Référentiels non galiléens et forces d'inertie : 187 questions de concours corrigées

Reconnaître et nommer les 2 équations en jeu.

On note ℓ l'angle définissant la latitude, c'est-à-dire l'angle entre le plan équatorial et le point considéré sur la surface de la Terre. Que vaut f en fonction de l'angle ℓ ? Que se passe-t-il à…

Écrire la force d'inertie d'entraînement F_ie, s'exerçant sur un corps ponctuel au repos relatif par rapport au référentiel lié au sol, de masse m situé à une distance R_p du centre de la planète en…

On fait tourner la surface autour de l'axe Oz, à la vitesse angulaire constante Ω, par rapport au référentiel galiléen R' du laboratoire, l'origine O étant supposée fixe. Rappeler les forces…

Rappeler la loi de composition des vitesses de la mécanique classique. En déduire c₁ et c₂ puis Δ c et cₘ ; quel modèle retrouve-t-on ainsi ?

Rappeler le nom et l'expression générale de chacune des forces d'inertie. On précisera clairement la signification des différentes grandeurs introduites.

Présenter succinctement le principe d'une résolution numérique approchée de ce système d'équations différentielles s'appuyant sur une méthode analogue à la méthode d'Euler, pour un pas temporel…

Rappeler la définition d'un référentiel galiléen. À quelle(s) condition(s) peut-on considérer le référentiel terrestre comme galiléen ?

On imprime au récipient un mouvement vertical d’amplitude A et de pulsation ω, Z(t) = A cos ω t, où Z est la coordonnée verticale ascendante. Déterminer la force d’inertie d’entraînement F_i(t)…

a) La boîte constitue-t-elle un référentiel galiléen ? b) Écrire la deuxième loi de Newton appliquée à la masse dans le référentiel de la boîte.

Pourquoi un astronaute est-il en impesanteur dans la station spatiale internationale ?

En notant u et v les 2 composantes du champ de vitesse respectivement suivant eₓ et e_y, écrire les 3 composantes de F_c dans le système de coordonnées (eₓ, e_y, e_z) en fonction de u, v et f.

Interpréter chacun des termes présents dans l'équation de Navier-Stokes, rappelée en annexe à la fin de l'énoncé. On précisera les différentes forces volumiques f_vol à considérer dans le…

Montrer que l'équation différentielle vérifiée par u(t) se met sous la forme : u + (Ωₒ/Q)u + Ωₒ² u = -X avec Q et Ωₒ à déterminer en fonction de α, k et de M.

En étudiant le mouvement de M dans le référentiel R_g, montrer que l'on peut exprimer g sous la forme g = G_T(M) + γ₀ + γ₁ où γ₀ s'exprime en fonction de ω et de TM alors que γ₁ est simplement la…

Rappeler la définition d'un référentiel galiléen et justifier que le référentiel R est non galiléen.

Rappeler la loi fondamentale de la physique qui permet d'aboutir au système différentiel ci-dessus, ainsi que les précautions à prendre dans son écriture.

Vérifier que les termes 2ωε_y(t) et -2ωεₓ(t) proviennent des projections respectives sur les axes (Sx) et (Sy) de la force d'inertie de Coriolis.

Dans toute la suite on négligera la force d'inertie d'entraînement, et on considérera que le poids est parallèle à l'axe Oz. Justifier ces approximations par une analyse en ordres de grandeur.

Décomposer le vecteur e₃ dans la base locale et en déduire que les équations du mouvement s'écrivent : x + ω₀² x = 2Ωy y + ω₀² y = -2Ωx. (1) Exprimer la constante Ω.

En appliquant le principe fondamental de la dynamique à l'élément de volume d³τ précédemment défini, établir que le gradient de pression, en un point M du liquide, s'exprime selon la relation…

Établir l'équation du mouvement à laquelle obéit zₘ(t), et en déduire celle pour z(t).

Appliquer la seconde loi de Newton à la masse dans le référentiel R' lié au boîtier. On notera z'_G la cote du point G dans le repère R'. Projeter cette relation sur l'axe vertical. On supposera que…

Montrer que x(t) obéit à une équation différentielle du type d²x/dt² + ω₀/Q dx/dt + ω₀² x = f(t) où f(t) est une fonction du temps avec ω₀ = √(k/m), Q = 1/α√(k· m) et f(t) à exprimer.

Dans le cas gravitationnel, l'observateur initialement au repos est lui-même soumis au champ gravitationnel. On dit qu'il est en chute libre. Dans son référentiel, comment est modifiée la deuxième…

Dans le référentiel terrestre, exprimer la vitesse de G en fonction de v₁ et de dZ/dt, puis son accélération en fonction de γ₁ et de d²Z/dt². En déduire la nouvelle équation différentielle vérifiée…

Justifier l'expression du champ de pesanteur g(M) donnée ci-dessus en précisant quel est le terme gravitationnel et quel est le terme d'inertie. Donner l'ordre de grandeur de sa norme à la surface…

En général, la force de Coriolis peut être négligée devant le poids. Justifier cette approximation en prenant l'exemple d'un train TGV roulant à 360 km/heure, c'est-à-dire 100 m/s.

Justifier l'expression du champ de pesanteur g(M) donnée ci-dessus en précisant quel est le terme gravitationnel et quel est le terme d'inertie. Donner l'ordre de grandeur de sa norme à la surface…

Justifier que le référentiel lié à la roue Francis est non galiléen.

Rappeler la définition d'un référentiel galiléen, du référentiel de Copernic R₀ et du référentiel géocentrique R_g.

On considère que le référentiel R₀ est galiléen. Montrer que R_g ne l'est pas.

Comment intervient le terme γ₀ dans la variation du champ de pesanteur locale ?

Rappeler la définition du référentiel géocentrique et celle d'un référentiel galiléen.

Le référentiel R' est-il galiléen ? Justifier.

On note v_e,h et v_s,h les vitesses de la sonde dans le référentiel héliocentrique R_h respectivement à l’entrée et à la sortie de la sphère de Hill. Déduire de la loi de composition des vitesses…

Définir le référentiel géocentrique et le référentiel terrestre. Décrire le mouvement du référentiel terrestre par rapport au référentiel géocentrique.

À la latitude de Paris (λ = + 49°), calculer la valeur numérique des deux forces pour une personne pesant m = 75 kg. Commenter.

Expliquer pourquoi la méthode proposée à la question Q4 ne peut pas convenir pour peser un spationaute dans l'ISS.

Définir le référentiel géocentrique et le référentiel terrestre. Décrire le mouvement du référentiel terrestre par rapport au référentiel géocentrique.

À la latitude de Paris (λ = +49°), calculer la valeur numérique des deux forces pour une personne pesant m = 75 kg. Commenter.

Expliquer pourquoi la méthode proposée à la question Q4 ne peut pas convenir pour peser un spationaute dans l'ISS.

Pourquoi ne tient-on pas compte des forces d'inertie de Coriolis dans l'étude des mouvements de T et L relativement à (R_g) ?

Décrire le mouvement du référentiel terrestre Rₜ par rapport au référentiel R_g.

Rappeler le nom usuellement attribué au référentiel R_h.

La résolution numérique conduit à la valeur R = 0,009. En déduire la valeur de la distance qui sépare la Terre du point L₂.

Rappeler la définition d'un référentiel galiléen. Dans quelle mesure le référentiel terrestre peut-il être supposé galiléen ?

Rappeler la définition d'un référentiel galiléen. Dans quelle mesure le référentiel terrestre peut-il être supposé galiléen ?

Lorsque le planche à voile se déplace à une vitesse v_p, quelle est l'expression de la vitesse du vent qui souffle dans la voile relativement au référentiel entrainé avec la planche ? Ce vent…

Lorsque le planche à voile se déplace à une vitesse v_p, quelle est l'expression de la vitesse du vent qui souffle dans la voile relativement au référentiel entrainé avec la planche ? Ce vent…

Calculer numériquement le rapport a = M_T/M où M = M_S + M_T. Que vaudrait ε si on avait a = 0 ? Commenter.

Comparer la valeur calculée précédemment à la valeur que l'on peut déterminer graphiquement sur la figure 2.

À partir de la figure 4, estimer numériquement la durée pendant laquelle un flyer reste au voisinage de L₁.

Évaluer l'ordre de grandeur de Ω afin que la valeur de gₐ soit proche de celle de la valeur terrestre.

Donner une raison pour laquelle la pesanteur artificielle n'est pas utilisée dans l'actuelle station spatiale internationale ISS.

Rappeler la définition d'un référentiel galiléen. À quelle(s) condition(s) peut-on considérer le référentiel terrestre comme galiléen ?

Dans le référentiel de la capsule (C), lister les forces qui s'exercent sur M.

Définir le terme " impesanteur " (figure 7) et justifier qu'il s'applique au point M.

Donner une raison pour laquelle la pesanteur artificielle n'est pas utilisée dans l'actuelle station spatiale internationale ISS.

Comparer numériquement les pulsations Ω et ω₀.

Définir la force poids d'une masse m sur Terre en considérant le référentiel terrestre R galiléen. Définir la force d'inertie, puis le poids apparent dans un référentiel R' en mouvement accéléré par…

La portion parabolique de la trajectoire de l'avion doit être confondue avec la parabole de chute libre de même sommet. a) Expliquer pourquoi il y a apesanteur dans cette partie de la trajectoire…

Lorsque le sol vibre, le référentiel lié au boîtier n'est plus galiléen. Rappeler les expressions des forces d'inertie à prendre alors en compte et donner leurs expressions dans le cas du…

Quel pendule pesant assez célèbre permet de faire des observations fines du comportement du globe terrestre.

Déterminer, dans les deux cas précédents, la valeur numérique de l'intensité de la force d'inertie d'entrainement.

Expliciter la formule de transformation galiléenne des vitesses reliant la vitesse v' de la particule dans (R') à sa vitesse v dans (R) et à Vₑ.

Rappeler la définition du référentiel géocentrique (R_g). Quel est le mouvement de la Terre dans (R_g) ? Relier la norme Ω_T du vecteur Ω_T à la durée T_j du jour terrestre.

a - Montrer que l'on peut trouver une fonction U(P) de la position du point P, telle que x - 2Ω y = (∂ U)/(∂ x) ; y + 2Ω x = (∂ U)/(∂ y) La fonction U(P) a été appelée pseudo-potentiel. b - Exprimer…

a - Montrer que dans ce système d'unités, la vitesse angulaire adimensionnée ω = Ω/u_Ω et la constante de gravitation adimensionnée Γ sont toutes les deux égales à 1. b - Montrer également que le…

Ecrire ces équations du mouvement (7) sous la forme du système matriciel X' Y' X'' Y'' = A X Y X' Y' et exprimer la matrice A avec les notations (6) introduites ci-dessus.

Montrer par une analyse en ordre de grandeur et une application numérique que le terme centrifuge est prépondérant par rapport au terme de Coriolis.

a) Exprimer le champ de pesanteur g en fonction de gₒ, R_p, Ω, λ et de u. b) Donner la condition sur R_p, Ω, M_p et G pour laquelle on peut considérer que g ≃ gₒ à toute latitude.

Montrer que le rapport des normes du terme d'inertie d'entraînement et du terme de gravitation à la surface de la Terre est majoré par une valeur η qu'on exprimera en fonction de Ω, R_T, G et de…

a) La force gravitationnelle F_G(M) dérive de l'énergie potentielle de gravitation E_pG(M). Donner l'expression de celle-ci pour une masse m dans le champ de la Terre, en prenant une valeur nulle à…

En général, la force de Coriolis peut être négligée devant le poids. Justifier cette approximation en prenant l'exemple d'un train TGV roulant à 360 km/heure, c'est-à-dire 100 m/s.

Montrer que le rapport des normes du terme d'inertie d'entraînement et du terme de gravitation à la surface de la Terre est majoré par une valeur η qu'on exprimera en fonction de Ω, R_T, G et de…

a) La force gravitationnelle F_G(M) dérive de l'énergie potentielle de gravitation E_pG(M). Donner l'expression de celle-ci pour une masse m dans le champ de la Terre, en prenant une valeur nulle à…

Exprimer U(M) et montrer, à l’aide du triangle des vitesses, que : V_θ = U + V_r/(tan β) .

Déterminer l'expression de δ g_A en fonction de e_r, et de l'un des trois termes G_T(M), γ₀ ou γ₁.

Déterminer l'expression de |δ g_A| dans le cas particulier où TM et TA sont colinéaires et de même sens.\ Calculer alors, dans ce cas, les valeurs de |δ g_L| et |δ g_S|, variations de g dues…

Écrire et commenter l'expression de v_M/R' en fonction de v_M/R et vₑ. Que devient la loi d'addition relativiste si v_M/R = ± c₀ ? Commenter.

On considère maintenant que v_M/R' = c₀/n tandis que vₑ = ± v avec v ≪ c₀. Déterminer les vitesses c₁ et c₂ correspondantes dans R.

En déduire les expressions de Δ c et cₘ. Est-il possible, dans l'expérience de Fizeau, de distinguer le modèle relativiste du modèle d'entraînement partiel de Fresnel ?

En déduire la célérité c'ₐ des ondes acoustiques en fonction de v₀, cos θ et de la valeur cₐ obtenue dans l'eau au repos. Peut-on parler de loi de composition des vitesses ?

On considère la configuration où la sonde P est située dans le plan orbital (S, uₓ, u_y) de Jupiter et telle que S, P et J soient alignés dans cet ordre (figure 7). On cherche la distance r de la…

Reproduire la figure 8 sur la copie et y représenter les vitesses v_e,h et v_s,h. Vérifier qualitativement que la norme de la vitesse de la sonde a bien augmenté dans le référentiel héliocentrique à…

Sachant que D = 60°, calculer v_e,h et v_s,h en prenant la valeur de V_J,h calculée à la question Q31. En déduire les valeurs numériques de la variation Δ v_h = v_s,h - v_e,h de la vitesse de la…

On considère maintenant le référentiel géocentrique galiléen. Le poids d'un objet M de masse m situé à la surface de la Terre est défini dans le référentiel terrestre comme la somme de la force…

On considère maintenant le référentiel géocentrique galiléen. Le poids d'un objet M de masse m situé à la surface de la Terre est défini dans le référentiel terrestre comme la somme de la force…

Dans le référentiel de l'ISS, le spationaute de masse m = 75 kg, toujours assimilé à son centre de gravité M, « flotte » sans bouger ni toucher les parois. Il est donc soumis uniquement à la force…

On se place tout d'abord dans le référentiel dans lequel la turbine est au repos. Déterminer sans calcul, mais en l'illustrant par un schéma, la trajectoire du neutron.

On revient dans le référentiel du laboratoire. Comment faut-il choisir vₜ pour que la vitesse du neutron soit presque nulle à la sortie de la turbine ?

Pour le mouvement de L relativement à (R_g), on note fₑ la force d'inertie d'entraînement et fₑ = |fₑ| sa norme. On note de même f_T la force de gravitation exercée par la Terre et f_T = |f_T|…

On considère un point P de coordonnées r = xeₓ + ye_y relativement au référentiel (R₀). Déterminer, à l'instant t, ses coordonnées r' = x'eₓ + y'e_y relativement au référentiel (R) = (Bxyz) lié au…

Expliquer en quoi l'assimilation du champ de pesanteur au champ gravitationnel constitue une approximation.

On cherche des solutions, en utilisant la notation complexe, sous la forme : εₓ(t) = Aₓ ept et ε_y(t) = A_y ept, où p C. Déterminer le système des deux équations vérifiées par les amplitudes…

Donner au moins un argument qui justifie que le télescope JWST ait été placé au point L₂.

Réaliser un bilan des forces exercées sur l'élément de masse m posé à la surface de la Terre. Réaliser un schéma de la situation dans le cas où la masse considérée se trouve à la latitude λ.

En reprenant le bilan des forces sur la masse m dans ce cas, calculer la période de rotation terrestre nécessaire pour expulser de la Terre cette masse. Comparer cette valeur avec la période…

Sans résoudre entièrement le système précédent, montrer que les points de Lagrange sont symétriques par rapport à l'axe (Ax).

Placer approximativement les points de Lagrange, en justifiant leurs positions, sur la carte d'énergie potentielle de la figure A du document réponse. Discuter brièvement de la stabilité de ces…

Sans chercher à établir le système, identifier l'origine physique de chacun des termes de la première équation du système (I.3).

Caractériser le mouvement du flyer dans la direction (L₁ z). Commenter.

Écrire le système d'équations différentielles du premier ordre vérifié par u, v, w, u_p, v_p, w_p.

Compléter la fonction Python ébauchée sur la figure B du document réponse.

La résolution numérique du système d'équations permet d'obtenir le graphe présenté en figure 4. Commenter cette figure.

Comment est qualitativement modifiée la position d'équilibre du nuage de flyers par la pression de radiation ? Décrire qualitativement l'influence du coefficient de réflexion R sur le déplacement de…

Dans le référentiel de la capsule (C), quelles sont les forces qui s'exercent sur M ?

Définir le terme « impesanteur » (figure 7) et justifier qu'il s'applique au point M.

À l'aide d'un schéma clair, montrer que la rotation à la vitesse Ω de la station permet aux occupants de ressentir une pesanteur artificielle gₐ.

Déterminer l'orientation de gₐ dans le repère (S, e_r, e_θ, e_z) lié à la station. Préciser en particulier l'orientation de la tête et des jambes d'un passager dans l'habitacle. On reproduira les…

À l'aide d'un schéma clair, montrer que la rotation à la vitesse Ω de la station permet aux occupants de ressentir une pesanteur artificielle gₐ.

Évaluer l'ordre de grandeur de Ω afin que la valeur de gₐ soit proche de celle de la valeur terrestre.

Pour résoudre ce système, on pose la variable complexe u = x + iy. Déterminer l'équation vérifiée par u. Résoudre cette équation et donner l'expression de u(t) en fonction de deux inconnues A et B.

Justifier brièvement les valeurs inhabituelles choisies par Foucault pour la masse m et la longueur ℓ.

Sur la figure 2, on voit le professeur Tournesol utiliser son pendule pour se repérer et se diriger sur Terre. Cela vous semble-t-il possible ? Justifier votre réponse.

Exprimer f_ic dans la base (eₓ, e_y, e_z). Dans la suite, on admet que l'on peut négliger la composante selon e_z de f_ic.

On suppose que le liquide reste immobile dans le référentiel du récipient. On admet que les lois de l’hydrostatique s’appliquent toujours, à condition de prendre en compte la force d’inertie…

En utilisant les résultats de la première partie, expliquer pourquoi il est légitime de supposer que la force de gravité est beaucoup plus petite que la force d’inertie.

En reprenant le résultat de la question 5, écrire l’expression de la poussée d’Archimède instantanée exercée sur le flotteur, en notant D(t) sa profondeur à l’instant t.

Toujours soumis au champ de pesanteur, le liquide est dans cette question en équilibre dans un référentiel R en translation rectiligne, d'accélération aₑ par rapport à R_T. Comment faut-il modifier…

En tenant compte de la question 15, donner l'expression de la poussée d'Archimède. Quelle autre force s'exerçant sur le pendule faut-il considérer pour rendre compte du mouvement accéléré de R_S par…

L'entrainement utilise des « centrifugeuses » en rotation uniforme autour d'un axe fixe à la vitesse angulaire ω. Définir ce qu'on appelle la force d'inertie centrifuge. Des cosmonautes font des…

Effectuer le bilan des forces s'exerçant sur la masse dans R' et les représenter en supposant que les valeurs de l'allongement du ressort, de la vitesse du point G et de l'accélération…

a) Montrer qu'il existe un domaine de fréquences pour lesquelles la réponse X(t) est proportionnelle à l'accélération a(t). b) Établir la relation entre X(t) et a(t) en fonction de k et m dans ce…

Établir l'expression de la tension U en fonction de Q, S, e, X(t) = x(t) - x_eq et ε₀. En déduire que la mesure de U permet d'avoir accès à l'accélération a(t) que subit le boîtier par rapport au sol.

Dans quelle circonstance est-il légitime de supposer que le centre de Jupiter est immobile ? Justifier alors l'approximation galiléenne du référentiel jupiterocentrique.

Jupiter possède la forme d'un ellipsoïde de révolution. Le rayon polaire possède la valeur R_P = 6,68 · 10⁴ km et le rayon équatorial possède la valeur R_E = 7,15 · 10⁴ km. Comment expliquer…

Dans ce dernier cas, est-il possible pour l'observateur en chute libre de déterminer la direction et la valeur du champ gravitationnel par des expériences locales ?

Effectuer le bilan des différentes forces s'exerçant sur la masse m. Pour tenir compte du caractère non galiléen du référentiel lié à la voiture, on admet que, dans l'application du principe…

Dans quelle direction et dans quel sens "souffle le vent d'éther" pour un observateur terrestre ? On note w(φ) = w(φ)e la vitesse du vent d'éther à la latitude φ, avec e le vecteur unitaire adéquat…

Comparer Eₘ₁ à Eₘ₀ = α cos ²(λ) - β, énergie mécanique du satellite posé au sol, avant son décollage, de la base de lancement située à la latitude λ. Les valeurs de α et β sont α = 8,6 × 10⁷ J et β…

On fait l'hypothèse d'oscillations de faible amplitude à la surface de la terre : h(x, y, t) = H + η(x, y, t) avec η(x, y, t) ≪ H, ainsi que u et v sont de faibles amplitudes. Écrire le système…

a - Déduire des équations précédentes l'existence d'une constante du mouvement C_J appelée constante de Jacobi, telle que : C_J = 2U - v² où v = xeₓ + ye_y représente la vitesse de la particule P…

Déterminer la position des deux points d'équilibre notés L₄ et L₅ qui ne sont pas situés sur l'axe (Ox) de symétrie de la figure 2 ; on donnera les valeurs de (ρ_S, ρ_T) et de (x, y) pour chacun de…

On se propose maintenant de déterminer la position du point L₁. Comme le montre la figure 2, ce point d'équilibre est situé sur l'axe (Ox), entre le Soleil et la Terre. Déduire de cette information…

a - Calculer la valeur numérique de α = µ_T/3µ_S, puis en déduire une valeur approchée de ρ_T (on pourra se limiter au terme d'ordre le plus bas dans le développement limité de l'équation (5) ). b -…

Expliquer de manière qualitative pourquoi les points L₁, L₂ et L₃ ne peuvent pas être stables.

Montrer que le mouvement par rapport à R_Ω d'un objet dynamiquement stable au voisinage de L₄ (ou L₅) est caractérisé par deux périodes d'évolution différentes T₁ et T₂ (où T₂ > T₁) et calculer les…

Le référentiel R₀ du satellite est-il Galiléen ? Si ce n'est pas le cas, quelles considérations permettraient de l'assimiler à un référentiel Galiléen ?

Montrer que, dans un plan méridien, la trace de cette surface équipotentielle (Σ) peut être décrite par la forme approchée r(θ) ≈ rₙ(1 + ε sin ² θ) et exprimer la constante ε en fonction de R_T, rₙ…

Montrer que, dans un plan méridien, la trace de cette surface équipotentielle (Σ) peut être décrite par la forme approchée r(θ) ≈ rₙ(1+ ²θ) et exprimer la constante ε en fonction de R_T, rₙ et de η…

Écrire les équations du mouvement pour les coordonnées x et y dans le référentiel tournant R. On supposera que le vecteur position de la balle est quasi-orthogonal au vecteur rotation à chaque…

Évaluer graphiquement les trois temps caractéristiques τ₁ < τ₂ < τ₃ qui apparaissent sur la courbe de la figure 1.\ Que peut-on conjecturer sur les origines respectives des variations de g sur…

Montrer que, dans cette approximation, γ₁ s'exprime sous la forme γ₁ = -(G m_A)/d_A³(TM + µ TA) où l'on précisera l'expression de µ en fonction de TM, TA, d_A, R_T et Ψ_A.\ En déduire l'expression…

En prenant en compte les résultats des questions précédentes, écrire l'expression la plus simple possible de |δ g| correspondant au modèle étudié en fonction notamment du temps t.\ Après avoir tracé…

Montrer que la condition d’équilibre conduit à : M_J d³(d-r)² = -M_S r²((d-r)³ - d³). On suppose que r ≪ d. En effectuant un développement limité à l’ordre le plus bas possible en r/d de chaque…

Exprimer v_e,h et v_s,h en fonction de v_j, V_J,h et de D.

On suppose que la règle de composition des vitesses est la règle de composition galiléenne. Exprimer et représenter la vitesse v_p' (par rapport à R') de la particule émise dans R à la vitesse v_p…

On suppose que la règle de composition des vitesses est la règle de composition galiléenne. Exprimer et représenter la vitesse v_p' (par rapport à R') de la particule émise dans R à la vitesse v_p…

Dans le référentiel de l'ISS, le spationaute de masse m = 75 kg, toujours assimilé à son centre de gravité M, « flotte » sans bouger ni toucher les parois. Il est donc soumis uniquement à la force…

Toujours pour le mouvement de L relativement à (R_g), on note f_S la force de gravitation exercée par le Soleil, fₘ = fₑ + f_S, fₘ = |fₘ| et Fₘ la valeur de fₘ dans le cas de l'alignement Soleil…

La prise en compte du caractère non galiléen du référentiel terrestre implique l'existence d'une force normale horizontale exercée par l'intérieur d'un des deux rails sur les roues avec lesquelles…

On considère que le télescope JWST, positionné au point L₂, n'est soumis qu'à l'action gravitationnelle du Soleil et de la Terre. En adoptant le point de vue du référentiel R, écrire la relation…

Proposer une procédure préalable à mettre en œuvre pour déterminer un jeu de valeurs adaptées des bornes Rmin et Rmax de l'intervalle dans lequel rechercher la solution. La réponse à cette question…

Expliquer pourquoi on peut se limiter aux mouvements dans le plan (Sxy) si l'on souhaite étudier la stabilité de l'équilibre au point de Lagrange L₂.

Estimer la valeur de la durée à partir de laquelle il convient de repositionner le télescope au voisinage du point L₂.

En déduire la condition d'équilibre relatif de Σ dans le référentiel entraîné avec la tige en rotation sous la forme (∂² ξ)/(∂ r²) = -χ r où χ est une constante que l'on exprimera en fonction de E…

Préciser la condition aux limites aux extrémités (r = 0 et r = L) de la tige pour la fonction ξ ; en déduire ξ(r). Exprimer aussi T(0) en fonction de M, ω₀² et L ; commenter l'expression obtenue.

Soit L(x, y, z) un point de Lagrange repéré par ses coordonnées dans (R). Justifier qualitativement que l'on a nécessairement z = 0. En considérant uniquement l'influence gravitationnelle du système…

Proposer une expression de la distance ε entre L₁ et la Terre en fonction de a et D en considérant que ε ≪ D. Faire l'application numérique.

Quelle force serait à ajouter en prenant en compte le caractère non galiléen du référentiel terrestre ? L'exprimer en fonction de la vitesse du boulet, de sa masse et de la vitesse de rotation…

Quelle force supplémentaire s'exerce sur un passager qui se déplace dans le tore selon le vecteur e_θ ? Dans quel sens, selon e_θ, a-t-on intérêt à déplacer des objets massifs ? Montrer qu'il existe…

Peut-il adopter la même technique que sur Terre ? Expliquer, en justifiant les raisons, comment il doit éventuellement adapter ses gestes pour lancer et réceptionner les balles.

Déterminer l'orientation de gₐ dans le repère (S, e_r, e_θ, e_z) lié à la station. Préciser en particulier l'orientation de la tête et des jambes d'un passager dans l'habitacle. On reproduira les…

On prend x(0) = x₀, y(0) = 0 et une vitesse initiale nulle. Déterminer l'expression de u.

En utilisant le résultat de la question 5, simplifier l'expression de u(t). Interpréter l'expression obtenue.

Déterminer l'expression de l'angle ψ duquel a tourné le plan d'oscillation du pendule en 24 h à Paris dans le référentiel terrestre. L'estimer numériquement en degrés. Y a-t-il des points sur le…

Faire un schéma de la situation en précisant le chemin γ. Exprimer h(γ) sous la forme d'une intégrale double et la calculer en fonction de λ. Mettre le résultat sous la forme h(γ) = χ/4π. Comparer…

Dresser un tableau explicitant les quantités analogues entre ce problème et celui du pendule de Foucault.

Quelles similitudes voyez-vous entre la situation étudiée dans cette partie et l'évolution du pendule de Foucault ? On pourra répondre sous forme d'un tableau.

Écrire l’équation du mouvement du flotteur dans le référentiel du récipient, sous la forme d’une équation différentielle pour D(t). Simplifier cette équation en utilisant l’expression de D₀ obtenue…

Dans l'approximation des petits angles, démontrer que l'équation du mouvement du pendule est dorénavant de la forme θ + ω₀/Qθ + ω₀²θ = (a(t))/ℓ_eff et donner l'expression du facteur de qualité Q en…

On entend parfois énoncer que le principe d'équivalence empêche de différencier une force créée par un champ de gravitation d'une force d'inertie. Au-delà des propriétés purement locales, voyez-vous…

Est-il possible à l'intérieur de la boule de déterminer la direction de son centre par des expériences locales ? Conclure sur le fait que si la sphère est homogène et au repos à un instant initial…

Reproduire la figure 1 et la compléter en dessinant les "triangles des vitesses" reliant les vecteurs v_ε i, c_ε i et w aux points A₁, A₂, R₁, et R₂ en supposant qu'une loi de composition galiléenne…

a) On note τ₀ la durée que met la lumière à parcourir la distance cumulée 2Y entre les deux latitudes φ et φ + Δφ (il est inutile de chercher à déterminer sa valeur). À l'aide de deux lois de…

Expliquer en quoi l'équateur peut être vu comme une interface entre deux milieux homogènes de topologies différentes. Quelle est la conséquence étant donné les valeurs des invariants topologiques ?

Justifier qualitativement le fait que la force d'inertie de Coriolis puisse conduire à stabiliser P au voisinage du point L₄. On parle alors de stabilité dynamique de L₄ et de L₅.

a - Donner une condition sur µ_T pour que les points L₄ et L₅ soient dynamiquement stables. b - Estimer la valeur de µ_T et conclure sur la stabilité dynamique des points L₄ et L₅ pour le système…

Chercher des solutions de la forme x(t) = x₀ exp (rt) et y(t) = y₀ exp (rt) et en discuter la stabilité. Tracer un diagramme de stabilité dans le plan (Ω, ω).

Pour le rail identifié dans la question Q 28, comparer le degré d'usure des faces supérieure et intérieure du rail. Préciser les approximations réalisées.

En déduire les valeurs acceptables de p. Conclure quant à la stabilité de l'équilibre au point de Lagrange L₂ dans le référentiel R.

Justifier la forme de la Terre déformée par rotation représentée sur la seconde étape de la figure 2. Déterminer une estimation de la variation ρ du rayon de la terre entre sa valeur au pôle et…

En appliquant l’équation d’Euler, dans laquelle on néglige le terme convectif, montrer qu’à la surface, la vitesse du liquide dans le référentiel du récipient vérifie l’équation (∂ vₓ)/(∂ t) = -Z(t)…

Etablir les équations différentielles vérifées par Z(t) et z(t). Déterminer l'expression de la valeur z_eq de z à l'équilibre et la valeur de V_out correspondante. Quelle information apporterait la…

Exprimer la force subie par un grain de matière situé en r + dans le référentiel du grain de matière situé en r, lui-même en chute libre, pour l'instant initial où la boule est de densité homogène…