Feuille d'entraînement : Mécanique du solide

Corrigés

1. Exercice 1ENS Physique BCPST 2020, Q33

   Dans le régime stationnaire de nage, le mouvement du flagelle résulte de la superposition de la rotation autour de l'axe (Fz) à la vitesse angulaire \vec{\Omega} = \Omega\vec{e}_z et de la translation à la vitesse \vec{V} = V\vec{e}_z. La vitesse d'un élément d'hélice repéré par l'angle \theta s'écrit :

   \vec{V}(\theta) = a\Omega\,\vec{e}_\theta + V\,\vec{e}_z

   Le vecteur unitaire tangent à l'hélice est, d'après la question Q29 :

   \vec{u}(\theta) = \frac{a\,\vec{e}_\theta + h\,\vec{e}_z}{\sqrt{a^2 + h^2}}

   Le produit scalaire entre la vitesse et la tangente au flagelle vaut donc :

   \vec{V}\cdot\vec{u} = \frac{a^2\Omega + hV}{\sqrt{a^2 + h^2}}

   D'après l'équation (6), la force visqueuse élémentaire subie par le tronçon de longueur \mathrm{d}\ell = \sqrt{a^2+h^2}\,\mathrm{d}\theta, pour lequel \lambda_\parallel = 4\pi\eta\,\mathrm{d}\ell, est :

   \mathrm{d}\vec{F}_{\mathrm{v}}(\theta) = -\lambda_\parallel \left[2\vec{V} - (\vec{V}\cdot\vec{u})\vec{u}\right]

   Le moment élémentaire de cette force par rapport à l'axe de rotation (Fz) est donné par l'équation (11) :

   \begin{aligned} \mathrm{d}\vec{\Gamma}_{\mathrm{v}}(\theta) &= (a\,\vec{e}_\rho) \wedge \mathrm{d}\vec{F}_{\mathrm{v}}(\theta) \\ &= a\,\vec{e}_\rho \wedge \left( \mathrm{d}F_{\mathrm{v},\theta}\,\vec{e}_\theta + \mathrm{d}F_{\mathrm{v},z}\,\vec{e}_z \right) \\ &= a\,\mathrm{d}F_{\mathrm{v},\theta}\,\vec{e}_z - a\,\mathrm{d}F_{\mathrm{v},z}\,\vec{e}_\theta \end{aligned}

   Puisque le flagelle comporte un nombre entier de spires N = \ell_{\mathrm{f}}/\Lambda (question Q27), l'intégration de la composante selon \vec{e}_\theta(\theta) sur l'intervalle \theta \in [0, 2\pi N] s'annule identiquement :

   \int_0^{\ell_{\mathrm{f}}/h} \vec{e}_\theta(\theta)\,\mathrm{d}\theta = \vec{0}

   Le moment résultant est donc purement axial, dirigé selon \vec{e}_z :

   \vec{\Gamma}_{\mathrm{v}} = \left( \int_0^{\ell_{\mathrm{f}}/h} a\,\mathrm{d}F_{\mathrm{v},\theta}(\theta) \right) \vec{e}_z

   Déterminons la composante orthoradiale \mathrm{d}F_{\mathrm{v},\theta} = \mathrm{d}\vec{F}_{\mathrm{v}}\cdot\vec{e}_\theta :

   \begin{aligned} \left[2\vec{V} - (\vec{V}\cdot\vec{u})\vec{u}\right]\cdot\vec{e}_\theta &= 2a\Omega - \left(\frac{a^2\Omega + hV}{\sqrt{a^2+h^2}}\right) \frac{a}{\sqrt{a^2+h^2}} \\ &= \frac{2a\Omega(a^2+h^2) - a(a^2\Omega + hV)}{a^2+h^2} \\ &= \frac{a(a^2+2h^2)\Omega - ahV}{a^2+h^2} \end{aligned}

   En injectant l'expression de la vitesse de propulsion stationnaire obtenue à la question Q32, V = \dfrac{a^2 h}{2a^2+h^2}\Omega :

   \begin{aligned} (a^2+2h^2)\Omega - hV &= \left(a^2+2h^2 - \frac{a^2 h^2}{2a^2+h^2}\right)\Omega \\ &= \frac{(a^2+2h^2)(2a^2+h^2) - a^2 h^2}{2a^2+h^2}\,\Omega \\ &= \frac{2a^4 + 5a^2 h^2 + 2h^4 - a^2 h^2}{2a^2+h^2}\,\Omega \\ &= \frac{2(a^2+h^2)^2}{2a^2+h^2}\,\Omega \end{aligned}

   Il vient ainsi pour le terme entre crochets :

   \left[2\vec{V} - (\vec{V}\cdot\vec{u})\vec{u}\right]\cdot\vec{e}_\theta = \frac{2a(a^2+h^2)}{2a^2+h^2}\,\Omega

   Avec \lambda_\parallel = 4\pi\eta\sqrt{a^2+h^2}\,\mathrm{d}\theta, la force orthoradiale élémentaire s'écrit :

   \mathrm{d}F_{\mathrm{v},\theta} = -4\pi\eta\sqrt{a^2+h^2}\,\mathrm{d}\theta \cdot \frac{2a(a^2+h^2)}{2a^2+h^2}\,\Omega = -8\pi\eta a\Omega \frac{(a^2+h^2)^{3/2}}{2a^2+h^2}\,\mathrm{d}\theta

   En intégrant le moment élémentaire \mathrm{d}\Gamma_{\mathrm{v},z} = a\,\mathrm{d}F_{\mathrm{v},\theta} sur l'intervalle \theta \in [0, \ell_{\mathrm{f}}/h] de longueur totale \ell_{\mathrm{f}}/h :

   \Gamma_{\mathrm{v},z} = -8\pi\eta a^2\Omega \frac{(a^2+h^2)^{3/2}}{2a^2+h^2}\frac{\ell_{\mathrm{f}}}{h}

   Le moment résultant des forces visqueuses par rapport à l'axe (Fz) est donc :

   \boxed{\vec{\Gamma}_{\mathrm{v}} = -8\pi\eta a^2\Omega\frac{(a^2+h^2)^{3/2}}{2a^2+h^2}\frac{\ell_{\mathrm{f}}}{h}\,\vec{e}_z}

   Résultat

   $${\vec{\Gamma }}_{\mathrm{v}}=-8\pi \eta a^2\Omega \frac{(a^2+h^2{)}^{3/2}}{2a^2+h^2}\frac{{\ell }_{\mathrm{f}}}{h}{\vec{e}}_z$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2ENS Physique BCPST 2020, Q34

   1. Expression de la puissance du moteur moléculaire

   En régime stationnaire de nage libre, la force totale exercée par le fluide sur la bactérie est nulle, soit \vec{F}_{\mathrm{v}} = \vec{0}. La puissance mécanique \mathcal{P} que le moteur moléculaire doit fournir pour maintenir la rotation du flagelle à vitesse angulaire constante compense exactement la dissipation par frottement visqueux :

   \mathcal{P} = -\vec{\Gamma}_{\mathrm{v}} \cdot \vec{\Omega}

   D'après la question 33, le moment des forces visqueuses par rapport à l'axe (\mathrm{F}z) s'écrit :

   \vec{\Gamma}_{\mathrm{v}} = -8\pi\eta a^2\Omega\,\frac{(a^2+h^2)^{3/2}}{2a^2+h^2}\frac{\ell_{\mathrm{f}}}{h}\,\vec{e}_z

   Avec \vec{\Omega} = \Omega\,\vec{e}_z, on obtient :

   \boxed{\mathcal{P} = 8\pi\eta a^2\Omega^2\,\frac{(a^2+h^2)^{3/2}}{2a^2+h^2}\frac{\ell_{\mathrm{f}}}{h}}

   2. Application numérique

   Les données fournies dans le préambule sont :

   • \eta = 10^{-3}\text{ Pa}\cdot\text{s} ;
   • \Omega = 7{,}0\times 10^2\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1} ;
   • \ell_{\mathrm{f}} = 10\,\mu\text{m} = 10^{-5}\text{ m} ;
   • a = 0{,}2\,\mu\text{m} = 2\times 10^{-7}\text{ m} ;
   • h = 0{,}1\,\mu\text{m} = 10^{-7}\text{ m}.

   Comme a = 2h, le facteur adimensionnel vaut :

   \frac{(a^2+h^2)^{3/2}}{(2a^2+h^2)h} = \frac{(5h^2)^{3/2}}{9h^2 \cdot h} = \frac{5\sqrt{5}}{9} \simeq \frac{5 \times 2{,}24}{9} \simeq 1{,}24

   Calculons la valeur de \mathcal{P} :

   \begin{aligned} \mathcal{P} &= 8\pi \times 10^{-3} \times \left(2\times 10^{-7}\right)^2 \times \left(7{,}0\times 10^2\right)^2 \times 10^{-5} \times 1{,}24 \\ &= 8\pi \times 10^{-3} \times 4\times 10^{-14} \times 4{,}9\times 10^5 \times 10^{-5} \times 1{,}24 \\ &\simeq 6\times 10^{-15}\text{ W} \end{aligned}

   \boxed{\mathcal{P} \simeq 6\times 10^{-15}\text{ W} = 6\text{ fW}}

   3. Puissance métabolique de la bactérie et commentaire

   La bactérie est assimilée à une sphère de rayon R, de volume V_{\text{bac}} = \frac{4}{3}\pi R^3. Sa consommation de nutriments par unité de volume et de temps étant notée \mathcal{A}, la quantité de matière de glucose consommée par seconde est :

   \dot{n} = \mathcal{A} V_{\text{bac}} = \frac{4}{3}\pi R^3 \mathcal{A}

   L'apport énergétique par mole de glucose absorbée étant \varepsilon, la puissance totale associée au métabolisme de la bactérie s'écrit :

   \boxed{\mathcal{P}_{\text{mét}} = \frac{4}{3}\pi R^3 \mathcal{A}\,\varepsilon}

   Avec R = 1\,\mu\text{m} = 10^{-6}\text{ m}, \mathcal{A} = 10\text{ mol}\cdot\text{m}^{-3}\cdot\text{s}^{-1} et \varepsilon = 30\text{ kJ}\cdot\text{mol}^{-1} = 3\times 10^4\text{ J}\cdot\text{mol}^{-1} :

   \begin{aligned} \mathcal{P}_{\text{mét}} &= \frac{4}{3}\pi \times \left(10^{-6}\right)^3 \times 10 \times \left(3\times 10^4\right) \\ &= 4\pi \times 10^{-13}\text{ W} \simeq 1\times 10^{-12}\text{ W} \end{aligned}

   \boxed{\mathcal{P}_{\text{mét}} \simeq 1\times 10^{-12}\text{ W} = 1\text{ pW}}

   En comparant ces deux puissances :

   \frac{\mathcal{P}}{\mathcal{P}_{\text{mét}}} \simeq \frac{6\times 10^{-15}}{1{,}3\times 10^{-12}} \simeq 0{,}5\,\%

   La puissance nécessaire pour faire tourner le flagelle et propulser la bactérie représente moins de 1\,\% de la puissance métabolique totale. La nage constitue donc un coût énergétique négligeable pour la cellule.

   Résultat

   $$\mathcal{P}=8\pi \eta a^2{\Omega }^2\frac{(a^2+h^2{)}^{3/2}}{2a^2+h^2}\frac{{\ell }_{\mathrm{f}}}{h}$$

   $$\mathcal{P}\simeq 6\times 10^{-15}\text{ W}=6\text{ fW}$$

   $${\mathcal{P}}_{\text{meˊt}}=\frac{4}{3}\pi R^3\mathcal{A}\epsilon$$

   $${\mathcal{P}}_{\text{meˊt}}\simeq 1\times 10^{-12}\text{ W}=1\text{ pW}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question