Mécanique du solide : 211 questions de concours corrigées

Etablir le graphe de liaisons du mécanisme.

Donner la matrice R₂ de la rotation d'axe Vect(z) orientée par z et d'angle -π/2 dans la base (x, y, z).

On note R = 1/3 2 & -1 & -2 2 & 2 & 1 1 & -2 & 2 M₃(R). Montrer que R est une matrice orthogonale.

Préciser les degrés de liberté que possède la plateforme 3 et indiquer le type de mouvement qu'elle peut faire.

Donner, en la justifiant, la direction des résultantes R_B'_i, R_C'_i appliquées à la biellette b'_i en précisant le théorème utilisé et les arguments qui permettent de l'utiliser. Le résultat…

En appliquant le théorème du moment cinétique à (j_g) dans le référentiel du buste supposé galiléen, établir l'équation différentielle vérifiée par θ(t) pendant cette phase d'oscillation.

Etablir le schéma cinématique du mécanisme. Il est possible de réaliser ce schéma dans la configuration où les panneaux sont complètement déployés.

Justifier que la matrice d'inertie au point O dans la base (x, y, z) du flotteur soit diagonale.

Ainsi R est la matrice d'une rotation r de R³. Donner l'axe de cette rotation. On choisira l'orientation de cet axe en fixant le vecteur a de cet axe dont le premier coefficient est 1.

Retrouver l'angle θ ]-π ; π] de la rotation r pour l'orientation fixée par le vecteur a.

Sur la base du paramétrage qui a été fixé, établir une équation différentielle décrivant le mouvement de l'avant-bras. Préciser l'origine de cette équation.

Exprimer la longueur L(e) de la fibre (EF) en fonction de L₀, R et e.

Montrer que les plans (C₁C₂C₃) et (A₁A₂A₃) sont parallèles et justifier que la base associée au solide 3 est la même que celle associée à la base 0.

Après avoir tracé deux figures de calcul représentant les angles φ et θ, déterminer trois relations donnant Δ x, Δ y, Δ z, en fonction de λ, φ et θ. Inverser ces trois relations, de façon à…

Donner l'expression du torseur cinématique associé à la liaison entre la tige t et la plateforme a : V_t/a_A, en exprimant le vecteur vitesse angulaire Ω_t/a en fonction des paramètres définis…

Le pas de la liaison entre la tige t et la poignée p est noté pas et est supposé à droite. Exprimer le torseur cinématique associé à la liaison entre p et t, V_p/t_B en fonction de λ et ψ, en…

En appliquant le théorème du moment cinétique à (j_g) dans le référentiel du buste supposé galiléen, établir l'équation différentielle vérifiée par θ(t) pendant cette phase d'oscillation.

Lors du roulement de la bille (1) sur la bille (0) (fixe), le centre de masse O₁ de la bille (1) décrit un arc de cercle de rayon D et d'angle au centre égal à θ (se reporter à la figure (3) (b))…

Établir l'équation différentielle vérifiée par θ(t) dans l'approximation des petits angles. Identifier une pulsation propre ω₀ de la forme ω₀ = g/ℓ_eff et donner l'expression de ℓ_eff en fonction de…

Déterminer l'équation différentielle vérifiée par ω puis la résoudre en supposant le cylindre immobile à l'instant initial.

Lorsque le système est à l'équilibre mécanique, on mesure l'angle θ_eq = 8° à l'aide d'un rapporteur. Déterminer l'expression de la vitesse U du vent, en fonction de µ, m, g et θ_eq. Faire…

a) Rappeler la loi du moment cinétique scalaire appliquée à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen. On précisera tous les termes et notations introduits. b) Recenser…

Déduire des résultats précédents l'expression de la fonction y = y(x), paramétrée par les grandeurs D, L et F.

Rappeler la loi du moment cinétique pour un solide en rotation autour d'un axe orienté (O_z). En l'appliquant et en négligeant les frottements de l'air, montrer que l'équation différentielle du…

Établir une intégrale première du mouvement à partir de l'équation (1). Cette équation sera notée (3).

Montrer que le moment par rapport à l'axe de rotation (Oz) des forces pressantes exercées par l'eau et par l'air sur la plaque s'écrit M_fluide = 1/6 ρ g ℓ h³/(sin ² θ)

Exprimer le moment de torsion M dû aux forces de cisaillement et montrer qu'il se met sous la forme M = C_z où la raideur du fil de torsion C est une constante (appelée constante de torsion) qu'on…

Justifier que le centre d'inertie G du flotteur appartient à la droite (O, x).

Déterminer une expression du vecteur taux de rotation du segment intérieur par rapport au référentiel galiléen, noté Ω_s/0, en fonction de θ et de ωₘ.

Montrer que l'on peut alors linéariser l'équation de dynamique du flotteur sous la forme : C_f θ = Cₘ - Kₓ θ. Préciser l'expression de Kₓ.

En déduire l'élément de SE(3) correspondant à la configuration g₂ de la position 2 de la figure 6 sachant que la tête de la configuration g₂ est positionnée au point M₂ = (-1, 3, 1).

Donner l'élément de SE(3) correspondant à la configuration g₃ de la position 3 de la figure 6 sachant que la tête de la configuration g₃ est positionnée au point M₃ = (5, 2, 0).

Montrer que R est une matrice du groupe spécial orthogonal SO₃(R).

Soit g = R & p 0_1,3 & 1 SE(3), calculer le déterminant de g. En déduire que g est inversible.

Tracer le graphe de la fonction f sur [0, τ].

Donner une expression de θ(t) en notant θ₀ la valeur initiale de l'angle θ.

En pratique, d ≪ L₁. Montrer alors que θ₂ ≈ θ₁.

Déterminer Γ_P le moment scalaire du poids du cadre par rapport à Δ (orienté) : A) Γ_P = 0 B) Γ_P = -(mgℓ sin θ)/2 C) Γ_P = mgℓ sin θ D) Γ_P = -(mgℓ cos θ)/2

Indiquer l'ordre selon lequel sont effectués les trois mouvements imposés, en précisant l'intervalle de temps correspondant à chaque mouvement.

Donner, sans calcul, les torseurs cinématiques V_a/0_A et V_b/0_B, en fonction des composantes des vitesses de A et de B dans le référentiel R₀ = (O, x₀, y₀, z₀).

a) Définir ce que sont des oscillations isochrones. b) Dans l'approximation des petits angles, le mouvement de (j_g) est-il isochrone ? c) Exprimer, dans cette approximation, la pulsation ω_os et la…

Dans l'approximation des petits angles, exprimer en fonction de m_j, J_F, g et de Δ, la pulsation ω_os et la durée τ_os de cette phase d'oscillation.

Exprimer le moment M_Δ(P) (scalaire) du poids de la tige par rapport à l'axe orienté KΔ, à l'instant initial: A) M_Δ(P) = mgb/3 B) M_Δ(P) = mgb/2 C) M_Δ(P) = mgb D) M_Δ(P) = 2mgb

Quelle est la longueur ℓ du ressort à l'instant initial? A) ℓ = ℓ₀ - mg/4K B) ℓ = ℓ₀ + mg/3K C) ℓ = ℓ₀ + mg/4K D) ℓ = ℓ₀ + mg/K

Initialement (t = 0⁻), le générateur n'est pas branché et la partie mobile est au repos. Quelle est alors la position de la partie mobile ? Justifier la réponse.

Par une analyse dimensionnelle, vérifier l'homogénéité de l'expression trouvée pour A.

À partir du document 8, évaluer la vitesse angulaire maximale de rotation d'une hélice en rad⁻¹.

En déduire la vitesse correspondante d'un point en bout de pale.

Sur le document 8, on voit deux hélices contrarotatives, c'est-à-dire, pouvant tourner en sens inverse. Quel serait le moment cinétique de la deuxième hélice, tournant en sens contraire ?

Quel couple faut-il exercer pour maintenir la vitesse de rotation constante ? Est-il moteur ou résistant ?

Établir l'inventaire des actions mécaniques qui s'exercent sur l'aimant (1). Il ne s'agit que d'un inventaire, on ne cherchera donc pas à expliciter chacune de ces actions mécaniques.

Nous écrivons l'énergie E_c 1 sous la forme suivante : E_c 1=1/2 J θ² Exprimer J en fonction de la masse m et du diamètre D.

En revenant au système réel de la figure 3, expliquer le rôle de la vis V.

Expliquer à partir de votre schéma pourquoi l'anémomètre va se mettre en mouvement, et représenter le sens de rotation sur le schéma.

Justifier que la force tangentielle F_T est sans importance pour l'étude du mouvement de rotation de l'anémomètre.

Rappeler la définition d'un couple de forces. Le terme de « couple » aérodynamique utilisé dans le document 3 vous paraît-il bien choisi ?

En utilisant les caractéristiques de la grue, vérifier que le treuil pourra lever le bateau.

Reproduire la figure 1 et la compléter en indiquant toutes les actions mécaniques extérieures subies par la voiture.

En déduire l'expression de la position angulaire en fonction du temps et l'expression de la période du mouvement.

La figure F3 montre un mécanisme d'horlogerie avec le ressort spiral et le balancier mais aussi un système dit d'échappement avec une "ancre". À quoi peut servir ce système ?

Déduire de ces deux résultats l'expression de la composante algébrique M du moment en fonction de F, L et x.

Nous posons K = 3D/L³. Exprimer, en fonction de K, L et F, la flèche f et l'angle θ (définis sur la figure (1)).

Déduire du résultat obtenu à la question (5) l'expression de la fonction φ = φ(u).

Dans le cas d'oscillations de faible amplitude au voisinage de la position d'équilibre, réécrire l'équation (1). L'équation obtenue sera notée (2).

Expliquez l'avantage d'un tel ratio entre ces deux forces.

Exprimer β₃ en fonction de z.

Appliquer le théorème de la résultante dynamique à 2, en projection sur k.

Montrer que la matrice d'inertie du panneau 3 peut se mettre sous la forme suivante et exprimer ses composantes en fonction de m₃, L, l et e. I_G_3,3 = A₃ & 0 & 0 0 & B₃ & 0 0 & 0 & C₃ _(G_3, x_3…

L'action du ressort de torsion s'exprime comme un moment M_O_2,0→ 2 appliqué par le solide 0 sur le bras 2 tel que M_O_2,0→ 2 = -K₂ α₂ z₀ où K₂ est sa constante de raideur. De même le second ressort…

Exprimer la vitesse V_2,0(G₂) du point G₂ de 2 par rapport à 0 et la vitesse V_3,0(G₃) du point G₃ de 3 par rapport à 0.

En se basant sur les figures 6 et 7, les critères du cahier des charges sont-ils respectés ?

Exprimer en fonction des données le moment M_poids par rapport à l'axe (Oz) du poids de la plaque.

Montrer que la condition d'équilibre de la plaque se traduit par cos θ (1 - cos ² θ) = 1/3 (ρ ℓ)/(m L) h³

Calculer en degrés la valeur de l'angle θ₀ pour lequel la fonction h(θ) est maximale.

En le justifiant, attribuer les courbes 1 et 2 aux moments M_fluide et |M_poids|.

Citer un avantage et un inconvénient liés à l'existence de cette instabilité.

Justifier la forme de la matrice d'inertie au point O dans la base (x, y, z) du segment intérieur.

En supposant que m = ρ V, déterminer une expression du couple de redressement Γ en fonction de m, g, b, c et de θ.

Décrire les déplacements subis par la tête du serpent pour passer de la position initiale g₀ = I₄ à la position g₄ = √(2)/2 & -√(2)/2 & 0 & 1 √(2)/2 & √(2)/2 & 0 & 2 0 & 0 & 1 & 3 0 & 0 & 0 & 1 SE(3).

Soit p une position fixée de R³. En déduire, à l'aide des questions Q24 et Q25, les déplacements subis par la tête du serpent pour passer de la position g₀ à la position g₅ = R & p 0_1,3 & 1 .

Justifier que SE(3) est stable par produit matriciel.

Soit g = R & p 0_1,3 & 1 SE(3). En cherchant g⁻¹ sous la forme S & q 0_1,3 & b M₄(R), avec S M₃(R), q R³ et b R, déterminer l'inverse de g. En déduire que SE(3) est stable par passage à l'inverse.

Déterminer le tableau de variations complet de f sur l'intervalle [0, τ]. On donnera la valeur maximale de f sous forme d'une fraction irréductible.

En utilisant la relation t [τ, 2τ], f(t) = -f(t - τ), compléter le graphe de f sur [0, 2τ] et donner la signification graphique de cette relation.

Nous considérons que le roulement d'une bille (dans cette étude, l'impacteur ou la bille éjectée) le long du guide s'effectue sans glissement. Ses vitesses de translation v = veₓ et de rotation…

Les collisions avec le gaz discutées aux questions 15 et 16 donnent lieu à un couple visqueux de la forme -Iγφ. Dans le régime libre introduit à la question 15, on peut montrer que γ = (40 P d²)/(3…

On suppose que l'angle φ oscille autour d'une position d'équilibre et que son évolution temporelle en l'absence de ce couple visqueux peut être décrite comme celle d'un oscillateur harmonique de…

Le moment total Γ_O apparaît comme la somme de deux termes. Lequel est responsable de la rotation instantanée de la particule autour d'un axe passant par C ? On le notera Γ_C. Que décrit l'autre…

Comparer les deux équations différentielles obtenues pour φ₁ et φ₂ avec celles obtenues pour les variables x, y et z à la question 3. On fera apparaître trois constantes q_φ_1, q_φ_2 et ω_r jouant…

Comment cette équation est-elle modifiée si une masse ponctuelle m est placée en bout de l'avant-bras (au point B) et déplacée par l'utilisateur ?

Déterminer une relation entre θ₁ et θ₂, fonction de d, L₁ et α.

Déterminer l'énergie cinétique de l'ensemble en mouvement.

L'utilisation du BMMD exige du spationaute qu'il se maintienne fortement à la barre, que ses pieds et ses genoux soient coincés et son menton collé à la planche. Expliquer pourquoi.

Déterminer Γ_L le moment scalaire des forces de Laplace qui s'exercent sur le cadre par rapport à Δ (orienté) : A) Γ_L = 0 B) Γ_L = ILℓ B cos (θ/2) C) Γ_L = -ILℓ B sin θ D) Γ_L = mgℓ

Déterminer la ou les positions angulaires d'équilibre θₑ du cadre. A) θₑ = 0 B) θₑ = π C) θₑ = arccos (ILB/mg) D) θₑ = arcsin (ILB/mg)

Que vaut la période T₀ du mouvement du cadre au voisinage de sa position d'équilibre stable ? A) T₀ = ((π² J_z)/(mgℓ + ILℓ B))¹/² B) T₀ = ((4π² J_z)/(mgℓ + ILℓ B))¹/² C) T₀ = ((8π² J_z)/(mgℓ + 2ILℓ…

À un instant pris comme origine temporelle (t = 0), on lance le cadre depuis la position initiale θ(0) = 0 avec une vitesse angulaire initiale θ(0) > 0. Déterminer θ(0) afin que le cadre puisse…

Nous supposons que V_B = 0 et que le ressort a été tendu, mais de telle façon que le solide (1) reste immobile. Rappeler à quelles conditions un solide soumis à trois forces est à l'équilibre…

Exprimer le déplacement relatif X en fonction de q, L₀ et Y.

Indiquer pourquoi M < M.

Montrer que les points O, A_i, B_i, C_i et C sont situés dans un même plan. Quelle forme particulière présente le parallélogramme B'_i B''_i C''_i C'_i ?

Justifier que les configurations du robot Delta étudiées ici sont invariantes par une rotation d'axe et d'angle à préciser, et qu'elles possèdent aussi plusieurs plans de symétrie que l'on précisera.

On rappelle les valeurs des angles α_i : α_i = (i-1)2π/3 pour i 1,2,3. On s'intéresse maintenant aux configurations du robot Delta où deux des angles pilotés θ_i sont maintenus égaux, le troisième…

Représenter le graphe des liaisons associé au modèle décrit par le schéma cinématique de la figure (4).

Justifier le modèle de liaison équivalente utilisé sur le schéma cinématique entre la plateforme et la tige t.

Recopier le tableau ci-dessous. À l'aide du schéma cinématique, compléter ses cases par les valeurs 0, V ou -V pour indiquer quelle vitesse imposer à chacun des degrés de liberté de chacune des deux…

Avec h ≃ p²/2l_j (expression approchée de h valable pour les petits angles θₐ) et en supposant des conditions de marche telles que Ω(τ_dc) = ω_os, avec ω_os la pulsation trouvée à la question Q19.c…

On note h = z_G_b(τ_dc) - z_G_b(0) la variation d'altitude du point G_b entre les instants de dates t = 0 et t = τ_dc (figure 7a). Exprimer la variation de l'énergie mécanique de (Σ) entre ces deux…

a) Parmi les paramètres intervenant dans l'expression de p_opt obtenue en Q19, indiquer lesquels sont inchangés par rapport au cas sans échasses et lesquels sont à modifier. On précisera ces…

Exprimer la force F qu'exerce le ressort en M à l'instant initial: A) F = -mg/4 B) F = -mg/6 C) F = mg/2 D) F = mg/4

L'équation différentielle d'évolution de l'abscisse x(t) de M se met sous la forme suivante: x + ω₀² x = 0 où ω₀ est une constante temporelle. Exprimer ω₀ : A) ω₀ = (4K/m)¹/² B) ω₀ = (2K/m)¹/² C) ω₀…

Exprimer l'énergie cinétique E_k de T, au voisinage de sa position horizontale: A) E_k = mx² B) E_k = mx²/2 C) E_k = mx²/4 D) E_k = mx²/8

On met le générateur sous tension à t = 0⁺. Effectuer un bilan des actions mécaniques sur la partie mobile.

À partir de la question précédente, quel aurait été le problème rencontré si ces pales avaient eu un rayon de 1 m ?

Le moment d'inertie J d'une pale par rapport à son axe de rotation est approximativement J = mR²/12, où m est sa masse et R sa longueur. Déterminer le moment d'inertie correspondant à une hélice de…

En déduire le moment cinétique lorsque cette hélice tourne à vitesse maximale.

Quelle peut être l'utilité du caractère contrarotatif de ce dispositif ?

En appliquant le théorème scalaire du moment cinétique en régime permanent de fonctionnement au système (Σ), établir l'équation mécanique (E₂) qui relie I, Ω_p, Dₘ, a et v.

Établir l'expression de Ω_p en fonction de U, Dₘ, φ, R, λ et a. Quelle est, dans ce modèle, l'influence du débit des roches sur la vitesse du tapis ?

Exprimer, en fonction des paramètres ρ, b, e, L et de la vitesse angulaire θ, l'énergie cinétique E_ct de la lame en ne considérant que l'effet de la translation décrite par le déplacement δ=δ(z).

Comme dans le cas de l'édifice de billes magnétiques (se reporter à la question (9)), le déplacement δ=δ(z) de la tranche élémentaire (b × e × d z) de la lame située à l'altitude z s'accompagne…

Exprimer, en fonction des paramètres ρ, b, e, a₀ et de la dérivée temporelle ε, l'énergie cinétique E_c de l'ensemble de la coque vibrante.

Exprimer la résultante R et le moment Γ_C en C des forces de pression et de pesanteur que Σ subit en fonction des grandeurs judicieuses parmi ρ_ℓ, ρ₁, ρ₂, V₀, V₁, V₂, CG₀, CG₁, CG₂ et g.

La relation précédente est supposée satisfaite. Montrer que le moment en C des forces s'exerçant sur l'ensemble Σ s'exprime sous la forme Γ_C = Mₘ G₁G₂ ∧ g et donner l'expression de Mₘ en fonction…

Déduire de la relation précédente l'orientation prise par le vecteur G₁G₂ à l'équilibre stable de Σ. Vérifier la cohérence de la stabilité de l'équilibre à l'aide d'un ou de plusieurs dessins…

Déterminer l'expression de la puissance du couple de frottements. En déduire le signe de α.

Quelle est l'expression de la vitesse angulaire limite ω_l que l'on peut atteindre avec ce dispositif ?

Estimer la valeur de la vitesse linéaire v_l pour un point de la périphérie de la fraise. Commenter le résultat obtenu.

Calculer le moment dΓ par rapport à l'axe de rotation (Oz) de cette force dF.

Quel moment doit-on appliquer sur le cylindre intérieur afin d'avoir ω₁ = 0 ?

On suppose que le point d'application de la résultante des forces aérodynamiques se situe au centre de la plaque circulaire. Exprimer les moments scalaires par rapport à l'axe (Δ) des forces…

En négligeant la vitesse de démarrage U₀, estimer la distance d'étalonnage ℓ₀ de l'anémomètre étudié dans le document 3.

Exprimer le couple maximum C développé par le treuil en fonction de P_u, vₘₐₓ et de D. Calculer alors C.

Exprimer Cₘ en fonction de m, g et de D. Calculer ce couple Cₘ.

La force F_pied de norme F_pied = 50 N exercée par le vacancier sur le pédalier est modélisée sur la figure suivante. Dans chacune des situations (a) et (b), exprimer le moment de la force exercée…

On considère que le moment du couple moyen exercé sur le pédalier correspond à la moyenne des 2 valeurs précédentes. Sachant que le pédalier tourne à la vitesse constante ω = 10 rad⁻¹, évaluer la…

Quelle sera(seront) la(les) fréquence(s) des composantes sinusoïdales du couple ? Donner leurs valeurs dans la plage de fonctionnement nominale, pour v_∞ allant de 0 à 16 m⁻¹ ?

Exprimer la période T des oscillations de tige en fonction de α et de T₀. Commenter le choix de α.

a) Montrer que F = T₂ uₓ. b) En déduire Γₘ et faire l'application numérique.

La loi du moment cinétique scalaire appliquée à la voiture par rapport à l'axe (G, u_y) permet de montrer que (N₁ - N₂) b = T₂ h. a) Pourquoi le couple Γₘ n'intervient-il pas dans ce résultat ? b)…

Si Jupiter était assimilable en l'absence de rotation propre à une boule pleine, homogène, de masse volumique uniforme évaluée à la question Q2, quelle devrait être la valeur de la constante K =…

L'étude du champ de gravitation par la sonde Juno permettra l'estimation de la constante K. En quoi la connaissance de K est-elle intéressante ?

Déterminer l'équation différentielle qui régit le mouvement en appliquant le théorème du moment cinétique (on introduira ici les grandeurs nécessaires à la mise en équation).

À partir du résultat précédent et d'un raisonnement géométrique appliqué à la figure (4), établir que la déformée vérifie l'équation différentielle : D (d² y)/dx² = M (2) Le paramètre D est une…

Expliquer en quoi cette équation (3) fait apparaître les différentes formes d'énergies. Vérifier, à partir des unités de base du Système International, que les différents termes sont homogènes à des…

On suppose θ₀ ≪ 1. L'intensité du courant électrique obéit à l'équation suivante: (d² i)/dt² + ω₂² i = 0 où ω₂ est une constante temporelle. Déterminer ω₂. A) ω₂ = 0 B) ω₂ = ω₁ C) ω₂ = 2ω₁ D) ω₂ =…

Calculer numériquement ω₁ : A) ω₁ ≈ 1 rad.s⁻¹ B) ω₁ ≈ 2,3 rad.s⁻¹ C) ω₁ ≈ 5 rad.s⁻¹ D) ω₁ ≈ 12 rad.s⁻¹

En déduire l'équation de mouvement en fonction de ω₁, z, z et des autres constantes du mécanisme. Le résultat sera proposé sous la forme : K₁ z + K₂ z = K₃ où K₁, K₂ et K₃ sont des constantes à…

Exprimer les accélérations a_2,0(G₂) et a_3,0(G₃) dans le repère R₂ du bras 2.

Les équations précédentes sont-elles valables pour l'ensemble du mouvement représenté à la figure 6 ? Si ce n'est pas le cas, qu'a-t-il fallu modifier pour obtenir ces courbes ?

Quel phénomène supplémentaire interviendra à t = 6,75 s ? Quel composant mécanique doit être ajouté aux charnières pour réduire ce phénomène ? Ce composant pourrait-il impacter le respect du cahier…

En ne tenant compte que de l'action du champ électrique induit, déterminer la vitesse de rotation finale ω_F de la sphère, lorsque le moment magnétique a disparu complètement. On exprimera ω_F en…

Expliquer pourquoi la position de la plaque devient instable pour θ > θ₀.

En appliquant le principe fondamental de la dynamique au flotteur au point O, établir l'équation différentielle régissant son mouvement dans un référentiel galiléen.

Sachant que chacune des 5 liaisons pivot d'axes parallèles entre les 6 segments du corps est pilotée avec cette fonction f, expliquer quelles sont les configurations extrêmes et donner la différence…

En définissant rigoureusement le volume de contrôle, effectuer un bilan de moment cinétique du fluide en écoulement à travers la roue Francis par rapport à l’axe de rotation et montrer que le couple…

En déduire l’expression de Γ_i et de la puissance indiquée P_i en fonction notamment de D_v, ω, Rₑ, R_s, βₑ et de β_s. En sortie d’arbre, le couple disponible Γ est inférieur à Γ_i. Pour quelle…

On met la particule en rotation au moyen d'un laser exerçant un couple C_l = C_l u_z. À quelle vitesse angulaire maximale ωₘₐₓ = φₘₐₓ peut-on faire tourner la particule avec ce couple ? On négligera…

La présence de deux charges électriques à la surface suggère qu'un couple de forces électriques peut exister, influençant la rotation de la particule. Cette rotation n'est a priori plus contrainte…

On suppose dans cette question que ω ≪ Ω et ω_r ≪ Ω. a - En déduire que les angles φ₁ et φ₂ subissent un couple de rappel autour de la valeur nulle sous l'action du piège électrique. b - Calculer…

Représenter un schéma illustrant l'essai réalisé, en le paramétrant. Expliquer comment déterminer le terme m₁ l₁ à partir des grandeurs mesurées par la plateforme.

Déterminer la puissance des efforts extérieurs et la puissance intérieure, en précisant les différents termes qui interviennent.

Montrer, en précisant le théorème utilisé et le système étudié, que l'équation de mouvement obtenue prend la forme suivante : J θ + ν θ + f(θ) = C₁ + C₂ - C_s (3) On donnera l'expression des…

Déterminer la relation linéaire reliant θ et Δ C. Préciser l'expression de C₀.

On coupe désormais le champ magnétique (B = 0) et on modifie les conditions de lancement du cadre de sorte qu'à l'instant initial : θ(0) = 0 et θ(0) = (3mgℓ/J_z)¹/² Déterminer la valeur absolue de…

Nous supposons que l'opérateur extérieur, en déplaçant l'élément (3), fait croître progressivement la force F_R, depuis la valeur nulle. En raisonnant sur la figure tracée précédemment, déterminer à…

Exprimer le déplacement relatif q en fonction de L₀ et R.

Nous paramétrons la déformation du bâton de craie par la variable q. Nous ne considérons que le déplacement (horizontal) de chaque section du bâton de craie (c'est-à-dire que nous ne tenons pas…

Montrer, à partir du paramétrage proposé, que l'on obtient 3 équations de la forme : x² + y² + z² + A_i x + B_i y + C_i z = D_i On précisera les expressions des termes A_i, B_i, C_i et D_i en…

En combinant les relations (1), montrer que x, y, z vérifient les équations linéaires prenant la forme suivante : A_1,2.x + B_1,2.y + C_1,2.z = D_1,2 A_2,3.x + B_2,3.y + C_2,3.z = D_2,3 A_3,1.x +…

On s'intéresse ici aux configurations du robot Delta où les 3 angles pilotés θ_i sont égaux, soit : i 1,2,3, θ_i = θ. Dans cette question, on pourra, si besoin, utiliser les valeurs des angles α_i…

En se limitant aux configurations du robot Delta possédant les symétries identifiées précédemment pour lesquelles x = y = 0, déterminer les expressions des valeurs minimale z_min et maximale zₘₐₓ de…

Montrer que l'on peut exprimer le vecteur vitesse angulaire Ω(p/0) et la vitesse linéaire V(G,p/0) en fonction des paramètres définis ou déterminés précédemment. Il est demandé de poser les calculs…

Compte tenu de la forme de la poignée, visible sur la figure (5), proposer une simplification pour la matrice d'inertie I_p(G). Calculer ensuite le moment cinétique en G de p/0 : σ(G,p/0) en le…

On note h = z_G_b(τ_dc) - z_G_b(0) la variation d'altitude du point G_b entre les instants de dates t = 0 et t = τ_dc (figure 7a). Exprimer la variation de l'énergie mécanique de (Σ) entre ces deux…

a) Parmi les paramètres intervenant dans l'expression de p_opt obtenue en Q23, indiquer lesquels sont inchangés par rapport au cas sans échasses et lesquels sont à modifier. On précisera ces…

a) Exprimer (p_opt*)/p_opt en fonction du seul rapport (l*)/l_j dans le cas d'une jambe à répartition de masse uniforme. b) Calculer (p_opt*)/p_opt pour un berger adulte de longueur de jambe l_j = 1…

Avec h ≃ p²/2l_j (expression approchée de h valable pour les petits angles θₐ) et en supposant des conditions de marche telles que Ω(τ_dc) = ω_os, avec ω_os la pulsation trouvée à la question Q15…

a) Exprimer (p_opt*)/p_opt en fonction du seul rapport (l*)/l_j dans le cas d'une jambe à répartition de masse uniforme. b) Calculer (p_opt*)/p_opt pour un berger adulte de longueur de jambe l_j = 1…

On étudie désormais le régime dynamique au voisinage de la position horizontale de T (x ≪ ℓ₀). Exprimer le moment scalaire M_Δ(F) de F par rapport à l'axe orienté KΔ : A) M_Δ(F) = mgb/2 - Kbx B)…

Montrer que θ satisfait l'équation différentielle θ + ω₀² θ = A et exprimer ω₀ et A en fonction de J, K, I, B et l.

Lorsqu'on insère un matériau ferromagnétique dans une bobine, on modifie l'expression du champ créé en le multipliant par µ_r, perméabilité magnétique relative du milieu. En reprenant l'expression…

Déterminer la nouvelle équation différentielle satisfaite par θ. La résoudre pour déterminer θ(t') tant que le contact est rompu.

En remarquant que les points I₀ et I₁, représentés sur la figure (3) (b), étaient initialement confondus (c'est-à-dire pour θ=0), justifier que θ₁=2 θ.

Montrer que l'équation différentielle vérifiée par ε est dε/dt + α/J ε = αγ/J cos Ω t.

Montrer qu'au bout d'un temps suffisant, ε(t) est une fonction sinusoïdale de pulsation Ω que l'on cherchera sous la forme ε(t) = a cos (Ω t-φ). Exprimera a et φ en fonction de γ, J, Ω et α en…

Expliquer pourquoi, de façon à régulariser le fonctionnement d'objets en rotation, on adjoint aux parties tournantes un anneau massif et de grand rayon appelé volant d'inertie. Pourquoi un tel…

Dès lors qu'on exerce une pression sur la fraise donc lors du contact avec une dent la vitesse angulaire de rotation diminue fortement, quasi de moitié. Expliquer ce phénomène.

Exprimer la force F₁ exercée par le vent sur la pale n°1 dans la base (e_r, e_θ). Commenter l'effet de chacune des composantes sur la rotation de l'éolienne.

Exprimer le couple Γ_z engendré par les trois pales sur le rotor de l'éolienne.

La puissance moyenne du couple est P = Γ_zω. En déduire la puissance moyenne transférée au rotor dans ce modèle. En donner une estimation numérique dans le cas considéré jusqu'ici. Donner un exemple…

Déterminer l'énergie potentielle de pesanteur E_p de la tige en fonction de m, g, ℓ, α et θ.

En utilisant une méthode énergétique, montrer que θ(t) vérifie l'équation différentielle θ + 3/4 g/ℓ sin α sin θ(t) = 0.

Exprimer S en fonction de ℓ, α et g.

Exprimer le moment Γ_v résultant de l'ensemble des forces visqueuses par rapport à l'axe de rotation (Fz) en fonction de η, Ω, a, ℓ_f et h.

Exprimer la puissance P du moteur moléculaire nécessaire au maintien du flagelle en rotation en fonction de η, Ω, a, ℓ_f et h. Calculer sa valeur. Pour commenter ce résultat, calculer ensuite la…

En traduisant l'équilibre mécanique du tronçon élémentaire [x, x + dx] déduire d'une part que la composante algébrique T est uniforme, d'autre part l'équation différentielle liant T à M.

L'équation du mouvement se met sous la forme suivante: θ + ω₁² sin θ = 0 où ω₁ est une constante temporelle. Déterminer ω₁. A) ω₁ = (g/ℓ)¹/²(1 + (ℓ² B₀² C)/2m)⁻¹/² B) ω₁ = (g/ℓ)¹/²(1 - (ℓ² B₀²…

Écrire le théorème du moment dynamique à la masselotte 3, au point B₃, dans son mouvement par rapport au référentiel galiléen R₀, en projection sur ₁.

Dans le cadre d'un avion tout électrique, proposer, sous forme de schéma cinématique, un mécanisme permettant de faire varier le pas d'hélice, sans hydraulique cette fois : l'actionneur serait un…

En déduire les expressions du torseur dynamique D_2/0 au point O₂ et de D_3/0 au point O₃, en fonction des angles α₂ et α₃, de leurs dérivées temporelles et de L, m_i et C_i (i 2,3).

Exprimer les deux équations différentielles reliant α₂, α₂, α₂, α₃, α₃ et α₃.

Montrer qu'elles peuvent s'exprimer sous la forme suivante en fonction de L, m₂, m₃, C₂ et C₃ : A(α₃) α₂ + B(α₃) α₃ - C(α₃) (α₃ + α₂)² + K₂ α₂ - E α₃ = 0 F α₃ + G(α₃) α₂ + H(α₃) (α₂)² + K₃ α₃ = 0

En considérant le théorème de l'énergie cinétique appliqué au rotor, démontrer que le temps t vérifie la loi d'échelle t ∼ h.

En procédant comme à la question 34, démontrer qu'ici t ∼ h¹/².

Nous allons maintenant étudier la rotation de la particule, en se donnant un repère OXYZ défini ainsi : • Les axes de ce nouveau repère sont fixés à la particule • L'axe OZ pointe à chaque instant…

Donner, sans développer les calculs de produits scalaires ou produits vectoriels, les 6 équations permettant de relier les forces Fₓ, F_y, F_z et les couples C_mi aux variables x, y, z, θ_i et à…

Déterminer les relations vectorielles entre F_A, F_B et F, M en fonction des paramètres géométriques et cinétiques. Préciser le(s) théorème(s) ou principe(s) utilisé(s) et le système isolé. On ne…

Exprimer M_z,1, moment de la force F₁ par rapport à l'axe Oz et montrer que M_z,1 = κ f(θ) où f(θ) = (1 + 2λ₀ sin θ + λ₀²) (cos ² θ)/((λ₀ + sin θ)²). En déduire κ.

De quel angle α en degrés doit-on incliner l'axe de rotation Δ si l'on souhaite que cela corresponde à une variation Δ T = 1 ms avec une tige de longueur égale à 1 m ? Commenter.

En appliquant la relation (1) à chacun des demi-tronçons élémentaires supérieur et inférieur, établir l'équation liant dα/dx à M, E, b et h. On se souviendra que |y'| ≪ 1 et donc que |α| ≪ 1.