Mouvement dans un champ de force centrale : 396 questions de concours corrigées

Rappeler en vertu de quel principe le mouvement d'une planète ou d'un astéroïde sous l'attraction du Soleil est dans un plan contenant celui-ci.

Déduire de la valeur du demi-grand axe une estimation de la période T de révolution de Didymos autour du Soleil, en années.

On lance l'engin spatial DART, de masse m, depuis la Terre. On l'envoie suffisamment loin pour qu'il échappe à l'attraction gravitationnelle de la Terre et ne soit plus sensible qu'à celle du…

a - Exprimer la vitesse angulaire Ω = θ en fonction de G, R et de la masse totale M = M_S + M_T du système Soleil-Terre. b - Interpréter et proposer une valeur approchée de la période T = 2π/Ω dans…

Montrer que le moment cinétique s = r ∧ p est une constante du mouvement. En déduire que ce mouvement est plan et que le plan du mouvement contient la position O du noyau. Dans la suite on étudiera…

Montrer que le moment cinétique s = r ∧ p est une constante du mouvement. En déduire que ce mouvement est plan et que le plan du mouvement contient la position O du noyau. Dans la suite on étudiera…

Montrer que le moment cinétique s = r ∧ p est une constante du mouvement. En déduire que ce mouvement est plan et que le plan du mouvement contient la position O du noyau. Dans la suite on étudiera…

Montrer que le mouvement est uniforme. Exprimer la vitesse v(r) et la période τ du mouvement de l'étoile en fonction de r et des données. Pour le Soleil, situé à 8 kpc du centre galactique, des…

Exprimer la période de révolution T du satellite autour de la Terre, en fonction de G, M_T et r.

Établir la relation liant, pour un satellite en orbite circulaire, la période T, le rayon terrestre R_T et l'altitude h en fonction de la constante de gravitation G et de la masse M_T de la Terre…

On admettra que la Terre et Jupiter ont des orbites circulaires et coplanaires, héliocentriques, parcourues dans le même sens. Les données en fin d'énoncé en donnent certaines propriétés. Exprimer…

On admet alors l'expression r = p/(1 + e cos θ) de l'équation de la trajectoire, où p et e sont des constantes positives. Exprimer puis calculer les paramètres p et e de la trajectoire de Mercure en…

Exprimer l'accélération de M sous la forme a = -K/r²u_r et exprimer la constante K. Montrer que r² θ = Cₐ ; préciser le nom et le signe de la constante Cₐ.

Montrer que : R_T³ ω_T² = G M_s . Rappeler le nom de cette loi. Déduire l'expression de la vitesse v_T de la sonde sur son orbite, en fonction de G, M_s et R_T.

Montrer que le moment cinétique L_z de la sonde par rapport à l'axe (Oz) se conserve. Montrer que la grandeur C = (|L_z|)/m vérifie la relation C = r² |θ|.

Montrer que le moment cinétique L_O du mobile par rapport au point O est une constante du mouvement. En déduire que la trajectoire du mobile est plane.

Établir la troisième loi de Kepler dans le cas particulier d'une orbite circulaire, en utilisant les paramètres liés à l'orbite altimétrique.

Déduire de l'application d'un théorème énergétique l'expression de la vitesse de libération v_lib(r) d'un corps soumis à l'attraction terrestre.

Justifier à l’aide du théorème du moment cinétique que le moment cinétique L_J par rapport au point J de la sonde se conserve. En déduire que le mouvement de la sonde est plan. On repère la sonde…

Quelle force s'exerce sur l'électron ? Comment s'écrit dans ce cas le principe fondamental de la dynamique pour l'électron.

Montrer que le moment cinétique L est conservé.

En déduire que la trajectoire est plane. On choisira dans la suite l'axe z orthogonal au plan de la trajectoire.

Donner l'expression du moment cinétique en coordonnées polaires (r, θ) dans le plan de la trajectoire.

Exprimer, en fonction de M, g₀, R_T et h, l'énergie potentielle de gravitation E_p du satellite. On prendra l'origine des énergies potentielles si h → ∞.

Exprimer, en fonction de M, g₀, R_T et h, la norme v de la vitesse et l'énergie mécanique totale E du satellite.

Rappeler et justifier les deux lois de conservation usuelles dans le cadre de l'étude mécanique d'un point matériel en mouvement dans un champ de force centrale conservatif.

Déterminer une expression de l'énergie mécanique Eₘ₁ que possède l'astéroïde Patientia, relativement au référentiel héliocentrique d'étude galiléen, lorsqu'il est en orbite circulaire au niveau de…

Montrer que le mouvement est plan.

Montrer que L_O est constant. En déduire que le mouvement de l'électron est plan.

Exprimer L_O en fonction de mₑ, r et de dθ/dt.

Après avoir montré qu'elle est constante, déterminer l'expression v_iss de la norme de la vitesse de l'iss sur son orbite circulaire. Calculer sa valeur numérique en km⁻¹.

On considère un point matériel P de masse m en orbite circulaire de rayon r autour de l'astre précédent. Exprimer la vitesse angulaire ω du mouvement de P en fonction de la constante…

Donner l'expression de la force gravitationnelle terrestre F_G, s'exerçant sur un point matériel M de masse m situé à la distance r (r > R_T) du centre de la Terre O_T (figure 1). Exprimer l'énergie…

En négligeant les frottements dus à l'atmosphère, quelle vitesse v_lib serait à communiquer à un projectile tiré radialement, depuis la surface terrestre, pour le soustraire à l'attraction…

Montrer que le moment cinétique L_O en O, centre du Soleil, d'un objet de masse m est une constante du mouvement.

On utilise les coordonnées cylindriques (O, e_r, e_θ, e_z) avec e_z tel que L_O = L_O e_z. Justifier que le mouvement est plan et exprimer C = r² dθ/dt en fonction de L_O et m. Quel est le nom de…

Déduire l'expression de l'énergie cinétique, puis de l'énergie mécanique de l'objet de masse m sur son orbite circulaire autour du Soleil en fonction de G, M_S, R et m.

Exprimer la période de rotation T de l'objet en fonction G, M_S et R (troisième loi de Kepler).

Montrer que le mouvement du satellite est uniforme.

Déterminer l'expression de la vitesse orbitale du satellite v₀ sur son orbite circulaire en fonction de la constante de gravitation universelle G et des paramètres M_T, R_T et h.

On revient au modèle semi-classique du modèle de Bohr dans lequel l’électron décrit une orbite circulaire de rayon ρ autour du noyau. On exprimera les réponses en fonction de e, ρ, ε₀ et de mₑ. a)…

Le vaisseau libéré par la fusée décrit dans le référentiel géocentrique une orbite elliptique dont la distance minimale au foyer est à l'altitude de 167 km et dont la distance maximale au foyer est…

Rappeler l'expression de la force gravitationnelle existant entre deux corps ponctuels de masse m₁ et m₂ séparés par une distance r. En déduire l'expression de l'énergie potentielle gravitationnelle…

On cherche à présent à relier la vitesse du compagnon aux caractéristiques de son orbite. Retrouver la troisième loi de Kepler en appliquant le principe fondamental de la dynamique au compagnon…

Rappeler les expressions de la force d'interaction électrostatique Fₑ subie par une charge ponctuelle q_A placée au point A de la part d'une charge ponctuelle q_B placée au point B ainsi que de la…

En appliquant le théorème de l'énergie mécanique à l'objet M entre l'instant initial (M à la surface de la Terre) et l'instant final (M à l'infini), déterminer la vitesse de libération v_ℓ en tenant…

En appliquant le théorème du moment cinétique dans le référentiel jupiterocentrique, montrer que le moment cinétique L_O,P/R = r ∧ mv_P/R est constant au cours du temps. Conclure que le mouvement de…

Quelle est l'expression de l'énergie mécanique Eₘ de A ? A) Eₘ=1/2mr²+L²/2mr²-K/r B) Eₘ=1/2mr²+L/2mr²-K/r C) Eₘ=1/2mr²+L²/2mr²+K/2r D) Eₘ=1/2mr²-L²/2mr²-K/r

Quelle propriété possède le moment cinétique de l'électron par rapport au noyau ?

En faisant l'hypothèse d'un éther immobile dans le référentiel héliocentrique et ne subissant aucun effet d'entraînement par l'atmosphère terrestre, Michelson et Morley comptaient observer cette…

Etablir une correspondance explicite entre l'électrostatique et la gravitation. Enoncer le théorème de Gauss gravitationnel. On notera g(M) le champ gravitationnel au point M.

Justifier que le mouvement de C₁ est plan.

On rappelle que le mouvement radial r(t) dans un champ de gravitation newtonien est celui d'une particule à une dimension soumise à une énergie potentielle effective E_p,eff(r). Établir l'expression…

On note r = dr/dt. Montrer l'existence d'une fonction U(r) permettant d'exprimer l'énergie mécanique E de l'électron sous la forme E = 1/2 mₑ r² + U(r) et exprimer U(r) en fonction de s = |s|, r, e…

On note r = dr/dt. Montrer l'existence d'une fonction U(r) permettant d'exprimer l'énergie mécanique E de l'électron sous la forme E = 1/2mₑr² + U(r) et exprimer U(r) en fonction de s = |s|, r, e…

On note r = dr/dt. Montrer l'existence d'une fonction U(r) permettant d'exprimer l'énergie mécanique E de l'électron sous la forme E = 1/2mₑ r² + U(r) et exprimer U(r) en fonction de s = |s|, r, e…

Déterminer, en fonction notamment de M_b, le champ gravitationnel créé en un point M de l'espace, selon que r ≤ R_b ou R_b ≤ r ≤ R_d. En déduire la vitesse v₀ d'une étoile en mouvement circulaire de…

Rappeler l'expression de la force coulombienne exercée par le noyau sur l'électron. En l'absence de toute autre interaction, justifier que le mouvement de l'électron est uniforme. Déterminer la…

a) Exprimer l'énergie gravitationnelle finale dE_pG(r) des masse m et dm. On considère l'énergie gravitationnelle nulle quand dm est infiniment éloignée de m. b) On modélise la formation d'une…

Montrer que le mouvement de P est plan. Le point P étant alors repéré par ses coordonnées polaires (r, θ), démontrer que le produit r² θ est une constante du mouvement. Cette constante sera notée C…

Montrer que l'énergie mécanique peut se mettre sous la forme : Eₘ = 1/2 m r² + E_p,eff(r) . (1) On précisera l'expression de la fonction E_p,eff(r) en fonction de m, M_T, r, C et de G.

Tracer, en la justifiant, la courbe représentative de E_p,eff(r). À l'aide d'un raisonnement graphique, déterminer pour quelles valeurs de Eₘ le point P peut « échapper » à l'attraction de la Terre…

Montrer que le mouvement de P est plan. Le point P étant alors repéré par ses coordonnées polaires (r, θ), démontrer que le produit r² θ est une constante du mouvement. Cette constante sera notée C…

Montrer que l'énergie mécanique peut se mettre sous la forme : Eₘ = 1/2 m r² + E_p, eff(r) . On précisera l'expression de la fonction E_p, eff(r) en fonction de m, M_T, r, C et de G.

La vitesse de libération v_ℓ est la vitesse minimale qu'il faut communiquer à un corps depuis la surface d'un astre pour qu'il échappe définitivement à son attraction gravitationnelle. En déduire…

Montrer que si la vitesse initiale de l'électron sur son orbite est dans le plan (xOy), alors la trajectoire de l'électron restera toujours dans ce plan. Montrer également que le mouvement…

Montrer que rₙ = a₀ n². On donnera l'expression de a₀ appelé rayon de Bohr. Montrer que l'énergie mécanique Eₙ peut se mettre sous la forme : Eₙ = -E₀/n². Déterminer l'expression de E₀. Donner deux…

Appliquer, dans le référentiel R₀, le principe fondamental de la dynamique au satellite. Projeter l'égalité vectorielle obtenue dans la base polaire (e_r, e_θ). En déduire que la vitesse angulaire θ…

Dans le cadre du modèle de Bohr de l'atome d'hydrogène, déterminer l'expression de la période de révolution de l'électron dans son niveau fondamental, qu'on notera Tₑ, en fonction de q², de la…

Montrer que l'énergie mécanique de la sonde se met sous la forme Eₘ = 1/2 m r² + E_p,eff(r) et exprimer l'énergie potentielle effective E_p,eff en fonction de G, M_s, m, p_T, R_T, S, C et r.

Exprimer la force gravitationnelle exercée par la Terre sur un nano-satellite. En déduire l’expression de la vitesse v_s des satellites de Kinéis dans le référentiel géocentrique. Calculer v_s.

Après avoir justifié la direction du champ de gravitation terrestre G(M) et les invariances de sa norme, établir l'expression de celui-ci en un point M extérieur à la Terre en fonction de la…

Montrer que l'énergie mécanique Eₘ est une constante du mouvement et qu'elle peut se mettre sous la forme : Eₘ = 1/2mr² + E_p,eff(r) (1) où E_p,eff(r) est un terme, appelé énergie potentielle…

Représenter graphiquement, pour une valeur donnée de L₀, l'énergie potentielle effective E_p,eff du mobile en fonction de r. Faire apparaître sur le graphique l'énergie mécanique d'une trajectoire…

Justifier que l’énergie mécanique Eₘ de la sonde se conserve. Établir son équation radiale sous la forme : Eₘ = 1/2mr² + E_p,eff(r), où E_p,eff(r) désigne une énergie potentielle effective dont on…

Déterminer l'expression de la vitesse d'un satellite comme l'ISS, de centre d'inertie S et de masse M_S tournant autour de la Terre à l'altitude h. On assimilera le satellite à un point matériel en…

Déterminer l'expression de la vitesse d'un satellite comme l'ISS, de centre d'inertie S et de masse M_S tournant autour de la Terre à l'altitude h. On assimilera le satellite à un point matériel en…

En déduire que Eₘ = -e²/2a.

En déduire que T²/a³ = 4π² mₑ/e². Comment cette loi s'appelle-t-elle ?

Justifier que le mouvement est plan. En utilisant le théorème du moment cinétique, déterminer l'expression de θ = dθ/dt en fonction de r, r₀ et v₀.

Montrer que le mouvement de P est plan ; on notera (Axy) le plan de ce mouvement. Définir la constante C issue de la loi des aires pour ce mouvement et relier cette constante aux coordonnées…

Exprimer r et rθ en fonction de C, p, e et θ. En déduire r en fonction de p, e et θ et montrer que e < 1 pour un mouvement borné. Quelle est, dans ce cas et sans démonstration, la nature de la…

Montrer que le mouvement de P est plan ; on notera (Axy) le plan de ce mouvement. Définir la constante C issue de la loi des aires pour ce mouvement et relier cette constante aux coordonnées…

Exprimer r et rθ en fonction de C, p, e et θ. En déduire r en fonction de p, e et θ et montrer que e < 1 pour un mouvement borné. Quelle est, dans ce cas et sans démonstration, la nature de la…

Justifier que la contribution dW_g à l'énergie gravitationnelle de cet accroissement (passage de r à r + dr) s'écrit dW_g = -Gmdm/r. Calculer l'énergie gravitationnelle totale W_g de l'étoile en…

Comparer les vitesses v₁ = |v₁| et v₀ = |v₀| avant et après la descente. Estimer leurs valeurs numériques ainsi que celle de Δ v = v₁ - v₀.

Par une analogie formelle soignée entre les champs électrostatique et gravitationnel, construire et énoncer le théorème de Gauss gravitationnel (analogue en gravitation du théorème de Gauss de…

En déduire, dans l'espace autour de Mars, une expression de l'accélération de la pesanteur g(M) de cette planète.

Dans un modèle d'atome d'hydrogène « planétaire » où l'électron a un mouvement circulaire uniforme autour du noyau, montrer que l'énergie mécanique s'écrit E = -1/2e²/R où R désigne la distance…

Obtenir l'expression de la vitesse v = |v| de l'électron en fonction de e, mₑ, ε₀ et du rayon R de sa trajectoire.

En déduire que le rayon de la trajectoire s'écrit R = n² a₀, où a₀ est le rayon de Bohr que l'on exprimera en fonction de e, mₑ, ε₀ et de h. Calculer numériquement a₀.

Exprimer les vitesses vₙ associées à chaque orbite. Sur quelle orbite la vitesse maximale est-elle atteinte ? Exprimer sa valeur en fonction de c et de α. Est-il alors légitime de considérer que…

Calculer l'énergie mécanique Eₙ de l'électron en fonction de n. Retrouver la formule de Rydberg (Éq. (4)) et en déduire l'expression de R_∞ en fonction de mₑ, e, h, c et ε₀.

Donner l'expression de la force gravitationnelle terrestre F_G, s'exerçant sur un point matériel M de masse m, situé à la distance r (r > R_T) du centre de la Terre O_T (figure 1). Exprimer…

En négligeant les frottements dus à l'atmosphère, quelle vitesse v_lib serait à communiquer à un projectile tiré radialement, depuis la surface terrestre, pour le soustraire à l'attraction…

Exprimer Y en fonction de a et X en fonction de T. Exprimer littéralement M_T en fonction de alpha et des valeurs constantes apparaissant dans la troisième loi de Kepler. Par la suite, on attend un…

Définir un critère de compatibilité. Les résultats obtenus (valeur et précision) à partir des données de DATA sont-ils compatibles avec la valeur publiée ?

Établir les relations GB = m_A/(m_A + m_B)R et GA = -m_B/(m_A + m_B)R. En déduire la relation d²/dt²R = -KR/Rⁿ et expliciter les constantes K et n.

Établir l'équation de conservation 1/2mₑr² + U_eff(r) = cte et exprimer l'énergie potentielle effective U_eff(r) en fonction de e, ε₀, mₑ et σ.

Déterminer, dans le cas d'une orbite circulaire de rayon R, la vitesse V de l'objet en fonction de G, M_S, R et m. Calculer les valeurs numériques de V_T, la vitesse orbitale de la Terre et de V_M…

Ecrire les équations différentielles vérifiées par les vecteurs OS₀ et OS₁. En déduire que le référentiel R_K centré sur le point K tel que (M + m)OK = MOS₀ + mOS₁ est galiléen. Sous quelle…

Déterminer l'énergie mécanique de la sonde et montrer qu'elle se met sous la forme : E_m,P/R = Eₘ = 1/2m(r)² + U_eff(r) avec U_eff(r) = mC²/2r² - GmM_J/r. (1) Justifier que Eₘ se conserve.

Tracer l'allure de U_eff(r) et discuter les trajectoires possibles de la sonde en fonction de Eₘ. On distinguera en particulier les états qualifiés de liés de ceux dits de diffusion.

Etablir la forme du champ de gravitation à l'extérieur de la Terre en supposant celle-ci sphérique et de masse volumique uniforme. On se place dans un système de coordonnées sphériques de centre O…

Montrer que le mouvement du centre C_L de la Lune est uniforme et déterminer sa période de révolution T_L. On précisera bien dans quel référentiel on travaille et quelle est alors l'expression du…

Le corpuscule A est un satellite qui effectue des révolutions circulaires, de rayon R_A, autour du centre C de la Terre. Quelle est la norme v_A de la vitesse de A et quelle égalité relie son…

Plutôt que de travailler avec θ(r), on préférera introduire la vitesse orthoradiale v_θ, composante de la vitesse sur e_θ. Obtenir que la dynamique sur le plan (r, θ) d'une étoile suivant le…

Utilisant l'équation d'équilibre radial, et en négligeant tout mouvement sur e_z, obtenir une équation reliant v_θ(r) sur ce plan équatorial à la masse M_int(r) contenue dans la boule de rayon r…

On suppose à présent que la Galaxie est une boule homogène de rayon R et de densité ρ₀. Calculer v_θ(r) sur son plan équatorial pour r < R et r > R, et rassembler ces résultats dans une courbe.

Montrer que les rayons rₙ des orbites envisageables pour l'électron vérifient rₙ = n² a₀ et exprimer a₀ (rayon de Bohr) en fonction des données. La valeur numérique de a₀ est indiquée en fin d'énoncé.

Montrer que les énergies mécaniques Eₙ correspondantes s'expriment sous la forme Eₙ = -E_I/n², où E_I sera exprimé en fonction des données. Calculer E_I en eV.

En supposant que le satellite d'imagerie se situe sur une orbite circulaire, redémontrer l'expression donnant la période T du satellite autour de la Terre, en fonction de sa hauteur h de l'orbite…

Établir la relation r³/T² = (G(M_E + M_P))/4π². Quel nom porte cette loi ?

En ne prenant en compte que cette unique force d'attraction qui s'exerce sur le satellite, montrer que : a) sa trajectoire est plane ; b) son énergie mécanique notée Eₘ est conservée ; c) et qu'elle…

Soit la fonction E_p eff(r) = -A/r + B/r². Tracer son allure puis prouver qu'elle passe par un minimum noté r₀. Exprimer r₀ en fonction de A et B puis donner sa signification physique ainsi que…

En déduire la variation de vitesse Δ V₁ à appliquer au satellite pour qu'il passe de l'orbite basse à celle de transfert. Effectuer l'application numérique.

On envisage un astre sphérique de centre O, de rayon R et de masse m uniformément répartie. En justifiant clairement chaque étape du raisonnement, établir que le champ gravitationnel créé par cet…

Etablir également l'expression de g(M) pour un point M intérieur à l'astre.

Le mouvement de C₁ est périodique de fréquence f. Etablir la relation f = √(Gm/(2π² r³)).

Exprimer vₐ. A) vₐ = (GM_S/rₐ)¹/² B) vₐ = (GM_T/(rₐ + r_p))¹/² C) vₐ = ((2GM_S rₐ)/r_p)¹/² D) vₐ = [(2GM_S r_p)/(rₐ(rₐ + r_p))]¹/²

On considère maintenant des trajectoires faiblement elliptiques, telles que r(t) = r₀ + r₁(t) avec, pour tout temps t, |r₁(t)| ≪ r₀. Pour ces trajectoires, r(t) présente des oscillations de faible…

Esquisser l'allure de la courbe représentative de U(r). Indiquer sur la courbe, les niveaux d'énergie correspondants aux 4 types d'orbites possibles. On décrira le comportement et le type de…

Esquisser l'allure de la courbe représentative de U(r). Indiquer sur la courbe, les niveaux d'énergie correspondants aux 4 types d'orbites possibles. On décrira le comportement et le type de…

Montrer que l'énergie potentielle effective admet un extremum si S est inférieure à une valeur limite S_lim. Tracer alors, sans justification, l'allure de l'énergie potentielle effective en fonction…

En utilisant le résultat de la question précédente, obtenir la relation donnant l'énergie mécanique Eₘ de l'astéroïde Patientia sur la trajectoire de Hohmann en fonction de son demi-grand axe a…

Établir l'expression de l'énergie potentielle d'interaction E_p(r) entre l'électron et le noyau en prenant l'origine des énergies potentielles en r → ∞.

Établir l'expression de l'énergie potentielle d'interaction E_p(r) entre l'électron et le noyau en prenant l'origine des énergies potentielles en r → ∞.

Exprimer le lien entre s, le nombre entier n et la constante de PLANCK.

Grâce à une analogie électrostatique, justifier que le théorème de Gauss pour le champ gravitationnel g s'écrit _S g · dS = -4π G M_int où M_int désigne la masse située à l'intérieur de la surface…

Exprimer la force F, ainsi que l'énergie potentielle E_p dont elle dérive. On prendra l'énergie potentielle nulle à l'infini.

La vitesse de libération v_ℓ est la vitesse minimale qu'il faut communiquer à un corps depuis la surface d'un astre pour qu'il échappe définitivement à son attraction gravitationnelle. En déduire…

Exprimer la force F, ainsi que l'énergie potentielle E_p dont elle dérive. On prendra l'énergie potentielle nulle à l'infini.

Exprimer l'énergie mécanique Eₘ du point matériel P. Justifier que celle-ci se conserve.

Déterminer l'expression de la valeur vₙ de la vitesse de l'électron en fonction du rayon de son orbite rₙ, ε₀, mₑ et de e.

Exprimer les énergies cinétique E_c, potentielle E_p et mécanique Eₙ de l'électron en fonction du rayon de son orbite rₙ, ε₀ et de e.

Rappeler l’expression vectorielle de la force d’interaction électrostatique s’exerçant dans le vide entre deux charges électriques ponctuelles q₁ et q₂ distantes d’une longueur r et celle de la…

Que penser du champ de pesanteur terrestre g à l’échelle d’un barrage ou d’une retenue d’eau de hauteur de l’ordre de quelques dizaines de mètres ? On rappelle que les grandeurs utiles et leurs…

Donner la valeur approximative, en jours terrestres, de chacune de ces périodes.\ Déterminer la valeur numérique de ω en radian par seconde.

En utilisant le résultat de cette simulation, déterminer la valeur optimale de β, notée βₑ, pour que la sonde s'éloigne le plus loin possible du Soleil, ainsi que la valeur optimale de β, notée βₐ…

Montrer que la force gravitationnelle s'exerçant sur le mobile dérive d'une énergie potentielle E_p. Établir l'expression de celle-ci en la prenant, par convention, nulle à l'infini.

Expliquer pourquoi l'énergie mécanique du mobile est nécessairement supérieure ou égale à son énergie potentielle effective.

Pour un mouvement elliptique quelconque, indiquer à quelles positions particulières l'énergie mécanique est égale à l'énergie potentielle effective. Caractériser le mouvement du mobile dans le cas…

Exprimer l'énergie mécanique E_m,alt du satellite situé sur l'orbite altimétrique de référence, en fonction de G, M_T, m et de R.

Exprimer la variation d'énergie mécanique ₘ = E_m,tr - E_m,alt nécessaire pour passer de l'orbite initiale à l'orbite de transfert. Commenter le signe de ₘ.

Donner l'expression de l'énergie mécanique Eₘ du vaisseau en fonction de G, M_T, m, r, v_r et de v_θ.

Établir l’expression de l’énergie potentielle E_p(r) dont dérive la force gravitationnelle subie par la sonde. On prendra E_p(r → +∞) = 0.

Donner l’expression de la vitesse minimale v_ℓ qu’il faudrait communiquer à la sonde à la distance r du centre J de Jupiter pour qu’elle se libère de l’attraction gravitationnelle de Jupiter. Cette…

Établir, à partir de la 2e loi de Newton, les expressions de Ω et de la vitesse V_J,h de Jupiter dans le référentiel héliocentrique R_h en fonction de G, M_S et de d. Calculer V_J,h.

On admet que cette équation est celle d'une ellipse et ε est baptisé "excentricité de l'ellipse". Quelle trajectoire particulière obtient-on dans le cas où ε = 0 ?

Quelle condition (inégalité forte) permet de considérer A comme fixe ? Quelle est l'expression de la force gravitationnelle F exercée par A sur P si les deux astres sont assimilés à des points ?

Cette expression reste-t-elle encore applicable si P et A sont tous deux à symétrie sphérique ? On pourra, dans tout ce qui suit, considérer A et P comme des points matériels A et P.

Dans le cas particulier où e = 0, préciser la nature de la trajectoire et l'expression de T ; en déduire une des lois de Kepler, préciser laquelle et proposer son énoncé « historique » sous forme…

Quelle condition (inégalité forte) permet de considérer A comme fixe ? Quelle est l'expression de la force gravitationnelle F exercée par A sur P si les deux astres sont assimilés à des points ?

Dans le cas particulier où e = 0, préciser la nature de la trajectoire et l'expression de T ; en déduire une des lois de Kepler, préciser laquelle et proposer son énoncé « historique » sous forme…

La valeur annoncée par CASSINI était α = 14'' (secondes d'angle). Est-elle compatible avec la relation ci-dessus ?

Donner et justifier physiquement le signe de W_g. Expliquer pourquoi on nomme parfois E_ℓ = -W_g l'énergie de liaison de l'étoile.

Exprimer la masse volumique ρ, supposée uniforme et constante, de l'étoile en fonction de M et R. En déduire, en fonction de M, R et r, les expressions de m (masse déjà constituée dans une sphère de…

Cette descente est souvent obtenue au moyen d'un système de fusées qui exerce sur le satellite une force constante Ma_fr, pratiquement tangente à chaque instant à la trajectoire circulaire…

Obtenir une expression de g(M) en fonction de Rₘ, r et g₀, accélération de la pesanteur au niveau du sol. Déterminer et calculer l'intensité g₀ de cette dernière.

Réaliser un schéma légendé précisant les orbites et la demi-ellipse de transfert en jeu. Les points A et P seront indiqués, ainsi que le centre S du Soleil.

Expliciter le vecteur vitesse v du point M et son vecteur moment cinétique L par rapport au centre S en coordonnées polaires. Exprimer ensuite le moment cinétique en fonction de la constante des…

Justifier le fait que le mouvement de l'électron est uniforme.

Déterminer l'expression de la période de révolution T_iss de l'iss autour de la Terre et faire le lien avec la troisième loi de Képler.

Rappeler quelle est la période de révolution τₜ de la Terre autour du Soleil. En déduire la fraction φ de l'orbite que parcourt la Terre durant un cycle lunaire.

Rappeler la signification physique d'un mouvement qualifié de « lié » pour le point M. Donner la valeur maximale de l'énergie mécanique Eₘ dans ce cas.

Rappeler la signification physique d'un mouvement qualifié de " lié " pour le point M. Donner la valeur maximale de l'énergie mécanique Eₘ dans ce cas.

Faire un schéma clair de l'ellipse, trajectoire du satellite, en y positionnant le foyer O_T et le demi-grand axe a. Faire figurer également les points particuliers P et A de la trajectoire, appelés…

Expliquer ce que fait ce morceau de code.

Écrire les instructions pour extraire de DATA la liste T_sat contenant les 9 périodes exprimées en minutes.

Proposer un ordre de grandeur pour N_sim.

Exprimer les forces F_B et F_A exercées au sein du système en fonction notamment de M et r. Donner l'expression de l'énergie potentielle E_p(r) associée à ces forces.

Exprimer, en fonction de G, M et r, l'énergie mécanique totale du système. Commenter brièvement le signe de l'expression obtenue.

Exprimer en fonction de m_A, m_B, G et R les forces F_B et F_A exercées sur les deux étoiles. Ces forces dépendent-elles du référentiel d'étude ?

Donner les dimensions de la constante gravitationnelle G ainsi que son unité dans le système international.

Représenter, sur la figure A du document réponse, montrant les orbites de la Terre et de Mars, l'allure de l'orbite de transfert (trajectoire de Hohmann).

Placer sur la figure B du document réponse la position de Mars à l'arrivée du vaisseau.

Exprimer C = r² dθ/dt en fonction de a_T et V_T''.

Évaluer numériquement la vitesse v₀, ainsi que la période de révolution T₀ correspondante.

Justifier simplement que la gravité g peut être considérée indépendante de z, où z est la verticale dirigée vers le haut.

Calculer la masse volumique moyenne de cette planète.

On définit le vecteur C par C = (L_O,P/R)/m. En exprimant C dans la base cylindrique orthonormée directe (u_r, u_θ, u_z), montrer que r² dθ/dt est une constante du mouvement que l'on exprimera en…

Donner l'expression de la force que la terre exerce sur la lune.

Quelles sont à chaque nouvelle lune les positions respectives du soleil, de la Terre et de la Lune ?

Quelle est la forme de E_p(r) si son origine est prise pour A et C infiniment éloignés l'un de l'autre? A) E_p(r)=-Kr⁻² B) E_p(r)=-Kr⁻¹ C) E_p(r)=Kr⁻¹/2 D) E_p(r)=Kr⁻²

On note L le moment cinétique, dans R, de A au point C. Que peut-on dire de l'évolution temporelle de L au cours du mouvement de A ? A) Le vecteur L change de direction mais sa norme est constante…

Pourquoi dans ce modèle l'électron admet-il un mouvement circulaire uniforme ?

Pourquoi la distance entre la Terre et le Soleil varie-t-elle au cours de l’année ?

Rappeler l'expression de la force de gravitation F exercée par la Terre sur un satellite NAVSTAR. Le centre de la Terre est situé en O. On notera r la distance OM du satellite (masse ponctuelle m)…

Quelle est la période de révolution du satellite ? Comparer cette valeur à celle d'un jour sidéral et conclure.

Donner sans démonstration l'expression de l'énergie mécanique Eₘ₁ d'un satellite NAVSTAR de masse m = 800 kg sur son orbite basse à l'altitude h₁ = 1,50 × 10³ km. On suppose l'énergie potentielle…

Quelle est la durée du transfert ? (La troisième loi de Kepler est rappelée en annexe.)

Définir ce qu'on appelle un satellite géostationnaire en précisant les caractéristiques de son orbite, son altitude, sa visibilité depuis un point donné de la Terre, son usage et toute autre donnée…

On considère maintenant deux masses ponctuelles m₁ et m₂ en P₁ et P₂. Exprimer la force de m₁ sur m₂.

Tracer alors l'allure de |g(M)| en fonction de r pour tout r.

En déduire que le mouvement de C₁ est uniforme.

Décrire le mouvement de C₁. Faire un schéma où sont représentés, à un instant donné C, C₁ et C₂ ainsi que leurs vecteurs vitesse respectifs.

Exprimer l'énergie potentielle gravitationnelle E_pot de C₂ dans le champ gravitationnel créé par C₁ en fonction de G, m et r. On choisira E_pot nulle pour r tendant vers l'infini.

Expliquer qualitativement comment évoluent r(t) et f(t) au cours du temps du fait de l'émission d'ondes gravitationnelles.

Donner une interprétation physique de τ.

Que peut-on affirmer? A) r_p v_p = rₐ vₐ B) r_p² v_p = rₐ² vₐ C) Eₘ(A_p) ≠ Eₘ(Aₐ) D) Eₘ(A_p) = Eₘ(Aₐ)

Didymos décrit une orbite elliptique autour du Soleil. Sa distance minimale au Soleil (correspondant au point de l'orbite dit "périhélie") est r_min = 1,01 r₀. Le fait que r_min soit très proche de…

Validez votre estimation de T en exploitant les données de la figure 1.

Quelle est la variation de son moment cinétique par rapport au Soleil ?

Comment, à partir de l'énergie potentielle effective, retrouve-t-on le rayon de l'orbite circulaire ? Vérifiez que vous obtenez le résultat attendu.

On veut que l'aphélie de l'orbite de DART, défini comme le point de l'orbite où sa distance au Soleil est maximale, coïncide avec le périhélie de l'orbite de Didymos (voir question 2) ce qui permet…

En utilisant l'expression de r₁(t), déterminer la valeur numérique de |v₁| permettant de réaliser cet objectif.

Que vaut la période de la trajectoire elliptique de DART ? Comment aurait-on pu obtenir ce résultat sans calcul ?

Déterminer B et T pour l'orbite circulaire de rayon r₀.

Quelle constante du mouvement permet de relier la vitesse à la distance au Soleil en ces deux points ? En déduire l'expression de la distance au Soleil à l'aphélie en fonction de r₀, v₀ et v₁.

Vérifier qu'on retrouve bien le résultat de la question 12 dans la limite où |v₁| ≪ v₀.

a - Montrer que l'on peut trouver une fonction U(P) de la position du point P, telle que x - 2Ω y = (∂ U)/(∂ x) ; y + 2Ω x = (∂ U)/(∂ y) La fonction U(P) a été appelée pseudo-potentiel. b - Exprimer…

En déduire les relations exprimant r_c(n), p_c(n) et E_c(n) en fonction de n et de h, e, mₑ et ε₀. Comparer à la relation (2).

En déduire les relations exprimant r_c(n), p_c(n) et E_c(n) en fonction de n et de h, e, mₑ et ε₀. Comparer à la relation (2).

En déduire les relations exprimant r_c(n), p_c(n) et E_c(n) en fonction de n et de h, e, mₑ et ε₀. Comparer à la relation (2).

Pour v₁ = 200 km⁻¹, exprimer puis calculer la masse de matière noire dans la galaxie en unités de masses solaires. Quel pourcentage de la masse galactique représente-t-elle ?

En milliards d'années, quelle durée s'est écoulée depuis le Big Bang, pour des mesures effectuées à z = 2 ?

Tracer, en la justifiant, la courbe représentative de E_p, eff(r). À l'aide d'un raisonnement graphique, déterminer pour quelles valeurs de Eₘ le point P peut « échapper » à l'attraction de la…

En assimilant champ de pesanteur et champ de gravitation, exprimer la valeur du champ de pesanteur g_T au niveau du sol en fonction notamment de la masse de la Terre M_T et de son rayon R_T. En…

Application numérique : Calculer la valeur de la période T de révolution du satellite autour de la Terre puis celle de sa vitesse de déplacement v.

Exprimer l'angle Δφ de rotation de la Terre sur elle-même pendant que le satellite parcourt une orbite entière (se reporter à la figure (5b)). En déduire l'expression, en fonction de R_T, de la…

En déduire l'expression, en fonction de R_T, de la distance d_c minimale séparant deux points survolés sur l'équateur. Calculer la valeur de d_c.

En déduire la valeur absolue du moment cinétique J de l'électron par rapport au centre de la trajectoire, qu'on exprimera en fonction de e, r et B.

Les satellites du système GPS sont tous placés sur une orbite circulaire de période T = 12 h, plus basse donc que celle des satellites géostationnaires, qui sont eux à 36 000 km d'altitude. En…

Estimer le rapport des masses M_ du Soleil et M_J de Jupiter puis commenter, numériquement, l'écart entre les centres de ces deux référentiels (R_H) et (R_K).

On note v la vitesse de M ; sur un tour, c'est une fonction v(θ) de l'angle θ. Montrer que le mouvement est caractérisé par dv/dθ = 1/Hdu_θ/dθ où H est une constante positive que l'on précisera.

Proposer, dans le cas de Mercure, une estimation numérique du rapport v_θ/c₀. En déduire une estimation de l'effet relativiste sur la rotation de Mercure, cumulé au bout d'un siècle. On pourra…

Déterminer l'expression de l'énergie potentielle associée à la somme de la force gravitationnelle et de la force due à la pression de radiation subies par la sonde, en fonction de G, M_s, m, p_T…

Déterminer les valeurs à τ = 0 des grandeurs ρ, θ, dρ/dτ et dθ/dτ. En déduire la liste à fournir à la ligne 7 du code de la figure 12.

Expliquer pourquoi ρ_f = 1 lorsque β = -90° et β = 90°.

En utilisant l'équation (1), montrer que l'énergie mécanique E_m,tr du satellite sur l'orbite de transfert peut se mettre sous la forme : E_m,tr = -(GM_T m)/(R + R_c)

En justifiant la réponse, indiquer s'il faut accélérer ou freiner le satellite pour le transférer en P de l'orbite de transfert à l'orbite cimetière.

En considérant la Terre comme un corps de répartition de masse à symétrie sphérique, déterminer les composantes radiale F_r et orthoradiale F_θ de la résultante des forces extérieures s'appliquant…

En traduisant la conservation de l’énergie mécanique de la sonde, montrer que v_e,j = v_s,j.

Pourquoi la vitesse v_j de la sonde est-elle nécessairement supérieure ou égale à sa vitesse de libération v_ℓ à la distance r_H (question Q30) ? Vérifier par une application numérique que c’est…

Dans le référentiel de l'ISS, le spationaute de masse m = 75 kg, toujours assimilé à son centre de gravité M, « flotte » sans bouger ni toucher les parois. Il est donc soumis uniquement à la force…

Montrer que A est dans le plan de la trajectoire. Dans la suite, on choisira l'axe x aligné selon le vecteur A et on note en conséquence θ l'angle entre r et A.

On note demi-grand axe de l'ellipse la quantité a = (r(0) + r(π))/2. Représenter graphiquement a sur la trajectoire de l'électron. Donner l'expression de a en fonction de r₀ et ε.

Montrer que chaque état quantique possède un demi-grand axe aₙ s'écrivant aₙ = n² a₁, où l'on exprimera a₁ en fonction de constantes fondamentales.

On considère jusqu'à la question Q[66] incluse que le champ électrique extérieur est nul. Que dire des variations de L dans ce cas. Pour quoi était-ce attendu ?

Montrer que l'énergie mécanique de la goutte peut s'exprimer sous la forme suivante : Eₘ = 1/2mr² + E_p,eff(r), où E_p,eff(r) = α/r² + β ln r et r = dr/dt. On explicitera les constantes positives α…

Tracer, en la justifiant, l'allure de l'énergie potentielle effective r E_p,eff(r). Conclure sur la nature des mouvements possibles de la goutte et sur l'existence d'états de diffusion.

On s'intéresse au cas d'un mouvement circulaire de rayon r₀. Établir l'expression de la vitesse de la goutte autour de l'aiguille en fonction de q, λ, m et ε₀, indépendamment de r₀. Conclure sur la…

On réalise l'approximation suivante : la trajectoire est considérée comme localement circulaire, c'est-à-dire que sur un tour, r(t) ≈ cste. En déduire que v est une constante et donner son…

Que devient l'expression de F si P reste ponctuel tandis que l'astre A, de rayon R_A < r, possède une répartition de masse à symétrie sphérique ? On justifiera sa réponse.

En utilisant par exemple la question précédente, montrer que T = I p³/²/√(Gm_A) où la constante I s'obtient par le calcul de l'intégrale I = ∫₀²π dθ/((1 + ecos θ)²).

Proposer l'écriture des lignes de code Python permettant le tracé de la figure 2 : courbe en trait plein puis mise en exergue d'une dizaine de valeurs régulièrement réparties pour 0 e 1/2. Note : on…

Sans soucis d'échelle, représenter sur un schéma unique l'ensemble des paramètres géométriques a₀, a₁, ℓ, α ci-dessus au moment de la mesure, lors d'une conjonction inférieure (le Soleil, la Terre…

La valeur annoncée par Cassini était α = 14'' (secondes d'angle). Est-elle compatible avec la relation ci-dessus ?

Que devient l'expression de F si P reste ponctuel tandis que l'astre A, de rayon R_A < r, possède une répartition de masse à symétrie sphérique ? On justifiera sa réponse.

Cette expression reste-t-elle encore applicable si P et A sont tous deux à symétrie sphérique ? On pourra, dans tout ce qui suit, considérer A et P comme des points matériels A et P.

En utilisant par exemple la question précédente, montrer que T = I p³/² / √(Gm_A) où la constante I s'obtient par le calcul de l'intégrale I = ∫₀²π dθ/((1 + ecos θ)²).

Proposer l'écriture des lignes de code Python permettant le tracé de la figure 2 : courbe en trait plein puis mise en exergue d'une dizaine de valeurs régulièrement réparties pour 0 ≤ e ≤ 1/2. Note…

Représenter sur un schéma unique l'ensemble des paramètres géométriques a₀, a₁, ℓ, α ci-dessus au moment de la mesure, lors d'une conjonction inférieure (le Soleil, la Terre et Mars sont alignés…

Exprimer la pulsation ω₀ du mouvement de G autour du Soleil en fonction de données astronomiques et de G. Donner le nom usuel et/ou la valeur numérique de T₀ = 2π/ω₀ ?

Sachant que τ = 7· 10⁻² s, estimer, en mois, la durée de la chute jusqu'au sol.

Exprimer, en fonction de g₀, R_T et h, la norme v₀ de la vitesse v du satellite sur son orbite circulaire à l'altitude h. En considérant que I > 0 (voir figure 6), exprimer v en projection sur B_c…

Mettre Eₘ sous la forme Eₘ = 1/2m_pr² + E_eff(r) et donner l'expression de E_eff(r).

Indiquer, avec justification, si ce passage correspond à une diminution ou à une augmentation de l'énergie mécanique de l'astéroïde.

Entre les points M_n,2 et M_n,3, on admet que le moment résultant exercé sur le mobile est nul : son moment cinétique est donc conservé. En déduire la vitesse v_n,3 au point M_n,3 en fonction de g…

En déduire la période de révolution de la Lune autour du centre de la Terre.

La masse volumique moyenne d'une roche est de l'ordre de quelques tonnes par mètre cube. En déduire une estimation de la masse de la Lune puis de l'intensité du champ de pesanteur lunaire. Comparer…

Écrire la fonction demiGrandAxe(DATA) qui permet d'obtenir la liste a_sat contenant les demi-grands axes a des 9 trajectoires exprimées en km.

Écrire la fonction XY dont les arguments sont les listes T_sat et a_sat, qui retourne les tableaux de type numpy.ndarray, X et Y dans le tuple (X,Y).

Écrire les instructions pour obtenir le tableau [alpha, beta] des paramètres de la régression linéaire. Quelle valeur attend-on pour l'ordonnée à l'origine beta ? Justifier.

Expliciter les termes A, B, C, D, E, et F.

Expliquer pourquoi seuls 4 points semblent apparaître sur le graphique, alors que les 9 valeurs ont bien été entrées dans le code.

Écrire alors les instructions pour obtenir la masse M_T, l'incertitude-type associée u_M, ainsi que beta_sim et l'incertitude-type associée u_beta.

Exprimer la période T₁ du mouvement des deux composantes de l'étoile binaire en fonction de r, M et G. Application Numérique : Le système est formé de deux étoiles de même masse que le Soleil…

Si l'étoile binaire forme un système lié, justifier que son mouvement est périodique et déterminer l'expression de la période T₂ du mouvement en fonction notamment des deux masses et d'une longueur…

Montrer que dans ce modèle le mouvement de l'électron est plan. On notera r la distance de l'électron à O, dr/dt = r et σ l'amplitude du moment cinétique de l'électron.

Quelle est la signification physique d'un minimum de l'énergie potentielle effective ? En déduire le rayon r et l'énergie E d'une trajectoire circulaire en fonction de σ, mₑ, ε₀ et e.

Au départ de l'orbite de la Terre, exprimer en fonction de V_T, a_M et a_T la vitesse V_T' que doit avoir le vaisseau sur sa trajectoire de transfert. En déduire la variation de vitesse Δ V_T = V_T'…

Exprimer puis calculer la durée Δ t du voyage jusqu'à l'orbite de Mars.

Quel doit être l'angle α₀ = θ_M(t = 0) - θ_T(t = 0) (Terre - Soleil - Mars) formé par les directions de Mars et de la Terre, vus du Soleil, au moment du lancement afin que Mars soit au rendez-vous à…

Dans l'hypothèse d'un problème survenu pendant le voyage aller nécessitant de ne pas explorer la planète, le vaisseau ne modifie pas sa vitesse lors du passage de l'orbite de Mars. Déterminer la…

Déterminer l'angle α₁ (Terre - Soleil - Mars) au moment du départ de Mars.

Justifier que r_P, le périhélie de la trajectoire du vaisseau (distance minimale du Soleil au vaisseau), vérifie r_P = a_T.

Exprimer l'énergie mécanique E_M du vaisseau sur cette trajectoire en fonction de m, V_T et e.

En déduire la vitesse V_T'' que doit avoir le vaisseau au départ pour se placer sur sa nouvelle orbite, toujours en fonction de V_T et e.

Donner, en fonction de V_T et e, la variation de vitesse Δ V_T' = V_T'' - V_T qu'il faut communiquer au vaisseau pour le mettre sur sa nouvelle trajectoire de transfert. Calculer la valeur numérique…

a) Quelle énergie faut-il dans le référentiel géocentrique pour placer le satellite sur l'orbite circulaire de rayon a ? On l'exprimera avec le rayon de l'orbite a, le rayon de la Terre R_T, la…

Dans ses mémoires, Leonov dit : 1 - qu'il a commencé sa sortie à la fin de la première orbite, 2 - que c'est après une quinzaine de tours qu'ils ont commencé les manœuvres de retour. Pouvez-vous en…

Exprimer, notamment en fonction du rapport m/S, la luminosité maximale L_Edd permettant un équilibre entre force radiative et force gravitationnelle.

Le rapport m/S est une constante indépendante des paramètres de l'étoile. En prenant m/S = 25 kg⁻², exprimer la limite d'Eddington sous la forme L_Edd = K₁ M/M L_ où K₁ est un facteur que l'on…

Exprimer la variation d'énergie potentielle causée par l'accrétion d'un élément de masse m, initialement situé à très grande distance de l'objet compact, vers la surface de cet objet compact de…

Exprimer l'énergie mécanique d'un objet ponctuel de masse m, de vitesse v, subissant une force d'attraction gravitationnelle de la part d'un astre de masse M supposé ponctuel et situé à la distance…

Énoncer la troisième loi de Kepler, puis estimer la masse de Jupiter en précisant la méthode utilisée. Comparer cette valeur à celle fournie en fin de sujet.

Dans quelle circonstance est-il légitime de supposer que le centre de Jupiter est immobile ? Justifier alors l'approximation galiléenne du référentiel jupiterocentrique.

Établir dans ce cas la troisième loi de Kepler. Déterminer un ordre de grandeur de T_L.

Considérons le cas d'un calendrier "lunaire" de 12 mois, pour lequel le début du mois est fixé par une nouvelle lune. Pourquoi le nouvel an ne tombe-t-il pas chaque année sur le même jour du…

Représenter sur un schéma le bulbe et le disque galactique, dont on fera apparaître les dimensions caractéristiques. Aucun calcul précis n'est demandé.

La figure 2 donne deux exemples de courbes de rotation pour des galaxies spirales similaires à la nôtre. Ces courbes représentent la vitesse de rotation en fonction de la distance au centre de la…

Expliquer pourquoi la présence d'un halo galactique de matière dite noire pourrait permettre d'expliquer les courbes de la figure 2. On précisera l'utilisation de l'adjectif noir, ainsi que la…

Comparer Eₘ₁ à Eₘ₀ = α cos ²(λ) - β, énergie mécanique du satellite posé au sol, avant son décollage, de la base de lancement située à la latitude λ. Les valeurs de α et β sont α = 8,6 × 10⁷ J et β…

À partir de l'expression de l'énergie mécanique pour une trajectoire circulaire de rayon r, on peut montrer qu'il suffit de substituer au rayon r la valeur du demi-grand axe a de l'ellipse pour…

Serait-il envisageable d'utiliser uniquement des satellites géostationnaires dans un système GPS ? Expliciter votre réponse.

Par une méthode de votre choix, montrer que l'énergie cinétique de C₁ peut s'écrire : E_c1 = Gm²/4r.

En déduire une expression de Eₘ en fonction de G, m et r seuls. Cette énergie mécanique est une constante du mouvement : expliquer pourquoi.

En déduire que l'on a Eₘ = -α f²/³ où α = ((π G)/2)²/³ m⁵/³. Vérifier explicitement l'homogénéité de l'expression précédente.

Etablir que la fréquence f du mouvement satisfait l'équation différentielle df/dt = K fβ où K est une constante numérique que l'on ne cherchera pas à calculer et où β est une constante numérique que…

En procédant à une séparation des variables, intégrer l'équation différentielle précédente et montrer que l'on a f(t) = f₀/((1-t/τ)³/⁸) où τ est un temps caractéristique à exprimer en fonction de f₀…

Exprimer L_z : A) L_z = M_T[(GM_S(rₐ + r_p))/2]¹/² B) L_z = M_T[(2GM_S rₐ r_p)/(rₐ + r_p)]¹/² C) L_z = M_T((GM_S rₐ r_p)/(rₐ + r_p))¹/² D) L_z = M_T[2GM_S(rₐ + r_p)]¹/²

L'équation polaire de la trajectoire de la Terre est la suivante: r = p/(1 + e cos φ) où e et p sont deux constantes temporelles indépendantes de r et φ. Sachant que e ≪ 1, que peut-on affirmer? A)…

De même, exprimer la durée τ₂ nécessaire pour que T passe de E à H, c'est-à-dire, la durée qui s'écoule entre le solstice d'été et le solstice d'hiver. A) τ₂ ≈ (p² M_T)/L_z(π - 4esin β) B) τ₂ ≈ (p²…

Quelle est la modification de son énergie mécanique par rapport au Soleil ? En déduire la variation du demi-grand axe au premier ordre en |v₁|/v₀, en négligeant les corrections du second ordre.

L'impulsion radiale permettant à DART de passer sur une orbite elliptique lui a été communiquée le 24 décembre 2021. DART a atteint sa cible Dimorphos le 26 septembre 2022, soit trois quarts d'une…

On définit le vecteur T = v - Be_θ, où v est le vecteur vitesse et B une constante. Montrer que pour une trajectoire donnée, il existe une valeur de B telle que le vecteur T soit constant, et…

On applique maintenant ces résultats à l'orbite elliptique de DART après qu'une vitesse radiale v₁ lui a été communiquée. Quelles sont les expressions de B et |T| dans ce cas, en fonction de v₀ et…

Déterminer la vitesse de DART au périhélie et à l'aphélie en fonction de v₀ et v₁.

Estimez la valeur du rapport R₁/D. Dessinez l'astéroïde double à l'échelle.

Déterminer la position des deux points d'équilibre notés L₄ et L₅ qui ne sont pas situés sur l'axe (Ox) de symétrie de la figure 2 ; on donnera les valeurs de (ρ_S, ρ_T) et de (x, y) pour chacun de…

Esquisser l'allure de la courbe représentative de U(r). Indiquer sur la courbe, les niveaux d'énergie correspondants aux 4 types d'orbites possibles. On décrira le comportement et le type de…

À partir du théorème de Gauss, exprimer, en tout point M de l'espace, div g en fonction de la masse volumique en ce point. En déduire µ(r) dans le halo en fonction de v₁, G et r. Retrouver ce…

En prenant T = 300 K, calculer numériquement u et conclure quant à la faible quantité d'hélium présente dans l'atmosphère terrestre (aide numérique : √(1,8) ≈ 1,3).

On appelle cycle orbital le nombre (minimal) de jours qui séparent deux passages, en orbite descendante, du satellite au-dessus d'un même point de la surface terrestre. Exprimer sa durée T_c (en…

Montrer que dans ce référentiel le mouvement de la Terre est circulaire uniforme de vitesse |v| = v ≃ 27 km/s. Quelles sont les valeurs extrêmes et moyenne de la vitesse d'éloignement de la Terre…

En écrivant que la variation temporelle est directement liée au temps nécessaire à la lumière pour traverser la distance entre Jupiter et la Terre, montrer que Δ τ ≃ (T₀ v)/(π c₀) ; en déduire…

En déduire qu'on peut, sans perdre de généralité, choisir un vecteur constant e de norme e et dirigé selon (Oy) de sorte que H v = u_θ + e puis vérifier que la projection de cette relation sur u_θ…

Montrer que cette moyenne se met sous la forme a_rel = Aγ K/Cₐu_z ∧ e et expliciter la constante A en fonction des données ; on pourra dans la suite admettre que A = 2,2· 10⁻¹⁴ SI.

Exprimer l'énergie mécanique de la sonde juste après l'ouverture de la voile solaire. Expliciter la condition sur cette énergie mécanique pour que la sonde puisse atteindre l'infini. En déduire la…