Feuille d'entraînement : Référentiels non galiléens et forces d'inertie

Corrigés

1. Exercice 1CentraleSupélec Physique 1 PC 2026, Q23

   L'équation de Navier-Stokes fournie en annexe s'écrit pour une particule fluide de masse volumique \mu et de viscosité dynamique \eta :

   \mu \left[ \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \vec{\mathrm{grad}})\vec{v} \right] = \vec{f}_{\mathrm{vol}} - \vec{\mathrm{grad}}\,p + \eta \Delta \vec{v}

   Elle correspond au principe fondamental de la dynamique appliqué à une particule fluide par unité de volume (\mu \frac{\mathrm{D}\vec{v}}{\mathrm{D}t} = \vec{f}_{\text{vol, total}}). Chacun de ses termes s'interprète ainsi :

   • \mu \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} : terme d'accélération locale (par unité de volume), traduisant l'instationnarité temporelle de l'écoulement en un point fixe du référentiel d'étude ;
   • \mu (\vec{v} \cdot \vec{\mathrm{grad}})\vec{v} : terme d'accélération convective (ou advective) par unité de volume, traduisant le transport de quantité de mouvement par l'écoulement lui-même d'un point à un autre de l'espace ;
   • -\vec{\mathrm{grad}}\,p : force volumique issue des contraintes normales de pression, traduisant l'effet des gradients de pression au sein du fluide ;
   • \eta \Delta \vec{v} : force volumique de viscosité, traduisant la diffusion moléculaire de quantité de mouvement due aux frottements internes pour un fluide newtonien incompressible ;
   • \vec{f}_{\mathrm{vol}} : résultante volumique des forces à distance et d'inertie.

   Dans le référentiel lié au plateau tournant à la vitesse angulaire uniforme \vec{\omega} = \omega\,\vec{e}_z, référentiel non galiléen, les forces volumiques \vec{f}_{\mathrm{vol}} appliquées au fluide comprennent :

   1. Le poids volumique dû à la pesanteur :

      \vec{f}_{\text{pes}} = \mu \vec{g} = -\mu g \vec{e}_z

   2. La force d'inertie d'entraînement (purement centrifuge car \vec{\omega} = \text{cte}) :

      \vec{f}_{\mathrm{ie}} = -\mu \left( \vec{\omega} \wedge (\vec{\omega} \wedge \vec{r}) \right) = \mu \omega^2 r\,\vec{e}_r

   3. La force d'inertie de Coriolis :

      \vec{f}_{\mathrm{ic}} = -2\mu (\vec{\omega} \wedge \vec{v})

   D'où l'expression globale des forces volumiques :

   \boxed{\vec{f}_{\mathrm{vol}} = -\mu g\,\vec{e}_z + \mu \omega^2 r\,\vec{e}_r - 2\mu (\vec{\omega} \wedge \vec{v})}

   Résultat

   $${\vec{f}}_{\mathrm{vol}}=-\mu g{\vec{e}}_z+\mu {\omega }^{2}r{\vec{e}}_r-2\mu (\vec{\omega }\wedge \vec{v})$$

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2. Exercice 2X-ENS Physique B PC 2026, Q22

   Le système (1) gouverne l'hydrodynamique d'une couche fluide en eau peu profonde (shallow water) dans le référentiel terrestre tournant :

   1. La première équation :

      \frac{\partial h}{\partial t} + \operatorname{div}(h \vec{u}) = 0

      est l'équation de conservation de la masse (ou équation de continuité), intégrée sur la hauteur de la colonne de fluide pour un fluide incompressible de masse volumique \rho constante (la masse par unité de surface horizontale étant proportionnelle à h).

   2. La seconde équation :

      \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + (\vec{u} \cdot \vec{\operatorname{grad}}) \vec{u} = -g \, \vec{\operatorname{grad}} h + \vec{F}_c

      est l'équation de Navier-Stokes pour un fluide non visqueux (c'est-à-dire l'équation d'Euler ou de bilan de quantité de mouvement) écrite dans le référentiel terrestre tournant (non galiléen). Le terme d'accélération convective (\vec{u} \cdot \vec{\operatorname{grad}})\vec{u} est conservé, le terme -g \, \vec{\operatorname{grad}} h résulte du gradient horizontal de pression sous l'approximation hydrostatique, et \vec{F}_c est l'accélération complémentaire due à la force de Coriolis par unité de masse.

   Ensemble, ces deux équations constituent les équations de Saint-Venant (ou équations d'eau peu profonde).

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3X-ENS Physique B PC 2026, Q23

   Le vecteur rotation propre de la Terre \vec{\Omega} est dirigé selon l'axe Sud-Nord, orthogonalement au plan équatorial. Par définition de la latitude \hat{\ell}, l'angle entre le plan équatorial et la verticale locale ascendante \vec{e}_z vaut \hat{\ell}.

   L'angle entre le vecteur rotation \vec{\Omega} et le vecteur unitaire \vec{e}_z est donc la colatitude :

   (\widehat{\vec{\Omega},\, \vec{e}_z}) = \frac{\pi}{2} - \hat{\ell}.

   Le produit scalaire s'écrit ainsi :

   \vec{\Omega} \cdot \vec{e}_z = \Omega \cos\left(\frac{\pi}{2} - \hat{\ell}\right) = \Omega \sin\hat{\ell}.

   On en déduit l'expression du paramètre de Coriolis f :

   \boxed{f = 2\Omega \sin\hat{\ell}}

   À l'équateur (\hat{\ell} = 0) :

   • le paramètre de Coriolis s'annule : \boxed{f = 0} ;
   • la composante horizontale de la force de Coriolis agissant sur les écoulements horizontaux s'annule identiquement : \vec{F}_c = -f \vec{e}_z \wedge \vec{u} = \vec{0}.

   Résultat

   $$f=2\Omega \sin \hat{\ell }$$

   $$f=0$$

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4. Exercice 4X-ENS Physique B PC 2026, Q24

   L'hypothèse d'écoulement horizontal implique que la composante verticale de la vitesse est nulle, soit :

   \vec{u} = u\,\vec{e}_x + v\,\vec{e}_y

   Le repère local (\vec{e}_x, \vec{e}_y, \vec{e}_z) étant orthonormé direct, les produits vectoriels des vecteurs de base vérifient :

   \vec{e}_z \wedge \vec{e}_x = \vec{e}_y \quad \text{et} \quad \vec{e}_z \wedge \vec{e}_y = -\vec{e}_x

   Il vient ainsi pour le terme de Coriolis \vec{F}_c = -f\,\vec{e}_z \wedge \vec{u} :

   \begin{aligned} \vec{F}_c &= -f \left(u\,\vec{e}_z \wedge \vec{e}_x + v\,\vec{e}_z \wedge \vec{e}_y\right) \\ &= -f \left(u\,\vec{e}_y - v\,\vec{e}_x\right) \\ &= f v\,\vec{e}_x - f u\,\vec{e}_y \end{aligned}

   Les trois composantes de \vec{F}_c dans la base (\vec{e}_x, \vec{e}_y, \vec{e}_z) s'écrivent donc :

   \boxed{\vec{F}_c = \begin{pmatrix} f v \\ -f u \\ 0 \end{pmatrix}_{(\vec{e}_x, \vec{e}_y, \vec{e}_z)}}

   Résultat

   $${\vec{F}}_c={\left(\begin{array}{c}fv\\ -fu\\ 0\end{array}\right)}_{({\vec{e}}_x,{\vec{e}}_y,{\vec{e}}_z)}$$

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5. Exercice 5CentraleSupélec Physique 1 PC 2025, Q18

   En mécanique classique (cinématique galiléenne), la loi de composition des vitesses pour un point ou un signal M s'énonce :

   \vec{v}_{M/\mathcal{R}} = \vec{v}_{M/\mathcal{R}'} + \vec{v}_e

   où \vec{v}_{M/\mathcal{R}} est la vitesse absolue dans le référentiel du laboratoire \mathcal{R}, \vec{v}_{M/\mathcal{R}'} est la vitesse relative dans le référentiel \mathcal{R}' lié au fluide et \vec{v}_e la vitesse d'entraînement de \mathcal{R}' par rapport à \mathcal{R}.

   La célérité de la lumière dans l'eau au repos (référentiel \mathcal{R}') étant \vec{c}_{\mathrm{ol}/\mathcal{R}'} = \frac{c_0}{n}\vec{u}_x :

   • dans le tube 1, l'eau s'écoule dans le sens de propagation de l'onde lumineuse (\vec{v}_e = +v\vec{u}_x), d'où :

     \vec{c}_1 = \left(\frac{c_0}{n} + v\right)\vec{u}_x \quad \implies \quad \boxed{c_1 = \frac{c_0}{n} + v}

   • dans le tube 2, l'eau s'écoule en sens opposé à la propagation (\vec{v}_e = -v\vec{u}_x), d'où :

     \vec{c}_2 = \left(\frac{c_0}{n} - v\right)\vec{u}_x \quad \implies \quad \boxed{c_2 = \frac{c_0}{n} - v}

   On en déduit l'écart de célérité :

   \Delta c = c_1 - c_2 = \left(\frac{c_0}{n} + v\right) - \left(\frac{c_0}{n} - v\right)

   \boxed{\Delta c = 2v}

   Pour la célérité moyenne, au premier ordre en v/c_0 :

   c_m = \sqrt{c_1 c_2} = \sqrt{\frac{c_0^2}{n^2} - v^2} = \frac{c_0}{n}\sqrt{1 - \frac{n^2 v^2}{c_0^2}} \simeq \frac{c_0}{n} \quad \left(\text{ou } c_m \simeq \frac{c_1 + c_2}{2} = \frac{c_0}{n}\right)

   \boxed{c_m \simeq \frac{c_0}{n}}

   On retrouve ainsi exactement le modèle d'entraînement total de la lumière par l'eau.

   Résultat

   $$c_1=\frac{c_0}{n}+v$$

   $$c_2=\frac{c_0}{n}-v$$

   $$\Delta c=2v$$

   $$c_m\simeq \frac{c_0}{n}$$

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6. Exercice 6E3A Physique-Chimie PC 2022, Q5

   On étudie la masse m dans le référentiel non galiléen \mathcal{R}' lié au boîtier, muni de l'axe vertical (O'z') descendant de vecteur unitaire \vec{u}_z.

   Le bilan des forces appliquées à la masse m dans \mathcal{R}' comprend :

   • le poids : \vec{P} = m g\,\vec{u}_z ;

   • la force de rappel du ressort : la longueur du ressort s'exprime par \ell = \ell_1 + z'_G, où \ell_1 = \ell_0 + \frac{mg}{k} est la longueur à l'équilibre (d'après Q2). Ainsi :

     \vec{T} = -k(\ell - \ell_0)\,\vec{u}_z = -k\left(\frac{mg}{k} + z'_G\right)\vec{u}_z = -(mg + k z'_G)\,\vec{u}_z

   • la force de frottement fluide visqueux :

     \vec{f} = -\lambda \vec{v}' = -\lambda \frac{\mathrm{d}z'_G}{\mathrm{d}t}\,\vec{u}_z
   • la force d'inertie de Coriolis, nulle car le boîtier est en translation pure (\vec{\Omega}(\mathcal{R}'/\mathcal{R}) = \vec{0}) : \vec{F}_{ic} = \vec{0} ;

   • la force d'inertie d'entraînement liée à l'accélération du sol \vec{a}_e = \ddot{z}_s(t)\,\vec{u}_z :

     \vec{F}_{ie} = -m \ddot{z}_s(t)\,\vec{u}_z

   Le mouvement du sol étant z_s(t) = E_m \cos(\omega t + \phi), son accélération s'écrit :

   \ddot{z}_s(t) = -\omega^2 E_m \cos(\omega t + \phi)

   d'où :

   \vec{F}_{ie} = m \omega^2 E_m \cos(\omega t + \phi)\,\vec{u}_z

   D'après le principe fondamental de la dynamique appliqué à la masse m dans \mathcal{R}' :

   m \frac{\mathrm{d}^2 z'_G}{\mathrm{d}t^2}\,\vec{u}_z = \vec{P} + \vec{T} + \vec{f} + \vec{F}_{ie}

   En projetant sur l'axe vertical descendant \vec{u}_z, il vient :

   \begin{aligned} m \frac{\mathrm{d}^2 z'_G}{\mathrm{d}t^2} &= mg - mg - k z'_G - \lambda \frac{\mathrm{d}z'_G}{\mathrm{d}t} + m \omega^2 E_m \cos(\omega t + \phi) \end{aligned}

   soit, en regroupant les termes :

   \boxed{m \frac{\mathrm{d}^2 z'_G}{\mathrm{d}t^2} + \lambda \frac{\mathrm{d}z'_G}{\mathrm{d}t} + k z'_G = m E_m \omega^2 \cos(\omega t + \phi)}

   Résultat

   $$m\frac{{\mathrm{d}}^2{z}_G^{\prime }}{\mathrm{d}{t}^2}+\lambda \frac{\mathrm{d}{z}_G^{\prime }}{\mathrm{d}t}+k{z}_G^{\prime }=m{E}_m{\omega }^2\cos (\omega t+\varphi )$$

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7. Exercice 7ENS Physique C PC 2022, Q1

   Dans le référentiel terrestre en rotation uniforme à la pulsation \Omega autour de l'axe (\vec{\mathrm{e}}_3), la force d'inertie d'entraînement s'exerçant sur une masse ponctuelle m située à la latitude \lambda s'écrit :

   \vec{F}_{\mathrm{ie}} = m \Omega^2 \vec{H M}

   où H est la projection orthogonale du point M sur l'axe de rotation terrestre.

   1. Négligence de la force d'inertie d'entraînement devant le poids

   La distance à l'axe est H M \approx R_T \cos\lambda \le R_T. L'accélération centrifuge correspondante est majorée par :

   a_{\mathrm{ie}} \le \Omega^2 R_T

   Avec une rotation en un jour sidéral (T \approx 86{,}4 \times 10^3\text{ s}) :

   \Omega = \frac{2\pi}{T} \approx \frac{2\pi}{86\,400} \approx 7{,}3 \times 10^{-5}\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}

   On en déduit l'accélération centrifuge maximale :

   a_{\mathrm{ie}} \le (7{,}3 \times 10^{-5})^2 \times 6{,}4 \times 10^6 \approx 3{,}4 \times 10^{-2}\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}

   En comparant à l'accélération de la pesanteur g \approx 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} :

   \frac{\|\vec{F}_{\mathrm{ie}}\|}{\|\vec{P}\|} \sim \frac{\Omega^2 R_T}{g} \approx \frac{3{,}4 \times 10^{-2}}{9{,}8} \approx 3{,}5 \times 10^{-3} \ll 1

   De surcroît, les variations spatiales de la force d'inertie d'entraînement au cours des oscillations d'amplitude X \sim \ell \alpha conduisent à des termes de rappel d'ordre m\Omega^2 X, totalement négligeables devant le rappel gravitationnel m\omega_0^2 X \sim m \frac{g}{\ell} X puisque \frac{\Omega^2 \ell}{g} \sim 10^{-8} \ll 1.

   2. Direction du poids selon l'axe Oz

   D'après la figure 1(a), l'axe local Oz est porté par le rayon terrestre dirigé vers l'extérieur (direction radiale). L'attraction gravitationnelle pure est dirigée selon -\vec{\mathrm{e}}_z.

   Le poids effectif mesuré par le fil à plomb est la résultante de l'attraction gravitationnelle et de la force d'inertie d'entraînement : \vec{g}_{\text{eff}} = \vec{\mathcal{G}} + \Omega^2 \vec{HM}. L'angle de déviation \delta de la verticale locale par rapport à la direction radiale -\vec{\mathrm{e}}_z est donné au premier ordre par :

   \delta \approx \frac{\Omega^2 R_T \sin(2\lambda)}{2g} \le \frac{\Omega^2 R_T}{2g} \approx 1{,}7 \times 10^{-3}\text{ rad} \approx 0{,}1^\circ

   Cette déviation étant minime (\delta \ll 1), on peut considérer à une excellente approximation que :

   \boxed{\vec{P} \approx -m g \vec{\mathrm{e}}_z}

   Résultat

   $$\vec{P}\approx -mg{\vec{\mathrm{e}}}_z$$

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8. Exercice 8ENS Physique C PC 2022, Q6

   D'après la figure 1(a), le repère local (Oxyz) est orienté de la façon suivante :

   • \vec{\mathrm{e}}_z est vertical ascendant (radial sortant) ;
   • \vec{\mathrm{e}}_x est tangent au méridien et dirigé vers le Sud ;
   • \vec{\mathrm{e}}_y est tangent au parallèle et dirigé vers l'Est.

   L'axe de rotation terrestre étant dirigé selon \vec{\mathrm{e}}_3 (axe des pôles vers le Nord), le vecteur \vec{\mathrm{e}}_3 est contenu dans le plan méridien (O, \vec{\mathrm{e}}_x, \vec{\mathrm{e}}_z). À la latitude \lambda, l'angle entre le plan équatorial et \vec{\mathrm{e}}_z vaut \lambda, si bien que l'angle entre la verticale locale \vec{\mathrm{e}}_z et \vec{\mathrm{e}}_3 est \frac{\pi}{2} - \lambda. La composante le long du méridien vers le Sud (\vec{\mathrm{e}}_x) fait donc un angle \pi - \lambda avec \vec{\mathrm{e}}_3. Ainsi :

   \vec{\mathrm{e}}_3 = -\cos\lambda\,\vec{\mathrm{e}}_x + \sin\lambda\,\vec{\mathrm{e}}_z

   Le vecteur rotation de la Terre s'écrit alors :

   \vec{\Omega} = \Omega\,\vec{\mathrm{e}}_3 = -\Omega\cos\lambda\,\vec{\mathrm{e}}_x + \Omega\sin\lambda\,\vec{\mathrm{e}}_z

   D'après l'énoncé, la vitesse du pendule dans le référentiel terrestre est purement horizontale : \vec{v} = \dot{x}\vec{\mathrm{e}}_x + \dot{y}\vec{\mathrm{e}}_y. La force d'inertie de Coriolis s'exprime par :

   \begin{aligned} \vec{F}_{ic} &= -2m\,\vec{\Omega} \wedge \vec{v} \\ &= -2m \begin{pmatrix} -\Omega\cos\lambda \\ 0 \\ \Omega\sin\lambda \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} \dot{x} \\ \dot{y} \\ 0 \end{pmatrix} \\ &= -2m \left[ (-\Omega\sin\lambda\,\dot{y})\,\vec{\mathrm{e}}_x + (\Omega\sin\lambda\,\dot{x})\,\vec{\mathrm{e}}_y + (-\Omega\cos\lambda\,\dot{y})\,\vec{\mathrm{e}}_z \right] \\ &= 2m\Omega\sin\lambda\,\dot{y}\,\vec{\mathrm{e}}_x - 2m\Omega\sin\lambda\,\dot{x}\,\vec{\mathrm{e}}_y + 2m\Omega\cos\lambda\,\dot{y}\,\vec{\mathrm{e}}_z \end{aligned}

   Comme indiqué par l'énoncé, on néglige l'accélération et les mouvements selon \vec{\mathrm{e}}_z. En projetant le principe fondamental de la dynamique dans le référentiel terrestre, m\vec{a} = \vec{F} + \vec{F}_{ic}, où la résultante des autres forces admise par l'énoncé est \vec{F} = -m\omega_0^2 x\,\vec{\mathrm{e}}_x - m\omega_0^2 y\,\vec{\mathrm{e}}_y, on obtient pour les composantes horizontales :

   \begin{aligned} m\ddot{x} &= -m\omega_0^2 x + 2m\Omega\sin\lambda\,\dot{y} \\ m\ddot{y} &= -m\omega_0^2 y - 2m\Omega\sin\lambda\,\dot{x} \end{aligned}

   En simplifiant par la masse m, on retrouve le système (1) :

   \begin{cases} \ddot{x} + \omega_0^2 x = 2\tilde{\Omega}\dot{y} \\ \ddot{y} + \omega_0^2 y = -2\tilde{\Omega}\dot{x} \end{cases}

   avec :

   \boxed{\tilde{\Omega} = \Omega\sin\lambda}

   Résultat

   $$\tilde{\Omega }=\Omega \sin \lambda$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9ENS Physique-Chimie L PC 2022, Q2

   Considérons le système fermé constitué par la particule fluide occupant le volume élémentaire \mathrm{d}^3\tau = r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}z centré en \mathrm{M}(r,\theta,z) à l'instant t. Sa masse est :

   \mathrm{d}m = \rho\,\mathrm{d}^3\tau

   L'étude est menée dans le référentiel du laboratoire \mathcal{R}_0, supposé galiléen.

   Cinématique : Le liquide tourne en bloc à la vitesse angulaire uniforme \vec{\Omega} = \Omega\,\vec{e}_z. Chaque particule fluide décrit un cercle de rayon r à la vitesse angulaire \Omega constante ; son vecteur accélération dans \mathcal{R}_0 est purement centripète :

   \vec{a}(\mathrm{M}/\mathcal{R}_0) = - r\Omega^2\,\vec{e}_r(\theta)

   Bilan des forces extérieures :

   • Le poids de l'élément de fluide :

     \mathrm{d}\vec{P} = \mathrm{d}m\,\vec{g} = \rho\,\vec{g}\,\mathrm{d}^3\tau

   • La résultante des forces de pression exercées par le fluide environnant sur la frontière fermée \partial(\mathrm{d}^3\tau) de la particule :

     \mathrm{d}\vec{F}_p = \oiint_{\partial(\mathrm{d}^3\tau)} -p\,\mathrm{d}^2\vec{S} = -\vec{\nabla}p(\mathrm{M})\,\mathrm{d}^3\tau
   • Les forces visqueuses : le fluide étant entraîné en rotation de bloc à la vitesse \vec{v} = r\Omega\,\vec{e}_\theta, il n'y a aucun cisaillement relatif entre couches fluides adjacentes (\partial v/\partial r - v/r = \Omega - \Omega = 0). Les forces de viscosité sont donc rigoureusement nulles.

   Principe fondamental de la dynamique : Appliqué à la particule fluide dans le référentiel galiléen \mathcal{R}_0 :

   \mathrm{d}m\,\vec{a}(\mathrm{M}/\mathcal{R}_0) = \mathrm{d}\vec{P} + \mathrm{d}\vec{F}_p

   En remplaçant par les expressions précédentes :

   -\rho r\Omega^2\,\vec{e}_r(\theta)\,\mathrm{d}^3\tau = \rho\,\vec{g}\,\mathrm{d}^3\tau - \vec{\nabla}p(\mathrm{M})\,\mathrm{d}^3\tau

   En simplifiant par le volume élémentaire \mathrm{d}^3\tau \neq 0 et en réorganisant les termes, on obtient :

   \boxed{\vec{\nabla}p(\mathrm{M}) = \rho\vec{g} + \rho r\Omega^2\vec{e}_r(\theta)}

   Résultat

   $$\vec{\nabla }p(\mathrm{M})=\rho \vec{g}+\rho r{\Omega }^2{\vec{e}}_r(\theta )$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10Polytechnique Physique A PC 2022, Q4

    Le récipient est animé d'un mouvement de translation rectiligne verticale ascendante repéré par la coordonnée Z(t) = A \cos \omega t par rapport au référentiel du laboratoire, supposé galiléen. En notant \vec{u}_z le vecteur unitaire vertical ascendant, l'accélération d'entraînement de tout point lié au récipient s'écrit :

    \vec{a}_e(t) = \ddot{Z}(t)\,\vec{u}_z = -\omega^2 A \cos(\omega t)\,\vec{u}_z

    La force d'inertie d'entraînement \vec{F}_i(t) exercée sur un point matériel de masse m dans le référentiel du récipient est alors :

    \vec{F}_i(t) = -m\,\vec{a}_e(t) = -m\,\ddot{Z}(t)\,\vec{u}_z

    Soit, en remplaçant par l'expression temporelle :

    \boxed{\vec{F}_i(t) = m A \omega^2 \cos(\omega t)\,\vec{u}_z}

    Résultat

    $${\vec{F}}_i(t)=mA{\omega }^2\cos (\omega t){\vec{u}}_z$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question