Feuille d'entraînement : Équations de Maxwell et ondes électromagnétiques dans le vide

Corrigés

1. Exercice 1E3A Physique-Chimie PSI 2026, Q25

   L'équation de Maxwell-Faraday s'écrit sous forme locale :

   \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}

   Par application du théorème de Stokes à un contour fermé orienté \Gamma bordant une surface ouverte \Sigma, on obtient la loi d'induction de Faraday pour la force électromotrice induite e :

   e = \oint_{\Gamma} \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} = -\iint_{\Sigma} \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = -\frac{\mathrm{d}\Phi_{\text{tot}}}{\mathrm{d}t}

   où \Phi_{\text{tot}} est le flux magnétique total traversant le contour \Gamma.

   D'après la question Q24, en l'absence de fuites magnétiques, le même flux magnétique \Phi(t) = B(t)\,S traverse chaque section droite du tore.

   Pour les conducteurs parfaits (résistivité nulle), le champ électrique est nul au sein du fil conducteur (\vec{E} = \vec{0}). La circulation du champ électrique entre les bornes le long d'un contour fermé comprenant le bobinage et le segment reliant les bornes donne :

   • Au primaire (N_1 spires), en convention récepteur, la tension u_1(t) s'oppose à la force électromotrice induite e_1(t) :

     u_1(t) = -e_1(t) = N_1 \frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}

   • Au secondaire (N_2 spires), en convention générateur, la tension u_2(t) est égale à la force électromotrice induite e_2(t) :

     u_2(t) = e_2(t) = N_2 \frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}

     (les enroulements étant bobinés dans le même sens sur le tore, les spires sont homologues).

   En éliminant le terme \dfrac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}, on obtient la loi de transformation des tensions :

   \boxed{u_2(t) = \frac{N_2}{N_1} u_1(t) = m\, u_1(t)}

   où m = \dfrac{N_2}{N_1} est le rapport de transformation du transformateur.

   Résultat

   $$u_2(t)=\frac{N_2}{N_1}{u}_1(t)=m{u}_1(t)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2ENS Physique U PSI 2024, Q[8]

   Pour une onde électromagnétique plane et monochromatique (OPPM) se propageant dans le vide à la célérité c, les amplitudes E_0 et B_0 des champs électrique et magnétique sont reliées par :

   \boxed{E_0 = c B_0 \quad \Longleftrightarrow \quad B_0 = \frac{E_0}{c}}

   Plus précisément, en notation complexe, la structure d'onde plane impose la relation locale :

   \underline{\vec{B}}(\vec{r}, t) = \frac{\vec{k} \wedge \underline{\vec{E}}(\vec{r}, t)}{\omega} = \frac{\vec{u} \wedge \underline{\vec{E}}(\vec{r}, t)}{c}

   où \vec{u} = \vec{k}/\|\vec{k}\| est le vecteur unitaire dans la direction de propagation.

   Résultat

   $$E_0=c{B}_0⟺B_0=\frac{E_0}{c}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3ENS Physique U PSI 2024, Q[18]

   L'intensité lumineuse (ou éclairement énergétique) I d'une onde électromagnétique plane progressive et monochromatique se propageant dans le vide correspond au module de la moyenne temporelle du vecteur de Poynting \vec{\Pi} = \frac{\vec{E} \wedge \vec{B}}{\mu_0} :

   I = \|\langle \vec{\Pi} \rangle\|

   Compte tenu de la relation de structure B_0 = E_0/c et de c = 1/\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}, on a :

   \boxed{I = \frac{1}{2} \varepsilon_0 c E_0^2}

   où c désigne la célérité de la lumière dans le vide et E_0 = \|\vec{E}_0\| l'amplitude (valeur crête) du champ électrique.

   Résultat

   $$I=\frac{1}{2}{\epsilon }_{0}c{E}_0^2$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4X-ENS Physique PSI 2024, Q33

   1. Négligence de la composante magnétique de la force de Lorentz

   La force de Lorentz subie par l'électron de charge -e et de vitesse \vec{v} s'écrit :

   \vec{F}_{\mathrm{L}} = -e \left( \vec{E} + \vec{v} \times \vec{B} \right).

   Pour une onde électromagnétique plane progressive se propageant dans le vide à la célérité c, les amplitudes des champs électrique et magnétique sont reliées par la relation de structure :

   B = \frac{E}{c}.

   L'ordre de grandeur du rapport des normes des composantes magnétique et électrique est donc majoré par :

   \frac{\|\vec{F}_{\mathrm{mag}}\|}{\|\vec{F}_{\mathrm{el}}\|} = \frac{e \|\vec{v} \times \vec{B}\|}{e E} \le \frac{v B}{E} = \frac{v}{c}.

   La condition pour pouvoir négliger la composante magnétique devant la composante électrique est que le mouvement de l'électron soit non relativiste :

   \boxed{v \ll c}

   2. Justification de l'approximation dipolaire électrique

   Pour une onde plane progressive monochromatique, le champ électrique dépend de la position par le terme de phase spatiale \vec{k}\cdot\vec{r} :

   \vec{E}(\vec{r}, t) = \vec{E}_0 \cos(\omega t - \vec{k}\cdot\vec{r} + \varphi_0),

   où \|\vec{k}\| = \frac{2\pi}{\lambda}. L'électron étant confiné au sein de l'atome de rayon R, sa position vérifie à tout instant \|\vec{r}\| \le R. La variation spatiale maximale de phase s'évalue par :

   \|\vec{k} \cdot \vec{r}\| \le k R = \frac{2\pi R}{\lambda}.

   D'après les données de l'énoncé, le rayon atomique vaut R \sim 10^{-10}\text{ m} et la longueur d'onde du laser vaut \lambda = 8,0 \times 10^2\text{ nm} = 8,0 \times 10^{-7}\text{ m}, soit :

   k R \approx \frac{2\pi \times 10^{-10}}{8,0 \times 10^{-7}} \approx 8 \times 10^{-4} \ll 1.

   La dimension de l'atome étant négligeable devant la longueur d'onde du rayonnement (R \ll \lambda), le champ électrique est spatialement quasi-uniforme à l'échelle atomique. En choisissant l'origine des temps telle que la phase à l'origine soit nulle (\varphi_0 = 0), on a bien :

   \boxed{\vec{E}(\vec{r}, t) \simeq \vec{E}(\vec{0}, t) = \vec{E}_0 \cos(\omega t)}

   Résultat

   $$v\ll c$$

   $$\vec{E}(\vec{r},t)\simeq \vec{E}(\vec{0},t)={\vec{E}}_0\cos (\omega t)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5CentraleSupélec Physique-Chimie 2 PSI 2022, Q17

   L'équation locale de conservation de la charge électrique s'écrit :

   \frac{\partial \rho}{\partial t} + \operatorname{div}\vec{\jmath} = 0

   D'après la loi d'Ohm locale \vec{\jmath} = \gamma \vec{E} et en considérant la conductivité \gamma spatiale uniforme dans l'eau de mer, il vient :

   \operatorname{div}\vec{\jmath} = \gamma \, \operatorname{div}\vec{E}

   Par ailleurs, l'équation de Maxwell-Gauss dans un milieu diélectrique de permittivité \epsilon s'écrit :

   \operatorname{div}\vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon}

   En combinant ces relations dans l'équation de conservation de la charge, on obtient :

   \frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\gamma}{\epsilon}\rho = 0

   ce qui correspond bien à l'équation différentielle demandée :

   \frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\rho}{\tau} = 0

   avec un temps caractéristique de relaxation diélectrique :

   \boxed{\tau = \frac{\epsilon}{\gamma}}

   Résultat

   $$\tau =\frac{ϵ}{\gamma }$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6CentraleSupélec Physique-Chimie 2 PSI 2022, Q19

   Dans l'eau de mer modélisée par un conducteur ohmique de permittivité \epsilon = \epsilon_r \epsilon_0, de perméabilité \mu_0 et de conductivité \gamma, l'équation de Maxwell-Ampère s'écrit :

   \vec{\operatorname{rot}}\vec{B} = \mu_0 \left( \vec{\jmath} + \epsilon \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \right)

   On y identifie :

   • la densité volumique de courant de conduction : \vec{\jmath} = \gamma \vec{E} (d'après la loi d'Ohm locale vue en Q16) ;
   • la densité volumique de courant de déplacement : \vec{\jmath}_D = \epsilon \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}.

   En régime sinusoïdal de pulsation \omega, en notation complexe où \frac{\partial}{\partial t} \leftrightarrow \mathrm{i}\omega, les amplitudes complexes de ces densités de courant s'écrivent :

   \underline{\vec{\jmath}} = \gamma \underline{\vec{E}} \quad \text{et} \quad \underline{\vec{\jmath}}_D = \mathrm{i}\omega\epsilon \underline{\vec{E}}

   Les amplitudes de ces deux densités de courant sont donc :

   j = \gamma \|\underline{\vec{E}}\| \quad \text{et} \quad j_D = \omega\epsilon \|\underline{\vec{E}}\|

   Le courant de déplacement devient supérieur au courant de conduction dès lors que j_D > j, soit :

   \omega\epsilon > \gamma \iff \omega > \omega_c = \frac{\gamma}{\epsilon} = \frac{\gamma}{\epsilon_r \epsilon_0} = \frac{1}{\tau}

   où \tau est le temps de relaxation diélectrique introduit en Q17.

   \boxed{\omega_c = \frac{\gamma}{\epsilon_r \epsilon_0} = \frac{1}{\tau}}

   Application numérique : Avec \gamma = 5\text{ S}\cdot\text{m}^{-1}, \epsilon_r = 75 et \epsilon_0 = 8{,}85 \times 10^{-12}\text{ F}\cdot\text{m}^{-1} (ou à partir de \tau \approx 1{,}33 \times 10^{-10}\text{ s} déterminé en Q18) :

   \omega_c = \frac{5}{75 \times 8{,}85 \times 10^{-12}} \approx 7{,}5 \times 10^9\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}

   ce qui correspond à une fréquence caractéristique f_c = \frac{\omega_c}{2\pi} \approx 1{,}2\text{ GHz}.

   Résultat

   $${\omega }_c=\frac{\gamma }{{ϵ}_r{ϵ}_0}=\frac{1}{\tau }$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7CentraleSupélec Physique-Chimie 2 PSI 2022, Q20

   Sous la condition \omega \ll \omega_c, le courant de déplacement est négligeable devant le courant de conduction (établi à la question Q19). L'équation de Maxwell-Ampère s'écrit alors :

   \vec{\operatorname{rot}} \vec{B} \approx \mu_0 \vec{\jmath} = \mu_0 \gamma \vec{E}

   Par ailleurs :

   • D'après l'équation de Maxwell-Gauss et la neutralité volumique locale (\rho = 0, établie à la question Q18) :

     \operatorname{div} \vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon} = 0

   • L'équation de Maxwell-Faraday s'écrit :

     \vec{\operatorname{rot}} \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}

   En prenant le rotationnel de l'équation de Maxwell-Faraday et en utilisant la relation vectorielle du formulaire :

   \begin{aligned} \vec{\operatorname{rot}}(\vec{\operatorname{rot}} \vec{E}) &= \vec{\operatorname{grad}}(\operatorname{div} \vec{E}) - \Delta \vec{E} = -\Delta \vec{E} \\ \vec{\operatorname{rot}}(\vec{\operatorname{rot}} \vec{E}) &= -\frac{\partial}{\partial t}\left(\vec{\operatorname{rot}} \vec{B}\right) = -\frac{\partial}{\partial t}(\mu_0 \gamma \vec{E}) = -\mu_0 \gamma \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \end{aligned}

   On en déduit l'équation aux dérivées partielles vérifiée par le champ électrique :

   \boxed{\Delta \vec{E} - \mu_0 \gamma \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} = \vec{0}}

   Il s'agit d'une équation de diffusion (ou équation de type chaleur vectorielle), avec un coefficient de diffusion magnétique D_m = \frac{1}{\mu_0 \gamma}.

   Résultat

   $$\Delta \vec{E}-{\mu }_0\gamma \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}=\vec{0}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8E3A Physique-Chimie PSI 2022, Q7

   L'équation locale de Maxwell-Faraday s'écrit :

   \boxed{\vec{\operatorname{rot}}\vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}}

   Soit une surface ouverte S fixe dans le référentiel d'étude, s'appuyant sur un contour fermé \mathcal{L} orienté selon la règle de la main droite relativement au vecteur surface \mathrm{d}\vec{S}.

   En intégrant l'équation locale de Maxwell-Faraday sur la surface S, on obtient :

   \begin{aligned} \iint_{S} \vec{\operatorname{rot}}\vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{S} &= -\iint_{S} \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \cdot \mathrm{d}\vec{S} \end{aligned}

   D'une part, en appliquant le théorème de Stokes au membre de gauche :

   \iint_{S} \vec{\operatorname{rot}}\vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = \oint_{\mathcal{L}} \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell}

   D'autre part, la surface S étant géométriquement fixe dans le temps, l'opérateur de dérivation temporelle commute avec l'intégrale spatiale :

   -\iint_{S} \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\iint_{S} \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{S}

   On en déduit la formulation intégrale (ou globale) de l'équation de Maxwell-Faraday :

   \boxed{\oint_{\mathcal{L}} \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} = -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\iint_{S} \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{S}}

   En introduisant la force électromotrice induite e = \oint_{\mathcal{L}} \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} le long du contour \mathcal{L} et le flux magnétique \Phi = \iint_{S} \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{S} à travers la surface S, cette relation n'est autre que la loi de Faraday :

   e = -\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}

   Résultat

   $$\overrightarrow{\mathrm{rot}}\vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$$

   $${\oint }_{\mathcal{L}}\vec{E}\cdot \mathrm{d}\vec{\ell }=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\iint }_S\vec{B}\cdot \mathrm{d}\vec{S}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9ENS Physique U PSI 2022, Q6

   D'après l'énoncé, le champ électromagnétique rayonné à grande distance possède localement la structure d'une onde plane progressive se propageant selon la direction radiale \mathbf{n} = \mathbf{u}_r. Le champ magnétique associé s'écrit donc :

   \mathbf{B}(\mathbf{r}',t) = \frac{\mathbf{n} \times \mathbf{E}(\mathbf{r}',t)}{c} = \frac{E(\mathbf{r}',t)}{c}\,\mathbf{u}_\phi

   puisque \mathbf{n} \times \mathbf{u}_\theta = \mathbf{u}_r \times \mathbf{u}_\theta = \mathbf{u}_\phi.

   Le vecteur de Poynting instantané est \mathbf{\Pi} = \frac{\mathbf{E} \times \mathbf{B}}{\mu_0} = \epsilon_0 c E^2 \mathbf{n}. En notation complexe, sa valeur moyenne sur une période T = 2\pi/\omega_0 s'exprime par :

   \langle \mathbf{\Pi} \rangle = \frac{1}{2\mu_0} \operatorname{Re}\left( \mathbf{E} \times \mathbf{B}^* \right) = \frac{1}{2} \epsilon_0 c |\mathbf{E}|^2 \mathbf{n}

   En utilisant l'expression du champ électrique issue de l'équation (2) :

   \begin{aligned} |\mathbf{E}|^2 &= \left( \frac{q z_0 \omega_0^2}{4\pi\epsilon_0 c^2 r'} \right)^2 \sin^2\theta \end{aligned}

   On en déduit la valeur moyenne du vecteur de Poynting :

   \langle \mathbf{\Pi} \rangle = \frac{q^2 z_0^2 \omega_0^4}{32\pi^2 \epsilon_0 c^3 {r'}^2} \sin^2\theta \, \mathbf{u}_r

   La puissance moyenne rayonnée \mathcal{P} est le flux sortant de \langle \mathbf{\Pi} \rangle à travers une sphère \mathcal{S} de rayon r' centrée sur l'atome, d'élément de surface orienté vers l'extérieur \mathrm{d}\mathbf{S} = {r'}^2 \sin\theta\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\phi\,\mathbf{u}_r :

   \begin{aligned} \mathcal{P} &= \iint_{\mathcal{S}} \langle \mathbf{\Pi} \rangle \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} \\ &= \frac{q^2 z_0^2 \omega_0^4}{32\pi^2 \epsilon_0 c^3} \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\phi \int_0^\pi \sin^3\theta\,\mathrm{d}\theta \end{aligned}

   L'intégrale sur \phi vaut 2\pi. Pour l'intégrale sur \theta, on applique la formule donnée dans l'énoncé avec X = \pi :

   \int_0^\pi (\sin\theta)^3\,\mathrm{d}\theta = \frac{4}{3}(2 + \cos\pi)\left(\sin\frac{\pi}{2}\right)^4 = \frac{4}{3}(2 - 1)(1)^4 = \frac{4}{3}

   On obtient ainsi :

   \begin{aligned} \mathcal{P} &= \frac{q^2 z_0^2 \omega_0^4}{32\pi^2 \epsilon_0 c^3} \times 2\pi \times \frac{4}{3} \end{aligned}

   ce qui donne bien la formule de Larmor pour un dipôle oscillant :

   \boxed{\mathcal{P} = \frac{q^2 z_0^2 \omega_0^4}{12\pi\epsilon_0 c^3}}

   Résultat

   $$\mathcal{P}=\frac{q^2{z}_0^2{\omega }_0^4}{12\pi {ϵ}_0{c}^3}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10ENS Physique U PSI 2022, Q10

    On étudie l'électron de masse m et de charge q dans le référentiel lié au noyau, supposé galiléen puisque le noyau, infiniment lourd devant l'électron (M \gg m), est considéré fixe à l'origine (\mathbf{R} = \mathbf{0}, d'après la question 8).

    L'électron est soumis aux actions mécaniques suivantes :

    • la force de rappel élastique exercée par le noyau :

      \mathbf{F}_{\text{rappel}} = -\kappa \mathbf{r} = -m\omega_0^2 \mathbf{r}

    • la force de réaction de rayonnement introduite à la question 9 :

      \mathbf{F}_{\text{rad}} = -m\gamma(\omega)\dot{\mathbf{r}}

    • la force de Lorentz due à l'onde incidente, \mathbf{F}_{\text{L}} = q\big(\mathbf{E}(\mathbf{r}, t) + \dot{\mathbf{r}}\times \mathbf{B}(\mathbf{r}, t)\big).

      • Approximation dipolaire électrique : l'extension du mouvement de l'électron vérifie |\mathbf{r}| \ll \lambda, donc |\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}| \ll 1. Le champ électrique perçu par l'électron se réduit à sa valeur en \mathbf{R}=\mathbf{0} :

        \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) \approx \mathbf{E}(\mathbf{0}, t) = E_0 e^{-i\omega t}\mathbf{e}_x

      • Négligence de la composante magnétique : pour une onde plane dans le vide, B \sim E/c. Le mouvement étant non-relativiste (v \ll c, établi à la question 5), le rapport des forces vérifie :

        \frac{\|\mathbf{F}_{\text{mag}}\|}{\|\mathbf{F}_{\text{el}}\|} \sim \frac{q v B}{q E} \sim \frac{v}{c} \ll 1

        La partie magnétique de la force de Lorentz est donc négligeable devant la composante électrique.

    Le principe fondamental de la dynamique appliqué à l'électron s'écrit alors :

    m\ddot{\mathbf{r}} = \mathbf{F}_{\text{rappel}} + \mathbf{F}_{\text{rad}} + q\mathbf{E}(\mathbf{0}, t) = -m\omega_0^2 \mathbf{r} - m\gamma(\omega)\dot{\mathbf{r}} + q E_0 e^{-i\omega t}\mathbf{e}_x

    Par linéarité de cette équation différentielle, on adopte la notation complexe pour la variable de position \mathbf{r}(t). En divisant par la masse m et en regroupant les termes d'inconnue \mathbf{r}, on obtient :

    \boxed{\ddot{\mathbf{r}} + \gamma(\omega)\dot{\mathbf{r}} + \omega_0^2 \mathbf{r} = \frac{qE_0}{m} e^{-i\omega t} \mathbf{e}_x}

    Résultat

    $$\ddot{\mathbf{r}}+\gamma (\omega )\dot{\mathbf{r}}+{\omega }_0^2\mathbf{r}=\frac{q{E}_0}{m}{e}^{-i\omega t}{\mathbf{e}}_x$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question