Équations de Maxwell et ondes électromagnétiques dans le vide : 414 questions de concours corrigées

Justifier que la densité de courant j est indépendante de x. Relier j à ρ(x) et v(x).

Donner les 4 équations de Maxwell dans un milieu de perméabilité µ₀ et de permittivité ε₀ avec une densité volumique de charge ρ et une densité de courant volumique j. À partir de l'une…

Écrire les équations de Maxwell décrivant le champ électromagnétique dans le vide. En déduire l'équation de propagation du champ électrique E(M,t) dans le vide. Comment s'appelle cette équation ?…

Donner les équations de Maxwell dans le vide.

Montrer que, dans le vide, le champ électrique E obéit à une équation d'onde de d'Alembert dont on précisera la célérité.

Établir la relation de dispersion des ondes électromagnétiques dans le vide.

En utilisant une équation de Maxwell, montrer que le champ électrique est uniforme à l'intérieur du condensateur.

Énoncer les équations locales de Maxwell dans le vide, en l'absence de toute charge et courant, et les nommer.

Établir l'expression du champ magnétique B(M, t) associé à l'onde électromagnétique étudiée.

Nous avons fait tous les calculs dans l'approximation électrostatique. À quelle condition, portant sur la taille de la sphère, est-il légitime de négliger les phénomènes de propagation ?

Dans le vide, établir l'équation de propagation puis la relation de dispersion pour le champ E_inc. En déduire la relation liant la longueur d'onde dans le vide λ₀ et la fréquence f de l'onde.

Montrer que E dans le vide vérifie l'équation suivante : Δ E - 1/c² (∂² E)/(∂ t²) = 0.

L'air étant assimilé au vide, démontrer l'équation de propagation à laquelle E_i obéit et en déduire la relation entre k_i, q_i et ω.

Rappeler les équations de Maxwell en régime stationnaire. Justifier l'existence du potentiel électrostatique V et établir la relation qui lie V à ho. Donner le nom de cette relation.

Définir la zone de rayonnement et justifier le terme r/c apparaissant dans l'argument du cosinus.

Définir la zone de rayonnement et justifier le terme r/c apparaissant dans l'argument du cosinus.

Interaction avec un laser. On éclaire l'atome à l'aide d'un faisceau laser que l'on décrit par un champ électrique de pulsation ω, de vecteur d'onde k et d'amplitude E₀ dépendant lentement de la…

On considère des atomes de rubidium interagissant avec un laser de longueur d'onde λ = 850 nm et d'intensité I = 60 kW/cm². Rappeler sans démonstration le lien entre I et E₀.

Donner l'équation à laquelle obéit le champ électromagnétique entre les deux parois. En déduire une équation différentielle vérifiée par E₀(x). On note k = ω/c la norme du vecteur d'onde.

Rappeler et nommer les équations de Maxwell dans leur forme générale. Écrire ensuite ces mêmes équations dans un milieu vide de charges et de courants électriques.

Donner l'expression du vecteur de Poynting, en fonction des champs E(M) et B(M), et rappeler son interprétation physique.

Écrire les équations de Maxwell. On notera la densité volumique de courant et ρ la densité volumique de charge.

Écrire les équations de Maxwell dans le conducteur dans l'hypothèse d'un milieu localement neutre et à courant de déplacement négligeable devant le courant de conduction.

Citer les quatre équations de Maxwell vérifiées par les champs électrique E et magnétique B dans ce milieu.

Établir la relation entre k et ω, appelée relation de dispersion.

Justifier que, dans le cas d'une onde électromagnétique plane dans le vide de vecteur d'onde k, les plans équiphases (ou "fronts d'onde") sont des plans perpendiculaires à k.

On considère alors le cas général d'une onde électromagnétique de pulsation ω et de phase φ(r) - ω t. Justifier que grad φ(r) est localement orthogonal aux surfaces d'ondes.

Énoncer les équations de Maxwell. Que deviennent-elles dans une région vide de charges et de courants ?

En déduire l'équation de propagation vérifiée par le champ électrique (équation de d'Alembert).

Préciser la direction et le sens de propagation de cette onde ainsi que son état de polarisation. Établir la relation, dite relation de dispersion, entre k et ω.

Rappeler les équations de Maxwell dans le vide en précisant leur nom.

Rappeler les équations de Maxwell du champ électromagnétique.

On peut montrer que v_k(x, y, z) = w₀/(w(z)) exp [-(x²+y²)/(w(z)²)] exp [-iΦ(z) + ik(x²+y²)/(2R(z))] (16) est solution de l'équation avec w(z)² = w₀²[1+(z/z_R)²] (17) R(z) = z[1+(z_R/z)²] (18) Φ(z)…

Le champ électrique est un champ vectoriel transverse (c'est à dire que, lorsqu'il est décomposé en onde plane, le champ électrique est toujours orthogonal à sa direction de propagation). En déduire…

Calculer la longueur d'onde associée à cette onde. À quel domaine du spectre électromagnétique appartient-elle ?

Préciser ce que signifie " très éloigné ".

Justifier par des considérations de symétrie la direction du champ magnétique.

Écrire les expressions des champs électrique E et magnétique B, associés à une onde plane progressive harmonique de pulsation ω, se propageant dans le vide dans la direction des x croissants et dont…

Les ondes laser sont-elles longitudinales ou transversales ? Quel est l'état de polarisation de ces ondes ? Justifier brièvement.

Rappeler les équations de Maxwell dans le vide en l'absence de charges et de courant.

Rappeler et nommer les équations de Maxwell.

Rappeler l'équation locale de Maxwell-Faraday. On donne le théorème de Stokes : _L E · dℓ = _S rotE · dS où S désigne une surface s'appuyant sur le contour fermé L. Obtenir une formulation globale…

Rappeler les équations de Maxwell dans le vide (donc dans le milieu S).

Exprimer E en fonction de ε₀, c et E₀.

Expliquer pourquoi, compte tenu des hypothèses retenues, la composante magnétique de la force exercée par l'onde électromagnétique sur les électrons n'apparaît pas dans l'équation du mouvement…

Donner les expressions réelles des champs de vecteur électrique E et magnétique B puis exprimer Bₘ en fonction notamment de Eₘ. Représenter sur un même graphique, à une date t donnée, l'évolution…

Exprimer le vecteur de Poynting R(x, t) en fonction notamment de Eₘ. Calculer l'ordre de grandeur de Eₘ pour une onde électromagnétique véhiculant une intensité I₀ = 1 kW⁻².

Donner les expressions réelles des champs de vecteur électrique E et magnétique B puis exprimer Bₘ en fonction notamment de Eₘ. Représenter sur un même graphique, à une date t donnée, l'évolution…

Donner les expressions réelles des champs de vecteur électrique E et magnétique B puis exprimer Bₘ en fonction notamment de Eₘ. Représenter sur un même graphique, à une date t donnée, l'évolution…

On considère que chaque atome est soumis à un champ électrique du type E = E₀ cos (ω t - kz) uₓ, créé par un laser. On néglige tout phénomène magnétique. À quelle condition peut-on remplacer…

Rappeler sans démonstration l’équation dont le champ électrique est solution dans le vide. En déduire la relation de dispersion liant k et ω en fonction de la célérité c de l’onde. Comment qualifier…

Établir l’expression du champ magnétique associé à cette onde incidente.

Déterminer l’expression de la valeur moyenne temporelle du vecteur de Poynting associé à cette onde incidente.

Rappeler les équations locales de Maxwell relatives au champ magnétique B. Comment se simplifient-elles dans l'ARQS ?

Le courant i(t) étant variable, il apparaît une force électromotrice (fem) e(t) aux bornes de la bobine réceptrice. Quel phénomène est ainsi mis en évidence ? Donner l'équation locale de Maxwell à…

Retrouver l'équation de propagation vérifiée par le champ électrique.

Exprimer le vecteur de Poynting Π associé à cette onde. En déduire la puissance moyenne qui traverse une surface S orthogonale à la direction de propagation et qui est orientée dans le sens de la…

Déterminer le champ magnétique total en tout point du demi-espace z < 0 en fonction de E₀, c, ω, z et t.

Exprimer le champ magnétique de l'onde lumineuse en fonction de E, k et de ω. Montrer qu'il est également transverse.

En s'appuyant sur les équations énoncées à la question Q9, établir l'équation de d'Alembert régissant la propagation du champ électrique dans le vide. On introduira la célérité de la lumière dans le…

Établir l'expression du vecteur de Poynting Π(M, t) associé à l'onde électromagnétique étudiée. Exprimer sa moyenne temporelle.

Énoncer le théorème d'Ampère. L'établir à partir d'une équation de Maxwell en régime stationnaire.

Redémontrer l'équation de d'Alembert satisfaite par le champ électrique dans une région vide de charges et de courants ; on fera apparaître la célérité de la lumière dans le vide c. En déduire…

Redémontrer l'équation de d'Alembert satisfaite par le champ électrique dans une région vide de charges et de courants ; on fera apparaître la célérité de la lumière dans le vide c. En déduire…

Rappeler l’équation de Maxwell-Faraday. En déduire l’expression de la tension u₂(t) aux bornes du secondaire en fonction de u₁(t) ainsi que N₁ et N₂ et qu’on désignera par le nom de loi de…

Montrer que, en norme, le courant de déplacement qui apparaît dans l'expression ci-dessus est négligeable devant le courant de conduction, lorsque la pulsation ω de l'onde de champ E considérée est…

On considère un volume sphérique V_R fixe, de rayon R, délimité par la sphère Σ_R, de normales dirigées vers l'extérieur. Le volume V_R est défini de telle façon qu'il contienne le système D…

Déterminer l'ordre de grandeur littéral de l'amplitude maximale E₀ du champ électrique de l'onde électromagnétique, qu'on exprimera en fonction de P_L, c et de la perméabilité magnétique du vide µ₀.

En admettant que la résultante des chocs d'un porteur de charge mobile avec le reste du milieu conducteur est équivalente à une force de freinage de la forme f = -m/τ v, étudier le mouvement d'un…

Rappeler l'équation locale de conservation de la charge en régime quelconque. En déduire, pour le régime stationnaire d'étude, une propriété vérifiée par le vecteur densité de courant électrique…

Définir et exprimer le vecteur de Poynting associé à l'onde émise. Déterminer dans quelle direction la puissance surfacique émise est maximale et exprimer la norme de la valeur moyenne du vecteur de…

Rappeler les deux équations locales vérifiées par le champ magnétique en régime stationnaire et montrer que le champ proposé vérifie ces équations. Donner la valeur de K'.

Montrer que l'onde a localement une structure d'onde plane. Qualifier la polarisation de l'onde. Vérifier l'homogénéité des champs.

Définir et exprimer le vecteur de Poynting associé à l'onde émise. Déterminer dans quelle direction la puissance surfacique émise est maximale et exprimer la norme de la valeur moyenne du vecteur de…

En déduire l'équation d'onde vérifiée par le champ électrique E. Quel nom donne-t-on à cette équation ? En déduire la relation de dispersion pour une onde électromagnétique dont le champ électrique…

En déduire l'équation d'onde vérifiée par le champ électrique E. Quel nom donne-t-on à cette équation ? En déduire la relation de dispersion pour une onde électromagnétique dont le champ électrique…

Pour chacun des trois faisceaux, indiquer la direction et le sens de propagation ainsi que la polarisation de la lumière correspondants.

On modifie le dispositif en collant sur chacun des deux miroirs de l'interféromètre une lame quart d'onde dont la ligne neutre fait un angle π/4 par rapport au plan Π. Cette lame quart d'onde est…

Donner la condition permettant de négliger la composante magnétique de la force de LORENTZ devant la composante électrique. On suppose cette condition réalisée dans la suite de l'étude. Justifier…

Établir l'équation de propagation du champ électrique dans le vide.

Montrer que des ondes planes de la forme E = E₀ exp (jω t - jkz) et B = B₀ exp (jω t - jkz) peuvent se propager dans le vide. En déduire l'expression du vecteur d'onde k = ke_z. Caractériser la…

Établir l'équation d'onde sur le champ électrique E : Δ E - 1/c² (∂² E)/(∂ t²) = µ₀ (∂ )/(∂ t) où c sera exprimée en fonction de ε₀ et de µ₀.

Obtenir l'équation de d'Alembert vérifiée par le champ électrique E. En déduire la relation entre c, ε₀ et µ₀.

On fait l'approximation w₀ ≫ λ, avec λ la longueur d'onde du laser. Montrer que k_z ≃ k - (kₓ² + k_y²)/2k. (On rappelle k = 2π/λ).

Déterminer les expressions du champ magnétique incident B_i et du champ magnétique réfléchi B_r existants dans la cavité.

Déterminer l'expression des champs magnétiques incident B_i(z, t), réfléchi B_r(z, t) et transmis B_c(z, t).

Citer les approximations associées aux deux inégalités r ≫ a et λ ≫ a.

Établir l'équation de propagation vérifiée par le vecteur champ électrique dans le vide.

Justifier l'existence d'un champ magnétique B et montrer que B(M,t) = B(r,z,t) e_θ.

Justifier que, si l'on reste dans l'espace entre les armatures, la circulation du champ magnétique le long d'un contour orienté s'écrit : B · dℓ = 1/c² dΦ_E/dt, avec c et Φ_E à préciser.

Retrouver la relation de dispersion k = ω/c. Préciser l'expression de la célérité c de l'onde en fonction de ε₀ et de µ₀.

Déterminer l'expression du vecteur de Poynting π, après avoir rappelé sa signification et l'unité de sa norme.

Calculer la valeur moyenne Π du vecteur de Poynting sur une période 2π/ω₀. En intégrant Π sur une sphère centrée sur l'atome, montrer que l'électron rayonne une puissance moyenne P = (q² z₀²…

Faire le bilan des forces appliquées à l'électron et justifier que l'on peut écrire, en notation complexe, r + γ(ω)r + ω₀² r = qE₀/m e⁻iω t eₓ (6)

Montrer que dans le cas ω ≪ ω₀, σ(ω) peut s'écrire σ(ω) = 8π/3 rₑ² (ω/ω₀)⁴ (8) Calculer rₑ. Commenter l'ordre de grandeur.

Montrer que (∂² v)/(∂ x²) + (∂² v)/(∂ y²) + 2ik (∂ v)/(∂ z) = 0 (15)

Vérifier que le potentiel vecteur A_1,p(R, t) = -i/ω_p E_1,p u_p(R) e⁻iω_p t eₓ (26) permet de retrouver le champ du mode p associé à un photon en utilisant B_1,p(R, t) = rot A_1,p(R, t) et E_1,p(R…

Exprimer les champs magnétiques des trois ondes, en notation complexe, en précisant leurs amplitudes B_0i, B_0r et B₀ₜ en fonction de E_0i, E_0r, E₀ₜ, n_v, n_s, c et e_z (vecteur unitaire de l'axe…

Rappeler les équations de Maxwell dans le vide et établir l'équation de propagation du champ électrique dans le vide, en l'absence de charge et de courant.

Déterminer, en notation complexe, le champ magnétique B(M, t) associé au champ électrique E(M, t).

Rappeler l'équation locale de conservation de la charge et déduire que la densité volumique de charge vérifie (∂ ρ)/(∂ t)+ρ/τ=0 où on exprimera τ en fonction de la conductivité γ et de la…

Écrire l'équation de Maxwell-Ampère et identifier un terme de courant de déplacement et un terme de courant de conduction. Déterminer la valeur de la pulsation ω_c à partir de laquelle le courant de…

On suppose ω ≪ ω_c. Établir l'équation aux dérivées partielles vérifiée par le champ électrique E. De quel type d'équation s'agit-il ?

Rappeler les équations de Maxwell dans le vide et établir l'équation de propagation vérifiée par le vecteur champ électrique E.

Calculer le flux de celui-ci à travers une sphère de centre O et de rayon r très grand.

Déterminer l'équation de propagation du champ électrique E.

Déterminer le champ magnétique B associé à cette onde en fonction, entre autres paramètres et variables, de E₀, k et de ω.

On étudie le rayonnement de ce dipôle dans la zone de rayonnement, en se plaçant dans l'approximation dipolaire et dans le cadre d'une hypothèse non relativiste. Traduire ces approximations par…

On admet que la relation de continuité du champ électrique sur (P') s'écrit, pour tout t ≥ 0 : E'_i(x=Vt, t) + E'_r(x=Vt, t) = 0. a) En déduire le rapport des fréquences f₂/f₁. b) Exprimer l'écart…

Établir l'équation locale traduisant la conservation de la charge électrique en coordonnées cartésiennes à une dimension. Par analogie, on admettra l'équation locale de conservation de la masse pour…

En admettant que la solution (11), Hₘ = -Nₓ M₀ₓ uₓ - N_y M_0y u_y - N_z M_0z u_z, est encore valable dans cette géométrie (et N_z < 1), utiliser une équation de Maxwell pour montrer que l'angle θ…

Définir l'ARQS magnétique. Que deviennent les équations de Maxwell dans cette approximation ?

Exprimer le vecteur de Poynting R(x, t) en fonction notamment de Eₘ. Calculer l'ordre de grandeur de Eₘ pour une onde électromagnétique véhiculant une intensité I₀ = 1 kW⁻².

Exprimer le vecteur de Poynting R(x, t) en fonction notamment de Eₘ. Calculer l'ordre de grandeur de Eₘ pour une onde électromagnétique véhiculant une intensité I₀ = 1 kW⁻².

Déterminer le champ magnétique de l'onde (en assimilant le milieu au vide). Relier l'intensité de l'onde électromagnétique plane dans le vide (puissance électromagnétique moyenne transportée par…

Justifier quantitativement que le poids de l'électron est négligeable devant la force exercée par le champ électrique, en considérant par exemple un champ électrique |E| = 1 V⁻¹. Écrire l'expression…

Cette approche en mode sinusoïdal résonant relève-t-elle de l'ARQS ? Proposer un critère numérique permettant de confirmer votre réponse.

À l'aide du formulaire disponible en fin d'énoncé, établir l'équation aux dérivées partielles suivante vérifiée par le champ électrique E(M, t) en tout point M à l'intérieur de la cavité : Δ E(M, t)…

Calculer le vecteur de Poynting et la densité volumique d'énergie instantanée dans la partie a < r < b. En déduire la vitesse de propagation de l'énergie.

On suppose que la loi d'Ohm s'écrit sous la forme = γ₀ E, montrer que dans le conducteur la densité volumique de charge ρ(M, t) peut être considérée comme nulle au bout d'un temps τ' que l'on…

En supposant que les valeurs des fréquences utilisées permettent d'utiliser les versions simplifiées des équations de Maxwell identifiées dans les questions 8 et 10, établir l'équation suivante pour…

Retrouver l'équation de propagation : - µ₀ε₀∂²E/(∂ t²) = 0.

À partir d'une équation de Maxwell, démontrer que k, E et B forment un trièdre droit direct.

En utilisant, au voisinage d'un point de l'axe (coordonnées (r, x₃) avec r ≪ R₁), l'équation de Maxwell de la question 37, démontrer que B_r(r, x₃) ≃ -r/2 dBₐₓₑ/dx₃.

Effectuer un bilan unidimensionnel de puissance électromagnétique moyenne pour une tranche d'air limitée par les plans d'abscisse x et x+dx ; en déduire la relation liant l'intensité I(x+dx) de…

Dans quel domaine spectral se situent ces ondes ?

Quelle est sa direction de propagation ? Quel est son état de polarisation ? Expliquer en quoi cette solution constitue une O.P.P.H. Vérifier qu'elle est acceptable à condition que k et ω…

Déterminer le champ magnétique B(M,t) associé à cette onde. Résumer les principales caractéristiques l'onde électromagnétique.

Exprimer dN_γ/dt en fonction de , h, c et de la longueur d'onde λ associée au champ électromagnétique.

Déterminer la solution Π(x) de l'équation différentielle vérifiée par la composante du vecteur de Poynting en posant Π₀ = Π(x = 0).

Comparer ces équations de Maxwell à celles dans le vide.

Indiquer la direction de propagation de l'onde, son vecteur d'onde k et sa direction de polarisation.

Montrer que le champ électrique est transverse.

Associer les termes "plane", "progressive", "monochromatique" et "polarisée rectilignement" aux éléments correspondants de l'expression du champ électrique donnée en équation (1).

Préciser le domaine d'ondes électromagnétiques correspondant à la gamme de longueurs d'onde de mesure de l'absorbance de ces espèces.

Rappeler les formes locales des quatre équations de Maxwell ainsi que leurs noms.

Rappeler l’équation de Maxwell-Thomson (ou Maxwell-flux). Compte-tenu des hypothèses, que peut-on dire du flux magnétique à travers chaque section droite du circuit magnétique ?

À quel domaine du spectre électromagnétique correspond une fréquence f = 5· 10¹⁴ Hz ?

Une distribution de courants d'extension spatiale finie peut-elle rayonner de l'énergie dans l'ARQS magnétique?

Les valeurs de ω_p pour l'or et l'argent, qui sont les métaux les plus fréquemment utilisés, correspondent à des fréquences électromagnétiques dans l'ultraviolet proche. L'approximation…

Identifier la direction de propagation éventuelle et la polarisation de l'onde.

Le rayonnement synchrotron est anisotrope et polarisé. Définir ces 2 mots.

Exprimer l'accélération a de l'électron. Définir le moment dipolaire p₀ associé à la distribution de charges et donner son amplitude p₀ en fonction de e, ω et de a = |a|.

Le calcul précédent permet de comprendre qualitativement l'anisotropie du rayonnement lorsque les particules émises sont des photons, mais ne peut être exact. Expliquer pourquoi.

Le rayonnement synchrotron est anisotrope et polarisé. Définir ces 2 mots.

Le calcul précédent permet de comprendre qualitativement l'anisotropie du rayonnement lorsque les particules émises sont des photons, mais ne peut être exact. Expliquer pourquoi.

Écrire les équations de Maxwell dans le vide, en précisant leurs noms.

Donner l'expression du vecteur de Poynting R en fonction des champs électrique et magnétique. Donner la signification physique de sa moyenne Rₘ(x) = (x,t). On ne demande pas de la calculer.

Écrire les équations de Maxwell dans le vide, en précisant leurs noms.

Écrire les équations de Maxwell dans le conducteur ohmique. On va travailler en régime lentement variable (aussi appelé ARQS). Quel terme des équations de Maxwell est alors négligé dans le…

Donner l'expression du vecteur de Poynting R en fonction des champs électrique et magnétique. Donner la signification physique de sa moyenne Rₘ(x) = (x,t). On ne demande pas de la calculer.

Rappeler la relation entre les amplitudes E₀ et B₀ des champs électrique et magnétique.

Écrire les expressions des champs E(M, t) et B(M, t), ainsi que du vecteur de Poynting Π(M, t). On donnera les expressions en fonction, notamment, de E₀, ω, k, c et ε₀.

Rappeler l'expression du vecteur de Poynting, noté Π(M, t). Donner sa dimension et son unité courante.

Rappeler les équations de Maxwell. Que deviennent-elles dans le vide ?

On suppose que l'onde électromagnétique incidente, associée à un rayon issu de la source ponctuelle à l'infini dans la direction e_z, se propageant dans l'air d'indice unité est caractérisée par un…

Montrer que le caractère transversal de l'onde implique ρ = 0.

Écrire l'équation de Maxwell-Ampère reliant le champ magnétique, le vecteur densité de courant et le champ électrique.

Donner l'expression du champ électrique réel de l'onde en un point M à l'instant de date t, noté E(M, t). On fera notamment apparaître E₀, ω et k.

Donner la relation reliant les courants induits J en fonction du champ électrique E en prenant soin de d'étailler la constante introduite et ses unités.

Cette question a pour but d'évaluer les ordres de grandeurs caractéristiques de l'optique et d'introduire le vocabulaire de l'opticien. 2-a) On souhaite construire un laser qui produit un…

Quelles sont les caractéristiques du champ électrique E_i introduit dans la cavité optique ? On précisera le nom et l'unité des grandeurs E₀, ω et k.

Le laser utilisé pour la télémétrie Terre-Lune est un laser YAG-Nd de longueur d'onde λ = 1 064 nm auquel on a adjoint un doubleur de fréquence. Quelle est la longueur d'onde utilisée pour cette…

En déduire une simplification de la formulation de l'équation de Maxwell-Ampère. Comment appelle-t-on cette approximation ?

Justifier que l'on peut supposer que le milieu est électriquement neutre. Écrire dans ces conditions l'équation de Maxwell-Gauss dans un conducteur ohmique.

Déterminer I₀, l'amplitude du courant I(t).

Rappeler l'expression de la puissance volumique cédée par un champ électromagnétique à un conducteur ohmique.

En régime harmonique et dans le vide, établir la relation existant entre k et ω.

Rappeler les équations de Maxwell dans le vide, en l'absence de charge et courant.

Donner l'autre nom de cette équation. Citer précisément un exemple d'ondes autres qu'électromagnétiques suivant cette même équation de propagation.

Cette onde est-elle progressive ? Justifier. Donner, le cas échéant, la direction et le sens de propagation de cette onde.

Écrire l'expression du vecteur k en fonction de la longueur d'onde λ et des vecteurs de la base.

Cette onde est-elle plane ? Justifier.

Quel est le type de polarisation ? Préciser son éventuelle direction.

On modélise l'amortissement dû au rayonnement en introduisant une force de réaction de rayonnement -mγ(ω)r avec γ(ω) = q² ω² / (6πε₀ m c³) (5) appliquée à l'électron (dans tout ce problème on…

Établir la relation de dispersion de l'onde de champ électrique complexe E(M, t) dans le vide. Le vide est-il un milieu dispersif ?

Énoncer la loi d'Ohm locale reliant la densité volumique de courant , la conductivité γ et le champ électrique E.

En déduire le vecteur de Poynting Π correspondant.

Est-ce cohérent avec le seul maximal fixé par l'INERIS (institut national de l'environnement industriel et des risques) qui indique, pour l'amplitude du champ électrique, 61 V⁻¹ pour des fréquences…

On donne l’expression du champ magnétique B = (µ₀ e d ω²)/(4π c) (sin (θ))/r cos (ω(t-r/c))e_φ. Pourquoi dit-on que l’onde est localement plane ?

Écrire le vecteur de Poynting Π associé à l’onde.

En déduire quelle est l’énergie moyenne temporelle rayonnée par l’électron.

Déterminer un ordre de grandeur de la longueur d'onde de cette fréquence associée au Canal 16 de la VHF.

Quelle est la direction de propagation et quel est le sens de propagation de cette onde ?

Quelle relation doit exister entre c, ε₀ et µ₀ pour que cette onde satisfasse cette équation de propagation ?

Préciser le vecteur d'onde k de cette onde émise.

Rappeler l'expression de la relation de dispersion k(ω) pour des ondes électromagnétiques dans le vide, ici assimilées à des photons.

Donner un ordre de grandeur des fréquences correspondant aux ondes radio.

Justifier que l'onde électromagnétique considérée peut être qualifiée de plane, progressive, transverse et que son état de polarisation est rectiligne.

Rappeler l'expression des équations de Maxwell dans le milieu considéré, en faisant intervenir nₑ₁(M, t), ₁(M, t), E₁(M, t) et B₁(M, t).

Le rayonnement est-il isotrope ? Si non, dans quel plan est-il maximal ?

Dans le cas du véhicule de la figure 2, le radar émet un signal sinusoïdal de fréquence f₁ = 24,125 000 0 GHz et reçoit un signal écho de fréquence f₂ = 24,124 995 0 GHz. Donner la valeur du…

Sachant que l'expérience est menée avec un laser opérant en lumière visible (jaune du sodium), quel est l'ordre de grandeur de ω₁ ?

Donner les différents qualificatifs qui caractérisent cette onde.

Calculer la fréquence de cette onde.

On cherche un champ sous la forme E(x,t) = g(x) cos (2π ft) u_y. A quel type d'onde cela correspond-il ?

Exprimer en fonction de puis l'équation différentielle vérifiée par . En déduire que (t) = E₀ exp (-Γ t), on exprimera Γ en fonction des données puis on calculera sa valeur numérique pour la raie…

Si F_noy = -mₑ ω₀² r e_r, déterminer L_O(t) pour un moment cinétique initial L_O(0) donné. Quelle est la durée caractéristique de décroissance du moment cinétique ? Où « passe » le moment cinétique…

En déduire la densité volumique d'énergie électromagnétique uₑₘ en fonction de ε₀, E₀, c, ω, z et t, puis sa moyenne temporelle que l'on notera uₑₘ .

En utilisant l'équation de Maxwell-Ampère, établir une équation aux dérivées partielles vérifiée par le champ magnétique B en notation complexe.

Préciser les conditions pour que la force magnétique du rayonnement soit négligeable devant la force électrique. On considèrera cette condition respectée dans la suite.

Rappeler l'ordre de grandeur de la taille d'un atome et montrer que, pour une radiation dans l'UV (longueur d'onde du rayonnement de l'ordre de 200 nm), le champ électrique est uniforme à l'échelle…

On considère le couple (R, uₑₘ). En s'appuyant sur l'analogie (R, uₑₘ) (j, µ c T), donner la relation générale analogue à celle donnée dans la question Q23. Dans notre cas particulier et en…

En déduire que l'énergie magnétique totale stockée dans le système de courants pour t>T s'écrit: U_ms= (B²(r))/(2 µ₀) d τ_r où l'intégrale est prise sur tout l'espace.

Le laser délivre des impulsions d'énergie E_L = 1 mJ pendant une durée T_L = 40 fs. Déterminer l'ordre de grandeur littéral puis numérique de la puissance par unité de surface au foyer de la…

Le flux énergétique surfacique que la Terre reçoit du Soleil au-dessus de l'atmosphère est celui d'une onde plane dont l'amplitude du champ électrique vaut 700 V⁻¹. En déduire, par un argument de…

Le chauffage est-il plus efficace si la direction de propagation du laser est parallèle ou perpendiculaire à l'axe du cylindre ?

On choisit une onde telle que le champ magnétique B soit dirigé suivant y en tout point. Que peut-on alors dire des directions du vecteur d'onde k et du champ électrique E, dans le vide et dans le…

On note Eₓ et E_z les amplitudes complexes de E suivant x et z, et on suppose k_z non nul. Exprimer E_z en fonction de Eₓ, kₓ et k_z, dans le vide et dans le métal.

On note B_y l'amplitude complexe du champ magnétique en projection sur l'axe y. Exprimer B_y en fonction de Eₓ, kₓ, k_z et ω, dans le vide et dans le métal.

En utilisant l'expression de la conductivité complexe obtenue à la question 17, en déduire la relation entre l'amplitude complexe de la densité surfacique de charge σ et l'amplitude complexe E_z2 de…

Dans cette approximation, justifier que le vecteur densité volumique de courant j = jₓ(r,θ,x,t)eₓ ne dépend pas de la coordonnée x, définie par l'axe de révolution (Ox) du barreau cylindrique…

Montrer que le champ électrique E_r(t) reçu par l’antenne du satellite situé en x(t) = d₀ + v_kt a un pulsation ω'_c différente de ω_c que l’on exprimera en fonction de ω_c, v_k et c. Comment…

Rappeler les deux équations locales vérifiées par le champ magnétique en régime stationnaire et montrer que le champ proposé vérifie ces équations. Donner la valeur de K'.

Justifier que les composantes E_φ, B_r et B_θ sont nulles. Justifier ensuite que les composantes non nulles des champs émis ne dépendent pas de φ.

Donner la direction dans laquelle la puissance surfacique moyenne émise est maximale. Comparer alors qualitativement la valeur maximale de la norme de la moyenne du vecteur de Poynting dans le cas…

En déduire que pour un électron ultrarelativiste du synchrotron, le demi-angle θ' à l'intérieur duquel est émis la moitié du rayonnement est tel que θ' ≈ 1/γ. Calculer θ' pour γ = 5,0· 10⁴. Conclure.

Justifier que les composantes E_φ, B_r et B_θ sont nulles. Justifier ensuite que les composantes non nulles des champs émis ne dépendent pas de φ.

Exprimer l'accélération a de l'électron. Définir le moment dipolaire p₀ associé à la distribution de charges et donner son amplitude p₀ en fonction de e, ω et de a = |a|.

Donner la direction dans laquelle la puissance surfacique moyenne émise est maximale. Comparer alors qualitativement la valeur maximale de la norme de la moyenne du vecteur de Poynting dans le cas…

En déduire que pour un électron ultrarelativiste du synchrotron, le demi-angle θ' à l'intérieur duquel est émis la moitié du rayonnement est tel que θ' ≈ 1/γ. Calculer θ' pour γ = 5,0 · 10⁴. Conclure.

On admet que la fréquence associée à Δ t constitue la fréquence supérieure fₘₐₓ du spectre émis. Calculer fₘₐₓ pour R = 57 m et γ = 5,0 · 10⁴. Citer le domaine du spectre électromagnétique auquel…

Citer l'expression de l'équation locale de Maxwell Ampère. On se place dans l'ARQS magnétique. Simplifier alors l'équation de Maxwell Ampère. Justifier alors qu'une tranche de conducteur de surface…

Donner la relation entre l'amplitude E₀ du champ électrique et l'énergie E_imp d'une impulsion en fonction de ε₀, c et τ.

Dessiner la trajectoire du rayon lumineux dans l'interféromètre pour une onde S, puis pour une onde P. Expliquer pourquoi un tel dispositif est sans intérêt.

On place devant l'entrée de l'interféromètre de Michelson un polariseur dont l'axe forme un angle de π/4 avec le plan Π. Quel est alors l'état de polarisation de l'onde à la sortie de…

Exprimer gₑₘ(M, t) en fonction de Π(M, t). Donner la dimension de gₑₘ et ℓₑₘ, et vérifier que Gₑₘ et Lₑₘ sont respectivement homogènes à une quantité de mouvement et un moment cinétique.

Pour un champ électrique dont l'expression serait E(M, t) = E₀(x)eiω te_z, montrer que la condition obtenue précédemment est la même. En déduire que pour une pulsation ωₙ donnée respectant cette…

Justifier qualitativement le fait que l'on puisse écrire l'onde électromagnétique issue du rayonnement solaire sous cette forme. Justifier qualitativement l'apparition de cette polarisation. Que…

Justifier qualitativement le fait que l'on puisse écrire l'onde électromagnétique issue du rayonnement solaire sous cette forme. Comment expliquer la création du moment dipolaire p ? On se…

Sachant que le maximum d'émission du Soleil est centré sur la longueur d'onde d'un rayonnement vert, estimer la valeur de H_ω. Sachant que l'épaisseur caractéristique de l'atmosphère est de l'ordre…

Attribuer quatre qualificatifs à la solution proposée en les justifiant.

Exploiter l'équation II.1 pour établir la relation k = ω/c où c = 1/√(µ₀ ε₀).

On montre en électromagnétisme classique (c'est-à-dire à partir des équations de Maxwell) qu'une charge animée d'un mouvement périodique de fréquence f rayonne une onde électromagnétique de même…

Exprimer le champ magnétique B(M) associé en admettant que localement l'onde rayonnée a une structure d'onde plane se propageant dans la direction de OM.

On s'intéresse au champ électrique complexe, en un point infiniment éloigné, associé à un rayon diffracté, dans la direction θₙ, telle que sin θₙ = nλ/a avec n entier relatif. On admet que…

a) Que vaut en un point M infiniment éloigné dans la direction θₙ l'expression du vecteur de Poynting moyen Π_N(M, t) = Π_N(M) associé à l'onde résultante issue des N fentes ? On l'exprimera en…

a) Rappeler la loi d'Ohm locale dans un milieu ohmique (on l'écrira à l'aide du potentiel électrique V). À quelles grandeurs électriques sont analogues respectivement ψ et j_M ? Définir et exprimer…

Montrer que les champs électrique et magnétique de l'onde sont transverses à l'aide de la notation complexe.

Obtenir l'expression du champ magnétique réel de l'onde en un point M à l'instant de date t, noté B(M, t).

Exprimer le vecteur de Poynting de l'onde en un point M à l'instant de date t, noté Π(M, t).

Exprimer la densité volumique d'énergie électromagnétique en un point M à l'instant de date t, notée w(M, t), en fonction de E₀, ω, k, ε₀, t et de z.

On note T la période temporelle de l'onde plane progressive monochromatique. Montrer que les valeurs moyennes temporelles de Π et de w vérifient Π _T = c w _T e_z = (cε₀ E₀²)/2 e_z.

Définir les symétries et invariances du système afin de réduire le nombre de composantes non nulles et leurs dépendances.

On considère une onde plane de vecteur d'onde k formant un angle θ avec l'axe (Oz). Exprimer δ k_rel en fonction de θ. Donner un ordre de grandeur de la limite supérieure de |θ| pour que |δ k_rel|…

Déduire l'expression p_z en fonction de φ(r).

Tracer l'allure du profil d'intensité I(x, z) en fonction de x pour z = 52 cm. Repérer les régions où (∂² I)/(∂ x²) > 0 et où (∂² I)/(∂ x²) < 0.

Quel est l'intérêt de définir ce type de grandeur ?

Déterminer la résistance de rayonnement R_r pour les deux types de réseau.

Écrire E sous la forme E = Eₒ cos (ω t) u_z avec Eₒ à préciser en fonction de Uₒ et des autres données de l'énoncé.

Déterminer la densité volumique de courant j en fonction de σ_air(t) et des données de l'énoncé.

Montrer que l'équation différentielle relative à la densité surfacique de charge d'air s'écrit : dσ_air/dt + σ_air/τ = 0, avec τ une constante de temps à exprimer en fonction des données de l'énoncé.

À quelle condition portant sur |E₂| et |E₀| peut-on considérer que rot(E) ≃ 0 comme supposé à la Q17 ? On admet que cette condition est vérifiée si a ≪ c/f où c est la célérité des ondes…

Retrouver l'expression du champ magnétique B = -E₀/ccos (ω t - ky)u_z.

Justifier que la puissance reçue décroit en 1/d² dans l'expression (1).

Donner les quatre équations de Maxwell (ainsi que leur nom) pour l'eau de mer. En déduire l'équation locale de conservation de la charge électrique. À l'aide de cette dernière, montrer que l'eau de…

Le vecteur d'onde de la lumière est noté k. Lorsque la lumière parcourt la fibre optique, quelle est la trajectoire décrite par l'extrémité du vecteur k ? On note cette trajectoire γ. On n'attend…

Lorsque γ est confondue avec l'équateur de la sphère, qu'observe-t-on sur le plan de polarisation ?

En déduire, par des considérations énergétiques, que le mouvement de l'électron s'amortit au cours du temps. Calculer le temps caractéristique de l'amortissement de l'amplitude des oscillations.

Exprimer la puissance rayonnée par l'électron (équation (3) de la question 6) en régime stationnaire. D'où vient cette énergie ? Justifier que l'on parle de "lumière diffusée" par l'atome.

Calculer le rapport σ(ω) entre la puissance rayonnée et la puissance par unité de surface de l'onde incidente (ε₀ |E₀|² c/2). Le résultat a la dimension d'une surface. Quel est l'interprétation…

Tracer w(z) qualitativement en fonction de z. On veillera à bien repérer sur l'axe des abscisses la position z = z_R. Dans quelle région de l'espace peut-on considérer que le faisceau laser se…

Montrer que B_p(R, t) = (E₊)/iω (∂ u_p(R))/(∂ z) e⁻iω_p t e_y (24) On pourra utiliser que |∂ u_p/∂ y| ≪ |∂ u_p/∂ z|.

On choisit les paramètres de la cavité de sorte que l'un de ses modes, noté p₀, ait une fréquence très proche de la fréquence de résonance de l'atome (ω_p_0 ≈ ω₀). Justifier qualitativement que l'on…

On suppose que β(t) = β_p_0(t) varie lentement à l'échelle de 2π/ω. Donner l'expression de E(R, t) dans cette approximation.

Intégrer l'équation différentielle sur r obtenue à la question 41. On considère qu'à t = 0 l'atome est excité (r(0) = r₀ > 0) et le champ électromagnétique dans la cavité est nul (β(0) = 0). Tracer…

La figure 2 présente les résultats d'une expérience dans laquelle on laisse un atome initialement dans l'état excité au centre d'une cavité similaire à celle décrite figure 1 pendant un temps…

On identifie les modes du champ par un indice ℓ qui définit le vecteur d'onde k_ℓ et un indice ε qui définit la polarisation (choisie linéaire) e_ℓ,ε de l'onde plane. Le champ électrique du mode ℓ,ε…

Justifier que l'on peut supposer que l'atome est au point R₀ = 0 sans perte de généralité. Dans ce cas, les équations couplées de la question 46 deviennent iαe⁻iω₀ t = -Σ_ℓ,ε V_ℓ,ε β_ℓ,ε e⁻iω_ℓ t…

On introduit la densité d'états ρ(ω, Θ), définie de sorte que ρ(ω, Θ)dΘ soit le nombre de vecteurs d'onde k_ℓ correspondants à une onde plane de fréquence comprise entre ω et ω+dω qui fassent un…

Est-ce cohérent avec le résultat de la question 7 ? Conclure quant à la pertinence de ce modèle pour décrire l'émission spontanée.

Reprendre les équations couplées de la question 46. Donner les conditions initiales α(0) et β(0) correspondant à un atome initialement désexcité et un mode contenant N photons dans ce modèle.

Montrer qu'aux temps courts α²(t) ≃ N (Ω₀² t²)/4 (64) L'énergie de l'oscillateur est proportionnelle à N. Était-ce attendu ?

Évaluer numériquement τ et en déduire que, pour des ondes de fréquence inférieure à f=1,00 MHz, on peut considérer que ρ=0.

On étudie la propagation d'une onde plane, progressive, monochromatique (OPPM) solution de l'équation de propagation précédente. Cette onde se propage suivant l'axe des z > 0 et est polarisée…

Déterminer alors le vecteur champ magnétique B associé.

Déterminer la valeur moyenne dans le temps de Π.

a) Montrer que la puissance moyenne, appelée puissance de Larmor P_L, rayonnée par cet électron oscillant, peut s’écrire P_L = Kₑ γ · γ en appelant γ l’accélération de la particule chargée et…

a) Donner la définition de la puissance instantanée P_ray associée à cette force. b) Calculer la valeur moyenne sur une période de cette puissance, pour le mouvement forcé d’un électron mobile placé…

a) En admettant que la formule de la puissance de Larmor P_L = Kₑ γ·γ peut être utilisée, établir la puissance rayonnée P par l’électron. b) Que vaut la puissance notée P₀ pour ω = ω₀ ? Comment…

L’énergie électromagnétique moyenne correspond à celle d’un oscillateur de pulsation ω. En déduire l’expression de δ E dans la boîte en fonction de V, ħω et de ε₀.

Qualifier cette onde. Plusieurs adjectifs sont attendus.

Exprimer, en fonction de E₀, µ₀ et de c, le vecteur de Poynting Π associé à cette onde. Quelle est sa signification physique ?

Exprimer la valeur moyenne temporelle du vecteur de Poynting en fonction de c, E₀ et de ε₀.

En admettant que l'expression du champ magnétique obtenue à la question Q11 reste valide à condition de remplacer I par i(t), justifier qu'en tout point M à l'intérieur du solénoïde, le champ…

On cherche une solution de ces équations pour le champ électrique associé à l'onde sous la forme : E(r,z,t) = E(r)cos (ω t - kz)u_r où ω et k sont des constantes positives. A partir d'une des…

Déduire d'une seconde équation de Maxwell l'expression du champ magnétique B(r,z,t) dans le milieu S, sachant qu'on n'envisage pas de composante statique de ce champ.

Exprimer la représentation complexe du champ électrique E de l'onde incidente d'amplitude E₀ ; on prendra l'origine des phases au point origine O.

Montrer que les caractéristiques de l'onde électromagnétique imposent nₑ₁(M, t) = 0.

Donner, sans démonstration, l'expression, sous forme intégrale, des quatre équations de Maxwell écrites ci-dessus dans une formulation locale.

Le vecteur densité de courant électrique dans le plasma s'écrit (x,t) = j(x,t)e_y. Expliciter, d'une part, l'équation aux dérivées partielles reliant E(x,t) et B(x,t) et, d'autre part, celle reliant…

a) Donner l'expression de la puissance moyenne totale P_totale rayonnée par ce dipôle en fonction de µ₀, c, p₀ et ω. b) Cette expression ne dépend pas de r. Quelle signification peut-on en donner ?

a) En exploitant une équation de Maxwell à préciser, exprimer le champ magnétique B_i(x,t) de l'onde incidente dans (R). b) En utilisant le système (σ), établir l'expression ci-dessous du champ…

À quelle condition sur α, γ est-il réel ? On écrit alors γ = γ avec γ > 0. Donner l'expression générale de E(α,z). Dans quel cas, γ est-il imaginaire pur ? On pose alors γ = iδ avec δ > 0. Donner…

On suppose dans cette question que pour |α| ω/c, A(α) = 0. Le champ électrique E(x,z,t) s'écrit alors sous la forme intégrale suivante : E(x,z,t) = exp (-iω t) ∫_-ω/c⁺ω/c A(α) exp [i(α x + γ z)]…

Proposer une interprétation dans le cas où γ est imaginaire pur.

Dans le cas où γ est réel, montrer que : A(α) = ∫_-∞⁺∞ E(x,z=0) e⁻iα x dx .

Donner à une constante multiplicative près l'expression de l'intensité I_L(x,z) et en déduire que le faisceau a toujours un profil gaussien dans un plan z = Cste. Tracer la répartition spatiale…

Montrer qu'il est possible d'écrire I(x) sous la forme suivante : I(x) = I(0) exp [-dₒ(x)] où dₒ(x) est un facteur, appelé « densité optique », que l'on exprimera en fonction des quantités…

Dans (R') le champ électromagnétique précédent est caractérisé par les champs (E', B'). En utilisant l'invariance de la force électromagnétique entre les référentiels (R) et (R'), montrer que la loi…

À l'aide de ces lois de transformations et en considérant exacts les champs E' et B' obtenus en Q12 et Q13, donner les expressions correctes de E et B.

Quelle est alors, en fonction de λ_f et γ, la valeur de la densité linéique de charge λ vue par un observateur dans (R) ? Ce résultat correspond-il à une contraction ou à une dilatation des…

Déterminer le champ magnétique puis le vecteur de Poynting moyen.

Exprimer la puissance moyenne du LASER en fonction de E₀, S, µ₀ et c. En déduire la valeur numérique de l'amplitude E₀.

Exprimer, en fonction notamment de n_γ et de la fréquence ν, l'énergie qui traverse la section S du faisceau. Faire le lien entre et le vecteur de Poynting Π de l'onde électromagnétique constituant…

En vous inspirant des résultats de la partie II.A, proposez une explication qualitative à ce paradoxe.

Grâce à une intégration par parties, exprimer comme la puissance d'une force F_rad = mₑ τ x eₓ moyennée sur une période d'oscillation T₀. On identifiera τ en fonction de Γ et ω₀.

Préciser si tous les processus décrits dans la sous-partie précédente contribuent au bilan. Identifier ceux qui résultent respectivement en un gain ou une perte d'énergie pour l'onde laser.

Exprimer la valeur moyenne temporelle du vecteur de Poynting Π en fonction de k₁(ω), k₂(ω), z, ω, Eₒ, µₒ et d'un vecteur unitaire de base.

Exprimer, en fonction de P₀, Sₐ, λ et de la distance R, la puissance par unité de surface p₀(R) traversant la portion de surface sphérique de rayon R du cône d'émission.

L'antenne émettrice sert également de récepteur du signal diffusé par la cible C. La normale à sa surface est supposée orientée selon la direction (SC). Exprimer, en fonction de P₀, Sₐ, σ, λ et R_C…

Application numérique : Estimer l'ordre de grandeur du rapport K = Pₑ/P₀ de la puissance reçue de l'écho à la puissance émise par l'antenne. Nous adopterons les valeurs suivantes : σ = 10³ m² et θ =…

Montrer que la puissance totale fournie à chaque instant à la distribution de charges par le champ électromagnétique s'écrit P=_D j(r) · E(r) d τ_r. Montrer que la contribution de la composante…

En déduire l'expression des champs électrique et magnétique créés par un électron se déplaçant à la vitesse vₑ, que l'on écrira en fonction de ε₀, µ₀, e, vₑ et du vecteur r repérant le point où le…

On considère un électron de rayon rₑ, se déplaçant à la vitesse vₑ. Justifier qu'à un facteur numérique λ près, proche de l'unité, on peut interpréter l'énergie magnétique Uₘe associée au champ créé…

Justifier qu'il apparaît en tout point de la surface du métal une densité surfacique de charges σ, reliée à la densité de courant en ce point par ∂σ/∂ t = j_z, où j_z représente la composante…

En prenant la partie réelle de l'amplitude complexe, écrire les composantes suivant x et z du champ électrique en fonction de x, z, et t, pour z > 0 et pour z < 0.

Quelles relations lient ω et k d'une part, ω' et k' d'autre part ? Exprimer E'₀ en fonction de E₀ puis ω' en fonction de ω, v et c.

Montrer que la fonction ξ vérifie l'équation différentielle suivante : (d² ξ)/dt² - Aξ = 0, et que la fonction ψ vérifie l'équation différentielle suivante : (d² ψ)/dr² + 1/r dψ/dr - A/c² ψ = 0, où…

Exprimer le champ magnétique dans la cavité pour la pulsation ω₁, en fonction de la fonction J₁, E₀, c, r, ω₁, t, où J₁ est la dérivée de la fonction J₀. On suppose que le champ magnétique a une…

Montrer que l'onde a localement une structure d'onde plane. Qualifier la polarisation de l'onde. Vérifier l'homogénéité des champs.

Soient t₁ et t₂ les instants auxquels l'électron, de vitesse v proche de c, passe en A₁ et A₂, mesurés dans le référentiel de l'observateur. Exprimer les instants t₁' et t₂' auxquels l'observateur…