Feuille d'entraînement : Équations de Maxwell et ondes électromagnétiques dans le vide

Corrigés

1. Exercice 1CentraleSupélec Physique-Chimie 1 MPI 2026, Q3

   Dans le demi-espace z < 0, le champ électrique s'écrit d'après la question Q2 :

   \vec{E}(M, t) = 2 E_0 \sin\left(\frac{\omega z}{c}\right) \sin(\omega t) \,\vec{e}_x

   L'équation de Maxwell-Faraday dans le vide s'écrit :

   \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}

   Le champ \vec{E} ne dépendant spatialement que de z et étant dirigé selon \vec{e}_x, son rotationnel vaut :

   \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E} = \frac{\partial E_x}{\partial z}\,\vec{e}_y = \frac{2\omega E_0}{c} \cos\left(\frac{\omega z}{c}\right) \sin(\omega t)\,\vec{e}_y

   On en déduit :

   \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} = -\frac{2\omega E_0}{c} \cos\left(\frac{\omega z}{c}\right) \sin(\omega t)\,\vec{e}_y

   En intégrant par rapport au temps, la constante d'intégration étant nulle en régime harmonique établi (absence de champ magnétostatique), on obtient :

   \boxed{\vec{B}(M, t) = \frac{2E_0}{c} \cos\left(\frac{\omega z}{c}\right) \cos(\omega t)\,\vec{e}_y}

   Résultat

   $$\vec{B}(M,t)=\frac{2E_0}{c}\cos \left(\frac{\omega z}{c}\right)\cos (\omega t){\vec{e}}_y$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2E3A Physique-Chimie MPI 2026, Q12

   Dans une région vide de charges (\rho = 0) et de courants (\vec{\jmath} = \vec{0}), les équations de Maxwell s'écrivent :

   \begin{aligned} \operatorname{div}\vec{E} &= 0 \quad \text{(Maxwell-Gauss)}, \\ \vec{\operatorname{rot}}\vec{E} &= -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \quad \text{(Maxwell-Faraday)}, \\ \vec{\operatorname{rot}}\vec{B} &= \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \quad \text{(Maxwell-Ampère)}. \end{aligned}

   Prenons le rotationnel de l'équation de Maxwell-Faraday et permutons les opérateurs spatiaux et temporels :

   \vec{\operatorname{rot}}\left(\vec{\operatorname{rot}}\vec{E}\right) = -\frac{\partial}{\partial t}\left(\vec{\operatorname{rot}}\vec{B}\right).

   En utilisant l'identité vectorielle \vec{\operatorname{rot}}\left(\vec{\operatorname{rot}}\vec{E}\right) = \vec{\operatorname{grad}}\left(\operatorname{div}\vec{E}\right) - \Delta\vec{E}, l'équation de Maxwell-Gauss (\operatorname{div}\vec{E} = 0) et l'équation de Maxwell-Ampère, il vient :

   -\Delta\vec{E} = -\mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}.

   En introduisant la célérité de la lumière dans le vide c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}, on obtient l'équation de d'Alembert :

   \boxed{\Delta\vec{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} = \vec{0}}

   L'onde se propageant selon l'axe x, le champ scalaire E(x, t) = f(x)\sin(\omega t) vérifie la forme unidimensionnelle de l'équation de d'Alembert :

   \frac{\partial^2 E}{\partial x^2} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 E}{\partial t^2} = 0.

   Calculons les dérivées partielles :

   \begin{aligned} \frac{\partial^2 E}{\partial x^2} &= \frac{\mathrm{d}^2 f}{\mathrm{d}x^2}(x)\,\sin(\omega t), \\ \frac{\partial^2 E}{\partial t^2} &= -\omega^2 f(x)\,\sin(\omega t). \end{aligned}

   En réinjectant ces dérivées dans l'équation de propagation :

   \left( \frac{\mathrm{d}^2 f}{\mathrm{d}x^2}(x) + \frac{\omega^2}{c^2}f(x) \right) \sin(\omega t) = 0.

   Cette égalité devant être vérifiée à tout instant t, la fonction f vérifie l'équation différentielle :

   \boxed{\frac{\mathrm{d}^2 f}{\mathrm{d}x^2}(x) + \frac{\omega^2}{c^2}f(x) = 0}

   Résultat

   $$\Delta \vec{E}-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2\vec{E}}{\partial t^2}=\vec{0}$$

   $$\frac{{\mathrm{d}}^{2}f}{\mathrm{d}{x}^2}(x)+\frac{{\omega }^2}{c^2}f(x)=0$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3Mines-Ponts Physique 2 MPI 2026, Q4

   Les quatre équations de Maxwell locales dans le milieu considéré s'écrivent :

   \begin{aligned} \text{Équation de Maxwell-Gauss (MG) :} & \quad \mathrm{div}\,\vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} \\ \text{Équation de Maxwell-Thomson (ou Maxwell-flux) :} & \quad \mathrm{div}\,\vec{B} = 0 \\ \text{Équation de Maxwell-Faraday (MF) :} & \quad \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \\ \text{Équation de Maxwell-Ampère (MA) :} & \quad \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B} = \mu_0 \vec{j} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \end{aligned}

   Considérons une surface fermée quelconque \Sigma, orientée vers l'extérieur, délimitant un volume V. En appliquant le théorème de Green-Ostrogradski (théorème de la divergence) au champ magnétique \vec{B} à travers la surface \Sigma, le flux sortant \phi_B s'exprime sous la forme :

   \phi_B = \oiint_{\Sigma} \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = \iiint_{V} \mathrm{div}\,\vec{B} \, \mathrm{d}\tau

   Or, d'après l'équation de Maxwell-Thomson, \mathrm{div}\,\vec{B} = 0 en tout point de l'espace. On en déduit immédiatement :

   \boxed{\phi_B = \oiint_{\Sigma} \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = 0}

   Le flux du champ magnétique à travers toute surface fermée est donc nul : le champ magnétique est à flux conservatif.

   Résultat

   $${\varphi }_B=\iint \vec{B}\cdot \mathrm{d}\vec{S}=0$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4X-ENS Physique MPI 2026, Q23

   L'équation locale de conservation de la charge électrique s'écrit :

   \frac{\partial \rho}{\partial t} + \operatorname{div} \vec{j} = 0

   Le système fonctionnant en régime stationnaire, la dérivée temporelle est nulle : \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0, d'où :

   \operatorname{div} \vec{j} = 0

   L'écoulement étant unidimensionnel suivant l'axe Ox, le vecteur densité de courant s'écrit \vec{j}(x) = j(x)\,\vec{e}_x. L'invariance par translation selon y et z impose :

   \operatorname{div} \vec{j} = \frac{\mathrm{d}j}{\mathrm{d}x} = 0

   La densité de courant j est donc uniforme entre les plaques, c'est-à-dire indépendante de x.

   Par définition du courant de convection constitué par les porteurs de charge de densité volumique \rho(x) animés de la vitesse \vec{v}(x) = v(x)\,\vec{e}_x, le vecteur densité de courant est :

   \vec{j}(x) = \rho(x)\,\vec{v}(x)

   En projetant sur l'axe Ox, on en déduit la relation :

   \boxed{j = \rho(x)\,v(x)}

   Résultat

   $$j=\rho (x)v(x)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5CCINP Physique-Chimie MPI 2025, Q10

   Au voisinage de l'origine, dans l'espace vide de courants (\vec{j} = \vec{0}), le champ magnétique vérifie en régime stationnaire les deux équations locales fondamentales de la magnétostatique :

   • L'équation de Maxwell-Thomson (conservation du flux magnétique) :

     \mathrm{div}\,\vec{B} = 0

   • L'équation de Maxwell-Ampère stationnaire :

     \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B} = \vec{0}

   Vérifions que l'expression proposée \vec{B} = (Ky + K')\vec{e}_x + (Kx + K')\vec{e}_y satisfait ces équations :

   • Pour la divergence :

     \mathrm{div}\,\vec{B} = \frac{\partial B_x}{\partial x} + \frac{\partial B_y}{\partial y} + \frac{\partial B_z}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial x}(Ky + K') + \frac{\partial}{\partial y}(Kx + K') + 0 = 0

     L'équation \mathrm{div}\,\vec{B} = 0 est donc bien vérifiée.

   • Pour le rotationnel : comme le champ est indépendant de z et a une composante selon \vec{e}_z nulle, seules les dérivées par rapport à x et y interviennent :

     \begin{aligned} (\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B})_x &= \frac{\partial B_z}{\partial y} - \frac{\partial B_y}{\partial z} = 0 \\ (\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B})_y &= \frac{\partial B_x}{\partial z} - \frac{\partial B_z}{\partial x} = 0 \\ (\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B})_z &= \frac{\partial B_y}{\partial x} - \frac{\partial B_x}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial x}(Kx + K') - \frac{\partial}{\partial y}(Ky + K') = K - K = 0 \end{aligned}

     Ainsi, on a bien \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B} = \vec{0}.

   Valeur de K' :

   À l'origine des coordonnées (0,0,0), le champ théorique vaut :

   \vec{B}(O) = K'\vec{e}_x + K'\vec{e}_y

   D'après les symétries établies à la question Q9, le champ est nul à l'origine (\vec{B}(O) = \vec{0}), ce qui impose :

   \boxed{K' = 0}

   Le champ quadrupolaire au voisinage de l'origine s'écrit donc simplement :

   \vec{B} = K\left(y\vec{e}_x + x\vec{e}_y\right)

   Résultat

   $$K^{\prime }=0$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6CCINP Physique-Chimie MPI 2025, Q16

   1. Définition de la zone de rayonnement

   L'émission dipolaire met en jeu deux échelles spatiales caractéristiques : la dimension de la source l et la longueur d'onde du rayonnement émis \lambda = \dfrac{2\pi c}{\omega}.

   La zone de rayonnement (ou zone d'onde, ou champ lointain) est la région de l'espace située à une distance r du dipôle très grande devant la longueur d'onde :

   \boxed{r \gg \lambda = \frac{2\pi c}{\omega}}

   (sachant que l'approximation dipolaire r \gg l est également vérifiée, avec ici l \ll \lambda). Dans cette région :

   • les termes de champ électromagnétique décroissant en 1/r deviennent prépondérants devant les termes en 1/r^2 (champ d'induction) et en 1/r^3 (champ quasi-statique) ;
   • le flux du vecteur de Poynting à travers une sphère de rayon r ne tend pas vers zéro lorsque r \to +\infty : il y a propagation d'une puissance rayonnée non nulle à l'infini.

   2. Justification du terme r/c

   Les ondes électromagnétiques se propagent dans le vide à la vitesse finie c.

   • La source étant localisée autour de l'origine O (l \ll r), le signal reçu au point M situé à la distance r = OM à la date t a été émis par le dipôle à une date antérieure, dite date retardée :

     t_{\text{ret}} = t - \frac{r}{c}
   • Le terme \dfrac{r}{c} représente la durée de propagation (ou temps de retard) mise par l'onde électromagnétique pour parcourir la distance r entre la source et le point d'observation.

   L'argument de la fonction d'oscillation de la source \cos(\omega t) devient donc naturellement \cos\!\left(\omega\!\left(t - \frac{r}{c}\right)\right).

   Résultat

   $$r\gg \lambda =\frac{2\pi c}{\omega }$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7CCINP Physique-Chimie MPI 2025, Q17

   1. Structure locale d'onde plane

   Les expressions données des champs dans la zone de rayonnement s'écrivent :

   \vec{E} = E_\theta(r, \theta, t)\,\vec{e}_\theta \quad \text{et} \quad \vec{B} = B_\varphi(r, \theta, t)\,\vec{e}_\varphi

   avec la direction de propagation radiale \vec{u} = \vec{e}_r. On constate que :

   • Les champs sont strictement transverses à la direction de propagation radiale :

     \vec{E} \cdot \vec{e}_r = 0 \quad \text{et} \quad \vec{B} \cdot \vec{e}_r = 0
   • Les vecteurs directeurs forment un trièdre orthonormé direct (\vec{e}_r, \vec{e}_\theta, \vec{e}_\varphi) puisque \vec{e}_r \wedge \vec{e}_\theta = \vec{e}_\varphi.

   • La relation de structure reliant le champ électrique et le champ magnétique s'écrit :

     \vec{B} = \frac{\vec{e}_r \wedge \vec{E}}{c}

     ce qui implique également la relation d'amplitude E = c B.

   À grande distance de la source (r \gg \lambda), sur une étendue spatiale petite devant la distance r, la courbure des surfaces d'onde sphériques est négligeable et l'amplitude en 1/r varie très peu : l'onde présente donc localement la structure d'une onde plane progressive se propageant selon \vec{e}_r.

   2. Polarisation de l'onde

   En tout point M(r,\theta,\varphi) fixé, le vecteur champ électrique \vec{E} conserve une direction constante portée par \vec{e}_\theta au cours du temps. L'onde émise est donc à :

   \boxed{\text{polarisation rectiligne selon } \vec{e}_\theta}

   3. Vérification de l'homogénéité des champs

   • Pour le champ électrique \vec{E} : La perméabilité magnétique du vide \mu_0 s'exprime en \text{H}\cdot\text{m}^{-1} = \text{V}\cdot\text{s}\cdot\text{A}^{-1}\cdot\text{m}^{-1} (car une f.é.m. d'auto-induction vérifie e = -L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} \implies [L] = \text{V}\cdot\text{s}\cdot\text{A}^{-1}). Le moment dipolaire p_0 s'exprime en \text{C}\cdot\text{m} = \text{A}\cdot\text{s}\cdot\text{m}, la pulsation \omega en \text{s}^{-1} et r en \text{m}.

     La dimension de l'amplitude s'écrit donc :

     \begin{aligned} \left[ \frac{\mu_0 p_0 \omega^2}{r} \right] &= \frac{[\mu_0] \cdot [p_0] \cdot [\omega]^2}{[r]} \\ &= \frac{(\text{V}\cdot\text{s}\cdot\text{A}^{-1}\cdot\text{m}^{-1}) \cdot (\text{A}\cdot\text{s}\cdot\text{m}) \cdot (\text{s}^{-2})}{\text{m}} \\ &= \text{V}\cdot\text{m}^{-1} \end{aligned}

     L'expression est bien homogène à un champ électrique (en \text{V}\cdot\text{m}^{-1}).

   • Pour le champ magnétique \vec{B} : On a B = \frac{E}{c}. La dimension de B est donc :

     [B] = \frac{[E]}{[c]} = \frac{\text{V}\cdot\text{m}^{-1}}{\text{m}\cdot\text{s}^{-1}} = \text{V}\cdot\text{s}\cdot\text{m}^{-2} = \text{T}

     car la loi de Faraday (\mathrm{d}\Phi = B\,\mathrm{d}S) donne [B] = \text{Wb}\cdot\text{m}^{-2} = \text{V}\cdot\text{s}\cdot\text{m}^{-2} = \text{T}. L'expression est bien homogène à un champ magnétique (en teslas \text{T}).

   Résultat

   $$\text{polarisation rectiligne selon }{\vec{e}}_{\theta }$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8CentraleSupélec Physique-Chimie 2 MPI 2025, Q1

   En régime stationnaire, toutes les dérivées temporelles sont nulles (\partial/\partial t = 0). Les quatre équations de Maxwell s'écrivent :

   \begin{aligned} \text{Maxwell-Gauss :}\quad & \operatorname{div}\vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} \\ \text{Maxwell-Thomson :}\quad & \operatorname{div}\vec{B} = 0 \\ \text{Maxwell-Faraday :}\quad & \vec{\operatorname{rot}}\vec{E} = \vec{0} \\ \text{Maxwell-Ampère :}\quad & \vec{\operatorname{rot}}\vec{B} = \mu_0 \vec{\jmath} \end{aligned}

   D'après l'équation de Maxwell-Faraday en régime stationnaire, le champ électrique vérifie \vec{\operatorname{rot}}\vec{E} = \vec{0}. Dans un domaine simplement connexe, tout champ vectoriel de rotationnel nul dérive d'un potentiel scalaire. D'après l'identité vectorielle rappelée dans le formulaire, \vec{\operatorname{rot}}(\vec{\operatorname{grad}} V) = \vec{0}, il existe donc un champ scalaire V, appelé potentiel électrostatique, tel que :

   \vec{E} = -\vec{\operatorname{grad}} V

   En injectant cette relation dans l'équation de Maxwell-Gauss :

   \operatorname{div}\vec{E} = \operatorname{div}(-\vec{\operatorname{grad}} V) = -\Delta V = \frac{\rho}{\varepsilon_0}

   où l'on a utilisé l'identité \operatorname{div}(\vec{\operatorname{grad}} V) = \Delta V. On obtient ainsi :

   \boxed{\Delta V + \frac{\rho}{\varepsilon_0} = 0}

   Cette équation aux dérivées partielles liant le potentiel V à la densité volumique de charge \rho est l'équation de Poisson.

   Résultat

   $$\Delta V+\frac{\rho }{{\epsilon }_0}=0$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9CentraleSupélec Physique-Chimie 2 MPI 2025, Q5

   L'équation locale de conservation de la charge en régime quelconque s'écrit :

   \operatorname{div} \vec{\jmath} + \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0

   En régime stationnaire, les grandeurs locales ne dépendent pas explicitement du temps, d'où \dfrac{\partial \rho}{\partial t} = 0. Le vecteur densité de courant vérifie donc :

   \operatorname{div} \vec{\jmath} = 0

   Le champ de vecteurs \vec{\jmath} est ainsi à flux conservatif.

   Considérons une surface cylindrique \Sigma_r d'axe (Oz), de rayon r \in [r_1, r_2] et de hauteur H, fermée par deux disques aux extrémités z = \pm H/2. Les effets de bord étant négligés, l'écoulement électronique est purement radial : \vec{v}(r) = v(r)\,\vec{u}_r avec v(r) > 0.

   La densité de courant volumique convective associée au mouvement des charges est :

   \vec{\jmath}(r) = \rho(r)\,\vec{v}(r) = \rho(r) v(r)\,\vec{u}_r

   Par convention, le courant anodique I_a > 0 circule de l'anode vers la cathode, c'est-à-dire vers le centre (selon -\vec{u}_r), à l'opposé du mouvement des électrons (dont la charge est négative, \rho(r) < 0). Le courant I_a correspond donc au flux de \vec{\jmath} orienté vers l'axe -\vec{u}_r à travers la paroi latérale de surface S = 2\pi r H :

   \begin{aligned} I_a &= \iint_{\Sigma_r} \vec{\jmath} \cdot (-\vec{u}_r)\,\mathrm{d}S \\ &= -\rho(r) v(r) \cdot 2\pi r H \end{aligned}

   On en déduit la relation demandée :

   \boxed{I_a = -2\pi r H \rho(r) v(r)}

   Résultat

   $$I_a=-2\pi rH\rho (r)v(r)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10E3A Physique-Chimie MPI 2025, Q29

    D'après les équations de Maxwell dans le vide établies en Q28, prenons le rotationnel de l'équation de Maxwell-Faraday :

    \vec{\operatorname{rot}}(\vec{\operatorname{rot}}\vec{E}) = -\vec{\operatorname{rot}}\left(\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}\right) = -\frac{\partial}{\partial t}(\vec{\operatorname{rot}}\vec{B})

    En utilisant la formule du formulaire \vec{\operatorname{rot}}(\vec{\operatorname{rot}}\vec{E}) = \vec{\operatorname{grad}}(\operatorname{div}\vec{E}) - \Delta\vec{E} ainsi que \operatorname{div}\vec{E} = 0 et \vec{\operatorname{rot}}\vec{B} = \frac{1}{c^2}\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}, il vient :

    -\Delta\vec{E} = -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\vec{E}}{\partial t^2}

    On obtient l'équation de d'Alembert :

    \boxed{\Delta\vec{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\vec{E}}{\partial t^2} = \vec{0}}

    L'onde plane harmonique s'écrit \vec{E}(x,t) = E_0 \exp(i(\omega t - k x))\,\vec{u}_z. Le laplacien vectoriel se réduit à :

    \Delta\vec{E} = \frac{\partial^2\vec{E}}{\partial x^2} = (-ik)^2\vec{E} = -k^2\vec{E}

    De même :

    \frac{\partial^2\vec{E}}{\partial t^2} = (i\omega)^2\vec{E} = -\omega^2\vec{E}

    En substituant ces dérivées dans l'équation de d'Alembert :

    \left(-k^2 + \frac{\omega^2}{c^2}\right)\vec{E} = \vec{0}

    Puisque cette égalité est vérifiée pour tout point (x,t), on obtient la relation de dispersion :

    \boxed{\omega = k\,c \quad \Longleftrightarrow \quad k = \frac{\omega}{c}}

    (avec \omega > 0 et k > 0).

    • Direction de propagation : La phase s'écrit \phi(x,t) = \omega t - k x = \omega\left(t - \frac{x}{c}\right). Les plans d'onde d'égale phase se déplacent vers les x croissants : l'onde se propage selon la direction de l'axe (Ox), dans le sens du vecteur \vec{u}_x.
    • Polarisation : Le vecteur champ électrique oscille selon une direction fixe dans l'espace, colinéaire au vecteur \vec{u}_z. L'onde présente donc une polarisation rectiligne selon l'axe (Oz).

    Résultat

    $$\Delta \vec{E}-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2\vec{E}}{\partial t^2}=\vec{0}$$

    $$\omega =kc⟺k=\frac{\omega }{c}$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question