Corrigé détaillé CCINP Physique MP 2022

L'expression « très éloigné » signifie que le point d'observation M vérifie deux conditions :

1. L'approximation dipolaire (source quasi-ponctuelle) :

   r \gg d

   La distance d'observation est très grande devant les dimensions de la source.

2. La zone de rayonnement (ou zone d'onde) :

   r \gg \lambda = \frac{2\pi c}{\omega} \quad \left(\text{ou } r \gg \frac{c}{\omega}\right)

   La distance est très grande devant la longueur d'onde du rayonnement émis.

Dans le cadre de l'approximation dipolaire non relativiste, la source vérifie d \ll \lambda, de sorte que l'ensemble des conditions s'écrit :

Dans cette région, les composantes de champ décroissant en 1/r^2 (champ d'induction) et 1/r^3 (champ quasi-statique) sont négligeables devant la composante de rayonnement en 1/r.

Le dipôle oscillant est constitué de charges et de courants localisés sur l'axe (Oz), le courant étant orienté selon \vec{e}_z.

Considérons le point d'observation M(r, \theta, \phi) et le plan méridien \Pi_s = (M, \vec{e}_r, \vec{e}_\theta) qui contient l'axe (Oz) :

• L'axe (Oz) est entièrement inclus dans \Pi_s ; la distribution de charges \rho et la densité volumique de courant \vec{\jmath} = j_z \vec{e}_z sont donc contenues dans ce plan.
• Par conséquent, la réflexion par rapport au plan \Pi_s conserve les positions et laisse le vecteur densité de courant invariant (\vec{\jmath} \parallel \Pi_s). Le plan \Pi_s est donc un plan de symétrie pour la distribution de courants.

Le champ magnétique \vec{B} est un champ pseudovectoriel (vecteur axial). En tout point d'un plan de symétrie des courants, le champ magnétique est orthogonal à ce plan :

Le vecteur unitaire de la base sphérique directement orthogonal au plan (\vec{e}_r, \vec{e}_\theta) est \vec{e}_\phi (en effet, \vec{e}_r \wedge \vec{e}_\theta = \vec{e}_\phi). On en déduit :

Le champ magnétique est donc purement orthoradial, dirigé selon \vec{e}_\phi.

On dit que l'onde émise est localement plane pour les raisons suivantes :

1. Géométrie des surfaces d'onde :
   La phase de l'onde s'écrit \psi(r, t) = \omega\left(t - \frac{r}{c}\right). Les surfaces d'onde (surfaces à phase instantanée constante) sont des sphères concentriques de rayon r, se propageant dans la direction radiale \vec{u} = \vec{e}_r à la vitesse c. Dans la zone de rayonnement (r \gg \lambda), sur une dimension spatiale caractéristique de l'ordre de quelques longueurs d'onde \lambda, ces fronts d'onde sphériques sont assimilables à des plans tangents normaux à la direction de propagation \vec{e}_r. De plus, l'amplitude en 1/r varie de façon négligeable à cette échelle spatiale.

2. Structure des champs et transversalité :
   Les champs électrique et magnétique vérifient :

   \vec{E} \cdot \vec{e}_r = 0 \quad \text{et} \quad \vec{B} \cdot \vec{e}_r = 0

   L'onde est donc transverse. Le trièdre (\vec{e}_r, \vec{e}_\theta, \vec{e}_\phi) étant orthonormé direct, on a \vec{e}_r \wedge \vec{e}_\theta = \vec{e}_\phi.

3. Relation de structure entre \vec{E} et \vec{B} :
   En utilisant la relation \varepsilon_0 \mu_0 c^2 = 1, le rapport des amplitudes vaut :

   \frac{\|\vec{E}\|}{\|\vec{B}\|} = \frac{\frac{e d \omega^2}{4\pi\varepsilon_0 c^2}\frac{\sin\theta}{r}}{\frac{\mu_0 e d \omega^2}{4\pi c}\frac{\sin\theta}{r}} = \frac{1}{\varepsilon_0 \mu_0 c} = c

   On retrouve ainsi la relation fondamentale caractéristique d'une onde plane progressive dans le vide se propageant selon \vec{e}_r :

   \boxed{\vec{B} = \frac{\vec{e}_r \wedge \vec{E}}{c}}

Par définition, le vecteur de Poynting associé au champ électromagnétique dans le vide s'écrit :

Avec \vec{E} = E_\theta \vec{e}_\theta et \vec{B} = B_\phi \vec{e}_\phi, compte tenu de la relation de base sphérique directe \vec{e}_\theta \wedge \vec{e}_\phi = \vec{e}_r, le vecteur de Poynting est purement radial :

En injectant les expressions des champs données dans l'énoncé :

il vient :

soit finalement :

Soit \mathcal{S} la sphère de centre O et de rayon r (avec r \gg \lambda). L'élément de surface de cette sphère, orienté vers l'extérieur suivant la normale unitaire \vec{e}_r, s'écrit en coordonnées sphériques :

D'après le résultat de la question Q4, le vecteur de Poynting est purement radial :

Le flux instantané \Phi(t) de \vec{\Pi} sortant de la sphère \mathcal{S} s'exprime donc par :

L'intégration sur \phi donne immédiatement 2\pi. L'énoncé précise par ailleurs la valeur de l'intégrale angulaire :

Le facteur géométrique issu de l'intégration vaut donc :

En regroupant les termes, on obtient :

D'après le résultat de la question Q5, le flux instantané du vecteur de Poynting à travers la sphère de rayon r, correspondant à la puissance instantanée cédée par le dipôle au champ électromagnétique, s'écrit :

En prenant la moyenne temporelle sur une période et en utilisant la donnée \langle \cos^2 \rangle = \frac{1}{2}, la puissance moyenne rayonnée (c'est-à-dire l'énergie moyenne rayonnée par unité de temps) vaut :

Selon l'interprétation stricte du terme « énergie » :

• Si l'énoncé entend par « énergie moyenne temporelle rayonnée » le débit moyen d'énergie (puissance moyenne rayonnée par l'électron, reprise sous cette appellation en Q7) :

  \boxed{P_{\text{moy}} = \langle \Phi \rangle = \frac{e^2 d^2 \omega^4}{12 \pi \varepsilon_0 c^3}}

• Si l'énoncé demande l'énergie moyenne rayonnée par période T = \frac{2\pi}{\omega} :

  \mathcal{E}_T = \langle \Phi \rangle \times T = \frac{e^2 d^2 \omega^4}{12 \pi \varepsilon_0 c^3} \times \frac{2\pi}{\omega}
  \boxed{\mathcal{E}_T = \frac{e^2 d^2 \omega^3}{6 \varepsilon_0 c^3}}

a) Le mouvement de l'électron mobile le long de l'axe (Oz) est régi par :

Son accélération instantanée s'obtient par double dérivation par rapport au temps :

Le carré de la norme de l'accélération s'écrit alors :

En prenant la valeur moyenne temporelle sur une période, avec la donnée \langle \cos^2(\omega t) \rangle = \frac{1}{2} :

D'après la question Q6, la puissance moyenne rayonnée par le dipôle est :

En faisant apparaître la quantité \langle \vec{\gamma} \cdot \vec{\gamma} \rangle :

On obtient bien la forme annoncée :

b) Par identification, l'expression de la constante K_e est :

D'après la relation P_L = K_e \langle \gamma^2 \rangle, la dimension de K_e vérifie :

Or, une puissance est le quotient d'une énergie par un temps : [P_L] = \mathrm{M} \cdot \mathrm{L}^2 \cdot \mathrm{T}^{-3}.
Une accélération a pour dimension [\gamma] = \mathrm{L} \cdot \mathrm{T}^{-2}, d'où [\gamma]^2 = \mathrm{L}^2 \cdot \mathrm{T}^{-4}.
On en déduit :

La dimension de K_e est :

Dans le Système International d'unités, son unité est donc le :

a) Définition de la puissance instantanée

La puissance instantanée développée par la force de réaction de rayonnement \vec{f}_{\text{ray}} appliquée à l'électron animé d'une vitesse \vec{v}(t) = \frac{\mathrm{d}\overrightarrow{OP}}{\mathrm{d}t} dans le référentiel d'étude est donnée par le produit scalaire :

b) Valeur moyenne sur une période

Le mouvement forcé de l'électron le long de l'axe Oz est décrit par :

En dérivant successivement par rapport au temps :

La force de réaction de rayonnement s'écrit donc :

La puissance instantanée développée par cette force est alors :

Sachant que \langle \sin^2(\omega t) \rangle = \frac{1}{2}, la valeur moyenne temporelle sur une période T = \frac{2\pi}{\omega} vaut :

On étudie l'électron de masse m_e, assimilé à un point matériel P, dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen.

Le mouvement étant rectiligne le long de l'axe Oz, le vecteur position s'écrit :

Par dérivations temporelles successives :

L'électron est soumis à deux forces :

• la force de rappel élastique : \vec{f}_{\text{rappel}} = -m_e\omega_0^2 z(t)\,\vec{e}_z ;
• la force de réaction de rayonnement (force d'Abraham-Lorentz) : \vec{f}_{\text{ray}} = K_e\frac{\mathrm{d}\vec{\gamma}}{\mathrm{d}t} = K_e\dddot{z}(t)\,\vec{e}_z.

D'après le principe fondamental de la dynamique :

En projetant sur le vecteur unitaire \vec{e}_z, on obtient :

En divisant par m_e et en posant \tau = \frac{K_e}{m_e}, on aboutit à l'équation différentielle du mouvement :

D'après la question Q9, l'équation différentielle du mouvement libre s'écrit :

avec \tau = \dfrac{K_e}{m_e}.

En cherchant une solution sous la forme complexe \underline{z}(t) = \underline{z}_0 \mathrm{e}^{i\Omega t}, les dérivées successives par rapport au temps sont :

En injectant ces expressions dans l'équation différentielle et en simplifiant par \underline{z}(t) \neq 0, on obtient la relation caractéristique liant \Omega, \omega_0 et \tau :

soit :

Remarque (justification de la solution approchée) :
En supposant la perturbation radiative très faible (\tau\omega_0 \ll 1), cherchons \Omega = \pm \omega_0 + i\delta avec |\delta| \ll \omega_0. Au premier ordre en \delta et en \tau :

L'équation caractéristique devient :

On retrouve bien la forme annoncée :

La solution complexe du mouvement libre s'écrit sous la forme :

En injectant l'expression de \Omega = \pm \omega_0 + \frac{i}{2\tau_0} donnée par l'énoncé, on obtient :

En prenant la partie réelle, la position de l'électron est de la forme :

L'amplitude du mouvement s'amortit donc exponentiellement au cours du temps avec un temps caractéristique égal à 2\tau_0.

L'énergie mécanique totale de l'oscillateur harmonique est proportionnelle au carré de l'amplitude :

Ainsi :

On l'appelle également durée de vie radiative de l'oscillateur.

1. Énoncé du théorème de Gauss :
Le flux du champ électrostatique \vec{E} à travers toute surface fermée \mathcal{S} orientée vers l'extérieur est égal au quotient de la charge électrique totale Q_{\text{int}} contenue à l'intérieur de cette surface par la permittivité diélectrique du vide \varepsilon_0 :

2. Symétries et forme du champ :
Le modèle de Thomson décrit le proton comme une boule sphérique de centre O, de rayon a_0, chargée uniformément de charge totale +e. Sa densité volumique de charge est :

• Tout plan contenant O et le point P est un plan de symétrie de la distribution de charge. Le champ électrostatique en P appartient à l'intersection de tous ces plans, il est donc radial : \vec{E}(P) = E(r)\,\vec{e}_r, où r = OP.
• La distribution est invariante par toute rotation autour du centre O, de sorte que l'amplitude E ne dépend que de la distance radiale r.

3. Calcul du champ électrostatique pour r = OP < a_0 :
On choisit pour surface de Gauss \mathcal{S} la sphère de centre O et de rayon r < a_0.

• Le flux de \vec{E} à travers \mathcal{S} s'écrit :

  \Phi = \oiint_{\mathcal{S}} E(r)\,\vec{e}_r \cdot \vec{e}_r\,\mathrm{d}S = E(r) \oiint_{\mathcal{S}} \mathrm{d}S = 4\pi r^2 E(r)

• La charge intérieure à la sphère de rayon r est :

  Q_{\text{int}} = \rho \times \frac{4}{3}\pi r^3 = e \left(\frac{r}{a_0}\right)^3

D'après le théorème de Gauss :

En introduisant le vecteur position \overrightarrow{OP} = r\,\vec{e}_r, le champ électrostatique auquel est soumis l'électron en P est :

a) Expression de la pulsation propre \omega_0

D'après le résultat de la question Q12, le champ électrostatique régnant à l'intérieur de la boule de Thomson (OP < a_0) est :

L'électron, de charge q = -e, subit la force de Coulomb :

Par identification avec la modélisation proposée \vec{f}_{\text{rappel}} = -m_e \omega_0^2 \overrightarrow{OP}, il vient :

soit finalement :

b) Évaluation numérique de la longueur d'onde et commentaire

La pulsation propre \omega_0 correspond à une onde électromagnétique de longueur d'onde dans le vide :

Calculons numériquement la pulsation \omega_0 à l'aide des données :

• e = 1{,}60 \cdot 10^{-19}\text{ C}
• \varepsilon_0 = 8{,}85 \cdot 10^{-12}\text{ F}\cdot\text{m}^{-1}
• m_e = 9{,}10 \cdot 10^{-31}\text{ kg}
• a_0 = 5{,}29 \cdot 10^{-11}\text{ m}

On en déduit la longueur d'onde associée avec c = 3{,}00 \cdot 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} :

Commentaires :

• D'après le spectre électromagnétique fourni en tête de sujet, cette longueur d'onde se situe dans l'ultraviolet lointain (ou extrême UV).
• L'énergie photonique associée vaut \hbar\omega_0 = 1{,}05 \cdot 10^{-34} \times 4{,}12 \cdot 10^{16}\text{ J} \approx 4{,}3 \cdot 10^{-18}\text{ J} \approx 27\text{ eV} = 2 R_Y. Elle est du même ordre de grandeur que l'énergie d'ionisation de l'atome d'hydrogène (R_Y = 13{,}6\text{ eV}) et que les transitions électroniques de la série de Lyman (qui s'étendent de 10{,}2\text{ eV} à 13{,}6\text{ eV}, soit entre 91\text{ nm} et 122\text{ nm}). Le modèle classique de Thomson fournit ainsi un ordre de grandeur très satisfaisant des fréquences optiques caractéristiques de l'atome d'hydrogène.

a) Équation du mouvement

On étudie l'électron (charge q = -e, masse m_e) dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen. Le mouvement s'effectue le long de l'axe Oz, repéré par \overrightarrow{OP}(t) = z(t)\vec{e}_z.

L'électron est soumis à trois forces :

• la force de rappel : \vec{f}_{\text{rappel}} = -m_e \omega_0^2 z(t)\vec{e}_z ;
• la force de réaction de rayonnement : \vec{f}_{\text{ray}} = K_e \frac{\mathrm{d}\vec{\gamma}}{\mathrm{d}t} = K_e \dddot{z}(t)\vec{e}_z ;
• la force électrostatique due au champ extérieur : \vec{f}_{\text{ext}} = q\vec{E}_{\text{ext}} = -e E_0 \cos(\omega t)\vec{e}_z.

Le principe fondamental de la dynamique s'écrit :

En projetant sur l'axe Oz et en introduisant le temps caractéristique \tau = \frac{K_e}{m_e}, on obtient :

soit, sous forme canonique :

b) Solution forcée et accélération complexe

On adopte la notation complexe en associant au champ électrique le signal \underline{E}_{\text{ext}}(t) = E_0 \mathrm{e}^{i\omega t}. En régime forcé, on cherche la position sous la forme \underline{z}(t) = \underline{Z}_0 \mathrm{e}^{i\omega t}.

Les dérivées temporelles s'écrivent :

En injectant ces relations dans l'équation différentielle :

d'où l'expression de la position complexe forcée :

La grandeur physique réelle s'en déduit par z(t) = \mathrm{Re}\big(\underline{z}(t)\big).

L'accélération complexe s'obtient directement par \underline{\vec{\gamma}}(t) = \ddot{\underline{z}}(t)\vec{e}_z = -\omega^2 \underline{z}(t)\vec{e}_z, ce qui donne :

a) Expression de la puissance moyenne rayonnée P

D'après la question Q14, l'accélération complexe de l'électron en régime forcé s'écrit :

L'accélération réelle \vec{\gamma}(t) = \operatorname{Re}(\underline{\vec{\gamma}}(t)) est sinusoïdale d'amplitude \gamma_0 = |\underline{\vec{\gamma}}|. La valeur moyenne temporelle du carré de l'accélération vaut donc :

En introduisant cette expression dans la formule de Larmor P_L = K_e \langle \vec{\gamma}\cdot\vec{\gamma} \rangle, avec \tau = \dfrac{K_e}{m_e}, on obtient la puissance rayonnée P :

b) Cas particuliers et comportements asymptotiques

• Pour \omega = \omega_0 : le terme d'inertie et de rappel s'annule (\omega_0^2 - \omega_0^2 = 0) et il vient :

  P_0 = P(\omega_0) = \frac{e^2 E_0^2 \tau}{2 m_e} \frac{\omega_0^4}{\tau^2 \omega_0^6}

  soit :

  \boxed{P_0 = \frac{e^2 E_0^2}{2 m_e \tau \omega_0^2} = \frac{e^2 E_0^2}{2 K_e \omega_0^2}}

• Pour \omega \ll \omega_0 : le dénominateur est dominé par \omega_0^4 (car (\omega_0^2-\omega^2)^2 \approx \omega_0^4 et \tau^2\omega^6 \ll \omega_0^4). La puissance varie comme \omega^4 :

  \boxed{P(\omega) \approx \frac{e^2 E_0^2 \tau}{2 m_e} \frac{\omega^4}{\omega_0^4} = P_0 \, (\tau \omega_0)^2 \left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)^4}

  En particulier, pour \omega = 0 :

  \boxed{P(0) = 0}

• Pour \omega \gg \omega_0 : dans le domaine non relativiste où l'approximation dipolaire reste valable, on a généralement \omega \tau \ll 1, de sorte que (\omega_0^2 - \omega^2)^2 \approx \omega^4 \gg \tau^2 \omega^6. La puissance devient indépendante de la pulsation :

  \boxed{P(\omega) \approx \frac{K_e e^2 E_0^2}{2 m_e^2} = \frac{e^2 E_0^2 \tau}{2 m_e}}

• Pour \omega \to +\infty : formellement, le terme en \tau^2 \omega^6 l'emporte au dénominateur sur \omega^4, ce qui donne P(\omega) \sim \dfrac{e^2 E_0^2}{2 m_e \tau \omega^2}, d'où :

  \boxed{\lim_{\omega \to +\infty} P(\omega) = 0}

a) Pulsation de résonance, largeur à mi-hauteur et facteur de qualité

La fonction de profil de résonance s'écrit au voisinage de \omega_0 :

• Pulsation de résonance \omega_r : Le dénominateur de g(\omega) est minimal (égal à 1) lorsque le terme au carré s'annule, c'est-à-dire pour :

  \boxed{ \omega_r = \omega_0 }

  On a alors g(\omega_r) = 1, soit P(\omega_r) = P_0.

• Largeur à mi-hauteur \Delta\omega : Les pulsations de coupure à mi-hauteur \omega_c vérifient la condition g(\omega_c) = \frac{1}{2}, soit :

  \left(\frac{\omega_0^2-\omega_c^2}{\tau\omega_0^3}\right)^2 = 1 \iff \frac{\omega_0^2-\omega_c^2}{\tau\omega_0^3} = \pm 1

  Comme les pulsations de coupure sont très proches de \omega_0 (\omega_c \approx \omega_0), on peut factoriser :

  \omega_0^2 - \omega_c^2 = (\omega_0 - \omega_c)(\omega_0 + \omega_c) \approx 2\omega_0 (\omega_0 - \omega_c)

  L'égalité devient :

  \frac{2\omega_0(\omega_0 - \omega_c)}{\tau\omega_0^3} \approx \pm 1 \implies \omega_0 - \omega_c \approx \pm \frac{\tau\omega_0^2}{2}

  Les deux pulsations de coupure (basse et haute) sont donc :

  \omega_1 \approx \omega_0 - \frac{\tau\omega_0^2}{2} \quad \text{et} \quad \omega_2 \approx \omega_0 + \frac{\tau\omega_0^2}{2}

  La largeur à mi-hauteur (bande passante à -3\text{ dB}) vaut :

  \boxed{ \Delta\omega = \omega_2 - \omega_1 = \tau \omega_0^2 = \frac{1}{\tau_0} }

• Facteur de qualité Q : Par définition, pour une résonance aiguë :

  \boxed{ Q = \frac{\omega_0}{\Delta\omega} = \frac{1}{\omega_0 \tau} = \omega_0 \tau_0 }

  L'hypothèse \omega_0\tau \ll 1 assure bien que Q \gg 1.

b) Application numérique dans le domaine optique

Le temps caractéristique associé à la réaction de rayonnement vaut :

Dans le domaine optique (domaine visible), pour une onde lumineuse de longueur d'onde typique \lambda_0 \approx 470\text{ nm} à 500\text{ nm}, la pulsation propre vaut typiquement :

(valeur reprise explicitement en Partie III). On en déduit :

a) La variable n représente le nombre de points (ou pas d'échantillonnage) de la grille de discrétisation utilisés pour calculer et tracer la courbe.

b) La variable X prend ses valeurs pour k allant de 0 à n-1, soit de x=a à x=b. La fonction g(\omega) est donc tracée sur l'intervalle :

c) D'après la question Q16b, la largeur à mi-hauteur vaut :

Les pulsations de coupure à mi-hauteur se situent donc en :

Ces deux pulsations sont bien contenues à l'intérieur de la plage d'abscisses choisie [a, b] = [\omega_0 - 10^8\,,\, \omega_0 + 10^8], de largeur b-a = 2\cdot 10^8\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1} \approx 2\Delta\omega. De plus, l'axe des ordonnées réglé par plt.ylim(-1, 2) englobe pleinement les valeurs g(\omega_0) = 1 et g = 0{,}5.

d) La variable X est une liste Python contenant n = 10\,000 flottants régulièrement espacés selon une progression arithmétique de premier terme a et de dernier terme b, correspondant aux pulsations discrétisées :

a) D'après la définition de la fonction Python h(x), l'expression analytique de la fonction h(\omega) s'écrit :

Les zéros de h(\omega) correspondent ainsi aux pulsations pour lesquelles le gain en puissance est divisé par deux : g(\omega) = 1/2, ce qui définit précisément les pulsations de coupure à mi-hauteur \omega_1 et \omega_2.

b) Les deux lignes :

if f(a)*f(b)>0 : 
    return None

vérifient si f(a) et f(b) sont de signes strictement identiques. D'après le théorème des valeurs intermédiaires (ou théorème de Bolzano), pour qu'une fonction continue change de signe et s'annule au moins une fois sur l'intervalle [a,b], il est nécessaire que f(a) \cdot f(b) \le 0. Si ce n'est pas le cas, l'algorithme ne peut garantir l'existence d'une racine et s'interrompt prématurément en renvoyant None.

c) La condition de continuation de la boucle est abs(v-u) > 2*epsilon. La boucle s'arrête dès que la largeur de l'intervalle vérifie :

L'algorithme renvoie le milieu w = \frac{u+v}{2} de ce dernier intervalle. La distance entre la racine exacte \omega_c et cette approximation est donc majorée par le demi-intervalle :

L'argument optionnel n'étant pas spécifié lors des appels de dicho, la valeur par défaut est \varepsilon = 10^6. L'algorithme fournit donc ces résultats avec une précision de :

d) Les pulsations de coupure basse et haute obtenues numériquement valent :

La largeur de la bande passante à mi-hauteur s'en déduit par soustraction directe :

soit :

Le facteur de qualité s'obtient alors par le rapport :

Avec deux chiffres significatifs cohérents avec la valeur fournie de \omega_0 :

a) Rôle du paramètre d

La relation de récurrence de la méthode de Newton-Raphson s'écrit :

Dans le corps de la fonction, l'instruction x1 = x - f(x) / d(x) montre que le paramètre d représente la fonction dérivée f' de la fonction f dont on cherche le zéro.

b) Remplacement de expressionA

L'appel methode_newton(g, inconnue, ...) implique que la fonction inconnue(x) doit renvoyer la valeur de la dérivée g'(x).

En posant u(x) = \frac{\omega_0^2 - x^2}{\tau \omega_0^3}, la fonction g s'écrit g(x) = \frac{1}{1 + u(x)^2} - \frac{1}{2}. Sa dérivée exacte vaut :

On peut donc remplacer expressionA par l'expression analytique de cette dérivée :

Remarque : Une approximation numérique de la dérivée par différence finie centrée avec un pas h adapté à l'échelle du problème (par exemple h = 10^3\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}, tel que h \ll \Delta\omega \approx 10^8\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1} tout en restant supérieur à la précision machine relative pour x \approx 4\cdot 10^{15}) est également envisageable :

c) Remplacement de expressionB

Pour préparer l'itération suivante de la boucle conditionnelle while, il faut actualiser la variable x en lui affectant la nouvelle valeur calculée x1 :

Une onde plane progressive harmonique de pulsation \omega se propageant dans le vide selon les x croissants est caractérisée par le vecteur d'onde \vec{k} = \frac{\omega}{c}\vec{e}_x. Le champ électrique étant polarisé rectilignement selon \vec{e}_z et d'amplitude E_0, il s'écrit (en choisissant l'origine des phases nulle à l'origine) :

D'après l'équation de Maxwell-Faraday (ou la relation de structure de l'onde plane dans le vide), le champ magnétique associé vérifie :

Sachant que \vec{e}_x \wedge \vec{e}_z = -\vec{e}_y, on obtient :

L'amplitude du champ magnétique est donc :

La densité volumique d'énergie électrique instantanée s'écrit u_e = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2. Sa moyenne temporelle vaut :

Comme \langle \cos^2(\dots) \rangle = \frac{1}{2}, on a :

De même, la densité volumique d'énergie magnétique instantanée est u_m = \frac{B^2}{2\mu_0}. Sa moyenne temporelle s'écrit :

En utilisant la relation des données \varepsilon_0 \mu_0 c^2 = 1, soit \frac{1}{\mu_0 c^2} = \varepsilon_0, il vient :

La densité volumique moyenne d'énergie électromagnétique totale est la somme des deux contributions :

D'après la question Q20, la densité volumique moyenne d'énergie électromagnétique associée à une onde plane progressive harmonique d'amplitude de champ électrique \delta E vaut :

En supposant les champs confinés dans un volume V, l'énergie électromagnétique moyenne contenue dans ce volume est :

L'énoncé précise que cette énergie moyenne correspond à celle de l'état fondamental d'un oscillateur harmonique quantique de pulsation \omega :

En égalant les deux expressions :

On en déduit l'amplitude \delta E des fluctuations du champ électrique :

On étudie l'électron, de masse m_e et de charge q = -e, dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen. Soumis uniquement à la force électrique \vec{F} = -e\vec{E}, le principe fondamental de la dynamique s'écrit :

En régime forcé à la pulsation \omega, en utilisant la relation en ordre de grandeur donnée par le texte \left|\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}\right| = \omega |f| (ce qui correspond également au passage en régime sinusoïdal établi où la dérivation temporelle équivaut à une multiplication par i\omega), la relation entre les amplitudes s'écrit :

On en déduit immédiatement l'amplitude des fluctuations de vitesse de l'électron :

L'énergie cinétique associée à ces fluctuations de vitesse s'écrit :

D'après le résultat de la question Q21, l'amplitude du champ électrique fluctuant vérifie (\delta E)^2 = \frac{\hbar \omega}{\varepsilon_0 V}. En remplaçant cette expression dans celle de \delta E_c, on obtient :

D'où l'expression du déplacement d'énergie cinétique :

En régime forcé harmonique de pulsation \omega, la dérivation temporelle équivaut, en ordre de grandeur ou en valeur quadratique moyenne, à une multiplication par \omega :

D'après les questions précédentes (Q7a et Q8b), la puissance moyenne dissipée par la force de réaction de rayonnement s'écrit :

Or, l'énergie cinétique moyenne associée aux fluctuations de vitesse est donnée par :

En utilisant la relation admise K_e = \frac{m_e}{\tau_0 \omega^2}, on obtient :

L'énergie rayonnée par l'électron pendant une durée \Delta t compense (« équilibre ») la fluctuation d'énergie cinétique \delta E_c si :

La puissance de rayonnement équilibre donc bien la fluctuation d'énergie cinétique sur une durée du même ordre de grandeur que le temps caractéristique d'amortissement radiatif \tau_0.

D'après la question Q22, le déplacement moyen d'énergie cinétique associé à un mode de pulsation \omega s'écrit :

En appliquant la formule de moyenne temporelle et fréquentielle donnée par l'énoncé sur l'intervalle [\omega_1, \omega_2] = [\omega_-, \omega_+], il vient :

L'intégration de la fonction 1/\omega conduit immédiatement à un logarithme :

On en déduit l'expression finale de la fluctuation totale d'énergie cinétique :

a) Comparaison des pulsations de coupure et expression approchée

D'après l'énoncé (question Q24 et données) :

On en déduit immédiatement le rapport des deux pulsations de coupure :

Avec \alpha = \frac{1}{137}, on a :

La pulsation haute est donc très supérieure à la pulsation basse : \omega_+ \gg \omega_-, ce qui permet l'approximation :

En injectant ce résultat dans l'expression établie à la question Q24 :

on obtient bien la forme approchée :

b) Écriture sous la forme \delta E_{c,\text{tot}} = h \times (\text{constante})

Comme \hbar \omega_+ = m_e c^2, on a \frac{1}{\omega_+} = \frac{\hbar}{m_e c^2}. Sachant par ailleurs que \hbar = \frac{h}{2\pi}, il vient :

Avec V = (4a_0)^3 = 64 a_0^3, la constante s'écrit :

Puisque \delta E_{c,\text{tot}} est une énergie (en \text{J}) et h est la constante de Planck (en \text{J}\cdot\text{s}), le rapport \frac{\delta E_{c,\text{tot}}}{h} a la dimension de l'inverse d'un temps [T]^{-1} :

Calcul numérique de cette constante :

• \ln\left(\frac{1}{10\alpha^2}\right) = \ln(1876{,}9) \approx 7{,}537 ;
• \frac{c \alpha^3}{64 a_0} = \frac{3{,}00 \cdot 10^8 \times (1/137)^3}{64 \times 5{,}29 \cdot 10^{-11}} \approx 3{,}446 \cdot 10^{10}\text{ s}^{-1}.

D'où :

c) Commentaire et amélioration du modèle

• Commentaire : La valeur théorique issue de ce modèle semi-classique très simplifié (\approx 2{,}6 \cdot 10^5\text{ MHz}) est environ 250 fois plus grande que la valeur expérimentale de 1\,058\text{ MHz}. Néanmoins, elle fournit le bon ordre de grandeur d'un effet très faible par rapport aux transitions optiques usuelles (qui sont de l'ordre de 10^9\text{ MHz}), situant le décalage dans le domaine des radiofréquences / micro-ondes.

• Améliorations à apporter :

  1. Prise en compte de la densité d'états : Remplacer la moyenne uniforme sur les pulsations par une intégration pondérée par la densité spectrale des modes électromagnétiques du vide dans une boîte, g(\omega)\,\mathrm{d}\omega = \frac{V\omega^2}{\pi^2 c^3}\,\mathrm{d}\omega.
  2. Description quantique de l'électron : Remplacer le confinement ad hoc dans un volume macroscopique V=(4a_0)^3 par la densité de probabilité de présence issue de la fonction d'onde stationnaire \Psi(\vec{r}) de l'électron (solution de l'équation de Dirac ou de Schrödinger), le décalage étant modulé par |\Psi(\vec{r}=\vec{0})|^2.

a) Niveaux concernés par le déplacement de Lamb

D'après le préambule de la question, la fluctuation totale d'énergie s'écrit sous la forme :

Or, comme le rappelle l'énoncé et la figure 2, la densité de probabilité de présence à l'origine |\Psi(r=0)|^2 n'est non nulle que pour les états de moment cinétique orbital nul (l = 0, soit les orbitales ns). Pour toutes les orbitales ayant l \ge 1 (np, nd, etc.), la fonction d'onde s'annule en r = 0, donc |\Psi(r=0)|^2 = 0.

Par conséquent, à cet ordre d'approximation :

b) Comparaison des énergies

L'énergie associée au déplacement de Lamb du niveau 2s vaut :

En électron-volts :

D'après le modèle de Bohr, l'énergie des niveaux de l'atome d'hydrogène vaut \varepsilon_n = -\frac{R_Y}{n^2} avec R_Y = 13{,}6\text{ eV}. L'énergie de la transition désexcitatrice de 2p vers 1s (transition entre n=2 et n=1) est :

La fréquence associée à cette transition est :

Comparons ces deux grandeurs :

Le déplacement de Lamb représente une correction extrêmement faible (environ sept ordres de grandeur plus petite) par rapport à l'énergie de la transition 2p \to 1s.

c) Caractère relativiste de l'électron 2s

D'après les données de l'énoncé, la vitesse de l'électron sur une orbite de niveau n dans le modèle de Bohr est donnée par :

Pour le niveau n=2, avec \alpha = \frac{1}{137} :

Puisque v \ll c, l'électron 2s est largement non relativiste du point de vue cinématique (le facteur de Lorentz vaut \gamma \approx 1 + \frac{1}{2}\left(\frac{v}{c}\right)^2 \approx 1 + 6{,}7 \cdot 10^{-6} \approx 1).

Cependant, il est indispensable de faire des corrections relativistes car :

• L'énergie de structure fine (termes relativistes de Dirac : correction à l'énergie cinétique, couplage spin-orbite, terme de Darwin) fait intervenir des termes correctifs en \left(\frac{v}{c}\right)^2 \sim \alpha^2 \sim 5 \cdot 10^{-5}, correspondant à des écarts d'énergie de l'ordre de 10^{-4} à 10^{-5}\text{ eV} (levée de dégénérescence entre 2p_{1/2} et 2p_{3/2}) ;
• Bien que faibles devant les énergies brutes de liaison (10\text{ eV}), ces écarts sont parfaitement résolus en spectroscopie et sont même supérieurs au déplacement de Lamb lui-même (\sim 4{,}4 \cdot 10^{-6}\text{ eV}). Pour interpréter les spectres fins, la prise en compte de la relativité via l'équation de Dirac est donc incontournable.

d) Raie \alpha de la série de Lyman

La raie \alpha de Lyman correspond à la désexcitation du niveau n=2 vers le niveau fondamental n=1. L'énergie du photon émis est :

On en déduit la longueur d'onde émise dans le vide :

1. Longueur d'onde et domaine spectral du photon émis :

La conservation de l'énergie lors de la désexcitation 2\text{p}_{3/2} \to 2\text{p}_{1/2} s'écrit, d'après la relation de Planck-Einstein :

Numériquement, avec h = 6{,}62 \cdot 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s}, c = 3{,}00 \cdot 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, \Delta = 4{,}5 \cdot 10^{-5}\text{ eV} et e = 1{,}60 \cdot 10^{-19}\text{ C} :

La fréquence correspondante vaut :

D'après le spectre électromagnétique fourni en page 3 (fréquence comprise entre 10^9\text{ Hz} et 10^{12}\text{ Hz}), cette onde appartient au domaine des micro-ondes.

2. Conséquence sur la raie \alpha du spectre de Lyman :

L'état fondamental correspond à l'orbitale 1\text{s} (soit 1\text{s}_{1/2}). Du fait de la levée de dégénérescence par couplage spin-orbite, le niveau 2\text{p} est scindé en deux sous-niveaux d'énergies distinctes 2\text{p}_{1/2} et 2\text{p}_{3/2}.

La raie Lyman-\alpha donne donc lieu à deux transitions désexcitatrices permises :

La raie Lyman-\alpha est donc dédoublée en un doublet composé de deux raies de longueurs d'onde extrêmement proches, séparées d'un très faible écart :

Dans le modèle de Bohr (comme dans le modèle de Schrödinger non relativiste sans spin), l'énergie de l'atome d'hydrogène ne dépend que du nombre quantique principal n :

• L'état fondamental (n = 1) correspond à l'orbitale 1s (l = 0).
• Le premier niveau excité (n = 2), situé à \Delta E = E_2 - E_1 = 10{,}2\text{ eV} au-dessus du fondamental, regroupe les orbitales dégénérées pour lesquelles l \in \{0, 1\}, soit les orbitales 2s et 2p.

• La transition radiative entre le niveau n = 2 et le niveau n = 1 correspond à la raie Lyman-\alpha étudiée à la question Q26d :

  \lambda = \frac{hc}{\Delta E} = \frac{6{,}62 \cdot 10^{-34} \times 3{,}00 \cdot 10^8}{10{,}2 \times 1{,}60 \cdot 10^{-19}} \approx 122\text{ nm}

  Cette longueur d'onde appartient au domaine de l'ultraviolet (UV).

On reproduit ainsi la figure 3 complétée :

Les trois éléments identifiés sont donc :

1. Identification des orbitales :

• En l'absence de fluctuations quantiques, l'équation de Dirac prédit que les états ayant mêmes nombres quantiques n et j ont la même énergie. Les états 2\mathrm{s}_{1/2} (l=0, j=1/2) et 2\mathrm{p}_{1/2} (l=1, j=1/2) sont donc initialement dégénérés.

• L'interaction avec les fluctuations du vide (effet Lamb) augmente l'énergie des seuls états \mathrm{s} car la fonction d'onde à l'origine y est non nulle (\Psi_{2\mathrm{s}}(0) \neq 0, question Q26). Le niveau 2\mathrm{s}_{1/2} est ainsi surélevé par rapport au niveau 2\mathrm{p}_{1/2} :

  E(2\mathrm{p}_{1/2}) < E(2\mathrm{s}_{1/2}) < E(2\mathrm{p}_{3/2}).

  Par conséquent :

  • L'orbitale du niveau intermédiaire est l'orbitale 2\mathrm{s}_{1/2}.
  • L'orbitale du niveau inférieur est l'orbitale 2\mathrm{p}_{1/2}.

2. Transition de structure fine 2\mathrm{p}_{3/2} \to 2\mathrm{p}_{1/2} :

• L'écart énergétique vaut \Delta = 4{,}5 \cdot 10^{-5}\text{ eV} = 4{,}5 \cdot 10^{-5} \times 1{,}60 \cdot 10^{-19}\text{ J} = 7{,}20 \cdot 10^{-24}\text{ J}.

• La longueur d'onde émise (calculée en Q27) est :

  \lambda = \frac{hc}{\Delta} = \frac{6{,}62 \cdot 10^{-34} \times 3{,}00 \cdot 10^8}{7{,}20 \cdot 10^{-24}} \approx 2{,}76 \cdot 10^{-2}\text{ m} \approx \mathbf{2{,}8\text{ cm}}.
• D'après le spectre fourni, à \nu \approx 10{,}9\text{ GHz}, le domaine associé est celui des micro-ondes.

3. Transition associée au déplacement de Lamb 2\mathrm{s}_{1/2} \to 2\mathrm{p}_{1/2} :

• Énergie : la fréquence associée est \nu_{\text{Lamb}} = 1\,058\text{ MHz}, soit :

  \delta E = h \nu_{\text{Lamb}} = 6{,}62 \cdot 10^{-34} \times 1{,}058 \cdot 10^9\text{ J} = 7{,}00 \cdot 10^{-25}\text{ J} \approx \mathbf{4{,}38 \cdot 10^{-6}\text{ eV}}.

• Longueur d'onde :

  \lambda = \frac{c}{\nu_{\text{Lamb}}} = \frac{3{,}00 \cdot 10^8}{1{,}058 \cdot 10^9} \approx \mathbf{0{,}284\text{ m} = 28{,}4\text{ cm}}.
• Domaine : cette fréquence (\nu \approx 1\text{ GHz}, \lambda \approx 28\text{ cm}) se situe à la limite entre les ondes radio et les micro-ondes (ondes décimétriques).

Prenons comme référence l'énergie du niveau 2\mathrm{p}_{1/2} sans champ magnétique, notée E_0. Les énergies des états sans champ s'écrivent :

• E(2\mathrm{p}_{1/2}) = E_0 ;
• E(2\mathrm{s}_{1/2}) = E_0 + \delta E_{\text{totale}} (décalage de Lamb vers le haut) ;
• E(2\mathrm{p}_{3/2}) = E_0 + \Delta (écart de structure fine).

En présence du champ magnétique extérieur B_{\text{ext}}, l'effet Zeeman lève la dégénérescence des sous-niveaux :

• L'état 2\mathrm{p}_{3/2} se sépare en 4 sous-niveaux équidistants d'intervalle \frac{4}{3}\mu_B B_{\text{ext}}, correspondant à m = 3/2, 1/2, -1/2, -3/2 :

  E(2\mathrm{p}_{3/2},\, m) = E_0 + \Delta + m \cdot \frac{4}{3}\mu_B B_{\text{ext}}.

  Le sous-niveau le plus bas (m = -3/2) a pour énergie :

  E(2\mathrm{p}_{3/2},\, m=-3/2) = E_0 + \Delta - 2\mu_B B_{\text{ext}}.

• L'état 2\mathrm{s}_{1/2} se scinde en 2 sous-niveaux séparés de 2\mu_B B_{\text{ext}} (m = \pm 1/2) :

  E(2\mathrm{s}_{1/2},\, m = \pm 1/2) = E_0 + \delta E_{\text{totale}} \pm \mu_B B_{\text{ext}}.

• L'état 2\mathrm{p}_{1/2} se scinde en 2 sous-niveaux séparés de \frac{1}{3}\mu_B B_{\text{ext}} (m = \pm 1/2) :

  E(2\mathrm{p}_{1/2},\, m = \pm 1/2) = E_0 \pm \frac{1}{6}\mu_B B_{\text{ext}}.