transformée de Laplace terme à terme, on utilise les correspondances données dans la table de l'énoncé :

• Pour le premier terme : avec f(s) = \dfrac{A\sqrt{\pi}}{2 s^{3/2}}, la fonction temporelle correspondante est f(t) = A\sqrt{t}. On a ici :

  \frac{P_s}{\sqrt{k \rho c_p}} \frac{1}{s^{3/2}} = \frac{A \sqrt{\pi}}{2 s^{3/2}} \implies A = \frac{2 P_s}{\sqrt{\pi k \rho c_p}}

  Ce terme a donc pour transformée de Laplace inverse :

  \frac{2 P_s}{\sqrt{\pi k \rho c_p}} \sqrt{t}

• Pour le second terme proportionnel à z : avec la ligne \dfrac{A}{s} \longleftrightarrow A = \text{cte}, on identifie A = -\dfrac{P_s z}{k}. La transformée de Laplace inverse est donc :

  -\frac{P_s}{k} z

On en déduit l'expression temporelle au voisinage de z = 0 :

À un instant t > 0 fixé, le profil spatial de température \widehat{T}(z, t) est caractérisé par :

• En z = 0 : d'après la question Q23, la température de surface vaut

  \widehat{T}(0, t) = \frac{2P_s}{\sqrt{\pi k \rho c_p}} \sqrt{t}

• Pente en z = 0 : imposée par la condition aux limites de flux (loi de Fourier, question Q21) :

  \left.\frac{\partial \widehat{T}}{\partial z}\right|_{z=0^+} = -\frac{P_s}{k} < 0

  Cette pente est strictement négative et remarquable car indépendante du temps t.

• Pour z \to +\infty : la condition aux limites impose

  \lim_{z \to +\infty} \widehat{T}(z, t) = 0 \quad \text{avec} \quad \lim_{z \to +\infty} \frac{\partial \widehat{T}}{\partial z} = 0

  L'axe des abscisses est donc asymptote horizontale.

• Longueur caractéristique de diffusion : l'échauffement pénètre dans le métal sur une profondeur de diffusion thermique \delta_{\text{th}} \sim \sqrt{D t} = \sqrt{\frac{k t}{\rho c_p}}.

Le profil spatial \widehat{T}(z, t) est strictement décroissant et convexe. L'allure correspondante est représentée ci-dessous :

D'après le résultat de la question Q23, la température à l'interface z = 0 s'exprime en fonction du temps selon :

Commentaire sur la dépendance en temps :

• La température de surface croît en \sqrt{t}. Cette loi en racine carrée est caractéristique d'un apport d'énergie surfacique constant se propageant par diffusion thermique dans un milieu semi-infini.
• À l'origine (t \to 0^+), la dérivée temporelle \frac{\mathrm{d}\widehat{T}}{\mathrm{d}t} \propto \frac{1}{\sqrt{t}} diverge : l'échauffement initial en surface est extrêmement rapide car la chaleur injectée est d'abord confinée sur une épaisseur de diffusion infinitésimale \ell_{\text{th}} \sim \sqrt{D t}.

• Aux temps longs (t \to +\infty), on a :

  \lim_{t \to +\infty} \widehat{T}(z=0, t) = +\infty

  En l'absence de pertes thermiques vers l'extérieur (le système étant supposé thermiquement isolé), le matériau emmagasine continûment de l'énergie, de sorte qu'il n'existe aucun état stationnaire.

Atteinte de la température de fusion : Puisque \widehat{T}(z=0, t) croît indéfiniment, elle dépasse nécessairement, au bout d'une durée finie t_f, l'écart correspondant à la fusion de l'acier (T_f \approx 1500\,^\circ\text{C}) :

L'équation de la diffusion thermique vérifiée par \widehat{T}(z, t) pour z > 0 reste inchangée par rapport à la question 21 :

Avec la condition initiale \widehat{T}(z, 0) = 0, la transformée de Laplace \widehat{T}(z, s) vérifie pour z > 0 (d'après la question 22) :

La condition de régularité à l'infini \lim_{z\to+\infty} \widehat{T}(z, t) = 0 impose toujours d'éliminer la composante divergente, d'où :

Prenons à présent la transformée de Laplace de la nouvelle condition aux limites en z = 0 :

En utilisant la linéarité de la transformation de Laplace et le fait que P_s est constant pour t > 0 (dont la transformée est P_s/s) :

Or, d'après la forme générale de \widehat{T}(z, s) :

La condition à l'interface devient :

En remarquant que k\sqrt{\frac{s}{D}} = k\sqrt{\frac{\rho c_p s}{k}} = \sqrt{k\rho c_p s}, on en déduit :

La nouvelle solution dans le domaine de Laplace est donc :

D'après la question Q26, la transformée de Laplace du champ d'écart de température s'écrit :

Formons la quantité s\widehat{T}(z, s) :

Pour z \ge 0 fixé, faisons tendre s vers 0 :

Le théorème de la valeur finale fournit directement :

Soit, pour la température absolue T(z, t) = T_0 + \widehat{T}(z, t) :

D'après la question Q26, l'expression de la transformée de Laplace du champ de température en présence de pertes conducto-convectives est :

Lorsque s \to +\infty, le terme \sqrt{k\rho c_p s} devient prépondérant devant le coefficient d'échange h au dénominateur :

On en déduit le comportement équivalent :

Cette limite redonne exactement l'expression obtenue à la question Q22 pour le matériau thermiquement isolé de son environnement (h = 0).

D'après le théorème de la valeur initiale en transformation de Laplace, la limite s \to +\infty gouverne la dynamique aux temps courts (t \to 0). Aux premiers instants du chauffage, l'échauffement de surface \widehat{T}(0, t) = T(0, t) - T_0 est infinitésimal. Les pertes conducto-convectives surfaciques, modélisées par la loi de Newton :

sont donc négligeables devant la puissance volumique/surfacique injectée P_s. L'intégralité du flux incident sert initialement à échauffer la matière par diffusion thermique pure, ce qui explique pourquoi l'évolution aux temps courts est rigoureusement identique à celle en l'absence de convection :

D'après les questions précédentes, l'élévation de température à l'interface z = 0 présente deux régimes asymptotiques remarquables :

• Aux temps courts (t \to 0) (d'après Q28) :

  \widehat{T}(0, t) \underset{t \to 0}{\sim} \frac{2 P_s}{\sqrt{\pi k \rho c_p}} \sqrt{t}

  La courbe part de l'origine avec une pente infinie (tangente verticale en t=0) et croît comme \sqrt{t}.

• Aux temps longs (t \to +\infty) (d'après Q27) :

  \lim_{t \to +\infty} \widehat{T}(0, t) = \frac{P_s}{h}

  La courbe tend de manière monotone vers l'asymptote horizontale d'ordonnée \widehat{T}_\infty = \dfrac{P_s}{h}.

Le temps caractéristique marquant la transition entre le régime dominé par la conduction massique et le régime saturé par la convection est donné par l'égalité \frac{2 P_s}{\sqrt{\pi k \rho c_p}} \sqrt{\tau} \sim \frac{P_s}{h}, soit :

Condition pour atteindre la fusion de l'acier :

La température absolue atteinte par la pièce métallique en surface au cours du temps est :

Comme la fonction \widehat{T}(0, t) est strictement croissante et plafonne à T_\infty = T_0 + \dfrac{P_s}{h}, la température de fusion T_f (de l'ordre de 1500\,^\circ\text{C}) ne peut être atteinte que si la température stationnaire limite est supérieure ou égale à T_f :

On en déduit la condition nécessaire sur la puissance surfacique injectée :

Les pertes surfaciques à l'interface vers l'air ambiant à la température T_0 = 20\,^\circ\text{C} = 293\text{ K} se composent de :

• la puissance conducto-convective :

  \varphi_{\text{conv}} = h(T - T_0)

• la puissance radiative nette émise vers l'environnement (assimilé à un corps noir à T_0) avec \epsilon = 1 :

  \varphi_{\text{ray}} = \sigma_0 (T^4 - T_0^4)

1. À basse température (T \approx 20\,^\circ\text{C} = 293\text{ K}) :

Pour un faible écart de température T - T_0 \ll T_0, on peut linéariser la loi de Stefan-Boltzmann :

ce qui permet d'introduire un coefficient d'échange radiatif :

Ce coefficient est du même ordre de grandeur que le coefficient convectif h = 10\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{K}^{-1} :

2. À haute température (T = 1200\,^\circ\text{C} = 1473\text{ K}) :

Calculons numériquement les densités de flux :

Le terme radiatif l'emporte très largement sur le terme convectif :

(De façon équivalente, le coefficient radiatif effectif h_{\text{rad}} = \varphi_{\text{ray}}/(T - T_0) \approx 230\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{K}^{-1} \gg h).

3. Hypothèses simplificatrices :

• À basse température (T \lesssim 200\text{ à } 300\,^\circ\text{C}) : le rayonnement peut être linéarisé. Les deux modes de transfert sont comparables et peuvent être regroupés en un coefficient d'échange global linéaire :

  \boxed{h_{\text{global}} = h + 4\sigma_0 T_0^3 \approx 16\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{K}^{-1}}

  ce qui préserve la linéarité du problème thermique.

• À haute température (T \gtrsim 800\text{ à } 1200\,^\circ\text{C}) : les pertes convectives sont négligeables devant les pertes radiatives :

  \boxed{\varphi_{\text{pertes}} \approx \sigma_0 T^4 \gg \varphi_{\text{conv}}}

  Le problème devient alors fortement non linéaire en surface.

1. Cohérence avec les observations du forgeron

D'après la loi de Wien établie en Q1, le maximum d'émission se déplace vers les courtes longueurs d'onde lorsque la température augmente :

Bien que \lambda_{\max} reste situé dans le proche infrarouge, le spectre s'étend largement vers le domaine visible (0{,}4 - 0{,}8\,\mu\text{m}). De plus, l'irradiance spectrale dans le visible croît de façon spectaculaire avec T (queue de Wien variant en e^{-hc/\lambda k_B T}).

Le métal commence à rougeoyer visiblement dès 500\text{--}600\text{ }^\circ\text{C} (point de Draper), devient rouge vif vers 800\text{ }^\circ\text{C}, orange-jaune vers 1000\text{ }^\circ\text{C} et blanc éclatant vers 1300\text{--}1500\text{ }^\circ\text{C}. Il est donc tout à fait cohérent que la couleur du métal soit parfaitement observable et serve d'indicateur thermique bien avant d'atteindre la température de fusion T_f \approx 1500\text{ }^\circ\text{C}.

2. Rôle du rayonnement sur la puissance de chauffe

À l'interface de la pièce, le bilan des flux thermiques en régime quasi-stationnaire s'écrit :

Comme montré à la question Q30, le terme radiatif évolue en T^4 et domine écrasantement le terme convectif à haute température :

• À T = 1500\text{ }^\circ\text{C} \approx 1773\text{ K}, la perte convective est :

  \varphi_{\text{conv}} = h(T - T_0) \approx 10 \times 1480 \approx 15\text{ kW}\cdot\text{m}^{-2}

• La perte radiative vaut quant à elle :

  \varphi_{\text{ray}} \approx \sigma_0 T^4 \approx 5{,}67 \cdot 10^{-8} \times (1773)^4 \approx 560\text{ kW}\cdot\text{m}^{-2}

Le rayonnement constitue donc la cause principale de déperdition thermique à haute température (\varphi_{\text{ray}} \gg \varphi_{\text{conv}}).

Par conséquent, la puissance inductive surfacique P_s doit croître de façon très importante pour compenser les pertes radiatives et continuer à élever la température. Le rayonnement agit comme un puissant mécanisme de saturation thermique : pour atteindre une température donnée T, la puissance minimale à injecter est imposée par le terme radiatif :

D'après la question Q11, l'épaisseur de peau dans le conducteur s'écrit :

La distribution des courants induits et de la puissance Joule volumique P_J(z) \propto \exp(-2z/\delta) dépend donc crucialement de l'état magnétique du matériau.

1. Cas T \ll T_c (matériau entièrement ferromagnétique) :

• L'acier est à l'état ferromagnétique avec \mu_r \gg 1 (de l'ordre de 100 à 1000). L'épaisseur de peau \delta_{\text{ferro}} est très faible (typiquement de l'ordre de quelques dixièmes de millimètre).
• Les courants induits et la puissance Joule sont extrêmement confinés au voisinage immédiat de la surface (z \lesssim \delta_{\text{ferro}}), validant pleinement l'hypothèse de source surfacique P_s de la partie 3.
• Distribution de température : le gradient de température en surface est très marqué (|\partial T/\partial z|_{z=0} \approx P_s/k), la surface s'échauffe très rapidement par rapport au cœur du matériau, et la chaleur se propage lentement vers l'intérieur par diffusion thermique (profil fortement décroissant avec la profondeur z).

2. Cas T \gg T_c (matériau entièrement paramagnétique) :

• L'acier a transité vers la phase paramagnétique pour laquelle \mu_r \approx 1. L'épaisseur de peau augmente brutalement d'un facteur \sqrt{\mu_r} \approx 10 :

  \delta_{\text{para}} \approx \sqrt{\mu_r} \, \delta_{\text{ferro}} \gg \delta_{\text{ferro}}
• Les courants induits et les pertes Joule ne sont plus confinés à l'extrême surface mais sont distribués sur une profondeur volumique bien plus grande (\sim \delta_{\text{para}}).
• Distribution de température : la puissance étant délivrée en volume sur une couche épaisse, le gradient thermique au voisinage de l'interface est beaucoup plus faible et le profil de température au sein du métal est nettement plus uniforme et adouci.

3. Cas T \approx T_c (coexistence de deux zones lors de la chauffe) :

• La température décroissant avec z, la zone superficielle (0 \le z < z_c) dépasse T_c et devient paramagnétique (\mu_r \approx 1), tandis que le cœur (z > z_c) reste sous T_c et demeure ferromagnétique (\mu_r \gg 1).
• L'onde électromagnétique traverse la couche superficielle paramagnétique sans subir d'atténuation notable (car \delta_{\text{para}} \gg z_c), puis pénètre dans la région ferromagnétique sous-jacente où elle est brutalement absorbée sur une épaisseur \delta_{\text{ferro}} au-delà de z_c.
• La zone de dissipation Joule maximale migre donc de la surface vers le front mobile z = z_c(t) situé à la température T_c.
• Distribution de température : le profil présente un palier ou un coude au niveau du front z_c(t). La dissipation interne favorise la propagation rapide de l'échauffement vers le cœur, régulant naturellement la surchauffe de surface et homogénéisant la pièce métallique.