Feuille d'entraînement : Référentiels non galiléens et forces d'inertie

Corrigés

1. Exercice 1CentraleSupélec Physique-Chimie 1 TSI 2020, Q9

   On étudie la masse m dans le référentiel \mathcal{R}_{\text{v}} lié à la voiture, en mouvement de translation rectiligne accélérée \vec{a} = -a\vec{u}_x (a > 0) par rapport au référentiel terrestre supposé galiléen.

   Le bilan des actions mécaniques s'exerçant sur la masse m comporte :

   • Le poids \vec{P} = -m g \vec{u}_y (en notant \vec{u}_y le vecteur unitaire vertical ascendant) ;
   • La réaction normale du support \vec{R}_N = R_N \vec{u}_y, sans composante tangentielle car le glissement se fait sans frottement solide ;

   • La force de rappel élastique du ressort, fixé en x = 0, de longueur instantanée \ell(t) = x(t) et de longueur à vide L_0 :

     \vec{F}_{\text{é}} = -k\big(x(t) - L_0\big)\vec{u}_x

   • La force de frottement fluide exercée par l'amortisseur :

     \vec{f} = -\alpha \vec{V} = -\alpha \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\vec{u}_x

   • La force d'inertie d'entraînement, due à la non-galiléité de \mathcal{R}_{\text{v}} :

     \vec{F}_{ie} = -m \vec{a} = m a \vec{u}_x

   La force d'inertie de Coriolis est quant à elle identiquement nulle car le référentiel de la voiture est en translation pure (\vec{\Omega} = \vec{0}).

   En conclusion, la résultante des forces s'exerçant sur la masse m dans \mathcal{R}_{\text{v}} s'écrit :

   \boxed{\vec{F}_{\text{tot}} = \vec{P} + \vec{R}_N - k\big(x(t) - L_0\big)\vec{u}_x - \alpha \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\vec{u}_x + m a \vec{u}_x}

   avec \vec{P} + \vec{R}_N = \vec{0} du fait de l'absence de mouvement selon l'axe vertical.

   Résultat

   $${\vec{F}}_{\text{tot}}=\vec{P}+{\vec{R}}_N-k(x(t)-L_0){\vec{u}}_x-\alpha \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}{\vec{u}}_x+ma{\vec{u}}_x$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CentraleSupélec Physique-Chimie 1 TSI 2020, Q15

   D'après la question Q9, l'expression de la force d'inertie d'entraînement subie par une masse m dans le référentiel lié à la voiture animée d'une accélération \vec{a} = -a\,\vec{u}_x est :

   \vec{F}_{ie} = m a\,\vec{u}_x

   L'intensité de cette force d'inertie d'entraînement est donc :

   F_{ie} = \|\vec{F}_{ie}\| = m a

   Cas 1 : Freinage brutal Avec a_1 = 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} (d'après la question Q13) et la masse m = 2{,}81\text{ g} = 2{,}81 \times 10^{-3}\text{ kg} :

   F_{ie,1} = 2{,}81 \times 10^{-3} \times 10 = 2{,}81 \times 10^{-2}\text{ N}

   Soit, avec deux chiffres significatifs :

   \boxed{F_{ie,1} \approx 2{,}8 \times 10^{-2}\text{ N} = 28\text{ mN}}

   Cas 2 : Arrêt suite à un choc Avec a_2 = \dfrac{V}{\Delta t_2} = \dfrac{25}{0{,}15} \approx 1{,}67 \times 10^2\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} (d'après la question Q14) :

   F_{ie,2} = 2{,}81 \times 10^{-3} \times \frac{25}{0{,}15} \approx 0{,}468\text{ N}

   Soit, avec deux chiffres significatifs :

   \boxed{F_{ie,2} \approx 0{,}47\text{ N}}

   Résultat

   $$F_{ie,1}\approx 2,8\times 10^{-2}\text{ N}=28\text{ mN}$$

   $$F_{ie,2}\approx 0,47\text{ N}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question